chuyen de giai pt vo ti lop 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (218.98 KB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương III :

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Phương trình một ẩn

 Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái;

g(x) là vế phải.

 Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế

có nghóa.

 Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng, là một nghiệm

cuûa phương trình. Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô
nghiệm.

2. Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ)
Cho hai phương trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2).

+ PT (2) laø (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) nếu tập nghiệm của (1) là tập
con của tập nghiệm của (2).

+ Hai phương trình (1) và (2) là tương đương, kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x), nếu các tập
nghiệm của (1) và của (2) bằng nhau.

3. Phép biến đổi tương đương

Định lý : Gọi D là ĐKXĐ của PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác định xDthì

a) f(x) = g(x)  f(x) + h(x) = g(x) + h(x).

b) f(x) = g(x)  f(x) . h(x) = g(x) . h(x) , nếu h(x)



0 , xD .

4.Phương trình bậc nhất một ẩn

+ Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b



R ; a



0. x được gọi

là ẩn còn a, b là các hệ soá.

+ PT ax + b = 0 với a



0 có nghiệm duy nhất x = -b/a.

5.Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

 Nếu a



0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a.
 Nếu a = 0, b



0, PT vô nghiệm.

 Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x



B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN

Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ?
a) 2x + 3 = 8 – 3x vaø

3
8
1
3
2

2
2







x
x
x

x

.
b) 2x + 3 = 8 – 3x vaø 2x + 3 +

4
2

2


x = 8 – 3x + 4
2

2


</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 3.2 Giải các phương trình :

a) 2x – 1 + x 1 1 x 1 ; b) 2 6 2 6 9 3






 x x

x
Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m :
3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1 .

Xác định các giá trị của m để hai phương trình có một nghiệm chung.
ài 3.4 Giải các phương trình sau :

3
4
2
10

3
2

2 





 x x

x

; b) 2 1 1 2 11 ( 43 2 1)








x
x
x
x
x

x
x

c) 3

87
1919
81

1925
75

1931








 x x x

; d) x651x633 x615x597
Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x :

a) m2(x-1) = 9x + 3m ; b) 2 3





m
x

m
mx

c) 3 2

3  






m
x

x
x

m
x

; d) mx1 3xm 2 .
Bài 3.6 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :

a) 2 2 2 2 2 2 2

b
x

x
a
x
b

b
x
a
x







 ; b) a b

b
x
a
x

b
a

ab
x








.
Baøi 3.7 Tìm giá trị của tham số sao cho phương trình :

a) 2 5 ( 1)




 m x

x

m vô nghiệm .
b) 2 25 5




 m x

x

m coù vô số nghiệm .

c) m(m 1)x 1 m2




 có nghiệm duy nhất .

C. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ?
a) 3x + 1 = 2x + 4 vaø 3x + 1 +

1
1



x = 2x + 4 + 1
1



x

b) 3x +1 = 2x + 4 vaø 3x +1 + 13


x = 2x + 4 + 3
1



x

Bài 3.9 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn soá).
1a) 2( 2) (7 ) 3(2 1)







 m x x

x

m ; 1b) 2( 1) 3 2(5 2)





 mx x

x
m

2a) 2

2
1







x
m
mx

; 2b) 2
1







</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3a) 2



 x

x
m
x

x

; 3b) 1 13






x
x
m
x
x

4a) 2







m
x

n
x
n
x

m
x

; 4b) 2
1
1









x

m
x
m
x

x

5a) 1 11( 1)1 1




 m x

m
x

mx
m

; 5b) 2 2 1 1( 2)2 1




 m x

m
mx

m
x

6a) m2x 3n m(3x n)




 ; 6b) m2x mn2(mx n).

7a) xm x m2 ; 7b)




 x

x
m
x

x

Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
a)

1
)

1
(
1
1

2
2










x
x
a
x

b
x

ax ; b) a(x 1)b(2x1)x2

Bài 3.11 Xác định m để các phương trình sau vơ nghiệm :

a) 2

2
1

1  






x
x
x

m
x

; b) 2
1
2










x
m
x
x

x

Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R :

a) a(x 2)x3b(2x1) ; b) a(x 1)b(2x1)x2
Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm :

a) 2 1 2

3
)
2
3
(
1

2
)

1
3

(

x
x
m
x

m
x
m











; b) 2 9 2

2
)

3
2
(
9

3
)
1
2
(

x
m
x
m
x

x
m











Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm :
a) 2( 1) 2 3






 x m

x

m ; b) 2( 1) 4 3 2





 x m

x
m

§2. Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với
a.b



0 ; x, y là hai ẩn số.

+ Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c thì (x0 ; y0) được gọi là một nghiệm của (1). + + Phương
trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

là đường thẳng ax + by = c .

2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1)

a) Nếu a



0 , b



0, phương trình (1) có vơ số nghiệm. Cơng thức nghiệm tổng qt của phương

trình laø : x R y y R

b
ax
c

x  
















 

;
a

by

-c
,

; hoặc .

Tập nghiệm của (1) được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thị hàm số :
x bc

b
a

y  . Còn gọi là đường thẳng ax + by = c.

b) Nếu a = 0 , b



0, phương trình có dạng by = c . Cơng thức nghiệm tổng quát là :

x R

b
c

x  







 ; ;

. Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với
trục hồnh và cắt trục tung tại điểm có tạo độ 







b
c
;

0 .

c) Nếu a



0 , b =0, phương trình có dạng ax = c . Công thức nghiệm tổng quát là :

y y R

a
c










 ; ;

. Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với
trục tung và cắt trục hoành tại điểm có tạo độ 






 ;0

a
c

.
d) Nếu a = 0, b = 0, c



0 thì hệ vô nghiệm.

e) Nếu a = b = c = 0 thì mọi cặp số (x ; y) , xR; yR đều là nghiệm của phương trình.
3.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng :
(I) :















)2(

)1(

2
2
2

1
1
1

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Kí hiệu :

122

1

22

11

baba

ba

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

122

1

22

11

bcbc

bc

D

x





;

122

1

22

11

caca

ca

D

y





.
Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) như sau :

a) Nếu D



0 hệ (I) có một nghiệm duy nhất (x0 ; y0) được xác định bỡi công thức :

D
D
y
D
D

x  x  y

0 ; .

b) Nếu D = 0 va ø Dx



0 (hoặc Dy



0) thì hệ (I) vô nghiệm.

c) Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ (I) có vơ số nghiệm là tập nghiệm của (1) hoặc của (2).
4.Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Gọi d1 là đường thẳng a1x + b1y = c1 và d2 là đường thẳng a2x + b2y = c2 .

 Hệ (I) có nghiệm duy nhất  d1 và d2 cắt nhau.
 Hệ (I) vô nghieäm  d1 // d2.

 Hệ (I) có vô số nghiệm  d1



d2.

B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN

Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ :
a) 4x – 3y = 6 ; b) -3x + 2y = 4

Baøi 3.16 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (3m - 2)x + (m+1)y = m – 2 ; b) (m2 – 1)x + (m+1)y = m2 – m -2

Bài 3.17 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho
cặp số 











3
1
;

2 k k là nghiệm của phương trình đó.

O x
y

d 1

d2 O x

d



O x
y

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Baøi 3.18 Giải các hệ phương trình :
a)















8

2

3

1

3

5 y

x

y

x

; b)

















0

3

4

5

0

4

2

3 y

x

y

x























20

29

1

3

5

2

1

5

3

4 y

x

y

x

; d)























15

8

1

2

15

29

1

2 y

x

y

x

















1

3

2 y

x

y

x

; g)



























10

3

2

11

3

2

6

2

3 z

y

x

z

y

x

z

y

x

Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I)

















1

3

2 )2

(

m

my

x

m

y

x

m

; trong đó m là tham số . Với giá trị
nào của m hệ (I) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.

Bài 3.20 Cho hệ phương trình : (I)



















m

y

m

x

m

y

x

m

6 )4

(

)2

(

; trong đó m là tham số. Với giá trị
nào của m hệ (I) có vơ số nghiệm. Viết công thức nghiệm của hệ trong trường hợp đó.

Bài 3.21 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình (I)

















2 )1

(

3 )

2(

6 ay

x

a

y

a

ax

Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất, hãy tìm một hệ thức giữa x và y độc lập
với tham số a.

Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)















m

y

m

x

m

y

mx

6 )1

(

2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)



















m

y

x

m

y

x

m

2

1

2 )1

(

2 .

Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm ngun .
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 3.23 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (2m - 3)x + (m-1)y = m + 2 ; b) (m2 – 4)x + (m-2)y = m2 + m -6

Bài 3.24 Cho k là một số thực xác định. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho
cặp số 










2
;

2 k k là nghiệm của phương trình đó.

Bài 3.25 Giải các hệ phương trình :

















5

3

4

3

2 y

x

y

x

; b)























3

5

2

7

2

3 y

x

y

x























1

9

4

3

2 y

x

y

x

y

x

y

x

; d)



























3

2

1

2

1

6

5

1

2

1

3 y

x

y

x

y

x

y

x



















9

5

3 y

x

y

x

; g)























3

4

3

1

2

3

2 z

y

x

z

y

x

z

y

x

Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a)



















1

2 )6

2(

4 m

y

x

m

my

x

; 1b)



















2

1

2 my

x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2a)



















2 )2

(

3

2 )1

(3

my

x

m

y

m

x

m

; 2b)

















1

2 )1

(

my

x

m

y

x

m

3a)

















m

y

m

mx

m

n

my

nx

4

; 3b)

















2
2

n

y

nx

m

my

x

4a)



















m

y

n

m

x

n

m

n

y

n

m

x

n

m

)

(

)

(

)

2(

)

2(

; 4b)















mn

my

nx

n

m

ny

mx

2

Baøi 3.27 1) Cho hệ phương trình :



















0

2 )1

(

0

3

6 )2

(

y

m

mx

my

x

m

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .

b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối
với m .

2) Cho hệ phương trình :

















2 )1

(

9 )

2(

6 my

x

m

y

m

mx

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham soá m .

b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối
với m .

Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với
x, y đều là các số ngun. Lúc đó tìm (x;y) :

1a)



















0

4 )2

(

2

0

2 )1

3(

)1

(

y

m

x

m

y

m

x

m

; 1b)



















0

1

2

0

3 m

my

x

m

y

mx

2a)

















1

2

1

2 m

my

x

m

y

mx

; 2b)

















1

3

2 m

y

x

m

y

mx

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>















3

1

2 y

x

n

y

mx

vaø















3

2 y

x

m

y

x

Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :





























0

1

0

1 m

y

x

my

x

y

mx

§3. Phương trình bậc hai một ẩn số

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Cơng thức nghiệm

Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax2 + bx + c = 0 (1)
trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số.

Đặt b2  4ac



' b'2ac với b2b'



là biệt thức của (1).

a) Nếu  > 0 (’> 0), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tính bỡi cơng thức :










   


















a
b
x
a

b
x
hay
a

b
x
a

b

x ' ; ' '

2
;

2 2

'
1
2

b) Nếu = 0 (’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi cơng thức :

x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a)

c) Neáu < 0 (’< 0), phương trình (1) vô nghiệm.

2. Định lý Vi-et và ứng dụng

Định lý : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a



0) coù các nghiệm là x1 và x2 thì tổng và tích các 
nghiệm của phương trình là : S = P x x ac

a
b
x

x1 2  ;  1. 2  .
Ứng dụng :

* Nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a



0) (1)

- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm

x2 = c/a .

- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a - b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm
x2 = -c/a .

* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình :
x2 -Sx + P = 0

* Phân tích một tam thức bậc hai thành thừa số

Neáu f(x) ax2 bx c 0 x x1 x x2 f(x) a(x x1)(x x2)
















3.Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

và biện luận phương trình đượpc tiến hành như sau :

Bước 1: xét trường hợp a = 0 (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m)

Từ a = 0  m = … thay giá trị m vào b và c . Phương trình là bx + c = 0 với b, c là số đã
biết. Có một trong hai khả năng sau xảy ra :

 Nếu b = 0 và c



0 ( 0x + c = 0 với c



0) thì phương trình vơ nghiệm.
 Nếu b = 0 và c = 0 (0x + 0 = 0 ) thì phương trình có vơ nghiệm x



TXĐ
Bước 2: Xét trường hợp a



0  m



…

 Tính biệt số  b2  4ac (hay'b'2ac) (Chú ý dấu của  và ’như nhau)
 Biện luận theo dấu của  (hoặc ’) :

- Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a)

- Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo cơng thức :










   


















a
b
x
a

b
x
hay
a

b

x
a

b

x ' ; ' '

2
;

2 2

'
1
2

Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả. (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kịp thời gian)
4. Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0

 Nếu ac < 0  x1 < 0 < x2 (gt x1 < x2 ) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu).
 Nếu ac > 0 ta tính   0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (tức là x1.x2 > 0)

Đặt S = x1 + x2 (= -b/a) ; P = x1.x2 (= c/a > 0)

-Nếu S > 0 thì 0 < x1 < x2 (phương trình có hai nghiệm dương)
-Nếu S < 0 thì x1 < x2 < 0 (phương trình có hai nghiệm âm).
Tóm tắt mục này như sau :

 Nếu P < 0  x1 < 0 < x2

 Neáu

















0 S

P

0 < x1 < x2 ; Neáu



















0 S

P

x1 < x2 < 0
5. Một số phương trình qui về cách giải phương trình bậc hai

a) Phương trình trùng phương dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a



0) (1)

-Đặt ẩn phụ y = x2 , điều kiện y 
 0.

-Viết phương trình theo y laø ay2 + by + c = 0 (2)

Bảng tóm tắt về nghiệm của (2) suy ra nghiệm tương ứng của (1) như sau :

Phương trình trung gian

ay2 + by + c = 0 Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0

0 < y1 < y2 x1,2  y1 ; x3,4  y2
y1 < 0 < y2 x1,2  y2

y1 = 0 < y2 x 0 = 0 vaø x1,2  y2
0 < y1 < y2 xo

b) phương trình dạng (xa)(xb)(xc)(xd)kvới a,b,c,d,k



R (1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>



x2(ab)xab



x2 (cd)xcd



k rồi đặt ẩn phụ t = x2 + mx thì ta thu được

phương trình bậc hai theo t. Giải tìm nghiệm t0 rồi giải PT x2 + mx = t0 để tìm x.
B .CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN

Bài 3.31 Giải các phương trình sau :
a) 25 1 153 41







x
x
x

x

; b)

x
x

x

x 2

4
2
1
4
2

2
2








c) (x3)(x4)(x5)(x6)120 ; d) 2 2 3 2 2 2 3 3





 x x x

x

e) 3 4 5 2 2 0



 x

x ; g) 2 4 7 2 4 0



 x

x

Bài 3.32 Cho phương trình : (m2-4)x2 – 2(m+2)x + 1 = 0 ; m là tham số .
a) Với giá trị nào của m phương trình có một nghiệm ?

b) Với giá trị nào của m phương trình vơ nghiệm ?
Bài 3.33 Giải và biện luận phương trình với tham số m :

a) (m+1)x2 – 2(m+2)x + m -3 = 0 ; b) (m+1)x2 - (2m+1)x + m-2 = 0
Bài 3.34 Cho hai phương trình chứa tham số m :

x2 + mx + 2 = 0 vaø x2 + 2x + m = 0

a) Xác định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

b) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)( x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3.35 Cho hai phương trình : x2 + mx + n = 0 x2 + px + q = 0 thoả mãn điều kiện :
mp2(qn). Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.

Bài 3.36 Không giải hãy nhẩm nghiệm của phương trình :

a) 3x2 – 10x + 7 = 0 ; b) 45x2 + 2007x + 1962 = 0
Baøi 3.37 Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm :

a) Lớn hơn các nghiệm của phương trình 2x2 + x -3 = 0 là 2.
b) Lớn hơn các nghiệm của phương trình x2 + px + p = 0 là p/2.
Bài 3.38 Rút gọn các phân thức :

a) A =

2
7
6

3
5
2

2
2







x

x
x

; B =

15
2

6
7
3

2
4




x
x

x

Bài 3.39 Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 – 11 x + 13 = 0. Không giải phương 
trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau :

a) A = 3
2
3
1 x

x  ; b) B = x14 x24

c) C = 4
2
4
1 x

x  ; d) D =









2
2
2
2

1 1 1 x

x
x
x

x
x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 3.40 Biểu dieãn qua p, q :

a) Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0 
b) Hiệu các lập phương hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0 
Bài 3.41 Xác định m để phương trình : (m + 2)x2 + 2(m + 3)x + m -1 = 0

a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có đúng một nghiệm dương .
Bài 3.42 Xác định m để phương trình :

a) 5x2 + mx - 28 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 5x1 + 2x2 = 1

b) x2 - 4x + m2 + 3m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 4( )

2
1
2
2
2

1 x x x

x   
Bài 3.43 Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 .

a) Chứng minh rằng phương trình sau ln ln có nghiệm :
a



x b



(x c)b(x c)(x a)c(x a)(x b)0 (1)

b) Hãy tìm điều kiện để phương trình (1) chỉ có một nghiệm

Bài 3.44 Cho phương trình : x2 – 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 (1) ; m là tham số .
a) Với giá trị nào của m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ?
b) Tìm một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc m.

c) Tìm giá trị của m để A = x1 + x2 - 3x1.x2 đạt giá trị lớn nhất .
d) Tìm giá trị của m để B = 1 2

2
2
2

1 x x x

x   đạt giá trị nhỏ nhất .

C. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 3.45 Giải các phương trình sau :
a) 2 15 35 53








x
x
x

x

; b)

x
x

x

x 






 2 2

3
1
1

c) (x 1)(x1)(x4)(x6)144 ; d) 2 3 2 3 2




 x x x

x

e) x4  8x2  90 ; g) 2x4 7x2 60

Bài 3.46 Cho phương trình : (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + 1 = 0 ; m là tham số .
c) Với giá trị nào của m phương trình có một nghiệm ?

d) Với giá trị nào của m phương trình vơ nghiệm ?
Bài 3.47 Giải và biện luận phương trình với tham số m :

a) (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + 1 = 0 ; b) (m+2)x2 + 2(3m - 2)x + m + 2 = 0
c) mx2 + 2x + 1 = 0 ; d) (m2 - 5m - 36)x2 - 2(m + 4)x + 1 = 0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 3.49 Tìm m và n để hai số m, n là nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0.

Bài 3.50 Cho a,b là nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình 
x2 + qx + 2 = 0 . Chứng minh rằng : (b - a)(b - c) = pq - 6.

Bài 3.48 Cho hai phương trình x2 + p1x + q1 = 0 (1) và x2 + p2x + q2 = 0 (2) biết p1p2 = 2(q1 + q2).
Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .

Bài 3.51 Cho hai số  ; là các nghiệm của phương rình x2 + px + q = 0 .Hãy lập phương trình 
bậc hai có các nghiệm số laø ( )2&( )2





   .

Baøi 3.52 Cho phương trình x2 + 4x + m + 1 = 0 (1) .

a) Định m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 2 7

1
2
2
2
2
2

1  

x
x
x
x

b) Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm.

c) Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình :

(m+1)x2 + 4x + 1 = 0 cũng có một nghiệm dương

1
x .

Bài 3.53 Cho phương trình 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0.

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = x1x2  2(x1x2) .

Bài 3.54 Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0. Hãy tìm các giá trị của m 
để xảy ra đẳng thức : 3

1
2
2

1 
















x
x
x

x

Bài 3.55 Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1.
Bài 3.56 Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu 
nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối.

Bài 3.57 Giả sử a,b là hai số thoả mãn a > b > 0 .Khơng giải phương trình abx2 - (a+b)x +1 = 0 
Hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình.

Bài 3.58 Tìm các giá trị của m để phương trình :
a) 2 2( 1) 9 5 0







 m x m

x có cả hai nghiệm đều âm.
b) ( 2) 2 2 3 0






 x mx m

m có cả hai nghiệm đều dương.

Bài 3.59 Giải và biện luận phương trình : ( 1) 4 2(2 1) 2 8 0







 x m x

m

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a) (m+ 3)x4 - 3(m -1)x2 + 4m = 0 
b) (m -1)x4 + (2m -3)x2 + m -1 = 0

Bài 3.62 Cho phương trình : x2 - 2(m-1)x + m2 - 3m + 4 = 0 (1)

a) Xác định m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
b) Xác định m để 2 20

2
2

1 x 

x .

c) Xác định m để biểu thức 2
2
2
1 x

x  đạt giá trị nhỏ nhất .

Bài 3.63 Cho phương trình ( 2 4) 2 2( 2) 1 0






 x m x

m .

Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm.
Bài 3.64 Cho phương trình 2 ( 5) 0





 m x m

x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1  x2
trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .

Bài 3.65 Rút gọn các phân thức :
a) A =

1
7
6

3
5
2

2
2




x
x

x

x ; B =

21
2

6
7
3

2
4







x

x
x

Bài 3.66 Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 – 11x +10 = 0. Không giải phương 
trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau :

a) A = 3
2
3
1 x

x  ; b) B = x14 x24

c) C = 4
2
4
1 x

x  ; d) D =









2
2
2
2

1 1 1 x

x
x
x
x
x





Bài 3.67 Cho phương trình (ẩn số x) : x2 - (2m – 3)x + m2 – 3m – 1 = 0.
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh có một hệ thức giữa các nghiệm khơng phụ thuộc m.

Bài 3.68 Cho phương trình (ẩn số x) : x2 - (2m + 2)x + 2m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Tìm giá trị m để biểu thức A = 1 2

2
2
2

1 x 10x x

x   có giá trị nhỏ nhất.

Bài 3.69 Cho phương trình : x2 + px + q = 0 có hai nghiệm dương . Chứng minh rằng :
r 0 phương trình qy2 +(p – 2rq)y + 1 – pr = 0 cũng có các nghiệm đều dương.

Bài 3.70 Tìm tất cả các số thực dương a, b, c, d sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn :
a) Phương trình ax2 + bdx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2.

b) Phương trình bx2 + cdx + a = 0 có hai nghiệm là x2 và x3 .
c) Phương trình cx2 + adx + b = 0 có hai nghiệm là x3 và x1.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai .

Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn cịn lại. Đem thế vào phương trình bậc
hai rồi giải phương trình nhận được.

Ví dụ: Giải hệ phương trình :















3

2

2
2

xy

y

x

y

x

2. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
a) Hệ đối xứng loại I : có dạng









0 )

,

(

0 )

,

(

y

x

g

y

x

f

trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x,
y mà nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng khơng thay đổi. Tức là:

f(x , y) = f(y, x) vaø g(x , y) = g(y , x).

Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y. Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm
các nghiệm với ẩn số x, y. Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là

S2 – 4P  0

Ví dụ: Giải hệ phương trình :















1

2

11

3 y

x

xy

y

xy

x

b) Hệ đối xứng loại II : có dạng









)2

(

0 )

,

(

)1(

0 )

,

(

y

x

g

y

x

f

nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì
phương trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại. Tức là:

f(y , x) = g(x, y) vaø g(y , x) = f(x , y).

Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến
đổi về dạng : (x - y).h(x, y) = 0 (3)

Phương trình (3)











0 )

,

(

x

y

h

y

x

+ Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y).

+ Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được
phương trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn cịn lại.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a)

















x

y

x

8

3

8

3

3
3

; b)



















2
2
5

1

y

x

y

x

y

x

c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn
Hệ có dạng :









)2

(

)

,

(

)1(

)

,

(

n

y

x

g

m

y

x

f

,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức
f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y..
Cách giải:

+ kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay khơng.

+Xét trường hợp x



0 (hoặc y



0). Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác định
k (hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y)

Ví dụ : Giải hệ phương trình

















17

3

2

11

2

3

2
2

y

xy

x

y

xy

x

B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN

Bài 3.71 Cho hệ phương trình : (I)

















2
2

y

6

m

x

m

y

x

với m là tham số.
a) Giải hệ (I) với m = 1.

b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm.

Bài 3.72 Xác định giá trị của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :















1 y

x

m

xy

y

x

Bài 3.73 Giải hệ phương trình :
a)





















x

y

x

y

x

y

x

2

2
2

; b)





















13

3

1

3

2
2

y

xy

x

y

xy

x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 3.74 Giải hệ phương trình :
a)

















3

2

3

2
2

y

xy

x

y

xy

x

; b)

























0

3

6

3

0

2

4

2

2
2

y

x

xy

x

y

x

xy

x

Baøi 3.76 Giải hệ phương trình :
a)





















3

13

2
2

xy

y

x

y

xy

x

; b)

















2
2
3
3

1 y

x

y

x

y

x

Bài 3.77 Giải hệ phương trình :















30 )

(

11 y

x

xy

y

xy

x

; b)





















3

8

9

2

3

1

4

3

2
2
2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

; c)















12

4

2
2

y

xy

x

y

x

Bài 3.78 Giải hệ phương trình :





















y

x

y

x

y

x

16

7

16

7

2
2
3
2
2
3

; b)





















6 )

1 ).(

1(

3

1

2
2

y

x

y

x

; c)

















y

x

y

x

3
3

1

Baøi 3.79 Giải hệ phương trình :



















6

5 x

y

x

y

x

y

x

; b)



















78

1

7 xy

y

xy

x

xy

x

y

x

với x,y>0 ; c)















































49

1

5

1 ).

(

2
2
2
2

y

x

y

x

xy

y

x

Bài 3.80 Giải hệ phương trình :



































1

4

3
3

y

x

y

x

y

x

; b)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

C. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 3.81 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình :















m

y

x

y

x

2
2

3

13

5

3

Bài 3.82 Chứng minh rằng hệ phương trình :

















m

xy

y

x

m

y

xy

x

2
2
2

1

2

ln ln có nghiệm với
mọi giá trị của tham số m

Baøi 3.83 Giải hệ phương trình :
a)















0

8

0

2

6

2
2

y

x

y

x

y

x

; b)















18 )1

)(

1 (

65

2
2

y

x

y

x

; c)

















0

1

3

0

3

2

2
2
2

y

xy

x

y

xy

x

Bài 3.84 Giải hệ phương trình :
a)

















2
2
3
3

1 y

x

y

x

y

x

; b)





















3

13

2
2

xy

y

x

xy

y

x

; c)





















13

3

1

3

2
2
2
2

y

xy

x

y

xy

x

Bài 3.85 Giải hệ phương trình :
a)





















13

4

1

4 y

x

y

x

; b)





















3

2

1

3

2

1 x

y

x

; c)















26

2

3
3

y

x

y

x

Baøi 3.86 Giải hệ phương trình :
a)























2

1

18

1

2
2
2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

; b)

















28

12

2
2

xy

x

y

xy

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>



















2

3
3
2
2

y

x

y

x

; b)



















6

9

1

2
2
3
3

x

y

x

y

x

; c)



















y

x

y

4

Baøi 3.88 Giải hệ phương trình :



























)

2 (7

2

4

2

19

2

4

2
2
2
2
2

y

x

xy

y

x

y

x

xy

y

x

; b)

















3
3
3
2
2

35

1

30 x

y

x

xy

y

Bài 3.89 Giải hệ phương trình :
a)















13 )1

(

)1

(

24 )2

)(

2 (

2
2

y

x

y

x

xy

; b)

















x

y

x

2

1

2

1

3
3

; c)















97

5

4
4

y

x

y

x

Baøi 3.90 Giải hệ phương trình :























3

2

5

2

1

4

2 y

x

y

x

xy

x

; b)



















y

x

y

x

y

x

3

1

2

3

1

2

; c)



















4

1

4

1

2
2
2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

Bài 3.91 Giải hệ phương trình :
a)

























6

1 x

y

x

; b)



















1

3

4
4
3
3

y

x

y

x

; c)























2

3 2 2

y

x

y

x

y

x

y

x

TÀI LIỆU BỔ SUNG

Baøi 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số).

1a) 2( 2) (7 ) 3(2 1)







 m x x

x

m ; 1b) 2( 1) 3 2(5 2)





 mx x

x
m

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

2a) 2
2







x

m
mx

; 2b) 2

1
2







x
m
mx

3a) 2




 x

x
m
x

x

; 3b) 1 13







x
x
m
x
x

4a) 2







m
x

n
x

m
x

; 4b) 2

1
1









x
m
x
m
x

x

5a) 1 11( 1)1 1





 m x

m
x

mx
m

; 5b) 2 2 1 1( 2)21




 m x

m
mx

m
x

6a) m2x 3n m(3x n)




 ; 6b) m2x mn2(mx n).

Bài 2: Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm :

a) 2

2
1

1  






x
x
x

m
x

; b) 2

1
2










x
m
x
x

x

Bài 3: Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R :

a) a(x 2)x3b(2x1) ; b) a(x1)b(2x1)x2

Bài 4: Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm :

a) 2 1 2

3
)
2
3
(
1

2
)

1
3
(

x
x
m
x

m
x
m











; b) 2 9 2

2
)

2
(
9

3
)
1
2
(

x
m
x
m
x

x
m











Bài 5: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm :

a) 2( 1) 2 3





 x m

x

m ; b) 2( 1) 4 3 2





 x m

x
m

Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình :

a) m(2x1)x2 ; b) ( 2) 2 4




 x m

m

Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm với mọi x R

a) ( 2 3 2) ( 2) 0







 m x m m

m ; b) ( 2 6) ( 3)





 m x m m

m

Bài 3: Tìm tham số m để hai bất phương trình sau tương đương :
a) (m2)x m10 và (m1)x m40

b) (m 1)x m30 và (m1)x m20

Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất :
a)

















3 )1

(

1

2 x

m

mx

; b)



















0

1

5

0

2

3 m

mx

m

x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để các hệ bất phương trình sau vơ nghiệm :
a)



















0

2 )1

(

0

3

2 x

m

x

; b)

















2

0

1 m

mx

m

x

Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số laø x vaø y)
1a)



















1

2 )6

2(

4 m

y

x

m

my

x

; 1b)



















2

1

2 my

x

y

mx

2a)



















2 )2

(

3

2 )1

(3

my

x

m

y

m

x

m

; 2b)

















1

2 )1

(

my

x

m

y

x

m

3a)

















m

y

m

mx

m

n

my

nx

4

; 3b)

















2
2

n

y

nx

m

my

x

4a)



















m

y

n

m

x

n

m

n

y

n

m

x

n

m

)

(

)

(

)

2(

)

2(

; 4b)















mn

my

nx

n

m

ny

mx

2

2
2

Baøi 2: 1) Cho hệ phương trình :



















0

2 )1

(

0

3

6 )2

(

y

m

mx

my

x

m

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .

b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .

2) Cho hệ phương trình :

















2 )1

(

9 )

2(

6 my

x

m

y

m

mx

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ƠN CHO LỚP 10)
Hệ phương trình dạng















'

x

b

y

c

a

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .

b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .

Bài 3: Tìm m là số ngun để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là
các số ngun. Lúc đó tìm (x;y) :

1a)



















0

4 )2

(

2

0

2 )1

3(

)1

(

y

m

x

m

y

m

x

m

; 1b)



















0

1

2

0

3 m

my

x

m

y

mx

2a)

















1

2

1

2 m

my

x

m

y

mx

; 2b)

















1

3

2 m

y

x

m

y

mx

Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :















3

1

2 y

x

n

y

mx

vaø















3

2 y

x

m

y

x

Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :





























0

1

0

1 m

y

x

my

x

y

mx

Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m

1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx2+2x+1=0

3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0 ; 4) 2x2-6x+3m-5=0

Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2-11x+13=0. Khơng giải phương trình , hãy

tính giá trị các biểu thức sau :

1) A = 3

2
3
1 x

x  ; 2) B = 24

4
1 x

x 

3) C = 4

2
4
1 x

x  ; 4) D =









1
2
2
2
2

1 1 1 x

x
x
x
x

x





Bài 3)Chứng tỏ rằng kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a



0)

có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x2+mx+n=0.

Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x2+px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình

x2+qx+2=0 .Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6.

Bài 6)Cho hai phương trình x2+p

1x+q1=0 (1) và x2+p2x+q2=0 (2) bieát p1p2=2(q1+q2) .

Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .

Bài 7)Cho hai số ; là các nghiệm của phương rình x2+px+q=0 .Hãy lập phương trình bậc hai

có các nghiệm số là ( )2&( )2





   .

Bài 8)Cho phương trình x2+4x+m+1=0 (1)

1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 2 7

1
2

2
2
2
2

1  

x
x
x
x

2.Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm.

3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình :

(m+1)x2+4x+1=0 cũng có một nghiệm dương

1
x .

Bài 9)Cho phương trình 2x2+2(m+1)x+m2+4m+3=0.

1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1.

2.Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

A = x1x2  2(x1x2) .

Bài10)Cho hai phương trình x2+3x+2a=0 (1) và x2+6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trị cuûa

a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này
có đúng một nghiệm của phương trình kia .

Bài11)Tìm các giá trị nguyên của a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x

1và x2 thoả

mãn điều kiện :















2

1

2

2
1

x

Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương .

Bài13)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0 .Hãy tìm các giá trị của m để

xảy ra đẳng thức : 3

1
2
2

1 
















x
x
x

x

Bài14)Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối.

Bài16)Giả sử a,b là hai số thoả mãn a>b>0 .Không giải phương trình abx2-(a+b)x+1=0 .Hãy

tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình.
Bài17)Tìm các giá trị của m để phương trình :

1. 2 2( 1) 9 5 0






 m x m

x có cả hai nghiệm đều âm.

2.( 2) 2 2 3 0






 x mx m

m có cả hai nghiệm đều dương.

Bài18)Giải và biện luận phương trình : ( 1) 4 2(2 1) 2 8 0







 x m x

m

Bài19)Cho phương trình ( 2) 2 2( 1) 2 0








 x m x m

m .

1.Xác định m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm cịn lại.
2.Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm dương.

Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt .

Bài22)Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :

1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 ; 2. (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0

Bài23)Cho phương trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0.

1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

2.Xác định m để 2 20

2
2

1 x 

x .

3.Xác định m để biểu thức 2

2
2
1 x

x  đạt giá trị nhỏ nhất .

Bài24)Cho phương trình ( 2 4) 2 2( 2) 1 0






 x m x

m .Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm

Bài25)Cho phương trình 2 ( 5) 0





 m x m

x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1  x2

trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .

Bài26)Tìm m để phương trình (2 1) 2 ( 2 1) 2 0







 x m x m

m có hai nghiệm x1,x2 sao cho :

x1< 1 < x2

Bài27)Tìm m để phương trình ( 4) 2 ( 2 ) 2 0






 x m m x m

m coù hai nghieäm x1,x2 sao cho :

x1 1x2.

Bài28)Tìm m để phương trình ( 1) 2 (2 1) 0






 x m x m

m có nghiệm thoả điều kiện  2x1<x2

Bài29)Tìm m để phương trình 4 2 (3 1) 2 0






 m x m

x có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2).

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

1. Có một nghiệm thuộc (-1;1), cịn nghiệm kia nhỏ hơn -1.
2. Có nghiệm lớn hơn 1.

Bài31) Tìm m để phương trình ( 2) 2 2( 3) 4 0






 x m x

m có hai nghiệm ,trong đó có một

nghiệm lớn hơn 3 cịn nghiệm kia nhỏ hơn 2.

Bài32)Tìm các giá trị của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình :

(m+3)x2-2(m-1)x+4m =0 .

Bài33)Tìm các giá trị của m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có:

1. Hai nghiệm lớn hơn -3 .

2. Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 .

Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 .Xác định m để phương trình có :

1. Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1.

2. Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0]
Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x :

1. 2

1
2

3 2










x
x

mx
x

; 2. 4

1
4
2

6 2











x
x

mx
x

Giải các hệ phương trình sau :
1)















30 )

(

11 y

x

xy

y

xy

x

; 2)





















3

8

9

2

3

1

4

3

2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

; 3)















12

4

2
2

y

xy

x

y

x





















y

x

y

x

y

x

16

7

16

7

2
2
3

; 5)





















6 )

1 ).(

1(

3

1 y

x

y

x

; 6)

















y

x

y

x

3
3

1 

















6

5 x

y

x

y

x

y

x

; 8)



















78

1

7 xy

y

xy

x

xy

x

y

x

với x,y>0 ; 9)















































49

1

5

1 ).

(

2
2
2
2

y

x

y

x

xy

y

x

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

10)























3

2

5

2

1

4

2 y

x

y

x

xy

x

; 11)



















y

x

y

x

y

x

3

1

2

3

1

2

; 12)



















4

1

4

1

2
2
2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

13)





















13

4

1

4 y

x

y

x

; 14)





















3

2

1

3

2

1 x

y

x

; 15)















26

2

3
3

y

x

y

x

16)























2

1

18

1

2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

; 17)

















28

12

2
2

xy

x

y

xy

18)



















2

3
3
2
2

y

x

y

x

; 19)



















6

9

1

2
2
3
3

x

y

x

y

x

; 20)



























)

2 (7

2

4

2

19

2

4

2
2
2
2
2

y

x

xy

y

x

y

x

xy

y

x

21)

















3
3
3
2
2

35

1

30 x

y

x

xy

y

; 22)















13 )1

(

)1

(

24 )2

)(

2 (

2
2

y

x

y

x

xy

; 23)



















y

x

y

4

24)

















x

y

x

2

1

2

1

3
; 25)















97

5

4
4

y

x

y

x

26*)

























6

1 x

y

x

; 27*)



















1

3

4
4
3
3

y

x

y

x

; 28*)























2

3 2 2

</div>

chuyen de giai pt vo ti lop 10

<b>PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH </b>

<i><b>§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.</b></i>















<i><b>§2. Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số</b></i>



























)2(

)1(

<i>c</i>

<i>y</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>y</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

122

1

22

11

<i>baba</i>

<i>ba</i>

<i>ba</i>

122

1

22

11

<i>bcbc</i>

<i>bc</i>

<i>bc</i>

<i>D</i>

<i><sub>x</sub></i>





122

1

22

11

<i>caca</i>

<i>ca</i>

<i>ca</i>

<i>D</i>

<i><sub>y</sub></i>













<i>d</i>

<i>d</i>

















8