SKKN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (236.25 KB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

&

đề tài sáng kiến kinh nghim

---Tên Đề tài SKKN

một số phơng pháp

s dng bt ng thc cụsi

Họ và tên

:

Lê Đình Chiến

Chức vụ

:

Giáo viên

Tổ

: Toán

Đơn vị công tác

:

Trêng THPT Thanh Oai A

Thanh Oai - Hà Nội

SKKN thuộc lĩnh vực chuyên môn: Môn Toán

Năm học 2008-2009

cộng hòa xÃ hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tù do - H¹nh phóc

--- * * *

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. Sơ yếu lý lịch

Họ và tên : Lê Đình Chiến

Sinh ngày : 28-5- 1976

Năm vào ngành : 2005

Chc vụ và đơn vị công tác : Giáo viên trờng THPT Thanh Oai A
Trình độ chun mơn : Đại học S phạm Tốn

Nhiệm vụ đợc phân cơng : Giảng dạy Tốn
Khen thởng : ti gii C cp tnh

(Năm học 2005-2006; 2007-2008)

II. Ni dung ti SKKN:

I- Tên Đề tài SKKN:

một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cơsi

II. Lý do chọn đề tài:

Trong chơng trình tốn THPT bất đẳng thức là phần gây cho học sinh,
ngay cả học sinh khá và giỏi nhiều bối rối nhất. Tuy nhiên đây là phần quyến
rũ những học sinh say mê với Tốn học và mong giỏi Tốn vì nó địi hỏi học
sinh phải động não, tìm tịi và sáng tạo.

Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài tốn bất đẳng

thức nên tơi viết SKKN "Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với
mục đích cung cấp cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ thuật chứng
minh bất đẳng thức Côsi.

III- Phạm vi, thời gian, đối tợng thực hiện:

Năm học 2008-2009, đối tợng học sinh lớp 10,11, 12 trờng THPT
Thanh Oai A - Hà Nội.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A- KiÕn thøc cơ bản

* Bt ng thc cụ si

1- Dạng tổng quát (nsè)

x1; x2; x3 .... xn > 0 ta cã n n xx xn
n

x
x

...
...

2
1
3

1     hc

(x1+x2+....+xn) > n n

n

x
x

x1 2.... hc ( m

n

n x x x

n

x
x

...
)

...

2
1
3

2
1








DÊu "=" x¶y ra  x1= x2=...= xn

* HQ 1: nếu x1 + x2 + ...+xn = S (khơng đổi) thì Max(x1x2...xn) =








n
S

DÊu "=" x¶y ra  x1= x2=...= xn

* HQ2: Nếu x1x2...xn = P (khơng đổi) thì Min(x1+x2 + ...+xn) = nn P

DÊu "=" xảy ra x1= x2=...= xn

2- Dạng cụ thÓ cho 2 sè:

x, y > 0 ta cã xy  xy

2
DÊu "=" x¶y ra  x = y

3- D¹ng cơ thĨ cho 3 sè:

x, y, z > 0 ta cã 3

2 xyz

z
y
x





DÊu "=" x¶y ra  x = y = z

B- Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi

1- Phơng pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
VD : CMR (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2

a, b, c



Sai lầm thờng gặp là:

x, y thì (x - y)2 > 0  x2 + y2 > 2xy

Do đó ta có:

























ac

a

c

bc

c

b

ab

b

a

2

2
2

(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 (sai)
Chẳng hạn: 4 > - 4

2 > - 6
3 > 2

§óng
§óng
§óng

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 4.2.3 > (- 4)(- 6).2 (sai)

Nhận xét: chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả nhận

đợc bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
Nh vậy ta có lời giải đúng nh sau:

























ca
c

a
a

c

bc
c

b
c

b

ab
b

a
b

a

2
2

2
2
2

(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2

= 8 a2b2c2

* Thơng thờng ta ít gặp các bài tốn sử dụng ngay bất đẳng thức Cơ si

nh bài tốn trên mà phải biến đổi bài tốn đến tình huống thích hp ri mi s
dng bt ng thc Cụ si.

Bài toán 1:

, 

a b , chøng minh r»ng



a b



8 64ab(a b)2





Gi¶i:

Ta cã :



a b



8 [( a b)2]4

(ab)2 ab

2
2
2
4

)
(
.
64

2
.
)
.(
2

2
).
(
2

b
a
ab

ab
b

a

ab
b
a

Cosi

Bài toán 2:

Cho a1a2 > 0 , a1c1 > b12 , a2c2 > b22 . Chøng minh r»ng :
(a1 + a2) (c1+ c2) > (b1 + b2)2

Gi¶i:

Tõ gi¶ thiÕt ta cã: a1, a2, c1, c2 cïng dÊu  a1c2 > 0 ; a2c1 > 0
Ta cã: (a1+a2) (c1+c2) = a1c1 + a1c2 +a2c1 +a2c2 > b12 + a1c2+a2c1 +b22

2
2
1

2
1

2
2
2
2
2
1
2

2
2
2
1
2
1
2

)
(

b
b

b
b
b
b

b
c
c
a
a
b

Cosi

Bài toán 3:

Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta cã (1+a+b) > 33 ab

(a+b+ab) > 3 a.b.a.b

(1+a+b)(a+b+ab) > 9ab

Bài toán 4: Chøng minh ; 3a3 + 7b3 > 9ab2

a,b > 0

Gi¶i:

Ta cã: 3a3 + 7b3 > 3a3 +6b3

> 3a3 +3b3 + 3b3
> 33 3a3.3b3.3b3

> 9ab2

Bµi toán 5:

Cho a, b,c,d > 0 và 3
1

1
1

a b c d

Chøng minh r»ng: abcd <
81

Gi¶i:

Tõ gi¶ thiÕt ta cã:

1
1
1
3

1
1

1
1
1
1

1
1
1

)
)(
)(
(

)
(

d
c
b

bcd
d
d
c
c
b
b

d

c

b
a
























Ta cã 0

)
1
)(
1
)(
1
(
3
1

3 






 b c d

bcd
a

T¬ng tù ta cã:

0
)
1
)(

1
)(
1
(
3
1

3 






 a c d

acd
b

0
)
1
)(
1
)(
1
(
3

3 






 a b d

abd
c

0
)
1
)(
1
)(
1
(
3
1

3 






 a b c

abc
d

Nhân vế ta đợc:

abcd
d

c
b
a

abcd
d

c
b

a          

 81

1
)
1
)(
1
)(
1
)(
1
(
81
)
1
)(
1
)(
1
)(
1
(

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chøng minh r»ng a, b> 0 ta cã 2008

4017
2009

2008a 2009 b 4017 ab

Gi¶i:

áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 4017 số trong đó có 2008 số dạng

2008a và 2009 số dạng 2009b ta đợc:

hang
è
h¹ng

è s

s

b
b

b
a

a
a

b
a

2009
2008

)

...

(
)
...

(

2009
2008

2009
2009

2009
2008

2008
2008

2009
2008











2009
2008 2009

2008 a b >

hang
è
h¹ng

è s

s

b
b

b
a

a
a

2009
2008

)
...
.

).(
...

.
(

40174017 2008 2008 2008 2009 2009 2009

4017

4017 ab

Bài toán 7:

Cho

1

8

1

0 )

)(

(:

,,

c

b

a

CMR

c

b

a

cb

a

Giải:

VT=

c
b
a
b

a
c
a

c
b
c

c
b

b
a

a

.
)

)(
)(

(1 1 1

8
2

abc
ab
ca
bc

Cosi . .
Bài tËp ¸p dơng:























1

3

0

2
1

n

a

N

n

a

cho

n
n

...

,

,...

,

Chøng minh r»ng a1a2...an <

n

n )

( 1
1



2) CMR: mma nn b(mn)mnab ab ; m,nN

1
0

3) Cho













1

0

2
1

n
n

a

...

,...

,

CMR: n

n

n
a

a

a .... 1 ( 1)

1
1
1
1
1

2
1
































Bạn đọc tự giải

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

* Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề khi
chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ cịn lại
hằng số.

Bµi toán 1: CMR: a R

a
a

2
1

2
2

Giải:

1
1
1
1

1
1
1

2
2

a
a

a
a
a

a ( )

2
1
1
1
2

2
2

a
a

Cosi .

Bài toán 2: CMR: và a.b1

a b

b
a

2
2

Giải:

2
2

2
0

2
2

Cosi

b
a

ba
a

b
a

ab
b

a
b
a

b
a
VT

(

)
(

Bài toán 3: CMR: 1 3 0

a b

b
a

)
(

1
3

1
1

)
(
).
(

)
(
)
(
)

(

b
a
b

b
a
b
b
a
b
b
a
b
a

Cosi

> 3

Bài toán 4: CMR: 1 2 2 2

)
(a b
b
a
Giải:

2
2
1

2
2

1
2

)
(
.
)
(
.
)
(
.

)
(

b
a
a
b
a
b
a
b

a
b
a
b
a
b
a
b
VT

Bài toán 5: CMR: log3 4 > log4 5

Giải: Theo bất đẳng thức Cơsi ta có

log3 4 + log4 3 > 2 log34.log43 2 (1)
mµ log45 + log4 3 = log4 5.3

= log4 [(4+1)(4-1)]
= log4 (42-1)

< log4 42 = 2 (2)
Tõ (1)(2)  log34 + log43 > log45 + log43

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 log3 4 > log4 5

3. Phơng pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Bài tốn 1: CMR: ab  cd  (ac)(bd) a,b,c0

Gi¶i:

Bất đẳng thức tơng đơng với 1






 )( ) ( )( )

( a c b d

cd
d

b
c
a

ab

Theo bất đẳng thức Côsi ta cú:

1
2

2
1
2

d
b

d
b
c

a

c
a

d
b

b
c
a

c
d

b
b
c
a

a
VT

Bài toán 2:

Chứng minh : c(a c) c(b c) ab ac0;bc0

Gi¶i:

Bất đẳng thức tơng đơng với    1

ab
c
b
c
ab

c
a

c( ) ( )

Ta cã:

1
2

2
1
2




















 












a

a
b
b

b
c
b
a
c
a

c
a
b
c
VT

Bài toán 3: CMR: 3 1 3 1 1 01 0









 a b c a b c

abc ( )( ( ) , ,

Giải: Bất đẳng thức tơng đơng với:

3
3

3 abc  1.1.1 (1a)(1b)(1c)

1
1

1
1
1
1

1 3

3 











)
)(
)(
(

.
.
)

)(
)(

( a b c a b c

abc

1
1

1
1
1
1
1
3
1

1
1
1

1
1

1
3
1

c
c
b
b
a
a

c
b
a
VT

Bài toán 4:

Tổng quát: n  

n
n
n

n
n

n bb b a b a b a b

a
a

a1 2...  1 2...  1 1 2 2 ... 

Với ai; bi >0 ; i = 1,n
Bạn đọc tự chứng minh.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

CMR: 1 1 1

1   

 n

n n! n
Bạn đọc tự chứng minh

Gỵi ý: VT= 1 1 1

4
3
3
2
2
1
1

4
1
3
1
2
1



 n 

n

n
n

n . . ...

...
.

Bµi toán 6:

CMR: 16ab(a-b)2 < (a+b)4 a,b0

Giải:

VT = 16ab(a-b)2 = 4(4ab)(a-b)2

4
2

2
2

2
4

2
4
4

)
(
)
(

)
(

b
a
b

a

b
a
ab

Bài toán 7:

CMR:

2
1
1

1
2

2 










)
)(
(

b
a

ab
b

a
Gi¶i:

  







  



2
1
1
1

2
1
1

1
1

2
2
2

b
a
ab

b
a

ab
b
a

ab
b
a
ab
b
a

ab
b

a

ab
b

a
VT

Cosi

2
1

2
2
2
1
1

2
2
2

2
2

)
(

pcm)
Đ
2

1 2 2

(

VP
b

a

Bài to¸n 8:

Cho a, b >1 chøng minh r»ng:

2 2

2
2

b
a
b

a log  log 

log

Gi¶i: Ta cã: a b 2a 2b 2a 2b

2
2

2 log ) log log 2 log .log
log

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2
2

2
4

2
2

2
2
2

2
2

b
a
b

a
b
a

ab

ab
b

a

b
a

Cosi
Cosi

log
log

log
log
log

log
)
log
(log

log
log

(đpcm)

Bài toán 9: Cho

CMR

abc

a

b

c

b

a

cb

a

16

1

0 :

,,

Giải:

b
a

c
b
a
do
b

a

c
b
a

b
a
c

b
a
b
a

c
b
a
abc

VT

Cosi
Cosi

1
2

1
4

2
4

2
16
16

2
2

)
).(
(

]
)
(
)[
(
.

)
(

.
)
(

Bài toán 10:

729

8

1

0 )

)(

(

:

,,

a

cc

bb

a

abc

CMR

c

b

a

cb

a

Cho

Giải:

Ta có

729
8
3

3

]

)
(
)
(
)
(
.[
)
(

)
)(
)(
(

a
c
c
b
b
a
c
b
a

a
c
c
b
b

a
abc
VT

Bài toán 11:

27

8

1

0 

















abc

ca

bc

ab

CMR

cb

a

cb

a

Cho

:

,,

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

     

27
9
3

1
1

1
1
1
1





























]
[

)
)(
)(
(

c
b

a

c
b
a

c
b
a
abc
ca
bc
ab

abc
ca
bc
ab
VT

Cosi

4. Phơng pháp thêm hằng số

s dng bt ng thc Cơ si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta
cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy
nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì ta phải thêm hằng số để số
các số hạng bng ch s cn.

Bài toán 1:

CMR: a b 1b a 1ab ab1

Gi¶i: Ta cã:

 

2
2

1
1
1

1 a b a b ab

b

a   (  ).  .   

2
2

1
1
1

1 b a b a ab

a

b   (  ).  .(  ) 

Céng vÕ  a b 1b a 1ab (đpcm)

Bài toán 2:

6

1

0 )

(

)

(

)

(

:

,,

a

c

b

a

CMR

c

b

a

cb

a

Cho

Giải:

Ta có:

2
3
2
2

3
3
2
2

)
(

.
).

(
.

b
a
b

a
b

a

2
3
2
2

3
3
2
2

3  







)
(
.
).

(
.

c
b
c

b
c

b

2
3
2
2

3
3
2
2

3  







)
(
.
).

(
.

c
a
c

a
c

a

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

6
2
2
3

2
2
2

2
3















)
(

.
)
(
)

(
)

(a b b c c a a b c

Bài toán 3: Cho

2

4

3 c

b

a

Tìm Max

abc

b

ca
a

b
c
ab

f   2   3  4

Gi¶i:

Ta cã:

2
2
2

2 ab c ab c abc

c

ab   . (  ).  .(  ) 

3
2
2

3
3
3

3 bc a bc a abc

a

bc   . (  ).  .(  ) 

4
2

4
4
4

4 ca b ca b abc

b

ca   . (  ).  .(  ) 

4
1
3
2

1
2
2

1
4
3













abc

b
ca
a

bc
c

ab
f

DÊu "=" xảy ra

4

8

6

44

33

22 c

b

a

b

a

c

Vậy Max

4
1
3
2

2
2

f

Bài toán 4: Cho

4

0

3

0 y

x

tìm Max A = (3-x)(4-y)(2x+3y)

Giải: A = (3-x)(4- y)(2x+3y)
=

6
1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

36
6
1
3

3
2
3

12
2

6 3









     

 ( x) ( y) ( x y) .
Cosi

DÊu "=" x¶y ra 6-2x=12-3y=2x+3y=6

2

0 y

x

Vậy Max A = 36

Bài toán 5: Cho x, y > 0. T×m Min 2

xy

y
x
y
x

f( , )(  )

Gi¶i: Ta cã:

4
27
3
4
16

3
2
2
4
16

2
2
4
16

2
3

3
3
2























  




xy
y
x

y
x

y
y
x

y
y
x
xy

)
(

)
(
.

)

)(
)(
(

DÊu "=" x¶y ra  4x=2y=2y  y=2x>0
VËy Min f(x,y) =

4
27

Bài toán 6: Cho x, y, z >0 Tìm Min 2 3

z
xy

z
y
x
z
y
x

f( , , )(   )

Gi¶i: Ta cã xy2z3 = 6x.3y.3y.2z.2z.2z .

3
2

2
3
6

.
.

432
432

432
1
6

2
2
2
3
3
6

3
2

6
3


















     




z
xy

z
y
x

z
y
x
z

xy

z
z
z
y
y
x
z

xy Cosi

)
(

VËy Min f(x,y,z)=432

DÊu "=" x¶y ra  6x3y2z0

5. Phơng phỏp ghộp i xng

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Phơng pháp cộng:

2 x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

)

(

)

(

)

(

)

(

Phơng nhân:

zx

yz

xy

xyz

zx

yz

xy

z

y

x

.

)

).(

(

2
2
2

với x,y, z >0

Bài toán 1:

CMR:   abc a b c0

c
ab
b
ca
a
ba

,
,

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có

c
ab
abc
b

ca
a
bc














2
1

c
c
ab
b
ca
c

ab

b
ca












 .

2
1

b
a
bc
c
ab
a

bc
c
ab












 .

2
1

Céng vÕ a b c

b
ca
c
ab
a
bc

Bài toán 2:

CMR: 2 0

2
2
2
2
2

a bc

a
b
b
c
c
a
a
c

c
b
b
a

,
,

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

c
a
c
a
c
b
b
a
c

b
b
a














 2

2
2
2
2

2
2
2

2
1

a
b
a
b
a
c
c
b

a

c
c
b















2
2
2
2
2

2
2
2

2
1

b
c
b
c
b
a
a
c
b

a
a
c













 2

2
2
2
2

2
2
2

2
1

Cộng vế ta đợc:

a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b

a






 2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bµi to¸n 3:CMR: a3 +b3 +c3 > a2 2 2 0






b ac c ab ab c

bc , ,

Gi¶i: Ta cã:

a3 +b3 = (a+b)(a2 +b2 -ab) > (a+b)(2ab-ab) = (a+b).ab
b3 +c3 = (b+c)(b2+c2 -bc) > (b+c)(2bc-bc) = (b+c).bc
a3 + c3 = (a+c)(a2 +c2 -ac) > (a+c)(2ac-ac) = (a+c).ac
Cộng vế ta đợc:

2 (a3 +b3 +c3) > (a+b).ab+(b+c).bc+(a+c).ac
> a2(b+c) + b2(c+a) +c2 (a+b)

)
(a ab b ac c ab

ab
c
ac
b
ab
a

Cosi

2
2










Suy ra a3 +b3 +c3 a2 bc b2 ac c2 ab

Bài toán 4: CMR: A B  C1 ABC

2
2

2 tan tan
tan

Gi¶i: Ta cã: tan cot 2 tan( 2 )

1 C A B

C






2
1
2
2
1

2
2

C
B

A
B
A

tan
tan

.
tan

tan
tan







1
2
2
2

2
2

2 

tanA.tanB tanB.tanC tanC.tanA

Mặt khác ta có:

2
2
2

2
2

1 tan2 A tan2 B tan2 A.tan2 B tanA.tanB














T¬ng tù:

2
2
2

2
2

1 tan2B tan2C tanB.tanC












2
2
2

2
2

1 tan2C tan2 A tanC.tanA











Cộng vế ta đợc: tan22 2 2 1
2
2




 B C

A tan tan

đccm

Bài toán 5: Cho ABC CMR:

1) (p-a)(p-b)(p-c) <

abc

2) ( )

c
b
a
c
p

b
p
a
p

1
1
1
2
1
1










Gi¶i: Ta cã p-a = 0

2 



c a

b

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2
2

0 (p a)(p b)(p a)(p b)c

2
2

0 (p b)(p c)(p b)(p c)a

2
2

0 (p c)(p a)(p c)(p a)b

Nhân vế ta đợc: (p-a)(p-b)(p-c) <

abc

2) p a p b p a p b p a p b c

2
2

1
1

2
1




















 ( )( ) ( ) ( )

a
c
p
b
p
c
p
b
p
c

p
b
p

2
2

1
1

2
1





















 ( )( ) ( ) ( )

b
a
p
c
p
a
p
c
p
a

p
c
p

2
2

1
1

2
1





















 ( )( ) ( ) ( )

Cộng v ta c: ( )

c
b
a
c
p
b
p
a
p

1
1
1
2
1
1

Bài toán 6: Cho ABC CMR:

(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) < abc

Giải: Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

c
b
c
a
a
c
b
b
c
a
a
c

b          



0 ( )( ) ( ) ( )

a
c
b
a
b
c
a
c
b
a
b
c

a          



0 ( )( ) ( ) ( )

b
a
c
b
c

b
a
a
c
b
c
b

a          



0 ( )( ) ( ) ( )

Nh©n vÕ  (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < abc

6. Phơng pháp ghép cặp nghịch đảo 3 số:

Chó ý ta cã: (x+y+z)(11 1 9 x y z0

z
y

x ) (*) , ,

ThËt vËy VT > 33 33 1 9

xyz

xyz. .

Bất đẳng thức trên có ý nghĩa rất lớn trong vai trị nhận dạng và đa các bài
toán xa lạ trở thành bài toán quen thuộc. Các ví dụ sau chứng tỏ điều đó.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Giải: Ta có : SABC=

a
S
h
h

a a a

2
2

.
Tơng tù:

b
S
hb

 vµ

c
S
hc

 mµ S =p.r

Nªn (*)  2aS 2bS 2cS 9Sp

9
1
1
1

9
1
1
1
2













)
)(

(

)
(

c
b
a
c
b
a

c
b
a
p

Theo (*)  ỳng ddcpcm

Bài toán 2: CMR: ra +rb +rc > 9 r ABC

Chó ý: r pS c

b
p

S
r
a
p

S

ra b c








 ; ;

(S lµ diƯn tÝch ABC) mµ S =p.r

Ta phải chứng minh:

9
1
1

1
9
1
1

c
p
b
p
a
p
c
p
b
p
a
p

c
p
b
p
a
p
p

p
S
c
p

S
b
p

S
a
p

S

)]
(
)
(
)
[(

)
(

Theo (*) ỳng cpcm

Bài to¸n 3: CMR      6

c
b
a
b

a
c
c

a
b

với a,b,c 0

Bài toán 4: CMR: a) 2 2 2 9  0









c c a a b a b c a b c

b , ,

b) 0

2
3









 a b ab c

c
a
c

b
c
b

a

,
,

Bài toán 5: CMR: 0

2
2

a b c

c
b
a
b
a

c
a
c

b
c
b

a , ,

Gỵi ý: (a b c)

b
a

c
c
a
c

b
b
c
b

a

a   




































2
3

2
2

Bạn c t chng minh bi 3, 4, 5

Bài toán 6: Cho

2

9

1

0 















ba

ac

cb

CMR

cb

a

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Gi¶i:
2
9














b
a
c
b
a
a
c
c
b
a
c
b
c
b
a
9
1
1
1
9
1
1
1
2



































a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
b
a
a
c
c
b
c
b
a
)]
(
)
(
)
[(
)
(

Theo (*)  ỳng cpcm

Bài toán 7: Cho

9

2

1

2

1

2

1

0

2
2
2

















ab

c

ca

b

bc

a

CMR

cb

a

cb

a

,,

Giải: Theo bất đẳng thức (*) ta có:

9
2
1
2
1
2
1
2
2

2 2 2 2 2 2

2


















ab
c
ca
b
ca
a
ab
c
ac
b
bc

a ) ( ) ( )]

[(
9
2
1
2

1
2
1
2
2
2
2















ab
c
ca
b
ca
a
c
b

a )
(

Mµ 0<(a+b+c)2 < 1

 9
2
1
2
1
2
1
2
2

2 











 ca b ca c ab

a ®pcm

7. Phơng pháp đánh giá mu s:

Bài toán 1: CMR 0

2
1
1
1
2
2

abc a bc

c
b
a
ab
c
ac
b
bc

a , ,

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

abc
c
b
bc
a
abc
c
b
abc
bc
bc
a
bc
a
bc
a
4

1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2










)
(
T¬ng tù:
abc
c
a
ca

b 4
1
2



abc
b
a
ab
c 4
1
2



Céng vÕ
abc
c
b
a
ab
c
ca
b
bc
a 2
1
1
1

2
2
2










</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

abc
abc
a
c
abc
c
b
abc
b
a
1
1
1
1
3
3
3

3
3
3 









Gi¶i: Ta cã

)
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
c
b
a
abc
abc
ab

b
a
abc
ab
ab
b
a
abc
ab
b
a
b
a
abc
b
a


















1
1
2
1
1
1
2
2
3
3
T¬ng tù:
)
(a b c
bc

abc
c

b     

1
1

3
3

)

(a b c
ac

abc
a

c     

1
1

3
3

Cộng vế ta đợc:

abc
c
b
a
abc
c
b
a
c
b
a
ca
c
b

a
bc
c
b
a
ab
abc
a
c
abc
c
b
abc
b
a
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
























)
(
)
(
)
(
)
(
®pcm

Bài toán 3: CMR:

abcd
abcd
b
a
d
abcd
a
d
c
abcd
a
c
b
abcd
c
b
a
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4

4
4
4
4
4
4
4

víi a,b,c,d 0

Gi¶i: Ta cã x,y,z0 ta cã:

yz

x
xy
z
xz
y
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
z

y
x
Cosi
Cosi
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4

4
4
4
4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1





















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

 x4 y4 z4xyz(xyz)

VËy: a b c abcd abc(a b c) abcd abc(a b c d)













1
1
1
4
4
4
)
(a b c d
bcd

abcd
a

c

b       

1
1
4
4
4
)
(a b c d
cda

abcd
a

d

c       

1
1
4
4
4
)
(a b c d
dab

abcd
b

a

d       

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Cộng vế ta đợc: VT(1)

abcd
d

c
b

a
abcd

d
c
b
a

d
c
b
a
dab
d
c
b
a
cda
d
c
b
a
bcd
d
c
b
a
abc

1
1



























)
(

(
)
(

)
(

®pcm

8. Phơng pháp đổi biến số:

Đổi biến số nhằm mục đích chuyển bài tốn từ tình thế khó biến đổi đại số
(với các biến ban đầu) sang trạng thái d bin i i s hn vi bin mi

Bài toán 1: CMR: 1 0

a b a bc

c
a
c

b
c
b

a

,
,
)

(

Giải: Đặt























































z

zy

x

c

z

yx

z

b

xz

y

a

za

b

yc

a

xc

b

0

(1) 3

2
2

2 











z
z
y
x
y

y

x
z
x

x
z
y

6








z
x
z
x
y
x
y
z
x
z
x
y

ThËt vËy: VT = 



























z
y

y
z
z
x
x
z
y
x
x
y

6
2
2

2 

Cosi đpcm

Bài toán 2: Cho ABC có các cạnh a, b, c

CMR: a b c

c
b
a

c

b
a
c

b
a
c
b

a

2
2

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đặt

2 yx

c

xz

b

y

a

cb

az

ba

cy

ac

bx

Khi ú ta cú:

(1) ( ) ( ) ( ) (2)

4
4

2
2

z
y
x
z

y
x
y

x
z
x

z
y












Ta cã VT (2)

x
yz
z
xy
z

xy
y
xz
y

xz
x
yz

z

xy
y
xz
x
yz

2
1
2

1
2

z
y
x
zx

yz
xy
yz

xy
xz
xy

zx
yz

. . . đpcm

Bài toán 3: Cho ABC có các cạnh a, b, c CMR:

(b+c+-a)(c+a-b)(a+b-c) abc (1)

Giải:

Đặt:

2 yx

c

xz

b

y

a

cb

az

ba

cy

ac

bx

Khi ú (1)

2
2
2

x
z
y
x
z
y

xyz   

 . .

ThËt vËy VP =

2
2

x
z
y
x
z

y 






xyz

y
x
x
z

z
y

Cosi



 . . .

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài toán 4: Cho ABC có các cạnh a, b, c ; diện tích S. CMR:

)
(1
2

3
3
1

1 4

S
b
a
c
a
c
b

c
b

a        

Gi¶i:

Đặt

0 z

c

b

a

y

b

a

c

x

a

c

b

Ta có:

4
4
4

2
1
2
1

xyz
z
y
x

c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a

c
p
b
p
a
p
p
S

)
(

)
)(

)(
)(

(

)
)(
)(
(

Khi ú: (1) 11 19

z
y
x

4 3

1
1
1
3

1
1
1
3
4

3
1

1
1
3
1

xyz
z
y
x

z
y
x
z
y
x
z
y
x

z
y
x
z
y
x

)
(

)

(

)
(

3
3

1
1
1

xyz
z
y
x
z

y

x   (   )

 đpcm

Bài toán 5: Cho ABC CMR: ( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 )2 12 (1)

r
c
p
b
p
a

p     

Gi¶i: Ta cã:













2
2
2
2

r

p

S

c

p

b

p

a

p

S

(

)(

)

p

c
p
b
p
a
p

r ( )( )( )

Đặt:

0 c

p

z

b

p

y

a

p

x

th× ta cã:

(1) 12 12 12 (2)

xyz
z
y
x
z
y

x

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

VT(2) = 






















 2 2 2 2 2

2
1
1

2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
x
z
z
y
y
x
xyz
z
y
x
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x










 212 212 212 1 1 1

9. Phơng pháp kiểm tra điều kiện xảy ra dÊu "="

Cho a+b+c+d >0 t×m GTNN cđa

d
c
b
a
c
b
a
d
b
a
d
c
a
d
c

b
c
b
a
d
b
a
d
c
a
d
c
b
d
c
b
a
S


























* Sai lầm thờng gặp:

Nhiu hc sinh mc sai lm khi bin đổi S thành tổng 4 cặp nghịch đảo và áp
dụng bất đẳng thức Cô si cho từng cặp  S >8 và kết luận MinS =8

DÔ thÊy sù sai lầm trên vì nếu S =8

thì :

0 d

c

b

a

c

b

a

d

b

a

d

c

a

d

c

b

d

c

b

a

vô lí vì a +b+c+d >0

Li gii ỳng:

tìm Min của S ta cần chú ý S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó để
tìm Min (Max) nếu có thờng đạt đợc khi a=b=c=d. Vậy đảo lại cho trớc
a=b=c=d ta có thể dự đốn MinS =

3
40
12
3
4



Sau đó đánh giá các bất đẳng thức có điều kiện dấu "=" xảy ra l tp con ca
iu kin a=b=c=d

Đặt
d
c
b
a
c
b
a
d
b

a
d
c
a
d
c
b

S1           

Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

12
2
6

1(  )(  )(  )(  )(  )(  ) .

b
d
d
b
a
d
d
a
a
c
c
a

c
d
d
c
b
c
c
b
a
b
a
b
S
Đặt
c
b
a
d
b
a
d
c
a
d
c
b
d
c
b
a

S

2

c
b
a
d

b
a
d
c
a
d
c
b
d
c
b
a

S2 4 1 1 1 1

c
b
a
b
a
d
a
d
c
d
c
b
d
c
b
a

S2 4 ( ) 1 1 1 1

)]
(
)

(
)
(
)

[(a b c b c d c d a d a b

S             

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

C«si

3
4
4
3
16
3

16
4
3
1

2     

 . S

Từ đó ta có S > 12+

3
1
13
3
40
3
4




VËy Min S = 13

3
1

khi a=b=c=d

Bài toán 2: Cho













1

0 d

c

b

a

d

c

b

a

,

,,

T×m Max S = abc bcd  cda dab

Gi¶i:

Sai lầm thờng gặp, theo bất đẳng thc Cụsi ta cú:

2
7

2
7
4
3

2
1

2
1
1

MaxS

d
c
b
a
S

b
a
d
b
a
d

a
d
c
a
d
c

d
c
b
d
c
b

c
b

a
c
b
a

]
)
(

[
).
(

).
(

Rõ ràng dấu "=" xảy ra

1
1
1
1

b
a
d

a
d

c

d
c
b

c
b
a

4
3

v« lÝ

* Lời giải đúng:

Theo bất đẳng thức Cơ si ta có


























2
4
3
3

4
4

3
3

4. (a b c). a b c

























2
4
3
3

4
4

3
3

4 b c d

d
c

b ).

(
.



















4
3
3

4
4

3
3

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

























2
4
3
3

4
4

3
3

4 d a b

b
a

d ).

(
.

3
2
3
3

2
1
3
4








¸S . [ (a b c d) ]

DÊu"=" x¶y ra

4
1






 a b c d

Bài toán 3: Cho

2

3

0 z

y

x

z

y

x

,

T×m MinP =xyz1x1y 1z

Bạn đọc tự làm (Min P =

2
1
2




y z

khix )

C. Lêi kÕt:

Trong đề tài này chủ yếu tôi đa ra một số phơng pháp phân tích, đánh giá để
có đợc lời giải các bài tốn bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si
cùng với các ví dụ minh hoạ cơ bản đợc su tập chủ yếu trong bộ đề thi tuyển
sinh đại học. Tuy nhiên trong q trình thực hiện đề tài chắc sẽ khơng tránh
khỏi những thiếu sót, tơi rất mong muốn có đợc sự đóng góp ý kiến của đồng
nghiệp, bạn đọc về nội dung đề tài, tôi xin chân thành cảm ơn!

Thanh Oai, ngày 15/4/2009

Tác giả

Lê Đình Chiến

ý kin nhn xột ỏnh giá xếp loại
 của hội đồng khoa học cơ sở

Chủ tịch hội đồng

</div>

SKKN

<sub>&</sub>

<b>đề tài sáng kiến kinh nghim</b>

một số phơng pháp

s dng bt ng thc cụsi

<b>Họ và tên</b>

<b>: </b>

<i><b>Lê Đình Chiến</b></i>

<b>Chức vụ</b>

<b>: </b>

<i><b>Giáo viên</b></i>

<b>Tổ</b>

<b>: Toán</b>

<b>Đơn vị công tác </b>

<b>: </b>

<i><b>Trêng THPT Thanh Oai A</b></i>

<b> </b>

<i><b>Thanh Oai - Hà Nội</b></i>

<b>SKKN thuộc lĩnh vực chuyên môn: Môn Toán</b>

<i><b>Năm học 2008-2009</b></i>



























<i>ac</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>bc</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>ab</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

2

2

2









1

1

1

1

1

1

8

1

0

)

)(

)(

(:

,,

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>CMR</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>cb</i>

<i>a</i>















