Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 1 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NĨI ĐẦU
Hiện nay, số hóa trong lĩnh vực Cơng nghệ thông tin và Công nghệ kỹ thuật
Điện - Điện tử đang được thực hiện trên toàn thế giới cũng như tại Việt Nam. Chính vì
thế xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) đã trở thành một lĩnh vực khoa
học cơng nghệ quan trọng. Xử lý tín hiệu số được áp dụng rất hiệu quả trong các lĩnh
vực truyền thơng, truyền hình, đo lường, điều khiển, thơng tin … dựa trên các phép
phân tích, tổng hợp, mã hóa, biến đổi tín hiệu sang dạng tín hiệu số.
Để tiếp cận với ngành khoa học hiện đại này, chúng ta cần được trang bị những
kiến thức cơ bản về tín hiệu và hệ thống rời rạc, phân tích tín hiệu trong miền Z, miền
tần số liên tục, miền tần số rời rạc và đặc biệt là phương pháp để tổng hợp một bộ lọc
số đơn giản.
Tập bài giảng Xử lý tín hiệu số được biên soạn cho đối tượng sinh viên cao
đẳng và đại học các ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin và Điện – Điện tử,
trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định. Tập bài giảng được chia làm 4 chương:
Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc.
Chương 2: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z.
Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền tần số.
Chương 4: Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR).
Mỗi chương trong tập bài giảng đều hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và cần
thiết. Tương ứng với mỗi nội dung kiến thức đều có các ví dụ minh họa cụ thể. Đặc
biệt, cuối mỗi chương có hệ thống các bài tập và hướng dẫn giải để giúp sinh viên dễ
dàng trong việc tự học, tự nghiên cứu.
Nhóm biên soạn xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp khoa Công nghệ thông
tin và khoa Điện – Điện tử, cùng các đồng nghiệp trong trường Đại học Sư phạm Kỹ
thuật Nam Định đã giúp chúng tơi hồn thành tài liệu này.
Trong lần biên soạn đầu tiên, tập bài giảng không tránh khỏi những sai sót, rất
mong người đọc đóng góp ý kiến để tập bài giảng được hồn thiện hơn. Mọi sự đóng
góp ý kiến xin gửi về Văn phịng Khoa Cơng nghệ thơng tin và Văn phòng Khoa Điện
- Điện tử, trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Nam Định, tháng 11 năm 2013

Nhóm biên soạn
Th.s Hoàng Thị Hồng Hà
Th.s Nguyễn Thị Thu Hằng
Th.s Cao Văn Thế
i


MỤC LỤC
LỜI NĨI ĐẦU...................................................................................................................................... I
MỤC LỤC........................................................................................................................................... II
CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC .............................................................. 1
1.1. Tín hiệu và các hệ thống xử lý tín hiệu ................................................................. 1
1.1.1. Các định nghĩa................................................................................................................................1
1.1.2. Các hệ thống xử lý tín hiệu ..........................................................................................................3
1.2. Tín hiệu rời rạc ....................................................................................................... 5
1.2.1. Biểu diễn tín hiệu rời rạc...............................................................................................................5
1.2.2. Một số dãy rời rạc cơ bản .............................................................................................................7
1.2.3. Một số định nghĩa ........................................................................................................................12
1.3. Các hệ thống tuyến tính bất biến ........................................................................ 18
1.3.1. Các hệ thống tuyến tính ..............................................................................................................18
1.3.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến ...............................................................................................20
1.3.3. Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ...............................................................................28
1.3.4. Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định ......................................................................................31
1.4. Phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .................................................... 32
1.4.1. Khái niệm ......................................................................................................................................32
1.4.2. Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .........................................33
1.5. Sơ đồ thực hiện hệ thống ...................................................................................... 38
1.5.1. Các phần tử thực hiện hệ thống.................................................................................................38
1.5.2. Sơ đồ thực hiện hệ thống đệ quy và không đệ quy...............................................................39
1.6. Tƣơng quan các các tín hiệu ................................................................................ 46

BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ................................................................................................. 50
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠCTRONG MIỀN Z... 56
2.1. Biến đổi Z ............................................................................................................... 56
2.2.1. Biến đổi Z hai phía và một phía.................................................................................................56
2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi Z ..............................................................................................................63
2.2. Biến đổi Z ngƣợc ................................................................................................... 68
2.2.1. Định nghĩa biến đổi Z ngược .....................................................................................................68
2.2.2. Các phương pháp biến đổi Z ngược .........................................................................................69
2.3. Các tính chất của biến đổi Z ................................................................................ 79
2.3.1. Tính chất tuyến tính .....................................................................................................................79
2.3.2. Tính chất trễ ..................................................................................................................................80
2.3.3. Nhân với dãy hàm mũ an............................................................................................................80
2.3.4. Đạo hàm của biến đổi Z..............................................................................................................82

ii


2.3.5. Tích chập của hai dãy..................................................................................................................82
2.3.6. Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả ........................................................................................83
2.3.7. Tích của hai dãy ...........................................................................................................................84
2.3.8. Tương quan của hai tín hiệu.......................................................................................................84
2.4. Ứng dụng biến đổi Z trong xử lý tín hiệu và hệ thống rời rạc ......................... 85
2.4.1. Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc ........................................................................................85
2.4.2. Phân tích hệ thống trong miền Z ...............................................................................................87
2.4.3. Độ ổn định của hệ thống.............................................................................................................93
2.4.4. Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dùng biến đổi Z ....................................98
BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ............................................................................................... 104
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN
SỐ....................................................................................................................................................... 110
3.1. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc ................................................................ 110

3.1.1. Định nghĩa biến đổi Fourier .................................................................................................... 110
3.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier................................................................................................ 116
3.1.3. Biến đổi Fourier ngược............................................................................................................ 117
3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ...................................................................118
3.2.1. Tính chất tuyến tính .................................................................................................................. 118
3.2.2. Tính chất trễ ............................................................................................................................... 119
3.2.3. Tính chất đối xứng.................................................................................................................... 120
3.2.4. Tính chất biến đảo..................................................................................................................... 123
3.2.5. Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy.................................................................................. 124
3.2.6. Biến đổi Fourier của tích hai dãy ........................................................................................... 124
3.2.7. Vi phân trong miền tần số ....................................................................................................... 124
3.2.8. Trễ tần số .................................................................................................................................... 125
3.2.9. Công thức Parseval................................................................................................................... 126
3.2.10. Phổ tần số của hàm tương quan và hàm tự tương quan .................................................. 127
3.3. So sánh biến đổi Fourier với biến đổi Z .......................................................... 128
3.4. Biểu diễn hệ thống rời rạc dùng biến đổi Fourier ..........................................129
3.5. Biến đổi Fourier rời rạc .....................................................................................132
3.5.1 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N. ............................... 133
3.5.1.1. Các định nghĩa ............................................................................................................... 133
3.5.1.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hồn có chu kỳ N.138
3.5.2. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hồn có chiều dài hữu hạn...... 146
3.5.2.1. Các định nghĩa ................................................................................................................ 146
3.5.2.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều dài hữu hạn 149
BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ............................................................................................... 155

iii


CHƯƠNG 4. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU
HẠN (FIR) ....................................................................................................................................... 162

4.1. Tổng quan về các bộ lọc số.................................................................................162
4.1.1. Khái niệm ................................................................................................................................... 162
4.1.2. Bộ lọc số lý tưởng ..................................................................................................................... 162
4.1.3. Bộ lọc số thực tế ........................................................................................................................ 173
4.2. Đặc tính xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính............................................174
4.3. Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính ..........................................180
4.3.1. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 .......................................................... 180
4.3.2. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 . ........................................................ 182
4.3.3. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 .......................................................... 184
4.3.4. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 .......................................................... 185
4.4. Tổng hợp bộ lọc số FIR bằng phƣơng pháp cửa sổ .........................................187
4.4.1. Giới thiệu .................................................................................................................................... 187
4.4.2. Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp cửa sổ .................................................... 187
4.4.3. Một số cửa sổ thường dùng tổng hợp bộ lọc số FIR .......................................................... 188
BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ............................................................................................... 201
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI............................................................................................. 205
Đáp án chƣơng 1 ........................................................................................................205
Đáp án chƣơng 2 ........................................................................................................216
Đáp án chƣơng 3 ........................................................................................................226
Đáp án chƣơng 4 ........................................................................................................242
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................................IV

iv


CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1. Tín hiệu và các hệ thống xử lý tín hiệu
Chương này đề cập đến các vấn đề biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền thời
gian rời rạc n. Đây là miền biểu diễn tín hiệu sau khi đã lấy mẫu tín hiệu. Để hiểu được
kiến thức của chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số nội dung chính sau.

1.1.1. Các định nghĩa
a. Định nghĩa tín hiệu
Tín hiệu (signal) là biểu diễn vật lý của thơng tin.
Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng,
sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện ..... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số
loại tín hiệu nhất định. Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta
thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện
áp, dịng điện, tần số hoặc góc pha.
Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả
các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất.
Chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu.
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của
biến tần số X(f) hay X().
Về mặt tốn học, ta có thể mơ tả tín hiệu như là một hàm theo biến thời gian
x(t), hàm của biến tần số X(f) hay X() hoặc hàm của nhiều biến số độc lập khác. Ví
dụ hàm: x(t )  20t 2 mơ tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t. Hay một ví dụ
khác, hàm: s( x, y)  3x  5xy  y 2 mơ tả tín hiệu là hàm theo hai biến độc lập x và y,
trong đó x và y biểu diễn cho hai tọa độ không gian trong mặt phẳng.
b. Phân loại tín hiệu
Các phương pháp ta sử dụng trong xử lý tín hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào đặc
điểm của tín hiệu. Có những phương pháp riêng áp dụng cho một số loại tín hiệu
nào đó. Do vậy, trước tiên cần xem cách phân loại tín hiệu liên quan đến những ứng
dụng cụ thể. Chúng ta chia tín hiệu ra làm 2 nhóm lớn: tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc.
Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một
tín hiệu là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu liên tục.
Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu liên tục thì từ liên tục ở đây được hiểu là
liên tục theo biến số.

1

ia 
x, y 

ia 
x0 , y0 

0

y

y0

x0

x
Hình 1.1. Tín hiệu liên tục
Nếu dựa vào hàm số (hay biên độ) ta có thể phân loại tín hiệu liên tục thành hai loại:
- Tín hiệu tương tự
- Tín hiệu lượng tử hố.
Định nghĩa tín hiệu tƣơng tự: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì
tín hiệu đó gọi là tín hiệu tương tự.
Nhận xét: Tín hiệu tương tự liên tục theo cả biến và hàm.
xa  t 

0

t

Hình 1.2. Tín hiệu tương tự

Định nghĩa tín hiệu lƣợng tử hố: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là rời rạc
thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lượng tử hố.
Nhận xét: Tín hiệu lượng tử hố liên tục theo biến và rời rạc theo hàm.

xq  t 
8q
7q
6q
5q
4q
3q
2q
q

0

q:mức lượng tử hóa

t

Hình 1.3. Tín hiệu lượng tử hóa
Định nghĩa tín hiệu rời rạc: Nếu biến độc lập của biểu diễn tốn học của một
tín hiệu là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc.

2


Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu rời rạc thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời
rạc theo biến số.
Nếu dựa vào hàm số (hay biên độ) ta có thể phân loại tín hiệu rời rạc ra làm hai loại:

- Tín hiệu lấy mẫu
- Tín hiệu số.
Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục và
khơng bị lượng tử hố thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lấy mẫu.
Nhận xét: Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo biến, liên tục theo hàm.
xs  nTs 
Ts : Thêi gian lÊy mÉu

0

Ts 2 Ts 3Ts 4 Ts 5Ts 6 Ts

nTs

Hình 1.4. Tín hiệu lấy mẫu
Định nghĩa tín hiệu số: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu
đó gọi là tín hiệu số.
Nhận xét: Tín hiệu số rời rạc theo cả biến và theo cả hàm.
x d  nTs 

8q
7q
6q
5q
4q
3q
2q
q
0

Ts 2 Ts 3Ts 4 Ts 5Ts 6 Ts

nTs

Hình 1.5. Tín hiệu số
Chú ý: Việc phân loại tín hiệu sẽ là cơ sở để phân loại hệ thống xử lý, chẳng
hạn như ta có hệ thống rời rạc hay hệ thống tương tự được phân loại tương ứng với
loại tín hiệu mà hệ thống đó xử lý là tín hiệu rời rạc hay tín hiệu tương tự.
1.1.2. Các hệ thống xử lý tín hiệu
Trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, ta thường làm việc với các tín hiệu
tương tự. Có thể xử lý trực tiếp các tín hiệu đó bằng một hệ thống tương tự thích
hợp, như minh họa trên hình 1.6, tín hiệu đầu ra cũng là tương tự.

3


Vào

Ra
Tín hiệu tương tự
ya 
t

Tín hiệu tương tự
xa 
t
Hệ thống tương tự

Hình 1.6. Xử lý tín hiệu tương tự
Xử lý số là một phương pháp khác để xử lý tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương

tự phải được chuyển đổi thành dạng số nhờ một bộ biến đổi tương tự/ số (ADC) trước
khi xử lý. Tuy nhiên, quá trình chuyển đổi tương tự/ số này cho ra một tín hiệu số
khơng phải là biểu diễn chính xác cho tín hiệu tương tự ban đầu. Khi tín hiệu tương tự
được chuyển thành tín hiệu số gần đúng nhất, q trình xử lý sẽ được thực hiện bằng
một bộ xử lý tín hiệu số DSP (Digital Signal Processor), tạo ra một tín hiệu số mới.
Trong hầu hết các ứng dụng, tín hiệu số cần được chuyển đổi ngược lại thành tín
hiệu tương tự nhờ một bộ biến đổi ngược số/ tương tự/ (DAC) ở cuối quá trình xử lý.
Hình 1.7 là sơ đồ khối một hệ thống xử lý tín hiệu bằng phương pháp số. Bộ xử lý tín
hiệu số DSP có thể là một mạch logic, một máy tính số hoặc là một bộ vi xử lý lập
trình được.
Vào
T.h tương tự

xa 
t

ADC

DSP

T.h số

Ra
DAC
T.h số

yd 
t

xd 

t

T.h tương tự

ya 
t

Hệ thống số

Hình 1.7. Xử lý tín hiệu số
Ƣu điểm của xử lý số so với xử lý tƣơng tự
Có nhiều nguyên nhân khác nhau khiến cho xử lý số được ưa chuộng hơn là
xử lý trực tiếp tín hiệu tương tự. Trước tiên, hệ thống số có thể lập trình được, tạo ta
tính mềm dẻo trong việc cấu hình lại các hoạt động xử lý bằng cách đơn giản là thay
đổi chương trình, trong khi đó để cấu hình lại hệ tương tự, ta phải thiết kế lại phần
cứng, rồi kiểm tra và thẩm định xem các hoạt động đó có đúng khơng.
Độ chính xác cũng đóng một vai trị qua trọng trong việc lựa chọn bộ xử lý tín
hiệu. Độ sai lệch của các linh kiện tương tự khiến cho các nhà thiết kế hệ thống vơ
cùng khó khăn trong việc điều khiển độ chính xác của hệ thống tương tự. Trong khi
đó, việc điều khiển độ chính xác của hệ thống số lại rất dễ dàng, chỉ cần ta xác định
rõ yêu cầu về độ chính xác rồi quyết định lựa chọn các bộ chuyển đổi ADC và DSP
có độ dài từ thích hợp, có kiểu định dạng dấu phẩy tĩnh hay dấu phẩy động.

4


Tín hiệu số dễ dàng lưu trữ trên các thiết bị băng đĩa từ mà không bị mất mát
hay giảm chất lượng. Như vậy tín hiệu số có thể truyền đi xa và có thể được xử lý từ
xa. Phương pháp xử lý số cũng cho phép thực hiện các thuật tốn xử lý tín hiệu tinh vi
phức tạp hơn nhiều so với xử lý tương tự, nhờ việc xử lý được thực hiện bằng phần

mềm trên các máy tính số.
Trong một vài trường hợp, xử lý số rẻ hơn xử lý tương tự. Giá thành thấp hơn là
do các phần cứng số rẻ hơn, hoặc là do tính mềm dẻo trong xử lý số.
Tuy nhiên, xử lý số cũng có một vài hạn chế. Trước tiên là sự hạn chế về tốc
độ hoạt động của các bộ chuyển đổi ADC và bộ xử lý số DSP. Sau này ta sẽ thấy
những tín hiệu băng thơng cực lớn u cầu tốc độ lấy mẫu của bộ ADC cực nhanh và
tốc độ xử lý của DSP cũng phải cực nhanh. Vì vậy, phương pháp xử lý số chưa áp
dụng được cho các tín hiệu tương tự băng thơng lớn.
Nhờ sự phát triển nhanh chóng của cơng nghệ máy tính và cơng nghệ sản xuất
vi mạch mà lĩnh vực xử lý tín hiệu số (DSP) phát triển rất mạnh trong vài thập niên
gần đây. Ứng dụng của DSP ngày càng nhiều trong khoa học và cơng nghệ. DSP
đóng vai trị quan trọng trong sự phát triển của các lĩnh vực như viễn thông, đa
phương tiện, y học, xử lý ảnh và tương tác người - máy...
Tóm lại, DSP là một lĩnh vực dựa trên nguyên lý của toán học, vật lý và khoa
học máy tính và có những ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý
số, cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu.
1.2. Tín hiệu rời rạc
1.2.1. Biểu diễn tín hiệu rời rạc
Trong phần trên chúng ta đã định nghĩa tín hiệu rời rạc gồm 2 loại là tín hiệu
lấy mẫu và tín hiệu số, với kí hiệu như sau:

xs  nTs  : tín hiệu lấy mẫu
xd  nTs  : tín hiệu số
Ta thống nhất ký hiệu chung của tín hiệu rời rạc là x (nTs ) . Như vậy ở đây nTs
là biến độc lập, n là số nguyên, Ts là chu kỳ lấy mẫu. Để tiện cho cách biểu diễn tín
hiệu rời rạc chúng ta sẽ chuẩn hóa biến số độc lập nTs bởi chu kỳ lấy mẫu Ts như sau:

nTs
n

Ts
Như vậy sau khi chuẩn hố ta có:
chn hãa
x(nTs ) 
 x ( n)
bëi T
s

5


Chú ý: Nếu trong miền biến số chúng ta chuẩn hóa bởi chu kỳ lấy mẫu Ts thì
trong miền tần số chúng ta phải chuẩn hóa bởi tần số lấy mẫu Fs với Fs 

1
Ts

a. Biểu diễn tốn học
Một tín hiệu rời rạc được biểu diễn bởi một dãy các giá trị thực hoặc phức. Nếu
tín hiệu được hình thành bởi các giá trị thực thì được gọi là tín hiệu thực. Cịn nếu tín
hiệu được hình thành bởi các giá trị phức thì được gọi là tín hiệu phức.
Cách biểu diễn tốn học của tín hiệu rời rạc x(n) như sau :

N1  n  N2

biĨu thøc to¸n
x ( n)
0

n còn lại

Vớ d 1:
Cho vớ d v biểu diễn tốn học của một tín hiệu rời rạc.
Giải:
Ví dụ về biểu diễn tốn học của một tín hiệu rời rạc:
 n
1 
x ( n)   4

0

Ở đây ta thy: x(0) = 1; x(1) =

0n4
n còn lại

3
1
; x(3) = ; x(4) = 0.
4
4

b. Biểu diễn đồ thị
Cách biểu diễn đồ thị minh họa một cách trực quan cho tín hiệu rời rạc.
Ví dụ 2:
Hãy biểu diễn đồ thị cho tín hiệu rời rạc trong ví dụ 1.
Giải:
Đồ thị của ví dụ 1 cho trên hình 1.8.

x n

`

1

3 1
4 2

-2 -1 0 1 2

1
4

3 4 n

Hình 1.8 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị
c. Biểu diễn bằng dãy số
Trong cách biểu diễn tín hiệu bằng dãy số, chúng ta liệt kê các giá trị của x(n)
thành một dãy số như sau:

6





x (n)  ..., x(n  1), x(n), x(n  1),... 




Chú ý: Để chỉ ra giá trị của x (n) tại thời điểm gốc ta dùng ký hiệu x (n) .
Do cách biểu diễn này, ta cịn gọi tín hiệu rời rạc là dãy x (n) .
Chú ý: Tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa chỉ với giá trị n nguyên, x(n)
không được coi như bằng 0 đối với các giá trị n không nguyên, x(n) không được định
nghĩa với các giá trị khơng ngun này.
Ví dụ 3:
Hãy biểu diễn tín hiệu bằng dãy số trong ví dụ 1 và 2.
Giải:
Tín hiệu trong ví dụ 1 và 2 được biểu diễn bằng dãy số như sau:

 3 1 1
x (n)  1, , , 
 4 2 4
1.2.2. Một số dãy rời rạc cơ bản
a. Dãy xung đơn vị
Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa nh sau:

1
0

( n)

n0
n còn lại

(1.1)

th ca  (n) cho trên hình 1.9.
 n

1
-1 0 1

n

Hình 1.9. Dãy xung đơn vị  (n)
Ví dụ 1:
Hãy biểu diễn toán học và đồ thị dãy   n  n0  với n0  0 .
Giải:
Biểu diễn toán học của dãy   n  n0  :
1
0

  n  n0   

n  n0
n  n0

7


Đồ thị của dãy   n  n0  cho trên hình 1.10.

  n  n0 
1
-1

0

1

2 ...

n0

n

Hình 1.10. Dãy   n  1
b. Dãy nhảy đơn vị
Trong miền n, dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau:

n0
n0

1
u  n  
0

(1.2)

Đồ thị của u(n) cho trên hình 1.11.

u n
1

-1

0 1

2

3

4

n

5

Hình 1.11. Dãy nhảy đơn vị u(n).
Ví dụ 2:
Hãy biểu diễn tốn học và đồ thị dãy u  n  n0  , với n0  0 .
Giải:
Biểu diễn toán học của dãy:

1
u(n  n0 )  
0

n  n0
n  n0

Đồ thị của dãy u  n  n0  cho trên hình 1.12.

u  n  n0 
1

n0

-1 0 1 2

n

Hình 1.12. Dãy nhảy u  n  n0  .

8


c. Dãy chữ nhật
Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau:

1
rectN (n)  
0

0  n  N 1
n còn lại

(1.3)

th ca dóy ch nht rectN (n) cho trên hình 1.13.

rect N  n 
1

-4 -3 -2 -1 0 1 2

N-2 N-1 N

n

Hình 1.13. Dãy chữ nhật rectN (n) .
Ví dụ 3:
Hãy biểu diễn tốn học và đồ thị dãy rectN (n  n0 ) với n0  0 .
Giải:
Biểu diễn toán học của dãy:

1
rectN (n  n0 )  
0

n0  n  N  1 n0
n còn lại

th ca dóy rectN (n  n0 ) cho trên hình 1.14

rect3  n  2 
1

-4 -3 -2 -1

0 1

2

3

4

N  1  n0

n

Hình 1.14. Dãy chữ nhật rectN (n  n0 )
d. Dãy dốc đơn vị
Trong miền n, dãy dốc đơn vị được nh ngha nh sau:

n
r ( n)
0

n0
n còn lại

(1.4)

thị của r(n) cho trên hình 1.15.

9


r n
`

3
2

1
-2 -1 0 1 2

3 4

n

Hình 1.15. Dãy dốc đơn vị r(n)
Ví dụ 4:
Hãy biểu diễn tốn học và đồ thị dãy r  n  n0  .
Giải:
Biểu diễn toán học của dãy:

n  n0
r(n  n0 )
0

n n0
n còn lại

th ca dóy r  n  n0  cho trên hình 1.16.

r  n  n0 

0

n0

n

Hình 1.16. Dãy r  n  n0  .
e. Dãy hàm mũ
Trong miền n, dãy hàm mũ được định nghĩa như sau:

a n
e(n)  
0

n0
n cßn l¹i

(1.5)

Ở đây a là tham số.
Dãy này tăng giảm phụ thuộc tham số a lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1, đồ thị được
biểu diễn như trên hình 1.17.

10


en

en
`

1

1

0

a 1

n

0

a 1

n

Hình 1.17. Dãy hàm mũ e(n)
Ví dụ 5:
Hãy biểu diễn bằng đồ thị dãy hàm mũ e(n) với 0 ≤ a ≤ 1.
Giải:
Đồ thị của dãy hàm mũ e(n) với 0 ≤ a ≤ 1.
en
`

n

-2 -1 0 1 2 3 4

Hình 1.18. Dãy hàm mũ e(n)
f. Dãy sin
Trong miền n, dãy sin được định nghĩa như sau:
s(n) = sin(ω0n)
Đồ thị của s(n) cho trên hình 1.19 với ω0 = 2π/8
 2
sin 
 8

(1.6)


n


4

8 n

Hình 1.19. Dãy sin s(n) với ω0 = 2π/8
Ví dụ 6:
Hãy biểu diễn bằng đồ thị dãy sau đây:

 2

x (n)  2sin   n  1
 10

Giải:
Đồ thị của dãy x(n) cho trên hình 1.20.

11


x n




2sin 




5 

0

n

4

 2
 n  1
 10


Hình 1.20. Đồ thị của tín hiệu x(n)  2sin 
1.2.3. Một số định nghĩa

a. Dãy tuần hồn (dãy chu kỳ)
Ta nói rằng một dãy x(n) là tuần hoàn với chu kỳ N nếu thỏa mãn điều kiện sau:
x(n) = x (n + N)= x (n + lN) với l: số nguyên
(1.7)
Khi cần nhấn mạnh tính tuần hồn, người ta ký hiệu dấu ~ phía trên.
Ký hiệu: x%
 n  , x%
n .
N

Ví dụ 1:

n
Hãy biểu diễn đồ thị dãy tuần hồn x%
 n   1  với chu kỳ N = 4.
4
Giải:

Dãy x%
 n  có N = 4 cho trên hình 1.21.
x n
`

N 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n

Hình 1.21. Dãy tuần hồn N =4
b. Dãy có chiều dài hữu hạn
Một dãy được xác định với N mẫu hữu hạn thì ta gọi là dãy có chiều dài hữu
hạn. Trong đó, N là chiều dài của dãy.
Ta viết:
L  x  n   0, N  1  N

Với L là tốn tử chiều dài.
Ví dụ 2:
Hãy vẽ một dãy có chiều dài hữu hạn N = 4.
Giải:

12

Dãy x(n) có chiều dài: L[x(n)] = [0, 3] = 4

x n
`

-2 -1 0 1 2

3 4 n

Hình 1.22. Dãy có chiều dài hữu hạn N=4
c. Năng lƣợng của dãy
Năng lượng của dãy x(n) được định nghĩa như sau:

Ex 





x ( n)

2

(1.8)

n 

Ví dụ 3:

Hãy tính năng lượng của các dãy:  (n), u(n), rect N (n).
Giải:

Ex 
Ex 
Ex 



  ( n)

2

1

Dãy có năng lượng hữu hạn

n 


 rect

n 


( n)  N
2

N

 u ( n)

2

Dãy có năng lượng hữu hạn



Dãy có năng lượng vơ hạn

n 

d. Cơng suất trung bình của dãy
Cơng suất trung bình của dãy x(n) được định nghĩa như sau:
N
1
2
x ( n)

N  2 N  1
n  N

Px  lim

(1.9)

Nếu ta định nghĩa năng lượng của tín hiệu x(n) trong một khoảng hữu hạn
N  n  N là:

EN 

N



x ( n)

2

(1.10)

n  N

thì có thể biễu diễn năng lượng tín hiệu như sau:
Ex  lim EN
N 

(1.11)

và cơng suất trung bình của tín hiệu x(n) là:

1
EN
N  2 N  1

Px  lim

(1.12)

13

Như vậy, nếu Ex là hữu hạn thì Px  0 . Mặt khác, nếu Ex là vơ hạn thì cơng
suất trung bình Px có thể là hữu hạn hoặc vơ hạn.
Ví dụ 4:
Hãy tính cơng suất trung bình của dãy u(n) và rectN(n).

y  n   b0 x  n   b1x  n  1  b2 x  n  2  b4 x  n  4
Giải:
N
N
1
1
N 1 1
2
2
u
(
n
)

lim
1  lim



N  2 N  1
N  2 N  1
N  2 N  1
2

n  N
n0

Pu  lim

N
1
1 N 1 2
N
2
 lim
rect
(
n
)

lim
1  lim
0


N
'
'
'
'
'
'
N  2 N  1
N  2 N  1

N  2 N  1
n 0
n  N '
'

PrectN

Nhận xét: Erect = N là hữu hạn, vì vậy Prect = 0.
Dãy năng lƣợng
Nếu năng lượng của dãy x(n) là hữu hạn (tức là 0  Ex   ) thì x(n) gọi là dãy
năng lượng.
Dãy cơng suất
Nếu Px là hữu hạn (tức là 0  Px   ) thì x(n) gọi là dãy cơng suất.
Từ các ví dụ trên ta thấy rằng rectN(n) là dãy năng lượng cịn u(n) là dãy
cơng suất.
e. Tổng của 2 dãy
Tổng của 2 dãy nhận được bằng cách cộng từng đôi một các giá trị mẫu đối với
cùng một trị số của biến độc lập.
Ví dụ 4:
Cho hai dãy: x1  n   rect3  n  1 và x2  n   rect3  n  2 
Hãy tính tổng của hai dãy x1  n  và x2  n  là dãy x3  n  :

x3  n   x1  n   x2  n 
Giải:
Tổng của hai dãy x1  n  và x2  n  là dãy x3  n  được thể hiện trên hình 1.23.

x1  n 

1
-4 -3 -2 -1

0 1

2

3

4

n

14


x2  n 

1
-4 -3 -2 -1

0 1

2

3

4

2

3

4

n

x3  n 

2
1
-4 -3 -2 -1

0 1

n

Hình 1.23. x1  n  và x2  n  và dãy tổng x3  n 
f. Tích của 2 dãy
Tích của 2 dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với
cùng một trị số của biến độc lập.
Ví dụ 5:
Cho hai dãy: x1  n   rect3  n  1 và x2  n   rect3  n  2 
Hãy tính tích của hai dãy x1  n  và x2  n  là dãy x3  n  :

x3  n   x1  n  x2  n 
Giải:
Tích của 2 dãy được thể hiện trên hình 1.24.

x1  n 

1

-4 -3 -2 -1

0 1

2

0 1

2

3

4

n

x2  n 
1
-4 -3 -2 -1

3

4

n

15


x3  n 

1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

n

Hình 1.24. x1  n  và x2  n  và dãy tích x3  n 
g. Tích của một dãy với hằng số
Tích của một dãy với các hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị
mẫu của dãy với hằng số đó.
Ví dụ 6:
Cho dãy x1  n   rect3  n  1 . Hãy tính: x2 (n)   x1 (n)

víi  =2

Giải:
Tích của dãy số với hằng số 2 được thể hiện trên hình 1.25.
x1  n 

1
-4 -3 -2 -1

0 1

2

3

4

n

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

n

x2  n 
2

1

Hình 1.25. Tích của dãy với hằng số 2
h. Trễ (dịch)
Ta nói rằng dãy x2(n) là dãy dịch trễ của dãy x1(n) đi n0 giá trị nếu có quan hệ
sau đây:

x2 (n)  x1 (n  n0 )

với mọi n, n0 là số nguyên

Ví dụ 7:
Cho tín hiệu x(n) được mô tả như sau:
3
1
1
x ( n )   ( n)    n     n  2     n  3 
4
2
4
Hãy biểu diễn đồ thị tín hiệu x(n).

16


Giải:
 n

1
-1 0 1

n

3
  n  1
4
3
4

-1 0 1 2 3

n

1
  n  2
2
1
2

-1 0 1 2 3

n

1
  n  3
4
1
4

-1 0 1 2 3

n

x n
`

1

3 1
4 2 1
4

-2 -1 0 1 2 3 4

n

Hình 1.26. Minh hoạ x(n) trong ví dụ 7.
Ta có biễu diễn tốn học tín hiệu x(n) như sau:
íï
n
ïï 1 0£ n£ 4

x (n) = ỡ
4
ùù
n còn lại
ùợ 0
Nhn xột: Nh cú phộp tổng, tích và trễ chúng ta có thể biểu diễn một dãy x(n)

dưới dạng sau đây:

x ( n) 



 x  k .  n  k 

(1.13)

k 

17


Trong đó, x(k) là giá trị x(n) tại thời điểm n = k. Do vậy, về mặt bản chất x(k) và
x(n) khác nhau (n là biến thời gian rời rạc, k là chỉ số), nhưng về mặt thể hiện x(n) và
x(k) là như nhau.
1.3. Các hệ thống tuyến tính bất biến
1.3.1. Các hệ thống tuyến tính
a. Một số khái niệm:
Ký hiệu hệ thống:

x(n)

y(n)

Hệ thống

Vào

Ra

Hình 1.27. Ký hiệu hệ thống
Kích thích và đáp ứng:
- Dãy vào của hệ thống được gọi là kích thích.
- Dãy ra của hệ thống được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang
khảo sát.
Tốn tử T:
Một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi
dãy vào thành dãy ra.
Chúng ta có thể sử dụng hai loại ký hiệu toán tử sau đây:
T  x  n   y  n 

(1.14)

T
x  n  
 y  n

hoặc:

Chúng ta cũng có thể biểu diễn hệ thống này bằng sơ đồ cho trên hình 1.28.

x(n)

T

y(n)

Hình 1.28. Hệ thống đặc trưng bởi toán tử T
b. Định nghĩa hệ thống tuyến tính
Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu tốn tử T của nó thỏa mãn
nguyên lý xếp chồng, tức là phải tuân theo quan hệ sau đây:
T ax1  n   bx2  n   aT  x1  n   bT  x2  n   ay1  n   by2  n 

(1.15)

Ở đây a và b là hai hằng số bất kỳ

y1  n  , y2  n  tương ứng là đáp ứng của kích thích x1  n  , x2  n  .
Ví dụ 1: Hãy xét tính tuyến tính của các hệ thống sau :
a. y(n) = nx(n)

b. y(n) = x 2 (n)

Giải:

18


a. Đáp ứng của hệ thống đối với hai kích thích riêng rẽ x1(n) và x2(n):

y1 (n) = nx1 (n) = F[ x1 (n)]

y2 (n) = nx2 (n) = F[ x2 (n)]
Đáp ứng của hệ thống đối với kích thích xếp chồng x(n) = [a1x1 (n) + a2 x2 (n)] :

y(n) = F [a1x1 (n) + a2 x2 (n)] = n.[a1x1 (n) + a2 x2 (n)]
y(n) = n.a1.x1 (n) + n. a2 .x2 (n) = a1.[ n.x1 (n)] + a2 .[ n.x2 (n)]
Vậy :

y(n) = a1 y1 (n) + a2 y2 (n) = a1.F[ x1 (n)] + a2 .F[ x2 (n)]

Hệ thống có tốn tử T thỏa mãn ngun lý xếp chồng nên là hệ thống tuyến tính.
b. Đáp ứng của hệ thống đối với hai kích thích riêng rẽ x1(n) và x2(n):

y1 (n) = x12 (n) = F[ x1 (n)]
y2 (n) = x22 (n) = F[ x2 (n)]
Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x(n) = [a1x1 (n) + a2 x2 (n)] :

y(n) = F[a1x1 (n) + a2 x2 (n)] = [a1x1 (n) + a2 x2 (n)]2
y(n) = a12 x12 (n) + 2a1a2 x1 (n) x2 (n) + a22 x22 (n)
y(n) = a12 y1 (n) + 2a1a2 x1 (n) x2 (n) + a22 y2 (n)
Vậy :

y(n) ¹ a1F[ x1 (n)] + a2 F[ x2 (n)]

Hệ thống có tốn tử T khơng thỏa mãn ngun lý xếp chồng nên khơng là hệ
thống tuyến tính (hệ thống phi tuyến).
c. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính:
Ta thấy rằng một dãy bất kỳ x(n) được biểu diễn bằng biểu thức tổng sau đây:

x ( n) 



 x(k )  n  k 

k 

Giả sử hệ thống là tuyến tính, ta có thể viết:

 

y (n)  T  x  n   T   x(k )  n  k 
 k 

Vì x(k) độc lập với n, nên ta có:

y (n)  T  x  n   



 x(k )T   n  k 

(1.16)

k 

Nếu ta ký hiệu hk (n) là đáp ứng của hệ thống với kích thích   n  k  thì điều
này có nghĩa là: hk  n   T   n  k  .
Vậy ta có:

y ( n) 



 x(k )h  n 

k 

k

(1.17)

19


Đáp ứng hk (n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính.
Nhận xét:
- Các hệ thống tuyến tính được đặc trưng hồn tồn bởi đáp ứng xung của nó.
- hk  n  là hàm của k và n, như vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho ta các đáp
ứng xung khác nhau, hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vào biến k, nếu biến k là
thời gian, thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộc vào thời gian.
Sau đây chúng ta sẽ xét hệ thống tuyến tính bất biến theo k, tức là dạng của đáp
ứng xung hk  n  khơng phụ thuộc vào k.
1.3.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến
a. Định nghĩa:
Nếu ta có y (n) là đáp ứng của kích thích x(n) thì hệ thống được gọi là bất biến
khi y(n  k ) là đáp ứng của kích thích x(n  k ) , ở đây k là số nguyên.
Nếu biến số là thời gian thì ta nói hệ thống bất biến theo thời gian.
b. Tích chập
Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến thì ta có quan hệ sau:

T   n   h  n 
T   n  k   h  n  k   hk  n 


 y  n 



k 

x  k hk  n  



 x  k h  n  k 

(1.18)

k 

Ta có hk  n  là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính, phụ thuộc vào cả k và n.
Nếu đáp ứng xung của hệ thống không phụ thuộc vào k, tức là nếu k là biến thời gian
thì tại mọi thời điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ thống ln là h  n  , thì h  n 
được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Như vậy, h  n  sẽ đặc
trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến, thể hiện trên hình 1.28.
Đáp ứng xung h  n  đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến.
x(n)

h(n)

y(n)

Hình 1.28. Hệ thống tuyến tính bất biến
Ta có quan hệ sau:
y  n 



 x  k h  n  k   x(n)  h(n)

k 

(1.19)

Quan hệ trên đây được gọi là tích chập của x(n) và h(n), được ký hiệu bởi dấu *.

20


Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến vì nó được định
nghĩa chỉ cho hệ thống này.
c. Các tính chất của tích chập
- Tính chất giao hoán

y( n )  x ( n )  h  n   h  n   x ( n )


=  x  k h  n  k  
k 



(1.20)

 h  k x  n  k 

k 

Ý nghĩa: Trong một hệ thống tuyến tính bất biến ta có thể hốn vị đầu vào x(n)
và đáp ứng xung h(n) cho nhau thì đáp ứng ra y(n) khơng thay đổi.
x
n

h
n

h
n

x
n

y
n

y
n

Hình 1.31. Mơ tả tính chất giao hốn của tích chập
- Tính kết hợp

y(n)  x(n)  h1  n   h2  n    x(n)  h1  n   h2  n 

(1.21)

Ý nghĩa: Nếu ta có hai hệ thống tuyến tính bất biến ghép nối tiếp với nhau thì
đáp ứng xung của hệ thống tổng quát sẽ là tích chập của đáp ứng xung của các hệ
thống thành phần.
x
n

x
n

h1 
n
h2 
n

y
n

h2 
n
h1 
n
x
n
h1 
n

y
n

Hình 1.32. Mơ tả tính chất kết hợp của tích chập
- Tính chất phân phối
y(n)  x(n)  h1  n   h2  n    x(n)  h1  n    x(n)  h2  n 

(1.22)

Ý nghĩa: Nếu ta có hai hệ thống tuyến tính bất biến ghép song song với nhau
thì đáp ứng xung của hệ thống tổng quát sẽ là tổng đáp ứng xung của các hệ thống
thành phần.

21