chuyen de 13

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (354.25 KB, 35 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương 2 :

Cá

c ph

ươ

ng

phá

p ch

ứ

ng minh

Chứng minh bất ñẳng thức địi hỏi kỹ năng và kinh nghiệm. Khơng thể khơi khơi mà ta
ñâm ñầu vào chứng minh khi gặp một bài bất ñẳng thức. Ta sẽ xem xét nó thuộc dạng bài
nào, nên dùng phương pháp nào ñể chứng minh. Lúc ñó việc chứng minh bất ñẳng thức
mới thành cơng được.

Như vậy, ựể có thể ựương ựầu với các bất ựẳng thức lượng giác, bạn ựọc cần nắm vững
các phương pháp chứng minh. đó sẽ là kim chỉ nam cho các bài bất ựẳng thức. Những
phương pháp ựó cũng rất phong phú và ựa dạng : tổng hợp, phân tắch, quy ước ựúng, ước
lượng non già, ựổi biến, chọn phần tử cực trị Ầ Nhưng theo ý kiến chủ quan của mình,
những phương pháp thật sự cần thiết và thông dụng sẽ ựược tác giả giới thiệu trong
chương 2 : ỘCác phương pháp chứng minhỢ.

Mục lục :

2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương ………... 32

2.2. Sử dụng các bước ñầu cơ sở ………... 38

2.3. ðưa về vector và tích vô hướng ……….. 46

2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển ……….. 48

2.5. Tận dụng tính đơn diệu của hàm số ……… 57

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2.1. Bi

ế

n

ñổ

i l

ượ

ng

giá

c t

ươ

ng

ñươ

ng :

Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa nhưTrái ðất”. Nó sử dụng các

cơng thức lượng giác và sự biến ñổi qua lại giữa các bất đẳng thức. ðể có thể sử dụng 
tốt phương pháp này bạn đọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến ñổi 
lượng giác (bạn đọc có thể tham khảo thêm phần 1.2. Các ñẳng thức,bất ñẳng thức 
trong tam giác).

Thơng thường thì với phương pháp này, ta sẽ ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về
dạng bất ñẳng thức đúng hay quen thuộc. Ngồi ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả

quen thuộc sinx ≤1; cosx ≤1.

Ví dụ

2.1.1.

CMR :

7
cos
3
14
sin
2

14
sin
1

π

>
−

L

ờ

i

giả

i :

Ta có :

( )

1
7

3
cos
7
2
cos
7
cos
14

sin
2

14
sin
1

7
3
cos

7
2
cos
7
cos
14
sin
2

14
5
sin
14
7
sin
14
3
sin
14
5
sin
14
sin
14
3
sin
14
sin
1

π

+
+

=
−

⇒









+
+

−
+

−
=

−

Mặt khác ta có :

( )

2
7
cos
7
3
cos
7
3
cos
7
2
cos
7
2
cos
7
cos

7
2
cos
7
4
cos
7
cos
7
5
cos
7

3
cos
7
cos
2
1
7
cos

π









+
+

+
=

ðặt

7
3
cos
;

7
2

cos
;

cos

π

= y z

x

Khi ñó từ

( ) ( )

1, 2 ta có bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
x+y+z > 3

(

xy+yz+zx

) ( )

mà x,y,z>0 nên :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vì x,y,z đơi một khác nhau nên

( )

4 ñúng ⇒ñpcm.

Như vậy, với các bất đẳng thức như trên thì việc biến đổi lượng giác là quyết định 
sống cịn với việc chứng minh bất ñẳng thức. Sau khi sử dụng các biến đổi thì việc giải 
quyết bất đẳng thức trở nên dễ dàng thậm chí là hiển nhiên (!).

Ví dụ

2.1.2.

CMR : a2 +b2 +c2 ≥2

(

absin3x+cacos2x−bcsinx

)

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

cos2 sin

)

(

sin2 cos

)

0
cos

cos
2
sin
2
2
sin

sin
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin

2
cos

sin
2
2
cos
2

cos
2
sin
2
cos
sin
2
cos

sin
2

cos
2
sin

2
2

2
2
2

2
2

2
2
2

2
2

2
2
2

2
2

≥
−

+
−
−

⇔

≥
+

−
+

+
−

−
+
+

⇔

−
+

+
+

≥
+
+

+
+

x
b
x
a

c
x
b
x
a

x
b

x
x
ab
x
a

x
bc
x
ca
x
x
ab
c

x
b

x
a

x
bc
x
ca

x
x
x

x
ab
c

x
x

b
x
x

a

Bất ñẳng thức cuối cùng ln đúng nên ta có đpcm.

Ví dụ

2.1.3.

CMR với ∆ABCbất kỳ ta có :

9
sin

sin

sin2 A+ 2 B+ 2C≤

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

)

(

)

(

)

(

)

0
sin

4
1
2

cos
cos

4
1
cos

cos
cos

0
4
1
2
cos
2

cos
2
1
cos

4
9
2

2
cos
1
2

2
cos

1
cos
1

2
2

2
2
2

≥
−
+








 −

−
⇔

≥
+
−

−

⇔

≥
+
+

+
⇔

≤
−

+
−

C
B
C

B
A

C
B
A

A

C
B

A

C
B

A

⇒ñpcm.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ

2.1.4.

Cho

α

β

γ

≠

π

+k

π

(

k∈Z

)

2
,

, là ba góc thỏa sin2

α

+sin2

β

+sin2

γ

=1. CMR :

α

β

γ

α

β

γ

tan
tan
tan
2

1
3

tan
tan
tan

tan
tan

tan

−
≤








 + +

L

ờ

i

giả

i :

Ta có :

γ

β

α

γ

β

α

γ

β

α

γ

β

α

γ

β

α

2
2
2
2

2
2

tan
tan

tan
2
1
tan
tan
tan

tan
tan

tan

2
tan
1

1
tan

1
1
tan

1
1

2
cos
cos

cos

1
sin
sin

sin

−
=
+

+
⇔

=
+

+
+

⇔

=
+

⇔

=
+

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

(

tan tan tan tan

)

(

tan tan tan tan

)

(

tan tan tan tan

)

tan
tan
tan

tan
tan

tan
3

tan
tan
tan

tan
tan

tan

2
2

2
2
2

2
2

≥
−

+
−

⇔

+
+

≤








 + +

β

α

γ

α

γ

β

γ

β

α

γ

β

α

γ

β

α

⇒ñpcm.

ðẳng thức xảy ra

α

β

γ

β

α

γ

α

γ

β

γ

β

α

tan
tan

tan

tan
tan
tan

tan

tan
tan
tan

tan

=
=

⇔







=
=
=

⇔

Ví dụ

2.1.5.

CMR trong ∆ABCbất kỳ ta có :










+
+

≥
+

2
tan
2
tan
2
tan
3
2
cot
2
cot
2

cotA B C A B C

L

ờ

i

giả

i :

Ta có :

2
cot
2

cot
2
cot
2
cot
2
cot
2

cotA+ B+ C = A B C

ðặt

2
cot
;

cot A y B z C

x= = = thì





=
+
+

>
xyz
z
y
x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3
3

1
1
1
3

2
2

≥
−
+
−
+
−
⇔

+
+
≥
+
+
⇔

+
+
≥

+
+
⇔










+
+
≥
+
+

x
z
z
y
y
x

zx
yz
xy
z

y
x

xyz
zx
yz
xy
z

y

x

z
y
x
z
y
x

⇒ñpcm.

ðẳng thức xảy ra ⇔cotA=cotB=cotC

⇔ A=B=C

⇔∆ABC đều.

Ví dụ

2.1.6.

CMR :

x
x

x 2 cos

2
sin

3
1

sin

3
1

+
≤
−

+
+

L

ờ

i

giả

i :

Vì −1≤sinx≤1 và cosx≥−1 nên :

3+sinx>0;3−sinx>0 và 2+cos>0
Khi đó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

)

(

)

(

)

(

cos 1

)(

cos 2

)

0
0
4
cos
6

cos
2

cos
1
2
18
cos
6
12

sin
9
2
cos
2
6

2
2

≥
−
−

⇔

≥

+
−

⇔

−
−
≤
+

⇔

−
≤
+

x
x

do cosx≤1 nên bất đẳng thức cuối cùng ln đúng ⇒đpcm.

Ví dụ

2.1.7.

CMR

2
;
3

π

β

α

π

<
≤

∀ ta có :










−










−
≤

−

+ cos 1

1
1
cos

1
1

cos
cos

β

α

β

α

L

ờ

i

giả

i :

Từ

2
1
cos
;
cos
0
2
;

3 < ≤

⇒

<
≤

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

do đó






≤
<

≤
+

4
1
cos
cos
0

1
cos
cos

β

α

β

α

ðặt a=cosα +cosβ ;b=cosαcosβ
Bất ñẳng thức ñã cho trở thành :

(

)

(

)

(

)

(

)

0
4
4

1
2

2
2
3

2
2

≤
−
−

⇔

≤
+
−
−
⇔

+
−
≤
−

⇔

+
−
≤





 −
⇔

+
−
≤
−

b

a
a

b
ab
a

a

b
a
a
b
a

b
b
a
a

a
b

b
a
a

a

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a≤1 và 2 −4 =

(

cos −cos

)

2 ≥0⇒

β
α

b

a ñpcm.

Ví dụ

2.1.8.

Cho các góc nhọn a và b thỏa sin2a+sin2b<1. CMR : 
 2a+ 2b< 2

(

a+b

)

sin
sin

sin

L

ờ

i

giả

i :

Ta có : 1

2
sin

sin2 2 =









−

+ a

a

π

nên từ ñiều kiện sin2a+sin2b<1 suy ra :

2
0

;
2

π

<
+
<
−

< a a b
b

Mặt khác ta có :

sin2

(

a+b

)

=sin2acos2b+sin2bcos2a+2sinasinbcosacosb

nên thay cos2b=1−sin2b vào thì bất đẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

a b

)

b
a
b

a

b
a
b
a
b

a

+
<

⇔

<
⇔

<
cos
0

cos
cos
sin

sin

cos
cos
sin
sin
2
sin
sin

2 2 2

(để ý 2sinasinb>0 nên có thể chia hai vế cho 2sinasinb)
Bất ñẳng thức sau cùng hiển nhiên ñúng do < + < ⇒

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ

2.1.9.

Cho ∆ABCkhông vuông. CMR :

(

A B C

)

A B B C C A

C
B

A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

tan
tan
tan

tan
tan

tan
9
tan

tan
tan

5
tan
tan
tan

3 − + + ≤ + + +

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2cos cos

)

sin

(

)

0
0
1
cos

cos
4
cos
4

0
1
cos
4
cos

cos
2

0
1
cos
4
2
cos
2
cos
2

4
3
cos
2

2
cos
1
2

2
cos
1

4
3
cos

cos

cos
cos
cos

1
cos

cos
1
cos

cos
cos

cos

1
8

3
cos

1
cos

1
4
1
cos

1
1
cos

1
4

tan
1
tan
1
tan
1
8
tan
tan

tan
4
tan
tan
tan
4

2
2
2

2
2

2
2
2

2
2
2
2

2
2

2
2
2
2

2
2

2
2
2

≥
−
+

−
−
⇔

≥
+
−
−

⇔

≥
+

−
+

⇔

≥
+
+

+
⇔

≥
+

+
+
+

⇔

≥
+

+
⇔

≤









+
+

−
⇔

≤
−









−
+

−









−









−









−
⇔

+
+

+
≤
−
+

+
−

B
A
B

A
C

B
A
C
C

C
B

A

B
A

C
B

A

C
B

A

C
B

A

C
B
A
A

C
C

B
B

A

C

B
A

C
B
A
C

B
A

C
B

A

C
B

A
C

B
A

C
B
A

⇒đpcm.

Ví dụ sau đây, theo ý kiến chủ quan của tác giả, thì lời giải của nó xứng đáng là bậc 
thầy về biến ñổi lượng giác. Những biến ñổi thật sự lắt léo kết hợp cùng bất ñẳng thức 
một cách hợp lý ñúng chỗ ñã mang ñến cho chúng ta một bài tốn thật sự đặc sắc !!!

Ví dụ

2.1.10.

Cho nửa đường trịn bán kính R , C là một ñiểm tùy ý trên nửa ñường trịn. Trong hai

hình quạt nội tiếp hai đường trịn, gọi M và N là hai tiếp ñiểm của hai đường trịn với

đường kính của nửa đường trịn đã cho. CMR : MN ≥2R

(

2−1

cot

α

cot 2 1 2

1 R R R

R
ON
MO

MN + = +








−
=

+
=

Trong ∆ vng O1MO có :

(

)

(

)

α

π

cos
1

cos
cos

cos
1

cos
2

sin

1
1

+
=
⇒
=

−
=








−
=

R
R
R

R

R
R

O

O
R

Tương tự :

(

)

α

sin
1

sin
sin

sin 2 2

2
2

+
=

⇒

−
=

=OO R R R R

R

Do đó :

(

)(

)

1
cos
sin

2
cos
2
sin
2
cos

cos
2
.
2
cos
2
sin

2
cos
2
sin
2
cos
2

cos
1
sin
1

1
cos
sin

sin
1

cos
cos

1
sin

sin
cos
sin

1
sin
cos

sin
cos
1

cos

2
2

+
+









+
=

















+
=

+
+

+
+
+

⋅
+
+
⋅

+
=

α

R
R

MN

mà =

(

−

)

⇒

+
≥

⇒

≤









−
≤

+ 2 2 1

1
2
2
2

4
2

cos

sin

α

π

MN R R ñpcm.

ðẳng thức xảy ra ⇔ = ⇔OC⊥MN

π

α

2.2. S

ử dụ

ng

cá

c b

ướ

c

ñầ

u c

ơ

s

ở

:

Các bước ñầu cơ sở mà tác giả muốn nhắc ñến ở ñây là phần 1.2. Các ñẳng thức, bất 
ñẳng thức trong tam giác. Ta sẽ ñưa các bất ñẳng thức cần chứng minh về các bất ñẳng 
thức cơbản bắng cách biến ñổi và sử dụng các ñẳng thức cơbản. Ngồi ra, khi tham gia

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

C1

C
B1

A1
A

Ví dụ

2.2.1.

Cho ∆ABC. ðường phân giác trong các góc A,B,C cắt đường trịn ngoại tiếp ∆ABC

lần lượt tại A1,B1,C1. CMR :

S

ABC

≤

S

A1B1C1

L

ờ

i

giả

i :

Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC thì nó cũng là bán kính đường trịn
ngoại tiếp ∆A1B1C1.

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

( )

sin

sin
sin
2
sin
sin
sin

2R2 A B C≤ R2 A1 B1 C1

2
;

2 1 1

B
A
C
A
C
B
C

B

A = + = + = + nên :

( )

2
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
8

2
sin
2

sin
2
sin
sin

sin
sin
1

C
B
A
C

B
A
C
B
A

B
A
A
C
C
B
C

B
A

≤
⇔

+
+

+
≤

⇔

Vì 0

2
cos
2
cos
2

cosA B C > nên :

( )

⇔ ≤ ⇒
8
1
2
sin
2
sin
2

sin

2 A B C ñpcm.

ðẳng thức xảy ra ⇔∆ABC đều.

Ví dụ

2.2.2.

CMR trong mọi tam giác ta đều có :

2
sin
2
sin
2
sin
4
4
7
sin
sin
sin

sin
sin

sinA B+ B C+ C A≤ + A B C

L

ờ

i

giả

i :

Ta có :

2
sin
2
sin
2
sin
4
1
cos
cos

cosA+ B+ C = + A B C
Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với :

cos cos cos

( )

4
3
sin
sin
sin

sin
sin

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

B

A
B

A
C

A
C
A

C
B

C
B
C

B
A

cos
cos
sin

sin
cos

cos
cos
sin

sin
cos

cos
cos
sin

sin
cos

−
=

nên :

( )

4
3
cos
cos
cos

cos
cos

cos

1 ⇔ A B+ B C+ C A≤

Thật vậy hiển nhiên ta có :

(

cos cos cos

) ( )

3
1
cos
cos
cos

cos
cos

cosA B+ B C+ C A≤ A+ B+ C 2

Mặt khác ta có :

2
3
cos
cos

cosA+ B+ C ≤

⇒

( )

3 ñúng ⇒

( )

2 ñúng ⇒ñpcm.
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC đều.

Ví dụ

2.2.3.

Cho ∆ABC bất kỳ. CMR :

1

cos
cos
4
cos
2
1

1
cos

cos
4
cos
2
1

1
cos

cos
4
cos
2
1

≥
+

+
+
+

+ A A B B B C C C A

L

ờ

i

giả

i :

ðặt vế trái bất ñẳng thức cần chứng minh là T.
Theo AM – GM ta có :

T

[

3+2

(

cosA+cosB+cosC

)

(

cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA

)

]

≥9

( )

1
mà :

3
cos
cos

cosA+ B+ C≤

và hiển nhiên :

(

)

4
3
3

cos
cos

cos

2
≤
+

+
≤

+ B C C A A B C

B
A

⇒3+2

(

cosA+cosB+cosC

)

(

cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA

)

≤9

( )

2
Từ

( ) ( )

1, 2 suy ra T ≥1⇒đpcm.

Ví dụ

2.2.4.

CMR với mọi ∆ABC bất kỳ, ta có :

a2 +b2 +c2 ≥4 3S+

(

a−b

)

2 +

(

b−c

)

2 +

(

c−a

)

L

ờ

i

giả

i :

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2

(

)

4 3 2 2 2

( )

c
b
a
S
ca

bc

ab+ + ≥ + + + 
Ta có :

S
c
b
a
C

S
b
a
c
B

S
a
c
b
A

4
cot

2
2
2

−
+
=

Khi đó :

( )

(

)

3
2
tan
2
tan
2
tan

3
cot

sin
1
cot

sin
1

cot
cot

cot
4

3
4
sin

1
sin

1
4
1

≥
+

+
⇔

≥








−









−
+









−
⇔

+
+

+
≥









+
+

⇔

C
B

A

C
C

B
B

A
A

C
B

A
S
S
C

B
A

S

⇒ñpcm.

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC đều.

Ví dụ

2.2.5.

CMR trong mọi tam giác, ta có :

R
r
A

C
C

B
B

A

4
8
5
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2

sin + + ≤ +

L

ờ

i

giả

i :

Áp dụng công thức :

2
sin
2
sin
2
sin

4R A B C

r= , ta ñưa bất ñẳng thức ñã cho về dạng
tương ñương sau :

( )

8
5
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2

sin A B + B C + C A− A B C ≤

Ta có :

2
sin
2
sin
2
sin
4
1
cos
cos

cosA+ B+ C = + A B C
Do đó :

( )

(

)

( )

8
5
1
cos
cos

cos
4
1
2
sin
2
sin
2

sin
2
sin
2
sin
2
sin

1 ⇔ A B+ B C + C A− A+ B+ C− ≤

Theo AM – GM, ta có :

2
sin
2
sin
2
2
cos

2
cos
2
cos

2
cos
2

sin
2
sin
2
2
cos

2
cos
2
cos

2
cos

B
A
A

B
B

A
B

A
A

B
B

A

≥














+
⇒

≥

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>









+
≤

⇒

2
tan
sin
2
tan
sin
2
1
2
sin
2
sin

2 A B A B B A

Tương tự ta có :









+
≤









+
≤

2
tan
sin
2
tan
sin
2
1
2
sin
2
sin
2

C
A
A

C
A

C

B
C
C

B
C

B

Từ đó suy ra :

(

)

(

)

(

)






+
+

+
≤

≤








+
+

B
A

C
A

C
B
C

B
A

A
C
C

B
B

A

sin
sin

2
tan
sin

sin
2
tan
sin

sin
2
tan
2
1

2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2










+
+

≥
+

⇒

2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
cos

cosA B C A B B C C A

Khi ñó :

(

)

(

)

(

)

(

)

4
1
cos
cos

cos
4
1
1
cos
cos

cos
4
1
cos
cos

cos
2
1

1
cos
cos

cos
4
1
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin

=
+

+
=

−
+

−

+
+

≤

≤
−
+

+
−

+
+

C
B

A
C

B
A

C
B

A

C
B

A
A

C
C

B
B

A

mà

2
3
cos
cos

cosA+ B+ C≤

(

)

8
5
1
cos

cos

cos
4
1
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2

sin + + − + + − ≤

⇒ A B B C C A A B C

⇒

( )

2 đúng⇒đpcm.

Ví dụ

2.2.6.

Cho ∆ABCbất kỳ. CMR :

2
tan

2
tan
2
tan
cot

cot
cot

2
2
2
3

2
2
2

C
B
A

c
b
a
C

B
A

c
b
a

≤








+
+

L

ờ

i

giả

i :

Ta có :

S

C
B

A

c

b
a

4
cot
cot

cot

2
2
2

=
+

+
+
+

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

( )

1
2
tan
2
tan
2
tan
64

2
2
3

C
B
A

c
b
a

S ≤

Mặt khác ta cũng có :

2
sin
4

cos
2
2
cos

2
2

A
bc
a

A
bc
bc
a

A
bc
c

b
a

≥

⇒

−
≥

⇒

−
+
=

bc A S
A

A
bc
A
a

4
sin
2
2
tan

2
sin
4

2
tan

2
2

=
=

≥

⇒

Tương tự ta cũng có :

S
C
c
S

B
b

4
2
tan
;
4
2
tan

2
2

≥

⇒

( )

1 ñúng ⇒ñpcm.

Ví dụ

2.2.7.

CMR trong mọi tam giác ta có :

(

1+b+c−bc

) (

[

)

(

)

(

)

B
ca
A
bc
C
ab
R

C
b
a

B
a
c
A
c
b
Q

C
B

A
P

cos
cos

cos

cos
cos

cos

cos
cos

cos

+
+
+

+
+

Dễ thấy
2
3
≤

P

Mặt khác ta có :

bcosC+ccosB=2R

(

sinBcosC+sinCcosB

)

=2Rsin

(

B+C

)

=2RsinA=a

Tương tự :

c
b
a
Q

c
A
b
B
a

b
C
a
A
c

+
+
=

⇒

=
+

cos
cos

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2
2

2
cos

cos
cos

2
2
2

2
2
2
2
2
2

2
2
2

c
b
a
R

b
a
c
a
c
b
c
b
a
B
ca
A
bc
C
ab

+
+
=
⇒

−
+
+
−
+
+
−
+
=
+

(

)

(

)

(

)

(

)

1
1

1
3

2
2

3 2 2 2 2 2 2

≤
−

+
−
+
−
−
=
+
+
−
+
+
+
≤
+
+

⇒P Q R a b c a b c a b c

⇒đpcm.

Ví dụ

2.2.8.

Cho ∆ABCbất kỳ. CMR : 
 R+r≥4 3 S

L

ờ

i

giả

i :

Ta có :

(

)

A B C

C
B
A
C

B
A

R

S
p

S
r

C
B
A

S
C

B
A
R
S
abc

R

sin
sin

sin

sin
sin
sin
2
8
sin

sin
sin

sin
sin
sin
2
8

sin
sin
sin
2
4

+
+

=
+

+
=

=
=

Vậy :

C
B

A

C
B
A
C

B
A

S
C

B
A

S
r

R

sin
sin

sin

sin
sin
sin
2
8
sin

sin
sin
2
2

1
sin
sin
sin
2
2
1

+
+

=
+

Theo AM – GM ta có :

(

)

sin
sin

sin
sin
sin

sin
8

sin
sin
sin

3 A B C A B C

C
B
A
S

S
r

R

+
+

≥
+
mà :

8
3

3
sin
sin
sin

2
3
3
sin
sin

sin

≤
≤
+

C
B
A

C
B

A

⇒
=

≥
+

⇒R r 3 S S 4 S

4 27.3 3 3
4

đpcm.

Ví dụ

2.2.9.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2
2

3
8
2

3
8









≥
+
+
+
+
+
≥








R
S
a

c
ca
ca
c
b

bc
bc
b
a

ab
ab
r

S

L

ờ

i

giả

i :

Theo AM – GM ta có :

ca
bc
ab
a
c

ca
ca
c
b

bc
bc
b
a

ab

ab + +

≤
+
+
+
+
+

(

)

6
2

8 2 a b c 2
r

S
pr

S  = + +






⇒

=
Lại có :

(

)

6
2

c
b
a
ca
bc

ab + +

≤
+
+

⇒

+
+
+
+
+
≥







⇒

a
c

ca
ca
c
b

bc
bc
b
a

ab

ab
r

S 2

2
3
8

vế trái ñược chứng minh xong.
Ta có :

(

)

3
3

2
3
3
sin
sin

sin

sin
sin

sin
2

R
c
b
a

C
B

A

C
B

A
R
c
b
a

≤
+
+
⇒

≤
+

+
+

=
+
+

Theo AM – GM ta có :

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

2 abc

p
a
p
c
p
c
p
b
p
b
p
a
p

p

S = − − − − − − ≤

(

a b

) (

b c

) (

c a

)

abc
c

b
a

abc
c

b
a

abc
p
R

S

+
+
+
+

+
=
+
+
⋅
=







 + +

⋅
≤







⇒ 9

2
9

8
3

2
2

Một lần nữa theo AM – GM ta có :

(

) (

)

(

)(

)

c a

ca
ca
c
b

bc
bc
b
a

ab
ab

a
c
c
b
b
a

abc
a

c
c
b
b
a

abc

+
+
+
+
+
≤
+
+
+
≤

+
+
+

+ 3.3

9
9

⇒vế phải chứng minh xong⇒Bất đẳng thức được chứng minh hồn tồn.

Ví dụ

2.2.10.

Cho ∆ABCbất kỳ. CMR :

4
2

8
2

3
6
2

cos
2
cos
2
cos











≥
+

R
abc
C

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

L

ờ

i

giả

i :

Áp dụng BCS ta có :

(

)

2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2

cos 2 2 2

2
4
4
4
2

8
2

C
B

A

c
b
a
C

c
B
b
A
a

+
+

+
+
≥

+
+

mà :

(

2

)

2
4

2
2

4
9
2
cos
2
cos
2
cos

S
R

abc

C
B

A








≤
+

Vì thế ta chỉ cần chứng minh : 4 4 4 2
16S
c

b

a + + ≥
Trước hết ra có : 4 4 4

(

) ( )

c
b
a
abc
c

b

a + + ≥ + +

]

(

a−b

)

2 ≥0(ñúng!)
Mặt khác ta cũng có :

a

c
b
y

c
b
a
x

−
+
=

vì a,b,clà ba cạnh của một tam giác nên x,y,z>0
Khi đó theo AM – GM thì :

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

b
a

c
a
c
b
c
b
a
xyz
zx

yz
xy
x

z
z
y
y
x

abc= + + + ≥ = = + − + − + −

8
2
2
2
8

⇒

( )

3 ñúng ⇒ñpcm.

2.3

ðư

a v

ề

vector

và tí

ch vơ h

ướ

ng :

Phương pháp này ln đưa ra cho bạn đọc những lời giải bất ngờ và thú vị. Nó đặc 
trưng cho sự kết hợp hồn giữa đại số và hình học. Những tính chất của vector lại mang

đến lời giải thật sáng sủa và ñẹp mắt. Nhưng số lượng các bài tốn của phương pháp này 
khơng nhiều.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

e

O
A

B C

CMR trong mọi tam giác ta có :

2
3
cos
cos

cosA+ B+ C ≤

L

ờ

i

giả

i :

Lấy các vector ñơn vị e1,e2,e3 lần lượt trên các cạnh AB,BC,CA.
Hiển nhiên ta có :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2
3
cos
cos

cos

0
cos
cos

cos
2
3

0
,
cos
2
,
cos
2
,
cos
2
3

1
3
3

2
2

1
2
3
2
1

≤
+

+
⇔

≥
+

+
−

⇔

≥
+

+
+

⇔

≥

+
+

C
B

A

C
B

A

e
e
e

e
e

e
e
e
e

⇒đpcm.

Ví dụ

2.3.2.

Cho ∆ABCnhọn. CMR :

2
3
2

cos
2

cos
2

cos

0
2
cos
2

cos
2

0
,

cos
,

cos
2
3

0
2

2
2
2

−
≥
+

+
⇔

≥
+

+
+

⇔

≥
+

+
+

⇔

≥
+

C
B

A

B
A

C
R

R

OA
OC
OC

OB
OB

OA
R

R

OC
OB
OA

⇒ñpcm.

ðẳng thức xảy ra ⇔OA+OB+OC =0⇔OG=0⇔O≡G ⇔∆ABCñều.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

O
A

B C

Cho ∆ABCnhọn. CMR ∀x,y,z∈R ta có :

(

2 2 2

)

2
1
2

cos
2

cos A zx B xy C x y z

yz + + ≥− + +

L

ờ

i

giả

i :

Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC.
Ta có :

(

)

(

2 2 2

)

2
2
2

1
2

cos
2

cos

0
2
cos
2
2
cos
2
2
cos
2

0
.
2
.

2
.
2

z
y
x
C

xy
B
zx
A
yz

B
zx
A
yz

C
xy
z

y
x

OA
OC
zx
OC

OB
yz
OB
OA
xy
z

y
x

OC
z
OB
y
OA
x

+
+
−

≥
+

+
⇔

≥
+

+
+

+
+
⇔

≥
+

+
+

+
+
⇔

≥
+

⇒ñpcm.

2.4. K

ế

t h

ợ

p

cá

c b

ấ

t

ñẳ

ng th

ứ

c c

ổ ñ

i

ể

n :

Về nội dung cũng nhưcách thức sử dụng các bất ñẳng thức chúng ta ñã bàn ở chương 
1: “Các bước ñầu cơ sở”. Vì thế ở phần này, ta sẽ khơng nhắc lại mà xét thêm một số ví
dụ phức tạp hơn, thú vị hơn.

Ví dụ

2.4.1.

CMR ∀∆ABCta có :

2
3
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2

sin ≥
















+ B C A B C

A

L

ờ

i

giả

i :

Theo AM – GM ta có :

3

2
sin
2
sin
2
sin
3

2
sin
2
sin
2
sin

C
B
A
C

B
A

≥
+

Mặt khác :

2
sin
2
sin
2

sin

2
cos
2
cos
2
cos
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

C
B
A

C
B
A
C

B
A
C

B
A

=
=

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(

)

2
sin
2
sin
2
sin

2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2

cos
2
sin
2
3

2
sin
2
sin
2
sin
2

2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2

sin
2

sin
2
sin

sin
sin

sin
4
1

C
B
A

C
C
B
B
A
A

C
B
A

C
C

B

B
A

A
C

B
A

C
B

A

⋅
≥

+
+

=
+

+
=

Suy ra :

( )

1
2
cot
2
cot
2
cot
2
9

2
sin
2
sin
2
sin

2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2

sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
9

2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin

3
3

C
B
A

C
C
B
B
A
A
C
B
A

C
B

A
C

B
A

=
⋅
≥

≥









+
+









+
+

mà ta cũng có : 3 3
2

cot
2
cot
2

cotA B C ≥

( )

2
3
9
3
3
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2

9 3

3 ≥ ⋅ =

⋅

⇒ A B C

Từ

( )

1 và

( )

2 :

2
3

9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2

sin ≥








+
+









+
+

⇒ A B C A B C

⇒đpcm.

Ví dụ

2.4.2.

Cho ∆ABCnhọn. CMR :

(

)(

)

2
3
9
tan
tan

tan
cos
cos

cosA+ B+ C A+ B+ C ≥

L

ờ

i

giả

i :

Vì ∆ABC nhọn nên cosA,cosB,cosC,tanA,tanB,tanC ñều dương.

Theo AM – GM ta có : 3 cos cos cos

cos
cos

cos

C
B
A
C

B
A

≥
+

C
B
A

C
B
A
C

B
A
C

B
A

cos
cos
cos

sin
sin
sin
tan

tan
tan
tan

tan

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(

)

C
B
A

C
C
B
B
A
A

C
B
A

C
C
B

B
A

A
C

B
A

C

B

A

cos
cos
cos
2

cos
sin
cos
sin
cos
sin
2
3

cos
cos
cos
2

cos
sin
cos

sin
cos

cos
cos

2
sin
2
sin
2
sin
4
1

3
⋅
≥

+
+

=
+

+
=

Suy ra :

(

)(

)

( )

1
tan
tan
tan
2
9

cos
cos
cos

cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
cos
cos
2
9
tan
tan
tan
cos
cos
cos

3
3

C
B
A

C
C
B
B
A
A
C
B
A
C

B
A
C
B
A

⋅
≥
+

+
+

Mặt khác : tanAtanBtanC≥3 3

( )

2
3
9
3
3
2
9
tan
tan
tan
2

9 3 3

=
⋅

≥
⋅

⇒ A B C

Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra :

(

)(

)

2
3
9
tan
tan

tan
cos
cos

cosA+ B+ C A+ B+ C ≥
⇒đpcm.

Ví dụ

2.4.3.

Cho ∆ABC tùy ý. CMR :

4 3

2
tan

1
2
tan
2

tan
1
2
tan
2

tan
1
2

tan ≥
















+
+















+
+















C
C

B
B

A
A

L

ờ

i

giả

i :

Xét

( )









∈
∀
=

2
;
0
tanx x

π

x

f

Khi đó : f ''

( )

x =

Theo Jensen thì : 3

( )

1
2

tan
2
tan
2

tan A+ B + C ≥

Xét

( )









∈

∀
=

2
;
0
cotx x

π

x

g

Và

( )

(

)









∈
∀
>
+

2
;
0
0

cot
cot
1
2

'' x 2 x x x

π

g

Theo Jensen thì : 3 3

( )

2
2

cot
2
cot
2

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ví dụ

2.4.4.

CMR trong mọi tam giác ta có :

3
3
2
1
sin

1
sin

1
1
sin

1 








+
≥








+









+








C
B

A

L

ờ

i

giả

i :

Ta sử dụng bổ ñề sau :

Bổ ñề : Cho x,y,z >0 và x+ y+z≤S thì :

1 1 1 1 1 1 1 2

( )

1
3








+
≥







+







+








S
z

y
x

Chứng minh bổ ñề :
Ta có :

( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1

( )

2
xyz
zx

yz
xy
z

y
x

VT +








+
+
+








+
+
+
=
Theo AM – GM ta có :

1 1 1 9 9

( )

xy+ + ≥

Dấu bằng trong

( )

6 xảy ra ⇔ đồng thời có dấu bằng trong

( )( )

3
5

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

( )

3
3

1
27
27
9
1

1 







+
=
+
+
+
≥

S
S

S
S
VT

Bổ ñề ñược chứng minh. Dấu bằng xảy ra ⇔đồng thời có dấu bằng trong

( )( )( )

3 4 6

S
z
y
x= = =
⇔

Áp dụng với x=sinA>0,y=sinB>0,z=sinC >0
mà ta có

2
3
3
sin
sin

sinA+ B+ C≤ vậy ở đây

2
3
3
=

S

Theo bổ ñề suy ra ngay :

3
3
2
1
sin

1
1
sin

1 








+
≥


























C
B

A

Dấu bằng xảy ra

2
3
sin

sin

sin = = =

⇔ A B C

⇔∆ABC đều.

Ví dụ

2.4.5.

CMR trong mọi tam giác ta có : 
 la +lb +lc ≤ p 3

L

ờ

i

giả

i :

Ta có : 2 2

(

)

(

)

( )

cos
2

a
p

p
c
b

bc
bc

a
p
p
c
b

bc
c

b
A
bc

la −

+
=
−
+

=
+
=

Theo AM – GM ta có 2 ≤1
+c
b

bc

nên từ

( )

1 suy ra :
la ≤ p

(

p−a

) ( )

Dấu bằng trong

( )

2 xảy ra ⇔b=c

Hồn tồn tương tự ta có :

(

) ( )

(

) ( )

c
p
p
l

b
p
p
l

c
b

−
≤

Dấu bằng trong

( )( )

3 4 tương ứng xảy ra ⇔a=b=c

Từ

( )( )( )

2 3 4 suy ra :

la +lb +lc ≤ p

(

p−a+ p−b+ p−c

)

( )

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

(

)

(

)

( )

6
3

3
3
2

p
c

p
b
p

a
p

c
b
a
p
c

p
b
p
a
p

≤
−
+
−
+
−
⇒

−
−
−
≤

−
+

−
+
−

Dấu bằng trong

( )

6 xảy ra ⇔a=b=c

Từ

( )( )

5 6 ta có : la +lb +lc ≤ p 3

( )

ðẳng thức trong

( )

7 xảy ra ⇔đồng thời có dấu bằng trong

( )( )

5 6 ⇔a=b=c

ABC

∆

⇔ ñều.

Ví dụ

2.4.6.

Cho ∆ABCbất kỳ. CMR :

R
r
abc

c
b

a 2

4
3
3
3

−
≥
+
+

L

ờ

i

giả

i :

Ta có : pr p

(

p a

)(

p b

)(

p c

)

R

abc

S = = = − − −
4

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

abc

abc
c

b

a
ca
a
c
bc
c
b
ab
b
a
abc

c
b
a
b
a
c
a
c
b

abc

c
p
b
p
a
p

pabc

c
p
b
p
a
p
p
pabc

S
R

r

2
2

2
2
2
2
2
8

8
2

3
3
2
2

2
2
2
2

−
−
−
−
+
+
+
+
+
=
−
+
−
+
−
+
=

−
−

−
=
−
−
−
=

⇒

abc
c
b
a
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b

b
a
abc

c
b
a
R

r 3 3 3 3 3 3

6
2

4 ≤ + +








+
+
+
+
+
−
+

+
+
=
−
⇒

⇒đpcm.

Ví dụ

2.4.7.

Cho ∆ABCnhọn. CMR :

b abc

A
a
C
c
a
C
c
B
b
c
B
b
A
a

cos

cos
cos

cos ≥







−
+









−
+









−
+

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

C
B
A
B

A
A
C

C
A

C
C
B

B
C

B
B
A

A

sin
sin
sin
27
sin

cos
sin
cos

sin
sin

cos
sin
cos

sin
sin

cos
sin
cos

sin

≥









−
+









−
+









</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

27
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
sin
sin
sin
27
sin
cos

cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
≥
−
⋅
−
⋅
−
⇔
≥






−







−






−
⇔
A
C
A
C
C
B
C
B
B
A
B
A
C
B
A
B
A
C
B
A

C
B
A
C
B
A
C
ðặt









+
−
=
+
−
=
+
−
=
⇒











<
<
=
=
=
2
2
2
2
2
2
1
1
cos
1
1
cos
1
1
cos
1
,
,

0
2
tan
2
tan
2
tan
z
z
C
y
y
B
x
x
A
z
y
x
C
z
B
y
A
x
và










−
=
−
=
−
=
2
2
2
1
2
tan
1
2
tan
1
2
tan
z
z
C
y
y
B
x

x
A

Ta có :

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2

1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
cos
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
B
A
B
A

−
−
+
=
+
+
−
−
+
+
−
−
−
=
−

Mặt khác ta có : x2 +y2 ≥2xy

tan tan

( )

1
1
2
1
2
cos
cos
cos
cos
1
2

2 A B

y
y
x
x
B
A
B
A
=
−
⋅
−
≥
−
⇒

Tương tự : tan tan

( )

2
cos
cos
cos
cos
1
C
B
C
B
C
B

≥
−

tan tan

( )

3
cos
cos
cos
cos
1
A
C
A
C
A
C
≥
−

Nhân vế theo vế ba bất ñẳng thức

( )( )( )

1 2 3 ta ñược :

A B C

A
C
A
C
C
B
C
B

B
A
B

A 2 2 2

tan
tan
tan
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
≥
−
⋅
−
⋅
−

Ta ñã biết : tanAtanBtanC≥3 3⇒tan2 Atan2 Btan2C≥27
Suy ra :

27
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
1
≥
−
⋅
−
⋅
−
A
C
A
C

C
B
C
B
B
A
B
A

⇒đpcm.

Ví dụ

2.4.8.

CMR ∀∆ABC ta có :







+
≥
+
+
p
abc
p
c
b

a2 2 2 2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương dương với :

(

)

(

)

(

)

c
b
a

abc
c

b
a
c

b
a

c
b
a

abc
c

b
a
c

b
a

+
+
+
+
+
≥
+
+
⇔











+
+
+
+
+
≥

+
+

72
9

2
4

35
36

2
2

( )

Lại có :








≥
+
+

3 2 2 2
2

2
2

3
3

c
b
a
c

b
a

abc
c

b
a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

72
8

2
2
2

c
b
a

abc
c

b
a

abc
c

b
a
c
b
a

abc
c

b
a
c
b
a

+
+
≥
+
+
⇔

≥
+
+
+

+
⇔

≥
+
+
+

+
⇒

Lấy

( )

1 cộng

( )

2 ta ñược :

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

c
b
a

abc
c

b
a
c

b
a

c

b
a

abc
c

b
a
c

b
a

+
+
+
+
+
≥
+
+
⇔

+
+
+

+
+
≥
+
+
+
+
+

72
9

8
27

2
2

⇒đpcm.

Ví dụ

2.4.9.

CMR trong ∆ABC ta có :

6

2
sin

2
cos
2

sin
2
cos
2

sin
2
cos

≥
−
+

−
+

−

C
B
A
B

A
C
A

C
B

L

ờ

i

giả

i :

Theo AM – GM ta có :

( )

2
sin

2
cos

2
sin

2
cos

2
sin

2
cos
3
2
sin

2
cos

2
sin

2
cos

2
sin

2
cos

C
B
A

B
A
C

A
C
B

C
B
A

B
A
C

A
C

B −

⋅
−
⋅

−
≥

−
+

−

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

mà :

(

)(

)

C
B
A
B
A
A
C
C
B
C
C
B
A

B
A
B
B
A
C
A
C
A
A
C
B
C
B
C
B
A
B
A
C
A
C
B
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin

sin
sin
2
sin
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
2
cos
2

sin
2
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
+
+
+
=
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
=
−
⋅
−

⋅
−

Lại theo AM – GM ta có :







≥
+
≥
+
≥
+
A
C
A
C
C
B
C
B
B
A
B
A
sin

sin
2
sin
sin
sin
sin
2
sin
sin
sin
sin
2
sin
sin

(

)(

)

(

)(

)

( )

2
8
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin

sin
8
sin
sin
sin
sin
sin
sin
≥
+
+
+
⇒
≥
+
+
+
⇒
C
B
A
B
A
A
C
C
B
C
B
A

B
A
A
C
C
B

Từ

( )( )

1 2 suy ra :

3 8 6

2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
3 =
≥
−
+
−
+
−

C
B
A
B
A
C
A
C
B

⇒đpcm.

Ví dụ

2.4.10.

CMR trong mọi ∆ABC ta có : 
 
2
9
sin
sin
sin
sin
sin
sin 





≥

+
+
R
r
A
C
C
B
B
A

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

2
2
2
36
9
2
2
2
2
2
2
9
sin
sin

sin
sin
sin
sin
r
ca
bc
ab
r
a
c
c
b
b
a
r
A
C
R
C
B
R
B
A
R
≥
+
+
⇔
≥

⋅
+
⋅
+
⋅
⇔
≥
+
+

Theo cơng thức hình chiếu :

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>









+









+
+

+








+









+
+









+









+
=

+
+
⇒

2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2

cot
2
cot
2
cot
2
cot

2
2

C
B

B
A

r

B
A

A
C

r
A
C

C
B

r
ca
bc
ab

Theo AM – GM ta có :

( )

1
cot
cot
cot
4
2
cot
2
cot

2
2
cot
2
cot
2
2
cot
2
cot
2
cot
2

cotB C C A B C C A= 2C A B



















≥

















+
Tương tự :

( )

3
cot

cot
cot
4
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

2
cot
cot
cot
4
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

A
C
B
C

B
B

A

C
B
A
B

A
A

C

≥


















≥

















Từ

( )( )( )

1 2 3 suy ra :

( )

4
2
cot
2
cot
2
cot
12
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

2
cot
2

cot
2
cot
2
cot
2

cot
2
cot
2
cot
2
cot

3 2 A 2 B 2 C
B

A
A

C

B
A

A
C

B

A

A
C

≥








+









+
+

+









+









+
+









+









Mặt khác ta có : 27

( )

2
cot
2
cot
2
cot
3
3
2
cot
2
cot
2

cot A B C ≥ ⇒ 2 A 2 B 2 C ≥

Từ

( )( )

4 5 suy ra : 12.3 36

( )

6
2

cot
2
cot
2
cot

123 2 A 2 B 2 C ≥ =

Từ

( )( )

4 6 suy ra ñpcm.

2.5. T

ậ

n

dụ

ng

tí

nh

đơ

n

đ

i

ệ

u

củ

a

hà

m s

ố

:

Chương này khi ñọc thì bạn đọc cần có kiến thức cơbản về đạo hàm, khảo sát hàm số
của chương trình 12 THPT. Phương pháp này thực sự có hiệu quả trong các bài bất đẳng 
thức lượng giác. ðể có thể sử dụng tốt phương pháp này thì bạn đọc cần đến những kinh 
nghiệm giải tốn ở các phương pháp đã nêu ở các phân trước.

Ví dụ

2.5.1.

CMR :

π

x
x 2

sin > với 








∈
2
;
0

π

x

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Xét

( )

π

x







∈
∀
<
−

⇒

2
;
0
0

sin

π

nghịch biến trên khoảng ñó.

( )

= ⇒







⇒

=
<

⇒ 0

2
0

'
0

0 f x f x f

π

g
x

g đpcm.

Ví dụ

2.5.2.

CMR : x
x

x

cos
sin 3








với 








2
;
0

π

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

)

(

cos

)

sin

cos
sin

3
1

>
−
⇔

−

x
x

Xét f

( )

x = x

(

x

)

−3 −x
1
cos

sin với 







∈
2
;
0

π

x

Ta có :

( ) (

)

sin

(

cos

)

1
3

1
cos

' 3

4
2

3
2

−
−

= x x x −

x
f

( )

(

) (

)

(

)









∈
∀
>

−

= − −

2
;
0
0

cos
sin

9
4
sin
1
cos
3
2

'' 4

7
3

π

x
x

f

⇒ f '

( )

x ñồng biến trong khoảng đó⇒ f '

( )

x > f '

( )

0 =0

⇒ f

( )

x cũng ñồng biến trong khoảng ñó ⇒ f

( )

x > f

( )

0 =0⇒đpcm.

Ví dụ

2.5.3.

CMR nếu a là góc nhọn hay a =0 thì ta có : 
 2sina +2tana ≥2a+1

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Áp dụng AM – GM cho hai số dương 2sina và 2tana ta có :

2sina +2tana ≥2 2sina2tana =2 2sina+tana
Như vậy ta chỉ cần chứng minh : sina+tana>2a với

2
0<a<

π

Xét f

( )

x =sinx+tanx−2x với 







∈
2
;
0

π

x

Ta có :

( )

(

)

[

(

)

]








∈
∀
>
−

+
−

=
+
−

=
−
+

2
;
0
0

cos

cos
1
cos
1
cos
1
cos

1
cos
2
cos

2
cos

1
cos

' 2 2

2
3

π

x
x

x
f

( )

x
f

⇒ đồng biến trên khoảng đó ⇒ f

( )

a > f

( )

0 với a sina tana 2a

2
;

0 ⇒ + >







∈

π

⇒2 2sina+tana ≥2 22a =2a+1

⇒2sina +2tana ≥2a+1

(khi a=0 ta có dấu đẳng thức xảy ra).

Ví dụ

2.5.4.

CMR trong mọi tam giác ta đều có :

(

A B C

)

A B C

B
A
B

A
B

A cos cos cos cos cos cos

12
13
cos

cos
cos

cos

1+ + + ≤ + + +

L

ờ

i

giả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

A B A B A B

)

(

A B C

)

C
B

A cos cos cos

6
13
1
cos
cos
cos

cos
cos

cos
2
cos
cos
cos
2

1− + + + + ≥ + +

(

A B A B A B

)

(

A B C

)

C
B

A cos cos cos

6
13
1
cos
cos
cos

cos
cos

cos
2
cos

cos

cos2 + 2 + 2 + + + + ≥ + +

⇔

(

A B C

)

(

cosA cosB cosC

)

6
13
1
cos

cos

cos + + 2 + ≤ + +

⇔

6
13
cos

cos
cos

1
cos

cos

cos ≤

+
+

+
⇔

C

B

A
C

B
A

ðặt

2
3
1

cos
cos

cos + + ⇒ < ≤

= A B C t

t

Xét hàm ñặc trưng :

( )

t
t
t

f = +1 với  




∈
2
3
;
1

t

Ta có :

( )

t f

( )

x
x

x

f  ⇒




∈
∀
>
−
=

2
3

;
1
0

1
1
'

2 đồng biến trên khoảng đó.

( )

= ⇒







≤

⇒

6
13
2
3

f
x

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Ví dụ

2.5.5.

Cho ∆ABC có chu vi bằng 3. CMR :

(

)

2
2

4
13
sin

sin
sin
8
sin

sin
sin

R
C
B
A
R
C

B

A+ + + ≥

L

ờ

i

giả

Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử a≤b≤c

Theo giả thiết :

2
3
1

3⇒ + > ⇒ − > ⇒ ≤ <
=

+b c a b c c c c

a

Ta biến ñổi :

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

c

)

c ab

(

c

)

c
ab
c

c

ab
abc
c

c

abc
c

ab
b

a

abc
c

b
a

abc
c

b
a
T

2
3
2
3
3

3
2
2
3
3

6
4

3
3

4
3

2
3

4
3
3

4
3
3
3

2
2

2
2
2

2
2

−
−

+
−
=

−
+

+
−
=

−
+

+
−
=

+
+
−
+
=

+
+
=

+
+
+
=

vì 2 3 0 3 2 0
2

>
−

⇒

<
−

⇒

< c c

c

và

2
2

2
3
2
2

2
3

2 





 −

−
≥
−

⇒







 −







 +

≤ a b c ab c

ab

Do đó : T

(

c

)

c c

(

3 2c

)

2
3
2
3
3

2
2

−







 −

−
+
−
≥

2
3

;
1
0

3
3

' 2 ñồng biến trên khoảng đó.
⇒ f

( )

c ≥ f

( )

1 =13⇒đpcm.

Ví d

ụ

2.5.6.

Cho ∆ABCbất kỳ. CMR :

3
3

28
2

≥
+

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

L

ờ

i gi

ả

i :

Ta có :

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

p
c
p
p

b
p
p

a
p
C
B
A

c
p
p

b

p
a
p
C

b
p
p

a
p
c
p
B

a
p
p

c
p
b
p
A

−
⋅
−
⋅
−

=
⇒












−
−
−
=

tan
2
tan
2
tan

2
tan

và

(

)(

)

p
c
p
p

b
p
p

a
p
p

c
p
b
p
a
p
p
p

S
S

r −

⋅
−
⋅
−
=
−
−
−
=

2
2

Do đó :

2
tan
2
tan
2
tan
2

C
B
A
S

r
=
Mặt khác :

(

)

(

)

(

)

(

)

2
cot

2
cot
2
cot

2
cos

2
sin
2
sin
2
sin
2
cos

2
cos
2
cos
2
cos

2
tan
sin
sin

sin

sin
sin

sin
2
2

tan
2

C
B
A

A
A
C
B
A

C
B
A

A

A
C

B
R

C
B

A
R
A

a
c
b

c
b
a
A

a
p

c
b
a
r

p

=
=

−
+

+
+

=
−

+
+
+
=

−
+
+
=

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

3
3

28
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

3
3

28
2
cot
2
cot
2
cot
2
tan
2

tan
2
tan

≥
+

⇔

≥
+

C
B
A
C

B
A

C
B
A
C

B
A

ðặt 3 3

2
cot
2
cot
2

cot ⇒ ≥

)(

)

2
3
3
3
8
2

2R+a R+b R+c < R e

L

ờ

i gi

ả

i :

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :

(

)(

)

3
3
2

3
3

sin
1
sin
1
sin
1

2
1

2
1
2
1

2
2
2
2
2

e
C
B

A

e
R
c
R

b
R

a

e
R

c
R
R

b
R
R

a
R

<
+

+
+

⇔

<








+









+








+
⇔

<
+
⋅
+
⋅
+

Xét f

( )

x =ln

(

1+x

)

−x với 0< x<1

( )

(

0;1

)

1
1
1

' < ∀ ∈

+
−
=
−
+
=

⇒ x

x
x
x

x
f

{

sinA,sinB,sinC

}

vào bất ñẳng thức trên rồi cộng lại ta ñược :

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

(

)(

)

A B C

e
C
B

A

C
B

A
C

B
A

C
B

A
C

B

A

sin
sin
sin
sin

1
sin
1
sin
1

sin
sin

1
sin
1
sin
1
ln

sin
sin

sin

1
ln
sin

1
ln

+
+

<
+

+
+

⇔

+
+

<
+

+
+

⇔

+
+

<
+

+
+

mà + + ≤ ⇒

(

)(

)

< 2 ⇒
3
3
sin

1
sin
1
sin
1
2

3
sin
sin

sinA B C A B C e đpcm.

Ví d

ụ

2.5.8.

Cho ∆ABC. CMR :

(

)(

)

16
125
cos

1
cos
1
cos

1+ 2 A + 2 B + 2C ≥

L

ờ

i gi

ả

i :

Không mất tổng quát giả sử C =min

{

A,B,C

}

.Ta có :

(

)(

)










 +








 +

+
=
+

2
2
cos
1
1
2

2
cos
1
1
cos

1
cos

(

A B

)

[

cos

(

2A 2B

)

cos

(

2A 2B

)

]

2
1
cos

cos
6

9+ + − + + + −

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

(

)

[

(

)

(

)

]

(

)

cos cos

(

)

cos
cos
6
9

2
cos

2
2
1
cos

cos
6
9

2
2

−
+
+

+
−
−

−
+
+

+
+

−
−

B
A
C

B
A
B

A
B

≥

(

3−cosC

)

(

1+cos2C

)

Mặt khác ta có :

2
1
cos
60

0<C ≤ 0 ⇒ C≥
Xét f

( ) (

x = 3−x

)

(

1+x2

)

với 







∈ ;1
2
1

x

( )

(

)(

)








∈
∀
≥
−
−

−
=

⇒ ;1

2
1
0

1
2
1
3
2

' x x x x x

f

⇒ f

( )

x ñồng biến trên khoảng ñó.

( )

= ⇒

(

)(

)

≥ ⇒







≥

⇒

16
125
cos

cos
1
cos
1
16
125
2

1 2 2 2

C
B

A
f

x

f ñpcm.

Ví d

ụ

2.5.9.

Cho ∆ABC bất kỳ. CMR :

(

cot cot

)

2 3
sin

sin

2 − + ≤








+ B C

C

B

L

ờ

i gi

ả

i :

Xét

( )

x

x
x

f cot

sin
2

−

= với x∈

(

π

)

( )

3
0

'
sin

cos
2
1
sin

1
sin

cos
2
'

2
2

π

=
⇔
=

⇒

−
=
+

−
=

⇒ f x x

x
x
x

f

( )

cot 3

sin

2
3
3

max = ⇒ − ≤







⇒ x

x
f

x

f

π

Thay x bởi B,C trong bất ñẳng thức trên ta ñược :

⇒









≤
−

3
cot

sin
2

3
cot

sin
2

C
C

B
B

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ví d

ụ

2.5.10.

CMR :

20
7
20
sin
3

1 0

<
<

L

ờ

i gi

ả

i :

ðặt

2
1
0

30
sin
0

sin 0 ⇒ < < 0 ⇒ < <

= a a

a

Ta có :

2
3
4

3
20
sin
4
20
sin
3
20
.
3
sin
60
sin
2

3 0 0 0 3 0 3

=
−

⇒

−
=

= a a

⇒ a − a+ =0⇒a

2
3
3

4 3 là nghiệm của phương trình : 0
2

3
3

4x3 − x+ =

Xét ña thức :

( )

2
3
3
4 3 − +

= x x

x
f

Ta có :

( )

2
2
3
2

3
1

1 =− + = − <
−

f

( )

( ) ( )

1 0 0

2
3

0 = > ⇒ f − f <

f Bởi vì f

( )

x liên tục trên toàn trục số .Do ñó ña thức

( )

x

f có một nghiệm thực trên khoảng

(

−1;0

)

Lại có : 0

20
7
3
1
0

2000
1757
3

1000
20

0
54

46
3
27
3
1

<













⇒









<
−

=







>
−
=








f
f
f

f

⇒ ña thức f

( )

x có một nghiệm thực trên khoảng 








7
;
3
1

Lại có : 0
2

2
3
2

<
−
=







f và

( )

1 0

2
1
0

2
2
3

1  <






⇒
>
+

= f f

f

⇒ đa thức f

( )

x có một nghiệm thực trên khoảng 







1
;
2

Bởi vì a ⇒a





∈

2
1
;

0 là nghiệm thực trên khoảng ⇒








20
7
;
3
1

ñpcm.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

2.6.1.

(

)

2
5
cos
2

cos
2

cos

3 A− C + B≤

2.6.2.

3cos2A+2cos2B+2 3cos2C≥−4

2.6.3.

(

5+1

)

(

cos2A+cos2B

)

−

(

3+ 5

)

cos2C≤4+ 5

2.6.4.

4 3

2
tan
2
tan
2

tan A+ B+ C ≥ −

với ∆ABC có một góc
3
2

π

≥

2.6.5.

2 2 2 2

4
1
1
1
1

r
c
b

a + + ≤

2.6.6.

c
b

a r

c
r
b
r
a
r

abc 3 3 3

+
+
≥

2.6.7.

(

)(

)

<
+
+
+
+
+
+
+
+

+ a b b c c a

abc
b

a
c
a

c

b
c
b

a

2.6.8.

A B C

C
B

A 2tan tan tan

1
2

3
2

sin
1
2

sin

+
≥
+

2.6.9.

3
2

tan
2

tan A b B c C a b c

a + + ≥ + +

2.6.10.

(

)

6 3

1
sin

sin
sin

sin
sin
sin

2 ≤
+

+ B C

A

C
B
A

2.6.11.

2
sin
2
sin
2
sin
9
cos
cos
cos

1+ A B C ≥ A B C

2.6.12.

ma +mb +mc ≤4R+r

2.6.13.

p
h
h
h
h
h

ha b + b c + c a ≤

2.6.14.

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2 2

R
p
b
p
a
p
c
a
p
c
p
b

c
p
b
p

a − − + − − + − − ≤

2.6.15.

(

1−cosA

)(

1−cosB

)(

1−cosC

)

≥cosAcosBcosC

</div>

chuyen de 13

<b>Chương 2 : </b>

Cá

<b>c ph</b>

ươ

<b>ng </b>

phá

<b>p ch</b>

ứ

<b>ng minh </b>

<b>2.1. Bi</b>

ế

<b>n </b>

ñổ

<b>i l</b>

ượ

<b>ng </b>

giá

<b>c t</b>

ươ

<b>ng </b>

ñươ

<b>ng : </b>

Ví dụ

<b>2.1.1. </b>

π

π

π

<b>L</b>

ờ

<b>i </b>

giả

<b>i : </b>

( )

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

( )

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

( ) ( )

(

) ( )

( )

Ví dụ

<b>2.1.2. </b>

(

)

<b>L</b>

ờ

<b>i </b>

giả

<b>i : </b>