Phương pháp lượng giác hóa trong đại số

Khóa luận tốt nghiệp đại học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ

Sinh viên thực hiện: Mai Thị Lý
Lớp: 09 CTT1
Giáo viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Thị Sinh

Đà Nẵng, tháng 5/2013

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp đại học

LỜI CẢM ƠN
Tơi xin chân thành cảm ơn cơ Nguyễn Thị Sinh đã nhiệt tình hướng dẫn,
chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở những ý tưởng giúp tơi hồn thành
khóa luận này.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Trường Đại
học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, đóng góp ý
kiến q báu giúp tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp của mình.

Tơi xin cảm ơn phịng thư viện Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà
Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi có được nguồn tài liệu làm khóa luận.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người ln ủng hộ
tơi, cung cấp cho tôi những thông tin cần thiết, những lời động viên khích lệ
cùng các ý kiến quý báu trong thời gian tơi làm khóa luận.

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013
Sinh viên thực hiện
Mai Thị Lý

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
Khi giải các bài toán về đại số, trong một số trường hợp ta có thể chuyển
chúng thành các bài tốn lượng giác để giải, cơng việc này được gọi là phương
pháp lượng giác hóa. Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho bài tốn
được xác định thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt trong bài
tốn và các dấu hiệu đó lại được xác định thông qua miền giá trị của chúng cùng
với các công thức lượng giác thông thường. Chẳng hạn nếu điều kiện ràng buộc
giữa các ẩn được quy về dạng : x2 + y2 = a2 (a > 0), thì ta có thể đặt x = a.sin  ,
y = a. cos hoặc nếu có x + y + z = xyz, thì ta có thể đặt x = tan , y = tan  ,
z= tan  với       k …
Sau khi đặt ẩn phụ ta qui bài toán ban đầu về bài toán lượng giác. Giải
bài toán lượng giác, từ kết quả đó ta có kết quả của bài tốn đại số.

Như vậy, phương pháp luợng giác hóa là một phương pháp quan trọng để
giải một số dạng tốn, điển hình là các dạng toán về chứng minh đẳng thức,
chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, giải bất phương
trình, biện luận, giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất…
Hơn thế nữa, khi sử dụng phương pháp này các bài tốn khó sẽ trở nên
đơn giản hơn mà không làm giảm tư duy của học sinh cũng như tính thú vị của
bài tốn.
Với những lí do trên, tơi đã chọn đề tài “Phương pháp lượng giác hóa
trong đại số “ để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu, ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để
giải một số dạng tốn trong chương trình tốn phổ thơng.
Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp đại học

3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có hai chương :
Chương I, trình bày lý thuyết cơ sở về luợng giác và các dấu hiệu nhận
biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải các bài tập đại số.
Chương II, trình bày phương pháp lượng giác hóa để giải các bài tốn
trong đại số như chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, giải phương
trình, hệ phương trình, giải bất phương trình, biện luận và giải phương trình bậc
cao, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp đại học

CHƯƠNG I
LÝ THUYẾT CƠ SỞ
I. CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG.
1. Các tính chất của hàm sinx, cosx, tanx, cotx.
1.1. Với mọi  , ta ln có

sin 2   cos2   1.
1.2. Khi   k


2

, k  Z , ta có
cot 

1.3. Khi  


2

1
.
tan 

 k , k  Z ta có

1  tan2  

1
.
cos2 

Khi   k , k  Z ta có

1  cot2  

1
.
sin 2 

2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt.
2.1. Hai góc đối nhau.

sin(  )   sin  .
cos( )  cos .
tan(  )   tan  .
cot( )   cot  .

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp đại học

2.2. Hai góc hơn kém nhau  .

sin(   )   sin  .
cos(   )   cos .
tan(   )  tan  .
cot(   )  cot .
2.3. Hai góc bù nhau.

sin(   )  sin  .
cos(   )   cos .
tan(   )   tan  .
cot(   )   cot .
2.4. Hai góc phụ nhau.



sin(   )  cos .
2



cos(   )  sin  .
2



tan(   )  cot .
2



cot(   )  tan  .
2
3. Một số công thức lượng giác.
3.1. Cơng thức cộng
Với mọi góc lượng giác  ,  , ta có cơng thức cộng đối với sinx, cosx :

cos(   )  cos cos   sin  cos  .
cos(   )  cos cos   sin  cos  .
sin(   )  sin  cos   cos sin  .
sin(   )  sin  cos   cos sin  .

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Với các điều kiện  


2

 k ,  


2

 k ,    


2

 k , k  Z

ta có các cơng thức cộng đối với tanx, cotx :

tan(   ) 

tan   tan 
.
1  tan  tan 

tan(   ) 

tan   tan 
.
1  tan  tan 

3.2. Công thức nhân đôi

cos2  cos2   sin 2   2 cos2   1  1  2 sin 2 
sin 2  2 sin  cos .
2 tan 


tan 2 
.
(




k

,


 k , k  Z )
1  tan 2 
2
4
3.3. Công thức hạ bậc

1  cos 2
2
1  cos 2
cos2  
2
1  cos 2

tan 2  
, (   k , k  Z )
1  cos 2
2

sin 2  

3.4. Công thức biểu diễn sin  , cos , tan  theo t  tan
Giả sử (    2k , k  Z ) đặt t  tan

2t
sin  
1 t2

tan  
Mai Thị Lý -09CTT1


2


2

, ta có

1 t2
, cos 
1 t2

2t

.
(


 k , k  Z )
2
1 t2
Trang 7

Khóa luận tốt nghiệp đại học

3.5. Cơng thức nhân ba.

sin 3  3 sin   4 sin 3  .
cos3  4 cos3   3 cos .
3.6. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos . cos   .[cos(   )  cos(   )].
2
1
sin  . sin    .[cos(   )  cos(   )].
2
1
sin  . cos   .[sin(   )  sin(   )].
2
3.7. Công thức biến đổi tổng thành tích.

cos  cos  2. cos

 

cos

 

.
2

2
 
 
cos  cos  2.sin
sin
.
2
2
 
 
sin   sin   2.sin
cos
.
2
2
 
 
sin   sin   2. cos
sin
.
2
2
Mặt khác với điều kiện  ,  


2

 k

ta có

sin(   )
.
cos . cos 
sin(   )
tan   tan  
cos . cos 

tan   tan  

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp đại học

II. MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT VIỆC LỰA CHỌN PHƯƠNG
PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ.
Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho bài tốn được xác định
thơng qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt trong bài tốn và các dấu
hiệu đó lại được xác định thông qua miền giá trị của chúng cùng với các cơng
thức lượng giác thơng thường.
Ta thường có các dấu hiệu sau :
1. Nếu có điều kiện của biến x là x  a (a  0) , ta có thể đặt

  

x = asint, với t   ,  hoặc x =acost, với t  0,  .
 2 2

Trong trường hợp riêng :
Nếu 0  x  a , ta có thể đặt :



 
 
x = asint , t  0,  hoặc x = acost, với t  0, .
 2
 2

Nếu  a  x  0 , ta có thể đặt :



  
 
x = asint , t   ,0 hoặc x = acost, với t   ,  .
 2 
2 
2. Nếu biến x  R, ta có thể đặt

  
x  tan với     , 
 2 2

Trong trường hợp riêng :
Nếu x  0 , ta có thể đặt :



 
 
x  tan  , với   0,  hoặc x  cot , với   0, .
 2
 2
Nếu x  0 , ta có thể đặt :



 
 
,0 hoặc x  cot , với    ,  .
2 
 2 

x  tan  , với   
Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp đại học

3. Nếu hai biến x,y thỏa mãn điều kiện a2x2 + b2y2 = c2 , với a, b, c > 0, ta
được :
2

2

 ax 
 by 

 
  1.
c
c




Đặt :

c sin t
 ax

 sin t
x


c

a


 by  cost
 y  c cost


b

c


khi t [0,2 ].

Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của x và y ta có thể hạn
chế góc t, ví dụ nếu x, y > 0 thì 0 < t <


.
2

4. Nếu x  0 , y  0 , z  0 thỏa điều kiện

 xy + yz + zx = 1.
 x + y + z = xyz.
 xy + yx + zy = 1.
 x + y + z – xyz = 1 – xy – yz –zx.
 xy  1, yz  1, zx  1.


x

1
1
1
, y , z .
3
3
3

Thì đặt :

x  tan , y  tan  , z  tan 

.

Tùy theo từng trường hợp thì :

 ,  ,  0,


Mai Thị Lý -09CTT1




2

hoặc

   
, 
 2 2

 ,  ,  

Trang 10

Khóa luận tốt nghiệp đại học

5. Nếu 0 < a, b, c < 1 thỏa điều kiện :
a2 + b2 + c2 + 2abc = 1.
thì đặt a  cos , b  cos , c  cos .

0 ,  ,  

Với


2

.

6. Nếu các số a, b, c, d thỏa mãn : a2 + b2 = c2 + d2 = 1 thì đặt

a  sin  , b  cos
c  sin  , d  cos
Tùy từng trường hợp,

 ,  [0, 2 ) hoặc  ,  [0,  ) .

7. Nếu a > 0, b > 0 và a + b = 1 thì đặt

a  sin 2 
b  cos2 

với

  0,  .

8. Nếu m  1 thì đặt m  cos .

9. Nếu x > 1 thì đặt

x

1
 
; t   0, 
cos t
 2

10. Nếu a  0 thì đặt

   
x  a tan t ; t  
, 
 2 2
11. Nếu 0  x  1 thì đặt

 
x  cos2 t ; t  0, 
 2

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp đại học

12. Nếu điều kiện x , y  1 thì đặt

 x  sin 
  
khi  ,     , 

 2 2
 y  cos 
13. Nếu điều kiện x , y  1 thì đặt
 x  tan 
    
khi  ,     ,  \  

 2 2   4
 y  tan 
14. Các biểu thức thông thường được lượng giác hóa :
Cách lượng giác hóa biểu thức

Biểu thức


 x  a sin t

 x  a cost

a2  x2



t 
2
2.
khi 0  t  

khi 

  
khi t   ,  \ 0
 2 2
.
 
khi t  [0,  ] \  
2

x2  a2


1
 x  a sin t


1
x  a
cost


a 2  x2




x

a
tan
t
khi


t


2
2.

 x  a cot t khi 0  t   .

ax
hoặc
ax

ax
ax

( x  a)(b  x)

a b

1  ab

Mai Thị Lý -09CTT1

x = a cos2t , (x=cost)
x = a + (b – a )sin2t.

a  tan 

b  tan 

  
, khi  ,     ,  .
 2 2

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp đại học

15. Một số bài tốn cơ bản phục vụ cho việc giải quyết các bài tập trong
chương 2.
Bài 1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để        với

0  ,  , 


2

là cos2   cos2   cos2   2 cos cos  cos  1

Chứng minh.

Ta có

cos 2   cos 2   cos 2   2 cos cos  cos  1
1
1
 (1  cos 2 )  (1  cos 2 )  cos 2   cos(   )  cos(   )cos  1
2
2
 cos(   ) cos(   )  cos 2   cos(   ) cos  cos(   ) cos  0
 cos(   )  cos cos(   )  cos   0
 cos(   )  cos  0


  
 do cos(   )  cos  0  ,  ,    0;  
 2 


 cos(   )  cos(   )
     
Bài 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để      

0  ,  , 


với
2


là tan  tan   tan  tan   tan  tan   1.
2
Chứng minh.

Ta có

tan  tan   tan  tan   tan  tan   1
 tan  (tan   tan  )  1  tan  tan 

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp đại học

 tan  

1  tan  tan 
 cot(   )
tan   tan 

    


 k .
2



3
1
 3 
hay  k  1.
 với 0   k 
2
2
2
 2

Do       0,

Vì k  Z nên k = 0. Vậy      


.
2

Bài 3. Chứng minh rằng điểu kiện cần và đủ để



 ,  , 
2
2

      k , k  Z với

là. tan   tan   tan   tan  tan  tan 
Chứng minh.

Ta có

tan   tan   tan   tan  tan  tan 
 tan   tan   (1  tan  tan  ) tan 


tan   tan 
  tan 
1  tan  tan 

 tan(   )  tan(  )
       k        k .
Bài 4. Chứng minh rằng điểu kiện cần và đủ để      


 k , k  Z
2





,

,


với
là tan  tan   tan  tan   tan  tan   1.

2
2

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chứng minh.
Ta có

tan  tan   tan  tan   tan  tan   1
 1  tan  tan   (tan   tan  ) tan 
Nếu tan  tan   1 thì tan   tan   0 hoặc

, (a)

tan   0 .

 tan   tan   0  tan    tan  khi đó  tan 2   1, vơ lý
 tan   0 , vơ lý .vì



 
2
2

Vậy tan  tan   1 . Khi đó từ (a) ta có

tan   tan 
. tan   1
1  tan  . tan 
 tan(   )  tan(
    

Mai Thị Lý -09CTT1


2


2

 )

 k , k  Z .

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp đại học

CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
TRONG ĐẠI SỐ
Chương này sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài tốn
trong lĩnh vực đại số như : chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức,

giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ phương trình, biện luận, giải
phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Để giải các bài toán này ta thực hiện các bước sau :
Lượng giác hóa bài toán tùy vào từng dạng bài và các điều kiện cụ thể
trong từng bài.
Thực hiện việc giải các bài toán lượng giác từ đó suy ra kết quả cần tìm.
I. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA CHỨNG MINH ĐẴNG THỨC.
Bài tốn 1:
Cho a2 + b2 + c2 +2abc = 1 và 0 < a, b, c < 1, chứng minh rằng

abc  1  c. (1  a 2 )(1  b2 )  a. (1  b2 )(1  c2 )  b. (1  c2 )(1  a 2 ) .

Giải :
Vì 0 < a, b, c < 1, ta đặt


a  cos , b  cos  , c  cos với 0   ,  ,  .
2
Khi đó điều kiện
Mai Thị Lý -09CTT1

a2 + b2 + c2 +2abc = 1
Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp đại học

 cos2   cos2   cos2   2 cos cos  cos  1
    
Đẳng thức cần chứng minh được biến đổi về dạng :

cos cos  cos   1
 cos  sin  sin   cos sin  sin   cos  sin  sin 
 cos(   ). cos   sin(    ). sin   1  0
 cos(     )  1  0 (1)
(1) ln đúng nên suy ra điều phải chứng minh.

Bài tốn 2 :
Cho x  0 , y  0 , z  0 thỏa mản điều kiện sau :
xy + yz + zx = 1 .

(2)

chứng minh rằng :

(1  y 2 )(1  z 2 )
(1  z 2 )(1  x 2 )
(1  x 2 )(1  y 2 )
x
y
z
 2.
1  x2
1  y2
1 z2
Giải :

 
Đặt x  tan  , y  tan  , z  tan  với  ,  ,   0,  .
 2

Khi đó (2) có dạng :

tan  tan   tan  tan   tan  tan   1
    
Ta có :


2

(1  y 2 )(1  z 2 )
(1  tan 2  )(1  tan 2  )
x
 tan 
1  x2
1  tan 2 

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp đại học

cos
sin 

cos  cos  cos  cos 
cos(   ) 



 do       
cos  cos 
2

cos  cos   sin  sin 

cos  cos 
 1  tan  tan 
 1  yz.
 tan 

Tương tự ta có :

y

(1  z 2 )(1  x 2 )
 1  xz. ;
1 y2

(1  x 2 )(1  y 2 )
z
 1  xy.
1 z 2

Suy ra :

(1  y 2 )(1  z 2 )
(1  z 2 )(1  x 2 )
(1  x 2 )(1  y 2 )
x

y
z
1  x2
1 y2
1 z2
 3  ( xy  yz  zx)  2.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tốn 3 :
Cho a + b + c = abc , chứng minh rằng

3a  a 3 3b  b3 3c  c 3 3a  a 3 3b  b3 3c  c 3



.
.
2
2
2
2
2
1  3a
1  3b
1  3c
1  3a 1  3b 1  3c 2

(3)

Giải :

Đặt

  
, 
 2 2

x  tan  , y  tan  , z  tan  với  ,  ,    
Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Từ giả thiết ta có :

a  b  c  abc
 tan   tan   tan   tan  tan  tan 
       k .
Khi đó (3) được biến đổi về dạng :

3 tan   tan 3  3 tan   tan 3  3 tan   tan 3 


1  3 tan 2 
1  3 tan 2 
1  3 tan 2 
3 tan   tan 3  3 tan   tan 3  3 tan   tan 3 

1  3 tan 2 

1  3 tan 2 
1  3 tan 2 
 tan 3  tan 3  tan 3  tan 3 tan 3 tan 3
 tan 3  tan 3  (1  tan 3 tan 3 ) tan 3


tan 3  tan 3
  tan 3
1  tan 3 tan 3

 tan( 3  3 )   tan 3
Do       k nên đẳng thức trên ln đúng. Vậy ta có điều phải
chứng minh.
Bài tốn 4 :
Cho x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình :
x3 + ax2 + x + b = 0. (4)
và b  0, chứng minh rằng


1 
1 
1 
1 
1 
1
 x1   x2     x2   x3     x3   x1    4.
x1 
x2  
x2 
x3  

x3 
x1 

Giải : Vì x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình (4) nên :

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp đại học

x1 x2  x2 x3  x3 x1  1
x1 x2  x2 x3  x3 x1  1



 b  0 x1 x2 x3
0
x1 x2 x3
  
Đặt x  tan  , y  tan  , z  tan  với  ,  ,     , .
 2 2
Ta có :

tan  tan   tan  tan   tan  tan   1
    


2

 k , k  Z

Và


1 
1  
1 
1 
1 
1
 x1   x2 
   x2 
 x3     x3   x1  
x1 
x2  
x2 
x3  
x3 
x1 

 (tan   cot  )(tan   cot  )  (tan   cot  )(tan   cot  ) 

 1
 1
 (tan   cot  )(tan   cot  )  
 cot  
 cot   
 cot 

 cot 

 1
 1
  1
 1

 
 cot  
 cot    
 cot  
 cot  
  cot 
 cot 

 cot 
 cot 
 1  cot 2   1  cot 2    1  cot 2   1  cot 2    1  cot 2   1  cot 2  

 

 


 
 cot     cot   cot     cot   cot  
cot




 

 


 4 cot 2 cot 2  4 cot 2 (cot 2  cot 2 )
 4 cot 2 cot 2  4 cot(2  2 )(cot 2  cot 2 )
 4 cot 2 cot 2  4

(do 2    (2  2  k 2 ))

cot 2  cot 2  1
(cot 2  cot 2 ).
cot 2  cot 2

Vậy


1 
1 
1 
1 
1 
1
 x1   x2     x2   x3     x3   x1    4.
x1 
x2  
x2 
x3  
x3 

x1 

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bài tốn 5 :
Cho các số a, b thỏa mãn b  a , chứng minh rằng :

a  b  a  b  a  a 2  b2  a  a 2  b2 .

(5)

Giải :
Ta đi xét các truờng hợp sau :


Nếu a  0  b  0, khi đó (5) ln đúng.



Nếu a  0 , biến đổi (5) về dạng :

b
b
b2
b2

1  1  1 1 2  1 1 2 .
a
a
a
a
Đặt

b
 cos ,   [0,  ]. Khi đó (5) có dạng:
a

1  cos  1  cos  1  1  cos2   1  1  cos2 
 1  cos  1  cos  1  sin   1  sin 
 1  cos  1  cos  1  sin   1  sin 
 2  2 ( luôn đúng )
Vậy đẳng thức (5) đuợc chứng minh.

Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp đại học

II. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC.
Bài tốn 6 :
Chứng minh rằng

4[a3  (1  a 2 )3 ]  3(a  1  a 2 ) 

2.

(6)

Giải :
2
Điều kiện 1  a  0  a  1 , nên đặt a  cos với  [0,  ]

Khi đó (6) được biến đổi về dạng :

4[cos3  

(1  cos2  )3 ]  3(cos  sin  ) 

 4.3(cos3   3 cos )  (sin   4 sin 3)  
 cos 3  sin 3 

2

2

2



 cos(3  )  1 (luôn đúng).
4
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài toán 7 :
Chứng minh rằng nếu x  1thì với  số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có :

(1  x) n  (1  x) n  2 n

Giải :
Vì x  1 nên đặt x  cos t với t (0,  ) .
Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi về dạng :
Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp đại học

(1  cos t ) n  (1  cos t ) n  2n

(7)

Ta thấy :

1  cos t  2 cos2

t
;
2

1  cos t  2 sin 2

t

.
2

Thay vào (7) ta được :

t
t

2n  cos2n  sin 2n   2n
2
2

Bởi vì 0 

t 
t
t

nên 0  sin , cos  1 . Do vậy
2
2
2 2
n

2n

cos

t 
t

t
  cos2   cos2
2 
2
2

n  1.

Tương tự ta có :

sin 2n

t
t
 sin 2
2
2

n  1 .

Suy ra :

t
t
t
t


2n  cos2n  sin 2n   2n  cos2  sin 2   2n
2

2
2
2


Đó là điều phải chứng minh.

Bài toán 8 :
Chứng minh rằng :

(a  b)4  8(a 4  b4 )

(8)

Giải :
Với a = 0 thì (8) đúng.
Với a  0. Ta đặt
Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp đại học

tan x 

b
   
Với x  
, 

a
 2 2

Bất đẳng thức (8) được biến đổi thành :

(1  tan x) 4  8(1  tan 4 x)
4
 cos4 x  sin 4 x 
 cos x  sin x 


  8
4

cos x
cos
x





 (cos x  sin x) 4  8(cos4 x  sin 4 x) (8' ).
Vì

 cos4 x  sin 4 x  (cos2 x  sin 2 x) 2  2. cos2 x. sin 2 x
sin 2 2 x 3  cos 4 x
1

2

4
 (cos x  sin x)4  (1  sin 2 x)2
3  4 sin 2 x  cos 4 x

2
(8' )  8(cos4 x  sin 4 x)  (sin x  cos x) 4
9 5
  cos 4 x  2 sin 2 x  0.
2 2
Bất đẳng thức trên ln đúng vì
Nên

cos 4x  1 và  2sin 2x  2
Vâỵ bất đẳng thức (8) được chứng minh.

Bài toán 9 :
Chứng minh rằng các số thực x, y, z tùy ý ta có :

x y
1  x2 1  y 2

Mai Thị Lý -09CTT1



xz
1  x2 1  z 2



zy
1  z2 1  y2

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Giải :
Đặt x  tan  , y  tan  , z  tan  với



 ,  ,  
2
2

Ta có

x y
1  x2 1  y2



tan   tan 
1  tan 2  1  tan 2 

 cos . cos 

sin  sin 


cos cos 

 sin  . cos   sin  cos  sin(    )
Tương tự ta có :

xz
1 x2 1 z 2
zy
1 z

2

1 y

2

 sin(   ) .
 sin(   )

.

Như vậy bất đẳng thức đã cho được đưa về bất đẳng thức sau :

sin(    )  sin(    )  sin(    )

(9)

   
,  , ta có :

2
2

sin(    )  sin  cos   sin  cos

Với mọi  ,  ,   

 sin  cos   sin  cos
 sin  . cos   sin  . cos
 sin   sin  .
Mà ta thấy : (   )  (   )  (   )
Suy ra bất đẳng thức (9) được chứng minh .
Mai Thị Lý -09CTT1

Trang 25