Phương pháp chỉnh hóa tikhonov cho bài toán ngược tuyến tính

Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ngọc Hân
Lớp: 09 CTT2
Giáo viên hướng dẫn: TS. Phạm Qúi Mười

Đà Nẵng, tháng 5/2013

Trang 1


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

BẢNG KY HIấU

Ô

: Trng cac sụ hu ti.

Ă

: Trng cac sụ thực.

£

: Trường các số phức.

PK P
K*

 , x , y 
j

j

j

: Chuẩ n của toán tử K .
: Toán tử liên hơ ̣p của K .
: Hê ̣ kỳ di ̣của K .

N ( K ) : x  X | Kx  0.
( K ): Kx | x  X    y Y | x : Kx  y.
L( X , X ) : Không gian của tấ t cả các ánh xa ̣ tuyế n tính bi ̣chă ̣n từ X
vào X với chuẩ n toán tử là mô ̣t không gian đinh
̣ chuẩ n.

Trang 2

Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS.
Pha ̣m Quý Mười. Trong quá trình làm luận văn, tác giả đã nhận được sự quan
tâm giúp đỡ nhiệt tình của thầy. Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lịng
biết ơn sâu sắc đối với người thầy kính u của mình.
Trong quá trình học tập rèn luyện cũng như trong quá trình nghiên cứu
l ̣n văn, hồn thành luận văn và báo cáo tại các buổ i seminar về :
+ Bài toán ngươ ̣c và bài toán đă ̣t không chỉnh.
+ Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán ngươ ̣c tuyế n tiń h.
Tác giả xin được gửi tới các thầy-cô giáo, các thành viên - các anh chị
trong các seminar lời cảm ơn chân thành về những ý kiến đóng góp q báu,
sự giúp đỡ tận tình và sự cỗ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua.
Tác giả xin gửi tới lãnh đạo Khoa Toán, trường đa ̣i ho ̣c Sư pha ̣m, đa ̣i
ho ̣c Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, tạo điều kiện
thuận lợi trong suốt thời gian ho ̣c tâ ̣p và rèn luyê ̣n.
Xin cảm ơn tất cả mọi người đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện và
động viên cỗ vũ tác giả để tác giả có thể hồn thành tốt nhiệm vụ của mình.
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013
Tác giả

Huỳnh Thi Ngo
̣
̣c Hân

Trang 3


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

MỞ ĐẦU
Bài toán ngươ ̣c tuyế n tính là bài toán có da ̣ng như sau : Giải phương
triǹ h Ax  y với A là toán tử tuyế n tiń h, y không biế t chính xác mà chỉ biế t

mô ̣t xấ p xỉ y sao cho: P y  y P   . Mô ̣t khó khăn cầ n lưu ý khi giải

phương trin
̣ không tồ n ta ̣i A1 hoă ̣c tồ n ta ̣i A1
̀ h này là nghiê ̣m không ổ n đinh,

1 
nhưng không liên tu ̣c. Ta có x  A . y , P x  x P  . Mă ̣c dù dữ liêụ sai

khác nhau rấ t bé nhưng khi giải nghiê ̣m thì sai khác rấ t lớn. Bài toán này hế t
sức quan tro ̣ng, đã và đang thu hút sự nghiên cứu của các nhà toán học trên
thế giới. Trong khoảng hai mươi năm nay, bài toán đươ ̣c nghiên cứu nhiề u
bởi các nhà toán ho ̣c và ho ̣ đã đa ̣t đươ ̣c các kế t quả quan tro ̣ng. Tuy nhiên, ở
nước ta, bài toán này rấ t it́ đươ ̣c nghiên cứu dưới góc đô ̣ toán ho ̣c.
Với những lý do trên tôi cho ̣n đề tài "Phương pháp chin̉ h hóa Tikhonov
cho bài toán ngươ ̣c tuyế n tiń h" làm luâ ̣n văn tố t nghiêp̣ cuố i khóa cho mình.
Luâ ̣n văn nghiên cứu về phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải các bài
toán ngươ ̣c tuyế n tin
́ h.

Ngoài phầ n mở đầ u và kế t luâ ̣n, luâ ̣n văn bao gồ m 3 chương:
Chương 1: Nêu khái niê ̣m bài toán đă ̣t chỉnh và đă ̣t không chỉnh. Phát
biể u bài toán thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c. Đưa ra mô ̣t số ví du ̣ về bài toán ngươ ̣c.
Chương 2: Trình bày mô ̣t cách tổ ng quan về phương pháp chỉnh hóa.
Phát biể u đinh
̣ nghiã toán tử chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa. Nêu lên các
đinh
̣ lý và tính chấ t liên quan đế n phương pháp chỉnh hóa.
Chương 3: Trình bày nội dung phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho
bài toán ngươ ̣c tuyế n tính. Phát biểu và chứng minh các điều kiện để áp dụng
được phương pháp Tikhonov vào giải bài toán ngược tuyế n tính. Cuối

Trang 4


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

cùng,tôi đưa ra các kết quả giải số khi áp dụng phương pháp này vào một số
bài toán ngươ ̣c tuyế n tính cụ thể.
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013
Tác giả
Huỳnh Thi ̣Ngo ̣c Hân

Trang 5


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Chương 1
BÀ I TOÁN NGƯỢC VÀ BÀ I TOÁN ĐẶT KHÔNG
CHỈNH

Trong chương này là phát biể u các khái niê ̣m về bài toán đă ̣t không
chin̉ h và bài toán ngươ ̣c, bài toán đă ̣t chỉnh và bài toán thuâ ̣n. Đồ ng thời
chúng tôi cũng đưa ra những ví du ̣ cu ̣ thể về bài toán đă ̣t không chin̉ h để mo ̣i
người hiể u rõ hơn.
1.1.

Một số kiế n thức về giải tích hàm
Trước khi trình bày về bài toán đă ̣t không chỉnh, ở đây tôi nhắ c
la ̣i mô ̣t số kiế n thức về giải tích hàm có liên quan đế n nô ̣i dung nghiên
cứu đề tài.

 Chuẩ n
Cho X là mô ̣t không gian vec tơ trên trường K  ¡ . Mô ̣t chuẩ n
trên X là ánh xa ̣

P. P: X  ¡
với các tính chấ t sau:
(i)

Px P 0, x  X với x  0,

(ii) P x P|  |Px P, x  X và   K ,
(iii) Px  y P Px P P y P, x, y  X .

Trang 6


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Mô ̣t không gian vec tơ X trên K với chuẩ n P. P đươ ̣c go ̣i là không
gian đinh
̣ chuẩ n trên K .
 Tích vô hướng, không gian tiền Hilbert
Cho X là không gian vec tơ trên trường K  ¡ . Mô ̣t tích vô
hướng hoă ̣c tích trong là mô ̣t ánh xa ̣ :
.,. : X  X  K

với các tin
́ h chấ t sau:
(i)

x  y, z  x, z  y, z , x, y, z X ,

(ii)

 x, y   x, y ,  x, y  X ,   K ,

(iii) x, y  y, x ,  x, y  X ,
(iv)

x, x ¡ và x, x  0, x  X ,

(v)

x, x  0 nế u x  0.
Mô ̣t không gian vec tơ X trên K với tích trong .,. đươ ̣c go ̣i là

mô ̣t không gian tiề n Hilbert trên K .
Các tính chấ t dưới đây là dẫn xuấ t từ đinh
̣ nghiã trên:
(vi)

x, y  z  x, y  x, z , x, y, z  X ,

(vii) x, y   x, y , x, y  X ,  K .

Trang 7


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

 Chuẩ n của toán tử
Toán tử tuyế n tin
́ h A đươ ̣c go ̣i là bi ̣chă ̣n nế u tồ n ta ̣i c  0 sao cho

P Ax P c Px P, x  X .
Khi đó chuẩ n của toán tử A đươ ̣c đinh
̣ nghiã như sau:

P Ax P: sup

x 0

P Ax P
.
Px P

 Không gian Hilbert
Cho X là mô ̣t không gian tuyế n tính trên ¡ . Mô ̣t tích vô hướng
trong X là mô ̣t ánh xa ̣ .,. :X  X  ¡ thỏa mañ các điề u kiêṇ sau:
1.

x, x  0, x  0, x, x  0  x  0,

2.

x, y  y, x , x, y  X ,

3.  x, y   x, y , x, y  X ,  ¡ ,
4.

x  y, z  x, z  y, z , x, y, z  X .
Không gian tuyế n tính X cùng với tích vô hướng nêu trên là

không gian tiề n Hilbert. Không gian tiề n Hilbert đầ y đủ là không gian
Hilbert.
 Toán tử liên hợp
Cho A : X  Y là toán tử tuyế n tiń h, bi ̣ chă ̣n trong không gian
Hilbert. Khi đó tồ n ta ̣i mô ̣t và chỉ mô ̣t toán tử tuyế n tính, bi ̣ chă ̣n
*
A* : Y  X với tiń h chấ t: ( Ax, y)  ( x, A y), x  X , y Y .

Trang 8


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Toán tử A* : Y  X đươ ̣c go ̣i là toán tử liên hơ ̣p của A
với X  Y , toán tử A đươ ̣c go ̣i là phép liên hơ ̣p nế u A*  A .
 Hê ̣ kỳ di ̣
Đinh
̣ nghiã 1.1.1. Cho X và Y là không gian Hilbert và K : X  Y là
mô ̣t toán tử tuyế n tính compact với toán tử liên hơ ̣p K* : Y  X . Khi đó
căn bâ ̣c hai  j   j , j  J , giá tri ̣ riêng  j của toán tử tự liên hơ ̣p

K*K : X  X đươ ̣c go ̣i là giá tri ̣kỳ di cu
̣ ̉aK .
Đinh
lý 1.1.1. Cho K : X  Y là toán tử tuyế n tính compact,
̣

K* : Y  X là toán tử liên hơ ̣p, và 1  2  3  ...  0 là daỹ đươ ̣c sắ p
của giá tri ̣kỳ di ̣dương của K . Khi đó tồ n ta ̣i hê ̣ trực chuẩ n ( x j )  X và

( y j )  Y với tính chấ t sau:
Kx j   j y j và K * y j   j x j , j  J .
Hê (̣  j , x j , y j ) đươ ̣c go ̣i là hê ̣ kỳ di cu
̣ ̉ a K . Với mỗi x  X có mô ̣t giá tri ̣
phân hoa ̣ch

x  x0  ( x, x j ) x j ,
jJ

với x0  N và

Kx    j ( x, x j ) y j .
jJ

1.2.

Bài toán đă ̣t không chỉnh

Trang 9


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Khái niê ̣m bài toán đă ̣t không chỉnh đươ ̣c trình bày dựa trên cơ sở
xét mô ̣t bài toán tiên nghiê ̣m của phương trình:

Kx  y .

(1.1)

Ở đây K : X  Y là mô ̣t toán tử từ không gian Banach X vào không
gian Banach Y , y là phầ n tử thuô ̣c Y . Sau đây là đinh
̣ nghiã của

Hadamard.
Đinh
̣ nghiã 1.2.1. Cho X và Y là không gian đinh
̣ chuẩ n, K : X  Y là
mô ̣t toán tử. Bài toán (1.1) đươ ̣c go ̣i là bài toán đă ̣t chin̉ h ( well-posed )
nế u nó thỏa mañ các điề u kiêṇ sau:
1. Sự tồ n tại:  y  Y ,  x  X sao cho Kx  y.
2. Tính duy nhấ t:  y  Y có nhiề u nhấ t mô ̣t x  X sao cho Kx  y.
3. Tính ổ n đi ̣nh: x phu ̣ thuô ̣c liên tu ̣c vào y , tức là với mo ̣i
daỹ ( xn )  X , Kxn  Kx (n  ) thì xn  x (n ).
Bài toán không thỏa mañ mô ̣t trong ba điề u kiêṇ trên đươ ̣c go ̣i là
bài toán đă ̣t không chỉnh ( ill-posed ).
Trong toán ho ̣c, sự tồ n ta ̣i mô ̣t nghiê ̣m có thể có đươ ̣c bằ ng cách
mở rô ̣ng hoă ̣c thu hep̣ không gian nghiêm.
̣ Yêu cầ u về sự ổ n đinh
̣ là
quan tro ̣ng nhấ t. Nế u mô ̣t bài toán thiế u đi tính ổ n đinh
̣ thì nghiê ̣m của
nó sẽ không đươ ̣c tin
́ h toán mô ̣t cách chính xác, vì vâ ̣y ta có định nghiã
sau đây.
Đinh
̣ nghiã 1.2.2. Cho K là mô ̣t toán tử tuyế n tính đi từ không gian X
vào không gian Y . Bài toán (1.1) đươ ̣c go ̣i là đă ̣t không chỉnh nế u

Trang 10


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

nghiê ̣m của phương trình (1.1) không phu ̣ thuô ̣c liên tu ̣c vào dữ liêụ
ban đầ u.
Cho các ví du ̣ về bài toán đă ̣t không chin̉ h, chúng ta tham khảo
thêm ở tài liêụ chuyên khảo của Hadamard [4,8].
1.3.

Bài toán thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c
Chúng ta đã biế t, thông thường có hai bài toán đố i ngươ ̣c nhau,
trong đó có mô ̣t bài toán go ̣i là bài toán ngươ ̣c và mô ̣t bài toán gọi là
bài toán thuâ ̣n. Thường thì bài toán khó là bài toán ngươ ̣c – bài tốn đă ̣t
khơng chỉnh, bài toán dễ là bài toán thuâ ̣n – bài toán đă ̣t chin̉ h.
Ví du ̣ 1.3.1.Xét phương trình:
t

 Kx  t    x  s ds ,
0

với K : L2 0,1  L2 0,1.
Bài toán thuâ ̣n là bài toán tính Kx với điề u kiê ̣n đã có là x  X .
2
Bài toán ngươ ̣c là bài toán cho thông tin sẵn có là y  L , cầ n tìm

x  L2 sao cho Kx  y .
1.4.

Một số ví du ̣ về bài toán ngươ ̣c
Ví dụ 1.4.1. ( bài toán Cauchy cho phương trình Laplace )
Tìm mô ̣t nghiê ̣m u của phương trình Laplace

 2u( x, y)  2u( x, y)
u( x, y) :

 0 trong ¡  [0, ),
x2
y 2

Trang 11


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

với các điề u kiêṇ ban đầ u:

u( x,0)  f ( x),


u( x,0)  g ( x), x  ¡ .
y

Trong đó f và g là các hàm cho trước.
Với f ( x)  0 và g ( x)  0 , phương trình có nghiê ̣m u( x, y) , x , y .
1
Với f ( x)  0 và g ( x)  sin(nx), nghiê ̣m của phương trình trong trường
n

hơ ̣p này cho bởi u( x, y) 

1
sin(nx)sinh(ny), x  ¡ , y  0.
n2

Ta có:
sup{| f ( x) |  | g ( x) |} 
x¡

1
 0, n   ,
n

nhưng
sup | u( x, y) |
x¡

1
sinh(ny)   , n   ,
n2

y  0. Các sai số của dữ liêụ dầ n về 0, trong khi sai số của nghiê ̣m u
dầ n đế n vô cùng. Vì vâ ̣y, nghiê ̣m không phu ̣ thuô ̣c liên tu ̣c trên dữ liệu
( xem tài liê ̣u [7] ).
Ví dụ 1.4.2. ( phép lấ y vi phân )
Bài toán thuâ ̣n là tìm nguyên hàm y với y (0)  0 của mô ̣t hàm x
liên tu ̣c trên [0,1] , nghiã là, tính:
t

y(t )   x(s)ds , t [0,1].
0

Trang 12


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Trong bài toán ngươ ̣c, cho hàm y khả vi liên tu ̣c trên [0,1] với

y (0)  0 và muố n xác đinh
̣ x  y ' . Điề u này có nghiã là chúng ta tìm
nghiê ̣m của phương trình tích phân Kx  y , K : L2 [0,1]  L2 [0,1]
đươ ̣c xác đinh
̣ bởi
t

( Kx)(t ) :  x(s)ds , t [0,1], x C[0,1].
0

2
2
Cho y  L , tìm x  L : Kx  y .

1
n

Giả sử: y(s)  cos(s)  yn (s)  cos(s)  sin(ns).
Khi đó:



P yn ( s)  y ( s) P   | yn ( s)  y ( s) |2 ds 
0

t

 1


    sin(ns)  ds 
 n


0

2

t

1
2

1
2

1
2

 1 

1
   2 ds    0, (n  ) .
n
0 n

t

t

Kx   x( s)ds  cos(t ), t  0,1  x(t )   sin(t ).
0

t
1
Kxn   xn ( s)ds  cos(t )  sin(nt )  xn (t )   sin(t )  cos(nt ).
n
0

Vâ ̣y

Trang 13


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân



P xn (s)  x( s) P   | xn (t )  x(t ) |2 dt 

0

1

1
2



   |  sin(t )  cos(nt )  ( sin(t )) |2 dt 
0

1

1
2

1

1
2
2
   | cos(nt ) | dt 
0

 1  cos(2nt ) 

dt 
2
0


1

1
2

1

1
 1 sin(2n)  2
 

, ( n  ) .

4n 
2
2
Vâ ̣y đây là bài toán đă ̣t không chin̉ h.
Trong hai ví du ̣ này, các bài toán là phương trình tích phân loa ̣i I.
Đinh
̣ lý sau chỉ ra rằ ng phương trình tuyế n tính có da ̣ng Kx  y với
toán tử K compact luôn là bài toán đă ̣t không chỉnh.
Đinh
̣ lý 1.4.1.
Xét X , Y là không gian đinh
̣ chuẩ n và K : X  Y là toán tử
compact, tuyế n tin
́ h với không gian rỗng N ( K ) : {x  X : Kx  0} . Số
chiề u của không gian X / N ( K ) là vô cùng ( vô ha ̣n chiề u ). Khi đó, tồ n
ta ̣i mô ̣t daỹ ( xn )  X sao cho Kxn  0 nhưng ( xn ) không hô ̣i tu ̣.

Chúng ta có thể cho ̣n ( xn ) sao cho P xn P . Trong trường hơ ̣p đă ̣c
1
biêt,̣ nế u K là ánh xa ̣ 1-1 thì ánh xa ̣ nghich
̣ đảo K : Y  ¡ ( K )  X

là không bi ̣chă ̣n.

(K ): {Kx Y : x  X } là tâ ̣p giá tri ̣của K .
Trang 14


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Chứng minh.
Đă ̣t N  N ( K ) là viế t tắ t của N ( K ) . X / N là không gian đinh
̣
chuẩ n với chuẩ n P[ x] P: inf{Px  z P: z  N} kể từ khi không gian rỗng
bi đo
̣ ́ ng.

°([ x]) : Kx ,[ x]  X / N , là xác
° : X / N  Y đươ ̣c đinh
̣ nghiã bởi K
K
đinh
̣

tố t,

compact,

°1 : Y  ¡ ( K )  X / N
K

và

là

không

ánh

xa ̣ 1-1.

bi ̣ chă ̣n

khi

Ánh
không

xa ̣ ngươ ̣c
xác

đinh
̣

°1 K

° : X / N  X / N là compact nế u sự hơ ̣p thành của các toán tử
I K

°1
compact. Điề u này mâu thuẫn với giả thiế t là tâ ̣p X / N vô ha ̣n. Vì K

bi ̣chă ̣n, dẫn đế n tồ n ta ̣i daỹ ([ zn ])  X / N với Kzn  0 và P[ zn ] P 1 .
Cho ̣n vn  N sao cho P zn  vn P
Thì Kxn  0 và P xn P .

Trang 15

(z  v )
1
và đă ̣t xn : n n .
2
P Kzn P


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Chương 2
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA
Ở chương trước, ta đã triǹ h bày mô ̣t số ví du ̣ về bài toán ngươ ̣c. Mô ̣t
bài toán ngươ ̣c có thể mô hình hóa như là tìm nghiê ̣m của phương trình:

Kx  y .

(2.1)

Trong đó K là toán tử tuyế n tiń h, compact giữa không gian Hilbert X
và Y xét trên trường K  ¡ .
Chương này nghiên cứu có hê ̣ thố ng các lươ ̣c đồ chiń h quy hóa cho bài
toán (2.1) khi bài toán đươ ̣c cho là đă ̣t không chỉnh.
2.1.

Đinh
̣ nghiã toán tử chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa
Để đơn giản, chúng ta giả sử trong suố t giáo trình này K là toán
tử compact và là ánh xa ̣ 1-1. Đây không phải là mô ̣t giới ha ̣n nghiêm
tro ̣ng bởi vì chúng ta có thể bổ sung phầ n bù trực giao của K .
Giả sử tồ n ta ̣i nghiêm
̣ x  X của phương trình không bi ̣ nhiễu
loa ̣n Kx  y . Nói cách khác, chúng ta cho rằ ng y (K ) . Với K là
hàm đơn ánh thì x là nghiê ̣m duy nhấ t.
Trong thực tế , bên phải y Y không bao giờ biế t chính xác mà nó
chỉ đươ ̣c biế t mô ̣t cách xấ p xỉ với mô ̣t sai số   0 nào đó, tức là ta chỉ


biế t các xấ p xỉ y của y với P y  y P  .

Bài toán của chúng ta là tìm nghiê ̣m xấ p xỉ của phương trình khi


biế t y với P y  y P  .

Trang 16

Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Mô ̣t cách thông thường, nghiê ̣m xấ p xỉ đươ ̣c lấ y từ nghiê ̣m của
phương triǹ h
Kx  y .

(2.2)

Nói chung, (2.2) là không thể giải đươ ̣c bởi vì chúng tôi không thể

giả thiế t các dữ liê ̣u đươ ̣c đo y ( K ) của K . Hơn nữa, cho dù

y ( K ) thì nghiê ̣m x cũng có thể không phải là mô ̣t xấ p xỉ của x ,
tức là có thể P x  x P 0 cho dù   0.
Mu ̣c tiêu của chúng tôi là xây dựng mô ̣t xấ p xỉ bi ̣ chă ̣n phù
1
hơ ̣p R : Y  X của toán tử ngươ ̣c K : ( K )  X ( không bi ̣chă ̣n ).

Đinh
̣ nghiã 2.1.1. Mô ̣t lươ ̣c đồ chính quy hóa là mô ̣t ho ̣ các toán tử
tuyế n tính, bi ̣chă ̣n

R :Y  X ,   0,
sao cho: lim R Kx  x , x  X , tức là có toán tử R K hô ̣i tu ̣ điể m đế n
 0
toán tử đơn vi.̣
Khi đó :

 đươ ̣c go ̣i là tham số chỉnh hóa,

R đươ ̣c go ̣i là toán tử chin̉ h hóa.
Đinh
̣ nghiã 2.1.2. Mô ̣t lươ ̣c đồ chính quy hóa    ( ) đươ ̣c go ̣i là
chấ p nhâ ̣n đươ ̣c nế u  ( )  0 và

sup{P R ( ) y  x P: y Y , P Kx  y P  }  0, x  X khi   0.

Trang 17


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

2.2.

Các đinh
̣ lý và tính chấ t
Đinh
̣ lý 2.2.1. Cho R là lươ ̣c đồ chính quy hóa cho toán tử compact

K : X  Y với dim X   . Khi đó:
(1)

Toán tử R là không bi ̣ chă ̣n đề u, nghiã là, tồ n ta ̣i daỹ ( j ) sao
cho P R j P  , j  .

(2)

Dãy  R Kx  không hô ̣i tu ̣ đề u trên tâ ̣p con bi ̣ chă ̣n của X , có
nghiã là, không có hô ̣i tu ̣ R K đế n đơn vi ̣ I theo toán tử chuẩ n.

Chứng minh.
(1)

Giả sử ngươ ̣c la ̣i, c  0 sao cho PR P c ,   0 .
1
Từ R y  K y(  0)  y ( K ) và P R y P c P y P  0.

Chúng ta kế t luâ ̣n: P K 1 y P c P y P  ( K )  , nghiã là, K 1 bi ̣
chă ̣n. Điề u này nghiã là: I  K 1K : X  X là compact, mâu
thuẫn với dim X   .
Vâ ̣y suy ra điề u giả sử là không đúng.
Suy ra (1) đúng ( điề u phải chứng minh ).
(2)

Giả sử R K  I trong L  X , X  với chuẩ n toán tử. Từ tính
compact của R K chúng ta kế t luâ ̣n rằ ng I cũng là compact.
Điề u này chỉ có thể khi dim X   . Nhưng theo giả thiế t:

dim X   . Suy ra mâu thuẫn.

Trang 18


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Khái niê ̣m về lươ ̣c đồ chiń h quy hóa dựa trên dữ liêụ không bị
nhiễu loa ̣n, có nghiã là R y hô ̣i tu ̣ đế n

x với chính xác vế phải

y  Kx.


Bây giờ y (K ) là giá tri ̣ chính xác bên vế phải và y Y là dữ liêụ


đươ ̣c đo với P y  y P  .

Chúng ta đinh
̣ nghiã

x , : R y
như là mô ̣t xấ p xỉ nghiê ̣m

(2.3)

x của Kx  y .

Sau đó sai số đươ ̣c tách thành hai phầ n bởi các ứng du ̣ng rõ ràng của
bấ t đẳ ng thức sau:

P x ,  x PP R y  R y P P R y  x P
P R P. P y  y P P R Kx  x P.

 ,
Và do đó P x  x P  P R P P R Kx  x P.

(2.4)

Đây là ước tính cơ bản mà ta thường sử du ̣ng trong các điề u kiêṇ cơ
bản sau.
Chúng ta quan sát thấ y sai số giữa nghiêm
̣ chính xác và nghiệm
tính toán gồ m 2 thành phầ n:
Thứ nhấ t, bên vế phải mô tả các sai số trong dữ liêụ nhân với số
điề u kiêṇ P R P của bài toán chính quy hóa. Bằ ng Đinh
̣ lý 2.3, số lươ ̣ng
này tiế n đế n  khi   0 .





1
Thứ hai, biể u thi ̣ sai số xấ p xỉ P R  K y P ứng với dữ liêụ

chính xác bên phải y  Kx . Bằ ng đinh
̣ nghiã của phương pháp chính

Trang 19


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

quy hóa, số ha ̣ng này tiế n đế n 0 khi   0 . Hình 2.1 minh ho ̣a cu ̣ thể
hơn.
Ta thấ y rằ ng chúng ta cầ n mô ̣t phương pháp để lựa cho ̣n  ( ) (
phu ̣ thuô ̣c vào  ) để giữ cho sai số càng nhỏ càng tố t. Có nghiã là ta
muố n làm cho đa ̣i lươ ̣ng  PR P PR Kx  x P đa ̣t cực tiể u.
Sai số

PR Kx  x P

 P R P



*

Hình 2.1
Phầ n tiế p theo, chúng ta trình bày mô ̣t số lươ ̣c đồ chin̉ h hóa cho bài
toán (2.1).





Đinh
̣ lý 2.2.2. Cho K : X  Y là compact với hê ̣ kỳ di ̣  j , x j , y j và

q :  0,    0, P K P  ¡
là mô ̣t hàm với các tính chấ t sau:

(1)

| q  ,   | 1,   0 và 0  PK P.

Trang 20


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

(2)
(3a)

  0, c( ) sao cho: | q(, )|  c( ) , 0   PK P.
lim q( , )  1, 0   PK P.

 0

Khi đó ho ̣ toán tử R :Y  X ,   0 đươ ̣c đinh
̣ nghiã :


q( ,  j )

j 1

j

R y : 

( y, y j ) x j , y  Y ,

(2.5)

là lươ ̣c đồ chính quy hóa với PR P c( ) . Mô ̣t lựa cho ̣n    ( ) là
chấ p nhâ ̣n đươ ̣c nế u  ( )  0 và  c  ( )   0 khi   0 . Hàm q
đươ ̣c go ̣i là lo ̣c chiń h quy đố i với K .
Chứng minh.
Toán tử R bi chă
̣
̣n vì chúng ta có giả thiế t (2) rằ ng


P R y P  [ q( ,  j )]2 .
2

j 1

1

j

2

.| ( y, y j ) |2



 c( )2 | ( y, y j ) |2  c( )2 . P y P2 ;

j 1

nghiã là PR P c( ) . Từ


q( ,  j )

j 1

j

R Kx  



( Kx, y j ) x j , x   ( x, x j )x j ,
j 1

và

( Kx, y j )  ( x, K * y j )   j ( x, x j ), chúng ta kế t luâ ̣n rằ ng:


P R Kx  x P2  [q( ,  j )  1]2 | ( x, x j ) |2 .
j 1

Trang 21

(2.6)

Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

Ở đây K * là kí hiêụ phù hơ ̣p của K . Bây giờ ta cho x  X tùy ý nhưng
cố đinh.
̣ Với   0 thì  N ¥ sao cho:




| ( x, x j ) |2 

n N 1

2
8

.

Do (3a)  0  0 sao cho:
[q( ,  j )  1]2 

2
2 P x P2

, j  1,..., N và 0    0 .

Với (1) ta kế t luâ ̣n:



N

P R Kx  x P  [q( ,  j )  1] | x, x j | 
2

2

2

j 1



2

N

 [q( ,  )  1]

2

n N 1

j

| x, x j |2

2

| x, x j |2    2 ,
2 
2 P x P j 1
2

0    0 . Điề u này chứng tỏ rằ ng:

R Kx  x (  0) , x  X .
Theo đinh
̣ lý này chúng ta đươ ̣c biế t sự hô ̣i tu ̣ của R y đế n

 0.
Đinh
̣ lý 2.2.3. Cho giả thiế t (1) và (2) của đinh
̣ lý trước:
(i)

Cho (3a) thay thế bởi điề u kiêṇ ma ̣nh hơn:

(3b)

c1  0 với

| q( ,  )  1|  c1


,   0, 0   P K P.


Trang 22

x

khi


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

*
Hơn nữa, nế u x ( K ) thì:

P R Kx  x P c1  P z P,

(2.7a)

*
với x  K z .

(ii)

Cho (3a) đươ ̣c thay thế bởi điề u kiêṇ ma ̣nh hơn:

(3c)

c2  0 với

| q( ,  )  1|  c2


,   0, 0   PK P.
2

*
Hơn nữa, nế u x ( K K ) thì:

PR Kx  x P c2 Pz P,

(2.7b)

*
khi x  K Kz .

Chứng minh.
Với x  K *z và ( x, x j )   j ( z, y j ) , bằ ng công thức (2.6) lấ y tích


phân P R Kx  x P  [q( ,  j )  1]2  j 2 | ( z, y j ) |2  c12 P z P2 .
2

j 1

Trường hơ ̣p (ii) tương tự.
Ta đã có vài ví du ̣ của hàm q:(0, )  (0,PK P)  ¡ thỏa mañ giả
thiế t (1), (2), (3a-c) của đinh
̣ lý trước. Chúng ta nghiên cứu hai trong ba
hàm này ở mu ̣c tiế p theo cu ̣ thể hơn.
Đinh

̣ lý 2.2.4. Ba hàm q đươ ̣c đưa ra dưới đây thỏa mañ giả thiế t (1),
(2) và (3a-c) của Đinh
̣ lý 2.2.2 hay 2.2.3, tương ứng:

Trang 23


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân

(a)

1
 2 . Cho (2) vơi
̣n
. Giả thiế t (3b) và
q( ,  ) 
́ c( ) 
2
(   )
2 
1
(3c) đươ ̣c thỏa mañ với c1  , c2  1 , tương ứng.
2

(b)

1
2 

q( ,  )  1  (1  a ) với 0  a 
c( ) 

(c)

a



1
. Ở trường hơ ̣p (2): với
P K P2

1
1
và c2  .
a
2a

. (3b) và (3c) thỏa man
̃ : c1 

1,  2   ,
Cho q đươ ̣c xác đinh
̣ bởi q( ,  )  
2
0,    .
Ở trường hơ ̣p (2) nắ m giữ với c( ) 

1



. (3b) và (3c) thỏa mañ

với c1  c2  1.
Từ đinh
̣ lý trên, các hàm q xác đinh
̣ ở (a), (b), (c) là các hàm lo ̣c
chính quy hóa và lươ ̣c đồ chiń h quy hóa (2.5) với q đươ ̣c cho
bởi mô ̣t trong ba trường hơ ̣p (a), (b), (c) là phương pháp chính
quy hóa.
Chứng minh.
Với cả ba trường hơ ̣p, tính chấ t (1) và (3a) là rõ ràng.
(a)

Tính chấ t (2) và (3b) là ước lươ ̣ng sơ cấ p


1

,  ,   0.
2
  2 

Trang 24


Luận văn tố t nghiê ̣p

SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân


Vì 1  q( ,  ) 
. Tính chấ t (3) là rõ ràng.
  2
(b)

Tính chấ t (2) lấ y trực tiế p từ bấ t đẳ ng thức Becnuli :
1
2 

1  (1  a )  1  (1 
a

sao cho: | q( ,  ) | | q( ,  ) | 



a 2



)

a 2



,

.

(3b) và (3c) lấ y từ ước lươ ̣ng sơ cấ p
1
1
2
2 
,
và  (1  a ) 
a

2a

 (1  a 2 ) 

  0, 0   

(c)

1
.
a

2
Theo tin
́ h chấ t (2) là đủ để xét trường hơ ̣p    . Ở trường hơ ̣p



này , q( ,  )  1 
. Cho (3b) và (3c) ta xét duy nhấ t trường

hơ ̣p

2   .

Sau

đó

đế n

 (1  q( ,  ))    

và

 2 (1  q( , ))   2  .
Chúng ta sẽ nhìn thấ y phương pháp chính quy hóa đó là mô ̣t
trong hai sự lựa cho ̣n đầ u tiên của q thừa nhâ ̣n mô ̣t đă ̣c tính rằ ng không
phải kiế n thức của hê ̣ suy biế n. Sự lựa cho ̣n (c) của q đươ ̣c go ̣i là cắ t
̣ x ,  X đươ ̣c đinh
̣ nghiã bởi
phổ .Cắ t phổ có nghiêm

x , 

1



  
2
j

( y , y j ) x j .

j

Trang 25