Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 9
CẤP HUYỆN NĂM 2019-2020


MỤC LỤC
1.

Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Phòng
GD&ĐT Lục Ngạn

2.

Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT
Nghi Lộc

3.

Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT
Như Xuân

4.

Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT
Tân Kỳ

5.

Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT
Thạch Hà

6.

Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT
Vĩnh Phúc

7.

Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT
Yên Thành

.



PHÒNG GD-ĐT NGHI LỘC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2019 - 2020
MƠN: TỐN 9
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề )

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (5.0 điểm)

 a 3 a   a 2
a 3
9a 



Cho biểu thức P  1 
 : 
.
a  9   a  3 2  a a  a  6 

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn P.
b) Tìm a để P  P  0 .
c) Tìm a  Z để P  Z .
Bài 2. (5.0 điểm)

x  3  x 1  2 .

a) Giải phương trình :

b) Giải phương trình :







x  5  x  2 1  x 2  7 x  10  3 .

c) Tìm nghiệm là các số tự nhiên của phương trình: xy – 4x = 35 – 5y.
Bài 3. (4.0 điểm)
1. Tìm các số tự nhiên x sao cho 17 + x2 là một số chính phương.

 a  b  với a > b > 0.
ab

2. Chứng minh bất đẳng thức:
 ab 
2
8b
Bài 4. (1.0 điểm)
1
1
1
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn


 2 . Tìm GTLN của P = xyz.
1 x 1 y 1 z
2

Bài 5. (5.0 điểm)

Cho hình vng ABCD có cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm E
1
thuộc BC sao cho BE  EC . Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AE và CD. Trên tia đối của tia
2
DC lấy điểm I sao cho DI = BE.
a) Chứng minh: AO.AC = a2 và

1
1
1

 2.
2

2
AI
AM
a

b) Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CM. Chứng minh tam giác BOE đồng dạng
với tam giác BND.
c) Lấy điểm F thuộc tia đối của tia CD sao cho CF 

Chứng minh CH  AM .

a
, gọi H là giao điểm của AM và BF.
2

---------- HẾT --------- />Họ và tên thí sinh: ………………………….……………………………. Số báo danh: ………………



PHỊNG GD&ĐT TÂN KỲ
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2019 - 2020
MƠN: TỐN 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5.0 điểm)
x2  x
2 x  x 2  x  1

Cho biểu thức A 


.
x  x 1
x
x 1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A.
b) Tìm GTNN của A.
c) Cho B 

3 x
tìm x để B  Z .
A

Bài 2. (4.0 điểm)
a) Cho m2 + 4 và m2 + 16 là các số nguyên tố với m là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh
rằng m chia hết cho 5.

b) Giải phương trình: x 2  6 x  8  2 x  3  x 2  x  6  2 x  4 .
c) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy.
Bài 3. (3.0 điểm)
a) Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:  a  b  c   3  ab  bc  ca  .
2

b) Cho ba số thực x, y, z thõa mãn
M

x 2  y 2  z 2  3 . Tìm GTNN của biểu thức:

x2  1 y 2  1 z 2  1
1
.



x
y
z
x y z

Bài 4. (6.0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi D, E lần lượt là
hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh: DE2 = BH.HC
b) Chứng minh DE vuông góc với AM.
c) Giả sử diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tứ giác AEHD. Chứng minh tam giác
ABC vng cân.
2. Tính độ dài đường phân giác AD của tam giác ABC. Biết tam giác ABC có AB = 3cm, AC =
6cm, góc BAC = 1200

Bài 5. (2.0 điểm)
Một sân hình vng được chia 25 ơ vng nhỏ, mỗi ô được chia một học sinh đứng. Trống đánh, mỗi
học sinh đều bước sang ơ có cạnh chung với ơ mình đang đứng. Chứng minh rằng khi đó phải có ít nhất
một ơ trống.

---------- HẾT --------- />Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………. Số báo danh: …………….

PHỊNG GD-ĐT SƠNG LƠ

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN TỐN LỚP 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi : 06/11/2019
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: P 

2 x 9
x  3 2 x 1


x 5 x 6
x  2 3 x

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm các giá trị của x để P  0 .
Câu 2 (2 điểm) Cho biết x  2019  x 2 y  2019  y 2  2019 .





Tính giá trị biểu thức A  x

2019

y

2019



.
1
2

Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình: x  x   x 

1
 2.
4

Câu 4 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên  x; y  thỏa mãn:

 x  2019

2

 y  y  1 y  2  y  3 .

Câu 5 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1  p  p 2  p3  p 4 là số tự nhiên.

Câu 6 (2 điểm) Các cạnh a, b, c của tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức:
abc
1
1
1
1
với p 
. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?



2
p p a p b p c
Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 .
1 1 1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  2  2  2  2 2 2 .
a b c a b c

Câu 8 (4 điểm) Qua điểm K nằm ngồi đường trịn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O)
tại A và B (A nằm giữa K và B, AB < 2R). Gọi d là đường trung trực của KB, H là hình chiếu
của O trên d. Gọi I là trung điểm của OK, N là trung điểm của AB, M là giao điểm của d và
KB.
a) Chứng minh tứ giác OHMN là hình chữ nhật và AK = 2OH.
b) Tính IH theo R.
Câu 9 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của AC . Đường
thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại D . Chứng minh DB  2DC .
Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho 6 điểm phân biệt. Hai điểm bất kì trong 6 điểm này
đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại
một tam giác có ba cạnh cùng màu.

==== HẾT ====
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh.........................................................SBD:..................Phòng thi................


PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ

HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2019 – 2020
Mơn Tốn – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Hướng dẫn chấm

Câu

Điều kiện để P xác định là : x  0; x  4; x  9 .
P

1



2 x 9



x 3





x 3


 x  3 x  2 
x x 2



 



x  3  2 x 1



x 2


x  3
x 1




x  2

x 2

Với x  0; x  4; x  9 , ta có P  0 

x 2

Điểm



0,25

x 1

0,25
0,5

x 3

x 1
 0  x 3 0  x 9
x 3

0,5

Kết luận: 0  x  9 và x  4 thì P  0



Ta có: x  2019  x2







2019  x 2  x y  2019  y 2  2019



2019  x 2  x



 y  2019  y 2  2019  x2  x (1)

2

Tương tự ta có: x  2019  x  2019  y  y
Từ (1) và (2) suy ra x  y  0  x   y
2

2

0,5
0,5

(2)

0,5

 A0

ĐKXĐ

x

1
4
2

3

0,5
0,5

0,5

2

1
1
1 1
x  x   x   2   x     2
2
4
4 2


1 1
1 1
 x    2  0 (vì x    2  0 )
4 2
4 2
 x  2  2 (tmđk)

 

0,5
0,5
0,5

Phương trình đã cho tương đương  x  2019    y 2  3 y  y 2  3 y  2 
2

Đặt t  y 2  3 y Khi đó pt trở thành:  x  2019  t  t  2   x  2019  t 2  2t
2

+ Nếu t  0 ta có t 2  t 2  2t  t 2  2t  1  t 2  t 2  2t  t  1
t   x  2019    t  1 ( vơ lí)
2

4

2

2

+ Nếu t  0 ta có y 2  3 y  0  y  y  3  0  3  y  0

Vì y  Z nên y 3; 2; 1;0

Suy ra  x; y   2019;0 ,  2019; 1 ,  2019; 2  2019; 3

2

2

0,5
0,5
0,5
0,5

5

Theo bài ra ta có 1  p  p 2  p3  p 4  n2  n  N * 
4  4 p  4 p 2  4 p3  4 p 4  4n2 (1)

0,5


Suy ra:  2 p 2  p    2n    2 p 2  p  2 
2

2

0,5

2

 2 p2  p  2n  2 p2  p  2  2n  2 p2  p  1

Theo (1) ta có 4  4 p  4 p 2  4 p3  4 p 4   2 p  p  1

2

0,5

p  2 p  3  0  p  3 ( do p là số nguyên tố p  0 )
2

Thử lại với p  3 ta có 1  p  p 2  p3  p 4  1  3  32  33  34  11 (tm)

Vậy p  3

0,5
0,5

1
1
1
1



p p c p a p b
pc p
p b p  a



p  p  c   p  a  p  b 

6



2p c
a b

p  p  c   p  a  p  b 



ab
a b

 a  b  c  a  b  c  b  c  a  a  c  b 

ab



0,5

a b



0,5

2a
1


4ab 2b

 a  b   c2 c2   a  b 
 2b  a  b   a 2  b2  2ab  c 2  c 2  b2  a 2
2

2

0,5

Suy ra tam giác ABC vng tại A
Ta có:
P

1 1 1
1
1 1
9
27
 2 2
 


2
a b c
ab bc ca abc  a  b  c   ab  bc  ca 2

27

 ab  bc  ca 

2



1
(1)
a  b2  c 2
2

0,5

Áp dụng AM-GM ta
có  a  b  c   ab  bc  ca 
2

7

2

2

27

 ab  bc  ca 

2

3

2

 a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca 

  27
3



0,5

 a 2  b2  c 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra P  a 2  b2  c 2 

1
1
 t  với t  a2  b2  c2  3
2
2
2
a b c
t

t 1 8t 2 8 10
  
9 t 9 3 3 3

0,5

Khi đó P   

Dấu “=” khi t  3  a  b  c  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
chỉ khi a  b  c  1

8a

10
khi và
3

0,5


B
N
C
K

M

A

O

I

H
d
0,5

Chứng minh OHMN là hình chữ nhật,
KB AB KA


 KA  2OH
2
2
2
KA
Gọi C là trung điểm của KA ta có KC 
. Do đó OH =KC
2

0,5

OH = MN=MB-NB=

0,5

HOI= CKI( c-g-c)
Suy ra IH = IC (1)
8b

Do IC là đường trung bình

OKA nên IC 

OA R

2
2

0,5

R
Từ (1) và (2) Suy ra IH 
2

A
M
H
B
9

C

D
K

Kẻ CK vng góc AD, K  AD .
Gọi H là giao điểm AD với BM
Vì BH//CK nên
Mặt khác

DC CK


(1)
DB BH
DC CK 2 HM


(2)
DB BH
BH

0,5

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta có:
2

AM 2 HM .BM
HM  AM  1



  ,thay vào (2) ta được DB  2DC
2
AB
BH .BM
BH  AB 
4

0,5


10

Giả sử 6 điểm A, B, C, D, M, N trên cùng 1 đường tròn.
Từ 1 điểm vẽ đến 5 điểm cịn lại được 5 đoạn thẳng thì có ít nhất 3 đoạn thẳng
cùng màu. Giả sử 3 đoạn thẳng AB, AC, AD cùng màu đỏ( nếu cùng màu xanh thì 0,5
lập luận tương tự).
Xét tam giác BCD nếu có 1 cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ thì tam giác ABC có 3 0,5
cạnh màu đỏ. Trái lại thì tam giác ABC có ba cạnh màu xanh.


PHỊNG GD-ĐT N THÀNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2019 - 2020
MƠN: TỐN 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (3.0 điểm)
1. Tồn tại hay không các số nguyên tố a b  2011  c .
2. Tìm các giá trị nguyên của x ,y thỏa mãn: x2 – 4xy + 5y2 = 2 (x - y).
Bài 2. (6.0 điểm)
a) Giải phương trình: 10 x 2  3 x  1   6 x  1 x 2  3 .
b) Cho a, b, c thỏa mãn 2a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 2a 3  b3  c 3  3a  a  b  c  b  .
Bài 3. (3.0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
bc
ca
ab
1
1

1
 2
 2

  .
2
a  b  c  b  c  a  c  a  b  2a 2b 2c
Bài 4. (6.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm EF
và AH. Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB, BE lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh AEF  ABC .
b) Chứng minh IP = IQ.
c) Gọi M là trung điểm của AH chứng minh I là trực tâm của tam giác BMC.
Bài 5. (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 6 điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Với ba
điểm bất kỳ trong sáu điểm này ln tìm được hai điểm mà khoảng cách giửa chúng nhỏ hơn 673.
Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho ln tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ
hơn 2019.
---------- HẾT --------- />Họ và tên thí sinh: …………………………………………………….…. Số báo danh: …………….