Nâng cao năng lực giải bài tập trắc nghiệm tổ hợp xác suất cho học sinh THPT

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
()

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài: NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO
HỌC SINH THPT

Giảng viên hướng dẫn

: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Sinh viên thực hiện

: Nguyễn Thị Thu Thảo

Lớp

: 16ST

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2020


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ khoa Tốn – trường Đại

học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tơi hồn
thành khố luận tốt nghiệp. Đặc biệt, tôi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cơ Ngơ Thị
Bích Thuỷ – người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối
cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu, sự động viên, giúp đỡ
nhiệt tình của gia đình, người thân, các thầy cơ, bạn bè, nhất là các bạn của tập thể
lớp 16ST trong q trình tơi làm khoá luận tốt nghiệp này.
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN !
Đà Nẵng, ngày 01 tháng 01 năm 2020
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 1


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... 1
MỤC LỤC .......................................................................................................... 2
A. LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 4
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 4
4. Bố cục của luận văn ....................................................................................... 4
5. Đóng góp của luận văn ................................................................................... 5
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................ 6

1.1. Quy tắc đếm ................................................................................................. 6
1.2. Hoán vị-chỉnh hợp –tổ hợp ........................................................................... 6
1.3. Nhị thức newton ........................................................................................... 7
1.4. Biến cố và xác suất của biến cố .................................................................... 8
1.5. Các quy tắc tính xác suất ............................................................................ 10
CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT
NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ....... 11
2.1 CHỦ ĐỀ 1 : QUY TẮC ĐẾM-HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP. .......... 11
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.1.5.

Dạng 1: Bài toán đếm sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. ............ 11
Dạng 2: Bài toán đếm các loại số ....................................................... 13
Dạng 3: Xếp vị trí – cách chọn, phân cơng cơng việc ......................... 15
Dạng 4: Đếm tổ hợp liên quan đến hình học ...................................... .17
Dạng 5: Tính tốn liên quan đến cơng thức ........................................ .18

2.2. CHỦ ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON ............................................................ 20
2.2.1. Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển Nhị thức Newton............ 20
2.2.2. Dạng 2: Bài tốn tìm tổng ................................................................... 21
2.3. CHỦ ĐỀ 3: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ............................. 23
2.3.1. Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố ..................... 23
2.3.2. Dạng 2:Tìm xác suất của biến cố. ....................................................... 24
2.3.3. Dạng 3: Sử dụng quy tắc tính xác suất. ............................................... 25
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 2

Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP ..................... 27
MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI THPT
QUỐC GIA ....................................................................................................... 36
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 39
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 40

Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 3


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) là một hình thức kiểm tra đánh giá mà
học sinh THPT đã được tiếp cận nhiều năm nay. Nhiều bài toán địi hỏi học
sinh suy nghĩ nhanh, cẩn thận, dự đốn,… để tìm ra đáp số. Tuy nhiên, với thời
gian ngắn cho một câu thì học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc tư
duy tìm ra lời giải.
Trong chương trình Toán THPT, các bài toán tổ hợp- xác suất chiếm một
lượng lớn kiến thức và thời gian. Bài toán về tổ hợp- xác suất xuất hiện khá

nhiều trong các đề thi THPT hiện nay và trong đời sống thực tế. Học sinh
thường khơng hiểu một cách chính xác các mối quan hệ giữa các đối tượng
được xét mà đôi khi bằng ngơn ngữ giáo viên khó có thể diễn đạt một cách đầy
đủ để học sinh hiểu cặn kẽ vấn đề. Làm thế nào giúp học sinh giải nhanh bài
toán trắc nghiệm tổ hợp - xác suất trong khoảng thời gian vài phút là câu hỏi m
à nhiều giáo viên trăn trở để giúp các em phát huy được năng lực giải tốn của
mình.
Nhằm phục vụ cho việc giảng dạy tốn sau này của mình và giúp cho
học sinh có kĩ năng giải toán trắc nghiệm về tổ hợp- xác suất, tôi đã chọn đề tài:
“ Nâng cao năng lực giải bài tập trắc nghiệm tổ hợp- xác suất cho học sinh
THPT”.
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Hệ thống các bài tập phù hợp với các mức độ, nghiên cứu cách giải
nhanh nhằm giúp học sinh phát triển năng lực giải toán về tổ hợp – xác suất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Hệ thống các kiến thức cơ bản về tổ hợp - xác suất
- Đưa ra các dạng bài tập trắc nghiệm tổ hợp- xác suất và cách giải nhanh
nhằm phát triển năng lực cho học sinh.
4. Bố cục của luận văn: Gồm hai chương
Chương 1. Cơ sở lý luận
1.1. Quy tắc đếm
1.2. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 4


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

1.3. Nhị thức Newton
1.4. Biến cố và xác suất của biến cố
1.5. Các quy tắc tính xác suất
Chương 2. Hệ thống các bài toán về tổ hợp – xác suất nhằm nâng cao năng lực
giải bài toán trắc nghiệm
2.1. Chủ đề 1: Quy tắc đếm – hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp
2.2. Chủ đề 2: Nhị Thức Newton
2.3. Chủ đề 3: Biến cố và xác suất của biến cố
5. Đóng góp của luận văn:
Về mặt lí luận: tổng hợp các kiến thức về tổ hợp xác suất trong chương
trình tốn THPT và phân tích ý nghĩa của kiến thức tổ hợp- xác suất trong cuộc
sống.
Về mặt thực tiễn: khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên sắp ra
trường và các bạn đọc quan tâm về tổ hợp- xác suất.

Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 5


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Quy tắc đếm
1.1.1. Quy tắc cộng:
Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động X hoặc Y .

Nếu hành động X có m cách thực hiện, hành động Y có n cách thực hiện và
không trùng với bất cứ cách nào của hành động X thì cơng việc đó có m + n
cách thực hiện.
- Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn, khơng giao nhau thì:
n  A  B  n  A   n  B

- Mở rộng: Nếu A1 , A2 , … , An là các tập hợp hữu hạn, đôi một không giao
nhau thì:
n(A1  A2  ...  An )  n(A1 )  n(A2 )  ...  n(An )
1.1.2. Quy tắc nhân:
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp X và Y.
Nếu hành động X có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện đó có n
cách thực hiện hành động Y thì có m. n cách hồn thành cơng việc.
1.2. Hốn vị-chỉnh hợp –tổ hợp
1.2.1. Hốn vị:
Cho tập hợp A có n phần tử ( n  1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp n
phần tử của tập A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị của n
phần tử.
Kí hiệu: Pn là số các hốn vị của n phần tử thì:
Pn = n(n-1)(n-2)….2.1 = n!
(1)
1.2.2. Chỉnh hợp:
Cho tập hợp A có n phần tử, (n  1).Kết quả của sự việc lấy k phần tử
khác nhau từ n phần tử của tập A (1  k  n) và sắp xếp chúng theo một thứ
tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu: Akn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử thì:
Akn = n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1)
Nguyễn Thị Thu Thảo

(2)

Trang 6


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Nhận xét:
- Ta có Ann = n! = Pn .
- Quy ước 0! = 1 và A0n = 1 , ta có:
n!

Akn = (n−k)! , 1 k  n
1.2.3. Tổ hợp:
Cho tập hợp A có n phần tử ( n  1 ). Mỗi tập con gồm k phần tử của
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu: Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0  k  n ) thì ta có định lí:
n!
Ck 
n k !(n  k )!

Từ dó: Cnk 

Ank n(n  1)(n  2)...(n  k  1)

k!
k!

Tính chất cơ bản của tổ hợp:
Cnk  Cnnk

với n, k  , ( 0  k  n )

Cnk11  Cnk1  Cnk với ( 1  k  n )

1.3. Nhị thức newton
1.3.1. Công thức nhị thức Newton:

a  b

n

 Cn0 a n  Cn1 a n 1b  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnn 1ab n 1  Cnnb n

(1)

n

  Cnk a n k b k
k 0

 Với a  b  1 , ta có :
 Với a  1, b  1 , ta có :
-

2n  Cn0  Cn1  ...  Cnn

0  Cn0  Cn1  ...  (1)k Cnk  ...  (1) n Cnn

Số các hạng tử là: n  1

Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n .
Tổng số mũ của a và b luôn bằng n .
Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai số hạng đầu và cuối thì bằng
nhau.

1.3.2. Tam giác pascal:
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 7


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

n=0

1

n=1

1

n=2

1

n=3

1

n=4

1

n=5
n=6

1
1

2

1

3
4

5
6

1

3
6

10
15

1

4

10
20

1
5

15

1
6

1

Tính chất: Cnk  Cnk11  Cnk1 (hằng đẳng thức pa-xcan)
Được suy ra các tính chất các số ở mỗi dịng dựa vào các số ở dịng trước nó.
Chẳng hạn:
C52  C41  C42  4  6  10
1.4. Biến cố và xác suất của biến cố
1.4.1. Biến cố:
Phép thử ngẫu nhiên và khơng gian mẫu
Phép thử: Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện
tượng nào đó được hiểu là một phép thử.
+ Kết quả không thể biết trước
+ Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép
thử đó.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là
không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là  . Ta chỉ xét các phép thử
với không gian mẫu  là tập hữu hạn.

Biến cố
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay
không xảy ra của A tuỳ thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T
làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi của A.
Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Tập  được gọi là biến cố không thể
Tập  được gọi là biến cố chắc chắn
1.4.2. Các phép toán trên biến cố:
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 8


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

+ Tâp  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A,
kí hiệu là: A

A

A

+ Tập A  B được gọi là hợp của hai biến cố A và B
+ Tập A  B được gọi là giao của hai biến cố A và B



+ Nếu A  B   thì ta nói hai biến cố A và B xung khắc

Kí hiệu

Ngơn ngữ biến cố

A

A

là biến cố

A

A

là biến cố không

A

A

là biến cố chắc chắn

C  A B

C là biến cố: “ A hoặc B ”

C  A B

C là biến cố: “ A và B ”

A B  

A

và B xung khắc

BA

A

và B đối nhau

A

B



1.4.3. Xác suất của biến cố:
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với khơng gian mẫu 
chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.
Ta gọi tỉ số
P ( A) 

n( A)
là xác suất của biến cố A. Kí hiệu: P(A)
n ( )
n( A)
n ( )

( hoặc

P (A) 

A
)
B

Trong đó n(A) là số phần tử của A , còn gọi là số kết quả thuận lợi
cho A, n() là số phần tử của .
Tính chất của xác suất:
a) P() = 1; P() = 0 ; 0  P(A)  1
với mọi biến cố A.
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 9


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

̅) = 1 − P(A), với mọi biến cố A.
b) P(A
1.5. Các quy tắc tính xác suất
1.5.1. Quy tắc cộng xác suất.
Nếu biến cố A và B xung khắc thì : P(AB) = P(A)+P(B)
Tổng quát : Nếu n biến cố đôi một xung khắc A1 ,A2 ,…,An thì:
P(A1 A2 …An) = P(A1 ) + P( A2 ) + …+ P(An)
Mở rộng: Với hai biến cố A, B bất kì, ta có

P(AB) =P(A)+P(B) –P(AB)
1.5.2. Quy tắc nhân xác suất.
Cho hai biến cố A và B độc lập với nhau, khi đó:
P( AB)  P( A).P( B)

Tổng quát Ta có quy tắc nhân cho nhiều biến cố:
Cho k biến cố A1 ,A2 ,…,Ak độc lập với nhau. Khi đó:
P( A1 A2 Ak )  P( A1 ) P( A2 )...P( Ak ).

Để giải bài tốn tổ hợp với máy tính Casio, ta cần lưu ý đến ba phím chức
năng quan trọng sau:
 Giai thừa (!): Nhập lệnh SHIFT
 Chỉnh hợp (nPr): Nhập lệnh



SHIFT

 Tổ hợp (nCr): Nhập lệnh SHIFT

Nguyễn Thị Thu Thảo

x 1



Trang 10


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT
NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM
2.1.

CHỦ ĐỀ 1 : QUY TẮC ĐẾM-HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP.

2.1.1. Dạng 1: Bài toán đếm sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Hình minh hoạ:
Cơng việc

Phương án 1
1

Phương án 2

Có m cách

Có n cách

Có m+n Cách thực hiện
Cơng việc

Hình minh hoạ:
Cơng việc

Cơng đoạn 1
(có m cách)

Cơng đoạn 2
(có n cách)

Có m.n cách thực hiện
Cơng việc

Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 11


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Ví dụ 1: Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh
nữ. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh ở khối 11 để đi dự
dạ hội của học sinh thành phố ?
A. 280

B. 325

C. 605

C. 91000

Giải: Chọn C
+ Chọn 1 học sinh nam từ 280 bạn có: 280 cách chọn
+ Chọn 1 học sinh nữ có: 325 cách chọn

Vậy có 280 + 325 = 605 cách .
TH1:
1 học sinh
nam

Có 280 cách

Cơng việc

Có 280 + 325 = 605
Cách thực hiện
TH 2:
1 học sinh nữ

Có 325 cách

Ví dụ 2: Bạn Minh có hai kiểu áo khác nhau và ba kiểu quần khác nhau. Hỏi có
bao nhiêu cách để chọn một bộ quần áo?
A. 6 cách

B. 8 cách

C. 10 cách D. 12 cách

Giải: Chọn A
Hai áo được ghi chữ a và b, ba quần được đánh số 1, 2, 3.
a

1  a1
2  a2

3  a3

b

1  b1
2  b2
3  b3

Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động:
+ Hành động 1: Chọn áo, Có 2 cách chọn (chọn a hoặc b)

Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 12


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

+ Hành động 2: Chọn quần. Ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn
quần ( chọn 1, hoặc 2, hoặc 3).
Kết quả ta có các bộ quần áo như sau: a1, a2, a3, b1, b2, b3.
Vậy có: 2 . 3 = 6 (cách).
2.1.2. Dạng 2: Bài toán đếm các loại số:
Viết số tự nhiên nhiều chữ số:
̅̅̅
ab hay ̅̅̅̅̅̅
a1 a2
̅̅̅̅̅

abc hay ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
a1 a2 a3
̅̅̅̅̅̅
abcd hay ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅….
a1 a2 a3 a4
Với a1 ≠ 0  a1 ∈ {1; 2; 3; … ; 9} : có 9 chữ số
cịn a2 , a3 , … , an ∈ {1; 2; 3; … ; 9} : có 10 chữ số
Dấu hiệu chia hết của số nguyên dương:
Cho 2 ( số chẵn): tận cùng là số chẵn ( hàng đơn vị chẵn)
Cho 3: tổng các chữ số chia hết cho 3
Cho 5: tận cùng là số 0 và 5
Cho 6: vừa chia hết cho 2 và cho 3
Cho 8: tận cùng là 000 hoặc số gồm 3 chữ số cuối chia hết cho 8
Cho 9: tổng các chữ số chia hết cho 9
Cho 11: hiệu của tổng các chữ số vị trí lẻ với tổng các chữ số vị trí chẵn
là số chia hết cho 11.
Cho 25 hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50,75.
Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.
Kẻ hình thức n ơ liên tiếp để sắp xếp

Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 4, 5,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn
chữ số khác nhau và lớn hơn 5000 ?
256
B. 240
C. 300
D. 1080
Giải: Chọn B
+ Cách 1: Số cần lập có dạng: n  abcd .
Do n > 5000 nên a ≥ 5. Suy ra a có 4 cách chọn.

Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 13


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Ta có:
b có 5 cách chọn.
c có 4 cách chọn.
d có 3 cách chọn.
Vậy có 4·5·4·3 = 240 số cần lập.
+ Cách 2: Số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 5000 là hình
gồm 4 ơ liên tiếp:
I

II

IV

III

Ơ I có 4 cách chọn từ các số 5; 7; 8; 9.
Lấy 3 chữ số khác nhau từ 5 còn lại để xếp vào các ơ II, III, IV có: A53
Vậy có: 4. A53 = 240 số cần lập.
Ví dụ 4: Từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, lập được bao nhiêu số có bốn chữ số
khác nhau và chia hết cho 5?
A. 60

B.48
Giải: Chọn C

C.108

D.180

* Cách 1: Ta có: abcd 5  d  0;5.
Với d  0 : Chọn a có 5 cách, b có 4 cách và c có 3 cách.
Nên có 5.4.3 = 60 số thỏa mãn.
Với d  5 : Chọn a có 4 cách ( a  0, a  d ), b có 4 cách  b  a, d  và c có
3 cách. Nên có 4.4.3 = 48 số thỏa mãn.
Vậy có: 60 + 48 = 108 số thỏa mãn
* Cách 2: Số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5
Có 2 trường hợp:
+ TH1: ơ thứ 4 là chữ số 5
I

II

III

5

Ơ I: có 4 cách xếp gồm các số cịn lại khác 0
Ơ II và III có: A42 cách
+ TH2: ơ thứ 4 là chữ số 0
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 14

Khố luận tốt nghiệp
I

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ
II

III

0

Ơ I, II và III có: A53 cách
Vậy có: 4. A42 + A53 = 108 số cần tìm.
2.1.3. Dạng 3: Xếp vị trí – cách chọn, phân cơng cơng việc
Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.
Sơ đồ ơ:
Kẻ hình thức n ơ liên tiếp để sắp xếp

Cách xen trực quan:
Vẽ rời rạc các phần tử để xen trong và ngồi
Phép bù:
Thay vì thống kê số cần tìm thì ta tìm tổng số khả năng rồi loại đi các
trường hợp khơng thoả mãn dễ tìm hơn.
Các từ đáng lưu ý trong đề bài tốn: “ có ít nhất”, “có tối đa 1”, “ có mặt”, “
khơng có mặt”, “ bắt đầu bởi”, …
Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n
phần tử là:

♦ Tất cả n phần tử đều phải có mặt
♦ Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
♦ Có thứ tự giữa các phần tử.
Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi
♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
♦ k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi
♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
♦ Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 15


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Ví dụ 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách
sắp xếp sao cho: A và F ngồi cạnh nhau
A. 242

B. 240

C. 244

D. 248

Giải: Chọn B
AF

Xem AF là một phần tử X 9 (xem là 1 người), ta có: 5! = 120 số cách
xếp X,B,C,D, E. Khi hốn vị A,F ta có thêm được một cách xếp
Vậy có 240 cách xếp thỏa u cầu bài tốn.
Ví dụ 6: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế ngang có 6 ghế. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?
A. 36

B. 27

C. 63

D.72

Giải: chọn D
+ TH1: Xếp bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế (ghế số 1-3-5) có:
3! Cách xếp bạn nam và 3! Cách xếp bạn nữ ở 3 ghế còn lại (ghế
số 2-4-6).
1

2

3

4

5

6

+ TH2: Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế (ghế số 2-4-6). thì có

3! Cách xếp bạn nữ và 3! Cách xếp bạn nam ghế còn lại(ghế số 1-3-5) .
1

2

3

4

5

6

Vậy có: 3!.3! +3!.3! = 72 cách xếp.
Ví dụ 7: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất
1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
A. 46

B. 45

C. 13

D. 12

Giải: Chọn A
* Cách 1: Có 3 trường hợp xảy ra:
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 16

Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

+ TH1: 3 người được chọn gồm 1 nữ và 2 nam: 3.C52 cách chọn
+ TH2 : 3 người được chọn gồm 2 nữ và 1 nam: 5.C32 cách chọn.
+ TH3 : 3 người được chọn gồm 3 nữ: 1 cách
Vậy có: 3C52  5C32  1  46 Cách chọn.
* Cách 2: + Số cách chọn 3 người bất kì là : C83
+ Số cách chọn 3 người đều là nam: C53
Vậy số cách chọn 3 người thoả yêu cầu: C83  C53  46 cách.
2.1.4. Dạng 4: Đếm tổ hợp liên quan đến hình học.
Phương pháp:
Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.
Nhận biết được hốn vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
Ví dụ 8 : Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:
A. 720

B. 210

C. 120

D.270

Giải: Chọn C
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác. Chọn 3 trong 10 đỉnh
3
của đa giác, có 𝐶10

= 120. Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh
của đa giác 10 cạnh.
Ví dụ 9 : Một đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo?
n(n  3)
2

B.

n(n  2)
3

C.

n(n  1)
2

D. n(n  2)

Giải: Chọn A
Nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta được một đường chéo hay một cạnh.
Vậy số cặp đỉnh tạo thành một đường chéo hay cạnh là: Cn2
Vì đa giác có n cạnh nên số đường chéo là: Cn2  n 

n(n  3)
.
2

2.1.5. Dạng 5: Tính tốn liên quan đến công thức.
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 17


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Phương pháp:
Dựa vào cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp hốn vị để chuyển phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình đại số.
Sử dụng máy tính Casio để thử các kết quả từ đáp án
Ví dụ 10: Tìm n  , biết An3  Cnn2  14n .
B. n  6 .

A. n  5 .

C. n  7 hoặc n  8

. D. n  9 .

Giải: Chọn A.
* Giải phương trình:
Phương trình


n!
n!
1


 14n   n  2  n  1 n   n  1 n  14
2
 n  3! 2! n  2 !

 n  5(nhan)
 2n  5n  25  0  
 n   5 (loai)

2
2



n5

* Sử dụng máy tính Casio:
+ Nhập vào máy tính An3  Cnn2  14n  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với x = 5 ( thoả); với x=6 ( không thoả) với x =
8 và x = 9 (không thoả), với x = 10 (không thoả) ( với các giá trị x ta thử
là các đáp án có trong đề)

+ Kết luận: vậy n = 5
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 18


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Ví dụ 11: Giá trị của n thỏa mãn 3 An2  A22n  42  0 là
A.9

B.8

C.6

D.10

Giải: Chọn C
+ Cách 1: Giải phương trình:
+Phương trình  3.

n!
(2 n)!

 42  0, (n  , n  2)
(n  2)! (2n  2)!

 3n  n  1  2n  42  0

 n  6  nhan 
 n 2  n  42  0  
 n6
n


7

loai




Sử dụng máy tính Casio:
+ Cách 2: Nhập vào máy tính phương trình: 3 An2  A22n  42  0

Tính (CALC) lần lượt với x = 9 (không thoả); với x = 8 (không thoả),
với x=6 (thoả) với x = 10 (không thoả) ( với các giá trị x ta thử là các
đáp án có trong đề)

+ Cách 3 : Sử dụng TABLE, nhập hàm số f ( x)  3 Ax2  A22x  42
Chọn Start = 6, End = 10, Step = 1.

Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 19


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Quan sát bảng ta thấy x  6 thì f ( x)  0 . Vậy n  6 là nghiệm cần tìm.
*Lưu ý: giá trị n tương ứng với giá trị x trong máy tính
2.2. CHỦ ĐỀ : NHỊ THỨC NEWTON
2.2.1. Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển Nhị thức newton
Phương pháp:
Cho khai triển:  ax p  bx q 

n

+ Số hạng tổng quát trong khai triển trên là
Tk 1  Cnk  ax p 

nk

bx 

q k

 Cnk a n k bk x pn pk qk
 pn  pk  qk  m
 k N, k  n

+ Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thoả: 
Từ đó tìm k 

m  pn
pq

+ Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cnk a nk .bk với giá trị k vừa tìm được trên.
Nếu k khơng ngun hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số
phải bằng 0 .
Tìm số hạng khơng chứa

x

 pn  pk  qk  0

 k N, k  n

thì ta đi tìm k thoả: 

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển:
P(x) = (a + bxp + cxq)n
P(x) = (a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + ...+ a2nx2n
Ta làm như sau:
n

* Viết P(x) = (a + bxp + cxq)n   Cnk a nk (bx p  cx q )k .
k 0

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng (bxp+cxq)k thành
một đa thức theo luỹ thừa của x.
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 20


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m.
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số ak theo k và n;
* Giải bất phương trình ak-1 ≤ ak với ẩn số k;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất

phương trình trên.
6

2 

Ví dụ 12: Trong khai triển  x   , hệ số của x3 , ( x  0) là:
x


A. 60.

B. 80.

C. 160.

D. 240.

Giải: Chọn A
+ Số hạng tổng quát trong khai triển trên là:
k

Tk 1  C x
k
6

6 k

1
3
 k

6 k
 2 
k 6 k k
k k
2
2

  C6 x 2 x  C6 2 x
 x

+ Số hạng của x3 ứng với k thoả:

6

3
k 3 k 2
2

(nhận)

+ Khi đó hệ số của x 3 là: C62 .22  60
9

8
Ví dụ 13: Trong khai triển  x  2  , số hạng không chứa x là:
x 


A. 4308.

B. 86016.

C. 8616.

D. 43008.

Giải: Chọn D
k

+ Số hạng tổng quát: Tk 1  C x
k
9

9 k

 8
k k 9 3 k
 2   C9 8 x
x 

+ Số hạng không chứa x ứng với k thoả: 9  3k  0  k  3 (nhận)
+ Số hạng không chứa

Nguyễn Thị Thu Thảo

x

là: C93 .83  43008
Trang 21

Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

2.2.2. Dạng 2: Bài tốn tìm tổng
Phương pháp:
Dựa vào khai triển nhị thức Newton:

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n1b  ...  Cnk a nk bk  ...  Cnn1abn1  Cnnbn

Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả thường được sử dụng:
* Cnk  Cnnk

* Cnk  Cnk 1  Cnk11 ,(n  1)

* kCnk  nCnk11

*

* Cn0  Cn1  ...  Cnn  2n

n

*

 Cnk a k  (1  a)n

  1
k 0

n

*

1
1
Cnk 
Cnk11
k 1
n 1

*

k 0

k

Cnk  Cn0  Cn1  ...   1 Cnn  0
n

n

n

k 0

k 0

 C22nk   C22nk 1 

1 2n k
 C2n
2 k 0

Dựa vào đẳng thức đặc trưng:
Mấu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi
(*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái
(thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số khơng chứa k
hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Ví dụ 14: Tính giá trị của tổng S  C60  C61  ...  C66 bằng:
A. 64

B. 48

C. 72

D. 100

Giải: Chọn A
S  C60  C61  ...  C66  26  64

Ví dụ 15: Tính tổng S  C158  C159  C1510  ...  C1515 .
A. 215

Nguyễn Thị Thu Thảo

B. 214

C. 213

D. 212
Trang 22


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Giải: Chọn B
+ Cách 1: Sử dụng đẳng thức Cnk  Cnn k , ta được:
S  C158  C159  C1510  ...  C1515  C157  C156  C155  ...  C150
15

10
15
 2S  (C158  C159  C15
 ...  C15
)  (C157  C156  C155  ...  C150 )   C15k  215
k 0

S 2

14

+ Cách 2: Sử dụng máy tính Casio.
Do bài tốn trên có tổng bé và các số hạng trong tổng ít nên ta
có thể sử dụng lệnh tổng trong máy tính Casio bằng cách bấm :
shift Log


 



 .


Nhập: Shift Log 15 shift  alpha )  8  15

2.3. CHỦ ĐỀ : BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
2.3.1. Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố
Phương pháp
Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau
Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm.
Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của khơng gian mẫu
và biến cố.
Ví dụ 16: Gieo hai đồng tiền một lần. Kí hiệu S,N để chỉ đơng tiền lật sấp, lật
ngửa.Mô tả không gian mẫu:
A. Ω ={SN,NS}
B. Ω ={NN,SS}
C. Ω ={S,N}

D. Ω ={SN,NS,SS,NN}

Giải: Chọn D
Ω ={SN,NS,SS,NN}
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 23


Khố luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

Ví dụ 17: Một hộp có hai bi trắng được đánh số từ 1 đến 2, 3 viên bi xanh được
đánh số từ 3 đến 5 và 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7. Lấy ngẫu
nhiên hai viên bi, số phần tử của không gian mẫu là:
A. 49

B. 42

C. 10

D. 12

Giải: Chọn B
Mỗi phần tử của không gian mẫu là một chỉnh hợp chập 2 của 7 vì
vậy số phần tử của không gian mẫu là A72  7.6  42
2.3.2. Dạng 2:Tìm xác suất của biến cố.
Phương pháp :
Trong bài toán này, việc xác định số phần tử thuận lợi cho biến cố cần
tìm dễ dàng xác định( có thể liệt kê các phương án, có thể tính được các cách
ngắn gọn).

Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu.
Bước 2: Đếm số phần tử thuận lợi của khơng gian mẫu.
n( A)
Bước 3: Tính xác suất : p( A) 
n( A)
Trong nhiều bài tốn tính xác suất, việc tính số phần tử thuận lợi cho
biến cố A trở nên khó khăn do có quá nhiều trường hợp, thì ta đi tìm số phần
tử thuận lợi cho biến cố đối của biến cố A. Sau đó lấy số phần tử không gian
mẫu trừ đi kết quả vừa tìm được thì ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố A.
Ví dụ 18: Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi ( khơng kể thứ tự) ra khỏi hộp. Tính xác suất để
trong 3 viên bi lấy ra có ít nhât 1 viên bi màu đỏ.
A.

1
2

B.

418
455

C.

1
13

D.

12

13

Giải: Chọn D
Cách 1:
+ Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là:
n()  C153  455

+ Gọi A là biến cố “ Trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên màu đỏ”
Nguyễn Thị Thu Thảo

Trang 24