Bài giảng Đề và đáp án thi HSG Toán 9 năm 08-09

UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
Phòng Giáo dục & Đào tạo
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:

4 3 2
6 11 30 24n n n n+ + + −
chia hết cho 24.
Bài 2: (3đ) Xác đònh các hệ số a và b để đa thức A =
4 3 2
2 3x x x ax b− + + +
là bình
phương của một đa thức.
Bài 3 (3đ)
a) Chứng minh rằng: Với mọi số thực a, b, c, d ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ab cd a c b d+ ≤ + +
b) Với a
≥
c; b
≥
c; c > 0. Chứng minh rằng:
( ) ( )

c a c c b c ab− + − ≤
Bài 4) (4đ):
a)
= + + + − +Rút gọn 4 10 2 5 4 10 2 5B
b) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
2009C x x= − −
Bài 5) (3đ)
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM.
Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất.
Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh
AB và AD kéo dài tại F và E.
a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi.
b/ Chứng minh rằng:
2
2
DE AE
BF AF
=
---*---
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn thi : TOÁN 9
Bài 1:

4 3 2
6 11 30 24n n n n+ + + −
=

( )

( )
( )
( )
4 3 2 3 2
6 11 6 24 24 6 11 6 24 1n n n n n n n n n n+ + + + − = + + + + −
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2 2 2
5 5 6 6 24 1 1 5 6 24 1n n n n n n n n n n n n
 
+ + + + + + − = + + + + −
 
=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 24 1n n n n n+ + + + −
(2đ)
Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; n + 4 là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết
cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên
4 3 2
6 11 30 24n n n n+ + + −
chia hết cho 24
(1đ)
Bài 2: Ta có A là bình phương của một đa thức thì:
A =
( )
2
2

x cx d+ +
=
( )
4 3 2 2 2
2 2 2x cx c d x cdx d+ + + + +
(0,5đ)
Mà: A =
4 3 2
2 3x x x ax b− + + +
Do đó ta có hệ phương trình:
2
2
2 2
2
2 3 1
2 1
1
c
a
c d b
cd a c
d
d b
= −

= −



+ = =

 
⇔
 
= = −
 
 
=
=


Do đó: a = - 2 ; b = 1. Vậy: A =
4 3 2
2 3 2 1x x x x− + − +
(2,5đ)
Bài 3: a/ Ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ab cd a c b d+ ≤ + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 0 2
0
ab abcd cd ab ad bc cd ad adbc bc
ad bc
⇔ + + ≤ + + + ⇔ ≤ − +
⇔ ≤ −

Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi số thực a, b, c.
Vậy:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ab cd a c b d+ ≤ + +
; với mọi số thực a, b, c, d.(1,5đ)
b / Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
. .
.
c a c c b c c a c b c c
c b c a c c ab
− + − = − + −
   
≤ + − − + =
   
   
(1,5đ)
Bài 4: (4đ):
( ) ( )
( )
= + + + − +
⇒ = + + + − + + + + − +
= + − +
= + −
2

2
2
) 4 10 2 5 4 10 2 5
4 10 2 5 4 10 2 5 2 4 10 2 5 4 10 2 5
8 2 16 10 2 5
8 2 6 2 5
a Rútgọn B
B
B
B
( ) ( )
= + − = + −
= + ⇒ = + ⇒ = +
2
2
2
8 2 5 1 8 2 5 1
6 2 5 6 2 5 5 1
B
B B B

= − − ≥
 
= − − − + + = − − + ≥
 ÷
 
= ⇔ − − =
⇔ − =

≥



⇔ ⇔ =

 

− =
 ÷

 

2
2
) 2009 2009
1 3 1 3 3
2009 2009 2008 2009 2008 2008
4 4 2 4 4
1
" " 2009 0
2
1
2009
2
1
0
2
1
2009
4
1

2009
2
b C x x điềukiện x
C x x x
Dấu xảy ra x
x
x
x
Vậy giá trò nhỏ nhất của C là
3 1
2008 2009
4 4
x⇔ =
Bài 5: (3đ):
Vẽ đường cao AH ta có:
( )
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
+ =
+ =
+ = ⇒ + =
1 1
. .
2 2
1
2 2
ABM ACM ABC
ABC

ABC
ABC
S S S
AM BI AM CK S
S
AM BI CK S BI CK
AM
mà
AM AH≥
( )
∆
⇒ + ≤ =
+ = ⊥
2
Vậy Max . Khi AM BC
ABC
S
BI CK BC
AH
BI CK BC
⇒
M là chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC
Bài 6:
a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi.
( )
ED CD ED AE
DCE AFE G G
EA AF CD AF
∆ ∆ − ⇒ = ⇒ =:
(1) (0,75đ)

( )
AE AF AE BC
AFE BFC G G
BC BF AF BF
∆ ∆ − ⇒ = ⇒ =:
(2) (0,75đ)
Từ (1) và (2) suy ra:
2
. .
ED BC
ED BF CD BC a
CD BF
= ⇒ = =
(không đổi) (0,5đ)
Vậy: Tích DE.BF không đổi.
B
A
C
D
E
F
b/ Chứng minh rằng:
2
2
DE AE
BF AF
=
Nhân (1) và (2) vế theo vế , ta có:
2
2

.
ED BC EA
CD BF AF
=
.
Vì CD = BC nên
2
2
DE AE
BF AF
=
(2đ)