Bài giảng Vấn đề 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Tr ương Đình Dũng Trường THPT Trưng Vương
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
1. Định nghĩa:
Phép đối xứng qua đường thẳng d, Kí hiệu: D
d
Đ
d
(M) = M’
⇔
d là đường trung trực của đoạn MM’
Hay Đ
d
: M
a
M′ ⇔
= −
uuuur uuuur
'HM HM
(H là hình chiếu
của M trên d)
2. Tínhh chất : Đ
d
Là một phép dời hình.
3. Các phép đối xứng trục trong mặt phẳng Oxy:
• Đ
Ox
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'

x x
y y

=

= −

• Đ
Oy
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

=

• Đ
d
:M  M’ với d: ax + by + c = 0
- Gọi
∆
là đường thẳng qua M và
∆
⊥ d :
∆

: b(x – x
M
) – a(y – y
M
) = 0
- Gọi H là hình chiếu của M trên d: H =
∆
I
d ==> toạ độ H
- H là trung điểm của MM’ == > toạ độ M’
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
DẠNG 1: Tìm ảnh cúa một điểm; một đường qua phép đối xứng trục
1. Tìm ảnh của đt
∆
qua Đ
d
:
+ Nếu d//
∆
:
∆
’ //d ( chú ý khoảng cách từ d đến
∆
và đến
∆
’ bằng nhau.)
+ Nếu d cắt
∆
tại A thì
∆

’ qua A và qua một điểm B’ là điểm đối xứng của
một điểm B bất kỳ trên
∆

2. Tìm ảnh của đường tròn (C)qua Đ
d
: Tìm ảnh tâm I của (C) ==> pt đường tròn ảnh.
Bài tập:
1. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
2. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục d : A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
a) d≡ Oy b) d: 2x – 3y + 6 = 0
3. Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
4. Tìm trục đối xứng d để qua phep Đ
d
biến:
a) A(3;-2) thành A’(-3;5) b) M(3;-1) thành M’:4;-5)
5. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox; Oy:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0
6. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0
7. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox;Oy:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4

c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
8. Cho đường tròn
2 2
( ): 6 2 1 0C x y x y+ − + + =
. Tìm phương trình đường tròn đối xứng với
( )C
qua
đường thẳng a)
( ) : 0d x y− =
b) (d) : 3y + 4y – 1 = 0
9. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2
+ 4y
2
= 1 c) 9x

2
+ 16y
2
= 144
10. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
- = b) x
2
– 4y
2
= 1 c) 9x
2
– 25y
2
= 225
11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox;Oy:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
Tr ương Đình Dũng Trường THPT Trưng Vương
D ẠNG 2 : Tìm Quỹ tích của một điểm thoả mãn điều kiện bài tốn ( cg: các bước giải giống như phép tịnh
tiến)
12. Cho hai điểm B, C cố đònh trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm q

tích trực tâm H của ∆ABC.
13. Trong mặt phăng Oxy , tìm tập hợp những điểm M cách đều hai đường thẳng d: 3y + 4y – 5 = 0 và
d’: 12x + 5y + 13 = 0
DẠNG 3: Tốn dựng hình
14. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M sao cho tổng
AM + MB có giá trò nhỏ nhất.
15. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho chu
vi ∆ABC là bé nhất.
16. Cho hai đường tròn (C) và (C’) và đường thẳng d.Hãy dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A,C lần lượt
nằm trên (C), (C’) còn hai đỉnh kia nằm trên (d).
17. Cho hai đường tròn (O;R) và O’;R’) và một đường thẳng d
a) Hãy xác định hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là trung trực của đoan
MM’
b) Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tiếp IT’ với (O’;R’) tạo thành một
góc nhận đường thẳng d làm phân giác trong hoặc phân giác ngồi
DẠNG 4: Các dạng tốn khác
18. Cho ∆ABC với trực tâm H.
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính bằng
nhau.
b) Gọi O
1
, O
2
, O
3
là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm O
1
,
O
2

, O
3
có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
19. Gọi C
1
và C
2
là các điểm đối xứng của đỉnh C của tam giác ABC qua các tia phân giác trong của góc
·
BAC
và
·
ABC
. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng C
1
C
2
là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp
tam giác và cạnh AB.
20. Cho ∆ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Gọi D′ = Đ
BC
(D). Tính
·
'BD M
và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
21. Chứng minh rằng trong một tam giác có cùng diện tích và chung đáy thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
--------------------------------------------------Hết---------------------------------------------