Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không gian

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Sinh viên thực hiện: Võ Thị Hương Trà
Lớp: 09 ST
Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Đà Nẵng, tháng 5/2013

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

MỤC LỤC

Trang
Lý do chọn đề tài ..................................................................................................................... 1
Cấu trúc luận văn .................................................................................................................... 1
Chương I: Quan hệ song song .............................................................................................. 2
1.1. Tóm tắt về các quan hệ song song .................................................................................. 2
1.1.1. Hai đường thẳng song song ........................................................................................ 2
1.1.2. Đường thẳng song song với mặt phẳng ...................................................................... 3
1.1.3. Hai mặt phẳng song song ........................................................................................... 4
1.2. Các bài toán áp dụng ....................................................................................................... 8
1.2.1. Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song ...................................................... 8
1.2.2. Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng .................................. 10
1.2.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song........................................................ 12
1.2.4. Dạng 4: Sử dụng quan hệ song song để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ............. 15
1.2.5. Dạng 5: Sử dụng quan hệ song song để xác định thiết diện của một mặt phẳng
và một hình ................................................................................................. 18
1.3. Bài tập tương tự ............................................................................................................. 21
Chương II: Quan hệ vuông góc .......................................................................................... 24
2.1. Tóm tắt về các quan hệ vng góc ............................................................................... 24
2.1.1. Hai đường thẳng vng góc ..................................................................................... 24
2.1.2. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng ................................................................... 25
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

2.1.3. Hai mặt phẳng vng góc ......................................................................................... 27

2.1.4. Một số hình đặc biệt ................................................................................................. 29
2.2. Bài tập áp dụng .............................................................................................................. 31
2.2.1. Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc.................................................... 31
2.2.2. Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ................................. 34
2.2.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc ....................................................... 37
2.2.4. Dạng 4: Sử dụng quan hệ vng góc để xác định thiết diện của một mặt phẳng
và một hình .................................................................................................. 40
2.3. Bài tập tương tự ............................................................................................................. 43
Chương III: Một số dạng tốn tổng hợp ........................................................................... 45
3.1. Tóm tắt về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc ........................... 45
3.1.1. Khoảng cách ............................................................................................................. 45
3.1.2. Góc ........................................................................................................................... 46
3.2. Bài tập áp dụng .............................................................................................................. 48
3.2.1. Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m cho trước ...................... 48
3.2.2. Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) ...................................... 50
3.2.3. Dạng 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song .......................... 53
3.2.4. Dạng 4: Cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ........................................... 57
3.2.5. Dạng 5: Góc giữa hai đường thẳng .......................................................................... 60
3.2.6. Dạng 6: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .......................................................... 61
3.2.7. Dạng 7: Góc giữa hai mặt phẳng .............................................................................. 64
3.2.8. Dạng 8: Các dạng toán về mặt cầu – khối cầu.......................................................... 67
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

3.2.9. Dạng 9: Các dạng tốn về mặt trụ – hình trụ – khối trụ ........................................... 74
3.2.10. Dạng 10: Các dạng toán về mặt nón – hình nón – khối nón ................................. 76
3.2.11. Dạng 11: Các ví dụ về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ............................................. 79
3.3. Bài tập tương tự ............................................................................................................. 81
Kết luận ................................................................................................................................. 82
Tài liệu tham khảo ................................................................................................................. 83

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô
giáo trường Đại học sư phạm – Đại học Đà Nẵng nói
chung, các thầy cơ giáo khoa Tốn nói riêng đã tận tình
dạy dỗ tơi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn
TS. Nguyễn Ngọc Châu đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ
và chỉ bảo tơi trong suốt q trình hồn thành luận văn.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện
Võ Thị Hương Trà

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Hình học là một trong những mơn học xuất hiện khá sớm. Khi mới ra đời, hình học là môn
khoa học thực nghiệm nảy sinh từ việc đo đạc, tính tốn các đại lượng về khoảng cách giữa
các điểm, diện tích các thửa ruộng, thể tích các thùng chứa,…Thời cổ đại, con người đã tích
lũy được nhiều kiến thức hình học khá phong phú, chẳng hạn như cơng thức Py-ta-go, định lý
Ta-lét, cơng thức tính thể tích hình chóp,…Dần dần, hình học trở thành một khoa học suy
diễn chặt chẽ. Ngày nay, hình học là một bộ phận không thể tách rời và là công cụ quan trọng
trong việc xây dựng nên những bộ mơn tốn học hiện đại, đồng thời có nhiều ứng dụng trong
nghành khoa học, kĩ thuật khác.
Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, hình học khơng gian là một trong những
mơn học khó, trong đó quan hệ song song và quan hệ vng góc là những nội dung cơ bản.
Các phương pháp giải tốn hình học khơng gian thường được dùng là: phương pháp vectơ,
phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song, quan hệ vng góc, phương pháp
tồng hợp,…Là một giáo viên Tốn tương lai, để tìm hiểu quan hệ song song và quan hệ vng
góc trong hình học không gian, tôi chọn đề tài “ Quan hệ song song và quan hệ vng góc
trong hình học khơng gian ” cho luận văn Đại học của mình.

Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành ba
chương.
Chương I: Quan hệ song song.

Chương II: Quan hệ vng góc.
Chương III: Một số dạng toán tổng hợp.

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

CHƯƠNG I: QUAN HỆ SONG SONG
Chương này trình bày các quan hệ song song trong hình học khơng gian, cùng các bài tốn
minh họa.
1.1. Tóm tắt về các quan hệ song song.
1.1.1. Hai đường thẳng song song.
1.1.1.1. Định nghĩa:
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng

a

cùng nằm trong một mặt phẳng mà khơng có điểm

b

chung.
1.1.1.2. Định lí:
Qua một điểm nằm ngồi một đường thẳng cho

b
B

trước ta dựng được một và chỉ một đường thẳng song
song với đường thẳng đã cho.

a

Tức là: B  a , ! b , B  b và a // b.
1.1.1.3. Hệ quả:

b

Trong mặt phẳng ( ) cho đường thẳng a và điểm B

a. Nếu từ B ta dựng đường thẳng b song song với a
thì b nằm trong mặt phẳng ( ) .

a

B

α

a  ( )

Tức là:  B  b
 b  ( )
b // a


1.1.1.4. Định lí:
Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào cắt

a

b

A

B

đường thẳng này thì phải cắt đường thẳng kia.

a // b
 ( )  b  B
Tức là: 
( )  a  A

α

1.1.1.5. Định lí:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

a // c
Tức là: 
 a // b
b // c
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

a
b
c
Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

1.1.1.6. Định lí:
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng
quy hoặc đơi một song song.

( )  ( )  a
a // b // c

Tức là với ( ), (  ), ( ) phân biệt và thỏa mãn: (  )  ( )  b  
a  b  c  M 
( )  (  )  c

γ

a

M

c

a

b

b

γ

α

β

β

α

1.1.1.7. Hệ quả: ( về giao tuyến )

c

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng
song song cho trước thì giao tuyến của chúng song song với hai

b

a

đường thẳng đó ( hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó ).

a  ( ), b  (  )


Tức là: a // b
 a // b // c .
( )  (  )  c


β

α

1.1.2. Đường thẳng song song với mặt phẳng.
1.1.2.1. Định nghĩa:
Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm
chung.
1.1.2.2. Định lí:
Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với

d

một mặt phẳng là đường thẳng đó khơng nằm trong mặt
phẳng và song song với một đường thẳng nào đó chứa

a
α

trong mặt phẳng.

d  ( )
 d // ( )
Tức là: 
d // a  ( )

1.1.2.3. Định lí:

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

d

α

β

a
Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) thì mọi mặt phẳng (  ) chứa d mà cắt
( ) thì cắt theo giao tuyến song song với d.

d // ( )

 d // a .
Tức là: d  (  )
( )  ( )  a

1.1.2.4. Hệ quả:
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) .

d

Nếu từ một điểm M của ( ) dựng đường thẳng a song
song với d thì đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( ) .

a

( ) // d

 a  ( )
Tức là: M  ( )
M  a // d


M

α

1.1.2.5. Định lí:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

d

c

( )  (  )  c

Tức là: ( ) // d
 d // c .

( ) // d


β
α

1.1.2.6. Định lí:
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Qua đường thẳng này, ta

b

dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với đường
thẳng kia.
Tức là với a, b chéo nhau thì:

a

a  ( )
! ( ) : 
( ) // b

α

1.1.2.7. Hệ quả:
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Từ một điểm bất kì khơng thuộc mặt phẳng chứa đường
thẳng này song song với đường thẳng kia, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song
với hai đường thẳng đã cho.
1.1.3. Hai mặt phẳng song song.
1.1.3.1. Định nghĩa:

β
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 9

α


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung.

1.1.3.2. Định lí:

a

Nếu hai mặt phẳng ( ) và (  ) song song với nhau

α

thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) đều
song song với (  ) .

a  ( )
Tức là: 
( ) // ( )

 a // ( ) .

β

1.1.3.3. Định lí:
Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau

a

α

và hai đường thẳng này cùng song song với một mặt

b

phẳng cho trước thì hai mặt phẳng đó song song với
nhau.
𝑎 // (𝛼) 𝑣à 𝑏 //(𝛽)
Tức là: {
𝑎 𝑐ắ𝑡 𝑏
𝑎, 𝑏 ⊂ (𝛼)

β
 ( ) // ( ) .

1.1.3.4. Hệ quả:
Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau
lần lượt song song với hai đường thẳng của một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
𝑎, 𝑏 ⊂ (𝛼); 𝑎′ , 𝑏′ ⊂ (𝛽)
 ( ) // ( ) .

Tức là: {
𝑎 𝑐ắ𝑡 𝑏
′
𝑎//𝑎 ; 𝑏//𝑏′

a

α

b

a'

β

b'

1.1.3.5. Định lí:
Qua một điểm O bất kì nằm ngồi mặt phẳng ( ) bao giờ cũng dựng được một và chỉ một
mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) .

O  (  )
Tức là: O  ( )  ! (  ) : 
( ) // ( )

b'
β

a'

O

Cách dựng:


Trong ( ) dựng a, b cắt nhau.



Qua O dựng a’ // a , b’ // b.

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

α

b
a

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Mặt phẳng (a’,b’) là mặt phẳng qua O và song song với ( ) .

1.1.3.6. Hệ quả:
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )

a

thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (  ) song

β

song với mặt phẳng ( ) .
α

1.1.3.7. Hệ quả:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt

α

phẳng thứ ba thì song song với nhau.

( ) // ( )
Tức là: 
( ) // ( )

 ( ) // ( ) .

β

γ

1.1.3.8. Hệ quả:
Nếu từ một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( ) ta
dựng được một đường thẳng song song với ( ) thì

a
A

β

đường thẳng này nằm trong mặt phẳng qua A và song
song với ( ) .

( ) // ( )

Tức là:  A  (  )
a // ( )


 a  ( )

α

1.1.3.9. Định lí:
Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt

a
α

phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.

( ) // ( )

Tức là: a  ( )  ( )  a // b

b  (  )  ( )


b

β
γ

a

1.3.10. Định lí:
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến
song song những đoạn thẳng bằng nhau.

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

A

α

β

B

b
A'

B'

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

( ) // ( ), a // b

Tức là: a  ( )  A, a  ( )  B  A ' B '  AB
b  ( )  A ', b  (  )  B '

1.3.11. Định lí: (Định lí Ta-lét trong khơng gian)

a

Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai cát
tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

A'

A
α

( ) // ( ) // ( )

Tức là: a  ( )  A, a  ( )  B, a  ( )  C
b  ( )  A ', b  ( )  B ', b  ( )  C '




b

AB
BC
CA


A' B ' B ' C ' C ' A'

γ

B'

B

β

C'

C

1.3.12. Định lí Ta-lét đảo:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’
trên b sao cho:

AB
BC
CA
.



A' B ' B 'C ' C ' A'

Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là
chúng cùng song song với một mặt phẳng.
1.3.13. Phép chiếu song song:
Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng

M

l cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ đường

l

thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l. Đường
thẳng này cắt (P) tại một điểm M’ nào đó.

M'
P

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian
với điểm M’ của mặt phẳng (P) như trên gọi là phép
chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l.
- (P) : mặt phẳng chiếu.
- l

: phương chiếu.

- M’: hình chiếu song song của điểm M qua phép chiếu song song nói trên.

Tính chất:
- Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng, của một đoạn thẳng là
một đoạn thẳng, của một tia là một tia.
- Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc
trùng nhau.
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc trùng nhau.

1.2. Các bài toán áp dụng.
1.2.1

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song.

1.2.1.1. Phương pháp chung:
Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể sử dụng một trong các cách
sau:
Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng ( tính chất đường trung bình của tam giác, định lí
Ta-lét đảo, tính chất song song của hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng
thứ 3 ).
Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó song song với đường thẳng thứ ba.

Cách 3: Áp dụng các định lí, hệ quả về giao tuyến ( Định lí 1.1.3.9, Định lí 1.1.2.5, Định lí
1.1.2.3 hoặc Hệ quả 1.1.1.7 ).
1.2.1.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF chứa trong hai mặt phẳng khác nhau.

AM BN 1

 .
AC BF 3

Trên AC, BF lần lượt lấy các điểm M , N sao cho
a) Chứng minh MN // DE.

b) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng song song với AB, kẻ từ M và
N với AD, AF. Chứng minh HK // DF .
Giải
a) Chứng minh: MN // DE.
Gọi O là trung điểm AC và I là trung điểm AB.
Vì

AM 1 AM
 
AC 3 2 AO



AM 2
 M là trọng tâm  ABD

AO 3

IM 1
 DM đi qua I và
 (1)
ID 3
Tương tự:

D
O
H

M
B

A
I

N

K
O'

Gọi O’ là trung điểm AE.
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

C

F

E

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

BN 1 BN
 
BF 3 2BO '

Vì



BN 2

BO ' 3

 N là trọng tâm  BAE  NE đi qua I và
Từ (1) và (2) ta suy ra:

IN 1

IE 3

(2)

IN IM

 MN // DE

IE ID

b) Chứng minh: HK // DF
Vì HM // AI 
Vì KN // AB 



AH IM 1


AD ID 3

AK BN 1


AF BF 3

AH AK
 HK // DF.

AD AF
Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a, S là một điểm nằm ngoài (ABCD) sao cho

tam giác SAD đều. Gọi M là một điểm trên đoạn AB, (P) là mặt phẳng qua M song song với
các đường thẳng SA và BC , (P) cắt các đoạn thẳng CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh NP // SD .
b) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao ?

c) Tính SMNPQ theo a và x trong đó AM = x.
Giải

S

a) Chứng minh NP // SD.

R

Gọi O là giao điểm của AC và MN.
Kẻ MQ // SA, QP // BC, MN // BC

Q

 ( MNPQ) là mặt phẳng (P).

Ta có:

P

CN BM
( Vì MN // BC ) (1)

CD BA

BM BQ
( Vì MQ // SA )

BA BS
BQ CP

( Vì QP // BC )

BS CS
Từ (1), (2) và (3) 

(2)

A

(3)

CN CP
 NP // SD.

CD CS

D

M
N

O
B

C

b) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao ?
·  SAD
·  600
Ta có:  SAD là tam giác đều  SDA

Vì MN // AD và NP // SD , MQ // SA
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

·
·
QMN
 PNM
 600 và PQ // MN  Tứ giác MNPQ là hình thang cân.
c) Tính SMNPQ theo a và x trong đó AM = x.
Ta có:

PQ SP DN x


  PQ  x
CB SC DC a

Gọi R  NP  MQ . Ta có SR là giao tuyến của (SAB) và (SCD)  SR // CD // AB
Tứ giác RSND, QSAM, ADNM là hình bình hành.
Nên MN  AD , MR  SA , NR  DS  RMN là tam giác đều  SMNR 
Mà QR = x = PR = QP  SRQP 

 SMNPQ  SRMN  SRPQ 

a2 3
4

x2 3
4

3 2 2
(a  x )
4

1.2.2 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
1.2.2.1. Phương pháp chung:
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta dùng các cách sau:
Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong mặt
phẳng.
( Hay để chứng minh d // ( ) ta cần chứng minh d  ( ) và d // a và a  ( ) )
Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong một mặt phẳng khác song song với
mặt phẳng đã cho.

( ) // ( )
 a // ( )
Hay 
a  ( )
1.2.2.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai hình vng bằng nhau ABCD và ABEF lần lượt có tâm O và O’
khơng cùng nằm trên một mặt phẳng.
a) Chứng minh OO’ song song với các mặt (BCE) và (DCF).
b) Trên các đoạn thẳng AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN.

( M khác A và C ). Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Giải
a) Chứng minh OO’ song song với các mặt (BCE) và (DCF).
Gọi O và O’ là tâm của hai hình vng ABCD và ABEF.
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Nên OO’ là đường trung bình của các tam giác BDF và ACE.

 OO’ // DF và OO’ // CE.
OO'  ( BCE )

 OO' // (BCE) .
Mà OO' // EC
 EC  ( BCE )


D

C
O

OO'  ( DCF )


 OO' //( DCF )
OO' // DF
 DF  ( DCF )


A

M
B

O'

b) Chứng minh rằng MN ln song song với

N

một mặt phẳng cố định:
Vì ABCD và ABEF là các hình vng

F

bằng nhau  AC = BF
Mà BN = AM nên

AM BN

AC BF

K

E

(1)

Đường thẳng AN cắt EF tại K
Vì FK // AB nên
Từ (1) và (2) ta có

BN AN

BF AK

(2)

AM AN

 MN // KC
AC AK

MN   ECF 

M khác A và C nên  KC   CEF   MN // (CEF)
MN // CK

Mà (CEF) là mặt phẳng cố định
Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (CEF).
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và G ' lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và
BCD.
a) Chứng tỏ GG’ // (CAB).
b) M  AD với MD = 2MA . Chứng tỏ MG’ // (ABC) và AC // (MGG’).

Giải:
a) Chứng tỏ GG’ // (CAB).
Gọi N, K, J lần lượt là trung điểm của DC, BC, AC.
Vì G là trọng tâm của  ACD 

NG 1
 (1)
NA 3

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp
G’

Vì



là

trọng

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu
tâm

 BCD

của

NG ' 1
 (2)
NB 3

Từ (1) và (2) 

A

NG NG '
 GG '// AB

NA NB

M

GG' // AB

Mà  AB  (CAB)  GG ' // (CAB)
GG '  (CAB)


J

b) Chứng tỏ MG’ // (ABC) và AC // (MGG’).
Vì MD = 2MA 

MA 1


MD 2

G

B

(3)

D

G'
N

K

Mà G’ là trọng tâm BCD



G'K 1

G'D 2

Từ (3) và (4) 

(4)

C

MA G ' K


 MG '// AK
MD G ' D

MG ' // AK

Ta có  AK  ( ABC )  MG ' //( ABC )
MG '  ( ABC )

Lại có

DM DG 2

  MG // AJ
DA DJ 3

AC // MG

Mà MG  (MGG ')  AC // (MGG ')
 AC  (MGG ')


1.2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song.
1.2.3.1. Phương pháp chung:
Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta đi chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường
thẳng cắt nhau song song với mặt phẳng kia ( hoặc song song với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong mặt phẳng kia ).
* Chú ý:
a. Sử dụng tính chất:

( ) // ( )
 a // ( )

a  (  )
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

b. Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

1.2.3.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trên một mặt phẳng.

AM BN 1

 . Các
AC BF 3

Trên các đoạn thẳng AC và BF, lần lượt lấy các điểm M và N sao cho

đường thẳng song song với AB kẻ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại P và Q.
a) Chứng minh: (FAD) // (BCE).
b) Chứng minh: (MNPQ) // (CDE).
c) Xác đinh góc của AB và DF khi AB vng góc với DF thì MNPQ là hình gì ?
Giải

a) Chứng minh: (FAD) // (BCE).
Giả thiết cho ABCD và ABEF là hai hình bình hành  AD // BC và AF // BE.

AD // BC, AF // BE
AD  AF  A


Mà  BC  BE  B
AD, AF  (ADF )


 BC, BE  ( BCE )

A
P

 (ADF) // (BCE)

Q

D

F
M

b) Chứng minh: (MNPQ) // (CDE)
Trong  ACD có PM // AB  PM //CD
N

AM AP 1




AC AD 3
Trong  ABF có:
Từ (1) và (2) 

(1)
B

BN AQ 1


BF AF 3

(2)
C

AP AQ

 PQ // DF
AD AF

E

 PM // CD, PQ // DF

Mà  PQ, PM  ( PQNM )  ( PQNM ) // (CDEF )
 DF , CD  (CDEF )


c) Xác đinh góc của AB và DF khi AB vng góc với DF thì MNPQ là hình gì ?

·
Ta có: PM // AB và PQ // DF  Góc của AB và DF là MPQ
Mà PM // NQ // AB nên tứ giác MNPQ là hình thang.

·
·
 900  PQN
 900
Khi AB  DF thì MP  PQ  MPQ
Vậy MNPQ là hình thang vng tại P và Q.
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' .
a) Chứng minh ( BDA ') // ( B ' D ' C )
b) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G và G’ của hai tam giác BDA' và B ' D ' C .
c) Chứng minh hai điểm G và G’ chia đường chéo AC’ thành ba đoạn bằng nhau.
Giải

D'

A'

O'

a) Chứng minh: ( BDA ') // ( B ' D ' C )
B'

Trong hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D '

C'

 B ' D ' // BD
CD ' // BA '

Ta có 
 BD ', D ' C  ( B ' D ' C )
 BD, BA '  ( BDA ')

G'
G
A

D

 ( BDA ') // ( B ' D ' C ) .
O

b) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G và G’
B

C

của hai tam giác BDA' và B ' D ' C .
Ta có: AA' //  CC '  AA'CC' là hình bình hành  AC //  A ' C '

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’  AO  A ' O ' 

1
A'C '
2

Trong (ACC ' A ') : AC’ cắt A’O và CO’ tại G và G’
Vì AO // A ' C ' 



OG AG
AO 1



GA ' GC ' A ' C ' 2

A' G 2
 G là trọng tâm  BA ' D

A' O 3

Lại có: O ' C ' // AC 



O 'G ' C 'G ' O 'C ' 1



G 'C G ' A
AC 2

CG ' 2
  G ' là trọng tâm  B ' D ' C
CO ' 3

 AC ' đi qua trọng tâm G, G’ của hai  BAD ' và  B ' D ' C

c) Chứng minh hai điểm G và G’ chia đường chéo AC’ thành ba đoạn bằng nhau:
Ta có: OC //  A ' O '  tứ giác OCO' A ' là hình bình hành
 OG // CG ' mà O là trung điểm AC

 G là trung điểm của AG’  AG  GG '

(1)

Khi tứ giác OCO' A ' là hình bình hành  A ' G // O ' G ' mà O là trung điểm A’C’

 G’ là trung điểm của GC’  GG '  G ' C '

(2)

Từ (1) và (2)  AG  GG '  G ' C '
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Vậy G và G’ chia AC’ thành ba đoạn bằng nhau.

1.2.4

Dạng 4: Sử dụng quan hệ song song để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1.2.4.1 Phương pháp chung:
Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng.
Bước 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
* Chú ý:
Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng này ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng lần
lượt nằm trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm (nếu có) của hai đường thẳng này chính là điểm
chung.
Ngồi ra ta có thể sử dụng một số định lí và hệ quả sau:
Định lí: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến của chúng ( nếu có ) cũng song song với hai đường thẳng đó ( hoặc trùng với
một trong hai đường thẳng đó).
Định lí: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (  ). Nếu mặt phẳng (  ) chứa a và cắt
(  ) theo giao tuyến b thì b song song với a.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của

chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí: Cho hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song
song với nhau.
1.2.4.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D với
AD  CD và AB  2CD .

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Gọi E là trung điểm AB. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SCE), (SDE) và (SBC).
Giải
a) (SAB)  (SCD)  ?

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

 S  ( SAB)
Ta có 
 S  ( SCD)

 S thuộc hai mặt phẳng ( SAB) và ( SCD) .
Và hai mặt phẳng ( SAB) , ( SCD) lần lượt chứa hai
b

đường thẳng song song với nhau là AB và CD.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng

S

a

qua S và song song với AB và CD.
 (SAB)  (SCD)  a
c

b) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SCE), (SDE) và
(SBC).


(SAD)  (SCE)  ?
C

D

Vì E là trung điểm AB

AB

 CD
 AE 
Ta có 
2
 AE // CD

A

E

B

 AECD là hình bình hành  AD // CE

Hai mặt phẳng ( SAD) và ( SCE ) có điểm chung là S và lần lượt chứa hai đường thẳng

AD // CE
Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng b qua S và song song với AD và CE.
 (SAD)  (SCE )  b



(SDE)  (SBC)  ?

Ta có: CD //  EB  EDCB là hình bình hành  ED // CB
Hai mặt phẳng ( SDE ) và ( SCB) có điểm chung là S và lần lượt chứa hai đường thẳng DE và
CB và DE // CB .
Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng c đi qua S và song song DE và BC.
 (SDE )  ( SBC )  c

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' . Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và
B’C’. M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ', BCC ' B ' và CAA’C’.
a) Tìm giao điểm IA ' và ( AB ' C ') .
b) Tìm giao tuyến của ( AB ' C ') và ( BA ' C ') ; ( AB ' C ') và ( A ' BC ) .
c) Chứng minh ( ABC ) // (MNP) // ( AB ' C ') .
Giải
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

a) IA ' ( AB ' C ')  ?
Gọi AB ' A ' B  M

C ' B  B 'C  N
A ' C  AC '  P

C'

A'

Ta có: IA '  ( A ' BC )

 AB ' A ' B  M
Mà 
 A ' C  AC '  P

I'

B'
P

A ' C, A ' B  ( A ' BC )

O
M

AB ', AC '  ( AB ' C ')

N

 ( A ' BC )  ( AB ' C ')  MP

Gọi O là giao điểm của MP và A’I

A

C

 O  IA ' ( B ' C ' A)

I
B

b) Giao tuyến của ( AB ' C ') và ( BA ' C ') ; ( AB ' C ') và ( A ' BC ) .

 AB ' A ' B  M
 A ' B, A ' C '  ( A ' C ' B)

Ta có 
 AB '  ( AB ' C ')
C '  ( AB ' C ')  ( BA ' C ')

 MC ' là giao tuyến của ( AB ' C ') và ( BA ' C ') .
Theo câu a thì ( A ' BC )  ( AB ' C ')  MP
c) Chứng minh: ( ABC ) // (MNP) // ( AB ' C ') .
Trong  A ' BC có MP là đường trung bình  MP // BC .
Trong  ABC ' có NP là đường trung bình  NP // AB .
Trong  AB ' C có MN là đường trung bình  MN // AC .

MP, NP  ( MNP)
 BC , AB  ( ABC )

MP // BC
Mà 
MP // BC
MP  NP  P

 BC  AB  B
 (MNP) // ( ABC )

Lại có: ( ABC ) // ( A ' B ' C ')
 ( ABC ) // ( MNP) // ( AB ' C ') .

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Dạng 5: Sử dụng quan hệ song song để xác định thiết diện của một mặt
1.2.5

phẳng và một hình .

2.5.1. Phương pháp chung:
Ta có thể phân ra việc tìm thiết diện làm ba loại:
a. Thiết diện chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
b. Thiết diện đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước.
c. Thiết diện đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước.
a. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P), (P) chứa một đường thẳng a song song với
một đường thẳng b cho trước ( a và b chéo nhau ) ta tìm như sau:
Bước 1: Chỉ ra hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b.
Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng.
Bước 3: Khi đó ( P)  (Q)  Mx // a // b .
Bước 4: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt cịn lại của hình chóp.
Bước 5: Dựng thiết diện.
b. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P), (P) đi qua một điểm và song song với hai
đường thẳng cho trước ta tìm như sau:
Bước 1: Tìm M  ( P)  (Q) với (Q) là mặt phẳng qua hai đường thẳng cho trước.
Bước 2: Chỉ ra ( P) // a hoặc b // ( P) . Suy ra giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng
qua M và song song với a hoặc b.
Bước 3: Tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với mặt phẳng (P) bằng các
cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện.
c. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P), (P) đi qua một điểm và song song với một
mặt phẳng cho trước.
Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng (R) nào đó của hình
chóp.
Bước 2: Chỉ ra ( P) // (Q) (với (Q) là mặt phẳng cho trước ). Tìm a  ( P)  ( R) ,

b  (Q)  ( R) khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với a hoặc b.

Bước 3: Dựng thiết diện.
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

1.2.5.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm AC, BC. K thuộc BD
với KB  2KD .
a) Xác định thiết diện của (IJK ) với tứ diện ABCD.
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
Giải
a) Xác định thiết diện của (IJK ) với tứ diện ABCD.
Ta có: (IJK )  ( BCD)  JK ;(IJK )  ( ABC)  IJ

A

IJ // AB
IJ  (IJK )

Mà : 
 AB  ( ABD)

(IJK )  ( ABD)  K

L

 (IJK ) cắt ( ABD) theo giao tuyến đi qua K và

I

song song với IJ, AB cắt AD tại L.
Gọi L  (IJK )  AD  (IJK )  ( ABD)  KL

 Thiết diện là hình thang IJKL ( có hai đáy là

B

D

K
J

IJ và KL )
C

DK DL
Vì LK // AB nên

DB DA
Mà DB  DA  DK  DL  BK  AL
Xét hai tam giác  BJK và  AIL có:

 AL  BK


 AI  BC   BJK   AIL  IL  JK  Tứ giác ILKJ là hình thang cân.
·
·
 IAL  JBK
b) Tính SIJKL
Ta có: SIJKL 

1
 (IJ  KL)  KH
2

L

a/3

K

( KH là đường cao của hình thang IJKL )
Với IJ 

KL DK 1
AB a
a

  KL 
 và
AB DB 3
2 2
3

Vì IJKL là hình thang cân nên :

SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

I

G

a/2

H

J

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

a a

IJ  GH 2 3 a
HJ  IG 


2
2

12
BJK có BJ 

2
a
2
·  600
; BK  BD  a ; KBJ
3
2
3

Nên KJ 2  BJ 2  BK 2  2.BJ .BK.cos(BJ , BK ) 
Ta lại có: KH  KJ 2  HJ 2 

 KH 

13
a2 4 2
a 2
 a  2   a  cos600  a2 .
4 9
2 3
36

13 2 1 2
17 2
a 
a 
a .

36
144
48

a 17
4 3

1 a a a 17 1 5a a 17 5 17 2
 SIJKL   (  ) 
  

a
2 3 2 4 3 2 6 4 3 48 3
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung
điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) và hình chóp S.ABCD nếu:
a) Mặt phẳng ( ) qua M và song song với SC, AD.
b) Mặt phẳng ( ) qua O và song song với BM, SD.
Giải
a) Mặt phẳng ( ) qua M và song song với SC, AD.

( ) // SC, SC  (SAC)
Ta có 
( )  (SAC)  M 

S

 ( ) cắt ( SAC ) theo giao tuyến đi qua M
và song song với SC.



( ) // AD, AD  (SAD)
Mà 

( )  (SAD)  M 

A

 ( ) cắt ( SAD) theo giao tuyến đi qua M



D

Q

và song song với AD và N là trung điểm SD.
 ( )  ( SAD)  MN

N

M

 ( )  ( SAC )  MO

P

O
B

C


( ) // SC, SC  (SCD)


( )  (SCD)  N

 ( ) cắt ( SCD) theo giao tuyến đi qua N và song song với SC
SVTH: Võ Thị Hương Trà – Lớp: 09ST

Trang 25