(Luận án tiến sĩ) lý thuyến biểu diễn của siêu đại số lie gl(m n)

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TỐN HỌC

NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA SIÊU
ĐẠI SỐ LIE gl(m|n)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TỐN HỌC

NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA SIÊU
ĐẠI SỐ LIE gl(m|n)

Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. PHÙNG HỒ HẢI
TS. NGUYỄN CHU GIA VƯỢNG

Hà Nội - 2020

Tóm tắt
Mục đích của luận án này là thiết lập một công thức kiểu Jacobi-Trudi
cho đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều của siêu đại
số Lie tuyết tính tổng quát của gl(m|n), với m, n là các số nguyên dương.
Ở đây, công thức kiểu Jacobi-Trudi là một công thức biểu diễn một đặc
trưng bất khả quy cho trước dưới dạng định thức của một ma trận mà các
hệ số là các đặc trưng của lũy thừa đối xứng của biểu diễn tự nhiên và đối
ngẫu của nó. Nội dung của luận án được chia thành 5 chương.
Chương 1 được dành để nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phân hoạch
và phân hoạch hỗn hợp. Các hàm đối xứng liên kết với phân hoạch và các
hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp cũng được đề cập ở
đây.
Trong chương 2, chúng tơi trình bày một số khía cạnh cơ bản về các
siêu đại số Lie và các biểu diễn của chúng, đặc biệt là của siêu đại số Lie
gl(m|n). Tương tự như trường hợp cổ điển biểu diễn bất khả quy hữu hạn
chiều của siêu đại số Lie gl(m|n) được phân loại bởi các trọng trội nguyên.
Tuy nhiên, điểm khác biệt lớn với lý thuyết biểu diễn của các đại số Lie là
sự xuất hiện của các biểu diễn được gọi là khơng điển hình. Trước khi kết
thúc chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm trọng đặc biệt và sự tương
ứng của các trọng này với các phân hoạch hỗn hợp.
Trong chương 3, chúng tôi quan tâm đến các biểu diễn tương ứng với
trọng đặc biệt của gl(m|1). Chúng tôi chỉ ra được rằng đặc trưng của chúng
được cho bởi hàm siêu đối xứng liên kết với trọng đặc biệt đó. Ngồi ra,
chúng tơi cũng chỉ ra được là đặc trưng của biểu diễn với trọng cao nhất
Λ, trong đó Λ bất kỳ, có thể biểu diễn qua đặc trưng của biểu diễn bất
khả quy với trọng cao nhất là trọng đặc biệt.
Trong chương 4, chúng tôi quan tâm đến các trọng đặc biệt có dạng

Λ = (α1 , α2 , . . . , αm ; −k, −k, . . . , −k)
của siêu đại số Lie gl(m|n). Chúng tôi chứng minh được đặc trưng của
biểu diễn bất khả quy với trọng cao nhất Λ được cho bởi hàm siêu đối


xứng liên kết với trọng đặc biệt đó. Từ đây, chúng tơi cũng đưa ra cơng
thức tính đặc trưng của biểu diễn bất khả quy với trọng cao nhất có dạng

Λ = (λ1 , λ2 , . . . , λm ; β, β, . . . , β).
Chương 5 được dành để trình bày một chứng minh mới của một kết
quả cổ điển của đại số Lie tuyến tính tổng quát. Cụ thể, chúng tôi sẽ đưa
ra một chứng minh mới cho một mở rộng của công thức Jacobi-Trudi.

4


Abstract
The aim of this thesis is to establish a Jacobi-Trudi like formula for
characters of finite dimensional irreducible representations of the general
linear Lie super-algebra gl(m|n), where m, n are positive integers. Here, by
Jacobi-Trudi like formula, we mean a formula expressing the character of
an irreducible representation as the determinant of a matrix whose entries
are characters of symmetric powers of the standard representation or its
dual. The thesis is divided into 5 chapters.
Chapter 1 is devoted to recalling some basic background on partitions,
mixed partitions, symmetric functions associated to partitions and supersymmetric functions associated to mixed partitions.
In chapter 2, we present some basic aspects of Lie super-algebras and
their representations, with an emphasis on the case of gl(m|n). As an
analogy with the classical case, the finite dimensional, irreducible representations of gl(m|n) are classified by integral dominant weights. However,
there is a big difference with the classical case of Lie algebras, namely, the

presence of atypical representations in the Lie super-algebra case. The
chapter ends with the introduction of the concept of special weights and
their correspondence with mixed partions.
In chapter 3, we are interested in the irreducible representations parametrized
by special weights of gl(m|1). We show that their characters are given by
super-symmetric functions associated to the corresponding special weights.
Furthermore, we also show that the character of the irreducible representation with highest weight Λ, for any Λ, can be expressed in terms of those
corresponding to special weights.
In chapter 4, we consider the special weights of the Lie super-algebra
gl(m|n) of the form

Λ = (α1 , α2 , . . . , αm ; −k, −k, . . . , −k)
We show that the character of the irreducible representation with highest
weight Λ is given by the super-symmetric function associated to this special


weight. We also deduce a formula which computes the character of the
irreducible representation with highest weight of the form

Λ = (λ1 , λ2 , . . . , λm ; β, β, . . . , β).
In Chapter 5, we present a new proof of a classical result for the classical
general linear Lie algebra. More precisely, we provide a new proof for a
generalized Jacobi-Trudi formula.

6


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả
viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả đưa

vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ một cơng trình nào khác.
Tác giả

NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH


Lời cám ơn
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy tơi, GS.
TSKH. PHÙNG HỒ HẢI và TS. NGUYỄN CHU GIA VƯỢNG. Tôi xin
bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến thầy. Thầy tôi đã dành
rất nhiều thời gian, công sức, sự kiên nhẫn để truyền đạt cho tôi kiến thức
và phương pháp nghiên cứu. Thầy tôi đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong học tập, nghiên cứu, cũng như cơ hội để tơi được giao lưu với
cộng đồng tốn học. Đặc biệt, thầy TS. Nguyễn Chu gia Vượng còn tận
tình hướng dẫn tơi chỉnh sửa luận án này. Một lần nữa, tôi xin gửi lời trân
trọng cảm ơn đến các thầy.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn học, Trung tâm Đào tạo sau đại
học, các phòng chức năng của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tơi học tập và nghiên cứu, góp phần tạo điều kiện để tơi hồn thành
luận án này.
Tơi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô và các bạn ở Viện
Toán học, cũng như các bạn nghiên cứu sinh đã chia sẻ, giúp đỡ tôi trong
học tập, cũng như trong cuộc sống.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa ToánỨng dụng Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học
tập và nghiên cứu.
Tôi đặc biệt gửi lời cảm ơn đến gia đình và người thân của tơi, nhất là
vợ và con tôi. Tôi trân trọng và biết ơn sự hy sinh của những người yêu
thương này.
Tác giả

NGUYỄN LƯƠNG THÁI BÌNH


Mục lục
Mở đầu

4

1 Các hàm đối xứng và các hàm siêu đối xứng Schur
1.1 Phân hoạch và phân hoạch hỗn hợp . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Phân hoạch và lược đồ Young . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Lược đồ lệch và các bảng . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Phân hoạch hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vành các đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Hàm đối xứng Schur và công thức Jacobi-Trudi cổ điển . . .
1.3.1 Hàm đối xứng Schur liên kết với phân hoạch . . . .
1.3.2 Công thức Jacobi-Trudi cổ điển . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Quy tắc Littlewood-Richardson . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Hàm đối xứng Schur liên kết với phân hoạch hỗn hợp
1.4 Hàm siêu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Hàm siêu đối xứng cơ bản và hàm siêu đối xứng đầy
đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch . . . . .
1.4.3 Hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp .

8
9
9
11

13
13
16
16
17
17
19
22

2 Siêu đại số Lie và biểu diễn
2.1 Siêu đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đại số bao phổ dụng của siêu đại số Lie . . . . . . . . . . .
2.3 Siêu đại số Lie tuyến tính tổng quát g = gl(m|n) . . . . . .

27
28
31
32

1

23
23
25


2.4

2.5

2.3.1 Mô tả gl(m|n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Đại số con Cartan và hệ nghiệm đơn . . . . . . . .
Biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Biểu diễn bất khả quy và đặc trưng của biểu diễn .
2.4.2 Biểu diễn với trọng cao nhất . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Biểu diễn điển hình và biểu diễn khơng điển hình .
2.4.4 Các mơđun hiệp biến, phản biến, tenxơ trộn và các
S -hàm siêu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trọng đặc biệt, phân hoạch hỗn hợp chuẩn và mối quan hệ
giữa chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Trọng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Phân hoạch hỗn hợp chuẩn và mối quan hệ với trọng
đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

32
33
34
37
37
39
41

. 42
. 43
. 43
. 46

3 Công thức kiểu Jacobi-Trudi cho đặc trưng của biểu diễn
bất khả quy của gl(m|1)
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Siêu đại số Lie gl(m|1) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Trọng điển hình và trọng khơng điển hình . . . . . .
3.2.3 Đặc trưng của gl(m|1) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Liên hệ giữa đặc trưng bất khả quy và S -hàm siêu đối xứng
liên kết với phân hoạch hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Sự tương ứng giữa trọng đặc biệt và phân hoạch hỗn
hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Đặc trưng bất khả quy là S -hàm siêu đối xứng . . .

50
51
51
52
53
53
56
57
58

4 Công thức kiểu Jacobi-Trudi cho một lớp các đặc trưng

của biểu diễn bất khả quy của gl(m|n)
63
4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2


4.3

4.4
4.5

Công thức thu gọn cho đặc trưng bất khả quy của gl(m|n)
4.3.1 Công thức đặc trưng của Su-Zhang . . . . . . . .
4.3.2 Công thức thu gọn cho đặc trưng bất khả quy hữu
hạn chiều của gl(m|n) . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức thu gọn cho S -hàm siêu đối xứng . . . . . . . .
Chứng minh định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 67
. 68
. 71
. 83
. 87

5 Công thức quy nạp cho đặc trưng của biểu diễn bất khả
quy của gl(m)
5.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Một số ký hiệu và khái niệm của đại số Lie gl(m) . . . . . .
5.2.1 Công thức đặc trưng Weyl . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2 Sự tương ứng giữa trọng và phân hoạch hỗn hợp . .
5.3 Một công thức dạng quy nạp của công thức đặc trưng . .

89
89
90
91
92
94

Kết luận

100

Tài liệu tham khảo

102

3


Mở đầu
Siêu đại số Lie còn gọi là đại số Lie Z2 -phân bậc, một khái niệm ban
đầu xuất hiện trong các nghiên cứu vật lý. Trong ngành vật lý lý thuyết,
đây là một đối tượng quan trọng, nó mơ tả tốn học tính siêu đối xứng
của các hạt. Trong đó, các phần tử thuần nhất bậc ¯
0, hay cịn được gọi là
các phần tử chẵn đại diện cho các hạt boson, các phần tử thuần nhất bậc
¯1, hay còn gọi là các phần tử lẻ đại diện cho các hạt fermion [1, 4, 12]. Siêu
đại số Lie nói chung khơng phải là đại số Lie, nhưng nó có thành phần

thuần nhất bậc ¯
0 là đại số Lie.
Siêu đại số Lie và lý thuyết biểu diễn của chúng tương đối phức tạp.
Có nhiều tính chất quan trọng mà đối với đại số Lie thì thỏa mãn cịn đối
với siêu đại số Lie thì khơng thỏa mãn. Ví dụ như, mỗi biểu diễn của đại
số Lie đơn hữu hạn chiều thì hoàn toàn khả quy, nhưng đối với siêu đại số
Lie thì tính chất này khơng cịn đúng nữa.
Trong [22], V. Kac đã phân loại tất cả các siêu đại số Lie đơn hữu hạn
chiều thành 3 kiểu: siêu đại Lie kiểu cổ điển cơ bản (basic classical), siêu
đại số Lie kiểu cổ điển lạ (strange classical) và siêu đại số Lie kiểu Cartan.
Sau đó, Kac tiến hành phân loại các biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều
của siêu đại số Lie kiểu cổ điển cơ bản. Khi xem xét các biểu diễn bất khả
quy hữu hạn chiều của các siêu đại số Lie đơn này, Kac chia chúng ra làm
2 loại: biểu diễn bất khả quy điển hình và biểu diễn bất khả quy khơng
điển hình. Đối với lớp các biểu diễn bất khả quy điển hình, Kac [24] thiết
lập được cơng thức tính đặc trưng cho chúng. Đây là công thức tương tự
như công thức đặc trưng Weyl của biểu diễn bất khả quy của đại số Lie
đơn. Kac vẫn cịn để ngỏ cơng thức đặc trưng ứng với lớp các biểu diễn bất
khả quy khơng điển hình. Bài tốn tìm cơng thức đặc trưng cho biểu diễn
bất khả quy khơng điển hình là bài tốn phức tạp, thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà tốn học và vật lý. Có thể kể đến như: I.N.
Bernstein và D.A. Leites [6] (1980); A.B. Balantekin và I. Bars [2] (1981);

4


P.H. Dondi và P.D. Jarvis [14] (1981); J. van der Jeugt, J.W.B Hughes,
R.C. King và J. Thierry-Mieg [43] (1990); I. Penkov và V. Serganova [35]
(1994). Trong đó, đặc biệt phải kể đến cơng trình [43] của Van der Jeugt
cùng các cộng sự. Ở đấy, ông và các cộng sự đã đưa ra giả thuyết về công

thức đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy của gl(m|n). Ngoài các kết
quả trên, một số tính tốn khác cũng đưa ra được công thức đặc trưng cho
một số lớp các biểu diễn riêng lẻ như lớp các biểu diễn ở vị trí tổng quát
[35] và cho lớp các biểu diễn mà chỉ có duy nhất 1 nghiệm khơng điển hình
[6, 45, 44].... Vấn đề tìm cơng thức đặc trưng bất khả quy của gl(m|n) vẫn
còn để mở cho đến năm 1995, khi Serganova [38, 39] kết hợp kỹ thuật của
đại số và hình học đã đưa ra được cơng thức đặc trưng tổng quát. Tuy
nhiên, công thức của Serganova là khá phức tạp khơng tiện cho việc tính
tốn cụ thể. Sau đó, vào năm 2007, Su và Zhang [42] dựa trên kỹ thuật
của Brundan [11] đã đưa ra một công thức đặc trưng khác, đơn giản và
dễ sử dụng hơn công thức của Serganova. Công thức đặc trưng Su-Zhang
khẳng định giả thuyết của Van der Jeugt và các cộng sự nêu ra trong [43]
là đúng.
Có một cách tiếp cận tự nhiên để tìm cơng thức đặc trưng của biểu
diễn bất khả quy của siêu đại số Lie gl(m|n) là tìm cách làm tương tự
như đại số Lie. Đó là cách mơ tả các đặc trưng của các biểu diễn bất khả
quy thông qua các S -hàm siêu đối xứng (một mở rộng của hàm đối xứng
Schur). Việc này thực hiện được đối với lớp các biểu diễn bất khả quy hiệp
biến (đó là các thành phần bất khả quy trong phân tích lũy thừa tenxơ của
biểu diễn tự nhiên thành tổng của các thành phần bất khả quy) và biểu
diễn bất khả quy phản biến (đó là các thành phần bất khả quy trong phân
tích của lũy thừa tenxơ của biểu diễn đối ngẫu của biểu diễn tự nhiên)
[2, 14]. Đối với lớp các biểu diễn bất khả quy này, đặc trưng của chúng
bằng S -hàm siêu đối xứng liên kết với các phân hoạch (giống như với đại
số Lie). Bây giờ ta xét tích tenxơ hỗn hợp gồm lũy thừa tenxơ của biểu
diễn tự nhiên và lũy thừa tenxơ của biểu diễn đối ngẫu của biểu diễn tự
nhiên. Các thành phần bất khả quy trong tích tenxơ này được gọi là biểu
5

diễn tenxơ trộn bất khả quy. Đặc trưng của tenxơ trộn bất khả quy nói
chung khơng phải lúc nào cũng là S -hàm siêu đối xứng liên kết với phân
hoạch hỗn hợp [26, 36], trong đó phân hoạch hỗn hợp là sự kết hợp của 2
phân hoạch. Vào năm 2006, Moens và Van der Jeugt đã đưa ra một giả
thuyết cho một lớp các biểu diễn bất khả quy, được gọi là tới hạn, có đặc
trưng là S -hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch hỗn hợp [32, 34].
Mục tiêu của luận án là chỉ ra một số lớp các biểu diễn bất khả quy
của gl(m|n) mà đặc trưng là S -hàm siêu đối xứng liên kết với phân hoạch
hỗn hợp. Kết quả chính được trình bày trong các chương 3, 4, và 5.
Luận án được chia thành 5 chương. Chương 1 giới thiệu một số ký hiệu
và khái niệm cơ bản, đặc biệt là các hàm siêu đối xứng Schur. Đây là đối
tượng mà chúng tôi muốn kết nối với đặc trưng của biểu diễn bất khả quy
hữu hạn chiều của gl(m|n).
Chương 2 trình bày ngắn gọn về lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie,
chủ yếu là siêu đại số Lie tuyến tính tổng quát gl(m|n). Trong chương này,
chúng tôi đưa ra một lớp trọng của gl(m|n) mà chúng tôi gọi là lớp trọng
đặc biệt. Đây là một lớp trọng đóng vai trị quan trọng trong luận án của
chúng tơi.
Chương 3 trình bày một trong những kết quả chính của luận án. Trong
chương này, chúng tôi khảo sát đặc trưng của biểu diễn bất khả quy của
gl(m|1). Kết quả chính là Định lý 3.3.3, ở đó chúng tơi chỉ ra đặc trưng
bất khả quy tương ứng với trọng đặc biệt bằng với S -hàm siêu đối xứng
liên kết với phân hoạch hỗn hợp m-chuẩn.
Chương 4 trình bày một số kết quả mở rộng của Chương 3. Trong
chương này, chúng tôi khảo sát lớp các biểu biễn bất khả quy tương ứng
với trọng đặc biệt có dạng:

(α1 , α2 , . . . , αm ; −k, −k, . . . , −k),
với 0 ≤ k ≤ m và αm−k ≥ 0 ≥ αm−k+1 . Kết quả chính là Định lý 4.2.1.
Trong Chương 5, chúng tơi sử dụng một số ý tưởng và kỹ thuật của

các chương trước để áp dụng cho trường hợp của đại số Lie cổ điển. Cụ
6


thể, chúng tôi thu được một công thức quy nạp để tính đặc trưng của biểu
diễn bất khả quy của đại số Lie tuyến tính tổng qt. Cơng thức này được
phát biểu trong Định lý 5.3.1. Như là một hệ quả, chúng tôi đưa ra một
công thức kiểu Jacobi-Trudi cho đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy
bất kỳ. Kết quả này được phát biểu trong Định lý 5.3.3.

7


Chương 1
Các hàm đối xứng và các hàm siêu
đối xứng Schur
Mục đích của chương này là nhằm giới thiệu một số ký hiệu và khái
niệm cơ bản mà chúng tôi sử dụng trong luận án, đặc biệt là các hàm đối
xứng Schur và hàm siêu đối xứng Schur. Chương này gồm có 4 mục (Mục
1.1, 1.2, 1.3 của chương này được trình bài chủ yếu dựa trên [28]). Mục
1 giới thiệu các khái niệm cơ bản về phân hoạch, lược đồ Young, lược đồ
lệch, bảng, phân hoạch hỗn hợp. Mục 2 trình bày về vành các đa thức đối
xứng và giới thiệu một số cơ sở của vành này. Mục 3 giới thiệu các đa thức
Schur liên kết với phân hoạch hoặc phân hoạch hỗn hợp cùng với các tính
chất cơ bản của chúng. Trong Mục 4, chúng tôi sẽ giới thiệu các hàm siêu
đối xứng cơ bản và hàm siêu đối xứng đầy đủ, đặc biệt là hàm siêu đối
xứng Schur, còn được gọi là S -hàm siêu đối xứng.

8

1.1

Phân hoạch và phân hoạch hỗn hợp

1.1.1

Phân hoạch và lược đồ Young

Ta gọi một phân hoạch là một dãy các số nguyên không âm

λ = (λ1 , λ2 , . . .),
thỏa mãn

λ1 ≥ λ2 ≥ . . . .
Các số hạn của dãy này được gọi là các thành phần của λ. Số các thành
phần khác 0 của λ được gọi là độ dài của λ, ký hiệu là l(λ). Tổng của các
thành phần khác 0 được gọi là trọng của λ, ký hiệu là |λ|,

|λ| = λ1 + λ2 + . . .
Một phân hoạch của một số ngun khơng âm N là một phân hoạch có
trọng bằng N . Chẳng hạn, λ = (5, 3, 1, 1) là một phân hoạch có l(λ) = 4
và |λ| = 10, ta nói λ là một phân hoạch của 10.
Để thuận tiện, chúng ta cũng sử dụng ký hiệu

λ = (1m1 2m2 . . . rmr . . .),
trong đó imi là ký hiệu để chỉ trong phân hoạch λ có mi thành phần có
giá trị là i. Ta có thể mơ tả các phân hoạch λ một cách hình học bởi các
lược đồ Young (Young diagram) như sau: dòng 1 gồm λ1 ơ vng đơn vị,
dịng 2 gồm λ2 ô vuông, ..., hình nhận được được gọi là lược đồ Young với

hình λ. Hình 1.1 minh họa cho lược đồ Young của λ = (4, 3, 1, 1).
Liên hợp của phân hoạch λ là phân hoạch λ , mà lược đồ Young của nó
được tạo thành bằng cách lấy đối xứng lược đồ Young của λ qua đường
chéo chính (là đường chéo được tạo thành từ các ô vuông của hàng 1 cột
một, hàng hai cột hai,...). Điều này có nghĩa là với mọi i thì λi chính là số
lượng các ô vuông đơn vị của cột thứ i của lược đồ Young của λ.
Chẳng hạn, liên hợp của λ = (4, 3, 1, 1) là λ = (4, 2, 2). Hình 1.2 là
lược đồ Young của λ (hình bên trái) và liên hợp λ của nó (hình bên phải).

9


Hình 1.1: Lược đồ Young F λ với λ = (4, 3, 1, 1)

Hình 1.2: Hình trái: Lược đồ Young của λ. Hình phải: Lược đồ Young của λ

Ta định nghĩa các phép toán tổng và hợp của hai phân hoạch như sau.
Với các phân hoạch λ, µ,
— Tổng λ + µ là phân hoạch mà thành phần thứ i là tổng của các thành
phần thứ i của µ và ν với mọi i.
— Hợp λ µ là phân hoạch có các thành phần là các thành phần của λ
và µ được sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.
Ví dụ, nếu λ = (3, 2), µ = (3, 3, 1) thì

λ + µ = (6, 5, 1)

10


và

λ
1.1.2

µ = (3, 3, 3, 2, 1).

Lược đồ lệch và các bảng

Cho λ và µ là 2 phân hoạch. Ta viết, λ ⊃ µ với ý nghĩa là lược đồ
Young F λ chứa lược đồ Young của F µ , hay nói cách khác λi ≥ µi với
i = 1, 2, . . .. Phần chênh lệch giữa λ và µ , phần còn lại của F λ sau đi
bỏ đi các ơ vng của F µ , được gọi là lược đồ lệch (skew diagram) của
λ và µ, ký hiệu là θ = λ − µ. Đơi khi ta cũng lạm dụng ký hiệu và
viết θ = (λ1 − µ1 , λ2 − µ2 , . . .). Chẳng hạn như, với λ = (6, 4, 2, 1) và
µ = (4, 3, 1) thì lược đồ lệch là tập hợp các ô vuông được vẽ bằng các nét
liền trong Hình 1.3.

Hình 1.3: Lược đồ lệch θ = (2, 1, 1, 1)

Ta gọi đường đi trong lược đồ lệch θ là một dải các ô vuông đơn vị
s0 , s1 , . . . , sm trong θ thỏa mãn si−1 và si có một cạnh chung, với 1 ≤ i <
m. Một tập con các ô vuông của θ được gọi là liên thông nếu 2 ô vuông bất
kỳ trong tập con này có một đường đi nối chúng với nhau. Một tập con
liên thông cực đại của θ được gọi là thành phần liên thơng của θ. Trong
Hình 1.3 trên có 4 thành phần liên thơng.
Liên hợp của lược đồ lệch θ = λ − µ là lược đồ lệch θ = λ − µ , nghĩa
11


là nếu θi = λi − µi thì θi = λi − µi (Lưu ý rằng, λ ⊃ µ thì λ ⊃ µ ). Ta

định nghĩa trọng của lược đồ lệch θ bởi công thức |θ| =
θi = |λ| − |µ|.
Lược đồ lệch θ được gọi là m-dải ngang (horizontal m-strip) nếu |θ| = m
và θi ≤ 1, với mỗi i ≥ 1. Ta định nghĩa tương tự cho các m-dải dọc (vertical
m-strip), nghĩa là, θ được gọi là m-dải dọc nếu |θ| = m và θi ≤ 1, với mỗi
i ≥ 1. Nói cách khác, một m-dải ngang (dọc) có nhiều nhất một ơ vng
trên mỗi cột (dịng).

Hình 1.4: Hình trái: 5-dải ngang. Hình phải: 5-dải dọc

Một bảng (tableau) T là một dãy các phân hoạch

µ = λ(0) ⊂ λ(1) ⊂ . . . ⊂ λ(r) = λ
mà mỗi lược đồ lệch θ(i) = λ(i) − λ(i−1) , 1 ≤ i ≤ r, là dải ngang và có các ô
vuông được điền số i. Các số điền vào các ô vuông trong λ − µ phải thỏa
mãn các điều kiện là tăng ngặt theo cột (tính từ trên xuống dưới) và tăng
theo dịng (tính từ trái qua phải). Lược đồ lệch λ − µ được gọi là hình của
bảng T và dãy (|θ(1) |, |θ(2) |, . . . , |θ(r) |) được gọi là trọng của T . Chúng ta
dễ dàng tính trọng bằng cách đếm số lần xuất hiện của số i trong bảng,
1 ≤ i ≤ r. Cụ thể, |θ(i) | bằng số của các số i trong bảng.
Để minh họa, ta xét λ = (5, 3, 2, 1, 1) và µ = (3, 1, 1). Khi đó, Hình 1.5 là
bảng có hình là lược đồ lệch λ − µ = (2, 2, 1, 1, 1) và có trọng là (3, 3, 1)
12


2
1

2

1

3
1
2

Hình 1.5: Bảng T

1.1.3

Phân hoạch hỗn hợp

Cho 2 phân hoạch µ = (µ1 , µ2 , . . .) và ν = (ν1 , ν2 , . . .). Vẽ các lược
đồ Young F µ và F ν trên cùng mặt phẳng tọa độ, ở đó ơ vng đầu tiên
được xếp ở góc của góc phần tư thứ IV. Lược đồ Young hỗn hợp F ν¯;µ =
F (. . . , −ν2 , −ν1 ; µ1 , µ2 , . . .) thu được bằng cách ghép 2 lược đồ Young F µ
và F ν như sau: Lấy đối xứng lược đồ F ν qua góc tọa độ (xem Hình 1.6).
Ta gọi cặp ν¯; µ là phân hoạch hỗn hợp (composite partition), trong đó
ν¯ = (. . . , −ν2 , −ν1 ) có các thành phần là đảo ngược thứ tự các thành
phần của ν rồi đổi dấu.
Một phân hoạch hỗn hợp ν¯; µ được gọi là m-chuẩn nếu

l(µ) + l(ν) ≤ m.

1.2

(1.1)

Vành các đa thức đối xứng

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về vành các đa thức đối
xứng. Nội dung của mục này được dựa theo [28].
Xét vành Z[x1 , x2 , . . . , xm ] các đa thức với hệ số nguyên theo m biến
độc lập x = (x1 , x2 , . . . , xm ). Nhóm đối xứng Sm tác động lên vành này
13


Hình 1.6: Lược đồ Young hỗn hợp F ν¯;µ = F (−2, −3, −5; 7, 4, 2, 1)

bằng cách hoán vị các biến. Các đa thức bất biến dưới tác động của Sm
được gọi là các đa thức đối xứng, và được ký hiêu là

Λm = Z[x1 , x2 , . . . , xm ]Sm .
Đây là một vành con của Z[x1 , x2 , . . . , xm ]. Vành Λm cũng là vành phân
bậc,
Λm =
Λkm ,
k≥0

trong đó, Λkm là Z-mơđun các đa thức đối xứng thuần nhất bậc k .
Vành Λm có nhiều cơ sở đáng chú ý. Ở đây, ta nêu một số cơ sở thơng
dụng của nó:
(1) Cơ sở gồm các đơn thức đối xứng. Với mỗi bộ số tự nhiên α =
(α1 , α2 , . . . , αm ), ký hiệu xα là đơn thức

xα = xα1 1 xα2 2 . . . xαmm .
Cho λ là một phân hoạch bất kỳ có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng m. Đặt

xα ,

mλ (x) = mλ (x1 , x2 , . . . , xm ) =
α

14


trong đó, tổng chạy trên các hốn vị α khác nhau của λ = (λ1 , λ2 , . . . , λm ).
Rõ ràng đa thức mλ (x) là đa thức đối xứng. Các đa thức mλ (x), với λ
chạy trên tất cả các phân hoạch có độ dài nhỏ hơn bằng m, tạo thành một
Z-cơ sở của Λm . Đặc biệt các mλ (x), với λ chạy trên các phân hoạch có
độ dài nhỏ hơn hay bằng m và |λ| = k , là một Z-cơ sở của Λkm . Các mλ (x)
được gọi là các đơn thức đối xứng.
(2) Cơ sở là các đa thức đối xứng cơ bản. Cho r là một số nguyên dương
nhỏ hơn hoặc bằng m. Đa thức đối xứng cơ bản bậc r là tổng của các tích
của r biến phân biệt xi , nghĩa là

er =

xi1 xi2 . . . xir = m(1r ) .
1≤i1
Ta quy ước e0 = 1, và er = 0 khi r < 0 hoặc r > m.
Cho phân hoạch λ = (λ1 , λ2 , . . .), ta định nghĩa eλ như sau

eλ = eλ1 eλ2 . . . .
Các đa thức đối xứng cơ bản e1 , e2 , . . . , em là độc lập đại số trên Z. Các
eλ , với l(λ ) ≤ m (trong đó λ là phân hoạch liên hợp của λ), hình thành
một Z-cơ sở của Λm .
(3) Cơ sở là các đa thức đối xứng đầy đủ. Cho r là một số nguyên không
âm, đa thức đối xứng đầy đủ hr được định nghĩa là tổng của tất cả các

đơn thức bậc r theo m biến x1 , x2 , . . . , xm , nghĩa là

hr =

mλ .
|λ|=r

Đặc biệt, h0 = 1 và h1 = e1 . Ta quy ước hr = 0 nếu r < 0.
Với mỗi phân hoạch λ = (λ1 , λ2 , . . .), ta định nghĩa đa thức hλ như sau:

hλ = hλ1 hλ2 . . . .
Các đa thức h1 , h2 , . . . , hm là độc lập đại số trên Z, và ta có

Λm = Z[h1 , h2 , . . . , hm ].
15


Lưu ý rằng hm+1 , hm+2 , . . . là các đa thức khác 0 theo h1 , h2 , . . . , hm . Vì
thế, các hλ , với l(λ ) ≤ m, hình thành một Z-cơ sở của Λm .
(4) Cơ sở là các đa thức tổng các lũy thừa. Với mỗi số nguyên dương r các
đa thức tổng lũy thừa bậc r được định nghĩa như sau:
m

xri = m(r) (x).

Pr =
i=1

Với mỗi phân hoạch λ = (λ1 , λ2 , . . .) định nghĩa đa thức Pλ như sau:

Pλ = Pλ1 Pλ2 . . . .
Khi đó, các các Pλ , với λ chạy trên tất cả các phân hoạch, không tạo thành
một Z-cơ sở của Λm nhưng chúng tạo thành một Q-cơ sở của Λm ⊗Z Q.

1.3

Hàm đối xứng Schur và công thức Jacobi-Trudi
cổ điển

1.3.1

Hàm đối xứng Schur liên kết với phân hoạch

Xét vành Λm các đa thức đối xứng theo các biến x = (x1 , x2 , . . . , xm ).
Với mỗi phân hoạch λ = (λ1 , λ2 , . . .) mà l(λ) ≤ m, hàm Schur liên kết với
λ, là hàm theo các biến x1 , . . . , xm , được định nghĩa như sau

sλ (x) =

aλ+δ (x)
,
aδ (x)

(1.2)

với δ = (m − 1, . . . , 1, 0) và

xα1 1 xα1 2
xα2 1 xα2 2
aα (x) := ..

..
.
.
xαm1 xαm2

· · · xα1 m
· · · xα2 m
. . . ..
.
· · · xαmm

(w)w(xα1 1 xα2 2 . . . xαmm ),

=
w∈Sm

16

(1.3)


với bộ số α = (α1 , . . . , αm ) cho trước, và w tác động lên xα1 1 xα2 2 . . . xαmm
bằng cách hoán vị các biến (giữ nguyên các số mũ), (w) là dấu của w.
Đặc biệt, aδ (x) là định thức Vandermonde

(xi − xj ).

aδ =

1≤i

Ta thấy, sλ (x) là một đa thức đối xứng thuần nhất bậc |λ| và còn được
gọi là S -hàm đối xứng. Các hàm sλ (x), với l(λ) ≤ m, hình thành một
Z-cơ sở của Λm . Với mỗi k , các sλ (x), λ có trọng bằng k , là một Z-cơ sở
của Λkm .
Chú ý rằng, với một số nguyên dương t bất kỳ, ta có
m

xi )t s(λ1 ,λ2 ,...,λm ) (x).

s(λ1 +t,λ2 +t,...,λm +t) (x) = (

(1.4)

i=1

1.3.2

Công thức Jacobi-Trudi cổ điển

Công thức Jacobi-Trudi là công thức diễn đạt hàm đối xứng Schur theo
các hàm đối xứng cơ bản hoặc hàm đối xứng đầy đủ

sλ (x) = det(hλi −i+j (x))1≤i,j≤l(λ) ,

(1.5)

sλ (x) = det(eλi −i+j (x))1≤i,j≤l(λ ) .

(1.6)

hoặc
Đặc biệt, với λ = (n) và λ = (1n ) thì các cơng thức trên đây dẫn tới

s(n) (x) = hn (x),

(1.7)

s(1n ) (x) = en (x).

(1.8)

và

1.3.3

Quy tắc Littlewood-Richardson

Cho µ, ν là 2 phân hoạch. Vì mỗi đa thức Schur sµ (x), sν (x) là đa thức
đối xứng nên tích của chúng cũng là một đa thức đối xứng. Nhắc lại rằng,
17