Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9 năm 2020

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (922.33 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP

PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH

Bài 1: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường sau ba giờ thì gặp 
nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm sau một giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận
tốc của ơ tơ và xe đạp. Biết quãng đường dài 156 km.

Bài 2: Trong một phịng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều 
bằng nhau. Có một lần phịng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế(số ghế
trong mỗi dãy vẫn bằng nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu. Hỏi bình thường trong phịng có bao
nhiêu dãy ghế.

Bài 3: Một công ti vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 15 tấn rau theo một hợp đồng. Nhưng 
khi làm việc công ti khơng cịn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn nửa tấn.
Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng công ti phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là
1 xe. Hỏi trọng tải mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn?

Bài 4: Một xuồng máy xi dịng sơng 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời 
gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết vận
tốc của dòng nước chảy trong sông là 3 km/h.

Bài 5: Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu 
mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn.
Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày
đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than.

Bài 6: Hai đội cơng nhân cùng làm một con đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm 
một mình hết nửa cơng việc rồi đội thứ hai tiếp tục làm một mình phần việc cịn lại thì hết tất cả
25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc

Bài 7: Hai xe khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10 
giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ
hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe?

Bài 8: Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì cịn 
thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn thì cịn có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy
toan và phải chở bao nhiêu tấn hàng?

Bài 9: Trong phịng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh khơng có 
chỗ. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh và có bao nhiêu
ghế?

Bài 10: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba 
người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo
quy định thì cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày.

Bài 11: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch tất cả 460 
tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu
hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

DẠNG BÀI: GIẢI BÀI TOÁN

BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH

DẠNG TỐN LÀM CHUNG, RIÊNG, VỊI NƢỚC:(Cơng việc đồng thời)
Bài 1( Toán làm chung riêng):

Hai người đồng thời đào chung một cái giếng có thể đào xong sau 2 ngày. Hỏi sau bao nhiêu
ngày mỗi người đào riêng rẽ có thể xong cái giếng đó, biết để đào xong cái giếng đó một mình
người thứ hai phải tốn 3 ngày nhiều hơn người thứ nhất đào một mình./.

HD giải

Gọi thời gian đào một mình xong cái giếng đó của người thứ nhất là x( x > 0, ngày) 
thì người thứ hai đào một mình xong cái giếng đó hết x + 3(ngày)

Một ngày người thứ nhất đào được 1

x giếng, người thứ hai đào được 
1

x , cả hai người đào 
được 1

2 giếng. Theo bài ra ta có pt:

1 1 1

3 2
xx 

 x2 – x – 6 = 0 => x1 = 3; x2 = - 2.

Vậy để đào một mình người thứ nhất cần 3 ngày, người thứ hai cần 6 ngày. 
Bài 2:

Hai người cùng làm chung một cơng việc thì sau 16 giờ sẽ xong cơng việc. Nếu người thứ nhất
làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai làm được 1

4 cơng
việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu thì xong cơng việc.

HD giải.

Gọi thời gian làm một mình xong cơng việc của người thứ nhất là x( x> 16, giờ), một giờ người 
đó làm được 1

x công việc. trong một giờ cả hai người làm được 
1

16 công việc, người thứ hai làm 
được 1 1

16x công việc. Người thứ nhất làm trong 3 giờ được 
1
3.

x công việc, người thứ hai trong 
6 giờ làm được 6(1 1)

16x công việc.

Theo bài ra ta có phương trình: 3.1 6.(1 1) 1

16 4

x  x  ; x = 24 (giờ). Người thứ nhất làm một 
mình xong công việc hết 24 giờ, người thứ hai hết 48 giờ.

Bài 3:

Nếu hai người cùng làm chung một cơng việc thì trong 12

5 giờ xong cơng việc. Nếu mỗi người
làm một mình thì người thứ nhất hồn thành cơng việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu
làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong cơng việc.

HD giải.

Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x(x > 12

5 , giờ), người thứ hai 
làm hết x + 2 (giờ). Trong một giờ người đó làm được 1

x công việc, người thứ hai làm được 
1

x công việc, cả hai người trong một giờ làm được 
5

12 cơng việc. Theo bài ra ta có phương 
trình: 1 1 5

2 12

xx  , => x1 =4(TM), x2 =

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm hết 4 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ.

Bài tốn 4: Nếu hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1h30 phút bể sẽ đầy. Nếu vịi thứ
nhất chảy trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vịi thứ hai trong 15 phút thì sẽ đầy một phần năm
bể. Hỏi nếu chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.

* Gọi thời gian vịi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x>

3

2

, giờ), trong một giờ vòi I chảy được

1 x

bể, vòi hai chảy được

2

1

3 

x

phần bể. Sau 20 phút vòi I chảy được

1 1

.

3 x

, vòi II chảy trong 15 
phút đầy

1 2

1 4 3

x















bể. Theo bài ra ta có phương trình:

1 1

1 2

1 .

3 x

4 3

x

5 

















Giải ra ta được x =

5

2

(h)

Kết luận:

5 15

;

2 4

Bài toán 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vịi
chảy riêng thì vịi I chảy trong 3 giờ, bằng lượng nước vòi II chảy trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng
thì mỗi vịi chảy trong bao lâu?

* Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể một mình là x, một giờ chảy được

1 x

phần bể, vòi II chảy được

2

1

5 

x

phần bể.

Theo bài ra ta có phương trình:

3

2

1

2

5 x

















Giải phương trình được x =

25

4

Kết luận:...

* Bài toán 6: Nếu mở cả hai vịi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở
riêng từng vịi thì vịi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng
từng vịi thì mỗi vịi chảy bao lâu thì đầy bể?

* Gọi thời gian vịi một chảy một mình đầy bể là x (giờ, x > 0), thời gian vịi hai chảy một mình 
đầy bể là x + 2(giờ)

2 giờ 55 phút =

35

12

giờ. Trong một giờ cả hai vòi chảy được

12

35

(bể).

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được

1 x

(bể). vòi hai chảy được

1

2 x



(bể) 
Ta có phương trình

1

12

2

35 x



x





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x =

7

6 

(loại)

Trả lời: Vịi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể, cịn vịi thứ hai chảy trong 7 giờ thì 
đầy bể.

Bài tốn 7: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước thì sau 2h 55’

thì đầy bể. Nếu để

chảy một mình thì vịi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vịi thứ hai là hai giờ. Tính thời gian mỗi
vịi chảy một mình đầy bể.

HD giải

Gọi thời gian vịi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x>2h55’, giờ), vịi hai chảy một mình hết x 
+ 2 giờ, trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1

x bể, vòi thứ hai chảy được 
1

2
x bể. 
Theo bài ra ta có phương trình: 1 1 12

2 35

x x   12x
2

– 46x – 70 = 0 => x = 5(tm) 
Vậy chảy một mình vịi thứ nhất chảy hết 5 giờ, vịi thứ hai chảy hết 7 giờ.

Bài toán 8: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu để vịi
một chảy trong 20 phút, khóa lại rồi mở tiếp vịi hai trong 30 phút thì cả hai vịi chảy được 1

8 bể
Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể.

HD giải

Gọi thời gian vịi một chảy một mình đầy bể là x(x>3, giờ) trong một giờ vòi một chảy được 1
x
bể, cả hai vòi chảy được 1

3 bể, vòi hai chảy được 
1 1

3x( bể). Trong 20 phút vòi một chảy được 
1 1

3 x phần bể, trong 30 phút vòi hai chảy được

1 1 1
.( )

2 3x bể. Theo bài ra ta có phương trình: 
1 1

.
3 x +

1 1 1
.( )
2 3x =

8 giải ra x = 4. Vậy chảy một mình vịi một chảy trong 4 giờ thì đầy bể, vịi 
hai chảy trong 12 giờ thì đầy bể.

Bài tốn 9:

Hai đội cơng nhân cùng làm chung một cơng việc thì hồn thành cơng việc đó trong 24 giờ. Nếu
đội thứ nhất làm trong 10 giờ, đội thứ hai làm trong 15 giờ thì cả hai đội làm được một nửa cơng
việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong cơng việc.

HD giải

Gọi thời gian đội một hoàn thành cơng việc một mình là x(x >24, giờ), thì trong một giờ đội một 
làm được

1 x

công việc, cả hai đội làm được

1

24

công việc, và đội hai làm được

1

24 

x

công 
việc. Trong 10 giờ đội một làm được 10.

1 x

công việc, trong 15 giờ đội hai làm được 
15.(

1

24 

x

) công việc, cả hai đội làm được

1

2

Công việc, nên theo bài ra ta có phương trình:

10.

1 x

+ 15.(

1

24 

x

) =

1

2

. Giải ra ta được x = 40 (tmđk), vậy để làm một mình đội một hồn

thành cơng việc trong 40 giờ, đội hai hồn thành cơng việc trong 60 giờ.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
HD giải

Gọi thời gian để A, B, C làm một mình xong cơng việc lần lượt là x, y, z(x, y, z > 0, giờ).

Ta có hệ phương trình:

1

6

1

2

9

1

5

18 x

y

z

x

  



  





 







1

9

1

18

1

6 x

y

z







 









Trong một giờ cả ba người làm được

1

9 

18  

6

3

công việc. Vậy thời gian để ba người cùng

làm xong công việc là 3 giờ.

Bài số 11: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ thì xong. Nếu một mình
người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người
làm được 2

5 công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu thì xong cơng việc(
Giả thiết năng suất lao động của hai người bằng nhau).

* ta có hpt:

1 1 1

10
6

2 3 2 15

5
x
x y
y
x y
  
  
 
  

  


Bài 12: Hai tổ cùng làm chung cơng việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 4 
giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong cơng việc. Hỏi mỗi tổ
làm riêng thì trong bao lâu xong việc.

* ta có hpt:

1 1 1

60
12

1 10 15

1
3
x
x y

y
y
  
  
 
  

  


Bài 13: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn khơng có nước. Nếu vịi 1 chảy trong 3h rồi dừng lại, 
sau đó vịi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vịi 1 chảy vào bồn khơng có nước trong
1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu chảy 1
mình thì mỗi vịi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?

* ta có hpt:

3 8
1

1 4 4 8 12

9
x
x y

y
x x y

  
  
 
  

   


Bài 14: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được bể. Nếu vòi thứ nhất chảy

trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vịi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vịi
chảy một mình đầy bể .

* ta có hpt:

1 1 3

5
10

3 2 4 10

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài toán 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I hồn thành
cơng việc ít hơn thời gian để đội II hồn thành cơng việc đó là 4 giờ. Tổng hai thời gian này gấp
4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong cơng việc đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
đội phải mất bao lâu mới xong.

HD giải

Gọi thời gian đội I hoàn thành cơng việc một mình là x(x>0, giờ), đội II hồn thành cơng việc là 
x + 4(giờ). Trong một giờ hai đội làm chung được

1

4 x



x



công việc (hay

2

4 (

4)

x

x x



). Thời

gian để hai đội làm chung xong công việc là

(

4)

2

4 x x

x



(giờ). Ta có phương trình:

2x + 4 =

9 .

(

4)

2 2

4 x x

x



hay x

2

+ 4x – 32 = 0;

giải phương trình được x1 = -8(loại); x2 = 4(thỏa mãn)

Bài 16: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ
nhất trong 10 phút và vịi thứ hai trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu chảy một mình thì thời gian
của mỗi vòi là bao lâu.

HD giải

Gọi x là thời gian vịi I chảy một mình đầy bể, y là thời gian vịi II chảy một mình đầy bể (x, y > 
0, giờ). Trong một giờ vòi I chảy được

1 x

bể, vòi II chảy được

1 y

bể, trong 1 giờ 20 phút cả hai 
vòi chảy được

4 1

.(

1 )

3 x



y

bể( đầy bể). Trong 10 phút(

1

6

giờ), vòi I chảy được

1

6 x

bể, trong 12 
phút vòi II chảy được

1

5 y

bể. Ta có hệ phương trình:

4 1

1 .(

) 1

5

1

2

6

5 x

y

x

y



















giải ra ta tìm được x = 2; y = 4(thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vịi thứ hai chảy một mình trong 4 giờ 
đầy bể.

Bài 17: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu một đội làm
một mình hết nửa cơng việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc cịn lại thì hết tất
cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.

HD giải

Gọi thời gian đội thứ nhất làm xong nửa công việc là x(ngày), 2x > 12 và x < 25 hay 6<x<25. 
Thời gian đội thứ hai làm xong nửa công việc là 25 – x(ngày).

Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được 1

2x (công việc); đội thứ hai làm được

2(25x) (công việc).

Trong 1 ngày cả hai đội làm được 1

12(cơng việc). 
Ta có phương trình: 1

2x +

2(25x) =

12 hay x
2

– 25x + 150 = 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Bài 18: Hai người thợ làm chung một cơng việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm
trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% cơng việc. Hỏi mỗi người làm một mình
thì bao lâu xong việc.

HD giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong cơng việc là x(giờ, x>0), thời gian làm một 
mình xong việc của người thứ hai là y(giờ, y>0). Theo đầu bài ta có hệ phương trình:

1

16

3

6

1

4 x

y

x

y

  





  



giải ra x = 24; y = 48. Trả lời: Người thứ nhất làm một mình trong 24 giờ xong

việc. Người thứ hai làm một mình xong cơng việc trong 48 giờ.

Bài 19: Hai người cùng làm chung một cơng việc trong 6 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một
mình cơng việc ấy thì tổng số thời gian làm việc của hai người là 25 giờ. Hỏi mỗi người làm một
mình thì bao lâu xong công việc.

HD giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong cơng việc là x(giờ, 0<x<25). Khi đó thời gian 
làm một mình xong việc của người thứ hai là 25 – x(giờ). Trong một giờ người thứ nhất làm được

1 x

(công việc). Người thứ hai làm được

1

25 

x

(công việc), hai người làm chung được

1

6

(cơng

việc). Ta có phương trình:

1

25

6 x





x



giải ra ta được x1 = 15; x2 = 10.

Trả lời: Làm một mình người thứ nhất hết 15 giờ thì xong việc, người thứ hai làm một mình xong 
việc hết 10 giờ. Và ngược lại.

Bài 20: Hai đội lao động nếu cùng làm chung thì sau 4 ngày sẽ hồn thành công việc. Nhưng lúc
đầu đội một đã làm được 9 ngày thì đội hai mới tới và hai đội làm chung một ngày nữa thì cơng
việc mới hồn thành. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc?

HD giải

Gọi x là số ngày đội I làm một mình xong cơng việc, y là số ngày đội II hoàn thành xong cơng 
việc(x và y ngun dương). Ta có hệ phương trình:

1

9. (

) 1

1

4 x

y

x

y











  



Giải ra ta được x = 12; y = 6. Trả lời:……

Bài 21: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vịi
chảy riêng thì vịi I chảy trong 3 giờ bằng lượng nước vòi II chảy vào bể trong 2 giờ. Hỏi từng
vòi nước chảy riêng thì sau bao lâu bể nước sẽ đầy.

HD giải

Gọi x, y là số giờ vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể(x và y dương)

Ta có hệ phương trình:

1

2

3

2

0 x

y

x

y

  





  



Giải ra ta được x = 6 giờ 15 phút; y = 4 giờ 10 phút.

Trả lời:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

và tổ thứ hai làm trong 3 giờ thì họ làm được 25% cơng việc. Hỏi mỗi tổ làm cơng việc đó trong
mấy giờ thì xong.

HD giải

Gọi x, y lần lượt là số giờ tôt thứ nhất và tổ thứ hai làm xong cơng việc(x>0; y>0). Ta có hệ

phương trình:

1

20

6

3

1

4 x

y

x

y

  





  



Giải hệ phương trình này được x = 30; y = 60.

Bài 23: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong( vữa và gạch do thợ
phụ làm). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai và người thứ hai làm trong 6 giờ thì
cả hai xây được 3

4 bức tường. Hỏi mỗi người làm một minh thì bao lâu xây xong bức tường.
HD giải

Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là x(x>0, giờ), thời gian người thứ 
hai xây một mình xong bức tường là y(giờ, y>0). Trong một giờ người thứ nhất xây được 1

x bức 
tường, người thứ hai xây được 1

y bức tường. Trong một giờ cả hai người xây được

36 bức 
tường, người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ nên ta có hệ phương trình:

1

5

36

5

6

3

4 x

y

x

y

  





  



Giải ra ta được x = 12; y = 18. Trả lời:……

Bài 24: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trinh trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người
thứ nhất làm một minh trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp một ngày nữa thì
xong việc. Hỏi mỗi người làm một minh thì bao lâu xong công việc.

HD giải

Gọi thời gian hồn thành cơng việc một mình của người thứ nhất là x(ngày), x > 0, thời gian 
hồn thành cơng việc của người thứ hai là y(ngày) y > 0.

Lập luận ta có hệ phương trình:

1

4

10

1 x

y

x

y

  







 



Giải hệ được x = 12; y = 16. Trả lời….

Bài 25: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gịn. Sau 3 giờ có thêm 5 cần cẩu bé cùng
làm việc. Cả bẩy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một minh thì sau
bao lâu xong việc, biết rằng nếu cùng làm việc từ đầu thì 7 cần cẩu thì trong 4 giờ thì xong.

HD giải

Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là x(giờ), x > 0.

Thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong việc là y(giờ), y > 0. Hai cần cẩu lớn làm trong 6 
giờ, 5 cần cẩu bé làm trong 3 giờ ta có phương trình 1:

12

15

1 x



y



Nếu 7 cần cẩu làm từ đầu giờ thì trong 4 giờ thì xong việc nên ta có phương trình 2:

2

5

1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Giải hệ ta được (x; y) = (24; 30). Trả lời:…..

Bài 26: Hai người cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung
với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, cịn người thứ hai cứ tiếp tục làm. Do cố gắng tăng
năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu
mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu để làm xong

cơng việc nói trên?

HD giải

Gọi x giờ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc, y là thời gian người thứ hai 
làm một mình xong cơng việc, x > 0, y > 0.

Một giờ hai người làm chung được

1

12

cơng việc, nên ta có phương trình

1

12 x

 

y

Hai người làm chung trong 8 giờ nên công việc còn lại là

1

3

do năng suất tăng gấp đôi nên

người thứ hai trong một giờ làm được

2 y

(công việc) người thứ hai phải làm trong 3 giờ 20 phút 
mới xong cơng việc nên ta có phương trình:

2 10

1 .

3 y



. Ta có hệ phương trình:

1

12 2 10

1 .

3 x

y

  











;

Giải hệ phương trình ta được (x; y) = (30; 20). Trả lời:…..

Bài 27: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vịi I chảy trong 4
giờ, vịi II chảy trong 6 giờ thì sẽ đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy trong bao lâu thì đầy bể?

HD giải

Gọi x là thời gian chảy một mình đầy bể của vịi I, y …..vịi II, x> 0, y > 0.

Ta có hệ phương trình:

1

5

8

24

6

4

12

1 x

y

x

  













 



  



.

Bài 28: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau

4

5

giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vịi
I, sau 9 giờ mở vịi thứ hai thì sau

6

5

nữa mới đầy bể. Nếu một mình vịi thứ hai chảy bao lâu
mới đầy bể.

HD giải
Đáp số : 8 giờ

Bài 29: Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng hai tổ cùng làm
chung trong 4 giờ, thì tổ I đi làm việc khác, tổ II làm nốt trong 10 giờ thì xong cơng việc. Hỏi
mỗi tổ làm riêng trong bao lâu thì xong cơng việc.

HD giải

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta có hệ sau:

1

60

12

1

10

15

1

3 x

y

  













 



  



Bài 30: Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong 3 giờ, tổ
II làm trong 5 giờ thì được 25% cơng việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng trong bao lâu xong cơng việc

đó?

HD giải

Gọi số giờ tổ I hồn thành cơng việc là x(x > 15). Số giờ tổ II là y(y>12)

Lập luận ta có hệ:

1

24

15

3

5

1

40

4 x

y

x

y

  













 



  



Trả lời:….

Bài 31: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Nếu
mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vịi thứ hai 20 phút thì được 0,2 bể. Hỏi
mỗi vịi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.

HD giải

Gọi thời gian vịi I chảy một mình đầy bể là x(x>0), vịi II là y(y>0)

Ta có hệ phương trình:

1

2 3,75

3 45'

3

1 2,5

2 30'

4

3

5 x

h

x

y

h

x

y

  













  











Bài 31: Hai vòi cùng chảy vào một bể khơng có nước thì sau 4h48’ thì đầy bể. Biết rằng thời gian
chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian vịi hai chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Hỏi nếu chảy một
mình thì mỗi vịi chảy bao lâu thì đầy bể?

HD giải

Coi tồn bộ cơng việc là 1 đơn vị, vậy năng suất bằng 1

thoigian; Lập phương trình theo mẫu

Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.

Gọi thời gian vịi một chảy một mình đầy bể là x(giờ, x>24

5 ) suy ra thời gian vịi hai chảy một
mình đầy bể là x + 4(giờ). Trong một giờ vòi một chảy được 1

x (bể),vòi hai chảy được
1

4
x (bể)
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1 : 24

5 =
5

24(bể). Ta có phương trình:
1

x +
1

4
x =

24  5x

– 28x – 96 = 0 => x1 = 8(tm), x2 =
12

 ( loại).
Trả lời : Vịi một chảy một mình đầy bể trong 8 giờ. Vòi hai 12 giờ.

Bài 32: Hai đội cùng làm chung một cơng việc thì sau 4 giờ sẽ xong. Nhưng hai đội mới làm
chung được 3 giờ thì đội một nghỉ đội hai làm tiếp trong 3 giờ nữa mới xong cơng việc. Hỏi nếu
làm riêng thì mỗi đội làm trong bao lâu thì xong cơng việc.

HD giải

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Ta có hệ phương trình:

1 1 1
4
3 6

1
x y
x y
  




  


giải ra x = 6; y = 12 thỏa mãn điều kiện.

Vậy đội một làm một mình trong 6 giờ thì xong, đội hai làm một mình trong 12 giờ thì xong. 
Bài 33: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 45’ được 2

5 bể. Nếu chảy riêng thì vịi II
chảy chậm hơn vòi I là 2 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vịi chảy trong bao lâu sẽ đầy bề.
HD giải

Hai vòi chảy trong 45’ = 3

4 giờ được 
2

5bể. Hai vòi chảy đầy bể hết 
3
4 :

2
5 =

8 (giờ). 
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(giờ, x > 15

8 ). Ta có pt:

1 1 8

2 15

xx   4x
2

– 7x – 15 = 0 => x1 = 3 (tm); x2= 
5
4

 (loại) 
Vậy vịi một chảy một mình hết 3 giờ, vòi hai là 5 giờ.+

Bài 34: Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 10h thì xong. Người thứ nhất làm
một mình trong 1h sau đó hai người cùng làm tiếp trong 2h nữa thì được 25% cơng việc. Hỏi nếu
làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu thì xong cơng việc.

HD giải

Gọi thời gian làm một mình xong cơng việc của người thứ nhất là x(giờ, x>10), người thứ hai là 
y(giờ, y>10). Ta có hệ:

1 1 1
10

1 1 1 1

2.( )
4
x y

x x y

  




   



giải ra ta được x = ?; y = ?

Bài 35: Hai người cùng làm chung một cơng việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung
với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai tiếp tục làm. Do cố gắng tăng
năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu
mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu để làm xong
cơng việc nói trên?

HD giải

Gọi x giờ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong cơng việc, y là thời gian người thứ hai 
làm một mình xong công việc, x>0, y>0. trong một giờ hai người làm được

1 1 1

x y cơng việc. Vì hai người làm chung trong 8 giờ nên công việc cịn lại là

3 cơng việc. 
Do tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai mỗi giờ làm được 2

y cơng việc. Vì người thứ hai

phải làm trong 3h12’ = 31

3 giờ, nên ta có phương trình:

2 10 1

3 3

y 

Ta có hệ pt:

1 1 1
12

; ( ; ) (30; 20)
2 10 1

.
3 3
x y

x y
y

  

 



 



. Trả lời:...

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

vịi chảy một mình làm đầy một phần ba hồ thì phải mất tất cả 174

9 giờ mới đầy hồ và lưu lượng
của vịi thứ hai là trung bình cộng của vòi thứ nhất và vòi thứ ba. Hỏi nếu mỗi vịi nước chỉ được
mở một mình vào đúng 8 giờ thì đến lúc nào hồ nước sẽ đầy.

HD giải

Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi i, vòi II, vòi III lần lượt là x; y; z(giờ, x>0; y>0;

z>0). Ta có hệ phương trình:

20
40

1 1 2 1 1

( )(13 8) (10 8)

3 4

10
4

3 3 3 9 10

1 1 2 40

3
20
x
y

x y y

z

x y z

x
y
x y z

z
 


       



 

 




    

 




 

   



 

 

 



Vậy: Trường hợp I: Vịi I chảy trong 20 giờ(12 giờ hơm sau)vịi II chảy trong 21 giờ 20 phút. Vòi 
III: 10giờ(18 giờ cùng ngày.

Trường hợp II: 18h, 21h20’ cùng ngày, 12 giờ hơm sau.

Chun đề: GIẢI BÀI TỐN 
BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNGTRÌNH

DẠNG BÀI THÊM, BỚT XE.

I) Phương pháp giải:(Hai cách giải: trực tiếp và gián tiếp.)
1) Trường hợp thêm xe:(Tính trực tiếp).

Bài tốn tổng qt: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở S tấn hàng . Lúc sắp khởi 
hành đội được bổ xung thêm a xe nữa cùng loại, nhờ vậy so với ban đầu mỗi xe phải chở ít hơn 
b tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe. Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở như nhau.

Hướng dẫn giải.

Ở đó: S là số hàng cần chuyển, a là số xe bổ xung(thêm), b là lượng hàng chênh lệch

Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x



N*) 
Ban đầu mỗi xe phải chở

S

x

(tấn), sau khi bổ xung đội xe có x + a (chiếc) nên mỗi xe phải chở

S

x



a

(tấn). Ta có phương trình:

S

b

x



x



a



Vậy ban đầu đội có ... xe.

2) Trường hợp bớt xe:(Tính trực tiếp).

Bài tốn tổng quát: Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết S tấn hàng. Lúc sắp 
khởi hành có a xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy mỗi xe phải chở thêm b tấn hàng nữa mới 
hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu, biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau.

Hướng dẫn giải.

Ở đó: S là số hàng cần chuyển, a là số xe bớt(chuyển đi), b là lượng hàng chênh lệch

Gọi số xe lúc đầu của đội dự định dùng là x(x



N*, x > a). 
Số hàng mỗi xe ban đầu cần phải chở là

S

x

(tấn), số xe thực chở hàng là x – a, nên số hàng mỗi 
xe cịn lại phải chở là

S

x



a

(tấn). Ta có phương trình

S

x



a

-

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
II) Bài tập minh họa(cách tính trực tiếp)

Bài 1: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tặng đồng bào
nghèo ở vùng cao biên giới. Lúc sắp khởi hành đội được bổ xung thêm 5 xe nữa cùng loại, nhờ
vậy so với ban đầu mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe. Biết khối lượng
hàng mỗi xe phải chở như nhau.

Hướng dẫn giải.
Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x



N*)

Ban đầu mỗi xe phải chở

120 x

(tấn), sau khi bổ xung đội xe có x + 5(chiếc) nên mỗi xe phải chở

120

5 x



(tấn). Ta có phương trình:

120

2

5 x



x





 x2 – 5x – 300 = 0, x1 = 20(TM); x2 = -15(loại). Vậy ban đầu đội có 20 xe.

Bài 2: Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết 60 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 3
xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy mỗi xe phải chở thêm một tấn hàng nữa mới hết số hàng
đó. Tính số xe lúc đầu, biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau.

Hướng dẫn giải.
Gọi số xe lúc đầu của đội dự định dùng là x(x



N*, x > 3). 
Số hàng mỗi xe ban đầu cần phải chở là

60 x

(tấn), số xe thực chở hàng là x – 3, nên số hàng mỗi 
xe còn lại phải chở là

60

3 x



(tấn). Ta có phương trình

60

3 x



-

60 x

= 1.

 x2 – 3x – 180 = 0 => x1 = 15(tm), x2 = - 12(L). Vậy số xe ban đầu đội có là 15 xe.

Bài 3: Một đội xe phải chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội được bổ xung 3 xe nữa,

nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu chiếc. Biết số hàng
chở trên tất cả các xe có khỗi lượng như nhau.

Hướng dẫn giải
Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x



N*), mỗi xe dự định chở là

36 x

(tấn), sau khi tăng thêm đội có x
+ 3 (chiếc) và mỗi xe phải chở

36

3 x



(tấn). Ta có phương trình

36 x

36

3 x



= 1

 x2 + 3x – 108 = 0 => x1 = 9(tm), x2 = - 12(loại). Vậy ban đầu đội có 9 xe.

Bài 4: Một công ty dự định chở 24 tấn hàng bằng xe tải nhỏ, nhưng để kịp giao hàng họ phải
dùng các xe tải cỡ lớn. Do đó số xe tải được dùng giảm so với lúc đầu 2 xe. Tính số xe tải lớn
dùng để chở hàng, biết rằng mỗi xe tải lớn chở được nhiều hơn xe tải nhỏ 2 tấn hàng.

Hướng dẫn giải
Gọi số xe tải lớn là x(x



N*), mỗi xe phải chở

24 x

(tấn), số xe tải nhỏ là x + 2(chiếc) mỗi xe dự

định chở

24

2 x



(tấn). Ta có phương trình

24 x

-

24

2 x



= 2  x
2

+ 2x – 24 = 0, giải ra ta được x1
= 4(tm), x2 = -6(L). Vậy số xe tải lớn dùng để chở hàng là 4 xe.

Bài 5: Một công ty vận tải định điều một số xe để vận chuyển 24 tấn hàng. Thực tế khi đến nơi
thì cơng ty bổ xung thêm 2 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn so với dự định là 2 tấn. Hỏi số xe được
điều đến theo dự định bao nhiêu. Biết số lượng hàng trên xe như nhau.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Gọi số xe ban đầu dự định chở hàng là x(x



N*), mỗi xe dự định chở số hàng là

24 x

(tấn), thực tế 
mỗi xe chở số hàng là

24

2 x



(tấn).

Ta có phương trình

24 x

-

24

2 x



= 2  x
2

+ 2x – 24 = 0,

giải ra ta được x1 = 4(tm), x2 = -6(L). Vậy số xe ban đầu dự định chở hàng là 4 xe.

Bài 6: Một đội xe cần phải chở 100 tấn hàng ủng hộ đồng bào miền trung bị lũ lụt, nhưng do số
lượng hàng nhiều nên để đạt kế hoạch đội đã bổ xung thêm 5 xe nữa vào đội xe nên mỗi xe chở ít
hơn 1 tấn so với ban đầu. Hỏi số xe thực tế chở hàng ủng hộ, biết số lượng hàng mỗi xe chở như
nhau.

Hướng dẫn giải
Gọi số xe thực tế chở hàng là x(x



N*, x > 5), mỗi xe chở

100 x

(tấn), 
số xe theo dự định x – 5, mỗi xe chở theo dự định là

100

5 x



, ta có phương trình

100

5 x



-

100 x

= 1 x1 = 25, x2 = - 20(loại). Vậy số xe thực tế chở hàng là 25 chiếc.

Bài 7: Một đoàn xe vận tải nhận chở 30 tấn hàng, nhưng do bổ xung thêm 2 xe nên mỗi xe chỉ
phải chở ít hơn 0,5 tấn so với dự định. Hỏi số xe ban đầu.

Hướng dẫn giải
Gọi số xe ban đầu là x(x



N*), ta có phương trình

30 x

-30

2 x



=

1

2

 x

2

+ 2x – 120 = 0, 
x1 = 10(tm), x2 = -12(loại). Vậy số xe ban đầu đội có là 10 chiếc.

Bài 8: Một đội xe định chở 40 tấn hàng. Sắp khởi hành được giao thêm 14 tấn nữa, nên phải điều
thêm 2 xe và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn. Hỏi số xe dự định là bao nhiêu, biết số lượng hàng ở
các xe là như nhau.

Hướng dẫn giải
Gọi số xe dự định là x(x



N*), ta có phương trình

40 14

2 x



-

40 x

=

1

2

; giải ra ta được kết quả.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Website HOC247 cung cấp một mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9 năm 2020

<b>GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP </b>

<b>PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH </b>

3

2

1

<i>x</i>

2

1

3



<i>x</i>

1 1

.

3

<i>x</i>

1 2

1

4 3

<i>x</i>



<sub></sub>











1 1

1 2

1

1

.

3

<i>x</i>

4 3

<i>x</i>

5







<sub></sub>



<sub></sub>







5

2

5 15

;

2 4

1

<i>x</i>

2

1

5



<i>x</i>

3

2

1

2

5

<i>x</i>

<i>x</i>







<sub></sub>



<sub></sub>





25

4

35

12

12

35

1