Rèn luyện phương pháp giải các bài toán về tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài

RÈN LUYỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG
HỌC PHỔ THƠNG.

Giáo viên hướng dẫn :

TS. LÊ VĂN DŨNG

Họ và tên sinh viên

:

LÊ THỊ MINH LINH

Lớp

:

14ST

Năm học 2017-2018

GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
LỜI CẢM ƠN

Trong q trình nghiên cứu và hồn thành khóa luận, chúng tôi xin chân thành cảm
ơn sự giúp đỡ của các thầy cơ giáo trong khoa Tốn đặc biệt là thầy giáo – T.S Lê
Văn Dũng đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tơi trong q trình làm khóa luận.
Trong q trình hồn thành khóa luận, do thời gian và kinh nghiệm hạn chế nên khóa
luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cơ giáo và các bạn sinh viên ở khóa luận được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Đà Năng, ngày

, tháng , năm 2018

Sinh viên

Lê Thị Minh Linh


SV LÊ THỊ MINH LINH

GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

DANH MỤC KÍ HIỆU CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Chữ đầy đủ

THPT

Trung học phổ thơng

HĐH

Hiện đại hóa

CNH

Cơng nghiệp hóa

CĐ

Cao đẳng

ĐH

Đại học

NXB

Nhà xuất bản

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

SGK

Sách giáo khoa

PPDH

Phương pháp dạy học
Tập hợp số tự nhiên

*

Tập hợp số tự nhiên khác không


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
I.

Lý do chọn đề tài: ...................................................................................................1

II.

Mục đích nghiên cứu ...........................................................................................2

1. Mục đích nghiên cứu: ................................................................................................ 2
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................................2
III.

Phương pháp nghiên cứu: ..................................................................................2

IV.

Cấu trúc đề tài .....................................................................................................2

Chương I .........................................................................................................................3
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...........................................................................3
1. Vị trí chức năng của bài tập toán học ...................................................................3
2. Nội dung chính của chương tổ hợp xác suất ở THPT (lớp 11) ...........................3
2.1.
2.1.1.

Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp: .................................................................4
Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng. Nế u mô ̣t công viêc̣ nào nó có thể thực hiêṇ

theo n phương án khác nhau, trong đó: Phương án thứ 1 có m1 cách thực hiên.
̣ ...4
2.1.2.

Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp...........................................................................6

2.1.3.

Công thức nhị thức newton:............................................................................7

2.2.

Kiến thức cần nhớ về xác suất............................................................................7

2.2.1.

Biến cố và phép thử..........................................................................................7

2.2.2.

Phép toán trên biến cố .....................................................................................8

2.2.3.

Định nghĩa cổ điển của xác suất......................................................................8

2.2.4.

Tính chất của xác suất .....................................................................................8

Chương II .....................................................................................................................10
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ......................................10
1. Một số dạng bài tập tổ hợp trong chương trình THPT ....................................10
1.1.

Dạng1: Đếm số phần tử của tập hợp .............................................................. 10

1.2.

Dạng 2: Bài toán xếp cách phần tử và bài toán chọn các phần tử ................12

1.3.

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình..................18

1.4.

Chứng minh một đẳng thức và bất đẳng thức................................................21

1.5.

Dạng 5: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton .................22


SV LÊ THỊ MINH LINH
1.6.

GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

Dạng 6: Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp hoặc tính tổng bằng cách

sử dụng nhị thức Newton ............................................................................................ 25
2. Một số dạng bài tập xác suất ..................................................................................26
2.1. Dạng 1: Các bài tốn tính xác suất đơn giản .....................................................26
2.2. Dạng 2: Biến cố đối ............................................................................................... 31
2.3.

Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ............................ 33

KẾT LUẬN ..................................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................42


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

MỞ ĐẦU
I.

Lý do chọn đề tài:

Đất nước ta đang bước vào giai đoạn CNH - HĐH với mục tiêu đến năm 2020 Việt
Nam sẽ từ một đất nước nông nghiệp về cơ bản chuyển thành nước công nghiệp, hội
nhập với cộng đồng quốc tế. Nhân tố quyết định của công cuộc CNH - HĐH và hội
nhập quốc tế là con người, là nguồn lực người Việt Nam được phát triển về số lượng
và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao.
“Giải tích tổ hợp xác suất” là một phần của “đại số và giải tích” lớp 11 và có trong
cấu trúc các đề thi tốn và CĐ và ĐH, là một mảng tốn khó. Bài tốn về giải tích tổ
hợp xác suất rất đa dạng và phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương
trình tốn THPT. Mặc dù tơi đã đưa ra các phương pháp giải tổng quát cho một số
dạng toán cụ thể song cịn nhiều bài tốn giải tích tổ hợp xác xuất chúng ta chưa có
cách giải cụ thể.
Để hiểu rõ lý thuyết cần phải tìm hiểu và làm nhiều bài tập, học sinh muốn nắm vững
nội dung bài học thì phải dạy cho học sinh cách học, cách làm bài tập một cách hệ
thống có phương pháp giải cụ thể cho từng dạng từ đó học sinh có thể tự mình làm
được các bài tập. Hệ thống các bài tập trong SGK, sách bài tập được chọn lọc cận
thận và đóng vai trị quan trọng trong việc củng cố lý thuyết, song để đáp ứng yêu cầu
nâng cao, mở rộng đào sâu kiến thức thì hệ thống bài tập đó chưa đủ và chưa phân

dạng được các dạng bài tập. Như vậy học sinh khó nắm bắt hệ thống bài tập, khi gặp
các dạng bài tập tổ hợp – xác suất khác với các bài tập học sinh đã quen giải, học sinh
gặp nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải, phân biệt khi nào dùng “tổ hợp”, “chỉnh
hợp”, …. Vì vậy việc nghiên cứu tìm tịi hệ thống các phương pháp giải toán tổ hợp,
xác suất là cần thiết và hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm tốn và giáo viên các
trường THPT.
Với lí do trên, tơi chọn và nghiên cứu đề tài “Rèn luyện phương pháp giải các bài
toán về tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thơng” nhằm cung cấp
thêm cho học sinh một số phương pháp để giải các bài tốn tổ hợp, xác suất từ đó
nâng cao khả năng giải toán, khả năng tư duy và hứng thứ học tập cho học sinh.

1


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
II.

Mục đích nghiên cứu

1. Mục đích nghiên cứu:
Cung cấp hệ thống một số phương pháp bài toán về tổ hợp – xác suất từ đó giúp cho
học sinh hạn chế được những khó khăn khi giải những bài tốn tổ hợp – xác suất có
dạng đặc biệt, đồng thời giúp các em hình thành tư duy tốn học trong q trình làm
các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Giới thiệu cho học sinh có cách nhìn nhận chính xác về một số bài tốn tổ hợp xác
suất trong chương trình tốn THPT.
Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một số dạng toán tổ hợp xác suất cụ thể

phức tạp hơn những dạng thông thường.
III.

Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lí luận.
IV.

Cấu trúc đề tài

- MỞ ĐẦU
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương II: Một số phương pháp giải toán tổ hợp và xác suất.
- KẾT LUẬN
- Tài liệu tham khảo

2


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
Chương I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc những con người lao động tự chủ,
sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp qua đó góp phần tích cực
thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân
chủ, văn minh.
Về phương pháp giáo dục: phải khuyến khích tự học, phải ứng dụng những phương

pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy, sáng tạo,
năng lực giải quyết vấn đề.
Định hướng chung về đổi mới PPDH là phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
sáng tạo, tự học, kĩ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp đặc điểm của từng lớp học,
môn học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo hứng thú cho học sinh, tận
dụng được công nghệ mới nhất; khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều các kiễn thức
có sẵn.
1.

Vị trí chức năng của bài tập tốn học

Bài tập có vai trị quan trọng trong bộ mơn tốn và điều căn bản là mang lại hoạt động
cho học sinh. Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động
nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí…. Những hoạt động
tốn học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học, những hoạt động
trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết
với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
Bài tập toán ở THPT giúp HS củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo; phát triển kỹ năng trí
tuệ... Những bài tập tốn học giúp hồn chỉnh, bổ sung những tri thức được trình bày
trong phần lý thuyết. Đồng thời góp phần tổ chức cho học sinh tự giác, tích cực, chủ
động sáng tạo.
2.

Nội dung chính của chương tổ hợp xác suất ở THPT (lớp 11)

Trong chương trình mơn tốn ở trường THPT, kiến thức tổ hợp – xác xuất được tìm
hiểu ở chương trình tốn lớp 11 và nội dung kiến thức bao gồm các vấn đề sau:
- Những khái niệm ban đầu về đại số tổ hợp – xác suất.
- Các quy tắc đếm.
- Các khái niệm và tính chất của hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

3


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
- Nhị thức newtơn và các dạng toán liên quan.

- Các khái niệm quan trọng ban đầu của xác suất: Phép thử, kết quả của phép thử và
không gian mẫu.
- Khái niệm của xác suất của biến cố và biết cách tính xác suất của biến cố
Theo Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo phần tổ hợp và xác suất
được dạy trong 5 bài cụ thể như sau:
- Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết)
- Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết)
- Bài 3: Nhị thức Newtơn (1 tiết)
- Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết)
- Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết)
Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp xác suất
2.1. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp:
2.1.1. Quy tắc đếm
a) Quy tắc cộng.
Nế u mô ̣t công viê ̣c nào nó có thể thực hiê ̣n theo n phương án khác nhau, trong đó:
Phương án thứ 1 có m1 cách thực hiê ̣n.
Phương án thứ 2 có m2 cách thực hiê ̣n.
………..
Phương án thứ n có mn cách thực hiê ̣n.
Khi đó, có: m1  m2  ...  mn cách để hoàn thành cơng viê ̣c đã cho.
Ví dụ: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh

sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con
người và 6 đề tài về văn hóa. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng chọn bao nhiêu
đề tài?
Phân tích: Có 4 phương án chọn đề tài.
PA1 có 8 cách chọn đề tài lịch sử.
PA2 có 7 cách chọn đề tài thiên nhiên,
PA3 có 10 cách chọn đề tài về con người.
PA4 có 6 cách chọn đề tài văn hóa.

4


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

Lời giải: Số cách chọn đề tài sẽ tuân theo quy tắc cộng là 8+7+10+6=31 cách
b) Quy tắc nhân:
Nế u mô ̣t công viê ̣c nào đó phải hoàn thành qua n giai đoa ̣n liên tiế p, trong đó:
Giai đoạn thứ 1 có m1 cách thực hiê ̣n
Giai đoạn thứ 2 có m2 cách thực hiê ̣n
………..
Giai đoạn thứ n có mn cách thực hiê ̣n
Khi đó, có: m1.m2 ...mn cách để hoàn thành cơng viê ̣c đã cho.
Ví dụ: An đến nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình
có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao
nhiêu cách chọn đường đi từ nhà đến nhà Cường
Phân tích: Có 2 giai đoạn.
Giai đoạn 1: Chọn đường để đi từ nhà An đến nhà Bình, có 4 cách chọn.
Giai đoạn 2: Chọn đường để đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn.

Ta thấy 2 giai đoạn này là 2 công việc liên tiếp nhau, nên số cách chọn sẽ tuân thủ
theo quy tắc nhân:
Lời giải: Số cách chọn đường đi từ nhà đến nhà Cường sẽ tuân thủ theo quy tắc nhân
4.6 =24
Nhâ ̣n xét:
Từ đinh
̣ nghiã của quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân trên, ta thấ y rằ ng:
+ Nế u bỏ 1 giai đoa ̣n nào đó mà ta không thể hoàn thành đươ ̣c công viê ̣c (không có
kế t quả) thì lúc đó ta cầ n phải sử du ̣ng quy tắ c nhân.
+ Nế u bỏ 1 giai đoa ̣n nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành đươ ̣c công viê ̣c (có kế t quả)
thì lúc đó ta sử du ̣ng quy tắ c cô ̣ng.
Như vâ ̣y, với nhâ ̣n xét này ta thấ y rõ đươ ̣c sự khác biê ̣t của 2 quy tắ c và không thể
nhầ m lẫn viê ̣c dùng quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân đươ ̣c. Sau đây là mô ̣t số bài tâ ̣p
củng cố.
+ Khi hai cơng việc có thể được làm đồng thời, ta khơng thể dùng quy tắc cộng để
tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cách thực hiện

5


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng
thời cả hai việc.
Bài tập củng cố
Bài 1: Một hộp đựng 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Một em bé
muốn chọn 1 viên bi để chơi. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn?
Bài 2: Lớp 11A có 30 học sinh. Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó

và một thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 ban cán sự lớp như trên
Bài 3: Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, trong đó có 18 áo màu xanh và 12 áo
màu đỏ, 12 cái quần xanh và 8 cái quần đỏ. Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo
khác màu để người ca sĩ này đi trình diễn?
2.1.2. Hốn vị - chỉnh hợp – tổ hợp
a) Hoán vị:
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ³ 0 ) . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X
theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n
phần tử được ký hiệu là Pn.

Pn = n ! = 1.2...n . Quy ước: 0! = 1.
Ví dụ: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Lời giải:
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hốn vị.
Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.
b) Chỉnh hợp
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ³ 0 ). Mỗi cách chọn ra k (0 £ k £ n )
phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A kn . Công thức:
A kn =

n!
.
(n - k)!

Nhận xét: A nn = n ! = Pn .
Ví dụ: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

6

GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
Lời giải

Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hốn vị là một
chỉnh hợp chập 5 của 7.
Vậy có A 57 =

7!
= 2520 cách sắp.
(7 - 5)!

c) Tổ hợp
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ³ 0 ). Mỗi cách chọn ra k (0 £ k £ n )
phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của
n phần tử được ký hiệu là C kn .
Cơng thức:

C kn =

n!
.
k !(n - k)!

Ví dụ: Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.
Lời giải
Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
4

= 210 cách chọn.
Vậy có C10

2.1.3. Cơng thức nhị thức newton:
n

(a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnnb n   Cnk a n k b k (1)
k 0

Từ công thức (1) ta có:
- Số số hạng là n  1
- Số mũ của a giảm dần đồng thời số mũ của b tăng dần và tổng số mũ của a và b là n.
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau do

C

k
n

 Cnn k  .
n

- Số hạng tổng quát của khai triển là Tk 1   Cnk a nk b k .
k 0

- Từ công thức nếu cho a  b  1 thì 2n  Cn0  Cn1  ...  Cnk  ...  Cnn .
Từ công thức nếu cho a  1, b  1 thì 0  Cn0  Cn1  ...  (1) k Cnk  ...  (1) n Cnn .
2.2. Kiến thức cần nhớ về xác suất
2.2.1. Biến cố và phép thử

7


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nó, mặc
dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó
- Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu
của phép thử và kí hiệu là  .
- Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
- Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C… và cho dưới dạng mệnh đề
xác định.
* Trong một phép thử ln có hai biến cố đặc biệt:
- Tập  được gọi là biến cố không.
- Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.
2.2.2. Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và kết quả của
phép thử là đồng khả năng.
Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A và A xảy ra khi và chỉ
khi A không xảy ra
- Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
- Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B (hay AB).
- Nếu A  B   thì ta nói A và B xung khắc.
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
2.2.3. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Gi ả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng
khả năng xuất hiện.

Ta gọi tỉ số

n( A)
n( A)
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) và P( A) 
.
n ( )
n ( )

2.2.4. Tính chất của xác suất
a)

Tính chất cơ bản:

- P()  1 , P()  0
- 0  P( A)  1 , với mọi biến cố A.
- P( A)  1  P( A)
b)

Quy tắc cộng xác suất
8


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
- Nếu A và B xung khắc thì: P( A  B)  P( A)  P( B)

- Với mọi biến cố A và B bất kì ta có: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)
c) Quy tắc nhân xác suất:

- Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P( A  B)  P( A).P( B)

9


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
Chương II

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
1.

Một số dạng bài tập tổ hợp trong chương trình THPT

1.1. Dạng1: Đếm số phần tử của tập hợp
Phương pháp: Vận dụng các quy tắc đếm cơ bản (cộng, nhân)
Bài 1: Một hộp đựng 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Một em bé
muốn chọn 1 viên bi để chơi. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn?
Phân tích: Vì bi trắng, xanh, đỏ khác nhau nên mỗi lần lấy ra một viên bi bất kì là
một cách chọn.
Lời giải:
Em bé có 3 phương án chọn:
Phương án 1: Chọn một viên bi trắng có 12 cách
Phương án 2: Chọn một viên bi xanh có 10 cách
Phương án 3: Chọn một viên bi đỏ có 8 cách
Vậy học sinh có 12 10  8  20 cách chọn một viên bi
Bài 2: An đến nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình
có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao
nhiêu cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường phải đi qua nhà Bình?

Phân tích: Để chọn con đường đi từ nhà An đến nhà Cường, An phải thực hiện liên
tiếp 2 hành động: Hành động 1 là chọn 1 con đường để đi từ nhà An đến nhà Binh,
hành động 2 là chọn con đường từ nhà Bình đến nhà Cường, nên áp dụng quy tắc
nhân ta sẽ suy ra được số cách chọn.
Lời giải:
Có 4 cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Bình.
Sau khi chọn đường từ nhà An đến nhà Bình, ta có 6 cách chọn đường đi từ nhà Bình
đến nhà Cường.
Vậy ta có tất cả 4.6  24 cách chọn.
Bài 3: Trong một hộp có 6 bi đỏ, 5 bi trắng và 4 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 3
viên từ hộp này sao cho chúng không đủ 3 màu?

10


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

Phân tích: Thay vì đưa ra các phương án chọn 3 viên cùng màu, chọn 3 viên có 2
màu khác nhau ta chỉ cần tìm số cách chọn 3 viên bi trừ số cách chọn 3 viên bi đủ ba
màu.
Lời giải:
Số cách chọn 1 viên bi là 15.
Sau khi chọn 1 viên bi, chọn 1 viên bi thứ 2 có 14 cách
Sau khi chọn 2 viên bi, chọn 1 viên bi thứ 3 có 13 cách
Số cách chọn 3 viên bi là 15.14.13 cách
Số cách chọn 1 viên bi màu đỏ là 6
Số cách chọn 1 viên bi màu trắng là 5
Sô cách chọn 1 viên bi màu vàng là 4

Số cách chọn 3 viên bi có đủ 3 màu là 6.5.4=120
Số cách chọn 3 viên bi không đủ ba màu là 15.14.13-6.5.4 = 2610
Bài 4: Cho tập hợp A  {1, 2,3, 4,5} . Từ các phần tử A có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên khác nhau bắt đầu bằng chữ số 5.
Phân tích: Để thành lập các số từ các số đã cho ta gọi số cần tìm là x  abcde .
Để thành lập một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ta phải thực hiện năm hành
động lựa chọn liên tiếp các chữ số a, b, c, d, e từ tập A.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là abcde
Do số tự nhiên bắt đàu bằng chữ số 5 nên a có một cách chọn.
Sau khi chọn a xong ta có:

chọn b có 4 cách chọn
Chọn c có 3 cách chọn
Chọn d có 2 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân ta có 1.4.3.2.1=24 cách.
Bài tập củng cố
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 12
Bài 2: Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, trong đó có 18 áo màu xanh và 12 áo
màu đỏ, 12 cái quần xanh và 8 cái quần đỏ. Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo
khác màu để người ca sĩ này đi trình diễn?

11


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

Bài 3: Lớp 11A có 30 học sinh. Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó
và một thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 ban cán sự lớp như trên?
1.2. Dạng 2: Bài toán xếp cách phần tử và bài toán chọn các phần tử
Phương pháp:
- Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Sử dụng, phối hợp kết hợp giữa hoán vị và chỉnh hợp, giữa tổ hợp và hốn vị.
- Có thể sử dụng phương pháp bù trừ để giải bài toán này.
Bài 1: Có bao nhiêu cách xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghê hàng ngang
có 10 chỗ ngồi?
Phân tích:
Vì khơng phân biệt nam nữ nên xếp 10 chỗ ngồi cho 10 em ta sử dụng hoán vị
Lời giải:
Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghê hàng ngang có 10 chỗ là
một hốn vị của 10 phần tử nên có 10! cách
Bài 2: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó
và 1 thư ký. Hỏi có mấy cách chọn một ban đại diện lớp?
Phân tích: Để chọn 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký có nghĩa là chọn 3 học sinh có
thứ tự trong 20 học sinh ta sử dụng chỉnh hợp chập 3 của 20 phần tử.
Lời giải:
4
Số cách chọn một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký là A20 cách.

Bài 3: Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có ba đề kiểm tra khác nhau, cần chọn bốn
học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn?
Phân tích:
Để chọn đề kiểm tra cho mỗi học sinh ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp: Chọn
học sinh và chọn đề:
- Việc chọn 4 học sinh trong 12 học sinh lấy ra làm đề 1 là tổ hợp chập 4 của 12.
- Tương tự chọn 4 trong 8 học sinh còn lại làm đề 2 là tổ hợp chập 4 của 8.
Các học sinh còn lại làm đề 3.

Lời giải:
Đầu tiên chọn 4 học sinh trong 12 học sinh làm đề một có C124 cách.

12


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

Sau đó, chọn 4 trong 8 học sinh còn lại làm đề hai có C84 cách.
Cuối cùng, các học sinh cịn lại làm đề ba có: 1  C44 cách.
Vậy ta có: C124 . C84 =34650 cách.
Bài 4: Ơng X có 11 người bạn. Ông muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong
11 người đó có 2 người khơng muốn gặp nhau. Hỏi ơng X có bao nhiêu phương án
mời 5 người bạn?
Phân tích:
Để tránh nhiều phương án, ta cần chọn ra 5 người trong 11 người.
Chọn 5 người trong đó có cả 2 người khơng muốn gặp nhau.
Sau đó dùng phần bù đề tìm ra số cách mời để 5 người bạn để đi chơi xa.
Lời giải
Số cách chọn 5 người trong 11 người bạn của ông là: C115 cách.
Chọn 5 người có 2 người khơng muốn gặp nhau:
Chọn 2 người không muốn gặp nhau là 1 cách.
Chọn 3 người còn lại là C93 cách.
Vậy số cách chọn 5 người trong đó có 2 người khơng muốn gặp nhau là C93 .
Vậy số cách chọn 5 người để đi chơi xa là C115 - C93  378 cách.
Bài 5: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn
xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

a)

Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với

nhau.
b)

Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.

Lời giải:
a)

Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh có 2 cách xếp:
C1

C2

ABABAB

BABABA

BABABA

ABABAB

Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A có 6! cách sắp xếp các em vào 6 chỗ
ngồi.

13

GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

Tương tự có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ ngồi.
Kết luận có 2.6!.6! = 1036800 cách.
b)

Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường: có 6 cách
chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ 2 của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối
diện với học sinh thứ 2 của trường A: có 5 cách chọn.
* tiếp tục *
Vậy có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1=33177600 cách.
Bài 6: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
a) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt
(chẳng hạn 2; 4; 1; 3; 5)?
Lời giải:
a) Xếp các phiếu số 1; 2; 3; 5 có 4! = 24 cách.
Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy có 2.24=48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.
b) Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải.
Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số cách xếp có 3 số lẻ là 3! cách.
Vậy có 2.6=12 cách xếp nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải.
Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.
* Vậy có 12+12=24 cách.

Bài 7: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn
cơng tác 3 người cần có cả nam và nữ và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
Lời giải:
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
C51.C31.C41  5.3.4  60 .

Số cách chọn 1 nhà toán học nữ và 2 nhà vật lí nam là: C31.C42  18 .
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ và 1 nhà vật lí nam là: C32 .C41  12 .
Vậy có 60+18+12=90 cách chọn.
Bài 8: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử.
14


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
1)

Có bao nhiêu tập hợp con của A?

2)

Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?

Phân tích:
Tập con của A có thể có 0; 1; 2; …; 20 phần tử.
Số cách chọn tập con có 0 phần tử là C200 .
* Tương tự cho đến số tập con có 20 phần tử.
Để tìm số tập con ta áp dụng quy tắc cộng.
Lời giải:

1)

1
2
3
19
20
Số tập con của A là C200  C20
 C20
 C20
...  C20
 C20
 220 .

2)

Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là: T  C202  C204 ....  C2020

Ta có:
0
1
3
19
0  (1  1) 20  C20
 C20
 C202  C20
...  C20
 C2020
1
3

19
 C202  C204 ....  C2020  C20
 C20
....  C20
0
1
19
 C20
 C20
...  C20
 C2020  2(C202  C204 ....  C2020 )

220
 T  C  C ....  C 
 1  219  1
2
2
20

4
20

20
20

Bài 9: Số đường chéo của đa giác lồi 10 cạnh là bao nhiêu?
Phân tích:
Cứ 2 đỉnh của đa giác thì lập thành một đoạn thẳng.
Vì thế, số đường chéo ta lấy số đoạn thẳng tìm được trừ cho số cạnh.
Lời giải

Số đoạn thằng được lập từ 10 đỉnh là C102 .
Số đường chéo là C102  10 .
Bài 10: Cho đa giác đều n đỉnh. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo
Lời giải:
Số đoạn thằng được lập từ n đỉnh là Cn2 .
Số đường chéo là Cn2  n .
Vậy ta có: Cn2  n  135  n  18 .
Bài 11: Cho đa giác đều 2n cạnh ( n  4 ) nội tiếp đường trịn tâm O. Gọi x là số tứ
giác lồi có 4 cạnh là 4 đường chéo của đa giác đã cho và y là số hình chữ nhật có 4

15


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho. Tìm n để: x – y = 3n. (Đường chéo của đa giác là
đoạn thẳng nối hai đỉnh không liên tiếp)
Lời giải:
Gọi các đỉnh của đa giác đều 2n cạnh là: A1; A2 ;....; A2 n . Trước hết ta tìm x
Ta đếm số các tứ giác thoả mãn yêu cầu bài toán có 1 đỉnh là A1
Khi đó A2 ; A2n khơng phải là đỉnh của tứ giác vì A1 A2 ; A1 A2n là các cạnh của đa
giác. Ta cần chọn thêm các đỉnh: Ai ; AJ ; Ak thoả mãn 5  i  2  j  1  k  2n  1 (Vì giữa
2 đỉnh của tứ giác phải có ít nhất 1 đỉnh của đa giác).
Mỗi cách chọn bộ 3 đỉnh trên là 1 cách chọn bộ 3 số phân biệt trong 2n-5 số tự nhiên
từ 5 đến 2n-1.
3
Vậy có C2 n 5 tứ giác có đỉnh A1 thoả mãn u cầu bài tốn.

Vì đa giác có 2n đỉnh và mỗi tứ giác được đếm lặp lại 4 lần theo 4 đỉnh nên số tứ giác
2nC23n 5
2nC23n 5
cần tìm là:
, do đó x=
4
4

Tìm y: do đa giác đều đã cho có 2n đỉnh nên nó có n đường chéo đi qua tâm O
Ta thấy cứ hai đường chéo bất kì qua O lập thành một hình chữ nhật, nên số hình chữ
2
2
nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đã cho là Cn , do đó y = Cn .

2nC23n 5
2
Từ giả thiết ta có phương trình:
- Cn = 3n (1)
4
n (2n  5)!
n!
1 (2n  7)(2n  6)(2n  5) n  1
(1)  .

 3n  .

3
2 (2n  8)!3! (n  2)!2!
2
6

2
 (n  5)(n 2  4n  6)  0  n  5

Vậy n=5 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số
khác nhau trong đó có ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ? Trong các số trên có bao nhiêu
số mà các chữ số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần?
Lời giải:
Có 5 số lẻ và 4 số chẵn từ chín số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3

Suy ra có C5 cách chọn 3 số lẻ từ năm số 1, 3, 5, 7, 9.
3

và có C4 cách chọn 3 số chẵn từ bốn số 2, 4, 6, 8.

16


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

Cứ ba chữ số lẻ ghép với ba chữ số chẵn ta được một tập gồm 6 phần tử.
3

3

Theo quy tắc nhân có C4 .C5 cách chọn các tập hợp mà mỗi tập có 3 số chẵn và 3 số
lẻ từ các số trên.

Ứng với mỗi tập có 6! cách sắp xếp thứ tự các phần tử và mỗi cách sắp xếp thứ tự đó
ta được một số thỏa mãn bài tốn.
3

3

Do đó theo quy tắc nhân có C4 .C5 .6! = 28800 số có 6 chữ số khác nhau gồm 3 chữ số
chẵn và 3 chữ số lẻ từ các số trên.
3

3

* Có C4 .C5 tập hợp gồm ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn. Ứng với mỗi tập có duy
nhất một cách sắp xếp các phần tử theo thứ tự tăng dần.
3

3

Do đó mỗi tập hợp tương ứng với một số. Vậy có C4 .C5 = 40 số thỏa mãn.
Bài 13: Trong mô ̣t giải cờ vua gồ m nam và nữ vâ ̣n đô ̣ng viên. Mỗi vâ ̣n đô ̣ng viên
phải chơi hai ván với mỗi đô ̣ng viên còn la ̣i. Cho biế t có 2 vâ ̣n đô ̣ng viên nữ và cho
biế t số ván các vâ ̣n đô ̣ng viên nam chơi với nhau hơn số ván ho ̣ chơi với hai vâ ̣n đô ̣ng
viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vâ ̣n đô ̣ng viên tham gia giải và số ván tấ t cả các vâ ̣n
đô ̣ng viên đã chơi?
Lời giải:
Go ̣i n là số vâ ̣n đô ̣ng viên nam tham gia ( n  2, n  ).
2

Cho ̣n 2 trong số n VĐV nam để đấ u 2 ván với nhau : 2Cn cách.
Số ván VĐV nam đấ u với VĐV nữ là : 4n.

Theo đề bài, ta có :
2Cn2  4n  66 

 n  11(n)
2n !
 4n  66  (n  1)n  4n  66  
(n  2)!2!
 n  6(l )

Vâ ̣y số VĐV tham gia giải là : 11+2=13 người.
2
Số ván các vâ ̣n đô ̣ng viên chơi với nhau là : 2C11  4.11  2  156 ván.

Bài 14: Có bao nhiêu cách xếp 6 người vào một chiếc bàn trịn?
Phân tích: Hai cách xếp được coi là như nhau khi cách này nhâ ̣n dc từ cách kia bằ ng
cách xoay bàn đi mô ̣t góc.
Lời giải:

17


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

- Xếp người thứ nhất vào bàn: có 1 cách xếp (vì xếp người này ngồi ở ghế nào thì
cũng chỉ có 1 cách).
- Xếp người thứ hai vào bàn: có 5 cách xếp (vì cịn 5 ghế).
- Xếp người thứ ba vào bàn: có 4 cách xếp (vì cịn 4 ghế).
- Xếp người thứ tư vào bàn: có 3 cách xếp (vì cịn 3 ghế).

- Xếp người thứ năm vào bàn: có 2 cách xếp (vì cịn 2 ghế).
- Xếp người thứ sáu vào bàn: có 1 cách xếp (vì cịn 1 ghế cuối cùng).
Vì xếp 6 người vào bàn mới xong nên theo quy tắc nhân ta có 1.5.4.3.2.1 = 120
(cách) .
Nhận xét: Đây là bài tốn hốn vị trịn: Xếp n người vào 1 bàn trịn có n ghế thì có
(n  1)! cách xếp.

Bài 15: Có 4 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp vào 7 ghế đặt
quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà.
b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông.
Lời giải:
a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà.
•

Sắp xếp chỗ ngồi cho 2 người đàn bà: 2 cách.

•

Sắp xếp chỗ ngồi cho 1 đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn bà: 1 cách.

•

Sắp xếp chỗ ngồi cho 4 người đàn ông là: 4!

Số cách sắp xếp chỗ ngồi là: 2. 1. 4!
b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ơng:
•

2

Chọn 2 người đàn ơng sắp xếp chỗ ngồi cho 2 người đàn ông được chọn là: C4

. 2!

•

Sắp xếp chỗ ngồi cho 1 đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn bà: 1 cách

•

Sắp xếp chỗ ngồi cho 4 người còn lại là: 4! cách

2
Số cách sắp xếp là: C4 .2!.4!.1

1.3. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

18


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH

Phương pháp: Vận dụng các cơng thức hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa bài toán về
biến số tự nhiên và lưu ý không nên khai triển thành đa thức khi bậc lớn hơn 2 (nếu
khơng cần thiết) để sử dụng tính chất các số tự nhiên.
* Chú ý các điều kiện có nghãi của các biểu thức hốn vị chỉnh hợp, tổ hợp:
Px  Đk: x 

*

Axy  Đk: x, y 

*

,x  y

C xy  Đk: x, y 

*

,x  y

Quy ước: 0!  1
x 1

Bài 1: Giải phương trình 12Cx 3  55 Ax 1
2

Phân tích:
k
k
Ta sử dụng cơng thức Cnk  Cnn  k và An  n(n  1)...(n  k  1) An  n(n  1)...(n  k  1) để

giải phương trình.
Lời giải:
Điều kiện x  , x  1
x 1
4

Vì Cx 3  Cx 3 nên phương trình đã cho trở thành:

12Cxx31  55 Ax21



12  x  3 x  2  x  1 x
1.2.3.4

 55  x  1 x

 x  3 x  2  55
2

  x  3 x  2  110  11.10

Vì x là một số tự nhiên và  x  3 ,  x  2 là những số tự nhiên liên tiếp nên
 x  2  10
 x 8
Ta có: 
 x  3  11

Vậy phương trình có nghiệm là x  8 .
2 Axy  5Cxy  90
Bài 2: Giải hệ phương trình  y
y
5 Ax  2Cx  80

Trong đó Ank , Cnk lần luợt là số chỉnh hợp và tổ hợp chập k của n.
Phân tích:

19


GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG

SV LÊ THỊ MINH LINH
Ta áp dụng công thức Ank 

n!
n!
và Cnk 
để giải hệ phương trình này
k !(n  k )!
(n  k )!

Lời giải:
ĐK: x, y  N * , x  y
Ta có Axy 

x!
x!
và Cxy 
y !( x  y )!
( x  y )!

2 Axy  5Cxy  90
 Axy  20
 y
 y
y

5 Ax  2Cx  80
Cx  10
x!

 ( x  y )!  20
 y!  2
x  5
Do đó 


x!
 x( x  1)  20
y  2

 10
 y !( x  y )!


Bài 3: Giải bất phương trình 2Cx21  3 Ax2  30 .
Phân tích:
Để giải bất phương trình này ta áp dụng công thức
Cnk 

n(n  1)...(n  k  1)
và Ank  n(n  1)...(n  k  1)
k!

Lời giải:
ĐK: x 
Ta có



*

, x2

2Cx21  3 Ax2  30

2( x  1) x
 3 x( x  1)  30
2!

 x 2  x  3x 2  3x  30  0
 4 x 2  2 x  30  0
 2 x 2  x  15  0


5
 x3
2

Vậy nghiệm x  2
Bài tập củng cố
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị x 

thỏa mãn 6( Px  Px1 )  Px1

Câu 2. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P2 .x 2  P3 .x  8
9
8

Câu 3. Cho số tự nhiên x thỏa mãn A10
x  Ax  9 Ax . Mệnh đề nào sau đây đúng?

20