Bat dang thuc Cosi va ung dung

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (169.09 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
ứNG DụNG 1: Chứng minh bất ng thc

Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng



a b c



1 1 1 9.

a b c

 

     

 

*Ph©n tÝch:

Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến
việc dùng bất đẳng thức Cơsi.

Lêi gi¶i:

Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và 1 1 1, ,
a b c
ta có:

1 1 1 1

a b c abc

  

Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta đợc:



a b c



1 1 1 9

a b c

 

      

  (đpcm).

Cách 2:

a b c

1 1 1 3 b a c a b c 3 2 2 2 9

a b c a b a c c b

       

                  

       

DÊu "=" x¶y ra



a b c

 

Bài tốn số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức:
a. a b c 3

b  c  a  (a, b, c > 0)

a

b

c

ab bc ca

Bài toán sè 1.2 Chøng minh r»ng:
a.

2
2

2
2
1

x
x





 x R

¸p dơng BĐT Côsi cho 2 số x2 +1 và 1.

b. 8 6
1
x

x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 vµ 9.



a b ab



 



1



4 ab

a b, 0

áp dụng BĐT Côsi ta cã

2
1 2

a b ab

ab ab

 
 

Nhân từng vế ca 2 BT trờn ta suy c pcm.

Bài toán số 1.3 Chøng minh r»ng:



a b b c c a

 



 





8abc a b c, , 0
b.a2

1b2

b2

1c2

c2

1a2

6abc

áp dụng BĐT Côsi cho 6 sè a a b b b c c c a2, 2 2, ,2 2 2, ,2 2 2.

Bài toán sè 1.4

a. n sè d¬ng a1, a2, ..., an. Chøng minh r»ng:

1 2

...

1 1 1 n n

n
n

a a a

a a a

b.Nếu a1, a2,...., an dơng và a1a2...an = 1 thì a1+ a2 +...+ ann
áp dụng BĐT Côsi cho n số dơng trên)

Bi toỏn s 2. Chứng minh bất đẳng Netbit

3
2

a b c

b c a c a b  a b c, , > 0.

Giải.
Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b

Khi đó x, y, z > 0 và

, ,

2 2 2

y z x x z y x y z

a   b   c  

Ta cã:





2 2 2 2

1 1 3

3 2 2 2 3 .

2 2 2

a b c y z x x z y x y z

b c a c a b

x y x z y z

y x z x z x

     

 

      

    

 

             

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>









6
2

1 1 1 1 1 3

6 9 6

2 2 2

a b c x y z x y z x y z

b c a c a b x y z

x y z

x y z

       
       
    
   
      

Khai thác bài toán:

Bng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau: với
a, b, c dơng ta có:

2
.
2
9
2
2
2
.
1
2
2

2 a b c

b
a
c
a
c
b
c
b
a

c
b
a
b
a
a
c
c
b

Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chøng minh r»ng 1x1y x4y (1)

Ph©n tÝch:

Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu.
Giải

Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dơng x, y:

 
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x














4
1
1
4
4
2
2

C¸ch 2. XÐt hiƯu cđa 2 vÕ:

     

 

  0

0
4
0
4
1
1
1

2
















y
x
xy
y
x
y
x
xy
xy
y
x
x
y

x
y
y
x
y

x (2)

Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng.
Vậy (1) luôn đúng. (pcm)

Khai thác bài toán:

Ta thy BT trờn cú liờn quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để
chứng minh BĐT sau:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
















 a p b p c a b c
p
1
1
1
2
1
1
1
trong đó
2
c
b
a
p 

Bài tập tơng tự:

Bài 1. Chứng minh rằng:

c
b
a
c
b
a
c
a
c
a
b
c
c
b
b
a
b

a2 2 2 2 2 2 2 2 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 





 





 





 



2 2



4
2
2
2
4
2
2
4
2
2

4 a b c d

a
d
a
d
d
d
c
d
c
c
c
b
c
b

b
b
a
b
a

a   














Bµi 3. Cho 0a,b,c 1. Chøng minh r»ng:
a
c
c
b
b
a
c
b

a2 2 2 1 2 2 2







Bµi 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chøng minh:











c
b
a
ab
c
ac
b
bc

a 1 1 1

Bµi 5. Cho x, y, z > 0. Chøng minh r»ng:

x
z
y
z
y
x



 4
2

Bµi 6. Cho a, b > 0. Chøng minh r»ng:

a
b
b
a
b
a




Bµi 7. Cho x, y > 0. Chøng minh r»ng:

3
2
2
2

3 x y

y
xy
x
x 




Bµi 8. Cho x, y ≠ 0. Chøng minh r»ng:

2
6
2
6
4
4
x
y
y
x
y

x   

Bµi 9. Cho a, b > 0. Chøng minh r»ng:

4
2 ab
b
a
ab



áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác

Bài toán số 3. Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng: 3.

a b c

c
b

c
a
b
a
c
b
a
Giải:
Cách 1.

t x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c.
Khi đó x, y, z > 0 và .

2
,
2
,
2
z
y
c
z
x
b
y
x

a     

VÕ tr¸i:

2 2 2 3
2
1
2
1
2
1





















 














y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
y
x
z
x
z

y
z
y
x
c
b
a
c
b
c
a
b
a
c
b
a

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

.
2
2
2
c
b
a
z
y
x
y
z
z

y
x
z
z
x
x
y
y
x






















C¸ch 2.

Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có:
a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > 0

¸p dụng BĐT Côsi cho các cặp số dơng:

 

b c a a b c b
c
a
c
b
b
c
a
a
b
c
a
c
b
a
b
c
a
c

b
a





















)
(
2

Nhận thấy các vế của BĐT trên là các số dơng và 3 BĐT này cùng chiều,
nhân từng vế của chúng ta đợc:

ab cac bbc aabc.

Ta cã:
   
3
3
3
3
3

















abc
abc
c
b

a
b
c
a
a
c
b
abc
c
b
a
c
b
c
a
b
a
c
b
a

Bài tập 3.1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc ABC, abc.

Chứng minh rằng: a b c2 9bc.

(*)

Giải
Vì ab abc2bbc22bc2.

để chứng minh (*) ta cần chứng minh: 2b c2 9bc.



 (1)

ThËt vËy:

 

 b c bc
bc
c
bc
b
bc
c
bc
b
bc
c
b














2
2
2
2
2
2
2
4
4
9
4
4
9
2
Ta cã:

 

b

c

bc

c

b

c

b

































2

2

0

2

0

(®pcm)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3
3 2 2
3 2 2

3 2  2    a b 2. 4
c
a
c
b
c
b
a
(*)

Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Giải

Ta cã

 2
3
3
4
1
c
b
c

b   

ThËt vËy:

   

   
  
    0

0
0
0
3
3
4
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3

3
3
3
























c
b
c

b
c
b
c
b
c
b
c
c
b
b
bc
c
b
c
b
bc
c
b
c
b
c
b

Luôn đúng suy ra (1) đúng
Tơng tự: 3 3  2

4
1

c
a
c

a   

3 3  2

4
1

b
a
b

a   

Do đó:
)
3
(
4
3

3 2 2

3 2 2 

















 a b

c
c
a
b
c
b
a
b
a
c
a
c

b
c
b
a
Mà:
2
2
2
2
)
(
2
2
)
(
2
2
)
(
2
2

c
b
a
c
c
b
a
b
c
a
b

a
b
a
c
c
a
b
c
b
a
b
a
c
c
a
b
c
b
a
(4)
Do:

b
c
a
a
c
b
c
b
a

Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.

Các bài tập khác:

Bi tp 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.

Bµi tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh cđa 1 tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
b c a b a c b c a b c abc

a2 2 2 3












Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng:





1 1 1 6

3
3
3
3
3
3
3














abc
c

b
a
c
b
a
c
b
a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chøng minh r»ng  1 1 13       9













abc
a
c
c
b
b
a

c
b
a
c
b
a

Bµi tËp 3.7. Cho a, b, c, d > 0 vµ a + b + c + d = 1
Chøng minh r»ng:

abc bcd  bda cda2 3

ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị

* Víi a  0, b  0 ta cã a b 2 ab , dÊu “=” x¶y ra  a = b

* Với n số không âm: a1 , a2 , , an ta cã: a1a2 ...an n a a an 1 2... n

DÊu “=” x¶y ra  a1 = … = an

* Từ BĐT trên ta suy ra:

+ Nếu a.b = k (const) th× min(a + b) = 2 k  a = b
+ NÕu a + b = k (const) th× max(a.b) =

4
k

 a = b
* Mở rộng đối với n số không âm:

+ NÕu a1.a2…an = k (const) th× min(a1 + a2 + … + an) = n n k

 a1 = a2 = … = an

+ NÕu a1 + a2 + …+ an = k (const) th× max(a1.a2…an) =

n
k
n
 
 
 
 a1 = a2 = … = an

VÝ dô: Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: 1 1 1

x y

Tìm GTNN của A = x y

Bài làm:

Vì x > 0, y > 0 nên 1

x > 0,

y > 0,

x

> 0,

y

> 0 . Ta cã:

1 1 1 1 1 1 1

2 4

2 2 4 4

Cs

x y x y xy

xy

A x y x y

 

  

 

 

 

     



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Cơsi theo 2 chiều ngợc
nhau:

+ Dïng

2
a b

ab   để dùng điều kiện tổng 1 1 1

x y  từ đó đợc xy 4

+ Dùng a b 2 ab “làm giảm” tổng x y để dùng kết quả xy 4



Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp BĐT Cơsi đối với
các số trong đề bài. Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có
thể vận dụng BĐT Cơsi rồi tìm cực trị của nó:

* Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình 
ph-ơng biểu thức đó.

VÝ dơ: T×m GTNN cđa A = 3x 5 7 3 x

Bài giải

Điều kiện: 5 7
3 x 3

Ta có: A2 = ( 3x – 5 ) + ( 7 – 3x ) + 2



3x 5 7 3

 

 x





( 3x – 5 + 7 – 3x ) + 2 = 4

DÊu “=” x¶y ra  3x – 5 = 7 – 3x  x = 2
VËy max A2 = 4



max A = 2  x = 2



Ta thấy A đợc cho dới dạng tổng của 2 căn thức. Hai biểu thức lấy
căn có tổng khơng đổi (bằng 2). Vì vây, nếu bình phơng A sẽ xuất hiện
hạng tử là 2 lần tích của 2 căn thức. Đến đây có thể vận dụng BT Cụsi

2 ab a b

* Cách 2: Nhân và chia biĨu thøc víi cïng mét sè kh¸c 0
VÝ dơ: Tìm GTLN của A = 9

x
x

Bài giải:

Điều kiện: x  9. Ta cã:

1 9

9.3 3 9 9

9 3 2 3 3 1

5 5 5 10 30

x

x x

x
A

x x x x



 

   

 

  

    

DÊu “=” x¶y ra 9 3 18
3

x



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

VËy max A = 1 18
30  x



Trong cách giải trên, x – 9 đợc biểu diễn thành 9.3
3

x

khi vËn

dông BĐT Côsi tích này trở thành nửa tổng: 9 3 1

3 3

x



  có dạng kx có
thể rút gọn cho x ở mẫu. ( số 3 đợc tìm bằng cách lấy 9, số 9 có trong
đề bài)

* Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao
cho tích của chúng là một hng s.

Ví dụ 1: ( Tách một hạng tử thành tỉng cđa nhiỊu h¹ng tư b»ng nhau)
Cho x > 0, tìm GTNN của A =

4
3

3x 16
x

Bài giải

A =

4
3

3x 16
x



= 4

3 3 3

16 16 16

3x x x x 4 x x x. . .

x x x

     

A  4.2 = 8 ( dÊu “=” x¶y ra x 163 x 2

x

    )

VËy min A = 8 khi x = 2

Ví dụ 2: (Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với
một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng
tử khác có trong biểu thức đã cho)

Cho 0 < x < 2, t×m GTNN cđa A = 9 2
2

x

x x

Bài giải

9 2 9 2

1 2 . 1 2 9 1 7

2 2

x x x x

A

x x x x

 

       

 

DÊu “=” x¶y ra 9 2 1

2 2

x x

x

x x



   



VËy min A = 7 1

2
x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>



Trong cách giải trên ta đã tách 2

x thành tổng

1
x
x

. Hạng tử 2 x

x

nghch đảo với

x
x

 nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là
một hằng số.

* Cách 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho

VÝ dô: Cho x, y, z > 0 tho¶ m·n: x + y + z = 2
T×m GTNN cđa P =

2 2 2

x y z

y z  z x  x y

Bài giải

Vì x, y, z > 0 ta có:

ỏp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dơng

x

y z vµ 4
y z

ta đợc:

2 2

2 . 2.

4 4 2

x y z x y z x

x

y z y z

 

   

  (1) . T¬ng tù ta cã:

(2)
4

(3)
4

y x z
y
x z

z x y
z
x y



 



 



Cộng (1) + (2) + (3) ta đợc:





2 2 2

2
1
2

x y z x y x

x y z

y z z x x y

x y z

P x xy z

   

     

 

  

 

 

     

DÊu “=” x¶y ra 2
3

x y z

   

VËy min P = 1 2

3
x y z

   

Nhận xét: Ta ó thờm
4
y z

vào hạng tử thứ nhất

x

y z có trong đề bài,

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

hạng tử còn lại của đề bài. Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1), (2),

(3) 2

3
x y z

 

Nếu ta lần lợt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vµo

2 2 2

; ;

x y z

y z x z x y   th× ta

cũng khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng là khơng tìm
đợc các giá trị của x, y, z để dấu của các đẳng thức đồng thời xảy ra, do
đó khơng tìm c GTNN ca P.

áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng BĐT Côsi ta có các ví
dụ khác nh sau:

VD 1: Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n: a + b + c = 1
T×m GTLN cđa P = 1 1 1 1 1 1

a b c

     

  

     

     

Ph©n tÝch: a, b, c > 0 3 1 3 1 3
3

abc

   

Do đó có thể khai triển P rồi c lng theo BT Cụsi

Bài giải

Cách 1: P 1 1 1 1 1 1 1 1

a b c ab bc ac abc

       

¸p dơng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có:

3 3

3
3

3 1 3

3
1

3 27

a b c abc abc abc

abc

   

(1)

Mặt khác:

2
3
3

2
3

1 1 1 1

3 3 27

1 1 1 1

3 3

ab ac bc abc

a b c abc

 

      

 

   

(2)

(1) + (2) ta cã: P 1 32 27 27 64

     . VËy min P = 64

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>



 





 



4 4 4 3

1 1 1 1

. . . 1 1 1

4 64

a b c

P a b c

a b c abc

P a a b c b a b c c a b c
abc

P a b c
abc

  

    

         

  

Tỉng qu¸t: cho S = a + b + c

t×m GTLN cđa P = 1 1 1 1 1 1

a b c

     

  

     

     

VD 2: T×m GTLN của B = x 1 y 2

x y

Bài giải



1.( 1)

1 1 1 1

2
2. 2

2 2 2 1 2

4
2 2

x

x x

x x x

y

y y

y y y



  

  



  

   

 max B = 1 2 2 2 1 1 2

2 2 4

2 4 4

x x

y y

  

 



     

  

 

VD 3: Cho 2 sè d¬ng x, y cã x + y = 1
T×m GTNN cđa B = 1 12 1 12

x y

 



Bài giải

Ta có: B = 1 12 1 12

x y

 

   

 

   

= 1 + 2
xy





2 2

1 x y CS4xy 8 B 9

xy

 



   

VËy min B = 9 1
2
x y

  

VD 4 : Cho x, y, z > 0 tho¶ m·n: 1 1 1 2

1x 1y 1z 

T×m GTNN cđa P = xyz

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ta cã:



 



1 1 1

1 1 2

1 1 1 1 1 1 1

y z yz

x y z y z y z

   

       

          

T¬ng tù:



 





 



1
2

1 1 1

1
2

1 1 1

zx

y x z

xy

z x y



  



  

8
P xyz

  

VËy max P = 1 1

8  x  y z 2

VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + 6 |x| + 1

Tính giá trị của M biết x, y là 2 số thoả mãn x.y = 1 và biểu thức
|x + y| t GTNN.

Bài giải:

Ta có:

x y

CS4xy 4 x y 2

Min |x + y| = 2 khi x = y, khi đó 1
2
xy

x y






 




Khi x = y = 1 hc x = y = - 1
+ Khi x = y = 1 th× M = 9
+ Khi x = y = - 1 th× M = 17
VD 6:

Cho các số thực không âm a1, , a5 thoả mÃn: a1 + + a5 =1

Tìm GTLN của A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5
Bài giải

Ta cã: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5  (a1 + a3 + a5)(a2 + a4)



 





 





 



1 3 5 2 4

2
1

2
1
4

a a a a a

a a a a a
a a a a a

A

  

   

 

      

 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

VËy max A = 1
4

1 2

1 3 5 2 4

3 4 5

1
1

2 0

a a

a a a a a

a a a



 



       

   



VD 7: Cho a, b > 0. T×m GTNN cđa A =



x a x b

 



x

 

( x > 0)

Bµi gi¶i



x a x b

 



x2 ax bx ab ab

A a b x

x x x

    

     

2 min 2

A a b ab A a b ab

        .

DÊu “=” x¶y ra x ab x ab
x



VD 8: Tìm GTNN của hàm y = 2 1

1 x  x víi 0 < x < 1

Bài giải

Ta có: y =

2 1 2 2 2 1

1 1

x x x x

   

  

  ( 0 < x < 1)

= 3 2 1 3 2 2 .1 3 2 2

1 1

x x x x

 

     

 

DÊu “=” x¶y ra 2 1 2 1

x x

x

x x



    



VD 9: Cho a, b > 0 cho tríc.

Các số x, y > 0 thay đổi sao cho a b 1
x  y 

Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN. Tìm min S theo a, b.

Bài giải

Ta có: 1





a b a b bx y

S x y a b

x y x y y x

 

           

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2 . 2

min 2

bx ay

S ab a b ab

y x

ay bx

S a b ab

x y

     

     

Mµ a b 1 x a ab

x y y b ab

  


   

 




VD 10: T×m GTNN cđa P =

4 3 2

4 16 56 80 356

2 5

x x x x

x x

Bài giải

Ta có: P =

4 3 2

4 16 56 80 356
2 5

x x x x

x x

   

 

= 4



2 2 5



2 256 64

2 5

CS

x x

  

 



Suy ra min P = 64  x = 1 hoặc x = - 3

Bài tập tơng tù

BT 1: Cho x, y > 0 tho¶ m·n x. y = 1. T×m GTLN cđa A = 4 2 2 4

x y

x y x y

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

















2
2
2
2
2
2
2

1 2 3

; 0
2

8
3 2

1
1

; 0
1

1
2 1

; 0
2000

A x x

yz x xz y xy z

B

xyz
x

C x

x

D

x
x
E

x

x x

F x

x x

G

x x

x

H x

x

 

    





 






 

 

 
 


 

 



BT 3: Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n 1 1 1 2

1a 1b1c  . T×m GTLN cđa

biĨu thøc Q = abc.

BT 4: Cho x, y > 0 thoả mÃn x + y = 1. Tìm GTNN của biÓu thøc
P = 1 1 1 1

x y

 

   

 

   

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

































2
2

4 4

; 0

; 1

1
2

1
1

1 1 ; 0

1 2 ; 1

1
5

; 0,1
1

; 1

2 1

x x

A x

x
x

B x

x

x x

C

x x

D x x

x
x

E x x

x
x

F x

x x

x

G x

x

 

 


 


 

 

     

 

 

     



 

  



  



BT 6: Cho x, y > 0 th¶o m·n x2  y2 4. T×m GTNN cđa biĨu thøc
E =

2 2

1 1

x y

y x

   

  

 

BT 7: Tìm GTLN và GTNN của A = 3 x 6 x; 3



  x 6



BT 8: T×m GTLN cđa A = x 1 y1 biÕt

, 1

2
x y
x y






 



BT 9: Cho a, b > 0 thoả mÃn a. b = 216
Tìm GTNN cña S = 6a + 4b

BT 10: Cho a, b > 0 tho¶ m·n a 1 1
b

  .

T×m GTNN cđa A = a b
b a

BT 11: Cho a, b > 0 thoả mÃn 3
6
a
ab

.
Tìm GTNN cña S = a2 b2

BT 12: Cho x, y, z  0 tho¶ m·n xy + yz + zx = 100.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

BT 13: Với giá trị nào của a th× tÝch xy nhËn GTLN nÕu x, y, a là các số
thực thoả mÃn

x a
a
y

BT 14: T×m GTNN cđa A =

x a
x



biÕt a > 0, x > 0

BT 15: Với giá trị nào của số dơng a thì biểu thức D đạt GTNN ?
A = a1000 a900 a90 a5 1995

a

   

BT 16: T×m GTNN cđa C = x100 10x10 2004

 

BT 17: T×m GTLN cđa E =





2 2

2 2 ; 0, 0

x xy y

x y

x xy y

 

 

 

BT 18: T×m GTLN cđa tÝch x x x1 2... ;n



n2



BiÕt xi 1; i 1,n
n

   và x12 x22 ...xn2 1

BT 19: Tìm GTLN cđa B =



1995



2 ;





x

x 

BT 20: T×m GTNN cña N =





5
x

x y x y



 biÕt r»ng x, y > 0

BT 21: T×m GTLN cđa H = x 1 x2 víi   1 x 1
BT 22: T×m GTLN cđa biĨu thøc:

P =



 



1 1 1

x y z

y z  x z  x y   

     

Với mọi x, y, z biến đổi nhng luôn thoả mãn 0x y z, , 1

BT 23: T×m GTNN cđa









1
,

f x y x

xy x y
 

 ;

, 0

x y

x y

 







BT 24: T×m GTLN cđa

2
2

2
1

x
x




BT 25: T×m GTLN cđa 8
1
x

x



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19></div>

Bat dang thuc Cosi va ung dung









<sub></sub>

<i>a b c</i>

<sub> </sub>

<i><sub>a</sub></i>

<sub></sub>

<i><sub>b</sub></i>

<sub></sub>

<i><sub>c</sub></i>

<sub></sub>

<i><sub>ab bc ca</sub></i>

<sub></sub>

<sub></sub>



<i>a b ab</i>

<sub></sub>

 

<sub></sub>

1



<sub></sub>

4

<i>ab</i>



 

 































 

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>bc</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

































2

2

2

0

2