Điều khiển H trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN PHƯƠNG HẬU

ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN
CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN
TS. NGUYỄN HỮU SÁU

Thái Nguyên, 11/2020


1

Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình
vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ
phương trình vi phân với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2 Điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp
hệ nơ ron thần kinh phân thứ

20

2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


2

LỜI NĨI ĐẦU
Mơ hình mạng nơ ron mơ tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc
nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988
[10, 11]. Mơ hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong
xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [11, 21]. Năm

2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [7] lần
đầu tiên mơ hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ
(Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương
trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mơ tả bởi hệ phương trình
vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mơ tả các đặc tính
và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [7, 21]. Do đó hệ phương
trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron
phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây.
Như chúng ta đã biết, do nhiều lý do như lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính,
sự khơng chính xác của việc mơ hình hóa, nhiễu loạn thường khơng thể tránh
khỏi trong các hệ thống mạng thần kinh được mô tả bởi hệ phương trình vi
phân bậc ngun và bậc khơng ngun. Do đó nghiên cứu hiệu suất suy giảm
nhiễu thơng qua phương pháp kiểm soát H∞ là một bài toán quan trọng nhận
được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Trong những năm gần
đây, bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một số lớp hệ phương
trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học trong nước cũng như quốc tế [2, 4, 6, 22, 24]. Sử dụng phương
pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cùng các cộng sự [24] nghiên


3

cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch
trung tính. Sau đó kết quả của Xiang cùng các cộng sự [24] được cải tiến bởi
Wang cùng các cộng sự [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính trong đó các
hệ con khơng ổn định hữu hạn thời gian. Ali và Saravanan [4] đưa ra vài tiêu
chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của lớp hệ nơ ron
thần kinh khơng chắc chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp bằng cách sử dụng
phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận

tuyến tính. Bài tốn điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron
thần kinh trung tính Markovian được nghiên cứu bởi Baskar cùng các cộng sự
[6]. Chú ý rằng các kết quả nói trên áp dụng cho các lớp hệ phương trình vi
phân với bậc nguyên. Gần đây, M.V. Thuan cùng các cộng sự [20] nghiên cứu
bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần
kinh phân thứ bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính
và một số tính chất của đạo hàm, tích phân phân thứ.
Luận văn tập trung trình bày tính một số tiêu chuẩn cho bài tốn điều khiển
H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa
trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm
gần đây (xem [20]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính sau
đây:
Trong chương 1, chúng tơi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ
như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Ngồi ra, chúng tơi trình bày bài tốn ổn định hữu hạn thời
gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ. Bài toán điều khiển H∞ trong
thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên cũng được
chúng tơi trình bày trong chương này. Nội dung chính của chương này được
tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [13, 14, 15, 17, 18].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài
toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh
phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu
[20].
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái


4

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS.
Nguyễn Hữu Sáu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới

tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tơi trong suốt q
trình thực hiện đề tài luận văn này.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã
tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên
cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tơi trong suốt q trình nghiên
cứu. Sau cùng tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cơ trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực
hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin
chân thành cảm ơn.


5

Danh mục ký hiệu

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax (A A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

x
Rn×r

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) khơng gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t 0 It

tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

α

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α


6

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tơi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [13, 14, 15].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds,

t ∈ (a, b],

t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α

t0 It

:= I với I là tốn

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.
Định lý 1.1. ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi


7

đó, tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là

một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([15])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

−α

=λ

j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và

đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL α
t0 Dt x(t)

dn
:= n
dt

n−α
x(t)
t0 It

1
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,
t0

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thơng thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0
f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)


8

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] =

f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

d
dt

.

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:

n−1

f (t) =

α

t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t) =

1
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),

f (k) (t0 )
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
ck =
k!

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([15]) Cho α ≥ 0, n = α . Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

f (k) (t0 )
1
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


9

Hệ quả 1.1. ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

1
f (t0 )
=
+
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một tốn tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

dn
1
Γ(n − α) dtn
dn
λ
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds

=

t0
t

(t − s)n−α−1 f (s)ds +
t0

dn
µ
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α
C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân
thứ cấp α.


10

Định lý 1.3. ([15]) Cho α ≥ 0, n = α . Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo

α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

1
=
Γ(1 − α)

t

t0

f (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một tốn tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một tốn tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C

t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của tốn tử tích phân phân thứ.
Định lý 1.4. ([15]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).


11

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung khơng là tốn tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây.
Định lý 1.5. ([15]) Cho α > 0, n = α .. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo
hàm phân thứ Riemann-Liouville.
Định lý 1.6. [15] Cho α > 0 và đặt n = α . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α
t0 Dt x(t)

=

RL α
t0 Dt

x(t) −
j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].
Định lý dưới đây có vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu bài tốn điều
khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ.
Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A.
Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng
f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây
α
t0 It

β
t0 It f (t)

=

β
t0 It

( t0 Itα f (t)) =

α+β
f (t),
t0 It

∀t ≥ t0 ≥ 0.

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.

Định nghĩa 1.4. [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.

12

Định nghĩa 1.5. [14] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
+∞

Eα,β (A) =
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [15].

1.2.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [8]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [8]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu



T
X Z

 < 0.
Z −Y

Bổ đề sau đây có vai trị quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov.
Bổ đề 1.3. ([13]) Cho x(t) ∈ Rn là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có ước lượng sau đây:
1C α T
T
C α
t0 Dt x (t)P x(t) ≤ x (t)P t0 Dt x(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.
2
Bổ đề 1.4. [17] Giả sử x(t) và a(t) là các hàm khơng âm và khả tích trên đoạn
[0, T ], T ≤ +∞, g(t) là hàm không âm, không giảm trên đoạn [0, T ], g(t) ≤ M ,

13

trong đó M là một hằng số và α > 0 sao cho
t

(t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ [0, T ].

x(t) ≤ a(t) + g(t)
0

Nếu a(t) là hàm không giảm trên [0, T ] thì x(t) ≤ a(t)Eα (g(t)Γ(α)tα ), t ∈
[0, T ].

1.3.

Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ
phương trình vi phân phân thứ

Bài tốn ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân
phân thứ được nghiên cứu đầu tiên bởi M.P. Lazarevi´c và A.M. Spasi´c [16].
Sau đó bài tốn này được mở rộng sang cho mạng nơ ron thần kinh phân thứ
[23, 26]. Các điều kiện đưa ra trong các kết quả này rất phức tạp và khó để
tính toán. Gần đây, bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến
tính kết hợp với phép biến đổi Laplace, Y.J. Ma cùng các cộng sự [17] đã đưa
ra một số tiêu chuẩn cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn và bị chặn
trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính.
Một số bài tốn ổn định hóa liên quan cũng được nghiên cứu trong cơng trình
này. Trong mục này, chúng tơi trình bày lại kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng
sự [17].

Xét hệ tuyến tính phân thứ


 C Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0,
t
0

(1.1)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n là ma trận hằng
số cho trước.
Định nghĩa 1.6. Cho c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T là các số dương, R là một ma trận đối
xứng, xác định dương. Hệ (1.1) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn
tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu xT0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈
[0, T ].
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian
hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.1).


14

Định lý 1.8. [17] Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T và R ∈ Rn×n là
một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.1) ổn định trong thời gian hữu
hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định
dương Q ∈ Rn×n và một số dương γ sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa
mãn
P A + AT P − γP < 0,
Eα (γT α )

(1.2a)

λmax (Q)
c2
< ,
λmin (Q)
c1

(1.2b)

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3,
ta thu được ước lượng sau đây
C α
0 Dt V

α
T
T
(x(t)) ≤ 2xT (t)P C
0 Dt x(t) = x (t)[P A + A P ]x(t).

Từ điều kiện (1.2a), ta có
C α
0 Dt V

(x(t)) < γV (x(t)).

(1.3)

Vì γ > 0 nên tồn tại một hàm không âm M (t) sao cho
C α
0 Dt V

(x(t)) + M (t) = γV (x(t)).

(1.4)

Áp dụng biến đổi Laplace vào hai vế của đẳng thức trên, ta thu được
sα V (x(s)) − V (x(0))sα−1 + M (s) = γV (x(s)).
Đẳng thức bên trên tương đương với
V (x(s)) = (sα − γ)−1 V (x(0))sα−1 − M (s) .

(1.5)

Áp dụng biến đổi Laplace ngược vào đẳng thức (1.5), ta thu được
t
α

M (τ )[(t − τ )α−1 Eα,α (γ(t − τ )α )]dτ.

V (x(t)) = V (x(0))Eα (γt ) −
0

Vì hàm dưới dấu tích phân là dương nên từ đẳng thức trên ta thu được
V (x(t)) < Eα (γtα )V (x(0)).
Bất đẳng thức trên tương đương với xT (t)P x(t) < Eα (γtα )xT (0)P x(0). Vì
1

1

P = R 2 QR 2 nên bất đẳng thức bên trên tương đương với
1

1

1

1

xT (t)R 2 QR 2 x(t) < Eα (γtα )xT (0)R 2 QR 2 x(0).

(1.6)


15

Từ đó suy ra
λmin (Q)xT (t)Rx(t) < λmax (Q)Eα (γtα )xT (0)Rx(0).
Kết hợp bất đẳng thức trên với xT (0)Rx(0) ≤ c1 và điều kiện (1.2b), ta có
xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. Định lý được chứng minh hồn tồn.
Khi có tác động của nhiễu hệ (1.1) trở thành hệ sau đây.


 C Dα x(t) = Ax(t) + Dω(t), t ≥ 0,
t
0

(1.7)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n , D ∈ Rn×m là
các ma trận hằng số cho trước. Nhiễu ω(t) ∈ Rm thỏa mãn điều kiện tồn tại
số d > 0 sao cho
sup ω T (t)ω(t) ≤ d.

(1.8)

t≥0

Định nghĩa 1.7. Cho c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d là các số dương, R là một ma trận
đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) được gọi là bị chặn trong thời gian hữu
hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d) nếu xT0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT (t)Rx(t) <
c2 , ∀t ∈ [0, T ] và nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (1.8).
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính bị chặn trong thời gian
hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.7).
Định lý 1.9. [17] Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d và R ∈ Rn×n là
một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) bị chặn trong thời gian hữu
hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d) nếu tồn tại một số dương γ, các ma trận
đối xứng xác định dương P1 ∈ Rn×n , P2 ∈ Rm×m sao cho các điều kiện dưới
đây được thỏa mãn


T
AP + P A − γP DP2

 < 0,
T
P2 D

−γP2
Eα (γT α )
1

γdT α
c1
+
λmin (P2 )Γ(α + 1) λmin (P1 )
1

trong đó P = R− 2 P1 R− 2 .

(1.9a)
<

c2
,
λmax (P1 )

(1.9b)


16

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3,
ta thu được ước lượng sau đây
C α
0 Dt V

α

(x(t)) ≤ 2xT (t)P C
0 Dt x(t)
T

xT (t)P −1 (Ax(t) + Dω(t)) + (Ax(t) + Dω(t)) P −1 x(t)



−1
T −1
−1
P A+A P
P D
x(t)

.
= xT (t) ω T (t) 
T −1
D P
0
ω(t)

(1.10)

Nhân
bên trái

 và bên phải của (1.9a) với ma trận đối xứng xác định dương
P −1 0


. Khi đó điều kiện (1.9a) tương đương với điều kiện dưới đây
−1
0 P2


−1
T −1
−1
−1
P A + A P − γP
P D

 < 0.
(1.11)
DT P −1
−γP2−1
Kết hợp hai điều kiện (1.10) và (1.11), ta thu được



−1
γP
0
x(t)
C α
T
T




0 Dt V (x(t)) < x (t) ω (t)
0
γP2−1
ω(t)

(1.12)

= γV (x(t)) + γω T (t)P2−1 ω(t).
Kết hợp điều này với các đánh giá ω T (t)P2−1 ω(t) ≤ λmax (P2−1 )ω T (t)ω(t) ≤
d
λmin (P2 ) ,

ta thu được
C α
0 Dt V

(x(t)) < γV (x(t)) +

γd
, t ∈ [0, T ].
λmin (P2 )

(1.13)

Lấy tích phân cấp α từ 0 tới t, (t ≤ T ), hai vế của (1.13) và áp dụng Định lý
1.5, ta thu được đánh giá sau đây
V (x(t)) < V (x(0)) +

γdtα
γ

+
λmin (P2 )γ(α + 1) Γ(α)

t

(t − τ )α−1 V (x(τ ))dτ.
0

Bây giờ, áp dụng Bổ đề 1.4, ta thu được
V (x(t)) <
≤

γdtα
γ
Eα
Γ(α)tα
λmin (P2 )Γ(α + 1)
Γ(α)
γdT α
Eα (γT α ) .
V (x(0)) +
λmin (P2 )Γ(α + 1)

V (x(0)) +

(1.14)


17

Mặt khác, ta có các đánh giá sau đây
1

1

V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) = xT (t)R 2 P1−1 R 2 x(t)
≥

λmin (P1−1 )xT (t)Rx(t)

xT (t)Rx(t)
=
,
λmax (P1 )
1

(1.15)

1

V (x(0)) = xT (0)P −1 x(0) = xT (0)R 2 P1−1 R 2 x(0)
c1
≤ λmax (P1−1 )xT (0)Rx(0) ≤
.
λmin (P1 )

(1.16)

Từ các điều kiện (1.14) tới (1.16), ta có
xT (t)Rx(t)

γdT α
c1
< Eα (γT α )
+
.
λmax (P1 )
λmin (P2 )Γ(α + 1) λmin (P1 )

(1.17)

Từ điều kiện (1.9b) và (1.17), ta có
xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ].
Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét 1.2. Khi α = 1, các kết quả trong [5] là các trường hợp đặc biệt
của Định lý 1.8, Định lý 1.9.

1.4.

Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho
lớp hệ phương trình vi phân với bậc ngun

Bài tốn điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một số lớp hệ phương
trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học [6, 18, 22, 24]. Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa và
một số tiêu chuẩn cơ bản và quan trọng cho bài toán điều khiển H∞ trong thời
gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính với bậc nguyên [18].
Các định nghĩa về tính ổn định trong thời gian hữu hạn, tính bị chặn trong
thời gian hữu hạn được định nghĩa tương tự Mục 1.3.
Xét hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên




x(t)
˙
= Ax(t) + Gw(t) + Bu(t), t ≥ 0,



z(t) = Cx(t) + D1 u(t) + D2 w(t), t ≥ 0,




 x(0) = x ,
0

(1.18)


18

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, w(t) ∈ Rl là nhiễu thỏa mãn điều kiện
dưới đây
+∞

wT (t)w(t)dt < d.

(1.19)

0

với d là một số dương, z(t) ∈ Rq là véc tơ đầu ra (output vector), u(t) ∈ Rm là
véc tơ điều khiển, A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×l , B ∈ Rn×m , C ∈ Rq×n , D1 ∈ Rq×m , D2 ∈
Rq×l là các ma trận hằng số.
Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), ta thu được hệ đóng sau đây



x(t)
˙
= Ax(t) + Gw(t), t ≥ 0,



z(t) = Cx(t) + D2 w(t), t ≥ 0,




 x(0) = x ,
0

(1.20)

trong đó A = A + BK, C = C + D1 K.
Định nghĩa 1.8. Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d và R ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong
thời gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại một điều khiển ngược
u(t) = Kx(t) sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:
(1) Hệ đóng (1.20) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d),

(2) Với điều kiện ban đầu bằng 0, tức là x0 ≡ 0, bất đẳng thức dưới đây được
thỏa mãn

t

t

z T (s)z(s)ds < γ 2
0

wT (s)w(s)ds,

(1.21)

0

trong đó nhiễu w(t) ∈ Rl thỏa mãn điều kiện (1.19) và γ là một hằng số dương.
Bằng cách sử kỹ thuật biến đổi trên ma trận, Q. Meng và Y. Shen [18] đưa
ra một điều kiện đủ cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho
hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên (1.18).
Định lý 1.10. [18] Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d và R ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong thời
gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại hai số β ≥ 0, γ > 0, một
ma trận đối xứng xác định dương Q1 và một ma trận L sao cho các điều kiện


19

dưới đây được thỏa mãn



T
T T
T
T T
˜
˜
˜
˜
G Q1 C + L D 1 
AQ1 + Q1 A − αQ1 + BL + L B


 < 0, (1.22a)

GT
−γI
D2


T
˜
−I
C Q1 + D1 L
D2
dγ <

c2 e−αT
,
λmax (Q1 )

(1.22b)

˜ 1 = R− 21 Q1 R− 21 .
trong đó Q
Bài tốn điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được nhiều tác giả nghiên
cứu cho một số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên [6, 22, 24]. Gần đây,
M.V. Thuan và các cộng sự nghiên cứu bài toán trên cho hệ nơ ron thần kinh
phân thứ. Trong chương tiếp theo của luận văn, chúng tơi trình bày bài tốn
điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ này.


20

Chương 2

Điều khiển H∞ trong thời gian hữu
hạn của một lớp hệ nơ ron thần
kinh phân thứ
Chương này, chúng tôi trình bày bài tốn điều khiển H∞ trong thời gian
hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ trên cơ sở đọc hiểu và trình
bày lại một cách chi tiết kết quả trong [20].

2.1.

Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn

Xét hệ nơ ron thần kinh












C α
0 Dt x(t)

= − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)]f (x(t)) + [W + ∆W (t)]ω(t)
+[B + ∆B(t)]u(t),

t ≥ 0,



z(t) = Cx(t), t ≥ 0,






 x(0) = x0 ∈ Rn ,
(2.1)
T

trong đó 0 < α < 1, x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, z(t) ∈
Rp là véc tơ đầu ra (output vector), ω(t) ∈ Rq là nhiễu, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều
T

khiển, n là số nơ ron của hệ, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), f2 (x2 (t)), . . . , fn (xn (t))) ∈
Rn là hàm kích hoạt, A = diag{a1 , a2 , . . . , an } ∈ Rn×n ma trận đường chéo
chính xác định dương, D ∈ Rn×n là ma trận trọng số liên kết, W ∈ Rn×m , B ∈
Rm×n , C ∈ Rp×n , là các ma trận thực cho trước, x0 là điều kiện ban đầu.


21

Ta cần các giả thiết sau để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời
gian hữu hạn cho hệ (2.1).
Giả thiết 2.1.
∆A(t) = Ea Fa (t)Ha , ∆D(t) = Ed Fd (t)Hd ,

(2.2)

∆W (t) = Ew Fw (t)Hw , ∆B(t) = Eb Fb (t)Hb ,
trong đó Ea , Ed , Ew , Eb , Ha , Hd , Hw , Hb là các ma trận thực hằng số cho trước
có số chiều thích hợp; Fa (t), Fd (t), Fw (t), Fb (t) là các ma trận biến thiên thỏa
mãn FaT (t)Fa (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤ I, FwT (t)Fw (t) ≤ I, FbT (t)Fb (t) ≤ I, ∀t ≥ 0.
Giả thiết 2.2. Các hàm kích hoạt fi (.) liên tục, fi (0) = 0 (i = 1, . . . , n), và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz li > 0 :
|fi (η1 ) − fi (η2 )| ≤ li |η1 − η2 |, ∀η1 , η2 ∈ R.

(2.3)

Đặc biệt, khi η2 = 0, ta có

fi (η1 ) ≤ li |η1 |,

∀η1 ∈ R.

(2.4)

Giả thiết 2.3. Nhiễu ω(t) ∈ Rq thỏa mãn điều kiện sau đây
∃d > 0 : ω T (t)ω(t) < d, ∀t ∈ [0, Tf ].

(2.5)

Đối với hệ (2.1) và γ vô hướng dương đã cho, số đo hiệu suất H∞ của hệ
cho bởi

Tf

z T (t)z(t) − γ 2 ω T (t)ω(t) dt.

J=
0

Khi khơng có tác động của véc tơ điều khiển hệ (2.1) rút gọn thành


C α


0 Dt x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)]f (x(t))







+[W + ∆W (t)]ω(t), t ≥ 0,

(2.6)



z(t) = Cx(t), t ≥ 0,






 x(0) = x0 ∈ Rn ,
Định nghĩa 2.1. ([17]) Cho trước các số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ), d, và một
ma trận đối xứng xác định dương R ∈ Rn×n . Hệ (2.6) với véc tơ đầu ra


22

z(t) = 0 bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , Tf , R, d) nếu
xT0 Rx0 ≤ c1 =⇒ xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ], với mọi nhiễu ω(t) ∈ Rq thỏa
mãn Giả thiết 2.3.
Định nghĩa 2.2. Hệ (2.6) được gọi là đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với
bộ (c1 , c2 , Tf , R, d) nếu các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:
(i) Khi mà z(t) ≡ 0, hệ (2.6) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với

bộ (c1 , c2 , Tf , R, d);
(ii) Với điều kiện ban đầu bằng không, tức là x0 ≡ 0, bắt đẳng thức dưới đây
được thỏa mãn
Tf

z T (t)z(t) − γ 2 ω T (t)ω(t) dt < 0,

J=
0

với mọi ω(t) ∈ L2 ([0, Tf ], Rq ).
Ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng


C α


0 Dt x(t) = [−A + BK − ∆A(t) + ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D(t)]f (x(t))






+[W + ∆W (t)]ω(t), t ≥ 0,


z(t) = Cx(t), t ≥ 0,







 x(0) = x0 ∈ Rn
(2.7)
đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1 , c2 , Tf , R, d).
Trước hết, chúng tơi trình bày một điều kiện đủ về tính bị chặn trong thời
gian hữu hạn cho hệ đóng (2.7). Ta ký hiệu
ˆ = R− 21 X −1 R− 12 , λ1 = λmin (X),
ˆ λ2 = λmax (X),
ˆ
L = diag{l1 , l2 , . . . , ln }, X
Ξ11 = −AX − XA + BY + Y T B T +

T
1 Ea Ea

+

T
2 Eb Eb

+ Ed EdT + Ew EwT ,

Ξ22 = HdT Hd − I,
Ξ33 = HwT Hw − I.
Định lý dưới đây cho ta cách thiết kế điều khiển ngược u(t) để hệ đóng (2.7)
bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , Tf , R, d).

23

Định lý 2.1. Giả sử rằng các Giả thiết 2.1, 2.2, 2.3 được thỏa mãn. Cho trước
các số dương c1 , c2 , d, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n .
Hệ đóng (2.7) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , Tf , R, d)
m×n
nếu tồn tại các hằng số dương , 1 , 2 , ma trận X ∈ S+
n , và ma trận Y ∈ R

sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn


Ξ11 D W XHaT Y T HbT XLT


 ∗ Ξ
0
0
0
0 

22




 ∗
∗
Ξ

0
0
0
33


 < 0,


 ∗
∗
∗
−
I
0
0
1





 ∗
∗
∗
∗
−
I
0
2



∗
∗
∗
∗
∗
−I
λ2 c1 +

d
T α < λ1 c2 .
Γ(α + 1) f

(2.8a)

(2.8b)

Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa được cho bởi
u(t) = Y X −1 x(t),

t ∈ [0, Tf ].

Chứng minh. Vì X là một ma trận đối xứng xác định dương nên X −1 cũng là
một ma trận đối xứng, xác định dương. Xét hàm Lyapunov sau đây:
V (x(t)) = xT (t)X −1 x(t).
Sử dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm Caputo cấp α (0 < α < 1) của hàm
V (x(t)) dọc theo quỹ đạo của hệ đóng (2.7) như sau
C α
0 Dt V

(x(t))

α
≤ 2xT (t)X −1 C
0 Dt x(t)

= xT (t) −X −1 A − AX −1 + X −1 BK + K T B T X −1 x(t)
T

− 2x (t)X

−1

T

Ea Fa (t)Ha x(t) + 2x (t)X

−1

(2.9)
Eb Fb (t)Hb Kx(t)

+ 2xT (t)X −1 Df (x(t)) + 2xT (t)X −1 Ed Fd (t)Hd f (x(t))
+ 2xT (t)X −1 W ω(t) + 2xT (t)X −1 Ew Fw (t)Hw ω(t).
Sử dụng bất đẳng thức ma trận Cauchy và Giả thiết 2.1, ta thu được các ước


24

lượng dưới đây
− 2xT (t)X −1 Ea Fa (t)Ha x(t) ≤
2xT (t)X −1 Eb Fb (t)Hb Kx(t) ≤

1x
2x

T

T

(t)X −1 Ea EaT X −1 x(t) +

(t)X −1 Eb EbT X −1 x(t) +

−1 T
T
1 x (t)Ha Ha x(t),
−1 T
T T
2 x (t)K Hb Hb Kx(t),

2xT (t)X −1 Ed Fd (t)Hd f (x(t)) ≤ xT (t)X −1 Ed EdT X −1 x(t) + f T (x(t))HdT Hd f (x(t)),
2xT (t)X −1 Ew Fw (t)Hw ω(t) ≤ xT (t)X −1 Ew EwT X −1 x(t) + ω T (t)HwT Hw ω(t).
(2.10)
Từ Giả thiết 2.2, ta có
0 ≤ −f T (x(t))f (x(t)) + xT (t)LT Lx(t).

(2.11)

Đưa các ước lượng (2.10) và (2.11) vào trong (2.9), ta thu được
C α
0 Dt V

(x(t)) ≤ ξ T (t)Ωξ(t) + ω T (t)ω(t),

(2.12)

trong đó




 x(t) 


ξ(t) = f (x(t)) ,


ω(t)



−1
−1
Ω11 X D X W 


Ω= ∗
Ω22

0 ,


∗
∗
Ω33

với
Ω11 = −X −1 A − AX −1 + X −1 BK + K T B T X −1 +
+

−1 T
1 Ha Ha

+

2X

−1

Eb EbT X −1 +

1X

−1

−1 T T
2 K Hb Hb K

Ea EaT X −1

+ X −1 Ed EdT X −1

+ X −1 Ew EwT X −1 + LT L,
Ω22 = HdT Hd − I,
Ω33 = HwT Hw − I.
Bây giờ, nhân bên trái và bên phải của Ω bởi X = diag{X, I, I} và đặt K =
Y X −1 , ta thu được




 Ω11 D W 


X ΩX =  ∗ Ω22 0  ,


∗
∗ Ω33

(2.13)