giai tich 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (293.04 KB, 32 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ngày soạn: ... Ngày dạy: ...
 Chơng III D·y sè - cÊp sè céng - cÊp sè nh©n

Tiết 41 phơng pháp quy nạp toán học

A. Chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

Kiến thức: Nắm đợc phơng pháp chứng minh quy nạp toán học vận
dụng đợc phơng pháp đó vào chứng minh một số mẹnh đề

Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh các mệnh đề bằng phơng pháp chứng minh
quy nạp toán học

Gi¸o dơc: RÌn tÝnh tù gi¸c trong học toán
II. chuẩn bị

1) Thầy: sgk - bài soạn

2) Trò: sgk - bài học - bài tập

B. Phần thể hiện trên líp

I. KiĨm tra bài cũ ( kết hợp khi giảng )
II. Bµi míi

Thế nào là phơng pháp chứng
minh quy nạp toán học ?

Nêu các bớc chứng minh quy
nạp toán học ?

HÃy kiểm tra với n = 1

giả s mệnh đề đúng với
n = k 1 hãy chứng minh

mệnh đề đúng với n = k+1?

H·y chøng minh VT = Vp ?

Em cã nhËn xÐt g× vỊ vÕ tr¸i ?

H·y kiĨm tra víi n = 1?

Nếu nó đúng với n = k1 hãy

10'

20'

1) Ph ¬ng pháp chứng minh quy nạp toán học

Bc 1: Kim tra mệnh đề đúng với n = 0
Bớc 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k 0

( gọi là giả thiết quy nạp )Chứng minh mệnh đề
đúng với n k 1 

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với





n p p N, *

  Thì bớc 1 kiểm tra mệnh đề đúng
với np Bớc 2 giả thiết mệnh đề đúng với

n k p phải chứng minh mệnh đề đúng với

n k 1 
2) c¸c vÝ dơ

VÝ dơ 1:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiƯn

n 1 ta cã 1 2 3 n n n 1





2

.... 

    
Chøng minh

Với n 1  VT 1 VP;  1 (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k 1tức là





k k 1
1 2 3 k

2

... 

     ta chứng minh (1) đúng
với n k 1  tức là







k 1 k 2

 



1 2 3 k k 1

2

...  

      
ThËt vËy VT =



















 



k k 1

k 1

2

k k 1 2 k 1 k 1 k 2
VP

2 2



 

    

  

vậy (1) đúng với n = k + 1 suy ra (1) đúng với

n N*
 

VÝ dô 2: chøng minh r»ng n N*
  th×





2

1 3 5  .... 2n 1 n (2)
Chøng minh

Kiểm tra với n 1  VT 1 VP;  1 (2) đúng
với n = 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

chứng minh nó đúng với
n = k + 1?

Lu ý: sè chia hết cho 2 và 3 thì
chia hết cho 6

tích hai sè tù nhiªn liªn tiÕp
chia hÕt cho 2 ?

13'





2

1 3 5  .... 2k 1 k ta phải chứng minh
(2) đúng với n k 1  tức là



 



2

1 3 5  .... 2k 1  2k 1  k 1

ThËt vËy VT = k2 2k 1



k 1



2 VP

    

2

( )

 đúng với n k 1   ( )2 đúng với n N*

 

VÝ dô 3 Chøng minh r»ng n N*

  ta cã
3

n 11n (3) chia hÕt cho 6

Chøng minh
Víi n 1  VT 12 chia hÕt cho 6

Giả sử (3) đúng với n k 1 tức là k3 11k chia

hết cho 6 ta phải chứng minh (3) đúng với n k 1 

Tøc tøc lµ



k 1



3 11 k 1





k3 3k2 3k 1 11k 11

        





3 2 3

k 11k 3k 3k 12 k 11k 3 k k 1 4

           

chia hÕt cho 6

III. H íng dÉn häc ë nhµ (2')

- Ôn lại phơng pháp chứng minh bằng quy nạp
- Giải bài tËp 1, 2, 3, 4 sgk trang 88

TiÕt 42

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

KiÕn thøc: Cđng cè kh¾c sâu phơng pháp quy nạp toán học

Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh một mệnh đề bằng phơng pháp quy nạp
toán học

Gi¸o dơc: RÌn tÝnh tÝch cùc tÝnh tù gi¸c trong häc toán
II. Chuấn bị

1) ThÇy: sgk - bài soạn

2) Trò: sgk- bài học- bài tập

B. Phần thể hiƯn trªn líp

I. KiĨm tra bài cũ ( kết hợp khi giảng )

II. Bài mới

Nêu cách chứng minh b»ng
quy n¹p ?

Dựa vào giả thiết quy nạp
hãy chứng minh mệnh đề
đúng với n = k+1?

H·y kiĨm tra víi n = 0, 1 ?

10'

Bµi 1

Với n = 1 VT = 1, VP = 1  mđề đúng với n = 1
Giả sử mđề đúng với n = k1 tức là



 



2 2 2 2 k k 1 2k 1

1 2 3 k

6

....  

    

ta phải c / m mệnh đề đúng với n = k + 1tức là





2



 



2 2 2 2 k 1 k 2 2k 3

1 2 3 k k 1

6

....   

      

ThËt vËy: VT k k 1 2k 1



 





k 12



6

 

  



















 



2 2

k 1 2k k 6k 6 k 1 2k 4k 3k 6

6 6

k 1 k 2 2k 3
VP
6

       

 

  

 

Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1 suy ra m / đề đúng
với n N*

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Hãy chứng minh mệnh đề
đúng với n = k +1 ?

Hãy thêm và bớt 13 vào biểu
thức sau đó đặt nhân tử
chung nhóm các nhân tử
chia hết cho 6 ?

Chó ý: LËp luËn

2k 2k 2 2k 3    ?

Vế trái của mệnh đề là biểu
thức có tính chất gì ?

Chú ý: Nếu khơng xét tới
dấu thì số hạng đứng sau
hơn số hạng đứng trớc một
đơn vị vậy số hạng đứng sau

2k 1 lµ sè nµo ?

10'

12'

Chøng minh  n N  un13n 1 6
Gi¶i

Víi n 0  u0 130  1 0 6 

Giả sử m / đề đúng với n = k 0 tức là
k

k

u 13  1 6 Ta phải chứng minh mệnh đề chia hết
cho n = k + 1 tức là k 1

k 1

u 13  1 6

   

ThËt vËy:





k 1 k

k 1
k

u 13 1 13 13 13 13 1
13 13 1 12 6

.



      

   

Bµi 3

Chøng minh r»ng:  n 3 n N







th× 2n 2n 1
 

Gi¶i

Với n = 3 ta có VT = 8, VP = 7 Vậy mệnh đề đúng
với n = 3

Giả sử mệnh đề đúng với n = k 3 tức là

k k

2 2k 1  2 2 4k 2 2k 3.    

V× k 3 2k 2k 2 2k 3   

Vậy mệnh đề đúng với n = k +1 nên m / đề đúng
với  n 3

Bµi 4

Chøng minh r»ng: n N*

  Ta cã





1 2 3 4   .... 2n 2n 1  n 1

Với n = 1 , VT = 2 , VP = 2  m / đề đúng với
n = k1 Tức là





1 2 3 4   ... 2k 2k 1  k 1

Ta phải chứng minh m / đề đúng với n = k +1
Tức là



 



1 2 3 4 2k 2k 1 2k 2 2k 3
k 1 2k 2 2k 3 k 2

....

          

        
Mệnh đề đúng với n N*

 
III. H íng dÉn häc ë nhµ (3')

Ôn lại cách chứng minh một mệnh đề bằng quy nạp
- Xem lại các bài tập đã chữa

Đọc trớc bài mới

TiÕt 43 - 44 d·y sè

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

Kiến thức: Nắm đợc khái niệm dãy số hữu hạn, dãy vô hạn cách cho dãy số
Khái niệm về dãy số tăng( giảm ) dãy số bị chặn, bị chặn trên,
chặn dới

Kỹ năng: Rèn kỹ năng cho dÃy số, chứng minh dÃy số tăng( giảm ) và chứng
dÃy số bị chặn

Gi¸o dơc: RÌn tÝnh tù gi¸c tÝnh tÝch cùc trong häc to¸n rÌn t duy kh¸i qu¸t hoá
II. chuẩn bị

1) ThÇy: sgk - bài soạn
2) Trò: sgk - bài học - bài tập

TiÕt 43

B. PhÇn thĨ hiƯn trªn líp

I. KiĨm tra bµi cị (5')

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đáp án: Với n = 0 ta cã 03 2 0 0 3.
  

Giả sử mệnh đề đúng với n = k 0 thì tức k32k 3

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức



k 1



3 2 k 1







k33k2 9k 1 2k 2 k    3 2k 3 k



23k 1 3





II. Bµi míi

GV: nhắc lại khái niệm hàm số
Chú ý: Dãy các giá trị của hàm
số u xác định trên tập hợp M là
dãy số hữu hạn

H·y cho biÕt d·y cã bao nhiêu
số hạng ? tìm số hạng đầu và số
hạng cuối ?

Thế nào là dÃy vô hạn hÃy lấy ví
dụ về dÃy vô hạn ?

HÃy tìm số hạngtổng quát của
dÃy số sau ?

Tìm số hạng tổng quát cđa d·y
sè ?

H·y lÊy vÝ dơ d·y sè cho bằng
công thức ?

HÃy viết 4 số hạng đầu cña d·y ?

Thế nào là hệ thức truy hồi ? h
thc truy hi cú c im gỡ ?

10'

1) Định nghĩa dÃy số

a) dÃy hữu hạn

Cho M 



1 2 3; ; ;...;m



là tập các số tự nhiên
đầu tiên khác 0 Một hàm số u xác định trên tập
hợp M đợc gọi là một dãy số hữu hạn tập các
giá trị của dãy số hữu hạn kí hiệu

 

1 2 m

u u 1 u, u 2 ,....,u u m

Hay u u u1, , ,....,2 3 um Trong đó
1

u số hạng đầu

2

u số hạng thứ hai

………
m

u sè h¹ng thø m hay sè h¹ng ci
KÝ hiƯu d·y sè:



um



hay um

VÝ dơ 1: cho

 

un cã d¹ng triĨn khai 2 4 6 8 10, , , ,

lµ d·y cã 5 sè h¹ng cã u1 2 u; 5 10

VÝ dơ 2: Cho un có dạng triển khai 5, 7, 9 là

dãy có 3 số hạng trong đó u1 5 u; 3 9

b) DÃy vô hạn

Hm s u xỏc nh trờn tp hp N* gi l mt

dÃy vô hạn ( hay d·y sè )
d·y sè un viÕt u u u1, , ,...., ,....2 3 un

1

u số hạng đầu

2

u sè h¹ng thø hai

………
n

u sè h¹ng thứ n hay số hạng tổng quát
Ví dụ 1: cho un cã d¹ng triĨn khai

1 2 3 4 5, , , , ,...., ,....n

Số hạng tổng quát là un n

VÝ dô 2: cho d·y 2 3 4 5 n 1
2 3 4 n
, , , ,....,  ,...

Sè hạng tổng quát là un n 1
n

2) Cách cho dÃy sè 
a) B»ng c«ng thøc

VÝ dơ 1: un 1
n


vÝ dô 2: un 1 1

n

 
VÝ dô 3: un 2n 3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

H·y viÕt d·y sè díi d¹ng triĨn
khai ?

GV: nêu cách biểu diễn dÃy số ?

DÃy số gọi là tăng nếu thoả mÃn
điều kiện gì ?

DÃy số gọi là giảm nếu thoả mÃn
những điều kiện gì ?

Hóy ly ví dụ về dãy số khơng
đơn điệu ?

10'

Ví dụ: cho dãy

 

un với un là giá trị gần đúng

thiÕu cña sè  3 1415926535, ...

cã u1 3 1 u, ; 2 3 14 u, ; 3 3 141 u, ; 4 3 1415, ....

c) cho b»ng công thức truy hồi

- cho số hạng đầu ( vài số hạng đầu )

- cho h thc truy hi: là hệ thức biểu thị số
hạng thứ n qua số hạng ( vài số hạng )đứng trớc
nó

VÝ dơ1: cho d·y





1
n

n n 1
u 2
u

u u 3 n 2
:








  




Cã dang triÓn khai 2 5 8 11 14, , , , ,...

VÝ dô 2: cho d·y





1 2

n

n n 2 n 1
u 1 u 1
u

u u u n 3
,

:

Gọi là dÃy phibônaxi

3) Cách biểu diễn hình học dÃy số

- Biểu diễn hình học dÃy un 1
n

4) DÃy số tăng, dÃy số giảm
Định nghĩa:

DÃy số

un gọi là dÃy tăng nếu n N* thì
n n 1

u u 

Khi đó u1 u2 u3 ...un ...

D·y sè

 

un gọi là dÃy giảm nếu n N* thì
n n 1

u u 

Khi đó u1 u2 u3 ...un ...

Dãy số tăng và dãy số giảm gọi chung là dãy
đơn điệu

Chú ý: Không phải mọi dãy đều tăng hay giảm
Ví dụ1: un 5

VÝ dơ 2:





n 1
n

1
u

n 1






III. H íng dÉn häc ë nhµ( 2' )

- Ôn khái niệm dÃy số cách cho dÃy số dÃy tăng hay gi¶m
- Gi¶i bµi tËp 1, 2, 3, 4 trang 94 sgk

TiÕt 44

B. PhÇn thĨ hiƯn trªn líp

I. KiĨm tra bµi cị

Câu hỏi: HÃy viết 5 số hạng đầu của d·y sè sau un 2n 12
n



Đáp án: 1 3 5 7 9

4 9 16 25

, , , ,

II. Bµi míi

Từ định nghĩa dãy số tăng Hệ quả:


0

1
2
1
3
1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

( gi¶m) rót ra hƯ qu¶ ?

Có bao nhiêu cách chứng minh
dãy số n iu ?

HÃy lấy ví dụ về dÃy tăng và
chứng minh ?

HÃy lấy ví dụ về dÃy giảm và
chøng minh ?

Hãy quy đồng và rút gọn ?

ThÕ nµo là dÃy bị chặn trên ?
Thế nào là dÃy bị chặn dới ?
Thế nào là dÃy bị chặn ?

HÃy lấy ví dụ về dÃy bị chặn
d-ới ?

HÃy lấy ví dụ về dÃy bị chặn
trên ?

HÃy lẫy ví dụ về dÃy bị chặn ?

*) DÃy số

un tăng

n 1 n
n 1

n

u u 0

n N
u

1
u

*






  

 



*) D·y sè

 

un gi¶m





n 1 n
n 1

n

u u 0

n N
u

1
u

*




 




   




VÝ dơ 1 Cho d·y un 5n 1 lµ dÃy tăng
Thật vậy: un 1 5 n 1

1 nªn





n 1 n

u   u 5 n 1  1 5n 1 5n 5 1 5n 1     
n

5 0 u 5n 1

  là dÃy tăng
Ví dụ 2: Cho dÃy un n 1

n

là dÃy giảm
Thật vậy:







2 2

n 1 n

n 1 1 n 1 n 2n n 2n 1
u u

n 1 n n n 1



      

   

 





1

0 n N
n n 1

*

   

 vËy dÃy số là dÃy giảm

5) DÃy bị chặn
Định nghĩa:

+) DÃy số

un Gọi là bị chặn trªn nÕu
n N*

   sè M : un M

+) DÃy số

un Gọi là bị chỈn díi nÕu
n N*

   sè m : un m

+) D·y sè

 

un Gäi là bị chặn nếu
n N*

số M, m : m u n M

VÝ dô 1: un 5n 1 Víi n N un 6
*

  

n

u 5n 1

 là dÃy bị chặn dới bởi 6 không bị
chặn trên

Ví dụ 2: Cho un 2 n víi n N*
 

n n

u  1 u 2 n bị chặn trên bởi 1 không bị
chỈn díi

VÝ dơ 3: Cho d·y un 1
n

 víi n N*

   sè 0 vµ 1

sao cho 0 un 1 un 1
n

    là dÃy bị chặn
III. H ớng dẫn học ë nhµ

- Ôn các khái niệm dÃy số vô hạn hữu hạn cách cho dÃy số, khái niệm dÃy số
tăng dÃy số giảm dÃy bị chặn trên, bị chặn dới, và bị chặn

- Gi¶i bµi tËp 5, 6, 7 sgk trang 94 - 95

TiÕt 45 LuyÖn tËp

A. Phân chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Kỹ năng: Rèn kỹ năng viết dãy số dới dạng triển khai Tìm số hạng tổng quát
của dãy số xét tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

Gi¸o dơc: RÌn t duy kh¸i qu¸t, t duy lô gíc tính tự giác tính tích cực
trong häc to¸n

II. ChuÈn bÞ:

1) Thầy: sgk - bài soạn - đồ dùng dạy học
2) Trò: sgk - bài học - bài tập

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiĨm tra bµi cị ( 5' )

C©u hái: ViÕt 5 số hạng đầu của dÃy số un 2 3n2
n

Đáp án: u1 1 u2 1 u3 7 u4 10 u5 13

9 16 25

, , , ,

    

II. Bài mới

Nêu cách viết các sè h¹ng cđa d·y
sè ?

H·y viết 5 số hạng của dÃy số ?

HÃy nêu cách tìm số hạng bất kỳ của
dÃy số ?

Lu ý: Chỉ số n N*

Nên không có

n = 0 ?

Hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy số ?
Từ đó viết số hạng un ?

Nêu định nghĩa dãy số đơn điệu ?
Muốn xét tính đơn điệu của dãy số
có bao nhiêu cách hãy sử dng gii
bi tp 5 ?

HÃy tìm số hạng thứ un 1 vµ xÐt hiƯu

n 1 n
u   u ?

Nêu khái niệm dÃy bị chặn trên, dới
và bị chặn ?

Hóy ch ra s M, m theo nh định
nghĩa ?

5'
5'

10'

Bµi 1: a) 1 1 1 1 1

2 4 8 16 32, , , ,

b) 2 5 8 1 14
5 7 9, , , ,13

c) 2 4 6 8 10, , , ,

d) 0 1 2 3 4
2 3 4 5
, , , ,

Bµi 2

1 2 2n 2n 1

1 1

u 0 u u u 0

12 n

, , , 

   

Bµi 3
a) un 3n

b) un 5 n 1







2 hay un 5n 3

Bµi 4
Cho





1
n

n 1 n

u 3
u

u  2u n 1






 




Ta cã 1 2 3 4

5

u 3 u 2 3 u 2 2 3 u 2 2 2 3
u 2 2 2 2 3

, , , . . , . . .

. . . .

   


VËy un 2n 1 .3



Bµi 5

a) ta cã













n 1 n 2 2

2 2

2
2

1 1

u u

n 1
n 1 1

n 1 n 2n 2
n 1 n 1 1

   



 

   


 

  

 

n
2

2n 1

0 n N u
n 2n 2

*



    

  d·y gi¶m

n 1 n

n 1 n n 1 n

n n 1 n n n 1 n 1
n n 1

2 1 2 1
u u

2 2

2 2 2 2 2 2
2 2

. .

.


 

  



 

  

  







n

n n 1 n 1
2 2 1 1

0 n N
2 2 2

*

.  



     un lµ d·y

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Lu ý: d·y





n

1
u

n n 1



 n N

*
 

Cã tån tại số nào sao cho lớn hơn
hay nhỏ hơn un Kh«ng ?

n
n

1
u

2

 
  

  là dÃy không tăng không
giảm

Bài 6

a) un 2n 1 n N u, * n 1 un

   là dÃy bị

chặn dới không bị chặn trên
b)

n n n

1 1

u n N 0 u u

n n 1 2

*
,

   

là

dÃy bị chặn

c) un 3 2. 2n 1 , n N u* n 6 un

 là dới

không bị chặn trªn
d)

n

n n

1 1 1

u n N u

3 3 9

*
,

 

       
 

III. H íng dÉn häc ë nhµ ( 2' )

- Ôn khái niệm dãy số cách cho dãy số dãy số tăng, giảm, bị chặn
- Xem lại bài tập đã chữa

- Giải bài tập 7 sgk - trang 95

TiÕt 46 cấp số cộng

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

Kiến thức: Nắm đợc định nghĩa cấp số cộng số hạng tổng quát tính chất
và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Kỹ năng: Tìm số hạng thứ un tìm cơng sai d xác định cấp số tính tổng

cđa n sè h¹ng

Gi¸o dơc: RÌn t duy kh¸i qu¸t ho¸ tÝnh tù gi¸c trong häc to¸n
II. ChuÈn bÞ

1) ThÇy: sgk - bài soạn

2) trò: sgk - bài học - bài tập

B. Phần thể hiƯn trªn líp

I. KiĨm tra bµi cị ( 5')

C©u hái: Cho d·y un2n 1 h·y viÕt d·y sè díi d¹ng triĨn khai. H·y cho biÕt

Trong d·y un2n 1 các số hạng liền kề nhau có tính chất gì ?

Đáp án: un 1 3 5 7, , , ,....,2n 1 ,....

Đặt vấn đề: Trong dãy un kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng luôn bằng số hạng

đứng trớc nó cộng với một số khơng đổi dãy có tính chất nh vậy

gäi lµ cÊp sè céng vËy thÕ nµo lµ cÊp sè céng cÊp sè céng cã tÝnh chÊt
g× chóng ta nghiên cứu bài hôm nay

II. Bµi míi

Dãy số nói trên gọi là cấp số cộng
vậy em nào định nghĩa đợc cấp số
cộng ?

Trong

 

1 nếu biết hai trong ba
yếu tố ta tính đợc yếu tố cịn lại ?
Tính d un 1  un

Hãy lấy ví dụ về cấp số cộng ?
Hãy viết cấp số cộng đó dới dng

10' 1) Định nghĩa: ( ssgk )

un 1 und

 

1



n N



*


Trong

 

1 d gọi là công sai
Nếu d 0 u1 u2 ....un ...

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

triÓn khai ?

Trong vÝ dụ 1 số hạng tổng quát
của cấp số cộng lµ





n

u n, n N*
  

Vậy có cách nào để tìm số hạng
tổng quát của cấp số cộng hay
không ta sang phần 2)

Học sinh đọc định lí ?

GV: Trong

 

2 mn tÝnh sè h¹ng

n

u phải biết số hạng u1 và d
Dựa vào định nghĩa hãy chứng
minh

 

2 đứng với n = k+1 ?

Dựa vào cấp số đã cho hãy tính
cơng sai d sau đó tìm số hạng thứ
100 và số hạng thứ un ?

Học sinh đọc định lớ ?

HÃy viết tổng n số hạng đầu của
cấp sè céng ?

Hãy viết các số hạng dới dạng
tổng của u1 và d sau đó cộng vế
với vế ?

GV: vËy ta cã hai c«ng thcs tÝnh
tỉng cđa n số hạng đầu của cấp số
cộng ?

nếu biết u1 và d thì tính theo công

thức nào ?

Nếu biết số hạng đầu và số hạng
cuối thì tính bằng công thøc nµo ?

Cách đánh chng của đồng hồ
có là cấp sô scộng hay không ?

10'

1

u 1 d, 1

VÝ dô 2: Cho un cã 5 sè h¹ng víi u1 5 vµ

d 2 tìm cấp số đó và viết dới dạng triển

khai

Gi¶i

1 2 3 4 5

u 5 u,  7 u, 9 u, 11 u, 13
2) Số hạng tổng quát:

Định lÝ: ( sgk )

un u1



n 1 d



 

2 (n 2 )

Chứng minh
Với n 1 

 

2 đúng

Giả sử

 

2 đúng với n = k tức là





k 1

u u  k 1 d ta chứng minh

 

2 đúng với
n = k +1 tức là uk 1 u1



k 1 1 d 



u1 kd

ThËt vËy:





k 1 k 1 1

u  u d u  k 1 d  d u kd

Vậy

 

2 đúng với n N*


Ví dụ 3: Tính số lẻ thứ 100 và số lỴ thøc n cđa
cÊp sè céng 1 3 5 7, , , ,....

Gi¶i

Cấp số cộng đã cho có cơng sai d = 2 và





1 100 1

u  1 u u  100 1 d  1 99 2 199. 









n 1

u u n 1 d. 1 n 1 2 2n 1, N*

      

3) Tính chất các số hạng của cấp số cộng
 Định lí: ( sgk )

k 1 k 1





k

u u

u k 2

2 ,
  

 

C / m : (sgk )

4) Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho u u1, ,...., ,...2 un h·y tÝnh tæng Sn cđa n sè

hạng đầu của cấp số cộng đó
Giải

Gäi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

th× sn u1 u2....un

Ta cã





1 1

2 1

3 1

n 1

u u
u u d
u u 2d
u u n 1 d
...


 
 

  
Céng vÕ víi vÕ ta cã

















n 1

1 1

s nu 1 2 3 n 1 d
n 1 n n

nu d 2u n 1 d

2 2

...
.

 

       


 

      

Hay n 1



1







1 n



n n

s u u n 1 d u u

2  2

       

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

H·y t×m sè hạng u1 và d của cấp
số cộng là n số tự nhiên chẵn ?
( lẻ ) ?

12

s 1 2 3 12 1 12 78
2

...

       

VÝ dơ 5

Gäi s sc, l lµ tổng của n số chẵn đầu và n số lẻ

đầu thì

c

n

s 2 4 6 2n 2 2n n n 1
2

...

        









2

l

n

s 1 3 5 2n 1 1 2n 1 n
2

....  

           
III. H íng dÉn häc ë nhµ (2')

- Ôn lại khái niệm về cấp số cộng các tính chất các công thức tÝnh sè h¹ng
tỉng quát và tổng của n số hạng đầu

- Giải các bài tập 1đến 9 sgk trang 99 - 100

TiÕt 47-48 luyÖn tËp

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy:

Kiến thøc: Cđng cè kiÕn thøc vỊ cÊp sè céng c¸ch tìm công sai, tìm số hạng
cđa cÊp sè céng tÝnh tỉng n cđa cÊp sè céng

Kü năng: Rèn kỹ năng tính công sai, tính số hạng cđa cÊp sè céng, tÝnh tỉng cđa
n số hạng đầu của cấp số céng

Gi¸o dơc: RÌn t duy kh¸i qu¸t ho¸, rÌn tÝnh tù giac strong häc tËp
II. ChuÈn bị

1) Thầy: sgk - bài soạn

2) Trò: sgk - bài học - bài tập

Tiết 47

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiĨm tra bµi cò (5')

Câu hỏi: Hãy nêu định nghĩa cấp số cộng. Công thức số hạng tổng quát tính
chất

và công thức tính tổng của n số hạng ®Çu cđa cÊp sè céng

Đáp án: un 1 un d , un u1



n 1 d



(n 2 ) k k 1 k 1





u u

u k 2

2 ,
  

 

sn n 2u1



n 1 d



2 

     , sn n



u1 un



2

  (n 2 )
II. Bài mới

HÃy áp dụng công thức tổng
quát tính u17 vµ u10 ?

H·y tÝnh d theo u15 ?

TÝnh d bằng công thức nào ?

Tính hiệu un 1 un NÕu lµ mét

số khơng đổi thì dãy đã cho l

cp s cng ?

10'

5'
10'

Tìm các số hạng và công sai cđa cÊp sè céng
Bµi 1:

a) u17 u1 



17 1 4 1 16 4 65



  . 

b) u10  2 1 



10 1 1





 2



10 8 2

Bµi 2

Ta cã u15 u1 14d 43 d 43 1 3
14



     

Bµi 3

a) un 1  un 3 n 1







 7 3n 7   3 d lµ sè

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Nếu hiệu nói trên khơng là số
khơng đổi thì dãy đã cho khơng
là cấp số cộng ?

Hãy biến đổi hệ về dạng chỉ
chứa ẩn u1 v d ?

Câu b tơng tự câu a)

Nêu công thức tính tổng của n
số hạng đầu của cấp sè céng ?





n 1 n

3 n 1 2 3n 2
u u

5 5

3n 5 3n 2 3

5 5



  

  

  

 

là số không đổi nên un 3n 2
5

là cấp số cộng
có

công sai d = 3

5





2 2 2 2

n 1 n

u   u  n 1  n n 2n 1 n  2n 1

là số thay đổi theo n nên khơng là cơng sai nên

2
n

u n kh«ng lµ cÊp sè céng
Bµi 4



 



1 1

7 3

2 7 1 1

u 6d u 2d 8
u u 8

u u 75 u d u 6d 75

   


 

 



 

    

 

2 2 2

1 1 1 1

d 2 d 2

u 7 u d 6d 75 u 14u 51 0

 

 

 

   

     

 

 

1
1

u 3 d 2
u 17 d 2

,
,

 




 


b)

2 3 5 1 1 1

1 6 1 1

u u u 10 u d u 2d u 4d 10
u u 17 u u 5d 17

        

 



 

     



1 1 1

1

u 3d 10 u 3d 10 u 1

2u 5d 17 d 3 d 3

    

  

     

     


Bµi 5

a) 10





10 550

s 5 50 275

2 2

   

b) s10 10



2 1 9 4



190
2 . .

  

III. H íng dÉn häc ë nhµ (2')

- Ôn các công thức vÒ cÊp sè céng
- Giải bài tập6,7, 8, 9 trang99 - 100 sgk

Tiết 48

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiĨm tra bµi cị ( 10')

C©u hái: Giải phơng trình trên tập N* 1 4 7 ...x 92 biÕt x lµ mét sè

h¹ng cđa cÊp sè céng 1 4, ,....

Đáp án: x là số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1 và công sai bằng 3
v× vËy x 1 3 n 1 







3n 2

Ta cã 1 4 7



3n 2



92 1



3n 2



n 92

2

...   .

       

3n2 n 184 0 n 8 n 23
3
,

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

VËy x = 1+ 3.7 = 22 lµ nghiƯm của phơng trình

II. Bài mới

Nêu công thc stính tổng ?

HÃy lập hệ cha hai số hạng u1 và

11
u ?

HÃy giải hệ ?

Gọi 4số phải tìm là

x 3r x r x r x 3r ,  ,  ,  hãy tính
cơng sai của cấp số cộng đó ?
Hãy biến đổi hệ phơng trình tìm x
?

Vậy 4 số phải tìm là bao nhiêu ?
Hàng thứ nhất có mấy cây ?
Hàng thứ hai có mấy cây ?
Hàng thứ x có mấy cây ?
Tổng của x hàng cây đợc tính
nh th no ?

10'

Bài 6

Gọi số đo ba góc là u u u1, ,2 3 ta cã

0 0

1 2 3 1 1 1

u u u 180  u u d u 2d 180

0 0 0

1 1 2 3

3u 3d 180 u d 60 u u, 90

       

0 0 0 0

2 1 1

u u d 60 u 60 30 30

       

Bµi 7





11 1 11

11 1

11 1
1 11

11 1

11

s 176 u u 176

2

u u 30 u u 30
176 2

u u

11
u u 30

.




   



 

 

   




 



 

  



1 1 1

11 1 11 1

176 2 176 2

u 30 u 2u 30

11 11

u u 30 u u 30

. .

 

    

 

   

     

 

1
1

1 1

11 1
1

176 u 176 165 10

u 15

11

u 10d u 30
u u 30

u 10
d 3



  



 



   

 

Bài 8

Gọi 4số phải tìm làx 3r x r x r x 3r ,  ,  ,  cã
c«ng sai d = 2r. Ta cã hÖ



 







2





2





2





2

x 3r x r x r x 3r 22
x 3r x r x r x 3r 166

        




       




2 2

4 x 22 x 5 5
r 1 5
4 x 20r 166

,
,



  

   



  



 4 sè ph¶i tìm là 1, 4, 7, 10
Bài 9

Gäi x ( x N*

) là số hàng cây

hàng thứ 1: 1 cây
hàng thứ 2: 2 cây

hàng thứ x: x cây

Tổng x hàng có sx 1 2 3 .... x3003





2

x x 1

3003 x x 6006 0
2



    

III. H íng dÉn häc ë nhµ (2')

- Ôn lại liến thức về cấp số cộng
- Xem các bài tập đã chữa

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

TiÕt 49 - 50 Ôn tập học kỳ I

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

KiÕn thức: Củng cố và hệ thống lại kiến thức cả học kỳ hệ thống lại các dạng
bµi tËp

Kỹ năng: Rèn kỹ năng giải các dạng bài tập về phơng trình và bất phơng
trình lợng giác

Gi¸o dơc: RÌn t duy lô gíc t duy khái quát hoá Tính tù gi¸c tÝnh tÝch cùc
trong häc to¸n

II. ChuÈn bị

1) Thầy: sgk - bài soạn
2) Trò: sgk - bài học bài tập

TiÕt 49

B. PhÇn thĨ hiƯn trªn líp

I. KiĨm tra bài cũ ( kết hợp khi ôn )
II. Bµi míi

Nêu lại các cụng thc lng giỏc
ó hc ?

Nêu các phơng trình lợng giác

Cơ bản ? Công thức nghiệm và điều
kiện tån t¹i nghiƯm ?

Nêu các phơng trình lợng giác
thờng gặp ? Các phơng pháp
giải các loại phơng trình đó ?
Hãy cho biết có các dạng bài tập
nào trong chơng ? Cách giải các
bài tập đó ?

Th«ng thêng ngời ta giải phơng
trình lợng giác không mẫu mực
nh thế nào ?

Khi giải phơng trình không mẫu
mực cần chú ý những điều kiện
gì ?

Nêu cách giải hệ phơng trình
một ẩn và hệ phơng trình 2 ẩn ?

10'

20'

13'

A. Lí thuyết

1. Các hàm lợng giác công thức lợng giác
2. Phơng trình lợng giác hệ phơng trình lợng
giác

B. Các dạng bài tập

Dng 1: Chứng minh đẳng thức lợng giác

D¹ng 2: Rót gọn, tính giá trị biểu thức lợng
giác

Dạng 3: Chứng minh các biểu thức không
phụ thuộc vào x

Dạng 4: giải các phơng trình lợng giác cơ
bản các phơng trình lợng giác mẫu mực

f x a Trong đó f x

 

sinx( hoặc

x tgx gx

cos , ,cot )

 

af x b 0

 

2

af x bf x c 0



2 2 2



asinx b cosx c a , b c

2 2

asin x b sin cosx x c .cos x 0





a sinxcosx bsin cosx x c

Dạng 5: giải phơng trình lợng giác không
mẫu mùc

Sử dụng các hằng đẳng thức lợng giác các
công thức lợng giác biến đổi đại số và biến
đổi lợng giác để đa phơng trình lợng giác
khơng mẫu mực về dạng mẫu mực để giải
Chú ý: Điều kiện tồn tại nghiệm của các

ph-ơng trình nói trên để khi gặp bài tốn có
chứa tham số phi bin lun

Dạng 6: Giải hệ phơng trình
- HÖ bËc nhÊt mét Èn

cách 1: Giải một phơng trình tìm nghiệm thế
nghiệm tìm đợc vào phơng trình thứ hai
+ Nếu thoả mãn là nghiệm của hệ
+ Nếu không thoả mãn không là
nghiệm của hệ

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Biến đổi hệ lợng giác về hệ đại số để giải
bằng cách sử dụng các cơng thức lợnggiác

B. Bµi tËp

Xem lại các bài tập đã chữa và giải lại các
bài tập ôn chơng

III. H íng dÉn häc ë nhµ (2')

- Ôn lại các công thức lợng giác các phơng trình lợng giác và cách giải
Cách giải hệ phơng trình

- Xem lại các bài tập đã chữa

TiÕt 50
A. ChuÈn bÞ

I. Yêu cầu bài dạy

Kiến thức: Củng cố kiến thức về hàm lợng giác phơng trình lợng giác
Kỹ năng: Rèn kỹ biến đổi lợng giác và giải phơng trình lợng giác
giáo dục: Rèn t duy lơ gíc t duy khái qt tính tự giác trong học tốn
II. Chun b

1) Thầy: sgk bài soạn

2) Trò: sgk bài học bài tập
B. Phần thĨ hiƯn trªn líp

I. KiĨm tra bµi cị

Câu hỏi : Giải phơng trình: sinxsin3xsin5 x 0

Đáp án: Phơng trình 3 x 2 3x 2 x 0 2 3x 1 2 x 0
2

sin  sin .cos   sin  cos 

 

k
3 x 0 x

3
1

2 x 0

x k

2

3
sin

cos







 



Phơng trình thuộc dạng nào

nêu cách giải?

Tìm điều kiện cho t ?

Giải phơng trình với t = 1 ?

Thế m vào và giải phơng trình
?

Bài 1: Giải phơng trình

2 sinxcosx 6sin .cosx x 2 0

đặt sin cos 2 sin
4

t x x x

 

§iỊu kiƯn t  2 ta cã

2 1

sin .cos

t

x x 

Phơng trình đã cho thành

2 1

2 6 2 0

t

t   

3t 2t 5 0

   

1
5
3

t
t






 


Víi 1 sin cos 1 2 sin 1

t  x x  x 

 

sin sin

4 4

x  

 

   

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

sin cos

2 sin , 2

t x x

x  t



thay vào
và giải ?

S dụngcơng thức nhân ba
biến đổi đa phơng trình về
dạng tích ?

đặt 2 cos 2x làm nhân tử ?

4 4

x k

 


 



  


 

    






2
2
2

x k

k Z

x k










 



Bài 2

Giải phơng trình

sin 2x2 2m sinxcosx 1 4m0
a) Giải phơng trình khi m = 1

b) Giải và biện luận phơng trình theo m
Giải

a) Khi m = 1 phơng trình có dạng

sin 2x2 2 sinx cosx 3 0

Đặt sin cos 2 sin , 2

t  x x x   t 

 

Khi đó sin 2x 1 t2

phơng trình trở thành

1 t 2 2t 3 0  t2 2 2t 2 0



t 2



2 0 t 2

     (nhËn )

2 2 sin 2

t  x  

 





sin 1 2 ,

4 4

x  x  k  k Z

 

       

 

Bµi 2

b) 3 2 sin .sinx 3x 3 cos2 x







3



3 1 cos2 x 2sinx 3sinx 4sin x 0

    

2 2 4

6sin x 6sin x 8sin x 0

   





2

2 2

2
x 0

4 x 3 2 x 0 3

x
2
sin

sin sin

sin

 



   

 



x 0 x k

sin 

    ,



k Z



VËy nghiệm của phơng trình là x k ,

k Z

,
Phơng trình

2 x 3
2

sin vô nghiệm

c) 2sin cosx 2 x 1 2  cos2 x sinx 0



 



2cos2 x sinx 1 sinx 1 0

    



sinx 1 2

 

cos2 x 1



0

   

x 1
1
2 x

2
sin

cos







 



x k2

2

x k

6









 


 

  


III. Híng dÉn häc ë nhµ

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

cÊp sè céng d·y sè

- giải bài tập và xem các bài tập đã chữa

TiÕt 51 KiÓm tra häc kú I

A. ChuÈn bị

I. Yêu cầu bài d¹y

- Kiểm tra nhằm đánh giá chất lợng nắm kiến thức của học sinh
- Rèn tính tự giác tích cực tính trung thực trong học toán

I. Chuẩn bị

1) Thầy: sgk - bài soạn

2) Trò: sgk - bài học - bài tập

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiÓm tra

Đề bài

Bài 1: ( 2 ®iĨm ) Tr¾c nghiƯm

Cho hÖ x y 3

x y 3

cos cos




 




  



Khẳng định sau khẳng định nào đúng ?

x k2

6 k Z

y k2

6

( )









 







  








x k2

6 k Z

y k2

6









 







  








x k2

2 k Z

y k2
6









 







  




Bµi 2 ( 4 điểm )

Giải các phơng tr×nh sau
a) 2cos2 x 3cosx 5 0

  

b) sin2 sin

x 2 x

4

Bài 3 ( 1 điểm )

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
cos2 x cosx m 1 0

  

Bài 4 ( 3 điểm )

Cho h×nh chãp S ABCD. Đáy là hình thoi tâm O ; SA = SC ; SB = SD
a) Chøng minh r»ng: SO



ABCD



b) Gäi M, N là trung điểm AD và AB. Tìm thiết diện của

 

 ®i qua M, N
vµ

  

 // SBD

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Đáp án biểu điểm

câu 1 : Đúng là câu a) (2® )
c©u 2 :

a) 2cos2x 3cosx 5 0, *

 

 Đặt cosx = t điều kiên t 1 ta cã (*) (2® )

1
2

2 3 5 0

t

t t

t



     




víi t1 1 cosx 1 x2k

b) sin2 2 sin 1 cos 2 2 sin

4 2

x

x  x  x

 

   

 

   1 cos 2x2 2 sinx (2® )

2 2

1 cos x sin x 2 2 sinx

     2sin2 x2 2 sinx 0 2sinx



sinx 2



0





sin 0

2sin sin 2 0

sin 2

x

x x

x




    



 2

k

x 

  vËy nghiƯm cđa pt lµ

k

x 

c©u 3 :

a) ta cã SA SC  SAC cân tại S SOAC , 1

tơng tù SOBC, 2

 

(2® )
tõ (1) và (2)SO

ABCD

B) Trên SA lấy điểm P sao cho PS = PA và theo giả thiết M, N là
trung ®iĨm cđa AD, AB

//
//
//

MN BD
MP SB
NP SD



 





MNP

 

// SBD

theo trên

S ABCD.
tại M, N, P Vậy thiết diện tạo thành giữa

vµ



S ABCD.



TiÕt 52 Cấp số nhân

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

cách tìm công bội q và tìm các số hạng của cấp số nh©n
Kỹ năng: Tìm công bội q và tìm các số hạng của cấp số nhân

Giáo dục: Rèn tính tự giác tính tích cực trong học tốn thơng qua các câu hỏi
vấn đáp học sinh

II. ChuÈn bÞ

1) Thầy: sgk - bài soạn - đồ dùng dạy học
2) Trò: sgk - bài học bài tập

B. Phần thể hiện trên lớp

I. Kiểm tra bài cũ: Kết hơpự khi giảng
Đặt vấn đề

Cho d·y số

un có các số hạng 1 2 4 8, , , ,....,2n 1 ,....

Em cã nhËn xÐt g× vỊ các số hạng của dÃy số trên ?

Trong dãy số trên kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng luôn là tích của số hạng
đứng trớc với số 2 Dãy số có tính chất trên gọi là cấp số nhân Vậy thế nào là cấp
số nhân ta xét bài hôm nay

II. Bµi míi

Nếu q = 0 ta có cấp số
nhân có dạng nh thế nào ?
Nếu q = 1 thì cấp số nhân
có dạng nh thế nào ?
Từ định nghĩa có thể tính
đợc cơng bội q nếu lấy số
hạng đứng sau trừ số hạng
đứng trớc ?

H·y lÊy vÝ dô vỊ cÊp sè
nh©n?

Cho cấp số nhân có số
hạng đầu u1 và công bội q
làm thế nào tính đợc số
hạng bất kỳ của cấp số
nhân ?

Học sịnh đọc định lí ?
Ta chứng minh (2) bằng
quy nạp vậy nêu các bớc
chứng minh bằng quy
nạp ?

H·y chøng minh (2) b»ng
quy n¹p ?

áp dụng tìm u5 biết u1 và d
?

GV: u uk 1 k 1 Gọi là trung
10'

10'

1) Định nghÜa: ( sgk )

Từ định nghĩa ta có un 1 u qn.



n 1 2 , ,...



Trong đó q là cụng bi

Nếu q 0 thì cấp số nhân cã d¹ng u 0 01, , ,...., ,....0

NÕu q 1 thì cấp số nhân có dạng 0 0, ,..., ,...0

KÝ hiƯu cÊp sè nh©n:

VÝ dơ 1: Cho cÊp sè nh©n 1, 2, 4, 8, …., 2n 1 ,…

Cã công bội q2

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân 1 1 1 1 1n

3 9 27 81, , , ,....,3 ,...

Cã c«ng béi q 1
3



VÝ dơ 3: cho cÊp sè nhân 1 1 1 1n

2 4 8, , ,....,2

Có công bội q 1

2

2) Số hạng tổng quát

Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q 0

thì số hạng un là số hạng tổng quát
Định lÝ: sgk

un u q1 n 1





q 0 n 2 , 



 

2

Chøng minh

Víi 1 1 0

1 1 1 1

n 1 u u q  u q u

     vậy (2) đúng với

n = 1

Giả sử (2) đúng với n k 1 tức uk u q1 k 1 ta chứng
minh (2) đúng với n k 1  tức uk 1 u q1 k

ThËt vËy: uk 1 u q u qk 1 k 1 .q u q1 k

   

VÝ dơ 1: T×m u5 biÕt u1 1 q 1
3
,

 

Gi¶i

4
5

1 1

u 1

3 81
.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

bình nhân của hai số liền
kề với uk?

áp dụng công thức tổng

quát hÃy viết số hạng thứ

k 1

u vµ uk 1 tÝnh u uk 1 k 1 

H·y nh©n hai vÕ cđa (*)
víi q ?

H·y lÊy (**) trõ (*) ?

H·y tÝnh tæng trong ví dụ 1
?

HÃy tìm công bội q ?

HÃy tính tổng trên ?

Định lí: ( sgk )

uk  u uk 1 k 1 



k2



Chøng minh

Ta cã  





k 2

2

k 1 1 2 2 k 1 k 1

k 1 k 1 1 1

k
k 1 1
u u q

u u u q u q
u u q



  

 




 

  


 

Hay u uk 1 k 1  uk2  uk  u uk 1 k 1 

4) Tỉng n sè h¹ng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân với c«ng béi q 1

1 2 n

u u, ,...., ,....u

H·y tÝnh Sn u1u2 ....un

Định lí

n

n 1

q 1
s u

q 1








q 1 n 2 , 



Chøng minh

Sn u1 u2....un (*)

 qSn u q u q1  2 ....u q u qn 1  n

Hay qSn u2u3 ....unu qn (**)

Tõ (*) vµ (**) suy ra



n 1



n n n 1 1 1

qs s u q u u q  q u

    

Hay





n



n



n 1 1 1

q 1 S u q  u u q  1

V×

n

n 1

q 1

q 0 S u

q 1



  



VÝ dô 1: 1 2 22 2n 2n 1 1 2n 1 1
2 1

....





      


VÝ dô 2:

n

n 1 1 1 n

1 1 1 2 2 1

1 1

1

2 4 2 1 3 2

2
....



 

 

   

     

            
       

III. H íng dÉn häc ë nhµ(2')

- Ôn lại khái niệm tính chất công thức tổng quát công thức tính tổng
- Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5 Sgk trang 104

TiÕt 53 - 54 luyện tập

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

KiÕn thøc: Cđng cè kh¸i niƯm tÝnh chÊt cđa cÊp sè céng Cđng cè c¸ch tÝnh
công bội q và tính các số hạng của cấp số nhân và tính tỉng n sè
h¹ng đầu của cấp số nhân

Kỹ năng: Rèn kỹ năng tính công bội q tính các số hạng của cấp số nh©n

Giáo dục: Rèn t duy khái qt hố t duy lơ gíc thơng qua câu hỏi vấn đáp của
giáo viên

II. ChuÈn bÞ

1) Thầy: sgk - bài soạn

2) Trò: sgk - bài học - bµi tËp

TiÕt 53

B. Phần thể hiện trên lớp

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

C©u hái: Cho cÊp số nhân 3 1 3 , 3,.... Tìm u9 ?

Đáp án: Ta có q 3 3 



3 1



2

Ta cã 8 8

9 1

u u q ( 3 1 2 )

II. Bài mới

Nêu công thức số hạng
tổng quát ?

HÃy tính q và u1 ?

HÃy viết sè h¹ng thø u11

từ đó tính q ?

GV: H·y biĨu diễn hệ
trên theo u1 và q ?

HÃy rút u1 thế vào phơng

trình 2 ? hÃy giải hệ tính

1

u và q ?

HÃy đa hệ về dạng chỉ
chứa u1 và q ?

HÃy giải hệ tìm u1 và q ?

Nêu công thức tính số
hạng tổng quát ?

HÃy tính u5 theo u1 vµ

q ?

H·y tÝnh u6 theo u1 vµ

q ?

Nêu công thức tính
tổng ?
10'
15'
7'
7'
Bài 1

b) 10





10 11

11 1

u u q 2. 2 2
Bµi 2:

11 1 10 10 11
1
u 64

u u q q 32 q 2

u 2
      
Bµi 3
a)









2
3
1

4 2 1 1

4 2 2 2

5 3 1 1 1

u q q 1 72
u u 72 u q u q 72

u u 114 u q. u q 114 u q q 1 144

  


   
  
 
  
      
  

















1 2
1 2
2 2
2
72
u 72

q q 1 u

q q 1
72

q q 1 114 72q 144
q q 1 .


 
 

 


   
   


 






1 2 1

72

u u 12

q q 1

q 2
q 2

  


   





b)
2 4

1 3 5 1 1 1

6

1 7 1 1

u u u 65 u u q u q 65
u u 325 u u q 325


     
 

 
    
 















 



2 4 2 4

1 1

6 2 2 4

1 1

u 1 q q 65 u 1 q q 65

u 1 q 325 u 1 q 1 q q 325

       
 
   
     
 
 



 



1 2 4

2 2 4

2 4

65
u

1 q q
65

1 q 1 q q 325
1 q q .



  


 
    
  










1 2 4

2

65

u u

1 q q 1 q q

325

q 2

1 q 5

65

 

   
 
 
   
 

   


1
u 5
q 2


 


Bµi 4

a) 5 1 4 4 5

1

u 243

u u q q 81

u 3

      q3

Víi q 3  u2 9 u, 3 27 u, 4 81

Víi q3 u2 9 u, 3 27 u, 4 81

b) 6 1 5 5 6

1

u 1 1

u u q q q

u 243 3

     

VËy u2 243 1 81 u3 243 1 27 u4 243 1 9

3 9 27

. , . , .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

5

1
u 243 3

81
.

 

Bµi 5

4 4

5 1

u u q 2 3. 2 81 162. 

5 5

5 1

q 1 3 1 242

S u 2 2 242

q 1 . 3 1 . 2

 

   

 

III. H íng dÉn häc ë nhµ (1')

- Ôn lại khái niệm cấp số nhân công thức tính các số hạng của cấp số nhân

tÝnh q tÝnh tæng

- Giải bài tËp 6, 7, 8 sgk trang 104

Tiết 54

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiĨm tra bµi cị (5')

Câu hỏi: Một cấp số nhân có 5 số hạng. Tìm số hạng cuối và tổng 5 số hạng đó
Biết u1 1 và q 1

2



Đáp án:

4
4

5 1

1 1

u u q 1

2 16
. 

    
 

vµ

5
5

5 1

1 31

1

q 1 2 32 31

S u 1

1 1

q 1 1 16

2 2

.

 

 

 

  

   



 

II. Bài mới

HÃy nêu công thc số hạng
tổng quát ?

Tính u9 theo u1 và q ?

Nêu công thức tính tổng của
9 số hạng ?

HÃy tính S9 ?

Từ giả thiÕt u4 9u2 h·y tÝnh
q ?

Thế q tìm đợc vào tớnh

1
u ?

HÃy tính số đo của 4 góc ?

HÃy nêu công thức dtính thể
tích của hình hộp chữ nhật ?

4 số hạng đó có dạng nh thế
nào ?

10'

15'

13'

Bµi 6

8 8 9

9 1

1

u 1280

u u q q 256

u 5

      q2

Víi q 2 S9 855 víi q2 S9 2555

Bµi 7

Gọi bốn góc ú l u u u u1, ,2 3 4

Theo đầu bµi ta cã



2 3



0

1

1 2 3 4

3

4 2 1 1

4u 1 q q q 360
u u u u 360

u 9u u q 9u q

    

    

 



 



 

 

2 3 0

1

u 1 q q q 360
q 3

( )

    








Víi 0 0 0

1

360 360

q 3 u 9

1 3 9 27 40

    

  

VËy c¸c góc phải tìm là 9 27 81 2430, 0, 0, 0
Bài 8

Gọi q là công bội ta có V a3

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Nêu công thức tính Stp của

hình hộp ch÷ nhËt ?

Điều kiện để q tồn tại là gì ?

cấp số nhân là a a aq

q, , ta cã





2

2 2 2

tp
2a

S 2a q 2a 2ma m 0
q

    

Hay 1 q 1 m q2



m 1 q 1 0



q        (1)

Điều kiện để q tồn tại là



m 1



2 4



m 1 m 3

 



0

       

Vì m 0 nên m 3 khi đó (1) có hai nghiệm

nghịch đảo nhau vì tích của chúng bằng 1 và có hai
cấp số nhân chỉ khác nhau về thứ tự các số hạng
Đaqực biệt với m = 3 ta có q1 q2 1 vậy ta đợc

h×nh lập phơng cạnh a

III. H ớng dẫn học ở nhà (2')

- Ôn lại khái niệm cấp số nhân cách tính công bội q tính các số hạng của cấp
số nhân tính tổng các số hạng của cấp số nhân

- Xem lại các bài tập đã chữa

- Ôn kiến thức chơng III các dạng bài tập trong chơng và cách giải

TiÕt 55 - 56 ôn tập chơng III

A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy

KiÕn thøc: Cđng cè hƯ thèng hoá kiến thức trọng tâm của toàn chơng
Các dạng bài tập cách gi¶i

Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh quy nạp xét tính đơn điệu, tính bị chặn
của dãy số tìm cơng sai cơng bội của cấp số cộng và cấp số nhân
tính các số hạng tính tổng của cấp số cộng và nhân

Giáo dục: Rèn t duy lô gíc t duy kh¸i qu¸t ho¸ tÝnh tù gi¸c tÝnh tÝch cùc
trong häc to¸n

II. ChuÈn bÞ

1) Thầy: sgk - bài soạn

2) Trò: sgk - bµi häc - bµi tËp

Tiết 55

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiĨm tra bµi cũ: Kết hợp khi ôn tập

II. Bài mới

Nêu các bớc chứng minh quy
nạp ?

Nêu khái niệm về dÃy số hữu
hạn dÃy vô hạn ?

Có bao nhiêu cách chứng minh
dÃy số tăng dÃy số giảm ?
Thế nào là dÃy bị chặn ?

10'

A. Lí thuyết

1) Chứng minh quy n¹p

Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề với n = 0
( Hoặc với n = p )

Bớc 2: Giả sử mệnh đề đứng với n = k 0

( Hoặc với n k p ). Ta chứng minh mệnh đề
đúng với n = k + 1

2) D·y sè

- DÃy hữu hạn dÃy vô hạn

- Cách cho dÃy số cách biểu diễn hình học dÃy
số

- DÃy số tăng ( giảm )
- DÃy số bị chỈn

3) CÊp sè céng 
n 1 n

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Nêu định nghĩa các tính chất
của cấp số cộng ?

Nêu định nghĩa tính chất của
cấp số nhân ?

GV: Lu ý tÝnh chÊt tÝch hai sè
nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2
GV: Mét sè chia hÕt cho 6 thì
phải chia hết cho 2 và 3 ?

HÃy xét hiÖu un 1  un ?

H·y chøng minh d·y sè bị chặn
dới không bị chặn trên ?

HÃy chứng minh 1

n

sin > 0 ?

H·y chøng minh d·y sè bÞ
chặn ?

HÃy đa hệ về dạng chứa u và
d ?

Hãy đa hệ về dạng cha u1 và d
biến đổi và thế u1 vào phơng
trình 2 để tìm d ?





n 1

u u  n 1 d



n 2



k 1 k 1
k

u u
u

2
  

 (k 2)

n 1 n 1

n n

S u u 2u n 1 d

2( ) 2 ( )

n 1 n

u  u q. (n N*)

n 1

n 1

u u q. 

 (n 2 )

k k 1 k 1

u  u u  (k2)

n

n 1

q 1
S u

q 1

. 



 (q 1 n 2 ,  )

B. Bµi tËp 
Bµi 1

Kiểm tra với n 1  u1 1311 1 12 6.  

Vậy biểu thức đúng với n = 1

Giả sử biểu thức đúng với n k 1 tức
3

k

u k 11k 6

Ta chứng minh biểu thức đúng với





3





k 1

n k 1   u   k 1 11 k 1 6 
ThËt vËy: uk 1 



k 1



311 k 1











3 2

3

k 3k 3k 1 11k 11
k 11k 3k k 1 12 6

     

     

V× k3 11k 6

  theo gi¶ thiÕt





3k k 1 2  và 3 ( hai số nguyên liên tiếp chia
hết cho 2 )

Bµi 2





2 2

n 1 n

n 1 1 n 1
u u

n 1 n



  

  



1 1

n 1 n 0

n 1 n

  

2
n

n 1
u

n

là dÃy số

tăng

n
n N* u 2

nên dÃy un bị chặn dới bởi 2

không bị chặn trên

b) Ta cã 1 1 n N 0 1

n 2 n 2

* sin sin

 

      

n
1

0 1 u 0

n
sin

    với n chẵn và un 0 với

n lỴ

VËy d·y sè n





n 1

1

u 1

n
sin


 không tăng không

giảm và 1



1



n 1 1 1
n
sin


   

Bµi 3

a) 5 1 1

9 1

u 19 u 4d 19 u 4d 19
u 35 u 8d 35 d 4

    

  

 

  

    

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

HÃy giải hệ tìm u1 và d ?

Từ giả thiết đã cho hãy lập hệ
và giải tỡm u v d ?

HÃy tìm các số hạng của cÊp sè
céng ?

1
u 3
d 4



 



b)









1 1

7 15

2 2

4 12 1 1

u 6d u 14d 60
u u 60

u u 1170 u 3d u 11d 1170

   



 



 



 

     

 

 

1

2 2 2 2

1 1 1 1

u 30 10d

u 6u d 9d u 22u d 121d 1170

 



 

     




1

2 2

1 1

u 30 10d

u 14u d 65d 585

 



 

  












1

2 2

u 30 10d

30 10d 14d 30 10d 65d 585
 



 

    




1
1

2

u 30 10d
u 30 10d

21
d 3 d
25d 36d 315 0

5

 


 

   

  

  



 



1
1

u 0 d 3
21
u 12 d

5
,

,

 



 

 




Bµi 4

Gọi 5 số đó là u 2d u d u u d u 2d ,  , ,  , 

Theo gi¶ thiÕt ta cã



 



u 2d u d u u d u 2d 5
u 2d u d u u d u 2d 45

        





    






2

 

2



4 2

u 1 u 1

1 4d 1 d 45 4d 5d 44 0



  



   

  

u 1
d 2

Vậy các số hạng cđa cÊp sè céng lµ

3 1 1 3 5, , , ,

 

5 3 2 1 3, , , ,

  

III. H íng dÉn häc ë nhà (2')

- Xem lại các bài tập đã chữa

- Giải bài tập 6, 7, 8, 9 sgk trang 105
Tiết 56

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiĨm tra bµi cị (5')

câu hỏi: Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
5

9
u 96
u 129





</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Đáp án:

4 1 4 1 4

1 4

5 1

8

9 1 4 4

4

96 96

u u u 96

u 96 u q 96 q q q

u 192 u q 192 96 q 192 192

q q 2

q . 96

  


  

 

    
   
    
  
       

 

u1 448

q 2








II. Bài mới

HÃy đa hệ về dạng chỉ chứa u1

và d giải hệ tìm u1 và d ?

Từ giả thiết của đầu bài hÃy lập
hệ chứa u1 và d giải hệ tìm u1

và d ?

Nhc li nh lớ hm s cụsin ?

Gọi ba cạnh tam giác là a , aq
, aq2 H·y tÝnh cosB=?

Hãy sử dụng bất đẳng thức côsi
lập luận cho B 1

2

cos  ? từ đó
suy ra góc B ?

Tõ gi¶ thiÕt hÃy lập hệ phơng
trình chứa u1 ?

10'
10'
8'
10'
Bài 6
b)
2 4

3 5 1 1

5

2 6 1 1

u u 90 u q u q 90
u u 240 u q u q 240

.

   
 

 
    
 









2 2
1
4
1

u q 1 q 90
u q 1 q 240

  

 
 






 



2

2
1
2 2
1
90
1 q
u q

u q 1 q 1 q 240


 


   






2
2
1
2
1 2
1
90
1 q
u q
90

u q 1 q 240
u q

.

 



  



2
2
1
2
90
1 q
u q
90 90q 240q


 


  

2
2
1
2
90

1 q
u q
3q 8q 3 0


 


   


2
1
1
1
q 3

90 u 1

1 q

u q

1

1 q

q 3 q 3

3

u 729
 




  

 

 


    

 
 

Bài 7

theo đầu bài ta có

1

1 1

2 2

1 2

u u 4q u 4q

q
4

4q 4q 24 q q 6 0
u u 24


 
 

  
 
  
    
 
 
  

1 1

u 12 u 8
q 3 q 2

  




  


VËy cã hai cÊp số nhân 8 16 32 64 124, , , ,

Gọi ba cạnh tam giác là a , aq , aq2 Không

mất tính tổng quát giả sử là ba cạnh ứng với các
góc A, B, C

VËy ta cã













2 2

2 2 4 2

2
2

a aq aq 1 q q
B

2q

2a aq

cos      

2
2

1 q 1
2q 2 2

   V×

2 2

1 q 1 q

2 1

2q  2  2q . 2 
0

1 1

B 1 B 60

2 2
cos

Vì giả thiết a aq nên góc tơnng ứng nhỏ hơn

Vậy A 600

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

HÃy khử d trong phơng trình
(2) và (3) ?

HÃy giải phơng trình tìm q ?

Thế q tìm đợc tính các số
hạng ?

Bµi 9

Gäi u u u u1, , ,2 3 4 lµ 4 số hạng đầu của cấp số nhân

vói công bội q Gọi

vn là cấp số cộng tơng ứng

với công sai d. Theo giả thiết ta có

2

1 2 3 1 1 1

1 1 1 1

2

2 4 1 1 1

3 8 1

4 4

u u u 16 u u q u q 16

9 9

u v u q u 3d

u v v 3d u q u 7d
u v v 7d

 

     

 

 

  

 

    

 

 

   




Khử d từ (2) và (3) ta đợc



2



1

u 3q  7q 4 0 4,( )do (1) nªn u1 0 v× vËy
2

q 1
4 3q 7q 4 0 4

q
3
( )





     




Với q 1 thay vào (1) ta đợc

1 1 2 3 4

4 148

3u 16 u u u u

9 27

     

Víi q 4
3

 Thay vào (1) ta đợc u1 4 u2 16

3

  

vµ u3 64 u4 257
9 , 27

 

III. H íng dÉn häc ë nhµ (2')

- Ôn tập và hệ thông lại kiến thức của toàn chơng
- Đọc trớc bài giới hạn của dÃy sè

Ch¬ng IV Giíi h¹n

TiÕt 57 - 58 Giíi h¹n cđa d·y số

A. Phần chuẩn bị

I. yêu cầu bài dạy

Kiến thức: Nắm đợc định nghĩa giới hạn của dãy số biết cách tính giới hạn
của dãy số bằng định nghĩa Nắm đợc các định lí về giới hạn của
dãy số, cơng thức tính tổng của cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q với
q 1 định nghĩa số e dãy số dần tới vô cực biết vận dụng các tính

chất các cơng thức đã học vào việc tính giới hạn của dãy số
Kỹ năng: Rèn kỹ năng tính giới hạn của dãy số

Gi¸o dơc: tÝnh tù gi¸c tính tích cực trong học toán thông qua các câu hái cđa
gi¸o viên

II. Chuẩn bị

1) Thầy: sgk - bài soạn

2) trß: sgk - bài học - bài tâp

B. Phần thể hiện trên lớp

I. KiĨm tra bµi cị (5')

C©u hái: hÃy lấy ví dụ về dÃy số bị chặn cho dới dạng công thức
Đáp án: un n 1

n

tìm 5 số hạng đầu của dÃy số và biểu diễn trªn trơc sè

II. Bµi míi

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

H·y cho biÕt nÕu n càng lớn
thì khoảng cách từ un tới 1
nh thÕ nµo ?

NÕu muèn un 1 1
100

  thì n
phải lớn hơn số nào ?

Nếu muốn un 1 17
10

thì n

phải lớn hơn số nào ?

GV: Nếu muốn un 1

0

(  nhá tuú ý ) th× chän
sè tù

nhiªn N 1


 sao cho víi

n

n N u 1 

     thì số 1
gọi là giới hạn của dãy đã
cho

GV: NÕu coi 17

10 và
7

N 10 thì tổng quát lên ta

cú nh ngha gii hn dóy

s ?

Học sinh đọc định nghĩa ?
Hãy sử dụng định nghĩa
vhứng minh

n
1

0
n
lim

   ?

H·y chøng minh





n C C C const

lim ,

    ?

Sử dụng định nghĩa chứng
minh

n

2n 6
2
n
lim

 



 ?

GV: các định nghĩa dới dây
không chứng minh ?

Học sinh đọc định nghĩa ?

15'

VÝ dơ: Cho d·y sè un n 1
n



BiĨu diễn hình học dÃy số

Ta thấy khi n càng lớn khoảng cách từ un tới 1

càng nhỏ ( nhá tuú ý ) tøc lµ un 1 cµng nhá

NÕu muèn n

1 n 1 1

u 1 1

100 n 100



    

7
1 1
n 10

  th× n N 100

NÕu muèn n 7 7

1 n 1 1

u 1 1

10 n 10



     th×

7
n N 10

Tổng quát:

Định nghĩa Số a gọi là giíi h¹n cđa d·y sè

 

un

nÕu víi   0 ( nhá tuú ý ) tån t¹i mét sè tự nhiên

N sao cho với mọi n > N thì un a 

KÝ hiÖu: nlimun a

   hay lim un a

VËy

n

n 1
1
n
lim

 




VÝ dô 1: chøng minh

n
1

0
n
lim

  

ThËt vËy   0 ( nhá tuú ý ) ta cã
n

1 1

u 0 n

n

 



      vËy nÕu lÊy N 1



th× víi

n

1 1

n N 0 0

n  lim n

      

VÝ dô 2: nlimC C C const,





   

Víi   0 ( nhá tuú ý ) ta xÐt
n

u  C   C C   0  hiĨn nhiªn
vËy nlim C C

vÝ dơ 3

n

2n 6
2
n
lim

 




ThËt vËy Víi   0 ( nhá tuú ý ) ta xÐt

2n 6 6 6 6

2 2 2 n

n  n  n  



         

VËy nÕu lÊy N 6 n N



    ta cã

n

2n 6 2n 6

2 2

n  lim  n

 

   

2) Một số định lí về giới hạn của dãy số
Định lí ( Điều kiện cần để dãy số có giới hạn )

0 1 2

1
u
2

u
3
u
4
u

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

DÃy số không bị chặn thì có
giới hạn hay không ?

iu kin dóy s có
giới hạn là gì ?

Học sinh đọc định lí 5 ?

đọc định lí 6 ?

H·y sư dơng c¸c tÝnh chÊt

giíi h¹n cđa d·y sè chøng

minh k

n
1
0
n
lim
  



k N k*, 2



  ?

H·y tÝnh giíi h¹n cđa d·y sè
sau ?

TÝnh giíi h¹n cđa d·y sè ?
GV: nÕu bËc cđa tư b»ng
bËc cđa mẫu thì giới hạn
bằng 0 ?

Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc
của mẫu thì giới hạn bằng hệ
số bËc cao nhÊt cđa tư chia
cho hƯ sè bËc cao nhÊt cđa
mÉu ?

GV: Giíi thiƯu kh¸i niƯm

biĨu thức liên hợp ?

Nhân chia với biểu thức liên
hợp ?

Nếu dÃy số có giới hạn thì nó bị chặn

Vậy dÃy số không bị chặn thì không có giới hạn
Định lí ( tính duy nhất )

Nu mt dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy
nhất

Định lí ( vaiơstrat ) ( điều kiện đủ để dãy số có giới
hạn )

Mét d·y sè tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
một dÃy số giảm và bị chặn dới thì có giới hạn
Định lí ( giới hạn kẹp giữa )

Cho ba d·y sè

    

un , vn wn



nÕu  n N* ta cã

n n n

v u w limn vn limn wn A nlimun A


Định lí 5 ( các phép toán trên các giới hạn của d·y

sè )

NÕu hai d·y sè

  

un , vn có giới hạn thì ta có



n n



n n

n u v n u n v

lim lim lim

        



n n



n n

n u v n u n v

lim . lim .lim

      
n

n n
n

n n n

u
u
v v
lim

lim (
lim
 
 
 

 nÕu nlimvn 0)
  





n n n

n u n u u 0 n N

*

lim lim , ,

   

Định lí 6: Nếu q 1 thì nlimqn 0
  

VÝ dô

a) VÝ dô 3: k

n
1

0
n
lim

  



k N k 2



*,

 

Ta cã n k n n n n

k ts k ts

1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n

/ /

lim lim . ... lim .lim ....lim

           

             =0
b)

2 2 2

n n n

2

n n

2 n n 2

2 1 2 1

1 1

n 2n 1 n n n n

2 2

3n 2 3 3

n n

lim lim lim

lim lim
lim lim
     
   
   
   
 
 


 
c)

2 n n 2

2

n n

2 n n 2

4 2 4 2

4n 2 n n n n 0 0

0

2 2

5n 2 5 5 5 0

n n
lim lim
lim lim
lim lim
   
   
   
 
 

   
 
 



 



2 2

2

n n

n 1 n n 1 n
n 1 n

n 1 n

lim( ) lim

   
   
  
 
2 2
n n
2 2
1

1 n 0

0
2

n 1 n n 1

1
n n

lim lim

        

 

III. H íng dÉn häc ë nhµ

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

TiÕt 58 giới hạn của dÃy số

B. phần thể hiƯn trªn líp

I. KiĨm tra bµi cị

Câu hỏi: Tính giới hạn của dÃy số sau

2
2
n

n 2n 6
n n 1
lim

 

 
 

Đáp án:

2 2 2

n n n

2

n n

2 n n n 2

2 6 2 6

1 1

n 2n 6 n n n n 1 0 0

1

1 1 1 1

n n 1 1 1 1 0 0

n n n n

lim lim lim

lim lim

lim lim lim

     

   

     

   

   

   

II. Bµi mới

HÃy nêu công thức tính tổng

n số hạng đầu của cấp số
nhân ?

HÃy tính giới hạn nlim Sn ?

HÃy tính tổng của cấp số
nhân vô hạn sau ?

HÃy tìm số hạng đầu và công
sai ?

GV: giới thiệu khái niệm số
e và ứng dụng của số e trong
toán học ?

Học sinh nhắc lại khái niệm
giíi h¹n cđa d·y sè ?

H·y viÕt d¹ng triĨn khai cña
d·y sè

 

un 2n ?

H·y cho biÕt khi n càng lớn
thì un nh thế nào ?

Nếu muốn un 2n 10 000 .

thì n phải bằng bao nhiêu ?
DÃy số un có giới hạn không
vì sao ?

nh lí các phép tốn về giới
hạn cua rdãy số có đợc áp
dụng với nlimun

   hay

3) Tæng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với
q 1

Cho cấp số nhân vô hạn

un cã c«ng béi q



q 1



khi đó tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là

n

n 1

q 1
S u

q 1



 

 theo định lí 6 ta có

n

1 1 1

1

n n n

u u u

q 1

u q

q 1 q 1 q 1 q 1

lim lim lim

     



  

   

1

n
n

u
S

q 1
lim

    Gọi là tổng của cấp số nhân vô hạn

có công béi q



q 1



VÝ dô 1:

n 1

1 1 1 1 1 2

1

2 4 8 2 1 3

2

.... ....



     

           
 

       

 
 
VÝ dô 2:

2 n

1 1 1 1 10

1

10 10 10 1 9

10

... ...

      



4) sè e

ta cã

n
n

1

1 e

n
lim

 

 

 

 

 

cã e = 2,71828…

5) DÃy số dần tới vô cực

Ví dụ: Xét d·y sè

 

un 2n cã d¹ng triĨn khai

2, 4, 8, 10, …, 2n , …

Khi n cµng lín thì un càng lớn ( lớn tuỳ ý )

NÕu muèn un 2n 10 000 . th× chØ viƯc lÊy n 5000

Tổng qt lên ta có định nghĩa

Định nghĩa: Ta nói dÃy số

un dần tới vô cực nếu

với mọi số dơng M ( lớn tuỳ ý ) tồn tại một số tự
nhiên N sao cho víi  n N  un M

kÝ hiÖu: nlimun

   hay un  

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

khơng ? tại sao ?
Học sinh đọc định lí ?

LÊy ví dụ giới hạn dần tới

sau ú nghch o un và tính

giíi h¹n ?

VG: giíi thiƯu biĨu thøc liên
hợp của nhau?

hn do ú khụng phi l giới hạn của dãy số nên
không đợc áp dụng cỏc nh lớ v gii hn ca dóy
s

Định lÝ: NÕu nlimun 0 u,



n 0 n N, *



 thì
n

n
1
u
lim

ngợc lại nếu n n
u

lim

thì n
n
1

0
u
lim

Ví dô:

2 2

n n

2
3 4
1

n 3n 4 n n 1

1 1

n 1 0

n n

lim lim

   

 
 

  




VÝ dô:

















3 3

n

3

2 2

3 3 3 3 3

n 3 2 3 3 3 2

n 2 n

n 2 n n 2 n 2 n n
n 2 n 2 n n

lim

( ) .

lim

( ) .

 

  

     

   





2

n 3 3 3 3 2

n 2 n

n 2 n 2 n n
lim

.
 

 


   





2

n 3 3 3 3 2

2

n 2 n 2 n n
lim

.
 



     v× tư dÇn tíi 2

mÉu sè dÇn tíi 

Hai biểu thức gọi là liên hợp của nhau nếu tích của
chúng thành một hằng đẳng thức

III. H íng dÉn häc lë nhµ

- Ôn lại khái niệm tính chất của giới hạn dÃy số xem lại cách tính giới h¹n cđa
d·y sè

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31></div>
(32)<div class='page_container' data-page=32></div>

giai tich 11



















 





















 













 

 



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>







 









 

 





 



<sub></sub>

<sub></sub>



















 

 





















 

 







