Bài giảng Sức bền vật liệu - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

BỘ LAO ĐỘNG – THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH

TẬP BÀI GIẢNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU
TB2015-01-12

Ban biên soạn:
Chủ biên:
Thành viên:

ThS. Ngô Mạnh Hà
ThS. Bùi Đức Phƣơng

NAM ĐỊNH, 2015


LỜI NÓI ĐẦU
Sức bền vật liệu là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sƣ thuộc các ngành
kỹ thuật, vì vậy mơn học này đƣợc bố trí trong chƣơng trình đào tạo của nhiều trƣờng
đại học nhƣ Đại học Bách khoa Hà Nội, Đại học Giao thông vận tải, Đại học Thuỷ lợi,
Đại học Xây dựng,… Ở trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này
đƣợc giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Cơ khí. Hiện nay, các trƣờng
đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với nội dung, thời lƣợng và
khối lƣợng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành.
Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Sức bền vật liệu riêng cho
sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chƣơng
trình mơn học Sức bền vật liệu đƣợc xây dựng để giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ
khí đƣợc xây dựng kế tiếp các nội dung cơ bản của Sức bền vật liệu đã đƣợc viết trong

tập bài giảng Cơ học 1 giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí trƣờng Đại học Sƣ phạm
Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm 4 chƣơng với các nội dung chính:
Thanh chịu tải trọng phức tạp, hệ thanh siêu tĩnh, ổn định hệ thanh và tải trọng động.
Cuốn bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình mơn học Sức bền vật liệu.
Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học vật rắn biến
dạng theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một
bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những
kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các mơn học tiếp theo của các
ngành Cơng nghệ hàn, cơng nghệ Ơ tơ, cơng nghệ chế tạo máy…
Cuốn bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn cịn nhiều thiếu sót.
Chúng tơi rất mong nhận đƣợc sƣ góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để
có điều kiện sửa chữa, hồn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho cơng
tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ mơn Kỹ thuật cơ
sở, Khoa cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định.
Nhóm tác giả biên soạn

i


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .............................................................................................................i
MỤC LỤC .................................................................................................................. ii
Chƣơng 1 .....................................................................................................................1
THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP ..............................................................................1
1.1. KHÁI NIỆM CHUNG .....................................................................................1
1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản............................................................................1
1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp ............................................................................1
1.1.3. Ứng suất trên tiết diện ...............................................................................1
1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN .............................................................................2
1.2.1. Khái niệm ..................................................................................................2

1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang .............................................................3
1.2.3. Vị trí đƣờng trung hồ ...............................................................................3
1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ................................................4
1.2.5. Điều kiện bền ............................................................................................4
1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) ...........................................8
1.3.1. Khái niệm ..................................................................................................8
1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang .............................................................8
1.3.3. Vị trí đƣờng trung hồ ...............................................................................9
1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN .............................................................9
1.3.5. Điều kiện bền ..........................................................................................10
1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang ..............................................................10
1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM ....................................................13
1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện .............................................................13
1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm ................................................15
1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI ...........................................17
1.5.1. Thanh có mặt cắt trịn ..............................................................................18
1.5.2. Thanh có mặt cắt hình chữ nhật ..............................................................19
CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 1..............................................................................25
Chƣơng 2 ...................................................................................................................27
GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC .............................................28
2.1. KHÁI NIỆM CHUNG ...................................................................................28
2.2 NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ...............................................................29
2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh .......................................................................29
2.2.2. Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng .......................................................................29
2.2.3. Tính hệ siêu tĩnh đối xứng ......................................................................30
2.3. DẦM LIÊN TỤC ...........................................................................................33
2.3.1. Định nghĩa ...............................................................................................33
2.3.2. Phƣơng trình ba mơmen ..........................................................................33
2.3.3. Trƣờng hợp đặc biệt ................................................................................35
2.4. PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN .....................................................37

2.5. CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH .................................42
CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 2..............................................................................43
Chƣơng 3 ...................................................................................................................44
ii


ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN ............................................44
3.1. KHÁI NIỆM CHUNG ...................................................................................44
3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN ........................................46
3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu .......................................................46
3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu...................................................48
3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER .....49
3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh ......................................................................49
3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler ..........................................................50
3.4 ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI ........50
3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH ......................................51
3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI .....................53
3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi .............................53
3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng .............................................................55
3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn ......................................................56
3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. ......................................................................57
3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM ............................57
3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN ...............................................................59
3.9. CÁC VÍ DỤ....................................................................................................61
3.10. CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU .............64
CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 3..............................................................................65
Chƣơng 4 ...................................................................................................................67
TẢI TRỌNG ĐỘNG .................................................................................................67
4.1. KHÁI NIỆM CHUNG ...................................................................................67
4.1.1. Tải trọng tĩnh, tải trọng động ..................................................................67

4.1.2. Phân loại tải trọng động ..........................................................................67
4.1.3. Các giả thiết khi tính tốn .......................................................................67
4.2. BÀI TỐN CĨ GIA TỐC KHƠNG ĐỔI .....................................................68
4.2.1. Bài tốn kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều .........................................68
4.2.2. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc khơng đổi ..........................69
4.3. BÀI TỐN CĨ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN .......................72
4.3.1. Bậc tự do của hệ ......................................................................................72
4.3.2. Phƣơng trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do ............................72
4.4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO .................................................................73
4.4.1. Khái niệm chung về dao động.................................................................73
4.4.2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do ..................................................74
4.5. BÀI TOÁN VA CHẠM .................................................................................77
4.5.1. Va chạm theo phƣơng thẳng đứng ..........................................................77
4.5.2. Va chạm theo phƣơng nằm ngang ..........................................................80
4.5.3. Kết luận chung về bài toán va chạm .......................................................82
CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 4..............................................................................84
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................86

iii


Chƣơng 1
THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
1.1. KHÁI NIỆM CHUNG
1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản
Những trƣờng hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét
trong học phần Cơ học 1 đƣợc gọi là những trƣờng hợp chịu lực đơn giản. Lúc này,
trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô
men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn.
1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp

Tổ hợp những trƣờng hợp chịu lực đơn giản đƣợc gọi là trƣờng hợp chịu lực
phức tạp.
Tổng quát nhất trên tiết diện của thanh có đủ sáu thành phần ứng lực nhƣ hình
vẽ 1.1 bao gồm:
- Lực dọc: Nz
- Mô men uốn: Mx , My
- Lực cắt: Qx, Qy
- Mơ men xoắn: Mz

Hình 1.1: Thanh chịu lực phức tạp tổng quát
1.1.3. Ứng suất trên tiết diện
Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực
phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ.
Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng:
r r
r
r
    N   M x   M y 
Các ứng suất thành phần có cùng phƣơng nên ta viết tổng theo trị số đại số:

    N   M x   M y 


M
N Mx

y y x
A Ix
Iy

(1.1)

1


Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng:
   Qy    Qx     M z 
r

r

r

r

(1.2)

Các ứng suất tiếp thành phần có phƣơng khác nhau nên không chuyển đƣợc
biểu thức sang phép cộng đại số.
Thành phần   Qy  có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qy và có trị số:
r

  Qy  
r

Qy S xC
I xb

r

Thành phần   Qx  có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số:
r

  Qx  

Qx S yC
I yh

Thơng thƣờng, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua
ảnh hƣởng của lực cắt so với ảnh hƣởng của mô men uốn do đó trong các phần tính
tốn tiếp theo, ta khơng xét đến ảnh hƣởng của ứng suất tiếp  Qx  , Qy 
r

r

r

Thành phần   M z  có trị số và phƣơng chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với
tiết diện trịn thì ứng suất tiếp có phƣơng vng góc với bán kính, có chiều phù hợp
với mơ men xoắn nội lực Mz và có trị số:
M
 Mz   Z 
IP

(1.3)

1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN
1.2.1. Khái niệm

Hình 1.2:Thanh chịu uốn xiên

Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt
phẳng quán tính chính. Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô
men uốn Mx và mô men uốn My nhƣ hình vẽ 1.2a
Gọi M là vectơ tổng của các vectơ Mx và My, nằm trong mặt phẳng V chứa
trục z, nhƣng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Giao
tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn
2


xiên đƣờng tải trọng đi qua trọng tâm nhƣng không trùng với một trục qn tính trung
tâm nào (hình 1.2b ).
1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt
ngang (MCN) có toạ độ x, y đƣợc tính theo cơng thức:
z 

M
Mx
y y x
Ix
Iy

(1.4)

Trong đó Mx, My coi là dƣơng khi làm căng phần chiều dƣơng của trục y, trục x.
Trong kĩ thuật ngƣời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx,
My và toạ độ x, y:
z  

Mx

Ix

y

My
Iy

(1.5)

x

Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn
Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.
Nếu gọi  là góc của đƣờng tải trọng hợp với trục x (hình 1.2b):
tg 

 M x  M sin 
Mx

My
 M y  M cos 

Góc  đƣợc gọi là dƣơng khi quay từ chiều dƣơng trục x đến đƣờng tải trọng
theo chiều kim đồng hồ.
1.2.3. Vị trí đƣờng trung hồ
Từ (1.5) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà:
M
Mx
y y x0
Ix

Iy

(1.6)

Hay:
y

M x Ix
. .x  tg  .x
M y Iy

(1.7)

Trong đó :
tg   

M x Ix
.
M y Iy

tg   

1 Ix
.
tg I y

Hay:
(1.8)

Đƣờng trung hoà là một đƣờng thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và

khơng vng góc với đƣờng tải trọng nhƣ trong uốn phẳng.
Từ biểu thức (1.8) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vơ số hệ trục qn
tính chính trung tâm nhƣ hình trịn, các đa giác đều cạnh sẽ có Ix= Iy nên tgtg = -1

3


thì khơng xảy ra hiện tƣợng uốn xiên phẳng. Vì đƣờng tải trọng sẽ trùng với một trục
quán tính chính trung tâm, cịn đƣờng trung hồ sẽ trùng với một trục qn tính chính
trung tâm thứ hai vng góc với đƣờng tải trọng. Bài tốn khi đó chỉ là uốn phẳng.
1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Theo (1.5) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên
đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hồ. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng
suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ nhƣ hình 1.3. Trục tung là đƣờng trung
hồ, trục hồnh vng góc với đƣờng trung hồ.

Hình 1.3: Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN của dầm chịu uốn xiên
1.2.5. Điều kiện bền
Điểm nguy hiểm là các điểm xa đƣờng trung hồ nhất về phía kéo hoặc nén.
Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn.
Điều kiện bền có dạng:


- Đối với vật liệu dẻo:

max

  

(1.9)

- Đối với vật liệu giòn:
  max    k

  min   n

(1.10)

M

My
xk ;  min    x yn 
xn 
Iy
 I x


(1.11)

Trong đó:
 max 

Mx
Ix

yk 

My
Iy

Nếu mặt cắt ngang của thanh là những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ
nhật nhƣ hình 1.4 thì:
xk  xn  xmax ; yk  yn  ymax

Do đó:
 max   min ;  max 

Mx
Wx

4



My
Wy

(1.12)


Wx 

Trong đó :

I
Ix
; Wy  y
ymax
xmax

(1.13)

Trong trƣờng hợp này điều kiện bền sẽ là:
- Đối với vật liệu dẻo:
- Đối với vật liệu giịn:

Mx
Wx
Mx
Wx




My
Wy
My
Wy

  

(1.14)

  k

(1.15)

Hình 1.4: Một số mặt cắt nội tiếp hình chữ nhật
Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau:
- Bài tốn kiểm tra bền

- Bài tốn tìm tải trọng cho phép.
- Bài tốn chọn kích thước MCN
Ví dụ 1.1
Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20)
cm2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN. Lực P đặt vng góc với trục dầm và
xiên góc  = 30o với trục Oy (hình 1.5a).
Xác định vị trí đƣờng tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên
mặt cắt ngang ở ngàm.
Bài giải:
Phân tích lực P làm hai thành phần theo các trục Ox và Oy
Px  P .sin   2, 4  0,5  1,2  kN 
Py  P .cos   2, 4  0,866  2,08  kN 

Biểu đồ mô men uốn Mx và My đƣợc biểu diễn trên hình 1.5b,c.
Vị trí đƣờng tải trọng đƣợc xác định theo công thức:
tg =

Mx  Py l 2,08


 1,732;
M y  Px l
1,2

  60o .

Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục x và y
Ix 





bh 3 12.203

 8000 cm 4 ;
12
12

5

Iy 





b 3h 123.20

 2880 cm 4 ;
12
12


Hình 1.5: Hình ví dụ 1.1
Ta có ứng suất tại điểm A:
A 

 Py l
Ix

yA 

 Px l
2, 08.200
1, 2.200
xA 
 10  
 6 
Iy
8000
2880



 0,52  0,50  1, 02 kN / cm2



Tƣơng tự, chúng ta tính đƣợc ứng suất tại các điểm B, C, D tƣơng ứng là:
 B  0, 02 kN / cm2 ,  C  1, 02 kN / cm2 ,  D  0, 02 kN / cm2 .

Ví dụ 1.2:
Cho dầm chịu lực nhƣ hình 1.6. Xác định số hiệu mặt cắt dầm thép chữ I, vị trí
đƣờng trung hồ.
Cho biết: P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m; = 300; [] =16000N/m2.
Bài giải:
Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có:
Mx 

ql 2
 Pl.cos   12160( Nm)
2

M y  Pl.sin   2400( Nm)

Thử lần thứ nhất ta lấy C = 4.
Vậy: Wx 

M x  CM y

 

 196(cm3 )

6


Hình 1.6: Hình ví dụ 1.2
Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị nhỏ hơn và gần nhất Wx=184cm3;
Wy=23,1cm3.
Thử lại:

 max   min
 max 

Mx My

 17000( N / cm2 )
Wx Wy

Vì :
 max   
17000  16000
100% 
100%  6, 2%  5%
16000
 

Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có Wx = 203cm3 , Wy = 28,2cm3
Khi đó:

 max 

Mx My

 14500( N / cm2 )
Wx Wy

Ứng suất nhỏ hơn:

 max   
14500  16000
100% 
 9, 4%
16000
 
Vì giữa thép có số hiệu 20 và 20a khơng cịn số hiệu nào khác nên ta chọn dầm
7

thép có số hiệu 20a.
Xác định vị trí đƣờng trung hồ. Tra bảng với I(20a) ta có Ix=2030cm4;
Iy=155cm4’. Do đó tại mặt cắt ngàm, phƣơng của đƣờng trung hoà là :

tg  

I x M y max
I y M x max



2030  2400
 2,58
155 12160

Hay:   68050
1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN)
1.3.1. Khái niệm
Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc Nz,
mô men uốn Mx, My hoặc lực dọc và một trong hai mơ men uốn này (hình vẽ 1.7).

Hình 1.7: Thanh chịu uốn đồng thời kéo

Hình 1.8: Ống khói và cột cầu treo chịu uốn đồng thời nén
Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lƣợng cột gây nén cịn tải trọng gió q gây uốn
(hình 1.8a). Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo khơng vng góc với
trục thanh thì lúc đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F1 gây
uốn, thành phần F2 gây nén (hình 1.8b).
1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

8


Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đƣợc xác định theo công thức:
z 

hoặc

M
Nz M x

y y x
A
Ix
Iy

z 

Nz
A

(1.16)


My 
M
x
1  x2 y 
N z iy2 

 N z ix

(1.17)

Trong đó:
A - diện tích MCN;
ix, iy - bán kính qn tính chính:
ix 

Ix
;
A

iy 

Iy
A

Ix, Iy- mơmen qn tính chính trung tâm của MCN;
x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất.
Cơng thức kỹ thuật có dạng:
z  

Nz
A



Mx
Ix

y

My
Iy

x

(1.18)

Trong công thức trên các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc
“-” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn Mx, My gây
ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.
1.3.3. Vị trí đƣờng trung hồ
Từ phƣơng trình (1.18) ta có phƣơng trình đƣờng trung hồ là:

hay:

M
Nz M x

y y x0
A
Ix
Iy

(1.19)

My
Mx

y

x0
N z ix2
N z iy2

(1.20)

1

Đƣờng trung hoà trong trƣờng hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một
đƣờng thẳng không đi qua trọng tâm của MCN nhƣ trong uốn xiên.
1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN

Hình 1.9: Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên MCN
thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén)
9


Tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng, nên ứng suất pháp
phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Biểu đồ phân bố ứng
suất đƣợc vẽ nhƣ hình 1.9.
1.3.5. Điều kiện bền
Điểm nguy hiểm là các điểm ở chu vi, xa đƣờng trung hồ nhất về phía kéo
hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy
điều kiện bền là :
- Đối với vật liệu dẻo: 

max

  

- Đối với vật liệu giịn: 

max

  k ;

(1.21)


min

  n

(1.22)

trong đó:
 max  

Nz

Nz



 min  

A

A

Mx



y

Ix

Mx
Ix

y

My
Iy

My
Iy

x

(1.23)

(1.24)

x

xk, yk : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đƣờng trung hoà nhất.

xn, yn : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đƣờng trung hồ nhất.
 Nếu MCN của thanh có dạng nhƣ trên hình 1.9 thì lí luận tƣơng tự nhƣ trong
uốn xiên ta có:
 max 

Nz

 min  

A



Nz
A

Mx
Wx




Mx
Wx

My

(1.25)

Wy



My

(1.26)

Wy

1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang
Trong các cơng trình xây dựng ta thƣờng gặp những vật liệu chịu nén tốt nhƣng
chịu kéo kém nhƣ gạch, đá, bê tơng.v.v... có khi hầu nhƣ vật liệu không chịu đƣợc kéo,
nhƣ chỗ tiếp giáp giữa móng và nền đất. Vì vậy trong q trình thiết kế những bộ phận
cơng trình chịu nén lệch tâm, ta phải tìm vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt
chỉ xuất hiện ứng suất nén, nghĩa là sao cho đƣờng trung hồ khơng cắt qua mặt cắt
ngang. Nhƣ vậy điểm đặt lực K phải nằm trong một miền nhất định bao quanh trọng
tâm của mặt cắt. Miền diện tích ấy đƣợc gọi là lõi của mặt cắt ngang. Vậy lõi của mặt
cắt ngang đƣợc xác định nhƣ sau:
- Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
- Vẽ các đƣờng trung hoà tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang.
Vị trí các đƣờng trung hồ này đƣợc xác định bởi toạ độ ai, bi tƣơng ứng. Với
mỗi một đƣờng ta xác định đƣợc một điểm Ki(xi, yi) tƣơng ứng theo công thức:

10


xki  

iy2
ai

; yki  

ix2
bi

(1.27)

Nối các điểm đặt Ki ta đƣợc chu vi của lõi (hình 1.10).

Hình 1.10: Chu vi của lõi mặt cắt ngang
Hình dáng và kích thƣớc của lõi chỉ phụ thuộc vào hình dáng và kích thƣớc mặt
cắt ngang nó khơng phụ thuộc vào trị số nội lực đặt trên mặt cắt, do đó lõi có thể xem
là một đặc trƣng hình học của mặt cắt ngang.
Ta xét lõi của một số mặt cắt ngang thƣờng gặp :
1) Hình chữ nhật
Do tính chất đối xứng của mặt cắt nên lõi cũng có tính đối xứng. Khi đƣờng
trung hoà tiếp xúc với AB:
a1 =  ; b1 = -h/2.
Toạ độ điểm K1 (điểm 1) là:
xk 1  

iy2
a



iy2


 0; yk 1  

ix2
h2
h


b 12. h 6
2

Tƣơng tự cho đƣờng trung hồ tiếp xúc với AD ta có a2  d / 2, b2  , nên
xk 2  d / 6, yk 2  0. Lần lƣợt cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với DC và CB ta xác định

đƣợc điểm 1' và 2'. Nối 1, 2, 1', 2' ta đƣợc lõi của mặt cắt ngang là hình thoi (hình
1.11).

11


Hình 1.11: Lõi mặt cắt hình chữ nhật
2) Hình vành khăn
Lõi của hình vành khăn cũng là hình trịn (hình 1.12a) có bán kính
r'

R
r
1   2  , với   .

4
R

Trƣờng hợp mặt cắt ngang là hình trịn đặc (hình 1.12b) thì bán kính của
lõi r ' 

R
.
4

Hình 1.12: Lõi mặt cắt hình vành khăn
Ví dụ 1.3
Cho một thanh chịu lực nhƣ hình 1.13a. Tìm giá trị ứng suất max và min, vị trí
đƣờng trung hồ và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm.
Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm.

12


Hình 1.13: Hình ví dụ 1.3
Bài giải:
Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngàm. Vị trí đƣờng trung hồ và biểu đồ ứng suất
pháp đƣợc vẽ trên hình 1.13b.
Lực dọc:
N z   P0  P1    240  160   400(kN ) .

Mômen uốn:
Mx 

Ph
ql 2
2  4 104
1


 160  8 
 1680  kNcm 
2
2
100  2
Pb
Pl
1
 2  160  6  4 102  1360  kNcm 
2
2

My 

Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và bé nhất theo (1.25), (1.26) là:
 max  

Nz

 min  

Nz

A

A



Mx



Mx

Wx

Wx




My
Wy
My
Wy

 4, 75  kNcm 
 8,91 kNcm 

Vị trí đƣờng trung hồ: đƣờng trung hồ cắt trục x và trục y tại các điểm:
x0  

trong đó: ix2 

N z i y2
My

;

y0  

N z ix2
Mx

h2
b2
 21,3  cm2  ; ix2   12  cm2 
12
12

Nz  0 ; M x  0 ; M y  0 .

Khi thay bằng số ta đƣợc: x0 = 3,53 cm; y0 = 5,07 cm
1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM
1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện

13


Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song nhƣ không
trùng với trục thanh. Đây là trƣờng hợp chịu lực thƣờng gặp ở những cột, thanh chịu
kéo nén vì hầu nhƣ ta khơng thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện.

z
F

M x =F.yC
x

z
N=F
M y =F.xC
x

C
y

y

Hình 1.14: Kéo lệch tâm và các nội lực tương ứng
Nếu trên tiết diện có lực F đặt lệch tâm tại điểm C(xC, yC) nhƣ trên hình 1.14,
bằng cách chuyển lực về trọng tâm tiết diện ta nhận đƣợc:
Lực dọc:
Nz = F
(1.28)
Các mô men uốn:
Mx = F.yC
(1.29)
My = F.xC
(1.30)
Trong các biểu thức trên, F > 0 khi là lực kéo, xC, yC lấy dấu theo hệ toạ độ đã
chọn.
Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tƣơng ứng Ci (xCi, yCi),
thì giá trị lực F và điểm đặt C đƣợc tính theo kết quả của hợp lực
F   Fi

xC 

(1.31)

 Fi xC
 Fi

yC 

 Fi yC
 Fi

(1.32)

Với các ứng lực theo (1.28),(1.29) ứng suất pháp trên tiết diện sẽ là:


M
Fx
N Mx
F Fy

y y x  C  C y
A Ix
Iy
A Ix
Iy



Suy ra:

(1.33)

F  yC y xC x 
1  2  2 
A 
rx
ry 

Trong đó rx, ry là các bán kính qn tính của tiết diện:

rx 

I
Ix
; ry  y
A
A

* Với tiết diện hình chữ nhật b  h:

rx 

Ix
bh3
h


A
12bh
12

; ry 

Iy
hb3
b


A
12bh
12

* Với tiết diện hình trịn rỗng có đƣờng kính ngồi D và đƣờng kính trong d:

14


 D 1   
I
D
rx  x 

1  2
2
2
A
64 D 1    4
4

Trong đó ký hiệu:

4

d
D



Bán kính qn tính của tiết diện các thép hình đƣợc tìm ở bảng tra theo số
hiệu thép.
Qua biểu thức tính ứng suất (1.33), ta có những nhận xét sau:
+ Bài tốn kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trƣờng hợp kéo (nén) đúng tâm
và uốn đồng thời và ngƣợc lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có
thể tính theo bài tốn kéo (nén) lệch tâm. Trong trƣờng hợp sau, lực và điểm đặt sẽ
đƣợc tính theo cơng thức:
F  N ; xC 

My
N

; yC 

Mx
N

(1.34)

+ Định luật tác dụng tƣơng hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm
C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra.
+ Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra khơng phụ

thuộc vào vị trí điểm đặt lực và ln bằng N/A.
1.4.2. Đƣờng trung hồ khi kéo (nén) lệch tâm
Phƣơng trình đƣờng trung hồ tìm theo điều kiện  = 0; từ (1.33), ta có:

1

yC y xC x
 2 0
rx2
ry

ry2
Nếu đặt: a  
xC

b

rx2

( 1.35)

yC

Phƣơng trình đƣờng trung hồ sẽ có dạng:

x y
 1
a b

(1.36)

Hai thơng số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đƣờng trung hoà
với trục hoành và với trục tung nhƣ chỉ trên hình 1.15

C

b

x

a
y
Hình 1.15: Vị trí đường trung hồ và điểm đặt lực C
Từ biểu thức (1.35) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngồi những tính chất
chung, đƣờng trung hồ khi kéo (nén) lệch tâm cịn có đặc điểm riêng sau:
15


1- Đƣờng trung hồ khơng phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào
vị trí đặt tải trọng, đƣờng trng hồ và điểm đặt lực ln ln nằm trong góc phần tƣ
đối đỉnh của hệ trục toạ độ.
2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đƣờng trung hoà nằm song song trục y và
ngƣợc lại.
3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đƣờng thẳng thì đƣờng trung hồ sẽ xoay
quanh một điểm trên tiết diện.
Ví dụ 1.4
Một cột mặt cắt hình vng bị nén lệch tâm trên
trục y. Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng
không.
Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và

ứng suất lớn nhất trên cột.
Bài giải:
Ta có: PD  PO và Mx = -P.yD
Khi đó:
A  

B  

(1)

P P. yD

. yB  0 ( N / cm 2 )
F
Ix

(2)

yD 

Từ (2) 
P

Từ (1) 

P P. yD

 200 ( N / cm 2 )
F
Wx

Hình 1.16

 Ix
404
40
 2

(cm)
F . yB 40 .10.12 3

F .Wx . A
402.403.200

 32.104 ( N )
yD .F  Wx
 40 2 403 

6 .40 
3
6



Ứng suất nén lớn nhất ở cột:
 min

P P. yD
32.104 32.104.40 / 3
 C   



 600 ( N / cm 2 )
3
2
40
F
Wx
40
6

Ví dụ 1.5
Một dụng cụ kẹp có dạng nhƣ hình vẽ 1.13. Cho: h=15mm, b=5mm, e=50mm.
Tính mơ men của ngẫu lực có thể đặt vào tay vặn để cho ứng suất lớn nhất ở thân giá
không vƣợt quá ứng suất cho phép.
Cho []=160MN/m2. Bƣớc của răng ốc vít  = 1mm. Giả thiết bỏ qua các ảnh
hƣởng ma sát.
Bài giải:

16


Hình 1.13.
Quan hệ giữa mơ men ngẫu lực đặt vào tay vặn và lực nén tác dụng vào chi tiết:
2
N
M

Ứng suất ở thân chi tiết:
 max 

N  6e  2 M
1   
bh 
h  bh

M

Hay:

 6e 
1     
h


  bh
 6e 
2 1  
h 


Thay giá trị:
M

1600.0,1.0,5.1,5
 9,1Ncm
 6.5 
2.3,14 1 

 1,5 

1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI
Thanh chịu uốn đồng thời xoắn là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang
của nó chỉ có các thành phần nội lực là mô men uốn M x , M y và mơ men xoắn M z .

Hình 1.18: Thanh mặt cắt ngang tròn chịu uốn đồng thời xoắn
Bài tốn này thƣờng gặp trong các chi tiết máy. Ví dụ nhƣ một trục truyền lực
17


không phải chỉ chịu tác dụng mô men xoắn mà cịn chịu tác dụng của mơ men uốn do
trọng lƣợng bản thân trục và trọng lƣợng của các chi tiết lắp trên trục.
1.5.1. Thanh có mặt cắt trịn
Hợp hai mơ men uốn Mx và My ta đƣợc mô men uốn Mu:
M u  M x2  M y2

Mô men uốn Mu cũng nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm nên hai
điểm có ứng suất pháp  max ,  min là giao điểm của mặt phẳng tải trọng với chu vi mặt cắt
ngang (hình 1.18). Trị số của các ứng suất này:


A
max



B
min



Mu
Wu

M x2  M y2



(1.36)

Wu

trong đó Wu là mô men chống uốn của mặt cắt ngang đối với trục trung hồ u. Vì
mặt cắt ngang là hình tròn nên:
Wu  Wx  Wy

Ứng suất tiếp lớn nhất do mô men xoắn gây ra ở các điểm thuộc chu vi của mặt
cắt. Nó đƣợc tính theo cơng thức:
 max 

Mz
Wp

(1.37)

Vậy tại các điểm A và B ngoài ứng suất pháp cực trị cịn có ứng suất tiếp lớn
nhất. Do đó, trạng thái ứng suất tại các điểm này là trạng thái ứng suất phẳng (hình
1.19). Điều kiện bền của các phân tố đó đƣợc viết theo các thuyết bền nhƣ sau:
 min

 max

 max

 max

B
Hình 1.19
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
 td   2  4 2   

Thay (1.36) và (1.37) vào ta có:
M u2
M z2
 td 
 4 2   
Wx2
Wp

Vì mặt cắt ngang là hình trịn nên Wp  2Wu  2Wx nên:

18

A


 td 

1
Wx

M x2  M y2  M z2   

(1.38)

Hay viết gọn lại:
 td 

Trong đó:

M td
  
Wx

(1.39)

M td  M x2  M y2  M z2

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất:
 td   2  3 2   

Thay (1.36) và (1.37) vào ta có:
 td 

1
Wx

3
M x2  M y2  M z2   
4

(1.40)

Hay viết gọn lại:
 td 

Trong đó:

M td
  
Wx

(1.41)

3
M td  M x2  M y2  M z2
4

Nếu vật liệu giịn, ta sử dụng thuyết bền Mo. Khi đó điều kiện bền là:
1
1 
 td 

 2  4 2   
2

2

Thay (1.36) và (1.37) vào ta có:
 td 

Trong đó:

1 1  
1 

M x2  M y2 
M x2  M y2  M z2    

Wx  2
2




 0k
 0n

 0k ,  0n là ứng suất nguy hiểm khi kéo và ứng suất nguy hiểm khi nén.

1.5.2. Thanh có mặt cắt hình chữ nhật
Giả sử tại mặt cắt ngang nguy hiểm có các thành phần nội lực M x , M y , M z biểu
diễn nhƣ hình 1.20.

19


Hình 1.20: Thanh mặt cắt ngang chữ nhật chịu uốn đồng thời xoắn
Trong trƣờng hợp đang xét thì ứng suất cực trị đạt đƣợc tại các điểm góc B, D
của mặt cắt:

B
 max


Mx
Wx

D
 max


My



Mx

Wy


Wx

My
Wy

Mô men xoắn sinh ra ứng suất tiếp:
A
 max


MZ
MZ

Wxoan  hb 2

1   max  

Mz
Wxoan

Vì trị số ứng suất ở các điểm A, B, C là khác nhau nên khó có thể xác định đƣợc điểm
nào nguy hiểm hơn. Do đó, ngƣời ta thƣờng kiểm tra bền cho cả ba phân tố ở ba điểm đó.
Trạng thái ứng suất của các điểm đƣợc biểu diễn nhƣ hình 1.21.
- Đối với phân tố ở điểm B: phân tố ở trạng thái ứng suất đơn
 max 

Mx
Wx



My
Wy

  

Chú ý với vật liệu giịn thì ta phải kiểm tra phân tố ở điểm D với điều kiện:
 min   n

- Đối với điểm A: phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
M
    4   y
 Wy

A
td

2

2

2


 Mz 
  4 

 Wxoan 


Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:

20

2


M
 tdA   2  3 2   y

 Wy


2


 Mz 
  3 

 Wxoan 


2

- Đối với điểm C: phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
M
    4   y
 Wy

C
td

2

2

2



 Mz 
  4  

 Wxoan 


2

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:
M
    3   y
 Wy

C
td

2

2

2


 Mz 
  3  

 Wxoan 


2

Hình 1.21: Trạng thái ứng suất tại các điểm A,B,C

Ví dụ 1.6
Một trục truyền bằng thép chịu lực nhƣ trên hình 1.22.
Trọng lƣợng Puli G = 3kN, cơng suất và số vịng quay của môtơ là: W = 50kW,
n = 500vg/ph.
Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng biết

  12kN / cm

2

.

Bài giải:
Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn trên hình 1.22a, trong đó:
 n 3,14  500


 52, 4  rad / s 
30

M

W



30

 0,955 103  Nm   95,5  kNcm 

Lực căng dây đai xác định theo điều kiện cân bằng của mômen xoắn:

21