Bài tập Sử dụng nguyên lí Dirichlet để tìm cực trị Đại Số lớp 9 có lời giải | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến</b>

<b>“ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài tốn tìm cực trị Đại Số”</b>

<b>Bài 1 </b><i>Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm GTNN của biểu thức</i>
<i> </i> <i>R</i>



<i>x</i>4 2

 

<i>y</i>4 2

 

<i>z</i>42



<b>Lời giải</b>
Dự đoán điểm rơi <i>_x</i>4 <i>_y</i>4 <i>_z</i>4 ₁

  

Theo nguyên lý <i>Dirichlet</i> thì trong 3 số



<i>_x</i>4 ₁



 ;



<i>y</i>41



và



<i>z</i>41



luôn tồn tại 2 sớ có tích

khơng âm.

. Khơng mất tính tởng qt giả sử đó là



<i>_x</i>4 ₁



 _và



<i>y</i>41



_.

Suy ra:



<i>_x</i>4 ₁

 

<i>_y</i>4 ₁



₀ <i>_{x y}</i>4 4 <i>_x</i>4 <i>_y</i>4 ₁ <i>_{x y}</i>4 4 ₂<i>_x</i>4 ₂<i>_y</i>4 _{4 3}<i>_x</i>4 ₃<i>_y</i>4 ₃

             



<i>_x</i>4 ₂

 

<i>_y</i>4 ₂



₃



<i>_x</i>4 <i>_y</i>4 ₁



     



<i>_x</i>4 ₂

 

<i>_y</i>4 ₂

 

<i>_z</i>4 ₂



₃



<i>_x</i>4 <i>_y</i>4 ₁

 

<i>_z</i>4 ₂



       

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có:



<i>_x</i>4 <i>_y</i>4 _{1 1 1}

 

<i>_z</i>4

 

<i>_x</i>2 <i>_y</i>2 <i>_z</i>2



2



<i>_{xy yz zx}</i>



2 ₉

          
Suy ra: <i>R</i>



<i>x</i>4 2

 

<i>y</i>4 2

 

<i>z</i>4 2



27

Dấu “=” xảy ra 4 4

4 4

4

3

1 1

1
<i>xy yz zx</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y z</i>

<i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i>


  





 _      


  


Vậy Min(R) = 27  <i>x</i>  <i>y z</i> 1.

<b>Bài </b>

2 Cho

<i> các số a b c</i>, , >0<i>_{sao cho}_a</i>2_{+ + +}<i>_b</i>2 <i>_c</i>2 <i>_abc</i>₌₄<i>_.</i>

<i>Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S</i>=<i>ab bc ca abc</i>+ +
<b>-Lời giải.</b>

Dự đoán điểm rơi <i>a b c</i>  1

Theo nguyên lí <i>Dirichlet</i> thì 2 trong 3 số

(

<i>a</i>- 1 ,

) (

<i>b</i>- 1 ,

) (

<i>c</i>- 1

)

có tích khơng âm.
Khơng mất tính tởng qt, giả sử

(

<i>a</i>- 1

)(

<i>b</i>- 1

)

³ 0

(

1

)(

1

)

0 2

<i>c a</i> <i>b</i> <i>abc</i> <i>bc ca</i> <i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nên <i>ab bc ca abc</i>+ + - £ <i>ab c</i>+
Mà

(

)

2 2 2 2 2

4=<i>a</i> + + +<i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>³ 2<i>ab c</i>+ +<i>abc</i>Þ 4- <i>c</i> ³ <i>ab c</i>+ Þ2 2- <i>c</i>³ <i>ab</i>Þ <i>ab c</i>+ £ 2

Từ hai BĐT trên ta suy ra Max(S)=2 khi

<i>a</i>= = =<i>b</i> <i>c</i> 1.

<b>Bài 3:</b><i>Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab bc ca</i>  1<i> . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:</i>
<i> T</i> 1 1 1

<i>a b b c c a</i>

  

  

<b>Lời giải</b>

Theo ngun tắc DIRICHLET Trong ba sớ <i>a</i>1,<i>b</i>1,<i>c</i>1 có ít nhất hai sớ có tích khơng âm
giả sử



<i>a</i>1

 

<i>b</i>1



 0 <i>ab a b</i>    1 0 <i>a b ab</i>   1 <i>ab bc ca</i>   1 2

Mặt khác từ <i>ab bc ca</i> 1 <i>c</i> 1 <i>ab</i> 0

<i>a b</i>


     



Nên





2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

<i>P</i> <i>a b</i>

<i>ab</i> <i>ab</i>

<i>a b b c c a</i> <i>a b</i> <i>_b</i> <i>_c</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i> <i>a b</i>

 

         _  _

 

    _ _     

 

Ta chứng minh

























2 2 2 2

2 2

3 2 3 2

2 2 2 2

1 1 1 1

2 1 1 0

1 1 2 1 2 1 2

1 1

2 2 2 2 2 2

0 0 ( )

2 1 2 1 2 1 2 1

<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a a</i> <i>b b</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>dung</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

    

    _   _{ }   _

       

 

       

     

   

Vậy





2 2





1 1 1 1

2

1 1 2

<i>a b</i>

<i>a b</i> <i>a b</i>

<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>



   

  _  _   _  _

 _   _  _ _

Ta chứng minh 1





2 5

2 2

<i>a b</i>
<i>a b</i>

<i>a b</i>



 

  _  _

 _ _

Đặt <i>a b t thi</i> , : 0 <i>t</i> 2_{Ta có}



 



2 2 3

2
3 2

1 5 1 5 2 4 5

2 2 0 0

2 2 2 2 2

1 2

4 5 2

0 0 ( ) 0 2

2 2

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>dung Vi</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>

  
 

 _  _       
 

 
  

      

Do vai trò bình đẳng a, b, c như nhau nên

1 1 1 5

2

<i>a b b c c a</i>     

 

5

2

<i>Min T</i>



khi:

















2 2

2 2

1

( 1)( 1) 0

1 1 2 _1; ₀

1 1

0

2 1 2 1

<i>ab bc ca</i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a b ab</i> <i>ab bc ca</i> <i>_{a b}</i> <i>_c</i> <i>_{va cac hoan vi}</i>

<i>a a</i> <i>b b</i>

<i>a</i> <i>b</i>

  




  


       _{    } _


 _ _

  

  

</div>

<!--links-->