Sử dụng phương pháp vectơ để giải và sáng tạo một số bài toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ DUYẾN

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TỐN
HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Đà Nẵng - 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ DUYẾN

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TỐN
HÌNH HỌC PHẲNG

Chun ngành:
Mã số:

Phương pháp tốn sơ cấp
8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:

1. TS. Lê Thị Hoài Thu
2. TS. Nguyễn Thành Chung

Đà Nẵng - 2020





LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài luận văn thạc sĩ,
ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân tơi cịn có những nguồn động lực và sự giúp
đỡ to lớn từ q thầy cơ, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè.
Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới cơ giáo - TS. Lê Thị
Hồi Thu và thầy giáo - TS. Nguyễn Thành Chung đã nhiệt tình, tận tâm giúp
đỡ, hướng dẫn tơi hồn thành tốt luận văn này trong thời gian qua.
Tôi cũng xin gửi đến các quý Thầy, Cô giáo và Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc nhất vì đã truyền
đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho quá trình
học tập và nghiên cứu của tôi.
Cảm ơn các anh, chị và các bạn trong lớp cao học Phương pháp tốn sơ cấp
Khóa 36 đã ln chia sẻ nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý giá cho tơi trong suốt
q trình học tập và nghiên cứu.
Và cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, lãnh đạo Trường THPT
Nguyễn Chí Thanh, lãnh đạo tổ Tốn của trường THPT Nguyễn Chí Thanh đã
ln động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để quá trình học tập và nghiên cứu
của tơi được hồn thành tốt đẹp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tác giả

Nguyễn Thị Duyến


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Số hiệu các hình
1.1.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
2.7.1
2.7.2
2.7.3

2.8.1
2.8.2
2.8.3
2.8.4
2.8.5
2.9.1
2.9.2

Trang
7
11
13
14
16
17
18
20
21
22
25
26
27
28
29
30
32
34
35
36
37

40
41
42
44
45
46
47
48
51
53


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Khái niệm và tính chất của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Quy trình giải một bài tốn hình học phẳng bằng phương pháp vectơ 9
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO
BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG CƠNG CỤ VECTƠ . 10
2.1. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Bài toán chứng minh đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Bài tốn tìm quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.4. Bài toán về quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5. Bài tốn về quan hệ vng góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6. Bài tốn về góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.7. Bài toán về khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8. Bài tốn về diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9. Sáng tạo bài toán hình học phẳng bằng cơng cụ vectơ. . . . . . . . . . . . . . . 49
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp vectơ là một trong những công cụ hữu hiệu dùng để giải các bài
tốn hình học. Nội dung này được giảng dạy từ lớp 10 và cho thấy sự khác biệt
giữa chương trình hình học bậc THCS với bậc THPT. Các bài tốn hình học trong
chương trình THCS chủ yếu được nhìn nhận bằng phương pháp trực quan, dựa
trên những khái niệm và tính chất cơ bản nhất của hình học (điểm, đường thẳng,
góc, khoảng cách, . . . ). Chẳng hạn, để chứng minh ba điểm thẳng hàng, chúng ta
cần chứng minh góc xác lập giữa chúng là 180o ; để chứng minh hai đường thẳng
song song, chúng ta cần chứng minh có một cặp góc so le trong (hoặc so le ngồi)
bằng nhau; để tính diện tích của một tam giác chúng ta cần biết cạnh đáy và chiều
cao, . . . Nhiều bài toán chỉ được giải quyết khi học sinh kẻ đúng được đường phụ
hoặc đòi hỏi những suy luận mang tính sáng tạo cao. Điều này gây ra nhiều khó
khăn cho người học trong việc định hướng tìm lời giải.
Khác với các phương pháp được dùng khi giải tốn hình học ở bậc THCS,
phương pháp vectơ cho chúng ta một định hướng rõ ràng dựa trên một quy trình
quản lý tập hợp. Đó là, trong “một khơng gian vectơ hữu hạn chiều” mọi vectơ đều
có thể biểu thị qua một “cơ sở”. Cách biểu thị này cho phép chúng ta quản lý tất cả
các “vectơ” của không gian thông qua việc quản lý “cơ sở” của chúng. Vectơ được
xây dựng dựa trên các khái niệm điểm, phương, hướng và độ dài đoạn thẳng nên
sẽ liên quan đến các khái niệm khác trong hình học và các quan hệ giữa chúng.
Đây là cơ sở để chúng ta có thể diễn đạt một bài tốn hình học thuần túy dưới
dạng ngơn ngữ vectơ. Việc giải các bài tốn hình học bằng phương pháp vectơ sẽ
góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho người học, đồng thời rèn luyện những
kỹ năng tính tốn, suy luận logic, biết cách nhìn nhận bài tốn theo nhiều góc độ

khác nhau. Từ những phân tích và đánh giá ở trên, chúng tơi lựa chọn đề tài “Sử
dụng phương pháp vectơ để giải và sáng tạo một số bài tốn hình học
phẳng”. Đề tài tập trung làm rõ một số dạng tốn hình học phẳng có thể giải
bằng phương pháp vectơ, đồng thời qua đó giúp người học thấy được tính ưu việt
của phương pháp vectơ và sáng tạo ra những bài toán mới.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các khái niệm và tính chất về vectơ trong khơng gian cũng như
trong mặt phẳng, quy trình để giải một bài tốn hình học phẳng bằng vectơ.
Phân loại một số dạng tốn hình học phẳng có thể giải bằng phương pháp
vectơ. Từ đó nghiên cứu tìm hiểu và đề xuất một số bài tốn mới dựa trên các bài
tốn đã có.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về khái niệm vectơ, các phép tốn vectơ, các dạng tốn
hình học phẳng có thể giải bằng phương pháp vectơ. Bên cạnh đó chúng tơi cũng
liên hệ với khái niệm “không gian vectơ” để làm rõ cơ sở khoa học của phương
pháp vectơ trong chương trình phổ thơng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu những nội dung về hình học phẳng trong chương trình hình học
THCS và THPT. Ngồi ra, chúng tơi cũng tham khảo một số kiến thức liên quan
đến đại số tuyến tính, khơng gian Euclide trong chương trình đại học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu sách giáo khoa, giáo trình,
tài liệu liên quan tới ứng dụng của phương pháp vectơ để phân dạng và hệ thống
hóa các bài tốn.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và
các bạn bè, anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên

cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng
dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức.
6. Tổng quan và cấu trúc của luận văn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng. Có thể sử dụng luận văn làm tài
liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên ngành Toán, đặc biệt cho học sinh
trong q trình học tốn ở chương trình phổ thơng. Từ đó giúp học sinh có hứng
thú, phát triển cho học sinh năng lực tư duy, giúp học sinh nhận thấy mối liên hệ


3

giữa tri thức toán học.
Bố cục của luận văn như sau:
Lời nói đầu.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số phương pháp giải và sáng tạo bài tốn hình học phẳng bằng
công cụ vectơ.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về
vectơ trong chương trình tốn cao cấp và tốn sơ cấp quy trình giải một bài tốn

hình học phằng bằng phương pháp vectơ. Để từ đó nhận ra ý nghĩa về mối liên hệ
giữa tốn cao cấp trong chương trình tốn THPT. Các tài liệu tham khảo được sử
dụng trong chương bao gồm [4, 6, 7].

1.1. Khái niệm và tính chất của vectơ
1.1.1. Khái niệm không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp V = ∅ cùng với phép cộng vectơ V × V → V :
(x, y) → x + y và phép nhân vơ hướng K × V → V : (α, x) → αx được gọi là không

gian vectơ trên trường K nếu với mọi x, y, z ∈ V và α, β ∈ K các điều kiện sau đây
thỏa mãn
(x + y) + z = x + (y + z) .
x + y = y + x.
→
−

Tồn tại vectơ 0 , gọi là vectơ khơng, có tính chất 0 + x = x + 0 = x.
Tồn tại vectơ x, gọi là vectơ đối của x , có tính chất x + (–x) = (–x) + x = 0.
(αβ) x = α (βx) .
(α + β) x = αx + βx.
α (x + y) = αx + αy.
1x = x.

Ta gọi phần tử của V là vectơ, phần tử của K là phần tử vô hướng.
Định nghĩa 1.1.2. Trong không gian vectơ V trên trường số thực K = C, cho hệ
vectơ S= {v1 ;v2 ;...;vn } .
Hệ S gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu từ hệ thức
c1 v1 +c2 v2 +...+cn vn = 0 (ci ∈ R) .

ta suy ra được c1 = c2 = ... = cn = 0.

5

Hệ S gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại (c1 ;c2 ;...;cn ) = (0; 0;...; 0) sao
cho: c1 v1 +c2 v2 +...+cn vn = 0 (ci ∈ R) .
Nhận xét 1.1.1. Một hệ con của một hệ độc lập tuyến tính là một hệ độc lập
tuyến tính, một tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến
tính. Một hệ vectơ chứa vectơ khơng là phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1.1.1. Cho khơng gian vectơ V = R2 , xét tính độc lập tuyến tính và phụ
thuộc tuyến tính của các hệ sau.
a) {x1 = (1, 2) , x2 = (2, 4)} .
b) {x1 = (1, 1) , x2 = (1, –1)} .
Lời giải:
a) Ta có 4 (1, 2) – 2 (2, 4) = (0, 0) .
Vậy hệ vectơ {x1 , x2 } là phụ thuộc tuyến tính trong R2 .
b) Xét đẳng thức
λ1 x1 + λ2 x2 = 0
⇔ λ1 (1, 1) + λ2 (1, –1) = (0, 0)
⇔

λ1 + λ2 = 0
⇔
λ1 – λ2 = 0

λ1 = 0
λ2 = 0

Vậy hệ vectơ {x1 , x2 } độc lập tuyến tính trong R2 .
Định nghĩa 1.1.3. Trong không gian vectơ V trên trường số thực K = C,

S= {v1 ;v2 ;...;vn } là một hệ gồm n vectơ của V. Nếu với ∀v ∈ V tồn tại các số
thực c1 , c2 ,..., cn sao cho v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn , nghĩa là v được biểu diễn
tuyến tính qua các vectơ {v1 , v2 , ..., vn }. Khi đó ta nói S sinh ra V hay S là một hệ
sinh của V.
Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian vectơ V trên trường số thực K = C,
S= {v1 ;v2 ;...;vn }, S được gọi là một cơ sở của V nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến
tính. Khi đó, số vectơ có trong S chính là số chiều của V. Vậy V là không gian
vectơ n chiều. Số chiều của không gian vectơ V kí hiệu là dim(V).
Ví dụ 1.1.2. Trong không gian R2 , cho hệ vectơ E = {e1 = (1, 0) , e2 = (0, 1) } .
Chứng minh hệ vectơ E là cơ sở của không gian vectơ R2 .
Lời giải:
Thật vậy, ∀x ∈ R2 : x = (a, b) , khi đó
a (1, 0) + b (0, 1) = (a, b)
⇔ ae1 + be2 = x.


6

Vậy E là hệ sinh của không gian vectơ R2 .
Từ đẳng thức λ1 e1 + λ2 e2 = 0
⇔ λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1) = (0, 0)
⇔ λ1 = λ2 = 0.

nên hệ E độc lập tuyến tính. Vậy hệ E là một cơ sở của khơng gian vectơ R2 và số
chiều của R2 là 2.
Nhận xét 1.1.2. Ta dễ dàng nhận ra ý nghĩa về mối liên hệ giữa khái niệm khơng
gian vectơ ở chương trình tốn cao cấp trong chương trình THPT. Ta xét trong
khơng gian R2 , khái niệm phụ thuộc tuyến tính đó là sự cùng phương của hai vectơ

→

−
→
−
→
−
−
a , b còn khái niệm độc lập tuyến tính đó là hai vectơ →
a , b không cùng phương.

Trong R2 phép biểu diễn tuyến tính đó chính là sự phân tích một vectơ thông qua
→
−

−
hai vectơ không cùng phương. Cho hai vectơ →
a , b khơng cùng phương, khi đó mọi
→
−
−
−
vectơ →
x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ →
a , b , tồn tại duy
→
−

−
−
nhất cặp số h, k sao cho→
x = h→

a + k b . Trong R2 một cơ sở chính tắc của nó là hệ
→
−

→
−

gồm hai vectơ đơn vị của hai trục toạ độ: i = (1, 0) và j = (0, 1) . Mọi vectơ đều
có thể phân tích một cách duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ đó. Từ
mối liên hệ này ta tìm hiểu các khái niệm về vectơ trong mặt phẳng.
1.1.2. Khái niệm của vectơ trong mặt phẳng
Định nghĩa 1.1.5. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Một vectơ kí hiệu là
−→ −−→
→
−
−−→ −→
−
AB, CD,...hoặc →
a , b ,... Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA, BB
→
−
được gọi là vectơ 0 .
−→
→
−
Định nghĩa 1.1.6. Với mỗi vectơ AB (khác vectơ 0 ) đường thẳng AB được gọi
−→
−→
→
−

là giá của vectơ AB. Còn đối với vectơ AA (vectơ 0 ) thì mọi đường thẳng đi qua

A đều gọi là giá của nó.
Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Phương
−→

của AB là phương (song song) của đường thẳng AB.
−→ −−→

−→

−−→

Điều kiện để hai vectơ AB, CD cùng phương là AB = kCD, k ∈ R. Hướng của

−→

AB là hướng từ A đến B.
−→ −−→

−→ −−→

Hai vectơ AB, CD cùng hướng khi và chỉ khi hai vectơ AB, CD cùng phương và
−→

−−→

hai tia AB, CD cùng hướng. Kí hiệu: AB ↑↑ CD.
−→ −−→

−→

−−→

Điều kiện để hai vectơ AB, CD ngược hướng là AB = kCD (k < 0) .


7
−→

→
−

Vectơ 0 thì cùng phương, cùng hướng mọi vectơ. Độ dài của AB là độ dài đoạn
−→
−
−
a thì độ dài của nó kí hiệu là ( →
a ).
thẳng AB ký hiệu AB (Đối với →
−→ −−→

Định nghĩa 1.1.7. Hai vectơ AB, CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng
−→

−−→

hướng và cùng độ dài. Kí hiệu AB = CD.
−→ −−→

−→

−−→

−→

−−→

Điều kiện để hai vectơ AB, CD bằng nhau là AB ↑↑ CD và AB = CD . Hai
vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì bằng nhau.
−
Nếu cho một vectơ →
a và một điểm O, thì ta có duy nhất một điểm A sao cho
−
OA = →
a.
−→ −−→

−→

−−→

→
−

−→

−−→

Hai vectơ AB, CD đối nhau nếu AB + CD = 0 . Kí hiệu: AB = – CD.

→
−

→
−

−
Định nghĩa 1.1.8. Cho hai vectơ →
a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất
−→

−→

→
−

−
kì, ta vẽ các vectơ OA = →
a và OB = b . Góc AOB với số đo từ 0◦ đến 180◦ được gọi
→
−
→
−
→
−
−
−
−
là góc giữa hai vectơ →
a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ →

a và b là (→
a , b ).

1.1.3. Các phép toán vectơ
→
−
−
Định nghĩa◦ 1.1.9. Cho hai vectơ →
a và b . Lấy một điểm A bất kì rồi xác định
Q
A
C
B
O
K
D
N
H
U
R
T
P
L
Z
SQ
βM
= 89.41

U
P19

→
−
→ →
−AL KC
−
16
15
17
20
113
2
10
12
421
593
8
→
−
B
EC53 sao
AA6P
CC1
B−
N3IF
A
B1
E
A
M
A→

P
N1 B3 AC
8 D
3và
21A1
2B294C
1A
4B
21C
221 IM5B
4 1 được
7C
13 1
C3 gọi là tổng của
các điểm
BO
cho
5 2 8AAB
2 D=
2 a , BC =1 b . Khi đó vectơ
B5
→
−
−→ − →
−
−
A7 →
hai vectơ
a và b . Kí hiệu AC = →
a + b.

M34
M
Q

C
Quy A
tắc
I3872 3 điểm về phép cộng vectơ: Với ba điểm bất kì A,B,C, ta có
N
9
−→ BO
−
−→
2
7→
AB + BC
= AC.
B6C

−→

6

−−→

−−→

Quy tắc hình bình hành. Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC.
R1
A

12
A
A11
10
D4
N
C994
BG
H
IG
4F3 E4
O
BM10I
C10
B11
D
D56
X
M7

B

C11

A

C

D

Hình 1.1.1

B17NAB
−
618
I613 N4
MA→
CE14
B14 F4 M11
I8 AB
G18M
C13
14 O5 B
J97 C16
−
−
15
16
7N
A A1.1.1.
Định lý
Với mọi vectơY→
a ,815
b ,5→
c ta có
→
− − →
−
→
− −

−
Tính chất của vectơ 0 : →
a + 0 = 0 +→
a =→
a.
→
−
→
− −
−
Tính chất giao hốn: →
a + b = b +→
a.
→
−
→
− −
−
−
−
Tính chất kết hợp: →
a + b +→
c =→
a + b +→
c .

D7
I7
A21
B12 C18

8
→
−
→
−
−
−
Định nghĩa 1.1.10. Hiệu của hai vectơ →
a và b , kí hiệu →
a – b là tổng của vectơ
→
−
→
−
→
−
−
−
→
−
a và vectơ đối của vectơ b , tức là →
a – b =→
a + – b . Phép lấy hiệu của hai

vectơ gọi là phép trừ vectơ.
−→ −→

−→

Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ AB – AC = CB.
−
Định nghĩa 1.1.11. Tích của vectơ →
a và một số thực k là một vectơ, kí hiệu là
−
k→
a , được xác định như sau
−
−
Nếu k ≥ 0 thì vectơ k→
a cùng hướng vectơ →
a.
−
−
Nếu k < 0 thì vectơ k→
a ngược hướng vectơ →
a .
−
−
Độ dài của vectơ k→
a bằng |k| . →
a .

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số.
→
−
−
Định lý 1.1.2. Với hai vectơ bất kỳ →
a , b và mọi số thực k, l ta có

−
−
k l→
a = (k.l) →
a.
−
−
−
(k+l) →
a = k→
a + l→
a.
→
−
→
−
−
−
k →
a ± b = k→
a ±kb.
−
−
l→
a =→
a.
→
−
−
Định nghĩa 1.1.12. Tích vơ hướng của hai vectơ →

a , b là một số thực, kí hiệu là
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
a . b và được xác định bởi: →
a.b = →
a . b cos →
a, b .
→
− −
−
Định lý 1.1.3. Với ba vectơ →
a , b,→
c tùy ý và mọi số thực k, ta có
→
−
→
− −
→
−

a . b = b .→
a.
→
−
→
−
→
−
−
a . b =0 ⇔ →
a⊥b.
→
−
→
−
→
−
−
−
−
k→
a .b = →
a . k b =k →
a.b .
→
− −
→
− − →
→
−

−
a. b +→
c =→
a.b +→
a .−c .
→
− −
→
− − →
→
−
−
a. b –→
c =→
a.b –→
a .−c .

Định lý 1.1.4. Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có
−
→

−
→

→
−

IA + IB = 0
−−→ −−→
−→

MA + MB = 2MI.
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có
−−→

−−→

−−→

→
−

GA + GB + GC = 0
−−→ −−→ −−→
−−→
MA + MB + MC = 3MG.
Định lý 1.1.5. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Điều kiện cần và đủ để hai


9
→
−
−
vectơ →
a và b

→
−
→
−
b = 0

→
−
−
cùng phương là có một số k để →
a =kb .

Nhận xét 1.1.3. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số thực
−→
−→
k = 0 để AB = kAC.

Định lý 1.1.6. Định lý Menelaus
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA,
FA DB EC
=
=
= 1.
AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi
FB DC EA
→
−
−
−
Mệnh đề 1.1.1. Cho hai vectơ →
a , b không cùng phương, khi đó mọi vectơ →
x đều
→
−
−

phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ →
a , b nghĩa là tồn tại duy nhất
→
−

−
−
cặp số h, k sao cho→
x = h→
a +kb.

1.2. Quy trình giải một bài tốn hình học phẳng bằng
phương pháp vectơ
Trong chương trình trung học phổ thơng, phương pháp vectơ là một trong
những phương pháp quan trọng, trong các bài tốn chúng ta thường thấy có yếu
tố phân tích một vectơ thơng qua hai vectơ khơng cùng phương. Điều đó là cơ sở
để định hướng cụ thể cách giải các bài tốn hình học phẳng theo quy trình 3 bước
như sau
Bước 1: Lựa chọn vectơ cơ sở.
Thông thường để thuận lợi trong tính tốn ta nên chọn hai vectơ cùng điểm
đầu và khơng cùng phương, có độ dài xác định, góc giữa hai vectơ xác định hoặc
hai vectơ đó vng góc với nhau.
Bước 2: Biểu diễn các vectơ liên quan theo cơ sở đã chọn.
Dùng phương pháp phân tích vectơ và các phép tốn vectơ để biểu diễn, chuyển
các giả thiết, kết luận hình học của bài tốn sang ngơn ngữ vectơ. Vì đó là một cơ
sở nên mọi vectơ đều có thể biểu diễn được qua cơ sở theo lý thuyết đã nêu.
Bước 3: Giải bài toán vectơ.
Thiết lập mối liên hệ giữa các vectơ đã được biểu diễn trong bước 2. Từ đó, ta
đưa về kết luận bài toán gốc ban đầu.

10

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO
BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG CƠNG CỤ
VECTƠ

Trong chương này chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ để nghiên cứu các
dạng toán: bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, bài tốn chứng minh đẳng
thức hình học, bài tốn tìm quỹ tích, bài tốn về quan hệ song song, vng góc,
bài tốn về góc, khoảng cách, diện tích. Các tài liệu tham khảo được sử dụng trong
chương bao gồm [1, 2, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 12].

2.1. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng
Để giải quyết các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chủ yếu sử dụng
quy trình giải một bài tốn hình học phẳng bằng phương pháp vectơ đã được trình
bày ở mục 1.2. Đối với một số bài tốn đơn giản hơn ta có thể sử dụng các tính
chất vectơ, quy tắc vectơ. Ngồi ra, ta cần chú ý các tính chất về ba điểm thẳng
hàng. Cụ thể muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta phải chứng minh
−→

−→

−→

−→

hai vectơ AB và AC cùng phương ⇔ phải chứng minh AB = kAC.

Ví dụ 2.1.1.[tham khảo tài liệu số 10] Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt
−−→
−−→ −−→
−−→ −→
1 −→
là các điểm thỏa mãn MB = 2MC, NC = –2NA, PA = – PB. Chứng minh các điểm
4
M, N, P thẳng hàng.
Lời giải:
−→ −→

Bước 1: Chọn vectơ AB, AC làm vectơ cơ sở.
Bước 2: Biểu diễn các vectơ liên quan theo cơ sở đã chọn.
−−→ −−→

−→ −→

Phân tích các vectơ MN, MP theo các vectơ AB, AC.
−−→ −−→ −−→ −→ 2 −−→ −→ −→ 2 −→ −→ 5 −→
Ta có MN=MC+CN=CB+ CA=AB – AC – AC=AB – AC.
(2.1.1)
3
3
3
−−→ −−→ −→ −→ 4 −→ −→ −→ 4 −→ 6 −→ −→
MP=MB+BP=2CB+ BA=2AB – 2AC – AB = AB – 2AC.
5
5
5
Bước 3: Giải bài toán vectơ.

−−→ 6 −→ 5 −→
Vậy MP =
AB – AC .
(2.1.2)
5
3
−−→ 6 −−→
−−→ −−→
Từ (2.1.1) và (2.1.2) suy ra MP= MN vậy hai vectơ MN, MP cùng phương, mà
5


11

hai vectơ lại có chung gốc M, nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Ví dụ 2.1.2.[tham khảo tài liệu số 1] Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần
lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là m, n, p (đều khác
1). Chứng minh rằng
M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp = 1.
Lời giải:
Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần
−−→

−−→

lượt là m, n, p(đều khác 1) tương đương với các đẳng thức vectơ MA = mMB;
−→

−−→ −→

−→

NB = nNC; PC = pPA.
Vậy khi đó muốn chứng minh M, N, P thẳng hàng ta cần chỉ rõ có số thực k sao
−−→

−−→

−−→

−−→

−→

cho MP = kMN hoặc với điểm O bất kỳ và số thực t ta có OM = tON + (1 – t) OP.
Ta tiến hành giải bài tốn theo quy trình 3 bước được trình bày mục 1.2.

A
P
M

C1

N

C

B

Hình 2.1.1

−−→ −→

Bước
A3 1: Chọn hai vectơ CA, CB làm 2 vectơ cơ sở.
L 2: Biểu diễn các vectơ liên quan theo cơ sở đã chọn.
Bước
r
C2 M1

m

n điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần
Các

−−→
−−→
K
s I lượt plà m, n, p (đều khác 1) tương đương với các đẳng thức MA = mMB;
−→
−−→ −→
−→
NB = nNC; PC = pPA.

Lấy điểm O bất kì, ta có
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→

−−→ OA – mOB −−→ OB – nOC −→ OC – pOA
OM =
; ON =
; OP =
.
1–m
1–n
1–p
Để đơn giản tính tốn, ta chọn điểm O trùng với điểm C khi đó ta có
−−→
−→
−→
−−→
−−→ CA – mCB −−→
CB −→ –pCA
CM =
; CN =
; CP =
.
(2.1.3)
1–m
1–n
1–p
Bước 3: Giải bài toán vectơ.


12

Từ hai đẳng thức cuối của (2.1.3), ta có
−−→ −−→ p – 1 −→

CB = (1 – n) CN; CA =
CP, thay vào đẳng thức đầu của (2.1.3)
p
−−→
p – 1 −→ m(1 – n) −−→
CP –
CN.
ta có CM =
p (1 – m)
1–m
Điều kiện cần và đủ để 3 điểm M, N, P thẳng hàng là
p–1
m(1 – n)
–
= 1 ⇔ p – 1 – pm(1 – n) = p (1 – m)
p (1 – m)
1–m
⇔ mnp = 1.
−→

Vậy cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB,
BC, CA theo tỷ số m, n, p thì M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi
mnp = 1.
Ví dụ 2.1.3. Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M, N, P lần lượt
−−→

−→ −→

−
→ −→

−→

là các điểm xác định bởi AM = mAB; AN = nAI; AP = pAC, với mnp = 0. Tìm điều
kiện của m, n, p để M, N, P thẳng hàng.
Lời giải:
−→ −→

Phân tích các vectơ theo hai vectơ cơ sở AB; AC.
Ta có
−−→ −→ −−→
−→
−→
MP = AP – AM = pAC – mAB,
−−→ −→ −−→
−
→
−→
MN = AN – AM = nAI – mAB.
1 −→ −→
2
−−→
−→
−→ n −→
n −→ −→
n
MN = (AB + AC) – mAB = ( – m)AB + AC. Do mnp = 0 nên M, N, Q thẳng
2
2
2

−
→

Lại có AI = (AB + AC).
hàng khi và chỉ khi

n
n
–m
2
= 2 ⇔ 2mp = mn + np.
–m
p

Ví dụ 2.1.4. Cho tứ giác ABCD.
−→

−→

−→

−→

a) Chứng minh AB + CD = AD + CB.
−−→

−−→ →
−

−−→

−−→ →
−

b) Gọi M, N là các điểm được xác định bởi MA – 2MB= 0 , 2NC+3NA= 0 . Gọi G
là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm G, M, N thẳng hàng.
Lời giải:


A
C
B
N
A
C
B
P22
A1
20
19
23
1345
22

13
B6 BD53A
M
O
BF
CA

M54CA79 P2 B8 N3A25
I8B9Q
AO
7E
36 732I3C
52 D
2 EC26M
1N
2L
172K
2

C8

B13

M5C1

A
D
N

A11

G
B
I

C

G
H 6
B10

M

I

Hình 2.1.2
a)Ta có

A −R
B
A−
−→ −−→ −−→ −−→BN−→
−−
→◦C −−→D
→ O
−
−→
−
−
→111 −
B→
R→
M18
H
SM
17 AN6 E BA M
21 −

M
8 FN
2U
M89.41
N
4 19
126
XZC115
21T
Q
AC
B
B28U81CB+
BK12I8 L
A
P
8=20
14AD+
13
510
QY
O
AB+CD=AD+DB+
CB+
BD=
DB+
BD=
AD+
CB
17

17
18
5. 15 5
14
19 12
3 6D7
β16A

b) Ta có
−−→

−−→ →
−

−−→

−−→ −→

→
−

−−→

−→

MA – 2MB= 0 ⇔ MA – 2(MA+AB) = 0 ⇔ AM = 2AB, có nghĩa M là điểm đối
xứng của A qua B.
−−→

−−→ →

−

j

4
Từ 2NC+3NA= 0 ⇒ điểm N nằm giữa hai điểm A, C.
Và N chia đoạn AC thành

5 phần bằng nhau, đoạn AN chiếm 2 phần, đoạn AC chiếm
3 phần.
m4
p4
−→ 2 −→ −→ 3 −→
Do đó AN = AC; NC = AC.
5
5→
−→ −
Bước 1: Chọn vectơ AB, AC làm vectơ cơ sở.

n4
q4

Bước 2: Biểu diễn các vectơ liên quan theo cơ sở đã chọn.
−−→ −−→

−→

−→

Phân tích hai vectơ MG, MN theo hai vectơ AB và AC.

−−→ −−→

→ −→
2−
3
1 −→ −−→ −→ 1 −→ −→
= (AB + AC) – 2AB = (AC – 5AB).
3
3
−−→ −−→ −−→ 2 −→ −→
MN = AN – AM= AC – 2AB
−−→

Ta có MG = AG – AM = AI – 2AB

(2.1.7)

5
Bước 3: Giải bài toán vectơ
−−→ 2 −→ −→
Vậy MN= (AC – 5AB).
(2.1.8)
5
−−→ 6 −−→
−−→ −−→
Từ (2.1.7) và (2.1.8) suy ra MN= MG, vậy hai vectơ MG, MN cùng phương mà
5
hai vectơ lại cùng chung gốc M. Nên ba điểm M, N, G thẳng hàng.
O4 có trực tâm H, trọng tâm G và nội tiếp đường
Ví dụ 2.1.5. Cho tam giác ABC

tròn tâm O. Chứng minh 3 điểm O, G, H thẳng hàng.
Lời giải:


14
◦
Q
D
A
C1
B1
C
B
M
G
O
K
D
A
N
H
U
R
C
T
B
E
P
F

L
Z
S
IE
βM
=
Q
A1
M
K
Y
N
X
U
P
L
J786432112
11
20
13
14
15
16
17
18
19
10
21
113
2

11
12
359
4
62
7
8
19
1189.41
3
4
5
7
8
A
B

A

H GO

I

B

C

D

Hình 2.1.3

Gọi I là trung điểm của BC.
−−→

−
→

Dễ thấy AH = 2OI nếu tam giác ABC vuông.
Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O.
Khi đó BH song song với DC(vì cùng vng góc với AC) BD song song với CH
(vì cùng vng góc với AB).
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm của HD.
−−→

−
→

Từ đó AH = 2OI (vì OI là đường trung bình của tam giác AHD).
−−→

−−→

−
→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

Ta có OB + OC = 2OI = AH nên OA + OB + OC = OA + AH = OH.
−−→

−−→

−−→

−−→

Ta đã biết OA + OB + OC = 3OG.
−−→

−−→

Vậy OH = 3OG suy ra 3 điểm O, G, H thẳng hàng (Đường thẳng đi qua 3 điểm
này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC).

Bài toán tham khảo
Bài 2.1.1. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là ba điểm thỏa mãn
−−→

−−→

→
− −−→

−−→

→
− −→

−→

→
−

MA + MB = 0 ; NA + 2NC = 0 ; 3PB + 4PC = 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác
MNP. Chứng minh ba điểm A, G, P thẳng hàng.
Bài 2.1.2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của cạnh BC.
−−→ −−→ →
−

−→

−→

→
−

M,N là các điểm xác định bởi 3MA+MB= 0 , 2NB + 3NC = 0 .

15
−
→

1 −→
6

−→

a) Chứng minh IG = – (AB + AC).
b) Chứng minh ba điểm G, M, N thẳng hàng.
Bài 2.1.3. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc
3
−→
−4→
đường thẳng BC lấy E. Đặt BE = xBC. Tìm x để A, O, E thẳng hàng.
1
3

cạnh AC sao cho AM = AB, AN = AC. Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên
Bài 2.1.4. Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm
2
AE
= . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng
thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số
AC

3

hàng.

Bài 2.1.5. Cho tam giác ABC, đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc
với cạnh BC tại D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
3 điểm M, N, I thẳng hàng.

2.2. Bài tốn chứng minh đẳng thức hình học
Đối với các bài toán đơn giản, ta sử dụng một số tính chất cơ bản về vectơ
như: quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành để dựng các vectơ được cho ở hai vế
của đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm của tam giác, trung điểm của đoạn
thẳng, tính chất của các phép tốn, các tính chất của tích vơ hướng để giải quyết
bài tốn. Đối với các bài toán phức tạp hơn ta sử dụng quy trình giải một bài tốn
hình học phẳng bằng phương pháp vectơ đã được trình bày ở mục 1.2.
Ví dụ 2.2.1. Chứng minh rằng với 4 điểm A, B, C, D ta có
−→ −−→

−→ −−→

−−→ −→

AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0.

(2.2.1)

Lời giải:
−→ −−→

−→ −−→

−−→ −→

Ta có AB.CD + AC.DB + AD.BC

−→ −−→ −→

=AB AD – AC
−→ −−→

−→ −→ −−→

+ AC AB – AD

−→ −→

−→ −→

−−→ −→ −→

+ AD AC – AB

−→ −−→

−−→ −→

−−→ −→

=AB.AD - AB.AC + AC.AB - AC.AD + AD.AC - AD.AB
−→ −−→ −−→ −→

−→ −→ −→ −→

−−→ −→ −→ −−→

= AB.AD – AD.AB + AC.AB – AB.AC + AD.AC – AC.AD = 0.
Ví dụ 2.2.2. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AB và AC lấy
các điểm B’ và C’. Gọi M’ là giao điểm của B’C’ và AM. Chứng minh
AC
AM
AB
+
=2
.
AB’ AC’
AM’
Lời giải:
−→ −→

Bước 1: Chọn hai vectơ AB, AC làm hai vectơ cơ sở. Mọi vectơ trong bài tốn đều
phân tích (hoặc biểu thị) qua hai vectơ này
Bước 2: Biểu diễn các vectơ liên quan theo cơ sở đã chọn.


16

Theo giả thiết bài toán: Trên cạnh AB và AC lấy các điểm B’ và C’. Gọi M’ là
giao điểm của B’C’ và AM nên ta đặt
−→

−−→ −→

−−→ −−→

−−→

AB = xAB’; AC = yAC’; AM = zAM’ (x, y, z ∈ R)
−−−→

−−→

Vì M’ ∈ B’C’ ⇒ ∃ k ∈ R, B’M’ = kB’C’.
−−→ −−→
−−→ −−→
⇔ AM’ – AB’ = k AC’ – AB’
−−→
−−→
−−→
⇔ AM’ = (1 – k) AB’ + kAC’
1 −−→ 1 – k −→ k −→
AB + AC
⇔ AM =
z
x
y
1 1 −→ −→
1 – k −→ k −→
⇔
AB + AC =
AB + AC.
z2
x
y

Bước 3: Giải bài toán vectơ.

Tương đương với biểu thức

1–k
k
1
=
= ⇒ x + y = 2z.
2z
x
y

Vậy
AB
AC
AM
+
=2
.
AB’ AC’
AM’
Ví dụ 2.2.3.[tham khảo tài liệu số 9] Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Một
đường thẳng d không đi qua G lần lượt cắt các đường thẳng GA, GB, GC tại A’,
B’, C’ sao cho
−−→

−−→ −−→

−−→ −−→

−−→

GA = mGA; GB = nGB; GC = pGC. Chứng minh
1

m

+

1

n

+

1

p

= 0.

Lời giải:
B

B
d
C

G

A

C

A

Hình 2.2.1
−−→ −−→

Bước 1: Chọn vectơ GA, GB làm các vectơ cơ sở. Mọi vectơ xuất hiện trong bài
toán đều phân tích được qua các vectơ này.


17

Bước 2: Bài tốn đã cho dưới dạng ngơn ngữ vectơ.
−−→

−−→ −−→

−−→ −−→

−−→

Theo giả thiết ta có GA = mGA; GB = nGB; GC = pGC.
−−−→

−−−→

Vì A’,B’,C’ thẳng hàng nên A C = kA B .
−−→ −−→
−−→ −−→

GC’ – GA’ = k(GB’ – GA’).
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
GC’ = kGB’ + (1 – k) GA’ ⇒ pGC = knGB + (1 – k) mGA.

(2.2.2)

Bước 3: Giải bài tốn vectơ.
−−→

−−→

−−→

−−→

−−→ −−→

Vì GA + GB + GC = 0 ⇔ GC = –GA – GB.
Thay vào (2.2.2), ta có
−−→ −−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

p(–GA – GB) = knGB + (1 – k) mGA ⇔ –pGA- pGB=kn GB + (1 – k) mGA.
−−→ −−→

Vì GA, GB khơng cùng phương nên ta có
–p = (1 – k) m
–p = kn

– p = 1 – k
p p
1
1
1
mp
⇔– – =1⇔
+ + = 0.
⇒
m n
m n p
 – =k
n
Vậy
1

+

1

+

1

= 0.

m n p
Ví dụ 2.2.4. Trên cạnh AB của hình bình hành ABCD lấy điểm E sao cho
1
AF
AE = AB; ED cắt đường chéo AC tại F. Xác định tỉ số
.
n
AC
Lời giải:

A12

D

C

E4
F

D6

C11

A

E

B

Hình 2.2.2
E6
Z3
−→ −→
Bước 1: Chọn vectơ BA, BC làm các vectơ cơ sở. Mọi vectơ
W3 xuất hiện trong bài

tốn đều phân tích được qua các vectơ này.

V3

Bước 2: Biểu diễn các vectơ liên quan theo cơ sở đã chọn.
A16