Gián án Chuan KTKN-Toan-12-1

CHUẨN
KIẾN THỨC – KỸ NĂNG
HƯỚNG DẪN THỰC HIỆN CHUẨN
KIẾN THỨC CƠ BẢN DẠNG TOÁN. VÍ DỤ. LƯU Ý
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Ứng dụng đạo hàm cấp một để
xét sự biến thiên của hàm số.
Về kiến thức
- Biết tính đơn điệu của hàm số.
- Biết mối liên hệ giữa tính đồng
biến, nghòch biến của hàm số và
dấu của đạo hàm cấp một của nó.
Về kỹ năng
- Biết cách xét tính đồng biến,
nghòch biến của hàm số trên một
khoảng dựa vào dấu của đạo hàm
cấp một của nó.
1. Giả sử
( )f x
có đạo hàm trên khoảng
( ; )a b
. Ta có:
a) Điều kiện đủ:
'( ) 0f x >
trên khoảng
( ; )a b ⇒

( )f x
đồng biến trên
khoảng
( ; )a b

.
'( ) 0f x <
trên khoảng
( ; )a b ⇒

( )f x
nghòch biến trên
khoảng
( ; )a b
.
b) Điều kiện cần:
( )f x
đồng biến trên khoảng
( ; )a b ⇒ '( ) 0f x ≥
trên khoảng
( ; )a b
.
( )f x
nghòch biến trên khoảng
( ; )a b ⇒

'( ) 0f x ≤
trên
khoảng
( ; )a b
.
2. Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghòch biến của
một hàm số:
- Tìm tập xác đònh của hàm số.
- Tính y’, giải phương trình

' 0y =
.
- Lập bảng xét dấu của y’.
- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu
'( ) 0f x =
tại một số hữu hạn
điểm thuộc khoảng
( ; )a b
thì kết luận vẫn đúng.
1. Xét tính đồng biến, nghòch biến của một hàm số.
2. Dựa vào tính chất đồng biến, nghòch biến của hàm số
chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương
trình, bất phương trình.
Ví dụ: Xét tính đồng biến nghòch biến của các hàm số
sau:

3 2
3
4 2
2
) 3 3
) 2 6 2
) 2 3
3 1
)
1
1
)

1
1
)
1
a y x x x
b y x x
c y x x
x
d y
x
x
e y
x
x x
f y
x
= − − +
= − +
= − +
+
=
−
+
=
−
− +
=
−
Ví dụ. Chứng minh rằng
cos , ( ; )

2 2
x x x
π π
π
< − ∀ ∈
Ví dụ. Chứng minh rằng
sin , 0x x x≥ ∀ ≥
HD: Xét
1x >
và xét
0 1x≤ ≤
với hàm số
( ) sinf x x x= −
.
Ví dụ. Giải phương trình:
sin 0x x− =
HD: Xét
0x ≥
, sử dụng ví dụ trên rồi xét
0 0x x≤ ⇒ − ≥
, sử dụng ví dụ trên.
Ví dụ. Giải phương trình, bất phương trình dạng:
( ) ( ), ( ) ( )f u f v f u f v= ≤
Trong đó
f
là hàm số đơn điệu.
2. Cực trò của hàm số Đònh nghóa
1. Tìm điểm cực trò của hàm số.
Đònh nghóa. Điều kiện đủ để có cực
trò.

Về kiến thức :
- Biết các khái niệm điểm cực đại,
điểm cực tiểu, điểm cực trò của hàm
số.
- Biết các điều kiện đủ để có điểm
cực trò của hàm số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm điểm cực trò của
hàm số.
Cho hàm số
( )y f x=
xác đònh và liên tục trên khoảng
( ; )a b

(có thể a là
−∞
; b là
+∞
) và điểm x
0
∈ (a; b).
a) Nếu tồn tại
0h >
sao cho
0
( ) ( )f x f x<
với mọi
0 0
( ; )x x h x h∈ − +
và

0
x x≠
thì ta nói hàm số
0
( )f x
đạt
cực đạt tại
0
x
.
b) Nếu tồn tại
0h >
sao cho
0
( ) ( )f x f x>
với mọi
0 0
( ; )x x h x h∈ − +
và
0
x x≠
thì ta nói hàm số
0
( )f x
đạt
cực tiểu tại
0
x
.
Đònh lí 1: Giả sử hàm số

( )y f x=
) liên tục trên khoảng
0 0
( ; )K x h x h= − +
và có đạo hàm trên K hoặc
0
\{ }K x
, với
0h
>
.
a) Nếu
0 0
0 0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( ; )
f x x x h x
f x x x x h
> ∀ ∈ −


< ∀ ∈ +

thì
0
x
là điểm cực đại
của
( )f x
.

b) Nếu
0 0
0 0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( ; )
f x x x h x
f x x x x h
< ∀ ∈ −


> ∀ ∈ +

thì
0
x
là điểm cực tiểu
của
( )f x
.
Đònh lí 2:
Giả sử
( )y f x=
có đạo hàm cấp 2 trong
0 0
( ; )− +x h x h
với
0h >
. Khi đó:
a) Nếu
0

0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


>

thì
0
x
là điểm cực tiểu của
( )f x
.
b) Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<

thì x
0

là điểm cực đại của
( )f x
.
Quy tắc tìm cực trò của hàm số
( )y f x=
Qui tắc 1:
1) Tìm tập xác đònh.
2) Tính
'( )f x
. Tìm các điểm tại đó
'( ) 0f x =
hoặc
'( )f x

không xác đònh.
3) Lập bảng biến thiên.
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò.
Qui tắc 2:
2. Tính
;
CD CT
y y
3. Xác đònh tham số để hàm số đạt cực trò tại điểm
0
x
.
Ví dụ. Tìm các điểm cực trò của các hàm số sau:
3 2
3 2
) (1 )

) 2 3 36 10
1
)
) sin cos
a y x x
b y x x x
c y x
x
d y x x
= −
= + − −
= +
= +
Ví dụ. Cho hàm số
2
2 5 3y x mx m= − + +
với m là
tham số. Với giá trò nào của m thì hàm số đã cho có
cực trò tại
2x
=
?
Ví dụ. Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực
tiểu của đồ thò hàm số:
3 2
3 2y x x= − +
.
Ví dụ. Tìm các giá trò của m để
1x
=

là điểm cực tiểu
của hàm số
2
1
1
x mx m
y
x
− + −
=
+
Ví dụ. Cho hàm số
2
2
(1)
1
x x
y
x
+
=
−
1) Tìm tập xác đònh.
2) Tính
'( )f x
. Giải phương trình
'( ) 0f x =
và kí hiệu x
i
là

nghiệm
3) Tìm
''( )f x
và tính
''( )
i
f x
.
4) Dựa vào dấu của
''( )
i
f x
suy ra tính chất cực trò của x
i
.
a) Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực
tiểu của đồ thò hàm số (1).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trò của đồ thò hàm số (1).
Lưu ý
Cách xác đònh tham số để hàm số đạt cực trò tại
0
x
cho
trước:
- Tìm tập xác đònh D của hàm số.
- Tính
'( )f x
- Do
( )f x

đạt cực trò tại
0
x
nên
0
'( ) 0f x =
hoặc
'( )f x
không xác đònh tại
0
x
. Từ đó suy ra m.
- Thế giá trò m tìm được vào
'( )f x
để kiểm tra. Nếu
'( )f x
đổi dấu khi
x
qua
0
x
thì hàm số có cực trò tại
0
x x=
, suy ra m là giá trò cần tìm.
3. Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ
nhất của hàm số.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm giá trò lớn
nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số

trên một tập hợp số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm giá trò lớn nhất,
giá trò nhỏ nhất của hàm số trên
một đoạn, một khoảng.
Đònh nghóa
Cho hàm số
( )y f x=
có tập xác đònh D.
- Số M là giá trò lớn nhất của
( )f x
trên D nếu:
( )f x M x D≤ ∀ ∈
và
0
x D∃ ∈
sao cho
0
( )f x M=
.
Kí hiệu
max ( )
D
M f x=
.
- Số m là giá trò nhỏ nhất của
( )f x
trên D nếu:
( )f x m x D≥ ∀ ∈
và

0
x D∃ ∈
sao cho
0
( )f x m=
.
Kí hiệu
min ( )
D
m f x=
.
Đònh lí
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
thì tồn tại:
max ( ),min ( )
D
D
f x f x
Cách tìm
1. Tìm các điểm
1 2
, ,...,
n
x x x
trên khoảng
( ; )a b
mà tại đó
'( ) 0f x =

hoặc
'( )f x
không xác đònh.
2. Tính
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có
1. Tìm giá trò lớn nhất (GTLN, giá trò nhỏ nhất (GTNN)
của hàm số trên một đoạn, một khoảng, trên một tập
cho trước, trên tập xác đònh.
2. Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương
trình.
Ví dụ. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của
hàm số:
3 2
) 3 9 35a y x x x= − − +
trên đoạn
[ 4; 4]−
2
) 4b y x x= − +
Ví dụ. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
6 3y x= −
trên đoạn
[ 1;1]−
.
Ví dụ. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2 cos 2 4siny x x= +

trên đoạn
[0; ]
2
π
.
Ví dụ . Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
max ( )
D
M f x=
,
min ( )
D
m f x=
3 6y x x= + + −
.
Ví dụ. Tìm các giá trò của m để phương trình sau có
nghiệm
2 2
4x x m− − =
HD: Đặt ẩn phụ
2
4t x= −
Ví dụ
1. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích
2
48m
.
2. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích

2
( ),( 0)a m a >
.
4. Đồ thò cảu hàm số và phép tònh
tiến hệ tọa độ
Về kiến thức:
Hiểu phép tònh tiến hệ tọa độ và
công thức đổi tọa độ qua phép tònh
tiến đó.
Về kỹ năng:
Vận dụng được phép tònh tiến hệ
tọa độ để biết được một số tính
chất của đồ thò.
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tònh tiến theo vectơ
( ; ).OI m n
uur
p dụng phép tònh tiến để vẽ đồ thò cho trước.
+ Chuyển phương trình đường cong sang hệ tọa độ
mới, nhận xét được tính chất của đồ thò.
Ví dụ. Vẽ đồ thò của các hàm số sai bằng cách tònh
tiến đồ thò của các hàm số đã biết:
a)
2
( 1)y x= +
từ đồ thò hàm số
2
y x=
;
b)
2

5
2
x
y = −
từ đồ thò hàm số
2
2
x
y =
.
Ví dụ. Chứng minh rằng đồ thò hàm số
3
3 2y x x= − +
nhận điểm
(0;2)I
làm tâm đối xứng.
5. Đường tiệm cận của đồ thò
hàm số.
Đònh nghóa và cách tìm các đường
tiệm cận đứng, đường tiệm cận
ngang.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm đường tiệm cận
đứng, đường tiệm cận ngang của đồ
thò.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm đường tiệm đứng,
tiệm cận ngang của đồ thò hàm số.
Tiệm cận
Kí hiệu

( )C
là đồ thò của hàm số
( )y f x=
.
1. Tiệm cận đứng
Nếu
0
0
( )
lim ( )
x x
x x
f x
+
−
→
→
= +∞
hoặc
0
0
( )
lim ( )
x x
x x
f x
+
−
→
→

= −∞
thì đường thẳng
0
x x=
là tiệm cận đứng của
( )C
.
2. Tiệm cận ngang
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
thì đường thẳng
0
y y=
là tiệm cận ngang của
( )C
.
3. Tiệm cận xiên
Sử dụng kiến thức về giới hạn:

+ Tìm tiêm cận đứng
+ Tìm tiêm cận ngang
+ Tìm tiêm cận xiên
+ Tìm tiêm cận của đồ thò hàm số vô tỉ.
Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ
thò các hàm số sau:
Nếu
lim [ ( ) ( )] 0
x
f x ax b
→+∞
− + =

hoặc
lim [ ( ) ( )] 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
thì đường thẳng
( 0)y ax b a= + ≠
là tiệm cận xiên của
( )C
.
2
2
2
2
3 2
)

2 1
3
)
4
5
)
3
1
)
4
2
)
1
x
a y
x
x
b y
x
x
c y
x
x x
d y
x
x
e y
x
−
=

+
+
=
−
+
=
− +
− +
=
− +
+
=
−
+ Tìm tiêm cận đứng
Ví dụ. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thò
hàm số
2
3 2 4
2 1
x x
y
x
− +
=
+
Ví dụ. Tìm các tiệm cận của đồ thò hàm số
2
2
1
)

1
) 1
x x
a y
x
b y x x x
− −
=
−
= − − +
Lưu ý:
Cách tìm tiệm cận của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=
- Tiệm cận đứng:
+ Giải phương trình
( ) 0Q x =
.
+ Nếu phương trình
( ) 0Q x =
vô nghiệm thì kết luận
hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
+ Nếu phương trình
( ) 0Q x =
có nghiệm
i

x x=
thì tính
( )
lim
( )
i
x x
P x
Q x
→
.
Nếu
( )
lim
( )
i
x x
P x
Q x
→
= +∞
hoặc
( )
lim
( )
i
x x
P x
Q x
→

= −∞
thì
i
x x=

là đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số.
Nếu
( )
lim
( )
i
x x
P x
Q x
→
≠ ±∞
thì
i
x x=
không là đường tiệm