Tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN THỊ CHIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA

BÀI TỐN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Mục lục

Mở đầu 2

1 Kiến thức cơ sở 5

1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . 5

1.1.1 Khơng gian metric . . . 5

1.1.2 Không gian véctơ tôpô . . . 6

1.2 Ánh xạ đa trị . . . 10

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . 10

1.2.2 Một số định lí về sự tương giao và về điểm bất động của
ánh xạ đa trị . . . 14

1.2.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . 14

2 Bài toán quan hệ biến phân 24
2.1 Phát biểu bài tốn và một số ví dụ . . . 24

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân . . . 28

2.2.1 Định lí cơ bản . . . 28

2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao . . . 30

2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động . . . 35

3 Tính chất tơpơ của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 39
3.1 Tính lồi của tập nghiệm . . . 40

3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm . . . 42

3.3 Tính đóng của tập nghiệm . . . 43

3.4 Tính ổn định của tập nghiệm . . . 45

3.5 Các trường hợp đặc biệt . . . 52

3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân . . . 53

3.5.2 Bài toán tựa cân bằng . . . 55

KẾT LUẬN . . . 58

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Mở đầu

Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá
trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1886. Cho tới những năm
cuối thế kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành một ngành toán học quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học, kĩ thuật và kinh tế cũng như
trong thực tế.

Trong xu thế phát triển chung của lý thuyết tối ưu và áp dụng lý thuyết cân
bằng vào giải quyết các lĩnh vực cơ bản khác nhau của cuộc sống, một lớp bài
toán mới, bài toán "Quan hệ biến phân" được đề xuất lần đầu tiên vào năm
2008 bởi GS. Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài tốn quen thuộc có thể được suy từ bài toán này như bài
toán tối ưu tuyến tính, bài tốn tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán
tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến
phân, bài toán bất đẳng thức biến phân,...

Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau: Tìm ¯a∈A sao cho
(1) ¯a là điểm bất động của ánh xạ S1, tức làa¯∈S1(¯a);

(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈S2(¯a) và y∈T(¯a, b),

trong đó A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, T :A×B ⇒ Y
là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần

tử a∈A, b∈B, y∈Y.

Các vấn đề nghiên cứu trong bài toán quan hệ biến phân là sự tồn tại nghiệm
của bài toán, cấu trúc tập nghiệm của bài tốn (tính đóng, tính lồi, tính ổn
định, tính liên thơng,...).

Luận văn có mục đích trình bày bài tốn quan hệ biến phân và tính ổn định
của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân. Luận văn được chia thành ba
chương.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Chương 2. Bài tốn quan hệ biến phân. Mục đích chính của chương này
là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân dựa trên tính
chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động.

Chương 3. Tính chất tơpơ của tập nghiệm. Chương này trình bày một
số tính chất tơpơ của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính
ổn định nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân có tham số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tơi muốn bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc đến thầy.

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cơ Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cơ đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt q trình học tập của tơi tại Trường.

Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ của
mình.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tơpơ,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,... cần thiết cho việc trình
bày các nội dung ở chương sau.

1.1

Kiến thức tơpơ và giải tích hàm

1.1.1 Khơng gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập X 6=∅, ánh xạ d từ tích Descartes X×X vào tập
hợp các số thực _R được gọi là một metric trên X nếu các tiên đề sau đây được
thỏa mãn:

1) (∀x, y ∈X)d(x, y)≥0, d(x, y) = 0⇔x=y, (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈X)d(x, y) =d(y, x), (tiên đề đối xứng);

3) (∀x, y, z ∈X)d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y), (tiên đề tam giác).

Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là khơng gian metric, kí hiệu là

(X, d) hay thường được viết làX. Số d(x, y)gọi là khoảng cách giữa hai phần tử

x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là hai không gian metric, một điểm x ∈ X và A là
một tập con của X. Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định bởi

d(x, A) = inf

a∈Ad(x, a).

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

cách Hausdorff từ tập A đến tập B được xác định bởi

dH(A, B) = max

sup

a∈A

inf

b∈Bd(a, b),sup_b∈Ba∈Ainf d(a, b)

,

hay

dH(A, B) = max

sup

a∈A

d(a, B),sup

b∈B

d(b, A)

.

Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian metric X. Một dãy {xn} được gọi là dãy

cơ bản nếu

(∀ε >0) (∃N) (∀n≥N) (∀m≥N) thìd(xn, xm)< ε.

Nhận xét 1.1.1. Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn →x thì
theo bất đẳng thức tam giác ta có

d(xn, xm)≤d(xn, x) +d(x, xm)→0 (n, m→ ∞).

Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu xét khoảng (0,1) là một không gian metric với

d(x, y) =|x−y| với mọi x, y ∈(0,1) thì dãy n1

n

o

, mặc dù là dãy cơ bản, nhưng
không hội tụ trong không gian ấy.

Định nghĩa 1.1.5. Khơng gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ
(tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ.

Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ P :X →X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu

∃k > 0 :d(P(x), P(y))≤kd(x, y).
• k= 1: f được gọi là ánh xạ khơng giãn.

• 0< k <1: f được gọi là ánh xạ co.

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co P từ khơng
gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x¯ duy nhất, nghĩa là
tồn tại duy nhất x¯∈X thỏa mãn hệ thức Px¯= ¯x.

1.1.2 Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.7. (Không gian tôpô) Cho tập X 6= ∅. Một họ τ các tập con
của X được gọi là một tơpơ trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ;
(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.

Khi đó cặp (X, τ) được gọi là không gian tôpô.

Định nghĩa 1.1.8. Cho hai tôpô τ1 và τ2. Ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2 mạnh

hơn τ1) nếu τ1 ⊂τ2, nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập mở trong τ2.

Định nghĩa 1.1.9. Cho (X, τ) là khơng gian tơpơ.

• Tập G được gọi là tập mở trong X nếuG∈τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈τ.

Định nghĩa 1.1.10. Cho không gian tôpô (X, τ), tập A là tập con của X. Tập

U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi

A={x} thì U là một lân cận của điểm x.

Định nghĩa 1.1.11. Một họ V = V :V là lân cận của điểmx∈X được gọi
là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận

V ∈ V sao cho x∈V ⊂U.

Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tôpô (X, τ), A là một tập con bất kì của

X. Đối với mỗi phần tử bất kì x∈X ta gọi:

(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.
(ii) x là điểm ngoài của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong

X\A.

(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm trong và khơng là
điểm ngồi củaA. Hay nói cách khác xlà điểm biên của A nếu mọi lân cận
của x đều giao khác rỗng với A và X\A.

Định nghĩa 1.1.13. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ). Ta
gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm trong A, và nó là tập
mở lớn nhất. Kí hiệu là Ao hoặc intA.

Định nghĩa 1.1.14. Giả sử A là tập con bất kì của khơng gian tơpơ (X, τ). Ta
gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng nằm trong A, và nó là tập
đóng nhỏ nhất. Kí hiệu là A¯ hoặc clA.

Định nghĩa 1.1.15. ChoX, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từX vào

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Định nghĩa 1.1.16. Không gian tô pô (X, τ) được gọi làkhông gian Hausdorff

(hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong X đều tồn tại một lân
cận U của x và V của y sao cho U ∩V =∅.

Định nghĩa 1.1.17. Giả sử F là một trường _R hoặc _C. Các phần tử của F

được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa trên
trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép
nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây
được thỏa mãn:

1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:

Với mọi u, v, w∈V :u+ (v+w) = (u+v) +w;

2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hốn:
Với mọi v, w∈V :v +w=w+v;

3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hịa:

Với mọi v ∈V, có một phần tử 0∈V, gọi là véctơ không: v+ 0 =v;

4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:

Với mọi v ∈V, tồn tại w∈V: v+w= 0;

5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α∈F;v, w∈V :α(v +w) = αv+αw;

6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈F;v ∈V: (α+β)v =αv+βv;

7. Phép nhân vơ hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô
hướng: Với mọi α, β ∈F;v ∈V: α.(β.v) = (α.β)v;

8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép
nhân vô hướng: Với mọi v ∈V : 1.v =v.1.

Định nghĩa 1.1.18. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là tập
lồi nếu với mọi x, y ∈C và với mọi λ∈[0,1] thì (1−λ)x+λy ∈C (hay nói cách
khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).

Định nghĩa 1.1.19. Cho X là khơng gian véctơ, x1, x2, ..., xk ∈ X và các số

λ1, λ2, ..., λk thỏa mãnλj ≥0, j = 1,2..., kvà
k
P
j=1

λj = 1.Khi đó, x=
k
P
j=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Định nghĩa 1.1.20. Giả sử S ⊂X. Bao lồi của S, kí hiệu là convS là tập hợp
các tổ hợp lồi của các điểm trong S.

Định nghĩa 1.1.21. Cho X là không gian véctơ.

1. Một tập C ⊆X được gọi là nón nếu với mọi λ≥0, mọi x∈C thì λx ∈C.

2. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập C

là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(i) λC ∈C với mọi λ≥0,

(ii) C+C ⊆C.

Định nghĩa 1.1.22. Ta nói một tơpơ τ trên không gian véctơ X tương hợp với
cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tơpơ đó, tức là
nếu:

1. x+y là một hàm liên tục của hai biến x, y; cụ thể với mọi lân cận V của

điểm x+y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho
nếu x0∈Ux, y0 ∈Uy thì x0+y0∈V.

2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x; cụ thể với mọi lân cận V của αx

đều có một số ε >0 và một lân cậnU của x sao cho |α−α0|< ε, x0 ∈U thì

α0x0 ∈V.

Một khơng gian véctơ X trên đó có một tơpơ tương hợp với cấu trúc đại số gọi
là một không gian véctơ tôpô (hay khơng gian tơpơ tuyến tính).

Định nghĩa 1.1.23. Một khơng gian véctơ tôpôX được gọi là không gian véctơ
tôpô lồi địa phương nếu trongX có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập
lồi.

Định nghĩa 1.1.24. Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và tập C ⊆ X.

Ta nói véctơ d là một phương lùi xa của C nếu x+λd ∈C với mọi x∈C, λ >0.

Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa củaC và được kí hiệu
là o+(C). Vậy, o+(C) ={λ ∈X:x+λd∈C} với mọi x∈C, λ >0.

Định nghĩa 1.1.25. Cho tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nó
xác định một quan hệ ”≥” thỏa mãn các tính chất sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Tài liệu tham khảo

[A] Tài liệu Tiếng Việt

[1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội.

[2] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự
nhiên và Công nghệ.

[B] Tài liệu Tiếng Anh

[3] J. P. Aubin and H. Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New
York.

[4] P. Q. Khanh and D. T. Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric
Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035.

[5] D. T. Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J. Optim.
Theory Appl. 138, 65 - 76.

</div>

<!--links-->