Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2019-2020 - Trường THPT Phúc Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ II KHỐI 11
NĂM HỌC 2019 - 2020
Mơn: Tốn

A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. Lý thuyết
1. Giới hạn
a, Giới hạn dãy số.
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim = 0 ; lim k = 0 (k ∈ ¢ + )
n →+∞ n
n →+∞ n
n
lim q = 0 ( q < 1) ; lim C = C

GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
k
+
lim n = +∞ lim n = +∞ (k ∈ ¢ )
lim q n = +∞ (q > 1)
2. Định lí:
1
a) Nếu lim un = +∞ thì lim = 0
un

n →+∞

n →+∞

2. Định lí:
a) Nếu lim un = a, lim vn = b
• lim ( un + vn ) = a + b

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim

• lim ( un − vn ) = a − b

un
=0
vn

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0
khi a.vn > 0
un
 +∞
thì lim = 
vn
khi a.vn < 0
 −∞

• lim ( un .vn ) = a.b
un a
• lim = (nếu b ≠ 0 )
vn b

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un = a thì a ≥ 0 và
lim un = a
c) Nếu un ≤ vn , ∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q 2 + ... = 1 ( q < 1)
1− q

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a thì
khi a > 0
 +∞
lim ( un .vn ) = 
khi a < 0
 −∞
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:
0 ∞
, , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vơ
0 ∞
định.

b, Giới hạn hàm số.
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số)
x → x0

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
 +∞ khi k = 2n

lim x k = +∞ ; lim x k = 
x →+∞
x →−∞
 −∞ khi k = 2n + 1
lim c = c ; lim c = 0
x →±∞
x →±∞ x k
1
1
lim− = −∞ ; lim+ = +∞
x →0 x
x →0 x
1
1
lim− = lim+ = +∞
x →0 x
x →0 x
2. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
* Quy tắc 1:
Nếu lim f ( x) = L ≠ 0 và lim g ( x ) = ±∞ thì:

x → x0

2. Định lí:
f ( x) = L và lim g ( x ) = M
a) Nếu xlim
→ x0
x → x0

[ f ( x) + g ( x) ] = L + M

thì: xlim
→ x0
lim [ f ( x) − g ( x) ] = L − M

x → x0

lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M

x → x0

f ( x) L
=
(nếu M ≠ 0)
x → x0 g ( x )
M
b) Nếu f ( x ) ≥ 0 và lim f ( x) = L
lim

x → x0

x → x0

thì L ≥ 0 và xlim
→x

lim f ( x) = L

f ( x) = L

x → x0

0

f ( x) = L thì lim f ( x) = L
c) Nếu xlim
→ x0
x → x0

L>0

3. Giới hạn một bên:
lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x) = L

L<0

x → x0

x → x0

lim− f ( x ) = lim+ f ( x) = L

x → x0

x → x0

x → x0

⇔

x → x0

lim g ( x )

x → x0

+∞
−∞
+∞
−∞

lim f ( x).g ( x )

x → x0

+∞
−∞
−∞
+∞

* Quy tắc 2:
f ( x) = L ≠ 0 và lim g ( x ) = 0 thì:
Nếu xlim
→ x0
x → x0


lim f ( x) = L

Dấu của
g ( x)

lim g ( x )

x → x0

x → x0

+
−
+
−

L>0
0

L<0

f ( x)
g ( x)
+∞
−∞
−∞
+∞

lim

x → x0

c, Hàm số liên tục.

f ( x) = f ( x0 )
* Hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số y = f ( x ) liên tục tại x0 ⇔ xlim
→ x0

Để xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f ( x0 ) .

f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim+ f ( x) , lim− f ( x ) )
B2: Tính xlim
→ x0
x → x0
x → x0
f ( x) với f ( x0 ) và rút ra kết luận.
B3: So sánh xlim
→ x0

* Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số y = f ( x ) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
* Hàm số liên tục trên một đoạn [ a; b ] :

f ( x) = f (a ), lim− f ( x) = f (b)
Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( a; b ) và xlim
→a+
x →b
• Hàm số đa thức liên tục trên ¡ .
• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
• Giả sử các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục tại điểm x0 . Khi đó:
+, Các hàm số y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) .g ( x ) liên tục tại x0 .
+, Hàm số y =

f ( x)

liên tục tại x0 nếu g ( x0 ) ≠ 0 .
g ( x)

* Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì ∃c ∈ ( a; b ) : f ( c ) = 0 .

Nói cách khác: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình
f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ ( a; b ) .

2. Đạo hàm
a, Các cơng thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
(u ± v ) ' = u '± v '
c ' = 0 ; ( x) ' = 1
(u.v) ' = u '.v + v '.u
( x n ) ' = n.xn −1
(k .u ) ' = k .u '
'

 u  u '.v − v '.u
 ÷=
v2
v
'

v'
1
 ÷=− 2
v
v

( u ) ' = n.u
n

n −1

.u '

'

u'
1
 ÷=− 2
u
u
u'
u '=
2 u

'

1
1
 ÷=− 2
x
 x
1
x '=
2 x

( )

( )

+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm số y = f u ( x )  thì y ′x = fu′. u ′x
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:

( sin x ) ' = cos x
( cos x ) ' = − sin x

( sin u ) ' = u '.cos u
( cos u ) ' = −u '.sin u

1
cos 2 x
1
(cot x) ' = − 2
sin x

( tan u ) ' =

( tan x ) ' =

u'
cos 2 u
u'
(cot u ) ' = − 2
sin u

b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M 0 có hồnh độ x0 có dạng:

y = f ′ ( x0 ) . ( x − x0 ) + f ( x0 )
c, Đạo hàm cấp cao:
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f ′′ = ( f ′ ) ′ .

(

)

- Đạo hàm cấp n của hàm số: f ( n ) = f ( n −1) ′ .
II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
n3 − 2n bằng:
Câu 1: lim
1 − 3n 2
1
A. −
3
Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

n3 + 4n − 5 bằng:
lim 3
3n + n 2 + 7
1

A.
B. 1
3
Kết quả L = lim ( 5n − 3n3 ) là
A. – 4
B. −∞
1
lim
bằng:
n +1 − n

(

)

Câu 6:

Câu 7:

2
Tính lim 9n − n + 1 . Kết quả là:
4n − 2
2
3
A.
B.
3
4

Biết lim lim n

(

C.

B. −∞

A. 1
Câu 5:

C. −∞

B. +∞

)

1
4

D.

2
3

D.

1
2

C. +∞

D. – 6

C. +∞

D. 0

C. 0

D. 3

2n2 + 1 − 2n2 − 3 = a+ b . Tính giá trị biểu thức P = a2 + b2

A. P = 4 .
32 n + 2 − 4.2n
lim n +1 n bằng:
9 −4

B. P = 5 .

A. 0.

B. 1.

C. P = 9 .

C.

1
.

3

3n − 4.2n +1 − 3 bằng:
Câu 8:
3.2n + 4n
A. +∞
B. 1
C. 0
n
n −1
2 + 5 . Khi đó limu bằng:
n
Câu 9: Cho un =
5n
7
1
A. 0
B.
C.
5
5
Câu 10: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
n
n
n
A. ( 0, 999 ) .
B. ( −1, 01) .
C. ( 1, 01) .

D. P = 2 .

D.

1
.
9

lim

Câu 11: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?
2n 2 − 3
2n 2 − 3
2n 2 − 3
A. lim
B.
C.
lim
lim
−2n3 − 4
−2n 2 − 1
−2n3 + 2n2
Câu 12: Dãy số nào sau đây có giới hạn vô cực?
−1 + 2n 2
5n + 2 + 2.3n
n2 + n + 1
A. un =
B. un =
C.
u
=

n
5n + 5
4n + 5n +1
n − 5n 2

D. −∞

D. 1
D. ( −2, 001) .
n

D. lim

2n3 − 3
−2n 2 − 1

D. un =

1− n
5n + 5


1
1
1
Câu 13: Cho dãy số ( un ) với un = 1.3 + 3.5 + ... + ( 2n − 1) ( 2n + 1) . Khi đó lim un bằng:
1
1
A.
B.

C. 1
D. 2
2
4
Câu 14: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim un = +∞ thì lim un = +∞
B. Nếu lim un = −a thì lim un = a
1
C. Nếu lim un = L thì lim un = L
D. Nếu lim un = +∞ thì lim = 0
un
Câu 15: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
n

1
A. lim  ÷ = 0, n ∈ N
4
1
C. lim k = 0, k ∈ Z
n

B. lim

1
= 0, n ∈ N
n +1
2

n

3
D. lim  ÷ = 0, n ∈ N
5

( −1)
1 1 1
Câu 16: Tổng của cấp số nhân vơ hạn − ; ; − ;...; n−1 ;... có giá trị là bao nhiêu?
3 6 12
3.2
1
5
2
2
A. − .
B. − .
C. − .
D. − .
2
6
3
9
1 1 1 1
 1 1
Câu 17: Tổng S =  − ÷+  − ÷+ ... +  n − n ÷+ ... có giá trị là:
 2 3  4 9
2 3 
2
3
1
A. 1

B.
C.
D.
3
4
2
n

Câu 18: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của nó là

9
. Số hạng đầu
4

của cấp số nhân đó là
A. 3

B. 4

9
2

C. 5

D.

C. 1.

D. 3 .

C. 1.

D.

C. 1

D. −

C. –1

D. 0

2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

x 2 − 2 x + 3) bằng
(
Câu 19: Giá trị của lim
x →1
A. 0.
B. 2 .
2 x 2 − 3 x + 1 bằng
Giá
trị
của
lim
Câu 20:
x →1
x2 −1
1
A. 0.

B. .
2
2
x + 3 x − 4 bằng:
Câu 21: xlim
→−4
x2 + 4x
5
A. −1
B.
4
2
x + 1 − x + x + 1 bằng
Câu 22: lim
x→0
x
1
A. −∞
B. −
2
f ( x) = 8. Tính lim 3 f ( x) − 1 .
Câu 23: Cho lim
x →2
x →2

A.

3

B. 1

7
3

Câu 24: xlim
→−1

(

x +1

x2 + 3 − 2

bằng

2
.
3

5
4

)

C.

3

2 −1

D. Đáp án khác


A. −∞
Câu 25: xlim
→−1

x3 + x 2

( x + 1)

A. 2
Câu 26:

lim

x →+∞

(

3

2
3

D. −

2
3

B. 1

C.

B. 1

C. −∞

D. +∞

B. +∞

C. 0

D. 4

B. –1

C. 3

D. −∞

C. −2

D. −∞

C. −10

D. −6

là

)

x + 5 − x − 7 bằng

A. −∞
3 x 2 − x5 bằng
Câu 27: xlim
→+∞ x 4 + 6 x + 5
A. +∞
x 4 − 16 bằng:
Câu 28: lim
x →2 8 − x3
8
A. −
3
Câu 29: Cho xlim
→−∞

(

B.

)

1
3

x 2 + ax + 5 + x = 5 . Giá trị của a là:

A. 6

B. 10

x + 1 . Chọn giá trị đúng của lim f ( x ) ?
x →+∞
2 x + x2 − 3
1
2
A. 0
B.
C.
D. +∞
2
2
6 x 2 + 3x + 5 x
Biết
lim
= a + b ( a, b ∈ ¢ ) . Tính giá trị biểu thức P = a 2 + b2 .
Câu 31:
2
x →+∞
4x +1 − x
A. P = 40 .
B. P = 13 .
C. P = 61 .
D. P = 41 .
Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = x.

5 x 2 + 3x − 4 x

2

4

b
( a, b, c ∈ ¥ * ; b < 10 ) . Tính giá trị biểu thức P = a + b − c .
2
c
9x + 6x − x
A. P = 2 .
B. P = 1 .
C. P = 3 .
D. P = 9 .

Câu 32: Biết xlim
→−∞

Câu 33: Biết xlim
→−∞
A. P = 9 .
Câu 34: lim−
x →1

2 x 2 + 3x − 4 x
9x + 6x − x
2

Câu 35:

x →−3

b
c

= a+

( a, b, c ∈ ¥ ; b < 8) . Tính giá trị biểu thức P = a + b + c .

B. P = 6 .

*

C. P = 2 .

D. P = 7 .

C. 0

D. 1

1 − x3 bằng
3x 2 + x

A. +∞
lim−

=a+

B.

1
3

x 2 − 6 bằng
9 + 3x

1
B. −∞
6
Câu 36: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
1
1
A. lim− = − ∞
B. lim+ 5 = +∞
x →0 x
x →0 x
x2 + 1
lim
Câu 37: x →−1 x 2 + x x 3 + 1 là:
(
)(
)
A.

A. +∞
B. −∞
4
3x − 2 x + 3 bằng

Câu 38: xlim
→+∞ 5 x 4 + 3 x + 1

1
3

D. +∞

C. lim

1
= +∞
x→0 x

D. xlim
→0+

C. 2

D. −2

C.

1
=+∞
x


4
3

C.
9
5
Hàm
nào
trong
các
hàm
sau
khơng
có
giới
hạn
tại
điểm
x = 2?
Câu 39:
2
3
A. f ( x ) = 3 x − 2 .
B. f ( x ) = x − 5 x + 6 . C. f ( x ) =
.
x−2
x−2
A. +∞

B.

 x − 2 + 3
Câu 40: Cho hàm số f ( x ) = 

 ax − 1
A. 2
B. 3

D. 0

D. f ( x) =

x
.
x−2

khi x ≥ 2
f ( x ) tồn tại, giá trị của a là:
. Để lim
x →2
khi x < 2
C. 4
D. 1

3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 41: Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 1 ?
A. f ( x ) = 2 − x .
B. f x = 3 x − 7 . C. f ( x ) = 2 x .
D. f ( x ) = x + 1 .
( )
2
x +1
2x −1
x +1

2
Câu 42: Cho hàm số f ( x ) = x − 3x − 4 . Khi đó hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng nào sau đây:
A. ( −4; −1) .

B. ( 2; 4 ) .

C. ( −∞;1) .

D. ( −4; +∞ ) .

2
Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = −2 x + 3 x + 5 . Khi đó hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng nào sau đây:

A. ( 0; 2 ) .

B. ( 2; 4 ) .

C. ( −∞; 2 ) .

D. ( 4; +∞ ) .

2
Câu 44: Cho hàm số f ( x ) = − x + 3x + 4 . Khi đó hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng nào sau đây:

A. ( −3; 2 ) .

B.

( −4; +∞ ) .

 x4 + x
 x 2 + x khi x ≠ 0 ; x ≠ −1

Hàm
số
f
x
=
khi x = −1
(
)
3
Câu 45:
1
khi x = 0



C. ( −∞;3 ) .

D. ( 2; 4 ) .

A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [ −1;0]
B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0
C. Liên tục tại mọi điểm x ∈ ¡
D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = −1
 − x cos x khi x < 0
 2
 x
Hàm

số
f
x
=
khi 0 ≤ x < 1
(
)

Câu 46:
1
+
x

 x 3
khi x ≥ 1
A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1
B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0
C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1
D. Liên tục tại mọi điểm x ∈ ¡
2x +1
?
Câu 47: Kết luận nào sau đây đúng về hàm số f ( x) = 2
x −1
1
A. Hàm số gián đoạn tại x = −
B. Hàm số cắt trục hồnh tại ít nhất một điểm
2
C. Hàm số liên tục tại x = 0
D. Hàm số liên tục ¡
3

 3x + 2 − 2
khi x > 2

x
−
2
. Xác định a để hàm số liên tục tại x = 2 .
Câu 48: Cho hàm số f ( x ) = 
 ax + 1
khi x ≤ 2

4
A. a = 0
B. a = 3
C. a = 2
D. a = 1


 2x + 3 + 3
khi x ≥ −1

m
Tìm
để
hàm
số
liên tục trên ¡ .
f
x
=

(
)

Câu 49:
7 x −1
khi
x
<
−
1
 2
 x + 2mx + 3m + 2
A. m = 1 .
B. m = −5 .
C. m = 5 .
D. m = −1 .
Câu 50: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −3; 4] , f ( −3 ) = −1, f ( 4 ) = 7 . Có thể kết luận gì về số nghiệm
của phương trình f ( x ) = 6 trên [ −3; 4] ?
A. Vô nghiệm.
B. Có ít nhất 1 nghiệm.
C. Có 2 nghiệm.
D. Khơng thể kết luận gì.
7
Câu 51: Cho phương trình 5 x + 4 x − 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .
1 
B. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  ; 1÷.
2 
C. Phương trình đã cho vơ nghiệm.
D. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.

4
2
Câu 52: Cho phương trình 2 x − 5 x + x + 1 = 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng ( −2;1)
B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( 0; 2 )
C. Phương trình (1) khơng có nghiệm trong khoảng ( −2;0 )
D. Phương trình (1) khơng có nghiệm trong khoảng ( −1;1)
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
3
Câu 53: Số gia của hàm số f ( x ) = x − 2 x + 1 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia ∆x = 1 bằng bao nhiêu?
A. −17
B. 5
C. 17
D. −5
2
Câu 54: Số gia của hàm số y = x − 1 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia ∆x = 0,1 bằng bao nhiêu?
A. − 0, 01 .
B. 0, 21 .
C. 0,99 .
D. 0, 41 .
2
Câu 55: Số gia của hàm số f ( x ) = x − 4 x + 1 ứng với x và ∆x là:

A. ∆x ( ∆x + 2 x − 4 ) .

B. 2 x + ∆x.
C. ∆x. ( 2 x − 4∆x ) .
∆y
2
ứng với x0 = 2 và ∆x là

Câu 56: Cho hàm số y = x − x . Tỷ số
∆x
A. ∆x + 1 .
B. ∆x + 2 .
C. ∆x + 3 .
4
Đạo
hàm
của
hàm
số
tại
điểm
là
x
=
2
y=x +x
Câu 57:
0
A. 32
B. 33
C. 34
Câu 58: Cho hàm số f ( x ) = x − 1 . Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:
1
A.
B. 1
C. 0
2
3

2
Câu 59: Cho hàm số f ( x ) = x − x − 3 x . Giá trị f ′ ( −1) bằng bao nhiêu?

D. 2 x − 4∆x.

D. ∆x + 4 .
D. 35

D. Không tồn tại

A. −2 .
B. −1 .
C. 0 .
D. 2 .
2
Câu 60: Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc
của chất điểm tại thời điểm t0 = 3 bằng
A. 5 m s .
B. 4 m s .
C. 6 m s .
D. 9 m s .
5
2
Câu 61: Đạo hàm của hàm số y = x − 2 x + 3 là:
A. 4 x 4 − 2 x .

B. x 4 − 4 x .
1
Câu 62: Hàm số nào sau đây có y ' = 2 x + 2 ?
x

3
x +1
3( x 2 + x)
A. y =
B. y =
x
x3

C. 5 x 4 − 4 x .

C. y =

x3 + 5 x − 1
x

4
D. 4 x − 4 x .

D. y =

2x2 + x −1
x


2
+ 5 bằng biểu thức nào sau đây:
x
2
2
2

2
4
4
4
A. 10 x + 2 + 5 .
B. 10x − 2 .
C. 10x + 2 .
D. 10x + 2 .
x
x
x
x
7
Đạo
hàm
của
hàm
số
bằng
biểu
thức
nào
sau
đây:
y = −2 x + x
Câu 64:
2
1
1
6

6
6
A. −14 x 6 + 2 x
B. −14x +
C. −14 x +
D. −14x +
x
2 x
x
3
2
Câu 65: Cho hàm số y = 3x + x + 1 . Để y ′ ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây:
9
2
 2 
 9 


A.  − ;0 
B.  − ;0 
C.  −∞; −  ∪ [ 0; +∞ ) D.  −∞; −  ∪ [ 0; +∞ )
2
9
 9 
 2 


3
2
Câu 66: Cho hàm số f ( x ) = x + 2 x − 7 x + 3 . Để f ′ ( x ) ≤ 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào sau đây:

 7 
 7
 7 
 7 
A.  − ;1 .
B.  −1;  .
C.  − ;1 ÷.
D.  − ;1 .
 3 
 3
 3 
 3 
3
Câu 67: Cho hàm số f ( x ) = 2mx − mx . Số x = 1 là nghiệm của bất phương trình f ' ( x ) ≤ 1 khi và chỉ khi:
5
Câu 63: Đạo hàm của hàm số y = 2 x −

A. m ≥ 1

B. m ≤ −1
1
bằng :
Câu 68: Đạo hàm của y = 2
2x + x + 1
− ( 4 x + 1)
− ( 4 x − 1)
2
2
A.
B.

( 2 x 2 + x + 1)
( 2 x 2 + x + 1)

C. −1 ≤ m ≤ 1

C.

( 2x

D. m ≥ −1

−1

+ x + 1)

2

D.

2

x 2 + 2 x − 3 . Đạo hàm ′ của hàm số là
y
Câu 69: Cho hàm số y =
x+2
3
x2 + 6 x + 7
x2 + 4 x + 5
A. 1+
B.

C.
( x + 2) 2
( x + 2) 2
( x + 2) 2
x 2 + x + 3 bằng
Câu 70: Đạo hàm của y = 2
x + x −1
2 ( 2 x + 1)
4 ( 2 x + 1)
4 ( 2 x − 1)
2 .
2 .
2 .
A. − 2
B. − 2
C. − 2
( x + x − 1)
( x + x − 1)
( x + x − 1)
x 2 + 2 x − 3 bằng
Đạo
hàm
của
y
=
Câu 71:
x2 + 2 x −1
2 ( x + 1)
4 ( x + 1)
2

2 .
A. 2
.
B. 2
( x + 2 x − 1)
( x + 2 x − 1)
2 x 2 + 4 x + 5 bằng
Câu 72: Đạo hàm của y = 2
2x + 4 x −1
24 ( x + 1)
24 ( x + 1)
−
2
2 .
A.
.
B.
( 2 x2 + 4 x − 1)
( 2 x 2 + 4 x − 1)

C. −

C. −

(x

4 ( x + 1)
2

+ 2 x − 1)

2

D.

2

+ 4 x − 1)

( 2x

D. −

.

2

.

D.

+ x + 1)

2

2

x2 + 8x + 1
( x + 2) 2

D. −

16 ( x + 1)

( 2x

( 4 x + 1)

4 ( 2x + 4)

(x

(x

2

+ x − 1)

.

2

2 ( x + 1)
2

2

.

2

.

+ 2 x − 1)

16 ( x + 1)

( 2x

2

+ 4 x − 1)

1 − 3 x + x . Tập nghiệm của bất phương trình ′
f ( x) > 0 là
Câu 73: Cho hàm số f ( x ) =
x −1
A. ¡ \{1}
B. ∅
C. ( 1; +∞ )
D. ¡
2

5
2
Câu 74: Đạo hàm của y = ( x − 2 x ) là :
2

A. 10 x 9 − 28 x 6 + 16 x3

B. 10 x 9 − 14 x 6 + 16 x 3 C. 10 x 9 + 16 x 3

2
Câu 75: Đạo hàm của hàm số f ( x) = ( 3 − x )

A. 10 x ( 3 − x 2 ) .
9

bằng biểu thức nào sau đây:

B. 10 ( 3 − x 2 ) .
9

3
2
Câu 76: Đạo hàm của hàm số y = ( x − 2 x )

A. y ' = 2016 ( x 3 − 2 x 2 )

10

2015

.

2016

D. 7 x 6 − 6 x3 + 16 x

C. 20 x ( 3 − x 2 ) .

D. −20 x ( 3 − x 2 ) .

B. y ' = 2016 ( x 3 − 2 x 2 )

2015

9

9

là:

( 3x

2

− 4x ) .


3
2
2
C. y ' = 2016 ( x − 2 x ) ( 3x − 4 x ) .

3
2
2
D. y ' = 2016 ( x − 2 x ) ( 3x − 2 x ) .

Câu 77: Đạo hàm của y = 3 x 2 − 2 x + 1 bằng
3x − 1
6x − 2
A.
B.
2
3x − 2 x + 1
3x 2 − 2 x + 1
Câu 78: Đạo hàm của y = x 2 − 4 x 3 bằng
1
x − 6x2
′=
y
A. y′ =
.
B.
.
2 x 2 − 4 x3
x 2 − 4 x3
Câu 79: Đạo hàm của hàm số y = x. x 2 − 2 x là:
A. y ' =

2x − 2

.

B. y ' =

3x 2 − 4 x

.

C.

3x 2 − 1

D.

3x − 2 x + 1
2

C. y′ =

C. y ' =

x − 12 x 2
2 x 2 − 4 x3
2 x 2 − 3x

.

1
2 3x − 2 x + 1

D. y′ =

.

D. y ' =

1 + cot 2 2 x
cot 2 x

D. y ′ =

2

x − 6x2
2 x 2 − 4 x3
2 x2 − 2x −1

x2 − 2x
x2 − 2x
x2 − 2x
x2 − 2x
2
Câu 80: Cho hàm số f ( x ) = 2 x − 3 x . Để f ′ ( x ) < 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây:
1

 1
1 2
1

A.  −∞; ÷.
B.  0; ÷ .
C.  ; ÷.
D.  ; +∞ ÷ .
3

 3

3 3
3

π

Câu 81: Hàm số y = sin  − 2 x ÷ có đạo hàm là:
2

π

π

A. y′ = cos  − 2 x ÷.
B. y′ = −2 cos  − 2 x ÷.
2

2

π

π

C. y′ = − cos  − 2 x ÷.
D. y′ = 2 cos  − 2 x ÷.
2

2

Đạo
hàm

của
hàm
số
là:
y = 3sin 2 x + cos 3 x
Câu 82:
A. y ' = 3cos 2 x − sin 3x.
B. y ' = 3cos 2 x + sin 3x.
C. y ' = 6 cos 2 x − 3sin 3 x.
D. y ' = −6 cos 2 x + 3sin 3 x.
1
có đạo hàm là biểu thức nào sau đây:
Câu 83: Hàm số g ( x ) =
cos 2 x
2sin 2 x
2
sin 2 x
2sin 2 x
A.
.
B. −
.
C. −
.
D. −
.
2
2
2
cos 2 x

cos 2x
cos 2 x
cos 2 2 x
Câu 84: Hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là:
1
1
1
1
−
+
A. y ′ =
B. y ′ =
sin x
cos x
sin x
cos x
cos x
sin x
cos x
sin x
−
+
C. y ′ =
D. y ′ =
sin x
cos x
sin x
cos x
Câu 85: Hàm số y = cot 2 x có đạo hàm là:
1 + tan 2 2 x

−(1 + tan 2 2 x)
′
B. y =
C.
cot 2 x
cot 2 x
Hàm số y = x tan 2 x có đạo hàm là:
2x
2x
A. tan 2 x +
B.
C.
2
cos x
cos 2 2 x
Hàm số y = ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) có đạo hàm là:
A. y ′ = cos x − sin x + 1
B.
C. y ′ = cos x − sin x + cos 2 x
D.
Hàm số nào sau đây có đạo hàm y′ = x sin x ?
A. y = x cos x .
B. y = sin x − x cos x . C.
sin x
Hàm số y =
có đạo hàm là:
x
x sin x − cos x
x cos x − sin x
A. y ′ =

B. y ′ =
C.
2
x
x2
A. y ′ =
Câu 86:

Câu 87:

Câu 88:
Câu 89:

y′ =

tan 2 x +

2x
cos 2 2 x

.

.

−(1 + cot 2 2 x)
cot 2 x

D. tan 2 x +

x

cos 2 2 x

y ′ = cos x + sin x + cos 2 x
y ′ = cos x + sin x + 1

y = sin x − cos x .

y′ =

D. y = x cos x − cos x .

x cos x + sin x
x sin x + cos x
D. y ′ =
2
x
x2


4
Câu 90: Hàm số y = cot 2 x có đạo hàm là:
−8 cos3 2 x
−8cos3 2 x
−8cos 3 2 x
−4 cos 3 2 x
′
′
′
A. y ′ =
.

B.
.
C.
.
D.
.
y
=
y
=
y
=
sin 5 2 x
sin 6 2 x
sin 2 2 x
sin 5 2 x
Câu 91: Cho hàm số y = sin 2 + x 2 . Đạo hàm y ′ của hàm số là
2x + 2
x
cos 2 + x 2
cos 2 + x 2
A.
B. −
2
2
2+ x
2+ x
x
( x + 1)
cos 2 + x 2

cos 2 + x 2
C.
D.
2
2
2+ x
2+ x
3
Câu 92: Cho hàm số y = f ( x ) = cos 2 x . Hãy chọn khẳng định đúng?

π 
A. f ′  ÷ = −1
2

B. f ′ ( x ) =

−2sin 2 x

π 
C. 3 y. y′ + 2sin 2 x = 0 D. f ′  ÷ = 1
3 cos 2 x
2
3

2

π x 
Câu 93: Cho hàm số y = sin  − ÷. Khi đó phương trình y ' = 0 có nghiệm là:
 3 2
π

π
π
π
A. x = + k 2π
B. x = − kπ
C. x = − + k 2π
D. x = − + kπ
3
3
3
3
3
Câu 94: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x − 5 x + 4 tại điểm M (−1;8) là:
A. y = −2 x + 6
B. y = 2 x − 6
C. y = − x + 3
D. y = x − 3
3
2
Câu 95: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = x − x + 2 x − 1 tại điểm có hồnh độ x0 = −2 là
A. y = 18 x + 19 .
B. y = 18 x − 19 .
C. y = 20 x + 4 .
D. y = 20 x − 4 .
3
2
Câu 96: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = x − 2 x + x − 1 tại điểm có hồnh độ x0 = −2 là
A. y = 16 x − 37 .
B. y = 16 x + 37 .
C. y = 8 x − 11 .

D. y = 8 x + 11 .
2
Câu 97: Cho hàm số y = x + 5 x + 4 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục
Ox , có phương trình:
A. y = 3x − 3 hoặc y = −3 x + 12
B. y = 3x + 3 hoặc y = −3 x − 12
C. y = 2 x − 3 hoặc y = −2 x + 3
D. y = 2 x + 3 hoặc y = −2 x − 3
3
Câu 98: Cho đường cong (C): y = x . Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k = 12 , có phương trình:
A. y = 12 x ± 16
B. y = 12 x ± 8
C. y = 12 x ± 2
D. y = 12 x ± 4
2
Câu 99: Cho hàm số y = x − 2 x + 3 có đồ thị (C). Tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến có hệ số góc bằng
2 thì x0 + y0 bằng:
A. 2

B. 3

C. 4
3

D. 5

x
2
Câu 100: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = − − 2 x − 3 x + 1 . Có hai tiếp tuyến của (C) cùng có hệ số góc
3

3
bằng . Đó là các tiếp tuyến:
4
3
29
3
3
37
3
A. y = x +
hoặc y = x + 3
B. y = x −
hoặc y = x − 3
4
24
4
4
12
4
3
37
3
13
3
29
3
C. y = x +
hoặc y = x +
D. y = x −
hoặc y = x + 3

4
12
4
4
4
24
4
3
2
Câu 101: Cho hàm số y = 2 x + 3x − 4 x + 5 có đồ thị là (C). Trong số các tiếp tuyến của (C), có một tiếp
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng:
7
11
15
19
A. −
B. −
C. −
D. −
2
2
2
2
3
2
Cho
hàm
số
có
đồ

thị
(C).
Tiếp
tuyến
của
(C)
song
song
với đường thẳng
y = x − 6x + 9x
Câu 102:
d : y = 9 x có phương trình:
A. y = 9 x + 40
B. y = 9 x − 40
C. y = 9 x + 32
D. y = 9 x − 32
x
Câu 103: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = sin x , x ∈ [ 0; 2π ] song song với đường thẳng y = là
2
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .


4
Câu 104: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x + x . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d : x + 5 y = 0
có phương trình là:
A. y = 5 x − 3
B. y = 3x − 5

C. y = 2 x − 3
D. y = x + 4
4
2
Câu 105: Cho hàm số y = x − 3x có đồ thị là (C). Các tiếp tuyến khơng song song với trục hồnh kẻ từ
gốc tọa độ O(0;0) đến (C) là:
A. y = 2 x hoặc y = −2 x
B. y = x hoặc y = − x
4
4
C. y = x hoặc y = − x
D. y = 3x hoặc y = −3 x
3
3
x2
Cho
hàm
số
y = − x + 1 có đồ thị (C). Từ điểm M (2; −1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân
Câu 106:
4
biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:
A. y = − x + 1 hoặc y = 0
B. y = − x + 3 hoặc y = x + 1
C. y = − x − 3 hoặc y = x − 1
D. y = − x − 1 hoặc y = x + 3
Câu 107: Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là 6x ?

A. y = 3x 2 .

B. y = 2 x 3 .

C. y = x 3 .

D. y = x 2 .

2 x 2 − 3 x . Đạo hàm cấp hai của hàm số
Cho
hàm
số
y = f ( x ) là
y
=
f
x
=
(
)
Câu 108:
x −1
1
2
−2
2
A. y ′′ = 2 +
2 .
B. y ′′ =
3 .
C. y ′′ =
3 .

D. y ′′ =
4 .
( 1− x)
(1− x)
(1− x)
(1− x)
Câu 109: Cho hàm số y = cos 2 x . Khi đó y ''(0) bằng
A. – 2
B. 2 3
C. – 4
D. −2 3
Câu 110: Cho y = 3sin x + 2 cos x . Tính giá trị biểu thức A = y ''+ y là:
A. 0.
B. 2.
C. A = 4 cos x.
D. A = 6sin x + 4 cos x.
Câu 111: Cho hàm số y = sin 2 x . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
2
A. 4 y − y′′ = 0 .
B. 4 y + y′′ = 0 .
C. y = y′ tan 2 x .
D. y 2 + ( y′ ) = 4 .
π

( 4)
Câu 112: Xét hàm số f ( x ) = cos  2 x − ÷ . Trên đoạn [ 0; π ] , phương trình f ( x ) = −8 có nghiệm là
3


π

5π
π
5π
π
π
A. x = , x =
.
B. x = , x =
.
C. x = 0, x = .
D. x = 0, x = .
2
6
3
6
3
2
B. HÌNH HỌC
I. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
uuur uuur uuur
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD , ta có: AB + AD = AC
uuur uuur uuur uuuu
r
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ , ta có: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
uu
r uur r uuu

r uuur
uur
Ta có: IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC , O tuỳ ý.
uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuu
r uuur
uuur
Ta có: GA + GB + GC = 0;
OA + OB + OC = 3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
uuu
r uuur uuur uuur r
uuu
r uuur uuur uuur
uuur
Ta có: GA + GB + GC + GD = 0;
OA + OB + OC + OD = 4OG
r
r
r
r r
r
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương (a ≠ 0) ⇔ ∃!k ∈ ¡ : b = ka
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠ 1) , O tuỳ ý.
uuu
r uuur
uuur

uuur
uuuu
r OA − kOB
Ta có: MA = k MB; OM =
1− k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.


r
r
r r r
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , trong đó a và b khơng cùng phương.
r
r r r
r
r
Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃ ! m, n ∈ ¡ : c = ma + nb
r
r
r r r
r
r
r
• Cho ba vectơ a , b , c khơng đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ∃ ! m, n, p ∈ ¡ : x = ma + nb + pc
3. Tích vơ hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
uuur r uuur r
r r ·
·

AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC
(00 ≤ BAC
≤ 1800 )
• Tích vơ hướng của hai vectơ trong không gian:
rr r r
r r
r r r
+ Cho u , v ≠ 0 . Khi đó: u .v = u . v .cos(u , v )
rr
r r
r r
+ Với u = 0 hoặc v = 0 . Qui ước: u .v = 0
r r
rr
+ u ⊥ v ⇔ u .v = 0
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
r
r r
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a ≠ 0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d.
2. Góc giữa hai đường thng:
ã a // a, b // b ( aả, b ) = ( a· ', b ')
r r
r
r
• Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, (u , v ) = α .
·
α
neu 00 ≤ α ≤ 1800
Khi đó: a, b =  0
0

0
180 − α neu 90 < α ≤ 180
• Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( a¶, b ) = 00

( )

Chú ý: 00 ≤ ( a¶, b ) ≤ 90 0
3. Hai đường thẳng vng góc
• a ⊥ b ( aả, b ) = 900
r
r
rr
ã Gi s u l VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a ⊥ b ⇔ u .v = 0 .
• Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
III. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa
d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng
 a, b ⊂ ( P ), a ∩ b = O
⇒ d ⊥ ( P)

 d ⊥ a, d ⊥ b
3. Tính chất

• Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
 a // b
a ≠ b
⇒ ( P) ⊥ b
⇒ a // b

•
•
( P ) ⊥ a
 a ⊥ ( P), b ⊥ ( P )
( P) // (Q)
( P ) ≠ (Q)
⇒ a ⊥ (Q)
⇒ ( P ) // (Q)
•
•
 a ⊥ ( P)
( P ) ⊥ a, (Q) ⊥ a
 a // ( P)
a ⊄ ( P)
⇒b⊥a
⇒ a // ( P)
•
•
b ⊥ ( P )
 a ⊥ b, ( P ) ⊥ b
4. Định lí ba đường vng góc
Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ là hình chiếu của a trên ( P ) . Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) thì ( d· , ( P) ) = 900.
• Nếu d ⊥ ( P ) thì ( d· , ( P) ) = ( d· , d ') với d ′ là hình chiếu của d trên ( P ) .


Chú ý: 00≤ ( d· , ( P) ) ≤ 900.
IV. HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
1. Góc giữa hai mặt phẳng

 a ⊥ ( P)
⇒ ( (·P ), (Q) ) = ( aả, b )
ã
b

(
Q
)


a ( P ), a ⊥ c
• Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c . Từ I ∈ c , dựng 
⇒( (·P ), (Q) ) = ( a¶, b )
b
⊂
(
Q
),
b
⊥
c

0
0
·
Chú ý: 0 ≤ ( ( P), (Q) ) ≤ 90

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác ( H ) trong ( P ) , S ′ là diện tích của hình chiếu ( H ′ ) của ( H ) trên
( Q ) , ϕ = ( (·P), (Q ) ) . Khi đó: S ′ = S .cosϕ

3. Hai mặt phẳng vng góc
• (P) ⊥ (Q) ⇔( (·P ), (Q) ) = 900
( P ) ⊃ a
⇒ ( P ) ⊥ (Q )
• Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: 
 a ⊥ (Q)
4. Tính chất
( P ) ⊥ (Q), ( P) ∩ (Q) = c
⇒ a ⊥ (Q)
•
 a ⊂ ( P ), a ⊥ c
( P ) ⊥ (Q)

⇒ a ⊂ ( P)
•  A ∈ ( P)
 a ∋ A, a ⊥ (Q)

 ( P ) ∩ (Q ) = a

⇒ a ⊥ ( R)
• ( P ) ⊥ ( R )
(Q) ⊥ ( R)

V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Cho điểm M và một đường thẳng ∆ . Trong mp ( M , ∆ ) gọi H là hình chiếu vng góc của M
trên ∆ . Khi đó: d ( M , ∆ ) = MH
Nhận xét: - OH ≤ OM , ∀M ∈ ∆
- Nếu ∆ và ∆ ' song song với nhau thì d (∆, ∆ ') = d ( M , ∆ ') = d ( N , ∆)

2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.


Cho mặt phẳng ( α ) và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( α ) . Khi

đó: d ( M , ( α ) ) = MH
3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng.

Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( α ) song song với nhau.

Khi đó d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) , M ∈ ∆ , M bất kì.
- Nếu ∆ cắt (α ) hoặc ∆ nằm trong (α ) thì d (∆, (α )) = 0 .
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) song song với nhau. Khi đó:

d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M ,( β ) ) = d ( N,( α ) ) , M ∈( α ) , N ∈( β ) .

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b . Độ dài đoạn vng góc chung MN của a và b được gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b .

II. BÀI TẬP
1. PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHƠNG
GIAN

Câu 1:

Qua phép chiếu song song, tính chất nào khơng được bảo tồn ?

A. Chéo nhau.

B. đồng qui.

C. Song song.

D. thẳng hàng.


Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:
Câu 5:

Phép chiếu song song theo phương l không song song với a hoặc b , mặt phẳng chiếu là ( P ) ,
hai đường thẳng a và b biến thành a′ và b′ . Quan hệ nào giữa a và b khơng được bảo tồn đối
với phép chiếu song song ?
A. ( α ) / / ( P )
B. ( α ) ≡ ( P )
C. ( α ) / /l hoặc ( α ) ⊃ l
D. Cả 3 đáp án đều sai.
Phép chiếu song song theo phương l không song song với a hoặc b , mặt phẳng chiếu là ( P ) ,
hai đường thẳng a và b biến thành a′ và b′ . Quan hệ nào giữa a và b không được bảo toàn đối
với phép chiếu song song ?
A. Cắt nhau
B. Chéo nhau
C. Song song
D. Trùng nhau

Hình chiếu của hình chữ nhật khơng thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình chữ nhật
D. Hình thoi
Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định các điểm M , N tương ứng trên các đoạn AC ', B ' D '
sao cho MN song song với BA ' và tính tỉ số
A. 2

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

B. 3

Câu 10:

D. 1

2. VECTO TRONG KHÔNG GIAN
r
r r r
r r
Cho ba vectơ ar , br, cr không đồng phẳng. Xét các vectơ rx = 2ar − br; u
y = −4a + 2b; z = −3b − 2c .
Chọn khẳng định
u
r r đúng?

r u
r
A. Hai vectơ y; z cùng phương.
B. Hai vectơ x; y cùng phương.
r r
r u
r r
C. Hai vectơ x; z cùng phương.
D. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng.
Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Chọn đáp án sai trong các đẳng thức sau:
uuuu
r uuuu
r uuu
r uuur
uuuu
r uuur uuu
r uuur
A. AC ' = CC ' − CB − CD
' = BB ' + BA + BC
B. BD
uuu
r uuur uuur uuuur r
uuur uuu
r uuur uuuur
D. AB + BC '+ CD + D ' A = 0
C. AA ' + AB = AD + DD '
Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt
uuur r uuur r uuur r
AB = b; AC = c; AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 1 r r r

uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
A. MP = c + d + b
B. MP = c + b − d C. MP = d + c − b D. MP = d + b − c
2
2
2
2
Chọn mệnh đề sai:
uuur uuur uuur uuuu
r
A. AB + AD + AA ' = AC ' với ABCD. A′B′C ′D′ là hình hộp
uuur uuur uuur
B. AB + BC = AC
uuur uuur uuur
C. AB + AD = AC với ABCD là hình bình hành
uuur uuur uuur
D. AB − AC = BC
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để

(

Câu 9:

MA
.
MC '
C. 4

)

(

)

(

)

(

)

A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur
A. OA + OB = OC + OD
B. OA + OC = OB + OD
2
2
uuu
r u
uur uuur uuu2r
uuu
r u

uu
r uuur uuu2r r
C. OA + OC = OB + OD
D. OA + OB + OC + OD = 0
Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích
Câu 11:
uuuu
r
uuur uuur
hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AC + BD

(

)

1
1
B. k =
C. k = 3
D. k = 2
2
3
Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
Câu 12:
uuur uuu
r uuur uuur r
2
uuu
r uuur
AD

+
CA
+ BC + DB = 0
A.
B. AB.AC = a
2

A. k =


uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur
C. AC.AD = AC.CD
D. AB ⊥ CD hay AB.CD = 0
r
Cho tứ diện đều ABCD cạnh 3a. Tính uuur uuu
AC.CB
Câu 13:
9a 2
−9 a 2
a2
3a 2
B.
C.
D.
A.
2
2
2

2
Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a. Ta có
Câu 14: uuu
r uuur
AB.EG bằng:
D. a2 2
a 2
a 3
2
uu
r r uuur r uuur r gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong
Cho tứ diện ABCD . Đặt u
AB = a, AC = b, AD = c,
Câu 15:
các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
uuur r r r
A. AG = a + b + c
B. AG = a + b + c C. AG = a + b + c D. AG = a + b + c
3
2
4
Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
1 1 1 1
Câu 16:
uuur 1 uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu

r uuur uuur
A. AO = AB + AD + AA1
B. AO = AB + AD + AA1
3
2
uuur 1 uuu
r uuur uuur
uuur 2 uuu
r uuur uuur
C. AO = AB + AD + AA1
D. AO = AB + AD + AA1
4
3
3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
r và uuuu
r?
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ uuu
AB
DH
Câu 17:
A. 450
B. 900
C. 1200
D. 600
Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt
Câu 18:
uuuur
uuu
r
phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và OO ' ?

A. 600
B. 450
C. 1200
D. 900
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC
·
·
·
= BAD
= 600 , CAD
= 900 . Gọi I và J lần lượt là
Câu 19:
uu
r
uuur
trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ?
A. 450
B. 900
C. 600
D. 1200
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Câu 20:
A. Nếu a và b cùng vng góc với c thì a//b
B. Nếu a//b và c ⊥ a thì c ⊥ b
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a//b
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp (α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ·
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
·
·

ASB = BSC
= CSA
Câu 21: uuu
r
uuu
r
SC và AB .
A. 1200
B. 450
C. 600
D. 900
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt
Câu 22:
phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ
giác MNPQ là hình gì?
A. Hình bình hành.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình vng.
D. Hình thang.
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?
Câu 23:
A. 1200
B. 600
C. 900
D. 300
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và
Câu 24:
BC. Số đo của góc ( IJ, CD) bằng:
A. 900
B. 450

C. 300
D. 600
Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai
Câu 25:
đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
A. a2

B.

C.

2

(

(
(

)
)

)

2

(

(
(

)

(

)
)

)


Câu 26:

Câu 27:

·
·
·
A. AB'C
B. DA'C'
C. BB'D
Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

·
D. BDB'

A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vng góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng
vng góc với đường thẳng thứ hai.
B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vng góc với nhau thì chúng cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vng góc với nhau.
uuur uuuu
r
Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị u
B1M .BD1 là:
1 1 1 1
1 2
3 2
3 2
a
B. a 2
C. a
D. a
2
4
2
Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm CD, α là góc giữa AC và BM. Chọn

A.
Câu 28:

khẳng định đúng?
1
3
3
A. cos α =
B. cos α =
C. cos α =
D. α = 600
3

4
6
r
r
Cho a = 3; b = 5; góc giữa r và r bằng 1200. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
a
b
Câu 29:
r r
r r
r r
r
r
A. a + b = 19
B. a − b = 7
C. a − 2b = 139
D. a + 2b = 9
r
r
r r
Cho hai vectơ ar , br thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = 4 . Gọi α là góc giữa hai vectơ ar , br . Chọn
Câu 30:
khẳng định đúng?
3
1
A. cos α =
B. α = 300
C. cos α =
D. α = 600
8

3
4. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Câu 31:

Cho hình chóp SABC có SA⊥(ABC). Gọi H, K lần
lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề
nào sai trong các mệnh đề sau?
A. BC ⊥ (SAH).
B. HK ⊥ (SBC).
C. BC ⊥ (SAB).
D. SH, AK và BC đồng quy.

Câu 32:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy. Gọi
E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SC ⊥ ( AED )
B. SC ⊥ ( AFB )

Câu 33:

C. AC ⊥ ( SBD )
D. SC ⊥ ( AEF ) .
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vng góc với đáy. Hỏi BC vng góc
với mặt phẳng nào sau đây:
A. (SAC)
B. (SBD)

C. (SAB)

D. (SCD)


Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang
vng tại A và D, có AD=CD=a, AB=2a, SA⊥(ABCD),
E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau:
A. CE ⊥ (SAB)
B. CB ⊥ (SAB)
C. ∆SDC vng ở C
D. CE ⊥ (SDC)

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng ABCD, SA vng góc với đáy. Khi đó góc tạo bởi

đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng bao nhiêu độ, biết AB=a, SB=a
A. 300
B.600
C. 900
D. 1200
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng
2a 3 , các cạnh bên bằng 3a . Gọi γ là góc
Câu 36:
giữa SA và (ABC). Tính tan γ .
5
3
2

5
2
A. 5
B. 3
C.
D. 5
Câu 37:

Câu 38:

Câu 39:

Câu 40:

Câu 41:
Câu 42:

Câu 43:

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B, SA ^ (ABC). Gọi (P) là mặt phẳng qua
A và vng góc với SC,cắt SC ở E và cắt SB ở F. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là:
A. Hình thang vng
B. Tam giác đều
C. Tam giác cân
D. Tam giác vng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S lên (ABC)
trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa
SA và (ABC).

A. 600
B. 750
C. 450
D. 300
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vng góc với một
đường thẳng thì song song nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. SA ^ (ABCD). Các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. SA ^ BD
B. SC ^ BD
C. SO ^ BD
D. AD ^ SC
Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước?
A. 1
B. Vơ số
C. 3
D. 2
Cho tứ diện SABC có SA ⊥(ABC) và AB⊥BC. Số các mặt của tứ diện SABC là tam giác vng
là:
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ^ (ABCD),

SA = a 6 . Gọi α là

góc giữa SC và mp(ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
3
A. α = 300
B. cos α =
C. α = 450
D. α = 600
3
Cho a, b, c là các đường thẳng trong khơng gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c.
B. Nếu a vng góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b.
C. Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a.


Câu 45:

D. Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vng góc với mặt phẳng (a, c).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên
mp(ABC). Xét các mệnh đề sau:
I. Vì OA ⊥ OB và OA ⊥ OC nên OC ⊥ (OAB).
II. Do AB ⊂ (OAB) nên AB ⊥ OC. (1)
III. Có OH ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OH.(2)
IV. Từ (1) và (2) ⇒AB ⊥ (OCH).
Trong các mệnh đề trên, các mệnh đề đúng là:
A. I, II, III, IV.
B. I, II, III.
C. II, III, IV.

Câu 46:

Câu 47:

Câu 48:

D. IV, I.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC), SA = a 3 . Gọi (P) là
2
mặt phẳng đi qua A và vng góc với trung tuyến SM của tam giác SBC. Thiết diện của (P) và
hình chóp S.ABC có diện tích bằng?
a2
a2 6
a 2 16
A.
B.
C. a 2
D.
6
8
16
Cho hình vng ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vng góc với
(ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và ( ABCD) có số đo bằng 450. Tính độ dài SO.
a 3
a 2
A. SO = a 3
B. SO= a 2
C. SO =
D. SO=
2
2

Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO⊥(ABCD).

1
. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD).
2
A. 750
B. 450
C. 300
D. 600
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 6a , các cạnh bên bằng 8a . Gọi γ là góc
Câu 49:
giữa SB và (ABC). Tính cos γ .
2
B. 3
C. 1
D. 3
A.
3
3
2
4
5. HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

·
Biết tan SOB
=

Câu 50:

Câu 51:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), a là một đường thẳng nằm trên (P). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu a//b với b = (P) ∩(Q) thì a // (Q).
B. Nếu (P) ⊥ (Q) thì a ⊥ (Q).
C. Nếu a cắt (Q) thì (P) cắt (Q).
D. Nếu (P)//(Q) thì a//(Q).
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng ABCD cạnh 2a , SA ⊥ mặt phẳng đáy, SC=

a 15 .

Gọi γ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Khi đó tan γ bằng
2
3
2
A. 7
B.
C.
D.
5
5
7
2
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B , SA vng góc với đáy. Gọi M
Câu 52:
là trung điểm AC . Khẳng định nào sau đây sai?
A. BM ⊥ AC.
B. ( SBM ) ⊥ ( SAC ) . C. ( SAB ) ⊥ ( SBC ) .
D. ( SAB ) ⊥ ( SAC ) .
Câu 53:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD, AB= a , BC=

, SB ⊥ (ABCD), SC= 2a .

Gọi α là góc giữa mặt phẳng (SAD) và (ABCD). Khi đó sin α bằng
6
A. 2

Câu 54:

a 2

B.

2

2
C. 3

6
D. 3

Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD. A′B ′C ′D′ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng
(ABCD) và (ABC’) có số đo bằng 600. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:
A. 2a
B. 3a
C. a 3
D. a 2

Câu 55:

Câu 56:

Cho hình chóp S.ABC có (SBC) ^ (ABC). SBC là tam giác đều cạnh a. ABC là tam giác vng tại

·
A và góc ABC
bằng 300. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC). Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?
A. tan ϕ = 3 3
B. ϕ = 600
C. ϕ = 300
D. tan ϕ = 2 3
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = SB. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng α. Chọn

khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
1
2
1
A. α = 600
B. cos α =
C. cos α =
D. cos α =
3
5
3
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh
, SA ⊥ (ABCD), SB= a 7 . Gọi β là góc
a 2

Câu 57:
giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) thì cos β bằng
14
B. 14
C. 14
3
2
7
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng ABCD cạnh

A.
Câu 58:

21
7
a 3 , SD ⊥ đáy, SD= 2a . Khi đó sin của

D.

góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và mp(ABCD) bằng

Câu 59:

Câu 60:

Câu 61:

Câu 62:

Câu 63:

A. 2 7
B. 21
C. 21
D. 3
7
3
7
2
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60 0. Tính
độ dài đường cao SH.
a
a 3
a 2
a 3
A. SH =
B. SH =
C. SH =
D. SH =
2
3
3
2
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a. SA vng góc với đáy
và SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vng góc với (SAD). Diện tích thiết diện của (P) và
hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
a2
3
2
A. a 2

B. a 2
C.
D. a 2
2
2
2
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng ABCD cạnh a , SA ⊥ đáy, SD= 2a . Khi đó góc giữa
hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M
có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với (P) và (Q)?
A. 2
B. 3
C. 1
D. vơ số
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vng ABCD (vng ở A và B), SA ⊥ (ABCD), AD=
3a ,BC= a ,AC= 2a ,SA= a 5 .Gọi β là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). Khi đó cos β

bằng
6
B. 3
C. 6
D. 2 3
4
2
2
3

Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng a và cạnh của đáy
Câu 64:
3
0
lớn A’B’C’D’bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính chiều cao OO’ của hình chóp
cụt đã cho.
a 3
a 3
2a 6
3a 2
A. OO’=
B. OO’ =
C. OO’ =
D. OO’ =
3
2
3
4
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD, SD ⊥ (ABCD), AB= a , DB=
a 3 , SC=
Câu 65:
a 5 . Gọi γ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Khi đó tan γ bằng

A.


1
C. 2
D. 15
5

5
Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vng góc với nhau và AC = AD = BC =

A.
Câu 66:

5

B.

BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính IJ theo a và x?

2 ( a 2 + x2 )
2 ( a 2 − x2 )
a2 − x2
a2 + x2
B. IJ =
C. IJ =
D. IJ =
2
2
2
2
6. KHOẢNG CÁCH
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Khi đó khoảng cách từ A đến mp(BCD) bằng

A. IJ =

Câu 67:

A. a 3
B. a 6
C. 3a
D. 2a
6
3
2
3
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , các cạnh bên bằng 3a . Gọi α là góc
Câu 68:
giữa SA và (ABC). Tính tan α
26
B. 26
C. 13
D. 2 13
3
2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , các cạnh bên tạo với đáy góc 30 0. Tính

A.
Câu 69:

Câu 70:

khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
a 3
B. a 6
C. a 3
A.
2

2
3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng ABCD cạnh

D. a 6
3
,SA ⊥ (ABCD), SA= a 3 . Tính
a 2

khoảng cách từ B đến mp(SCD)

Câu 71:

A. a 5
B. a 30
C. a 5
6
5
3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=

3a
2
, BC= 2a , SC ⊥ mặt phẳng đáy,
D.

a 2

SB= 2a 3 . Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB)
a 3

A. 2a 6
B. a 2
D. a 8
C.
3
8
3
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng
, các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a .
a 3
Câu 72:
Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
a 30
a 7
a 15
a 6
A. 6
B. 6
C. 2
D. 2

Câu 73:

Câu 74:

Câu 75:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khaỏng cách
từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:
3

2
a 5
2a 3
A.
B.
C. a
D. a
10
5
2
3
Cho hình thang vng ABCD vng ở A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với
(ABCD) lấy điểm S với SD = a 2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và ( SAB).
a
2a
a 3
A. a 2
B.
C.
D.
2
3
3
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA 1= 3a. Khoảng
1

1

1

1

cách từ A đến mặt phẳng (A1BD) bằng bao nhiêu?
7
5
A. a
B. a
C. a
6
7

D.

6
a
7


Câu 76:

Câu 77:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng cạnh bên bằng a. Khoảng cách từ AD đến
mp(SBC) bằng bao nhiêu?
2a
a
3a
2
A.
B. a

C.
D.
3
3
2
3
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ ABC đều cạnh 2a , các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy góc
600. Tính d(S,(ABC))=?
2a
C. a 3
D. a
3
Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:

A. 2a
Câu 78:

B.

a
a
a 2
a 3
B.
C.
D.
2
3
2
3

Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng
Câu 79:
đáy bằng 300. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách
giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ là:
a
a
a 3
a 3
A.
B.
C.
D.
2
3
4
2
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vng ABCD ( vuông ở A và D), DC=AD= a , AB= 2a
Câu 80:
, SA ⊥ mp đáy, SA= 3a . Tính d(A,(SCD))=?
A.

3a
B. 3a 10
C. a 10
D. a 3
10
10
10
3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB= 2a , BC= 3a , SA ⊥ (ABCD), SA=

Câu 81:
a 2 . Tính d(A,(SBC))=?
A.

2a
B. a 13
C. 3a 22
D. 2a 3
3
7
11
3
Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau và OA = OB = OC = a.
A.

Câu 82:

Câu 83:

Câu 84:

Khoảng cách giữa OA và BC bằng bao nhiêu?
a
a
a 3
A.
B.
C. a
D.
2

2
2
Cho hình chóp A. BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a

2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:
a 11
4a 5
3a 2
2a 3
A.
B.
C.
D.
2
3
2
3
Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vng góc với nhau từng đơi một và SA = 3a, SB = a,
SC=2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
3a 2
7a 5
8a 3
A.
B.
C.
2
5
3

Câu 85:

D.

5a 6
6

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng cân tại A , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC )
và BC = 4 2 cm . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là
A. 4 2 cm .
B. 2 2 cm .
C. 4 cm .

D. 2 cm .