Bồi dưỡng HSG chuyên đề Đồng dư Toán 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
<b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b>

<b>BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DƯ </b>
<b>I. Kiến thức cần nhớ </b>

<b>1. Định nghĩa </b>

Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m  0 thì ta nói a đồng dư
với b theo mơđun m, và có đồng dư thức: a  b (mod m)

Ví dụ:7  10 (mod 3) , 12  22 (mod 10)
+ Chú ý: a  b (mod m)  a – b m
<b>2. Tính chất của đồng dư thức: </b>
- Tính chất phản xạ: a  a (mod m)

- Tính chất đỗi xứng: a  b (mod m)  b  a (mod m)

- Tính chất bắc cầu: a  b (mod m), b  c (mod m) thì a  c (mod m)
- Cộng , trừ từng vế: a b (mod m) a c b d (mod m)

c d (mod m)




   

 

<b>Hệ quả: </b>

• a  b (mod m)  a + c  b + c (mod m)
• a + b  c (mod m)  a  c - b (mod m)
• a  b (mod m)  a + km  b (mod m)

- Nhân từng vế : a b (mod m) ac bd (mod m)
c d (mod m)



 _ _

 

<b>Hệ quả</b>:

• a  b (mod m)  ac  bc (mod m) (c  Z)
• a  b (mod m)  an  bn (mod m)

- Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương
a  b (mod m)  ac  bc (mod mc)

Chẳng hạn: 11  3 (mod 4)  22  6 (mod 8)
- ac bc (mod m) a b (mod m)

(c, m) = 1



 





Chẳng hạn : 16 2 (mod 7) 8 1 (mod 7)
(2, 7) = 1




 



<b>II. Các ví dụ </b>
<b>Ví dụ 1: </b>

Tìm số dư khi chia 9294 cho 15
<b>Giải </b>

Ta thấy 92  2 (mod 15)  9294  294 (mod 15) (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2
<b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b>

<b>Ví dụ 2: </b>

Chứng minh: trong các số có dạng 2n – 4(n  N), có vơ số số chia hết cho 5
<b>Giải </b>

Thật vậy:

Từ 24 _{1 (mod 5)}₂4k _{1 (mod 5) (1)}

Lại có 22  4 (mod 5) (2)

Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 24k + 2 __{4 (mod 5)}₂4k + 2_{- 4}__{0 (mod 5)}

Hay 24k + 2 - 4 chia hết cho 5 với mọi k = 0, 1, 2, ... hay ta được vô số số dạng 2n – 4
(n  N) chia hết cho 5

Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường quan tâm đến a   1 (mod m)
a  1 (mod m)  an  1 (mod m)

a  -1 (mod m)  an  (-1)n (mod m)
<b>Ví dụ 3:</b> Chứng minh rằng

a) 2015 – 1 chia hết cho 11
b) 230 + 330 chi hết cho 13

c) 555222 + 222555 chia hết cho 7
<b>Giải </b>

a) 25  - 1 (mod 11) (1); 10  - 1 (mod 11)  105  - 1 (mod 11) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 25. 105  1 (mod 11)  205  1 (mod 11) 205 – 1  0 (mod 11)
b) 26  - 1 (mod 13)  230  - 1 (mod 13) (3)

33  1 (mod 13)  330  1 (mod 13) (4)

Từ (3) và (4) suy ra 230 + 330  - 1 + 1 (mod 13)  230 + 330  0 (mod 13)
Vậy: 230_{+ 3}30_{chi hết cho 13}

c) 555  2 (mod 7)  555222  2222 (mod 7) (5)

23  1 (mod 7)  (23)74  1 (mod 7)  555222  1 (mod 7) (6)
222  - 2 (mod 7)  222555  (-2)555 (mod 7)

Lại có (-2)3  - 1 (mod 7)  [(-2)3]185  - 1 (mod 7)  222555  - 1 (mod 7)
Ta suy ra 555222_{+ 222}555 _{1 - 1 (mod 7) hay 555}222_{+ 222}555_{chia hết cho 7}

<b>Ví dụ 4:</b> Chứng minh rằng số 224n + 1 + 7 chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n
Thật vậy:Ta có: 25  - 1 (mod 11)  210  1 (mod 11)

Xét số dư khi chia 24n + 1 cho 10. Ta có: 24  1 (mod 5)  24n  1 (mod 5)
 2.24n _{2 (mod 10)}₂4n + 1 _{2 (mod 10)}₂4n + 1_{= 10 k + 2}

Nên 224n + 1 + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7
= BS 11 + 11 chia hết cho 11

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
<b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b>

<b>Giải:</b>

Ta có: 1998 ≡ 0 (mod 111)

=> 1997 ≡ -1 (mod 111) và 1999 ≡ 1 (mod 111)
Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000 ≡ 2 (mod 111)
(19971998_{+ 1998}1999₊₁₉₉₉2000₎10_{≡ 2}10_{(mod 111)}

Mặt khác ta có: 210_{= 1024 ≡ 25 (mod 111)}

Vậy (19971998_{+ 1998}1999₊₁₉₉₉2000₎10_{chia cho 111 có số dư là 25}

<b>*Bài tập tự luyện </b>
<b>Bài 1:</b> CMR:

a) 228 – 1 chia hết cho 29

b)Trong các số có dạng2n – 3 có vơ số số chia hết cho 13
<b>Bài 2:</b> Tìm số dư khi chia A = 2011_{+ 22}12_{+ 1996}2009_{cho 7.}

<b>Bài 3:</b> Chứng minh: 3100 – 3 chia hết cho 13

<b>Bài 4:</b> Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31 với mọi n là số tự nhiên
<b>Bài 5:</b> Tìm 2 chữ số tận cùng của 20092010

<b>Bài 6</b> : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7

<b>Bài 7</b> : Chứng minh rằng các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7
<b>Bài 8</b> : Tìm số dư trong phép chia 15325 - 1 cho 9

<b>Bài 9</b> : Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19

<b>Bài 10</b>: Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn
Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng khi chia cho 12 thì được số dư là 3.

a)Chứng minh rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4
<b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

<i><b> H</b><b>ọ</b><b>c m</b><b>ọ</b><b>i lúc, m</b><b>ọi nơi, mọ</b><b>i thi</b><b>ế</b><b>t bi </b><b>–</b><b> Ti</b><b>ế</b><b>t ki</b><b>ệ</b><b>m 90% </b></i>

<i><b>H</b><b>ọ</b><b>c Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

<i><b>HOC247 NET c</b><b>ộng đồ</b><b>ng h</b><b>ọ</b><b>c t</b><b>ậ</b><b>p mi</b><b>ễ</b><b>n phí </b></i>

</div>

<!--links-->