tu hoc toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

MUÏC LUÏC

<b>I Đặt vấn đề</b> <b> </b>TRANG

1/ Lý do chọn đề tài
2

2/Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 3

<b>II Giải quyết vấn đề </b>

<b>A.</b> Nghiên cứu tài liệu, tự học lí thuyết, thực hành làm bài tập
theo chuyên đề

1. Chọn chủ đề, bài học hoặc một nội dung tự học
4

2. Xác định trọng tâm bài học
4

3. Xác định kĩ năng kĩ xảo tương ứng theo chủ đề hoặc bài học
5

4. Thực hành bài tập theo các chuyên đề đã học 10

<b> B </b>Các phương pháp tìm lời giải của bài toán

1. Phương pháp khai thác giả thiết của bài toán 13

2. Phương pháp biến đổi kết luận của bài tốn 16

3. Phương pháp phân tích biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận của bài toán16
4. Sử dụng cơng cụ thích hợp để chuyển hóa nội dung và hình thức bài tốn

 Các bài tốn cơ bản từ dạng có sẵn

19

 Dùng tính chất hàm số giải phương trình và hệ phương trình

21

 Dùng đạo hàm dể chứng minh bất đẳng thức 22

 Dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số

23

 So sánh, đánh giá và tương tự hóa

23

5. Chuyển đổi ẩn số-tham số, đặt ẩn số phụ
25

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài học kinh nghiệm 26

<b>IV Tài liệu tham khaûo</b>

1/ Một số hương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp , nhà xuất bản giáo dục
1993

2/ Tạp chí tốn học và tuổi trẻ năm 2001-2005

3/ Sách giáo khoa, sách bài tập toán lớp 10-11(chuẩn+ nâng cao)

<i><b>I ĐẶT VẤN ĐỀ</b></i>
<b>1/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI</b>

Hiện nay, ngành giáo dục đã nhận thấy rất rõ vai trò của học sinh trong học tập, đã coi
học sinh là chủ thể của giáo dục, trong việc lĩnh hội tri thức, học sinh giữ vai trò chủ đạo.
Luật giáo dục đã ghi rõ: “phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

Chúng ta đã biết rằng:Trong phương pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học, nếu rèn
luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho
họ lịng ham học, vì thế kết quả học tập được tăng lên gấp bội. Nhưng quan điểm đúng
đắn này hình như chưa đi sâu vào thực tế dạy học.Thực tiễn của giáo dục còn nhiều tồn
tại như :

-Nhiều học sinh lúng túng trước công việc tự học bài và soạn bài ở nhà, không biết bắt
đầu từ đâu, trình bày tài liệu ơn tập và kế hoạch học tập như thế nào để thực hiện các
bài học một cách tốt nhất, từ đó khơng đạt được kết quả mong đợi, mà thường là:”hên
xui” câu nói cửa miệng của nhiều em học sinh hiện nay, nhiều em học đối phó những
mơn khơng thuộc ban mà mình lự chọn, đầu tư thời gian và công sức cho những môn yêu
thích đã được chọn theo ban từ trước, dovậy nhiều học sinh học lệch, tạo động cơ, thái
độhọc tập không tốt đối với học sinh phổ thơng

- Thói quen dạy học cũ vẫn còn bám sâu trong tiềm thức của người học và của đa số các
bậc phụ huynh làm cho phương pháp mới khó tiếp cận

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

-Cơ sở vật chất, và các phương tiện dạy học cịn thiếu cũng là ngun nhân làm giảm
tính tích cực của học sinh và hiệu quả của việc dạy học

-Một số phụ huynh ở vùng nông thôn theo công việc nương rẫy đồng áng lo việc sinh
nhai, lam lũ mà khơng biết thời khóa biểu của con em ở trên lớp hoặc ở nhà ra sao, nên
khi phát hiện con mình học yếu, lừa dối gia đình trốn học theo bạn bè đi chơi lêu lỏng…
thì mới tìm đến nhà trường, thầy, cô chủ nhiệm…

-Một số phụ huynh ở thành thị thì định hướng quan tâm của họ lại là việc chọn thầy,
chọn trường. Họ chăm lo cho con mình trường chuyên nọ lớp chọn kia, và khi cơng việc
lựa chọn đã xong thì họ n tâm làm ăn theo cuộc sống xô bồ, không cần biết con mình
tiếp thu như thế nào và tự đào luyện ra sao để thành người có học. Như vậy chẳng những
gia đình thờ ơ với việc tự học của con cái dẫn đến hư hỏng muộn màng mà còn phiền
toái đến các cơ quan chức năng, trường lớp thầy cơ bạn bè và xã hội….

+Nói chung không phải ai cũng biết cách tự học, cách tự học cũng cần được giáo viên
bộ môn hướng dẫn mặc dù chỉ theo kinh nghiệm của bản thân chứ chưa có một giáo trình
cụ thể để dạy học sinh cách tự học như thế nào….đặc biệt là tự học với mơn tốn lại khó
khăn hơn, do tính đặc thù của nó.

Vì vậy người viết xin mạo muội chọn đề tài:

<i>“NHỮNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂN HÌNH GIÚP HỌC SINH RÈN TÍNH TỰ</i>
<i><b>HỌC</b></i>

<i><b>CỦA MƠN TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG”</b></i> như một đề xuất, thảo luận để phân tích

đánh giá, mong được chia xẽ kinh nghiệm và những góp ý chân thành bổ ích của q
thầy cơ và các đồng nghiệp gần xa nhằm giúp các em học sinh có kế hoạch học tập nói
chung và phương pháp tự học mơn tốn ngày càng tốt hơn

<b>2/ MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀIÏ</b>

Chúng ta đã biết rằng: Sự thành công của mỗi bài giảng là kết quả tổng hợp của
nhiều yếu tố, trong đó có sự thành cơng của đổi mới phương pháp dạy học, một vấn đề
thời sự và là một mục tiêu quan trọng của ngành giáo dục phổ thông.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tự học có nghĩa là tự giác, chủ động chiếm lĩnh tri thức với niềm say mê, hứng thú đặc
biệt.Đối với học sinh.Tự học để rèn luyện tư duy độc lập. Nâng cao khả năng phát hiện
tìm tịi, và khám phá thế giới xung quanh. Thực tế đã chứng minh, hầu hết các nhà khoa
học, những danh nhân văn hóa tầm cở thế giới đều trưởng thành từ con đường tự học.
Với tính đặc thù riêng của mơn tốn, người học sinh có tự học mới làm tốt nhiệm vụ của
môn học, thấu hiểu sâu sắc các vấn đề mà mình lĩnh hội, từ đó mà sinh nhiều niềm vui
trong học tập làm cho họ đam mê hứng thú và đầy sự sáng tạo. Khi đã nắm vững kiến
thức thì mới nhận xét đánh giá, phân tích, so sánh và tổng hợp những kiến thức cập
nhật hàng ngày một cách chính xác và dễ hiểu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ</b></i>

<b>A) NGHIÊN CỨU TÀI LIỆU, TỰ HỌC LÍ THUYẾT, THỰC HÀNH LÀM BÀI TẬP</b>
<b>THEO CHUYÊN ĐỀ </b>

<b>1</b>. <b>Chọn chủ đề, bài học, hoặc một nội dụng tự học</b>
<b>a) Thực trạng:</b>

Đa số học sinh chưa biết chọn một chủ đề thích hợp để tạo hứng thú học tập trước khi
vào nội dung của một bài học, nếu xuất phát điểm từ một đơn vị kiến thức dễ hiểu, vừa

sức thì tạo hưng phấn để học tiếp bài học thật dễ dàng suôn sẻ. Khi có nhiều tài liệu hay
sách tham khảo củng làm cho các em “lang thang” với các chủ đề không cần thiết hoặc
khơng đúng trọng tâm bài học vì vậy làm mất thời gian tự học

<b>b) Giải pháp:</b>

Khi học bài cũ hoặc soạn bài mới ta luôn xác định tài liệu cần thiết để nghiên cứu, các
tài liệu quen thuộc và gần gủi nhất vẫn là tập ghi, sách giáo khoa, sách bài tập, ngồi ra
cịn một số tài liệu tham khảo khác, tuy vậy việc trình bày tập ghi đầy đủ, rõ ràng, sạch
sẽ có khoa học thì việc học bài cũ hoặc làm bài tập đều dễ dàng hơn, phải chọn chủ đề
thiết thực nhất cho bài học như: làm bài tập về nhà, bài tập làm thêm, hoặc theo sự phân
công nhiệm vụ của giáo viên ở tiết học trước, học khái niệm, định lí hay tính chất….Việc
lựa chọn phải theo thời gian biểu từng ngày trên lớp và cần giải quyết theo sự phân chia
thời gian hợp lý, tốt nhất là làm hoàn tất các bài học trong ngày một cách có hệ thống và
duy trì đều đặn, tập thói quen ghi chép bài giảng dưới dạng dàn ý để khi ta đọc lại thì có
thể nhamh chóng hiểu được bài đã học có như vậy mới giải quyết hết các vấn đề, các
đơn vị kiến thức theo thời khóa biểu một cách nhịp nhàng, khoa học và có hiệu quả.

<b>2</b>.<b>Xác định trọng tâm của bài học :</b>

Luôn đặt câu hỏi trọng tâm của bài học này là những vấn đề gì? ýù nghĩa của các vấn đề
đó như thế nào và áp dụng chúng trong cac trường hợp nào?. -Khi học bài bất phương
trình bậc hai thì kiến thưcù trọng tâm là giải được bất phương trình bậc hai và vận dụng
giải bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn số ở mẫu thức, giải được hệ bất
phương trình bậc hai một ẩn số. Khi học khái niệm vectơ chỉ phương, phương trình tham
số đường thẳng thì phải biết cách xác định vectơ chỉ phương của một đường thăûng (khi
biết phương trình tham số đường thẳng, khi biết đường thẳng đi qua hai điểm cho trước,
đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước…), viết được phương trình tham số
của một đường thẳng khi biết các yếu tố cho trước, khi nào thì viết được phương trình
chính tắc, viết được phương trình theo hệ số góc, viết được phương trình theo đoạn

chắn…

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>bc</i>

<i>ac</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>















0

, đọc bằng lời là:”nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta
được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều”, khi nói đến: “Trong mặt phẳng hai
đường thẳng phân biệt cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song” ta
viết bằng kí hiệu:

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

//



















, hoặc: “bình phương vơ hướng một vec tơ bằng bình phương độ
daiø của nó” thì ta viết bằng kí hiệu là: “ 2

2

)
( 

 


 <i>a</i>

<i>a</i> “, hoặc dùng các câu văn diễn tả mối

liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt có liên quan:” Cos đối, sin bù, phụ
chéo…”. Để chỉ hai góc đối nhau thì chỉ có cosin của chúng bằng nhau, hai góc bù nhau
thì chỉ có sin bằng nhau, hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia và ngược
lại(chéo nhau). Để nhớ lâu và hiểu sâu hơn bài học.

<b>3 Xác định kĩ năng, kĩ xảo tương ứng theo chủ đề hoặc bài học</b>
<b>a)Thực trạng</b>

Đa số học sinh không xác định đúng trọng tâm của bài và không rút ra được các kỹ năng
kỹ xảo tương ứng, khơng có thói quen tự mình cũng cố lại các kỹ năng trong mỗi bài học,
mỗi chủ đề, không dùng các phép so sánh, tương tự để nhận dạng kỹ năng thực hành và
tổng hợp chúng lại thành những dạng đặc trưng, trước một bài tốn chưa phân tích
đượcgiả thiết kết luận, chưa hiểu hết các mục đích yêu cầu của đề bài, khơng tìm thấy
được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận, hoặc giữa các điêù kiện đã cho trong bài và
các khái niệm đã được học từ trước, khơng có kế hoạch giải các dạng bài cụ thể, và
khơng biết sử dụng sử dụng các “cơng cụ” thích hợp để giải tốn như : đạo hàm, tính
chất hàm số, tam thức bậc hai, bất đẳng thức, vectơ,…

<b>b)Giải pháp </b>

Khi nắm được trọng tâm bài học cần rút ra các kĩ năng cơ bản tương ứng theo các chủ đề
hoặc từng đơn vị kiến thức

+Chẳng hạn học bài “Hệ tọa độ”, các kĩ năng cần có là:viết bằng kí hiệu tọa độ
của vec tơ và tọa độ của một điểm qua hai vec tơ đơn vị 

<i>i</i> , <i>j</i> và ngược lại
ví dụ: 

<i>u</i> (5;-2)  <i>u</i> = 5. <i>i</i> -2. <i>j</i> ,

+Cho hai điểmA, B trong hệ tọa độ cho trước ta luôn xác định được tọa độ của
vectơ  

<i>AB</i>=(xB-xA;yB-yA) khoảng cách giữa hai điểm A và B là AB =
2

2 ₍ ₎

)

(<i>x_B</i>  <i>x_A</i>  <i>y_B</i>  <i>y_A</i> tọa độ trung điểm cuả đoạn thẳng AB là: (

2

<i>B</i>
<i>A</i> <i>x</i>
<i>x</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

thể lập bảng hoặc biểu đồ hoặc sơ đồ để dễ nhớ và khắc sâu kiến thức vừa học, sau đây
là các ví dụ minh họa

<b>B1/Lập các bảng so sánh, tổng hợp lý thuyết theo chủ đề hoặc nhóm các đơn vị kiến</b>
<b>thức, kỹ năng tương ứng</b>

<b>Khi học hết một tiết học. Hãy xác định trọng tâm, kĩ năng tương ứng của tiết đó</b>.
Nếu học xong bài phép cộng hai vecto thì phải nắm được định nghĩa phép cộng hai
vecto, từ đó suy ra tính chất giao hốn, tính chất kết hợp, và phép cộng vơí vecto khơng,
từ đó suy ra hai quy tắc cơ bản là quy tắc ba điểm và quy tắc đường chéo hình bình hành
trong đó kĩ năng tương ứng là biết áp dụng các quy tắc trên vào việc chứng minh các

đẳng thức vectơ(đưa đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức tương đương đúng), ngồi
ra cịn có các kiến thức liên quan như định nghĩa vec tơ không, hai vec tơ bằng nhau. Hai
vectơ cùng phương…, hệ thống kiến thức sau mỗi bài học hoặc mỗi chương củng là vấn
đề khơng thể thiếu trong q trình tự học như:

<b>Bảng tóm tắt các nội dung cơ bản của các bài trong một chương</b>
<b>Bài </b> <b>Định nghóa mô tả theo</b>

<b>kí hiệu hoặc hình vẽ</b>

<b>Tính chất </b> <b>Quy tắc</b>

<b>Phep</b>
<b>cộng</b>
<b>hai</b>
<b>vectơ</b>

+Giao hốn
+Kết hợp

+Cộng với vecto khơng

+Quy tắc ba điểm
+Quy tắc hình bình
hành

<b>Phep</b>
<b>trừ hai</b>

<b>vectơ</b>

+Vec to đối của một
vectơ

+Hiệu của hai vectơ

+Vectơ  

<i>AB</i> có vectơ đối là
 



<i>BA</i>hay -<i>AB</i> 

+Quy tắc hiệu

<b>Phép</b>
<b>nhân</b>
<b>một số</b>

<b>với</b>
<b>vectơ</b>

+Là một vectơ xác định
bởi

hướng và độ dài

+Kết hợp vói phép nhân

+Kết hợp vói phép cộng
+Kết hợp giữa phép nhân
với phép cộng

+Khi k=0, hoặc khi nhân 1
số với vectơ không

+Hệ thức vectơ về trung
điểm một đoạn thẳng, về
trọng tâm tam giác

+Điều kiện để hai vectơ
cùng phương

+Chứng minh ba điểm
thẳng hàng

+Biểu thị một vectơ qua
hai vectơ không cùng
phương

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

quyết định sự thành đạt của người học tốn, ví dụ giải các dạng bài tập minh họa sau
đây:

<b>Bài tập1</b> Xét tính chẵn lẻ của hàm số y=f(x)
Bướ

c Trình bày bài giải p dụng:Xét tính chẵn lẻcủa y=x3_+3.x

1 -Tìm tập xác định D của hàm số -Tập xác định D của hàm số

bằng <b>R</b>

2 - Xác định tính đối xứng của tập D
-Nếu với mọi x



D mà –x  D

(tập D khơng đối xứng)thì kết luận f(x) khơng có
tính chẵn lẻ, kết thúc bài tốn

Nếu với mọi x



D mà –x



D thì chuyển sang

bước3

mọi x



<b>_R</b>_{=> –x}



<b>_R</b>

3 -Tính f(-x) và –f(x) rồi so sánh kết quả

Nếu f(-x) f(x) thì f(x) không có tính chẵn lẻ va

økết thúc bài tốn

Nếu f(-x)= f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D
Nếu f(-x)= -f(x) thì f(x) là hàm số lẻ trên D

y(-x)=(-x)3_{+ 3.(-x)= - x}3_-3.x

= -(x3_{+3.x)= -y(x) haøm số}

lẻ trên <b>R</b>

<b>Bài tập2giải biện luận phương trình dạng a.x+b =0</b>

Bước Trình bày bài giải _{Giải biện luận pt: m(x-1)=2x+1}áp dụng

1 Đưa phương trình về dạng a.x =- b (m-2)x= m+1

2 Nếu a0 thì csb3(nếu không csb4) Nếu m2thì (csb3)

3 _x=

<i>a</i>
<i>b</i>

 x=

2
1



<i>m</i>

<i>m</i>

, csb7
4 Xét a=0 Nếu b0 thì csb5, không

thì csb6

Nếu m=2 thì (b=30)

csb5

5 Pt vô nghiệm csb7 PTVN, csb7

6 Pt có vô số nghiệm csb7

7 Quá trình kết thúc Kết luận

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bước Trình bày bài giải p dụng giải hệ















)

(

0

5

2

)

(

0

2

.3

<i>II</i>

<i>x</i>

<i>I</i>

<i>x</i>

1 Giải bâùt pt (I), xác định tập
nghiệm SI

tập nghiệm SI =(-2/3;+



)

2 Giải bâùt pt (II), xaùc định tập
nghiệm SII

tập nghiệm SII =(-



;5/2)

3 Tìm giao SI và SII

S =(- 2/3;5/2)

4 Kết luận S =(- 2/3;5/2)

<b>Chẳng hạn khi giải bất phương trình bậc hai một ẩn số có kỹ năng</b>: Xét dấu tam thức
bậc hai, biểu diễn tập hợp nhiệm trên trục số, nhưng khi giải hệ bất phương trình bậc hai
một ẩn số ta vẫn giữ nguyên hai kỹ năng này và thêm kỹ năng nửa là xác định giao của
các tập hợp nghiệm của các bất phương trình bậc hai trong hệ đã cho…

+Phải phân biệt được các <b>phép biến đổi tương</b> <b>đương phương trình</b> khác với các <b>phép</b>
<b>biến đổi tương đương bất phương trình</b> như thế nào, chẳng hạn giải phương trình:

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

2
1

1
.
2






(1) sau khi đặt điều kiện x-1 pt(1) tương đương với: 2.x-1=2.x(x+1) nhưng

đối với bất phương trình: <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

2
1

1
.
2






(2) thì khơng thể tương đương với bất phương trình :
2.x-1 < 2.x(x+1) được

<b>B3/lập các bảng tóm tắt lí thuyết các dạng kĩ năng tương ứng để ôn tập và so sánh</b>
<b>tổng hợp</b>

<b>+Khi học xong một chủ đề của chương hay ơn tập</b> một chương nào đó ta thường lập
các bảng tóm tắt lí thuyết các dạng kĩ năng tương ứng để ôn tập và so sánh tổng hợp các
kiến thức đã học chẳng hạn học xong chương 2 ta lập bảng sau:

<i><b>chươngII</b></i>
<b>HÀM SỐ</b>
<b>Chủ</b>

<b>đề</b> <b>1. đại cương về hàm số</b>

<b>2 .ôn tập và bổ sung hàm </b>
<b>số</b>

<b>y= a.x+b, y= </b> <i>x</i>

<b>3 .hàm số bậc hai</b>
<b>y= a.x2_{+b.x + c}</b>

<b>Kiến</b>
<b>thức</b>

+ khái niệm hàm số, tập
xác định của hàm số, đồ
thị hàm số

+ khái niệm hàm số đồng
biến nghịch biến, hàm số

+ sự biến thiên và đồ thị
của hàm số bậc nhất

+ đồ thị hàm số bậc nhất
và đồ thị hàm số y= <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

chẵn, lẻ. tính chất đối xứng
của đồ thị hàm số chẵn, lẻ

<b>Kó</b>
<b>năng</b>

+ tìm tập xác địnhcủa các
hàm số đơn giản. Các dạng
thường gặp là các hàm số
có chứa biến số trong dấu
căn bậc hai và chứa biến ở

mẫu thức

+ cách chứng minh hàm số
đồng biến, nghịch biến
trên một khoảng cho trước
+ xét tính chẵn, lẻ của một
số hàm đơn giản

+thành thạo việc xác định
chiều biến thiên và vẽ đồ
thị hàm số bậc nhất và đồ
thị hàm số y= <i>x</i> , y=b

+biết tìm tọa độ giao điểm
của hai đường thẳng, hoặc
đường thẳng và pa ra bol
có phương trình cho trước

+lập được bảng biến
thiên của hàm số bậc
hai

Xác định tọa độ đỉnh,
trục đối xứng, vẽ được
đồ thị hàm số bậc hai
+đọc được đồ thị của
hàm số bậc hai, từ đồ
thị xác định được trục
đối xứng, các giá trị của
x để y> 0, các giá ttrị

của x để y<0

+tìm được đồ thị hàm số

<b>y= a.x2_{+b.x + c,}</b>_{khi biết}

các điều kiệncho trước

<b>p</b>
<b>dụng</b>

+tìm tập xác định của các
hàm số sau:

a) y= <i>x</i> 1+ <i>x</i>1

b) y=<i>_x</i>1_ ₂+ <i>x</i> 1

+xét tính đơn điệu các hàm
số

a) y=-3.x+1 trên R
b) y=2.x2_trên_₀_;__

+xét tính chẵn lẻ của các
hàm số

a) y= 3.x4_-2.x2₊₇

b) y= 6.x3_-x

+lập bảng biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số y= 3.x + 5,
tìm giao điểm của đồ thị
với đường thẳng y= -1
+vẽ đồ thị hàm số y= <i>x</i> ,

từ đó suy ra giá trị nhỏ
nhất của hàm số

+tìm tọa độ giao điểm của
hai đồ thị y= 3.x + 5 và
y=2.x2

+lập bảng biến thiên và
vẽ đồ thịcác hàm số
a) y= 3.x2_{-2.x +7}

b) y=2.x2

+vẽ pa rabol y=3x2

-2x-1

Từ đồ thị đóhãy chỉ ra
các giá ttrị của x để y<0
+viết phương trình pa
rabol y= a.x2_{+b.x +2}

biết

a)Nó ñi qua hai ñieåm
A(1;5) và B(-2;8)

b)Cắt trục hồnh tại các
điểm có hồnh độ x1=1

và x2=2

+Để dễ nhớ và khó qn thì nên lập bảng so sánh và tương tự hóa các cơng thức chẳng
hạn như giữa hình học phẳng và hình học khơng gian

<b>Hình học phẳng </b> <b>Hình học trong không gian</b>

Cho hai vectơ 

<i>a</i> =(a1;a2), <i>b</i> =(b1;b2), khi đó

+

<i>a</i> .<i>b</i> =a1.b1 +a2.b2;

Trong không gian cho các vec tơ




</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

+2

<i>a</i> = a12 + a22

+ 

<i>a</i> = 2

2
2
1 <i>a</i>
<i>a</i> 



<i>b</i> =a1.b1 +a2.b2+a3b3;

+2

<i>a</i> = a12 + a22 +a32

+ 

<i>a</i> = 2

3
2
2
2

1 <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>  

+Cos(

<i>a</i> ,<i>b</i> ) = 2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1

. <i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>




+Cos(

<i>a</i> ,<i>b</i> ) = 2

3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
3
3
2
2
1
1

. <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>








+Cho hai đường thẳng

a1.x + b1y +c1 =0 vaø a2.x + b2y +c2 =0

phương trình đường phân giác của góc giữa
chúng là
2
1
2
1
1
1
1
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>




= 2

2
2
2
2
2
2
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>




+Cho hai mặt phẳng
A1.x + B1y +C1 z+D1=0

vàA2.x + B2y +C2+D2=0

phương trình mặt phẳng phân giác của góc
giữa chúng là

2
1
2

1
2
1
1
1
1
1
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>y</i>
<i>B</i>
<i>x</i>
<i>A</i>






= 2

2
2
2
2
2
2

2
2
2
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>y</i>
<i>B</i>
<i>x</i>
<i>A</i>






<b>Bài tập tương tự :Lập bảng trình bày các bài giải và tóm tắt các chủ đề tương ứng </b>
<b>theo gợi ý sau</b>

Bài1 Giải và biện luận phương trình dạng a.x2_{+ b.x +c = 0,} <i>_a</i>_.<i>_x</i>_<i>_b</i> ₌<i>_c</i>_.<i>_x</i>_<i>_d</i>

Bài2 Xét vị trí tương đối của hai điểm M(xM;yM), và N(xN;yN), với đường thẳng a.x + by +

c = 0

Bài3 Bảng tóm tắt các chủ đề của chương IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH

Bài4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau
Bài5 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm thiết diện của một mặt phẳng với khối đa
diện

Bài6 Chứng minh mộtđường thẳng song song với một mặt phẳng
Bài7 Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong khơng gian

Bài8 Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

Bài9 Xác định góc giữa 2 đườngthẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai
mặt phẳng

Bài10 Xác định tích có hướng của hai vectơ trong khơng gian
Bài 11 Tính diện tích tam giác, thể tích hình hộp, hình chóp

Bài 12 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một đạon, môt khoảng
Bài 13 Tìm giới hạn của các dạng vơ định

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>4/Thực hành bài tập theo các chuyên đề đã học</b>

Một nội dung quan trọng để rèn năng lực giải toán là thực hành bài tập theo các chuyên
đề đã học như: khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức. Tìm giá trị lớn nhất giá trị
nhỏ nhất của hàm số, tam thức bậc hai và ứng dụng, bất phương trình và hệ bất phương
trình bậc hai một ẩn,tích vơ hướng, tích có hướng, tích phân ngun hàm, đuờng thẳng
,mặt phẳng trong khơng gian…..mỗi chun đề có các dạng bài tập khác nhau ta thống
kê, tìm kiếm và trình bày theo trật tự của khóa học chẳng hạn sau khi học xong bài bất
đẳng thức ta có các chuyên đề tương ứng là chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng
phong phú của bất đẳng thức trong việc giải phương trình, và bất phương trình, tìm giá trị
lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thức hay của hàm số:

Dưới đây là các ví dụ về chuyên đề của chương vectơ hình học 10

<b>CHƯƠNG I VECTƠ (HÌNH 10)</b>

Chủ

đề Các định nghĩavectơ Phép cộng vàphép trừ các
vectơ

Tích một vectơ với

một số Trục và hệ trục tọađộ

Dạng
bài
tập
cơ
bản

1.Xác định một
vectô

Chứng minh các
vectơ bằng nhau

1.Chứng minh
đẳng thức
vectơ

1.Chứng minh đẳng

thức vectơ

1.Tìm tọa độ của
một điểm tọa độ
của một vectơ
2.Xác địnhcác yếu

tố :phương, chiều, độ
dài của một vectơ

2.Tính độdài

vectơ 2/Chứng minh hai đường thắng song
song hoặc c/m ba
điểm thẳng hàng

2.Tìm tọa độ các
điểm đặc biệt trong
tam giác

3.Vectơ- không

<b>*Trong mỗi chủ đề cũng lập bảng tóm tắt phương pháp và bài tập tương ứng chẳng</b>
<b>hạn:</b>

<b>Chủ đề Phép cộng và phép trừ các vectơ</b>
<b>Dạng</b>

<b>toán</b>

<b>phương pháp</b> <b>Bài tập vân dụng</b> <b>Bài tập tương tự</b>
<b>1.Chứng</b>

<b>minh</b>
<b>đẳng</b>
<b>thức</b>
<b>vectơ</b>

Giả sử có đẳng
thức vectơ :
VT=VP
+ta tìm cách
biến đổi trực
tiếp vế này
thành vế kia

Chứng minh rằng bốn
điểm bất kì A,B,C,D ta có

AB CD AD CB  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

<b>GIAÛI</b>

AB CD AD DB CB BD       

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

0

AD CB DB BD

   



   
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   

1.Cho tam giác đều ABC cạnh
a. Tính độ dài của vectơ tổng

<i>AB</i>
<i>AC</i>

2 Chứng minh rằng nếu hai
hình bình hành ABCD và
A’_B’_C’_D’_{Có cùng trọng tâm}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

+c/m VT,VP
cùng bằng một
biểu thức thứ ba
+Có thể dùng
các quy tắc, tính
chất của vectơ

để biến đổi
tương đương về
một đẳng thức
đúng.

AD CB

 

 

Vậy VT=VP đẳng thức
được chứng minh

 

 

 

 

 






 ' ' ' 0

' <i>_BB</i> <i>_CC</i> <i>_DD</i>

<i>AA</i>

3 Cho tam giác ABC . Bên
ngoài của tam giác vẽ các hbh
ABIJ , BCPQ, CARS. CMR :

0





<i>IQ</i> <i>PS</i>

<i>RJ</i>

<b> 2.Tính</b>
<b>độ dài</b>

<b>vectơ</b>

+Dựa vào cách
tính độ dài của
các cạnh trong
tam giác vuông,
tam giác cân,
tam giác đều,

tam giác vng
cân, hình chữ
nhật, hình thoi
,vng…

Cho tam giác đều ABC
cạnh a tính độ dài vectơ

 


<i>AB</i>+<i>AC</i> 

Giaûi

 


<i>AB</i>+<i>AC</i>  =<i>AD</i>  do đó độ
dài vectơ  

<i>AB</i>+<i>AC</i> 

=AD=2.AO

=2.a. ₂3 = a. 3, với AO

là đường cao của tam giác
ABC

1.Cho hình vuông ABCD
Cạnh a

Tính độ dài vec tơ  

<i>AB</i>+<i>AC</i> ,

và vectơ  
<i>AB</i>-<i>AC</i> 

2.Cho tam giác ABC vuông
tại A có góc 

<i>ACB</i>=600 có
AB=2cm, AC= 4cm. Xác định
độ dài vectơ  

<i>AB</i>+<i>AC</i> , <i>AB</i> +
 



<i>BC</i>

Ví dụ một chủ đề của chương IV <b>BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH</b>

<i><b>chủ đề</b></i>: <i><b>BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC</b></i>

<b>Dạng bài tập cơ bản</b> <b>Ví dụ áp dụng</b> <b>Bài tập tương tư</b>ï

<i><b>Dạng1 </b></i>sử dụng phép
biến đổi tương đương

<i><b>Phương pháp:</b></i>

AB  A- B 0

Nếu c/m A- B 0

đúng thì AB đúng

C/m rằng với mọi số thực a,b
ta có a2_+b2 __{2.a.b (1)}

khi nào đẳng thức xảy ra?
Giải:bđt(1) a2 +b2 -2.a.b0

 (a-b)2  0 , bất đẳng thức này

ln đúng, đẳng thức xảy ra khi

1)C/m rằng nếu a0 vàb0

thì

a3_{+ b}3 __{ab(a+b) khi nào}

đẳng thức xảy ra

2)C/m rằng nếu a0 vàb0

thì

A

B

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a=b a4_{+ b}4 __a3_b+ab3_{khi nào đẳng}

thức xảy ra

<i><b>Dạng2 </b></i>Biến đổi biểu
thức về dạng tổng
các bình phương

<i><b>Phương pháp:</b></i>

a2_{+ b}2_+c2 __{0 đúng}

với mọi a, b, c ,
đẳng thức xảy ra
khivà chỉ khi
a=b=c=0

<b>Dạng bài tập cơ bản</b>

C/m rằng với mọi số thực a,b ta
ln có:

a2_{+ ab + b}2 __{0, a}2_{- ab + b}2 _₀

giaûi: a2_{+ ab + b}2₌

= (a2_{+ 2.ab/2 +b}2_{/4 )+3b}2_{/4 =}

=(a+b/2)2_{+ 3b}2_/4__{0, dâu bằng}

xảy ra khi và chỉ khi a=b=0, tương
tự cho

a2_{- ab + b}2_=(a-b/2)2_{+ 3b}2_/4_₀

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a=b=0

<b>Ví dụ áp dụng</b>

1) C/m rằng

với mọi số thực a,b, c

:a2_{+ b}2_+c2 __{ab+bc+ca (1),}

đẳng thức xảy ra khi nào?
2)C/m

:a2_{+ b}2_+c2_+d2_+e2_

a(b+c+d+e)
Với mọi a,b,c,d,e

<b>Bài tập tương tư</b>ï

<i><b>Dạng3 </b></i>Sử dụng các
bất đẳng thức đã có

<i><b>Phương pháp:</b></i>

1.Sử dụng bất đẳng
thức Cô si

2. Sử dụng bất đẳng
thức
Bu-nhi-a-cop-xki:

3. Sử dụng các bất
đẳng thức khác như
bất đẳng thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối,
bất đẳng thức trong
tam giác…

1.Ch/m rằng với các số dương x, y,
z

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i> ₊

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i> ₊

<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>

 6, dấu =

xảy ra khi nào?

Giải: ta có : <i>x</i><i>_z</i> <i>y</i> + <i>z</i><i>_yx</i>+ <i>y</i><i>_x</i> <i>z</i>
=(x/y+y/x)+(z/y+y/z)+(x/z+ z/x)

2+2+2=6đẳng thức xảy ra khi

<i>y</i>
<i>x</i>

= <i>_xy</i> => x=y tương tự <i>_zy</i> = <i>_yz</i>
=> y=z từ đó x=y =z

2. cho x2_+y2_{=1. c/m raèng}

<i>y</i>
<i>x</i> 3.
.

4  _5

Sử dụng bất đẳng thức
Bu-nhi-a-cop-xki ta có

(4x+3y)2 _₍₄2₊₃2_{)( x}2_+y2₎₌₅2_.1=>

<i>y</i>
<i>x</i> 3.
.

4  _ 5

1.CMR nếu a,b,c là độ dài ba
cạnh của tam giác thì “

(b+c-a)(c+a-c)(a+c-b) abc

2.cmr nếu a=a2_+2b2_+9.c2₌₃

thì

A+ 2b +9c  6

3.cmr: với avà b cùng dấu thì
a/b +b/a  2

với avà b trái dấu thì
a/b +b/a- 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

lớn nhất ,giá trị nhỏ
nhất của một biểu
thức

<i><b>Phương pháp</b></i>

+sử dụng bất đẳng
thức Cơ si

+ Sử dụng bất đẳng
thức
Bu-nhi-a-cop-xki:

+ Sử dụng các bất
đẳng thức khác như
bất đẳng thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối,
bất đẳng thức trong
tam giác…

nhỏ nhất của hàm số y
=(x+3)(5-x),

với -3x5

giải theo giả thiết x+3 0, 5-x

0,

4= ( 3)(5 )

2
5
3

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>








=>
y 16=> Max y=16 khi và chỉ khi

x+3 = 5-x hay x=1

mặt khác y0 với mọi x 3;5,

vaø

y(-3)= y(5) =0 nên giá trị nhỏ nhất
của y = 0 tại x=-3 hoặc x=5

hàm số f(x)= x+ <i>_x</i>2_ ₁, với x>1
2.Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số

f(x) = <i>x</i>1 4 <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>B.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN, BÀI TỐN TỔNG HỢP</b>
<b>1Khai thác giả thiết của bài toán</b>

 <i><b>Làm gần gũi giả thiết với kết luận của bài toán</b></i>

Giả sử A là giả thiết, B là kết luận của bài tốn, thì quy trình để giải những bài toán này
như sau:A => A1 =>A2 => … =>An => B, có thể xảy ra hai trường hợp . Trường hợp 1: có

thể An chính là B, khi đó bài tốn A =>B kết thúc, trường hợp2 có thể An chưa phải là B

ta phải biến đổi A về An+1 và giải bài toán An+1 => B dễ hơn bài tốn đã cho vì An+1 gần B

hơn so với A. Sau đây là các ví dụ

<b>Bài tốn 1:</b> Chứng minh rằng phương trình a.x2_{+ b.x + c =0 có hai nghiệm phân biệt mà}

nghiệm này bằng k lần nghiệm kia (k là số cho trước khác -1) thì: k.b2_{= (k + 1)}2_.a.c

Giải

Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai a.x2 + b.x + c =0, từ giả

thieát ta suy ra (*)

1
2

2
1








<i>kx</i>
<i>x</i>

<i>kx</i>
<i>x</i>

từ đó suy ra (x1 –kx2)(x2-kx1) = 0  x1.x2-k.( 22
2
1 <i>x</i>

<i>x</i>  ) +k2 x₁.x₂

=0

 x₁.x₂ –k[(x₁ +x₂ )2 -2 x₁.x₂ ] +k2. x₁.x₂ =0  k. (x₁+x₂)2 = (k + 1)2.x₁.x₂(**). Như vậy

từ giả thiết ta suy ra điều kiện(*), từ đó ta có đẳng thức (**) chính đẳng thức này đã làm

gần gủi giả thiết và kết luận k.b2_{= (k + 1)}2_{.a.c của bài tốn. Mặt khác ta sử dụng định lí}

Viet : x1 +x2 =-b/a, và x1.x2 =c/a thì đẳng thức (**) trở thành  k. (-b/a)2 = (k + 1)2.c/a

hay k.b2_{= (k + 1)}2_{.a.c là đẳng thức cần chứng minh}

<b>Bài toán 2</b> Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiêïn cần và đủ để hai trung tuyến
kẻ từ B và C vng góc với nhau là b2_{+ c}2_=5.a2

Giải
Hình vẽ

Theo giả thiết các trung tuyến BB1 và CC1 vng góc với nhau nên tam giác BHC là tam

giác vng, áp dụng định lí Pitago :BC2_=BH2_+HC2_{(*), với BH=}

3
2

BB1, CH= ₃2 CC1.

C

B A

B1

C1

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Gọi mb, mc lần lượt là độ dài các trung tuyến BB1 và CC1, <i>BB</i>12=

2

<i>b</i>

<i>m</i> =

2

2
2 <i>_c</i>
<i>a</i>  

-4

2

<i>b</i> _, 2
1

<i>CC</i> =

2

<i>c</i>

<i>m</i> =

2

2

2 <i>_b</i>
<i>a</i> 

-<i>c</i>₄2
suy ra BC2₌

9
4

)

( 2

1
2
1 <i>CC</i>

<i>BB</i>  =

9
4

(a2₊

4

2
2 <i>_c</i>
<i>b</i> 

), với BC= a ta có: a2₌

9
4

(a2₊

4

2
2 <i>_c</i>
<i>b</i> 

)  9.a2

=4a2_{+ b}2_+c2_ _b2_{+ c}2_=5.a2_{. Vậy từ giả thiết ta áp dụng định lí Pitago, rồi tính chất}

của trọng tâm H của một tam giác(suy ra BH= ₃2 BB1, CH= ₃2 CC1) sau đó áp dụng

cơng thức độ dài trung tuyến để biến đổi cơng thức(*) về kết luận của bài tốn. Như thế
tức ta đã làm gần gủigia ûthiết với kết luận của bài tốn bởi cơng thức (*) và định lí về độ
dài trung tuyến của một tam giác .

<b>Bài toán3</b> Chứng minh rằng a> b và a.b> 0 thì <i>_a</i>1 < <i>_b</i>1
Giải

Từ giả thiết a> b và a.b>0 ta nhân hai vế của bất đẳng thức a> b với <i>_ab</i>1 > 0 ta có <i>_ab</i>1 . a>
b. <i>_ab</i>1

Hay <i>_a</i>1 < <i>_b</i>1 .Như vậy phân tích giả thiết và một phép biến đổi tương đương ta đã có

ngay phần kết luận của bài tốn

 <i><b>Nghiên cứu các tính chất của biểu thức có mặt trong bài tốn</b></i>

Nhìn vào biểu thức có mặt trong bài tốn ta có thể định hướng, phân tích theo dạng tốn
nào sau đây là một số ví dụ (ta cịn nghiên cứu ở phần tìm kiếm và lựa chọn các cơng cụ
giải tốn)

<b>Bài tốn4</b> Giải các phương trình và các bất phương trình sau
a) <i>x</i>2 3.<i>x</i> 12 <i>x</i>2 3.<i>x</i>





 ; b)(x-2) <i>x</i>2 4  x2 – 4 ; c) x2 - 1 <i>x</i> = <i>x</i> 2 + 3 ; d) 1 <i>x</i>=
1



<i>x</i>

Giaûi

Trước tiên ta thấy đây là các bài tập không thuộc các dạng đã học, hoặc giải theo các
dạng đó thì biến đổi cồng kềnh, dẫn đến bế tắc, chẳng hạn ở câu a) khơng thể bình
phương hai vế được vì như thế sẽ đưa đến một phương trình khơng giải được.tương tự các
pt cịn lại cũng khơng mẫu mực , nhưng nếu nhìn bài tốn ở những góc độ khác nhau do
các biểu thức trong đề bài làm cho ta có các hướng giải khác nhau. Cụ thể

a) Ñaët y = 2 3. 12

 <i>x</i>

<i>x</i> >0 =>y2 -12 = x2 + 3.x thay vaøo pt a) ta coù : y = y2 -12  y2 –y-12

=0

=> y= 4 (do y>0) => 2 3. 12

 <i>x</i>

<i>x</i> =4  x2 +3.x-4= 0

 







4
1

<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

+Trường hợp1: x-2>0 hay x >2 bpt b)  2 4


<i>x</i>  x+2

2

4

.4

4

2

2

2





















<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

+Trường hợp2: x-2<0 hay x< 2 bpt b)  2 4


<i>x</i>  x+2

0

4

.4

4

2

2

2





















<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

+Trường hợp3: x-2 = 0 hay x= 2 khi đó hai vế bằng nhau

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=  ;0 2;

c)Đây là một phương trình khơng mẫu mực trước tiên ta tìm tập xác định của nó:
D= <i>x</i>/1 <i>x</i>0 <i>va</i> <i>x</i> 20= <i>x</i>/1<i>x</i> <i>va</i> <i>x</i>2 =_. Vậy pt vô nghiệm

d)Tập xác định của pt là

D= <i>x</i>/1 <i>x</i>0 <i>va</i> <i>x</i>10=<i>x</i>/1<i>xva</i> <i>x</i>1= 1 , thử lại ta thấy x=1 nghiệm
đúng pt vậy tập nghiệm pt d) là S= 1

<b>Bài tốn5</b> a) Tìm giá trị nhỏnhất của f(x) = 2 2₁
2



<i>x</i>
<i>x</i>

b)Chứng minh rằng với mọi n *



 :

1
1



<i>n</i> + 2

1



<i>n</i> +…+2<i>n</i>

1



2
1

Giải
a) Ta phân tích mối liên hệ giữa x2_{+2 và} 2 ₁



<i>x</i> , chính sự có mặt của biểu thức x2+2 và

x2_{+1 làm ta nhận ra rằng x}2_{+2 = x}2_{+1+1 và ta biến đổi như sau:}

f(x) =
1
2
2
2


<i>x</i>
<i>x</i>
=
1
1

2
2


<i>x</i>
<i>x</i>

+ 12 ₁


<i>x</i> = 1

2


<i>x</i> +

1
1

2


<i>x</i> từ đây áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho

hai số dương 2 1


<i>x</i> và

1
1

2


<i>x</i> ta có f(x) = 1

2


<i>x</i> +

1
1

2


<i>x</i>  2 1

1
.
1
2
2


<i>x</i>

<i>x</i> ₌₂

vậy giá trị nhỏ nhâùt của hàm số f(x) bằng 2 đạt được khi x=0

b) nhìn vào biểu thức ở vể trái ta thấy ₂1<i>_n</i> =<i>_n</i>_1<i>_n</i>, và có nhận xét rằng: với mọi n *



 thì

n+1n+n, n+2n+n,…, n+nn+n, suy ra

1
1



<i>n</i> 2<i>n</i>

1

, <i>_n</i>1_₂ 
<i>n</i>

2
1

,…, <i>_n</i>_1<i>_n</i> 
<i>n</i>

2
1

cộng vế
theo vế các bất đẳng thức này lại ta có <i>_n</i>1_₁+<i>_n</i>1_₂+…+₂1<i>_n</i> 

<i>n</i>

2
1

+₂1<i>_n</i> +...+ ₂1<i>_n</i> =n. ₂1<i>_n</i> =

2
1

, do vậy bất đẳng thức được chứng minh

<b>Bài tốn6</b>

Cho tam giác ABC. Tìm các điểm M vaø N sao cho:  

<i>MA</i>-<i>MB</i>  +<i>MC</i>  =0 vaø 2.<i>NA</i>  +<i>NB</i> +

 


<i>NC</i>= 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

+Từ biểu thức  

<i>MA</i>-<i>MB</i>  +<i>MC</i>  =0 ta nhận xét rằng khi các điểm A,B,C cố định thì<i>MA</i> 
- 



<i>MB</i>=<i>BA</i> 

cố định, suy ra 

<i>BA</i>+<i>MC</i>  =0  <i>MC</i>  =<i>AB</i>  => M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM
+Tương tự như biểu thức 2. 

<i>NA</i>+<i>NB</i> +<i>NC</i> = 0

Do sự xuất hiện của 2. 

<i>NA</i>, mà nghĩ đến việc

Biến đổi  

<i>NB</i>+<i>NC</i> = 2<i>NI</i> , với I là trung điểm

của BC. Khi đó 2. 

<i>NA</i>+<i>NB</i> +<i>NC</i> = 0 trở thành

2. 

<i>NA</i>+ 2<i>NI</i> =0 hay<i>NA</i> + <i>NI</i> =0 tức N là

Trung điểm của đoạn AI A

B C

M

A M

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>2.Phương pháp biến đổi kết luận của bài toán</b>
<b>+Nếu bài tốn chứng minh A) <=> B) </b>

<b>Ta có quy trình:B <=>B1 <=>B2 <=>….,<=>Bn chính là A hoặc làm thỏa mãn giả thiết</b>

<b>A. Thường gặp dạng tóan này ở các bài tập chứng minh một mệnh đề, một đẳng</b>
<b>thức hoặc một bất đẳng thức</b>

<b>Bàitoán7 </b> Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi 5ma2 =mb2 +mc2

Giaûi

Ta biết rằng trong mọi tam giác ABC ta có cơng thức tính độ dài trung tuyến: 2

<i>a</i>

<i>m</i> =

2

2

2 <i>_c</i>
<i>b</i>  

-4

2
<i>a</i>

; 2

<i>b</i>

<i>m</i> =

2

2
2 <i>_c</i>
<i>a</i>  

-4

2
<i>b</i>

; 2

<i>c</i>

<i>m</i> =

2

2
2 <i>_b</i>
<i>a</i>  

-4

2
<i>c</i>

, thay vào biểu thức 5ma2 =mb2 +mc2 ta có :

5(<i>b</i>2 ₂<i>c</i>2 

-4

2
<i>a</i> ₎₌

2

2
2 <i>_c</i>
<i>a</i>  

-4

2

<i>b</i> ₊

2

2
2 <i>_b</i>
<i>a</i>  

-4

2

<i>c</i> _{< => a}₂_=b₂_+c₂_{chứng tỏ tam giác ABC vng}

tạiA (theo định lí Pitago)

<b>Bàitốn8</b> Chứng minh rằng với mọi số thực a, b : a2_{+ab + b}2 _₀

Gaûi

Từ kết luận của bài toán a2_{+ab + b}2 __{0 ta biến đổi vế trái a}2_{+ab + b}2_=a2_+2.a

2

<i>b</i>

. +<i>b</i>₄2
+3.<i>b</i>₄2

=(a+ ₂<i>b</i> )2_{+ 3.}

4

2
<i>b</i>

0 đều này luôn đúng với mọi a,b đẳng thức xảy ra khi a = b= 0

<b>3.Phương pháp biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận của bài toán</b>

Ta biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận của bài toán làm chúng gần nhau hơn, khi đó
dễ dàng vận dụng giả thiết hoặc các suy luận từ giả thiết để chứng minh được kết luận
của bài toán

<b>Bàitoán9 </b> Chứng minh rằng nếu G và G’ _{lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác}

A/_B/_C/_{thì 3.}  

/

<i>GG</i> =<i>_AA</i> / +<i>_BB</i> / +<i>_CC</i> /

Giải
+Theo giả thiết

G là trọng tâm tam giác ABC nên  

<i>AG</i> +<i>BG</i>  +<i>CG</i>  =-(<i>GA</i>  +<i>GB</i>  +<i>GC</i>  ) =0 (1) Và G/ là

trọng tâm tam giác A/_B/_C/_nên  

/
/<i>_A</i>

<i>G</i> +<i>_G</i> /<i>_B</i>/ +<i>_G</i> /<i>_C</i>/ =₀ (2)

+Phân tích kết luận bài tốn:Ta có theo quy tắc ba điểmù:  

/
<i>AA</i> =

 


<i>AG</i> +<i>_GG</i> / +<i>_G</i> /<i>_A</i>/ ;<i>_BB</i> / =

 


<i>BG</i> +<i>_GG</i> / +<i>_G</i> /<i>_B</i>/ ,<i>_CC</i> / =<i>_CG</i>  +<i>_GG</i> / +<i>_G</i> /<i>_B</i>/ , cộng các đẳng thức này ta có <i>_AA</i> / +<i>_BB</i> / +<i>_CC</i> /

=3.  

/
<i>GG</i> + (

 

<i>AG</i> +

 

<i>BG</i> +

 


<i>CG</i> )+(<i>_G</i> /<i>_A</i>/ +<i>_G</i> /<i>_B</i>/ +<i>_G</i> /<i>_B</i>/ ) (3) thay (1) vaø(2) vaøo (3) ta coù<i>_AA</i> / +

 


/
<i>BB</i> +

 


/

<i>CC</i> =3.<i>_GG</i> / . Chính các đẳng thức (1), (2), (3) đã làm gần gủi giả thiết và kết luận

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Bàitoán10</b> Tính cos( ₃ ), biết sin =

3
1

và 0<  _<

2



Giải
+Phân tích kết luận cos(₃) = cos cos

3



- sin sin

3



= ₂1 cos -

2

3 _sin_ _(a)

+Phân tích giả thiết: sin =

3
1

và 0<  <

2



, suy ra cos >0, từ công thức cos2 x +

sin2_{x = 1 với mọi x ta suy ra cos}_ ₌ ₁ _sin2 <i>_x</i>

 =

3
6
3
1

1  thay giá trị của sin và cos

 _{vào (a) ta có kết quả cos(}

3


  ) =

2
1

3
6 _-

2

3 ₌

6
3
3
6

<b>Bàitoán11</b>

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có sinA+sinB +sinC= 4.cos ₂<i>A</i> cos <i>B</i>₂ cos<i>C</i>₂
Giải

+Phân tích giả thiết: Trong mọi tam giác ABC ta có A+B+C = _{, từ đó suy ra}

2

<i>B</i>
<i>A</i>

=₂

-2

<i>C</i>

vì vậy sin <i>A</i>₂<i>B</i> = cos<i>C</i>₂ , cos <i>A</i>₂<i>B</i>= sin<i>C</i>₂

+Phân tích kết luận: sinA+sinB +sinC =2. sin <i>A</i>₂<i>B</i>. cos <i>A</i>₂ <i>B</i> + 2. sin<i>C</i>₂ cos<i>C</i>₂
=2. cos<i>C</i>₂ ( cos <i>A</i>₂<i>B</i> + . sin<i>C</i>₂ )

=2. cos<i>C</i>₂ ( cos <i>A</i>₂<i>B</i>+ cos <i>A</i>₂<i>B</i>)
= 4.cos <i>A</i>₂ cos<i>B</i>₂ cos<i>C</i>₂

Vaäy sinA+sinB +sinC= 4.cos <i>A</i>₂ cos<i>B</i>₂ cos<i>C</i>₂

<b>Bàitoán12</b> Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt
phẳng

a) Gọi O và O/_{lần lượt là trọng tâm của hình bình hành ABCD và}

ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO/_{song song với các mặt}

phẳng (ADF)và (BDE).

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE
chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF)
Giải

a) Phân tích giả thiết: Theo giả thiết thì OO/_{là đường trung bìng của các tam giác BDF}

và tam giác ACE do đó OO/_{// DF và OO}/_{// CE (1). Để chứng minh đường thẳng OO}/

song song với các mặt phẳng (ADF) ta c/m đường thẳng OO/_{song song với một đường}

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

vậy OO/_{//(ADF), tương tự ta cũng c/m được OO}/_//(CDE)

b)Để c/m đường thẳng MN song song với mặt phẳng (DEF) ta c/m MN song song với một
đường thẳng thuộc mặt phẳng (CDE) (Phân tích kết luận của bài tốn). Gọi I là trung
điểm của AB, thì

Hình vẽ

DM và EN đều đi qua I , trong tam giác IDE co ù MN là đường thẳng định ra trênhai cạnh
ID và IE các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ta có đẳng thức <i>IM_ID</i> = <i>IN_IE</i> =₃1 (phân tích từ giả
thiết của bài tốn :tính chất trọng tâm của hai điểm Mvà N) vậy MN//DE, mà DE thuộc
mặt phẳng (CDE) từ đó ta có đường thẳng MN song song với mặt phẳng (DEF)

<i><b>CACÙ BAØI TẬP TƯƠNG TỰ (Cho các mục 1), 2), 3) )</b></i>

1/Cho tam giác ABC chứng minh rằng:

a) Sin2A +sin2B +sin2C =4sinA.sinB.sinC

b) Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1-4 CosA. CosB. CosC

c) TanA + tanB +tanC = tanA.tanB.tanC

2/ Hãy nhận dạng tam giác ABC nếu :
a)cos2_{A+ cos}2_{B+ cos}2_{C = 1}

b)sin2A + sin2.B = 4.sinA.sinB
3/Chứng minh rằng :

a) Nếu x2_{+ y}2_{= 1 thì} <i>_x</i>_<i>_y</i> _ ₂_{; b) Neáu 4.x-3.y = 15 thì x}2_{+ y}2_₉

A

D C

F

O/

O

B

E
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

4/ Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x , ta ln có
-1 

2
.
3
.
2
.
5
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
< 7

<b>4 Lựa chọn cơng cụ thích hợp để chuyển hóa nội dung và hình thức của bài tốn</b>

Việc lựa chọn các cơng cụ khác nhau để giải toán là việc làm cần thiết và thường xun
của người học tốn, nhằm chuyển hóa nội dung hoặc hình thức bài tốn trở thành bài
toán quen thuộc hoặc xuất hiện các dạng bài tập cơ bản. Vì vậy việc lự chọn được cơng
cụ thích hợp thì lời giải tương ứng sẽ tốt nhất. Các công cụ chủ yếu là: Bất đẳng thức, đồ
thị hàm số, đạo hàm, nguyên hàm, tam thức bậc hai, vec tơ, tính chất hàm số, đặt ẩn phụ,
…

4.1 Bài tập cơ bản từ dạng có sẵn

Đây là các bài tập đều ở một dạng cơ bản đã có sẵn trong bài học , sau khiđã nắm vững
lí thuyết thì người học có thể nhận ra các dạng bài tập tương ứng để luyện tập chẳng
hạn:

<b>Bài toán13</b>: Giải các phương trình sau đây:
a. 2.<i>x</i> 13 <i>x</i>

b. 2.<i>x</i>3 = <i>x</i> 1

Giải
a)p dụng giải pt dạng <i>f</i>(<i>x</i>) <i>g</i>(<i>x</i>) 

 











2

)

(

)

(

0

)

(

<i>x</i>

<i>g</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>g</i>

ta có 2.<i>x</i> 13 <i>x</i> 

 

















2

3

1

2

0

3

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



4

6

6

4

6

4

3



































<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

là nghiệm

b) p dụng giải pt dạng <i>ax</i><i>b</i> =<i>c</i>.<i>x</i><i>d</i> _











<i>d</i>
<i>x</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>d</i>
<i>x</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

<i>x</i>
<i>a</i>
.
.
.
.

Ta được pt b) 



















3
/
2

4
1
.
3
.
2
1
.
3
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

. V ậy tập nghiệm của pt là  4;2/3

<b>Bài tốn14</b>Giải bất phương trình sau: 2

₄

₃







<i>x</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Giải

p dụng giải bất phương trình dạng

<i>f</i>

<i>x</i>

)(



<i>g</i>

<i>x</i>

)(





































)(

)]([

)(

0)

(

)(

0)

(

0)

(

2

<i>II</i>

<i>xg</i>

<i>xf</i>

<i>xg</i>

<i>I</i>

<i>xg</i>

<i>xf</i>

Giải hệ (I) Được tập nghiệm SI , giải hệ (II) được tập nghiệm SII thì tập nghiệm của hệ

S= SI



SII

Ta có 2

₄

₃







<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



 













































)(

3

4

0

3

)(

0

3

0

4

2
2
2

<i>II</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>I</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



























































2

9

0

2

9

3

3

0

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>hoac</i>

<i>x</i>

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=  









 ;
2
9

0
;
<b>Bài tốn15</b>: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

a) Bất phương trình (m-4)x2_{–(m-6)x+ m - 5}__{0 nghiệm đúng với mọi x}

b) Bất phương trình (m-2)x2_{+2(m+1)x+ 2m > 0 vô nghiệm}

Giải
a) áp dụng dạng bài toán sau:

Với mọi x thuộc tập R: a.x2_{+b.x +c}_₀_













0

0

<i>a</i>

+Ta xét khi m=4 bpt a)=> 2.x – 1 0 không thỏa với mọi x, nên m =4 không nhận

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

+Xét khi m khác 4 áp dụng dạng bài tốn trên ta được
hệ





















0

4

0

)5

)(

4

(4

)6

(

2

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

3
3
2
4


 <i>m</i> là các giá trị cần tìm

b) +Xét khi m=2 bất pt trở thành 6.x + 4 >0 có nghiệm, vậy giá trị m= 2 không nhận
được

+Ta xét khi m khác 2. Bất pt b) vô nghiệm khi và chỉ khi bất pt (m-2)x2_{+2(m+1)x+ 2m}
 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc tập R , và áp dụng dạng tốn ở câu a) ta có hệ sau:

10

3

0

2

0

)2

(2

)1

(

2

























<i>m</i>

<i>m</i>

<i>mm</i>

<i>m</i>

<b>Bài toán16</b>Trong mặt phẳng Oxy cho các vectơ 

<i>a</i> (1;2), <i>b</i> (-3;0). Hãy xác định

a) 2

<i>a</i> +3<i>b</i>

b) Độ dài của các vectơ 

<i>a</i> ,<i>b</i>

c) Góc giữa các vec tơ 

<i>a</i> ,<i>b</i>

Giải
Aùp dụng dạng bài toán quen thuộc như sau:
Trong mặt phẳng Oxy cho các vectơ 

<i>a</i> (x;y), <i>b</i> (u;v). K hi đó

a) m

<i>a</i> + n<i>b</i> = (m.x+n.u; m.y+n.v)

b) <i>_a</i> _ <i>_x</i>2 _<i>_y</i>2
c) Cos(

<i>a</i> ;<i>b</i> )= 2 2_. 2 2

.
.
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>v</i>
<i>y</i>
<i>u</i>
<i>x</i>



Từ đó ta có

a) 2

<i>a</i> +3<i>b</i> =(2.1-3.3;2.2+3.0)=(-7;4)

b) <i>_a</i> _ ₁2 _₂2 =

5, ₍ ₃₎2 ₀2





<i>b</i> =3

c) Cos(

<i>a</i> ;<i>b</i> )= ₁2 ₂2_. ₍ ₃₎2 ₀2

0
.
2
)
3
(
1






= ₃ 3₅  1₅

4.2 Dùng tính chất của hàm số để giải phương trình và hệ phương trinh

<b>Bài tốn17</b> Giải các phương trình và hệ phương trình sau
a) 3x₊₄x_{= 5}x_{; b) 2}x-1_-₂<i>x</i>2<i>x</i>=(x-1)2 ; c)

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

a) 3x₊₄x_{= 5}x_{ta thấy x=2 nghiệm đúng phương trình, ta sẽ chứng minh rằng x=2 là}

nghiệm của phương trình đã cho. Chia hai vê pt này cho 5x_{ta có} _<i>x</i>







5

3 ₊ <i>x</i>







5

4 _{=1, xét các}

hàm số f(x)= <i>x</i>





5

3 _{và hàm số g(x)=} <i>x</i>








5

4 _{là những hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1 nên đây}

là các hàm số nghịch biến do vậy khi x>2 thì <i>x</i>





5
3

< ₅32





 _và <i>x</i>








5
4

< ₅42





 _{từ đó} <i>x</i>







5
3

+ <i>x</i>






5
4

< ₅32





 ₊ 2

5
4






 _{=1, tương tự khi x <2 thì} <i>x</i>






5

3 _> 2
5
3







 _và <i>x</i>







5

4 _> 2
5
4






 _{từ đó} <i>x</i>








5

3 ₊ <i>x</i>







5

4 _> 2

5
3





 ₊
2
5
4







 _{=1, nên chỉ có x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho, ở bài này ta đã sử}
dụng tính đồng biến nhgịch biến của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy
nhất, đâylà một công cụ hữu hiệu để giải tốn

b) Viết phương trình b) dưới dạng: 2x-1_=x2_{– 2.x +1+}₂<i>x</i>2<i>x</i>  2x-1 +x -1=₂<i>x</i>2<i>x</i>+ x2-x

(*),nếu ta xét hàm số f(t) = 2t_{+ t thì từ đẳng thức (*) này ta thấy f(x-1) = f(x}2_{-x) và nếu}

chứng minh được rằng f(t) là hàm số đơn điệu trên R thì ta suy ra ngay x-1 = x2_{-x và tìm}

được nghiệm x. Thật vậy với mọi t thuộc R : f/_{(t) =2}t_{.ln2 +1 > 0 nên hàm số f(t) đồng biến}

trên R và f(x-1) = f(x2_{-x) suy ra x-1 = x}2_-x_ _x2_{-2.x +1 =0}_ _{x=1 laf nghiệm của}

phương trình đã cho

c) Từ pt(1) => sin.x-x =siny- y, nếu đặt f(t) =sint-t thì qua biểu thức này cho thấy f(x) =
f(y) nếu chứng minh được rằng f(t) là hàm số đơn điệu trên R thì ta suy ra ngay x=y và
giải được nghiệm nhanh chóng. Thật vậy với mọi t thuộc R : f/_{(t)=cost -1}_₀_{, => f(t)}

nghịch biến trên tập R và ta thấy rằng sin.x-x =siny- y chứng tỏ f(x) = f(y) suy ra x=y
thay vào phương trình (2) ta có 2.sin.x=1  sin.x =1/2  x= 2

6 <i>k</i> hoặc x= 



2
6
5

<i>k</i>

 k

thuộc Z

<b>Bài tập tương tự</b>

Bài1 Giải các phương trình :1) 2.cos₂.<i>x</i> = x2_{+4.x +5; 2)sin}_ _{.x = x-1}

Bài2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: cos4_{x + (2-cosx)}4_{= m}

Bài3 Giải các hệ phương trình sau:
1)

















3

1

tan

.

.

tan

8

2

sin

.

.

sin

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

; 2)



















3

3

tan

.

tan



<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

; 3)



















<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

cos

2

)

2

cos(

cos

2

)

2

cos(

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>Bài toán18</b>

Chứng minh rằng với mọi x: x5_+(1-x)5

16
1

 (1)

<b>Giaûi</b>

<b>Nhận xét rằng </b>bất đẳng thức (1) đúng với mọi x nếu hàm số y = x5_+(1-x)5_{có giá trị nhỏ}

nhất là ₁₆1 và ta dùng việc khảo sát hàm số để chứng minh hàm số y có giá trị nhỏ nhất
là₁₆1

Ta có y/_{= 5.x}4_-5(1-x)4_{= 5(2.x}2_{- 2.x +1). (2.x-1), do 2.x}2_{- 2.x +1 >0 với mọi x nên y}/₌₀

khi x=1₂

Ta có bảng xét dấu

x -



½

+



y/ _{- 0 +}

y





₁₆1

<b>Từ </b>đó ta có ymin= ₁₆

1

, vậy bài toán được chứng minh.

<b>Bài toán 19</b> Chứng minh với mọi x>0 ln(1+x) > x -<i>x</i>₂2
Giải

Phương pháp: để chứng minh với mọi x thuộc tập X: f(x) > g(x) ta đặt h(x) =f(x) –g(x),
xét sự biến thiến thiên của hàm số h(x) =f(x) –g(x) trên tập X , dựa vào sự biến thiên
chứng tỏ rằng h(x) > 0 , với mọi x trên X

Thật vậy đặt h(x)= ln(1+x) –( x - <i>x</i>₂2 ), xét trên X =(0;+



), h/(x) =
<i>x</i>
<i>x</i>



1

2

> 0 x



X

x 0 +



h/_{(x) +}

h(x) 0

do đó h(x) > 0 , với mọi x trên X bài toán được chứng minh
Bài tập tương tự:

<b>1/Cho x+y = 1 chứng minh rằng x4_{+ y}4</b> _ 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>2/ Chứng minh rằng</b> ex_{> 1+x, mọi x>0}

<b>3/ Chứng minh rằng </b>(x+1)lnx > 2(x-1), với mọi x > 1

<b>4.4Dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số</b>
<b>Bài tốn20</b>

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) f(x)= (x+3)(5-x) với -3  x  5

b) g(x)= <i>x</i>1 4 <i>x</i>

Giaûi

Các bài tốn dạng này cơng cụ thường dùng là bất đẳng thức Cơsi, bất đẳng thức
Bunhiacơpxki và các tính chất của bất đẳng thức đã học

a) từ giả thiết -3  x  5 ta suy ra (x+3)(5-x) 0 vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng

0 khi x=-3 hoặc x= 5, mặt khác theo giả thiết thì các số dương x +3 và 5-x có tổng
bằng 8 khơng đổi nên theo hệ quả của bất đẳng thức Cô si f(x) lớn nhất khi x+3 =
5- x hay x= 1 vậy Maxf(x) =16

b) Tập xác định của hàm số là D =[1;4], ta dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các
số 1, <i>x</i> 1, 1, 4 <i>x</i> ta có [g(x)]2 =( <i>x</i>1 4 <i>x</i>)2  (12 + 12)[ ( <i>x</i> 1)2+( 4 <i>x</i>

)2_{]=6 suy ra} <i>_g</i>₍<i>_x</i>₎ _ ₆_{do g(x) >0 nên 0< g(x)}_ ₆_{, từ đó Maxg(x) =} ₆_đạt

được khi x= 5/ 2, mặt khác ta thấy rằng: [g(x)]2₌₍ <i>_x</i>_₁_ ₄_ <i>_x</i>₎2₌₃₊₂ <i>_x</i>_ ₁ ₄_ <i>_x</i>
 3 vậy ming(x)= 3

Bài tập tương tự:

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của các

a) hàm số f(x) = x+ <i>_x</i>2_ ₁, với x >1
b) f(x) = <i>x</i>1<i>_x</i>

2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) f(x) = <i>x</i> 3 5 <i>x</i>

b) g(x)= 2<i>x</i> 1 1 <i>x</i>
<b>4.5 So sánh, đánh giá, tương tự hóa</b>

Dạng bài tốn này ta đánh giá về tính chất của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hai vế để kết luận, có thể giải phương trình bằng cách đánh giá hai vế để quy
về hệ phương trình sau đây là vài ví dụ điển hình

<b>Bài tốn21</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

b)Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất





















1

tan

.

sin

1

.

2
2
2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

c)Giải phương trình <i>x</i> 2 + 4 <i>x</i> = x2 -6.x +11

Giaûi

a)Ta biết rằng: -1 cos 1, -1 sin 1 , do đó khi viết a)=> sin3.x + cos2.x =-2 ta

suy ra được sin3.x = cos2.x = - 1, vậy ta giải hệ















1

2

cos

1

3

sin

<i>x</i>

<i>x</i>


























2
2
2
2
3
3
2
2
3
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>k</i>

<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
c























<i>m</i>
<i>x</i>
<i>k</i>

<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
2
/
3
/
2
2
3
/
2
6

k,m  

b)Nhận xét rằng hệ đối xứng với ẩn x nên nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì nó cũng có một

nghiệm (-x0;y0), theo giả thiết hệ có nghiệm duy nhất thì phải có –x0 = x0 => x0 = 0 từ đó

ta coù













1

1

2

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

=> (a-1)2_{= 1}_ _{a=0 hoặc a= 2}

Với a= 0 hệ trở thành



















)2

(

1

tan

)1

(

.

sin

1

2
2

<i>_x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

từ (1) => y = sin.<i>x</i> -1 thay vào (2) ta được

Sin2_{x +2.} _sin_.<i>_x</i> _+tan2_{x =0}_ _{sin.x = 0 hệ có vô số nghiệm}













1

.

<i>y</i>

<i>k</i>

<i>x</i>



(loại a=0)

Với a= 2 hệ trở thành



















)4

(

1

tan

)3

(

.2

1

.

sin

2
2
2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

, thay (3)vào (4) ta có tan2_{x + (} _sin_.<i>_x</i>

+1+2.x2₎2_{= 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

 tan2 x =sin2x =4.x4 =2 sin.<i>x</i> =4.x2 sin.<i>x</i> =4.x2 =0 =>x=0 vaäy nghiệm duy nhất của hệ

là













1

0

<i>y</i>

<i>x</i>

, vậy giá trị của a cần tìm thỏa đề bài là a=2

c) Giải phương trình khơng mẫu mực này ta nhâïn xét đánh giá hai vế :

Ta thấy VT2₌₍ <i>_x</i>_ ₂₊ ₄_ <i>_x</i>₎2 _₍₁2_{+ 1}2_{)(x-2 + 4-x)=4 => VT}__{2, trong khi đóVP =x}2

-6x+11= x2_{-2.3.x +9 +2= (x-3)}2₊₂__{2 => VT=VP=2 đạt được khi x=3 vậy x=3 là}

nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

<b>Bài tốn22</b> Cho tam giác ABC. G là trọng tâm tam giác chứng minh rằng:

a)  

<i>GA</i> +<i>GB</i> +<i>GC</i> =0

b) Với mọi điểm M :  

<i>MA</i>+<i>MB</i>  +<i>MC</i>  = 3. <i>MG</i> 

c) M bất kì cmraèng:MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{= 3. MG}2_{+ GA}2_{+ GB}2

+ GC2

(Bài toán này đã được chứng minh ở phần bài tập rồi ), ta cũng chứng minh bài toán sau
đây một cách tương tự

<b>Bài toán23</b> Cho tứ giác ABCD. G là trọng tâm của tứ giác chứng minh rằng:
a) 

<i>GA</i> +<i>GB</i> +<i>GC</i> +<i>GD</i> =0

b)Với mọi điểm M :  

<i>MA</i>+<i>MB</i>  +<i>MC</i>  +<i>MD</i>  = 4.<i>MG</i> 

c)M bất kì cmrằng:MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_+MD2_{= 4. MG}2_{+ GA}2_{+ GB}2_{+ GC}2_+GD2

Bài tập tương tự:

Bài1 Giải các phương trình
1. sin3_{x +cos}3_{x = 2- sin}4_x

2. ₈_sin2<i>x</i> ₈₁ _sin2<i>x</i> ₉ _cos₂<i>y</i>



 

Bài2 H là trực tâm tam giác không vuông ABC chứng minh rằng bán kính các đường
trịn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB và ABC bằng nhau.

<b>5.Chuyển đổi ẩn số, tham số, đặt ẩn số phụ</b>

<b> Bài tốn 24</b> Giải phương trình: ( 2 3)<i>x</i> ( 2 3)<i>x</i>=4

Giải
Đặt ₍ ₂ ₃₎<i>x</i>

 = u suy ra ( 2 3)<i>x</i> =

<i>u</i>

1

, phương trình đã cho trở thành u+ <i>_u</i>1 = 4, với u>
0,  u2 -4u +1 = 0  u= 2+ 3 hoặc u= 2- 3, với u= 2+ 3= <i>x</i>

 3)

2

( = (2+ 3)-x/2 

x=-2

Với u= 2- 3=₍ ₂ ₃₎<i>x</i>

 =( 2 3)<i>x</i>=(2- 3)x/2  x=2, vậy phương trình có hai nghiệm

là

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b>Bài tốn 25 </b>Tìm tất cả các giá trị của m để pt sau có nghiệm

(2m-1) (sinx – cosx)- (sinx +cosx)+2m2_{+2m +2 =0 (1)}

Giải

Ta áp dụng phương pháp tráo vai trị ẩn số với tham số:Giải pt lượng giác fm(x) = 0 (1) ta

biến đổi pt(1) thành pt đại số gx(m) = 0 (2) mà đã biết cách giải , ta tìm điều kiện cho (2)

tồn tại nghiệm m lúc đó ta được giá trị nghiệm x tương ứng

Thaät vaäy pt(1) g(m) = 2m2 +2(sin x – cos x+1)m +2(1 – cos x) = 0 (2)

Ta coù ,

<i>g</i>

 = (sin x – cos x+1)2 -2.2(1 – cos x) = 2(sin x – 1)(1 – cos x)  0

neân pt (2) có nghiệm khi và chỉ khi ,

<i>g</i>

 =0  sin x = 1 hoặc cos x = 1

với sin x = 1 thì cos x = 0 và pt (2)  2(m+1)2 = 0  m = - 1

với cos x = 1 thì sin x = 0 và pt (2)  2 m2 = 0  m = 0 . Vậy với m =o hoặc m = - 1 thì

pt(1) có nghiệm
Bài tập tương tự

Baøi1 cho f(x) =x4_{+ 2x}3_-2(m+4)x2_{-2(m-2)x+(m-2)}2

1) Giảipt f(x) = 0 khi m= -2

2) Tìm m biết rằng f(x) 0, với mọi x thuộc R

Bài2 Giải và biện luận theo a số nghiệm của pt x4_-10x3_-2(a-11)x2_{+2(5a+6)x+2a+a}2₌₀

Bài3 Giải các phương trình và bất phương trình sau

a) ( 2)( 32) 2 34. 48







 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> ; b) 2 3. 12


 <i>x</i>

<i>x</i> = x2 + 3.x

<b>III.KẾT THÚC VẤN ĐỀ</b>

<b>1/Kết quả thực nghiệm</b> trước và sau khi thực hiện đề tài qua đánh giá bài kiểm tra viết
45 phút của 3 lớp 10T1, 10T2, 10C trường THPT Tân hòa năm học 2007-2008 như sau

Lớp Sĩ số giỏi khá Trung bình Yếu kém

Trướ
c
Khi
Thực

10T1 44 1 1 15 3 24

10T2 41 1 1 7 5 27

10C 51 0 0 10 7 34

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

hiện
Sau
Khi
Thực

hieän

10T1 42 6 11 10 13 2

10T2 41 12 17 11 1 0

10C 48 5 10 26 7 0

Toång 131 23 38 47 21 2

<b>2/Bài học kinh nghiệm </b>

<b>2.1 </b>

<b> H ãy thật sự nhập tâm vào việc học</b>

1. Chia thành các dạng bài rõ ràng, tự hệ thống lại kiến thức lí thuyết. Như vậy sẽ ghi nhớ
được dễ hơn và nhớ được rất lâu.

2. Chia ra thành nhóm các dạng bài tập tương tự nhau, luyện thật nhiều bài tập của mỗi dạng.
Chỉ cần nhớ dạng bài chính là có thể giải được các bài tương tự.

3. Làm thật nhiều bài tập để nhớ công thức chứ không phải học vẹt.

4. Tất cả lý thuyết đều được kiểm tra thông qua bài tập nên học theo phương pháp đọc hiểu
rất hữu ích. làm thật nhiều bài tập từ dễ đến khó để khơng nản lịng. Khơng nên q đi sâu
vào các dạng bài khó mà chỉ cần tập trung vào những bài tập trong sách giáo khoa, sách
bài tập

<b>2.2Những đặc điểm c ần phải có của người học:</b>

 Trung thực với bản thân

 Tránh sự chi phối

 Biết vượt qua vướng mắc.

 Đặt câu hỏi.

 Xây dựng phán đốn trên bằng chứng cụ thể

 Tìm mối quan hệ nối kết các sự việc

 Có tư duy độc lập

<b>2.3 Một phương pháp học được nhiều người dùng</b>
<b>1/VềTâm trạng</b>

Hãy tạo ra một <b>tâm trạng</b> thoải mái cho mình trước khi bắt đầu học.

Hãy chọn một khoảng thời gian, khơng gian và thái độ thích hợp để bắt đầu việc học.
<b>2/Sự hiểu biết</b>

Khi gặp một cái gì <b>không hiểu</b> trong một phần, hãy đánh dấu lại.

Cố tập trung vào một phần hay một nhóm các bài tập mà bạn có thể giải quyết được
<b>3/Cần phải nhắc lại</b>

Sau khi đã học được một phần, dừng lại và chuyển những gì bạn vừa học sang <b>ngơn ngữ </b>

<b>của chính bạn</b>.

<b>4/hấp thụ</b>

Quay trở lại với cái mà lúc nãy bạn chưa hiểu và thử<b> xem xét lại các dữ kiện.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>5/ơn lại</b>

<b>Lướt qua tất cả những gì bạn mới hoàn thành</b>

Xem xem phương thức nào đã giúp bạn hiểu và/hoặc giữ lại những kiến thức cũ để áp dụng
vào những gì bạn đang học.

Luyện tập kỹ năng viết.

· Sử dụng kỹ năng sơ đồ hóa để sắp xếp các thông tin để tiếp thu một cách tốt hơn
những điều bạn muốn học.

· Bạn có thể tận dụng những cơng nghệ, phương pháp hiện đại để thu thập và sắp xếp
thông tin từ các nguồn khác nhau.

Những trò chơi hoặc ứng dụng trên máy vi tính có thể giúp bạn:
o Hình dung rõ ràng vấn đề.

o Làm việc với từng phần của công việc và thử nghiệm.

o Phỏng theo, thay thế hoặc luyện trả lời cho những tình huống tương tự có thể gặp
phải ở ngồi đời.

· Viết ra các câu hỏi và đối chiếu với bạn cùng lớp.
Tập viết nháp các câu trả lời.

Thử làm như mình đang làm bài kiểm tra.

Thử xem những gì bạn học có thể được kiểm tra qua mơ hình, diễn thuyết hay những
hình thức khác, ngoài việc làm một bài kiểm tra viết

<b>2.4 Những thói quen có ích cho việc học tập hiệu quả</b>
<b>1/Tự có trách nhiệm với bản thân</b>

2/<b>Việc hơm nay chớ để ngày mai</b>

<b>3/Hãy ln coi mình là người chiến thắng:</b>

Dù đó là vì lợi ích của bạn, hay của bè bạn, của thầy cô hay những người hướng dẫn, bạn là
người chiến thắng khi bạn làm việc hết mình và cống hiến hết mình cho lớp học của bạn.
Nếu bạn hài lịng với những gì bạn làm, đỉểm số sẽ chỉ là sự kiểm chứng cho phần nổi của
những cơng việc của bạn, nói cách khác, điểm chỉ là một kết quả trong số những điều bạn
thu được.

<b>2.5 kinh nghiệm trong phòng thi:</b>

1. Ln giữ bình tĩnh, khơng tự tạo áp lực cho bản thân.

2. Tận dụng tối đa thời gian sau khi làm bài xong để đọc soát lại cẩn thận giúp phát hiện và
chỉnh sửa kịp thời những chỗ sai.

3. Đừng cố gắng làm hết đề thi mà hãy cố gắng làm tốt nhất trong khả năng của mình. Sẵn
sàng chấp nhận chỉ làm được 90% nhưng đúng hồn tồn cịn hơn làm tới 100% nhưng chỉ
đúng một nửa.

4. Tính tốn nhanh và hợp lý trong việc việc chia thời gian làm bài bằng cách đọc lướt toàn
bộ đề thi, nhất là với dạng đề thi trắc nghiệm.

5. Khi kiến thức đã được trang bị đầy đủ, để có thể làm bài thi một cách hồn hảo thì cần có
một sự trình bày tốt, khơng thừa khơng thiếu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

7.Cẩn thận trong từng bước kể cả những bước tưởng như nhỏ nhặt nhất. Trước khi làm câu
khó nhất thì nên kiểm tra hết tất cả các câu khác để đảm bảo không bị mất điểm một cách…
“oan ức”.

<i>Tân tiến ngày ... tháng04 năm 2008</i>
<i>Người viết </i>

</div>

<!--links-->