Phương pháp hàm số trong giải toán

Phương pháp hàm số trong giải toán
MỞ ĐẦU

Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở
chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng
dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm
số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương
trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.
Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được
khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị
hàm số.
Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài tốn
trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội
tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức.
Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số
vào trong giải toán.

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

1


Phương pháp hàm số trong giải tốn
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình.
1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số
nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y)  x = y với mọi x,
y  D.
Chứng minh:
a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k.
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vơ nghiệm.

Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vơ nghiệm.
b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vơ nghiệm.
Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vơ nghiệm.
2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x)
luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x)
= g(x) khơng nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vơ nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vơ nghiệm.
3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0
nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x.
Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0.
Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0  x R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình: log x  11  x
2

2

Bài tập 2: Giải phương trình: 9 x  (13  x 2 ).3x  9x2  36  0 .
� x2  x  3 � 2
Ví dụ 2: Giải phương trình : log3 � 2
� x  3x  2
�2x  4x  5 �
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với
log 3 ( x 2  x  3)  ( x 2  x  3)  log3 (2 x2  4 x  5)  (2 x2  4 x  5) (*)
Xét hàm số f(t) = log 3 t  t .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ )

1
 1 > 0 t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ )
f’(t) =
t. ln 3
Phương trình (*)  f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)
 x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5  x = - 1 v x = - 2.
3
3
�x  3 y  y  3x
Bài tập 1: Giải hệ phương trình � 2
2x  y 2  4
�
3
3
�x  3 y  y  3x
Bài tập 2: Giải hệ phương trình � 2
3x  y 2  1
�

�
� x  3  10  y  5
Bài tập 3: Giải hệ phương trình �
� y  3  10  x  5

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

2


Phương pháp hàm số trong giải toán

3
3
2
�
�x  y  3 y  3x  2  0
Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm � 2
2
2
�x  1  x  3 2 y  y  m  0

Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + 1
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 3x - 2x - 1 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > 0 x  R.
Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x =
0 và x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + 2
x
Bài tập 2: Giải phương trình: 3  1  x  log3 (1  2x)
cos x
cos x
Bài tập 3: Giải phương trình:  1  cos x   2  4   3.4

�x  y 3  y 2  y  2
�
3
2
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình �y  z  z  z  2
�z  x 3  x 2  x  2
�
Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - 2. f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 t R. Vậy hàm số f(t) đồng biến

trên R.
Giả sử x = maxx,y,z hay x y và x  z suy ra x = f(y)  f( z) = y và x= f(y)  f(x) = z . Từ đó
ta có y  z và y  x. Suy ra f(y)  f(z) hay z  x. Do đó x  y z x từ đó x = y = z = 1.
�x 3  3x  3  ln( x 2  x  1)  y
�3
2
Bài tập 1: Giải hệ phương trình �y  3 y  3  ln( y  y  1)  z
�z 3  3z  3  ln( z 2  z  1)  x
�
�2x3  2 x2  18  y 3  y
� 3
2
3
Bài tập 2: Giải hệ phương trình �2 y  3 y  18  z  z
�2z3  3z2  18  x 3  x
�
�x 3  x 2  2 x  2 y 3  1
�3
2
3
Bài tập 3: Giải hệ phương trình �y  y  2 y  2z  1
�z 3  z 2  2z  2x2  1
�
Ví dụ 5: Giải bất phương trình x  6  7  x �1
Giải: Tập xác định D = - 6; 7 . Xét hàm số f(x) = x  6  7  x .
1
1

 0  x  (- 6; 7).
Ta có f’(x) =

2 x6 2 7 x
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn - 6; 7
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x)  f(3)  x  3.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 3; 7
Bài tập 1: Giải bất phương trình x 3  3x2  6x  16  2 3  4  x
Bài tập 2: Giải bất phương trình

6
8

6
3 x
2x

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

3


Phương pháp hàm số trong giải toán
II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình có nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b).
1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn a;b  min f ( x ) �m �max f ( x )
 a ;b

 a ;b

f ( x ) �m
2) Định lý 2: Bất phương trình f(x)  m có nghiệm thuộc đoạn a;b  max

 a ;b
f ( x ) �m
3) Định lý 3: Bất phương trình f(x)  m có nghiệm thuộc đoạn a;b  min
 a ;b
f ( x ) �m
4) Định lý 4: Bất phương trình f(x)  m nghiệm đúng với mọi x  a;b  min
 a ;b
f ( x ) �m
5) Định lý 5: Bất phương trình f(x)  m nghiệm đúng với mọi x  a;b  m aax
;b
Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài tốn về phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau 4 x  2  3 21  4 x  x 2  m
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 1 nghiệm.
c) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải : Tập xác định D= -7;3, Xét hàm số f ( x )  4 x  2  3 21  4 x  x 2 , ta có
3(2  x )
f '( x )  4 
, f’(x) = 0  x= - 6 (Loại) v x = 2.
21  4 x  x 2
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).
-7
2
3
x
+
0
f’(x)
15

f(x)
-30
10
f ( x ) �m �max f ( x )  - 30  m  15
a) Phương trình có nghiệm khi min
 7;3
 7;3
b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30  m < 10 hoặc m = 15.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10  m < 15.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0
a) Có nghiệm.
��
0;
b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn �
� 3�
�
2t 2  5t  11
Giải : Đặt t = cos2x với - 1  t  1 . Phương trình trở thành
m .
2t  3
2t 2  5t  11
Xét hàm số f(t) =
2t  3
2
4t  12t  7
7
1
Ta có f '(t ) 
, f’(t) = 0  t =  (Loại) v t =
. Bảng biến thiên

2
(2t  3)
2
2
t
-1
1/2
1
f’(t)
0
+
8
18/5
f(t)
7/2
Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

4


Phương pháp hàm số trong giải toán
f (t ) �m �max f (t )  7/2  m 8.
a) Phương trình có nghiệm khi min
 1;1
 1;1
1
��
� 2 �
0; �thì 2x  �
0; �hay  �t �1 . Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn

b) Khi x  �
2
� 3�
� 3 �
��
�1 �
0;
 ;1 hay 7/2 < m  18/5
khi
phương
trình
ẩn
t
có
hai
nghiệm
t
thuộc
đoạn
�
�
� 3�
�
�2 �
�
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x  1  m x  1  2 4 x 2  1
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
x  1  4 4 x 2  3x  2  ( m  3) x  2  0
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 91

1 x 2

 ( m  2)31

1 x 2

 2m  1  0

Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2  4x  m  x 2  4 x  3  m  2  0
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4

2x  2x  24 6  x  2 6  x  m

Bài tập 6: Tìm m để phương trình 3 1  x 2  2 x 3  2 x2  1  m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn

�1 �
 ;1 .
�
�2 �
�
Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn

�  �
 ;
�
�4 4�
�

sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4x = m.

Bài tập 8: Tìm m để phương trình

x 2  2 x  m.( x  4).

x2
 2 8  2 x  x 2  14  m  0 có
4 x

nghiệm thực.
2
Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4 6  x  x  3x  m



x  2  2 3 x



Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m





1 x  1 x  2  2 1 x  1 x  1 x
2

2

4

2

2

3
1
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:  x  3mx  2  3 nghiệm đúng x  1

x
3
2
1
1 2
Giải: BPT � 3mx  x  3  2, x �1 � 3m  x  4  x  f  x  , x �1 .
x
x
4 � 2 4 2 2 0
 x   2 x  4  2 �2 2 x �
Ta có f �
 x ≠ 0.
� 5 � 2 
5
2
x
x
x2
�x � x
Suy ra f  x  đồng biến trên khoảng (1; + ) .

f  x   f  1  2  3m � 2  m
YCBT � f  x   3m, x �1 � min
x�
1
3

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình x (4  x )  m( x 2  4x  5  2) �0 nghiệm đúng với
2; 2  3 �
mọi giá trị x  �
�
�
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình  4  x   6  x  �x 2  2 x  m nghiệm đúng x � 4, 6
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình 3  x  6  x  18  3 x  x 2 �m 2  m  1 nghiệm đúng
x � 3, 6

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

5


Phương pháp hàm số trong giải tốn
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x  x  12  m  5  x  4  x  có nghiệm.
 x  rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.
Giải: Chú ý: Nếu tính f �
 x  3 x 
Thủ thuật: Đặt g  x   x x  x  12  0 � g �
2

1
0

2 x  12
1
 x   1 
h  x   5  x  4  x  0 � h�
0
2 5 x 2 4 x
1
Suy ra: g  x   0 và tăng; h  x  > 0 và giảm hay    0 và tăng
h x
g  x  tăng. Suy ra
� f  x 
f  x   m có nghiệm
h  x
� m ��
min f  x  ; max f  x  �  f  0  ; f  4    �
2  15  12  ;12 �
�
�
 0;4
� 0;4
�

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx  1 � x  3  2m
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 3  3x 2  1 �m  x  x  1 

3

�x  1  y  1  5
�
y

� x
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm � 3
�x  13  y 3  13  15m  10
x
y
�
3
1
1
Giải: Đặt u  x  x ; v  y  y ta có x 3  13  x  1  3x �1 x  1  u  3u
x
x
x
x









1
1
1
1
1
và u  x  x  x  x �2 x . x  2 ; v  y  y �2 y . y  2
u v5

uv5
�
�
��
3
uv  8  m
u  v  3  u  v   15m  10
�
�

Khi đó hệ trở thành � 3

 u , v là nghiệm của phương trình bậc hai f  t   t 2  5t  8  m
Hệ có nghiệm � f  t   m có 2 nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn t1 �2; t 2 �2 .
Lập Bảng biến thiên của hàm số f  t  với t �2
t
 t
f�

�

f  t

+�

–2

2

–

–

5/2
0

+�
+
+�

22
2

7/4

7 m 2
‫ۣ�ڳ‬
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm ۣ
4

m 22

Bài tập 1: Chứng minh rằng  m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
�y  x  m
�x
e  e y  ln(1  x )  ln(1  y )
�

�
�x  y 4

Bài tập 2: Tìm m để hệ: �

� x  7  y  7 �m
có nghiệm  x; y  thỏa mãn điều kiện x �9.

(m là tham số).

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

6


Phương pháp hàm số trong giải toán
III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x 
(a;b)
2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x
 (a;b)
3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a)  f(x)  f(b) với mọi x 
a;b
4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a)  f(x)  f(b) với mọi x
 a;b
Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số.
��
sin 2 x
0; �
với x ��
2
� 2�

x
sin x
�
 x , với x ��
0; �
Giải: Xét hàm số f(x) =
�
cos x
� 2�
1  cos2 x  2 cos x cos x
(1  cos x ) 2
��
0; �
f '( x ) 

 0 ,  x ��
� 2�
2 cos x cos x
2 cos x cos x
2
��
0; �. Từ đó f(x) > f(0)  sin x  x 2 . đpcm
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên khoảng �
� 2�
cos x
Bài tập 1: Chứng minh rằng
x2
a) 1  cos x , với x ≠ 0.
2!
x3

b) x 
 sin x , với x > 0.
3!
x2 x4
c) cos x  1 
, với x ≠ 0.

2! 4!
x3 x5
d) sin x  x 
 , với x > 0.
3! 5!
e) ex  1 + x ,  x R.
x
f) ln x  , với x > 0 và x ≠ e.
e
x ln x 1
 , với x > 0 và x ≠ e.
g) 2
x 1 2
3

Ví dụ 1: Chứng minh rằng cos x 

sinx �
h) �
� �  cosx , với x �(0; 2 ) .
�x �
Bài tập 2: Chứng minh rằng


.
2
1
2

b) tan x  sin x  x , với 0  x  .
2
3
2
c) x (2  cos x )  3sin x , với x > 0
2
��
0;
d) sin x � x , với x ��
.

� 2�
�
a) sin x  tan x  2 x , với 0  x 

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

7


Phương pháp hàm số trong giải toán
e)  x (1  x )  sin x �4 x (1  x ) , với x (0;1)
Bài tập 3: Chứng minh rằng:
a) e x  1  xe x , với x > 0

b) e x  1  x  x 2 e x , với x > 0.
x

c) x.e 2  e x  1 , với x > 0.
d) e x  (1  x )1 x , với x > 0.
Bài tập 4: Chứng minh rằng
1
2
a) ln 1  1  x   ln x , với x > 0.
x
x
b) ln  1  x  
, với x > 0.
1 x





c)  1  x  �x ln 2 x , với x > 0.
2

x2
với x � 0;  
4
Bài tập 5: Chứng minh rằng:
��
0;
a) sin  tan x  �x , với x ��
.

� 4�
�
��
0;
b) tan  sin x  �x , với x ��
.
� 3�
�
d) ln  1  cos x   ln 2 

2
2
Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 12x  6mx  m  4 

A  x12  x22
Giải :

12
 0 . Tìm m để
m2

đạt GTNN, GTLN

m

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

8

Phương pháp hàm số trong giải toán
m

m

+

+

m

m

m
2
Bài tập 1:Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x  ax 

1
 0 . Tìm m để P  x14  x24
a2

đạt GTNN
Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  (a  1) x  a 2  0 . Tìm GTNN của
1
1
P 
x1 x2
�x 2 y 2 � �x y �
Ví dụ 3: Tìm GTNN của f ( x; y )  3 � 2  2 � 8 �  �, với x,y≠ 0.
x � �y x �

�y
Giải:

Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của P 

sin 2 x  2 sin x  3
sin 2 x  3sin x  4

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

9


Phương pháp hàm số trong giải tốn
2

2

Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của P  2sin x  21cos x
�x 4 y 4 � �x 2 y 2 � �x y �
P

Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của
�y 4  x 4 � 2 �y 2  x 2 � �y  x �, với x,y≠ 0.
�
�
� �
��
1
1

2
 cos x 
4
Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của P  cos x 
2
cos x
cos x
Ví dụ 4: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 y 2  2 xy  1
P
2 xy  2 x 2  3
Giải:
Nếu x = 0 thì từ giả thiết x2 + y2 = 1 ta có y = 1. Suy ra P = 1.
1
2
Nếu x  0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 . Từ giả thiết ta có x2 + y2 = 1  x2 + t2x2 = 1  x 
.
1  t2
4t 2 x 2  2tx 2  1 3t 2  2t  1
Ta có P =
.

2tx 2  2 x 2  3 3t 2  2t  1
12t 2  4t
1
3t 2  2t  1
Xét hàm số f(t) = 2
, f ’(t) =
, f ’(t) = 0  t = 0 v t =  (Loại)
2

2
(3t  2t  1)
3
3t  2t  1
Bảng biến thiên
t
0
+
f ’(t)
+
1
f(t)
-1
Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0  x = 1; y = 0.
Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1.
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN
2( x 2  6xy )
P

của
.
1  2xy  2 y 2
Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy  y - 1. Tìm GTNN
x2
y3
của biểu thức P  2  9 3
y
x
Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x2 - xy + y2.
Giải:

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

10


Phương pháp hàm số trong giải toán

Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x4 + y4 x2y2.
1
1
Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y). Tìm GTLN của A  3  3
x
y
Giải:

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

11


Phương pháp hàm số trong giải toán

1
1
 y2  2
2
x
y
Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN

2
2
của biểu thức P   4 x  3 y   4 y  3x  25xy .
2
Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của P  x 

Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn  x  y   4xy �2 . Tìm GTNN của biểu
3

4
4
2 2
2
2
thức A  3  x  y  x y   2  x  y   1

Ví dụ 7: Cho hai số x,y (0;1) thảo mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức f ( x; y )  x y  y x
Giải:

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

12


Phương pháp hàm số trong giải toán

�a, b, c �0
7
. Chứng minh rằng: ab  bc  ca  2abc � .
27

�a  b  c  1

Ví dụ 8: Cho �

Giải:
a  b  c    1  2a  bc  a  1  a    1  2a  bc  a  1  a    1  2a  u  f  u 



Đồ thị y  f  u    1  2a  u  a  1  a  với 0 �u  bc � b  c
2



2



1  a 2
là một đoạn thẳng với 2
4

2
a   1  a  � 1 7 và
giá trị đầu mút f  0   a  1  a  ��
�
� 

�



2





� 4

27



2
f 1  1  a   1  2a 3  a 2  1  7  1 2a  1 a  1
4
4
27 4
3
3



2

�7
27





2
2
0; 1  1  a  �và f  0   7 ; f 1  1  a  � 7
Do đồ thị y  f  u  là một đoạn thẳng với u ��
�4
4
27
�
27
7
1
nên f  u  � . Đẳng thức xảy ra � a  b  c 
27
3

�a, b, c �0
Chứng minh rằng: a 2  b 2  c 2  abc �4
a

b

c

3
�

Bài tập 1: Cho �

Bài tập 2: Chứng minh rằng: 2  a  b  c    ab  bc  ca  �4,  a, b, c � 0, 2 .
Ví dụ 9: Cho x,y,z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

xyz
x
y


x  yz y  xz z  xy

Giải :
Áp dụng trình tự các bước sau.
( x  y)2
+) xy �
, dấu bằng xảy ra khi x = y.
4

A  2n A  2m
�
.
Bn
Bm
A. n
A. m
.
�
An
Am

+) Nếu cho A, B > 0, m  n > 0 và A < 2B thì
+) Nếu cho m  n > 0, A  mn thi
+)

x
y
x
y



x  yz y  xz ( x  y )( x  z ) ( x  y )( y  z )
( x  y )  ( x 2  y 2 ) ( x  y )  ( x  y ) 2  2 xy


( x  y )(1  x)(1  y) ( x  y )  1  ( x  y )  xy 
( x  y)2
(2)
2
2
�

2
�
( x  y) � z  1
( x  y) �
1  ( x  y) 
4 �
�
�

( x  y)  ( x  y )2 

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

13


Phương pháp hàm số trong giải toán
z . xy (3)
z ( x  y)
2 z (1  z )
�

2
+) z  xy
� ( x  y ) � ( z  1) 2
2�
z
�
4 �
�
2
2 z (1  z )

, đặt t  z , 0  t  1 . Xét hàm số
+) P �
z 1
( z  1) 2
2(t 3  t 2  t  1)
2(t 4  2t 3  6t 2  2t  1)

,
f
'(
t
)

(t 2  1)2
(t 2  1)3
1
1
f '(t )  0 � (t  ) 2  2(t  )  8  0 � t  2  3
t
t
f (t ) �f (2  3)  ?
f (t ) 

MaxP  Maxf (t )  f (2  3)  ?
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và a 2  b2  c 2  1 .Chứng minh
a
b
c
3. 3
 2
 2
�
2
2
2
2
b c

c a
a b
2
Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi ln nằm phía trên
đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm ln nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét
sau
Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x ) tại điểm A( x0 ; y0 )
( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x0 sao cho
f ( x ) �ax  b x �I hoặc f ( x ) �ax  b x �I .
Ví dụ 10: Cho a, b, c  0 và a  b  c  6 . Cmr : a 4  b 4  c 4 �2(a 3  b3  c 3 )



4

Giải: Bđt cần chứng minh � a  2a

3

 b

4

 



 2b3  c 4  2c3 �0

� f (a )  f (b)  f (c) �0 với f ( x )  x 4  2 x3

Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a  b  c  2 .
Tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x  2 là: y=8x-16
Ta có: f ( x)  (8 x -16)  x 4  2 x3  8 x  16  ( x  2) 2 ( x 2  2 x  4) �0 x

f (�
x) 8 x�
16
f (a ) f (b) f (c) 8( a b c) 48 0 đpcm
a (b  c )
b(c  a )
c (a  b)
6
 2
 2
�
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 .Cmr: 2
2
2
2
5
a  (b  c)
b  (c  a )
c  ( a  b)
(b  c  a) 2
(c  a  b ) 2
(a  b  c ) 2 3


�
Bài tập 2: Cho a,b,c>0. Cmr :

(b  c) 2  a 2 (c  a ) 2  b 2 (a  b) 2  c 2 5
1 1 1
a
b
c


)3
Bài tập 3: Cho a, b, c  0 . Cmr: (a  b  c)(   ) �4(
a b c
bc ca ab

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

14


Phương pháp hàm số trong giải toán
IV - Ứng dụng của định lí Lagrăng
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm trên khoảng
f ( b)  f ( a )
(a;b) thì tồn tại giá trị c  (a;b) sao cho f '( c ) 
ba
Chú ý: Định lý Lagrăng dùng để chứng minh bất đẳng thức và dùng để chứng minh một
phương trình có nghiệm x  (a;b).
2) Hệ quả: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n. .Nếu pt f ( n ) ( x)  0 có k nghiệm thì
Pt f ( n 1) ( x )  0 có nhiều nhất (k+1) nghiệm .
Ví dụ 1: Cho các số thực a,b,c và số nguyên n>0 thoả mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Chứng minh
rằng phương trình a.sin n x  b.cos n x  c.sinx+c=0 ln có nghiệm trên (0;


)
2

a
5c
b
 
(*)
n2 6
n2

sin n  2 x
cos n+2 x
sin 3 x
sin 2 x
Xét hàm số f ( x)  a
trên [0; ] ta thấy f(x)
b
c
c
2
n2
n2
3
2

thoả mãn đk đ/l Lagrang trên [0; ] . Mặt khác ta lại có:
2
b


a
5c
f (0)  
;f( )

n2
2
n2 6


� f (0)  f ( ) (do (*) ). Theo đ/l Lagrang thì pt f’(x) có nghiệm trên (0; )
2
2
n

1
n+1
2
hay pt: a.sin
x.cosx+cos x sinx+c.sin x.cosx+c.sinx.cosx=0
� sinx.cosx(asin n x  b.cos n x  csinx+c)=0 � a.sin n x  b.cos n x  c.sinx+c=0 (vì


sinx, cosx >0 trên (0; ) ) có nghiệm trên (0; ) (đpcm)
2
2
ba
b ba
 ln 

Ví dụ 2: Cho 0b
a
a
1 ln b  ln a 1

Giải:Bđt đã cho � 
b
ba
a
Giải: Ta có: gt �

Xét hàm số f(x)=lnx trên [a;b]. Ta thấy f(x) thỏa mãn đk đ/l Lagrang trên [a;b] nên tồn tại số c:

1 f (b)  f (a ) ln b  ln a
1 1 1


. Vì c �(a; b) �  
c
ba
ba
b c a
1 ln b  ln a 1

 đpcm
Do đó ta có
b
ba
a

c
osx
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3
 2cosx  cosx
Giải: Đặt t=cosx; t �[-1;1] khi đó pt trở thành: 3t  2 t  t � 3t  2t  t  0 , ta thấy pt này
a
có hai nghiệm t=0 và t=1 ta sẽ c/m đó là số nghiệm nhiều nhất mà pt có thể có:
Xét hàm số: f (t )  3t - 2t - t với t �[-1;1] ta có f '(t )  3t ln 3  2t ln 2  1

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

15


Phương pháp hàm số trong giải toán
f "( x)  3t ln 2 3  2t ln 2 2  0 � f’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm nên f(x) =0 có nhiều nhất
hai nghiệm từ đó ta có đpcm
Vậy pt có hai họ nghiệm: x  k 2 ; x 


 k
2

V - Sử dụng tính đơn diệu của hàm số để xét sự hội tụ của dãy số.
x
Ví dụ 1: Cho a > 1, dãy số (xn) xác định bởi x1 = a, xn 1  a n , n  N*. Hãy tìm điều kiện của
a để dãy số (xn) hội tụ
Giải: Ta có a > 1, suy ra dãy số (xn) tăng, vậy dãy số (xn) hội tụ khi và chỉ khi (xn) bị chặn.
Điều kiện cần: Giải sử dãy số (xn) hội tụ và lim xn = x, vì (xn) là dãy số tăng nên ta có xn  x1

ln x
x
x
x
 ln a .
suy ra x  x1 = a > 1. xn 1  a n � l imxn 1  lim a n � x  a � ln x  x ln a �
x
ln x
1  ln x
1
, x  1, f '( x ) 
Đặt f(x) =
. Từ bảng biến thiên ta có 0 < lna 
2
x
x
e
1
Điều kiện đủ: Khi 0 < lna  , từ bảng biến thiên suy ra tồn tại x > 1 sao cho
e
ln x
 ln a � x  a x .
x
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số (xn) bị chặn trên bởi x.
x
Vì x > 1 nên ta có x1  a  a  x � x1  x
x
x
Giả sử xk < x (với k  1) suy ra xk 1  a k  a  x � xk 1  x � xn  x n  N*.
1

Kết luận: 1  a  e e .
Ví dụ 2: Cho dãy số (xn) được xác định bởi x1 = b, xn 1 

2009
ln  xn2  20092   2009 2 , nN*.
3

Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn.
2009
2009
2x
ln  x 2  20092   2009 2 . Ta có f’(x) =
. 2
Giải:Xét hàm số f ( x ) 
.
3
3 x  2009 2
1
Do x 2  20092 �2.2009 | x | nên |f’(x)| ,  x R.
3
Xét phương trình f(x) = x. Hay x - f(x) = 0. Đặt g(x) = x - f(x) Ta có g’(x) = 1 - f’(x) > 0
Hàm số g(x) đồng biến và liên tục trên R.
Mặt khác g(0) > 0 và g(-20092 ) < 0 nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a (20092; 0)
TH1: b = a suy ra xn = a. suy ra lim xn = a.
1
TH2: b ≠ a. Áp dụng ĐL Lagrăng cho hàm số y = f(x) ta có 0 <|xn - a|  n 1 | x1  a |
3
1
Do lim n1  0 nên limxn = a.

3
1
2
Bài tập 1: Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = a R, xn 1  ln  1  xn   2009 với n  N*.
2
Chứng minh dãy số (xn) hội tụ.
�2x  3 �
Bài tập 2: Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = a R, xn 1  xn  ln � n
�, với n  N*.
�xn  1 �
Tùy theo giá trị của a xét sự hội tụ của dãy số (xn) .

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

16


Phương pháp hàm số trong giải toán
1

Bài tập 3: Cho a> 0 và dãy số (xn) với x1 = a, xn 1  log3  xn3  1 3 

4
. Tính limxn
3

Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

17