Phương pháp lương giác hoá

PHệễNG PHAP LệễẽNG GIAC HOA
GIAI CAC BAỉI TOAN


C s ca phng phỏp lng giỏc gii cỏc bi toỏn i s:
1)Da vo cụng thc lng giỏc :T cụng thc quen thuc
1cossin
22
=+

,suy ra nu
tn ti 2 s a,b tho món iu kin
1
22
=+
ba
thỡ tn ti s

vi
[ ]

2;0

sao cho
ba
==

sin,cos
2)Da vo phng trỡnh lng giỏc c bn:T cỏch gii phng trỡnh lng giỏc c bn
,suy ra :
+Nu s a tho món iu kin

1

a
thỡ tn ti cỏc s

,
tng ng duy nht ,vi
[ ]







2
;
2
;2;0


,sao cho
,sin= =osc a b

Cỏc cụng thc liờn quan :
;...
2
sin2cos1;
2
cos2cos1

22




==+
+Vi mi s thc a,tn ti duy nht

vi







2
;
2


sao cho
atg
=


Khi s dng cỏc phng trỡnh ny ,thng dựng cỏc kt qu sau:

Zkktgtgtgtgtgtg
=++=++

,..


Zkktgtgtgtgtgtg
=++=++
,
2
1...




Zkkgggggg
+=++=++
,
2
cot.cot.cotcotcotcot




Bi toỏn 1: cho
0;1;1
2222
=+=+=+
yvxuvuyx
CMR :
0;1;1
2222
=+=+=+

uvxyvyux

Gii:
t
)20(,sin;cos

==
aayax
v
)20(,sin;cos

==
bbvbu
T gi thit :
0)cos(sinsincoscos0
==+=+
bababayvxu
(*)
a)ta cú :
( ) ( )
1)cos()cos(1
)2cos2(cos
2
1
12cos1
2
1
2cos1
2
1

coscos
2222
=++=
++=+++=+=+
baba
bababaux
theo (*) v phi ng thc cui cựng bng 1 (pcm)
b)
1)cos()cos(1)2cos1(
2
1
)2cos1(
2
1
sinsin
2222
=+=+=+=+
babababavy
c)Tng t,ta cú :
0)cos()sin()2sin2(sin
2
1
sincossincos
=−+=+=+=+
babababbaauvxy

Bài toán 2:Cho
0;1
≠=++
xyzzxyzxy

.Chứng minh :
4
111111
=






−






−+






−









−+








−






−
x
x
z
z
z
z
y
y
y
y

x
x

Giải:
Đặt






<<−===
2
,,
2
;;;
ππ
cbatgcztgbytgax
Khi đó
ag
tga
atg
tga
tga
x
x 2cot2
1
11
2
−=

−
=−=−
Tương tự ,ta có :
cg
z
zbg
y
y 2cot2
1
;2cot2
1
−=−−=−
Bài toán đã cho tương đương vơi chứng minh đẳng thức :
12cot2cot2cot2cot2cot2cot
=++
agcgcgbgbgag
(*)
Từ giả thiết :
gcgbgagcgbgakcba
kcbacagtgb
tgbtga
tgatgc
tgb
tgatgctgctgatgbtgctgatgbtgctgatgbzxyzxy
cot.cot.cotcotcotcot2222
2
)(cot
1
1)(11
=++⇔+=++⇔

+=++⇔+=⇔
+
−
=⇔
−=+⇔=++⇔=++
ππ
π
π



Bài toán 3: Cho 3 số x,y,z thoả mãn điều kiện
( )
1;0,,;1
∈=++
zyxzxyzxy
Chứng minh :
2
33
111
222
≥
−
+
−
+
−
z
z
y

y
x
x

Giải:
Vì
( )
1;0,,
∈
zyx
nên ta có thể chọn (một cách duy nhất)
cba ,,
sao cho
ztgcytgbxtga
===
;;
với






∈
4
;0,,
π
cba
Khi đó từ
Zkkcbatgctgatgbtgctgatgbzxyzxy

∈+=++⇔=++⇒=++
,
2
11
π
π
Nên
Zkkcba
∈+=++
,)2(222
ππ
Mặt khác ta có :
cbtgatgtgctgbtgatg 222222
=++
(1)
vì






∈
4
;0,,
π
cba
nên
02,2,2
2

;02,2,2
>⇒






∈
ctgbtgatgcba
π
Do đó nếu đặt
ctgbtgatgm 222
++=
thì
0
>
m
(2)
Theo (1) ta có tan2a.tan2b.tan2c = m
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương tan2a, tan2b, tan2c có :
2
3 3
tan 2 tan 2 tan 2 3 tan 2 .tan 2 tan 2 3 327 3a b c a b c m m m m+ + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
Hay
tan 2 tan 2 tan 2 3 3a b c+ + ≥
2
33
111
33

1
2
1
2
1
2
33222
222222
≥
−
+
−
+
−
⇒≥
−
+
−
+
−
⇒≥++
z
z
y
y
x
x
z
z
y

y
x
x
ctgbtgatg
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
3
x y z= = =


Bài toán 4:Giải phương trình :
xxx 2)11)(11(
=+−−+
(1)

Giải:
Điều kiện :
11
≤≤−
x
Ta thấy rằng :
1
2
1
2
1
22
=









−
+








+ xx

Do đó ta đặt






≤≤=
−
=
+
2

0,sin
2
1
;cos
2
1
π
tt
x
t
x

Từ đó :
1cos2;sin21;cos21
2
−==−=+
txtxtx




=−−
=
⇔
=−−−⇔
−=+−⇔
01cos22sin2
1cos2
0)1cos22sin2)(1cos2(
)1cos2(2)1sin2)(1cos2((1)

2
tt
t
ttt
ttt
•
0
2
2
cos1cos2
=⇒=⇒=
xtt
•
1cos22sin201cos22sin2
+=⇔=−−
tttt

(Do
0cos,sin;
2
0
≥≤≤
ttt
π
)

10
2
cos01cos24cos10
cos24cos81)cos1(2

2
22
=⇒=−+⇔
++=−⇔
ttt
ttt

(Loại nghiệm
2
2
cos
−=
t
)
25
24
−=⇒ x
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm
25
24
&0
−==
xx