Bài giảng BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11

TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
LỜI NÓI ĐẦU

Trong quá trình đổi mới giáo dục, đáp ứng yêu cầu chuẩn kiến thức đối với môn toán trong
nhà trường phổ thông, tạo điều kiện trong học tập đối với học sinh khối 11 môn toán và từng bước
nâng cao chất lượng bộ môn toán khối 11 . Tổ Chuyên môn Toán –Tin Trường THPT Nguyễn
Khuyến biên soạn Bài tập chọn lọc học kỳ 2 môn toán khối 11 gồm các nội dung:
I. ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH:
. Chương IV: Giới hạn
+ Giới hạn dãy số
+ Giới hạn hàm số
+ Hàm số liên tục
Chương V: Đạo hàm
+ Đạo hàm của hàm số sơ cấp
+ Đạo hàm của hàm số lượng giác
+ Phương trình tiếp tuyến của hàm số
II. HÌNH HỌC:
Chương III: Quan hệ song song – Quan hệ vuông góc
Trong mỗi phần chúng tôi có tóm tắt lý thuyết, các dạng toán thương gặp theo chuẩn kỹ năng
và kiến thức của Bộ giáo dục và đào tạo; Một số bài tập chọn lọc từ 2 bộ sách giáo khoa ban cơ bản
và ban nâng cao và các đề tuyển sinh đại học từ năm 2002 đến nay.
Hy vọng tài liệu này giúp ích cho các em học sinh khối 11 trường Nguyễn Khuyến trong quá
trình học tập, rèn luyện nâng cao bộ môn toán 11. Tuy nhiên trong quá trình biên soạn không tránh
khỏi thiếu sót, mong quí thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến
Mọi ý kiến đóng góp xin được gởi về địa chỉ:
1/.
2/.
3/. Violet.vn/truongthiennk
Trân trọng cám ơn Phú hoà, ngày 30 tháng 12 năm 2010
TỔ TOÁN TIN
Trang 1

TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
Chuyên đề : GIỚI HẠN
(GV biên soạn : Thầy La Thế Dũng – Thầy Võ Thế Vinh)
CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu
u
n
có thể
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
( )
lim 0 hay u 0 khi n + .
n
u
n
n
= → → ∞
→+∞
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là a hay (u
n
) dần tới a khi n dần tới vô cực (
n → +∞
), nếu
( )
lim 0.

n
n
u a
→+∞
− =
Kí hiệu:
( )
n
lim hay u khi n + .
n
n
u a a
→+∞
= → → ∞
 Chú ý:
( ) ( )
lim lim
n n
n
u u
→+∞
=
.
2. Một vài giới hạn đặc biệt.
a)
*
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n

+
= = ∈¢
n
b)
( )
lim 0
n
q =
với
1q <
.
c) Lim(u
n
)=c (c là hằng số) => Lim(u
n
)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (u
n
),(v
n
) và (w
n
) có :
*
n
v n
n n
u w≤ ≤ ∀ ∈¥
và

( ) ( ) ( )
n
lim lim lim u
n n
v w a a= = ⇒ =
.
b) Định lý 2: Nếu lim(u
n
)=a , lim(v
n
)=b thì:
( ) ( ) ( )
lim lim lim
n n n n
u v u v a b± = ± = ±
( )
lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b= =
( )
( )
( )
*
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
n
n
n n

u
u
a
b
v v b
= = ≠ ∀ ∈ ≠¥
( ) ( )
lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u= = ≥ ≥
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với
1.q <
1
lim lim
1
n
u
S
q
=
−
5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Ta nói dãy số (u
n
) dần tới vô cực
( )
n
u → +∞
khi n dần tới vơ cực
( )

n → +∞
nếu u
n
lớn hơn
một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(u
n
)=
+∞
hay u
n

→ +∞
khi
n → +∞
.
b) Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
−∞
khi
n → +∞
nếu lim
( )
n
u− = +∞
.Ký hiệu: lim(u
n
)=
−∞

hay u
n
→ −∞

khi
n → +∞
.
c) Định lý:
Trang 2
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
o Nếu :
( )
( )
*
n
lim 0 u 0 , n
n
u = ≠ ∀ ∈¥
thì
1
lim
n
u
= ∞
o Nếu :
( )
lim
n
u = ∞
thì

1
lim 0
n
u
=
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1. Giới hạn của dãy số (u
n
) với
( )
( )
n
P n
u
Q n
=
với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a
0
, hệ số cao nhất của Q là b
0
thì chia tử số và
mẫu số cho n
k
để đi đến kết quả :
( )
0
0
lim
n

a
u
b
=
.
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho n
k
để đi đến kết quả :lim(u
n
)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho n
k
để đi đến kết quả :lim(u
n
)=
∞
.
2. Giới hạn của dãy số dạng:
( )
( )
n
f n
u
g n
=
, f và g là các biển thức chứa căn.
o Chia tử và mẫu cho n
k
với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

C. CÁC VÍ DỤ.
1.
2
2
2 2
2
2
2
2
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
1 8
7 8
7 8 7
7
n n
n n
n n n
n n
n n
n n
n
+ +
+ +
+ +
= =
+ −
+ −

+ −
2.
2
2
2
1
1 4
1 4
1 4 1 4 5
lim lim lim
3 2 2
3 2 3 3
3
n n
n n
n
n
n
n
n n
+ +
+ +
+ + +
= = = =
−
−
−
3.
(
)

(
)
(
)
2 2
2 2
2
2 2
2 3 2 3
2 3
lim 2 3 lim lim
2 3 2 3
n n n n n n
n n n
n n n
n n n n n n
+ + − + + +
+ + −
+ + − = =
+ + + + + +
2
2
2
3
2
2 3 2 3 2
lim lim lim 1
1 1
2 3
2 3

2 3
1 1
1 1
n n
n
n n n
n
n n
n n
+
+ +
= = = = =
+ 
+ + +
+ + +
+ + +
 ÷
 
2
2 3n n n+ + +
là biểu thức liên hợp của
2
2 3n n n+ + −
Trang 3
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
4.
( )
1
1 1 1 1 1 2
1 ... ... .

1
2 4 8 2 3
1
2
n−
     
+ − + + − + + − + = =
 ÷  ÷  ÷
 
     
− −
 ÷
 
Tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn có công bội
1
2
q = −
và số hạng đầu u
1
=1.
5.
3
3
3 2 3
2
2
2 3
3
2 1 2 1

1
2 1
lim lim lim
1 1 3
2 3
2 3
n n
n n
n n n
n n
n n
n n n
n
− +
− +
− +
= = = +∞
− +
− +
− +
.
6.
( )
( )
( )
( )
2
2
3
3 3 3 3

3
3 3
2
2
3
3 3
3
2 2 2.
lim 2 lim
2 2.
n n n n n n
n n
n n n n
 
+ − + + + +
 ÷
 
+ − =
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
3 3
3 3 3 3
3 3
2
2

lim lim
2 2. 2 2.
n n
n n
n n n n n n n n
+ −
+ −
= =
+ + + + + + + +
( )
2
2
3
3 3
3
2
lim 0
2 2.n n n n
= =
+ + + +
D. BÀI TẬP
Bài1: Tìm các giới hạn sau:
2 2 2
2 2 2
2n n 1 2n 1 n n 2n 3
1) lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; 5)lim
2n 1 2n 1 n 1 2 3n 2(n 1)
+ − + +
+ + + + +
Bài 2 : Tìm các giới hạn sau

2 2 3 2 5
2 2 3 5
3 2 3 2 2 2
2 2 3 4
3 2
4 2
3n 5n 4 6 3n n 2n 4n 3n 7 2n 6n 9
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
2 n 3n 5 n 7n 5 1 3n
2n 1 5n n 3n n n 3 2n n 2
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ;
2n 3 5n 1 n 1 3n 1 n 3n 3n 5
n n 1 1
9)lim ; 10)lim
2n n 7
+ + + − − + + − +
− + − + −
   
− − + − + +
+ −
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
− −
− +
2 2 4
2
4 2
4n 9n 2n n 4 n 2n 3
; 11)lim ; 12)lim ;

1 2n 2n 3
2n n 1
+ + − + − +
− − +
− +
2 6 2
2 6 5 2
2n 1 n 3n 3 4n 1 n n 1
13)lim ; 14)lim ; 15) lim ; 16)lim ;
1 3n 2n n 2 n 1 3n 2
− + − − −
− + − + +
2 2
2 3 2
3
4 3 2 2 2 2
2 2
3
3
(2n 1)(n 2) 5n 5n 1 (n n)(2n 1) 2n n 1
17)lim ; 18)lim ; 19)lim ; 20)lim ;
2n 3n 1 (5n 2)(n 4) n 3n 1 n n 3
2 n 3n 5 1 n n 1 3n n n 2 n 3 4n 1
21)lim 22)lim ; 23)lim ; 24)lim .
7n 6n 9 2n 3 n n 1
27n n 3
− + + − + − +
− + + − + − + +
+ + + + − − + + − +
+ + + − +

− +
Trang 4
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
Bài 3: Tìm các giới hạn sau
n 2 n n n n n n
n n n n 1 n 1 n n
n n n n n n n n n n 1
n n n n n n n 1 n 1 n n
1 7 7.2 4 5.2 3 2 3
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
3 7 2.3 4 2 3 2.3 5.2
3.5 2.3 7.5 2.7 7.3 2.6 ( 2) 5 4.3 7
5)lim ;6)lim ; 7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;
5 5.3 5 5.7 5.3 5.6 3 5 2.5 7
( 3
10)lim
+
+ +
+
+ +
+ + − +
− + + +
− − + − − +
+ − − + +
−
n n 2 n n n 1 n 2 n 1 n 2
n 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
) 5 2 3 4 ( 3) 5 5 7 1
11)lim ; 12)lim ; 13)lim .
( 3) 5 1 2 3 4 3 5 3 7 3.2

+ + + +
+ + + + + + +
− + − − + + +
− + + + + + + +
Bài 4: Tìm các giới hạn sau
(
)
(
)
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3n 1 n 1 2n 1 n 1
1)lim n n n ; 2)lim ; 3)lim ;
n n 1
4)lim n n 1 n 1 ; 5)lim( n n n 1)
+ − − + − +
+ −
+
+ − − + − +
Bài 5: Tìm các giới hạn sau
( ) ( ) ( )
2 3 4 2
3
3
34 2 3 2 3
3
5 4 4 2 2
3 2
4

1)lim 3n 101n 51 ; 2)lim 2n 3n 5 ; 3)lim n 50n 11 ; 4)lim 5n 3n 7;
3n n
5)lim 2n n 2; 6)lim 1 2n n ; 7)lim 7n n ; 8)lim ;
2n 15
n n 3n 2 2n n 7 2n 15n 11
9)lim ;10)lim ; 11)lim 12
4n 6n 9 3n 5
3n n 3
− − − + + − − + − +
−
+ − + − −
+
+ − − − + − +
+ + +
− +
( )
3
)lim 3n 4n 99− +
(
)
( )
2 2
2 2
4 2 n 1 n n
4 3 2 n 2 n 3 n n
4n 1 n 1 2n n 2
13)lim 2n 3 n 1 ; 14)lim n 1 n n; 15)lim ; 16)lim ;
3n 2 3 2n
2n 11 n 2n n 20 2 3 11 13.3 5n
17)lim ; 18)lim ; 19)lim ; 20)lim ;

n 3n n 2 2n n 7 3 2 4 3.2 5.4
+
+ +
+ − + + −
+ − + + −
+ −
− − + − − + −
+ − + + + + − +

Bài 6: Tìm các giới hạn:
a)
2
2
7
lim
5 2
n n
n
+
+
b)
2 1
lim
2
n
n
+
+
c)
2

2
3 1
lim
4
n
n
+
+
d)
3
3
6 3 1
lim
7 2
n n
n n
+ −
+
e)
2
3
2 4
lim
7 2 9
n n
n n
+ −
− +
f)
2

2
2
lim
4 2
n
n
+
−
g)
3
3
8 1
lim
2 5
n
n
+
−
h)
(
)
2
lim 2 3n n n+ − −
i)
( )
lim 1n n+ −
Bài 7:Tìm các giới hạn sau:
a)
2 2
3 1 1

lim
n n
n
+ − −
b)
(
)
3 2
3
lim 2n n n− −
c)
(
)
2 2
lim 1 2n n+ − −
d)
2 3 4
2 3 4
1 ...
lim a 1, b 1
1 ...
n
n
a a a a a
b b b b b
+ + + + + +
< <
+ + + + + +
Trang 5
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN

e)
3
4 2
2
lim
3 2
n
n n+ +
f)
( )
( )
( )
1
2
1
lim
2 1
n
n
n
n
+
+ −
+ −
g)
(
)
2 4
lim 1 3 1n n n+ − + +
h)

2 6
3
4 2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ −
i)
( ) ( )
( ) ( )
2 1 3
lim
1 2
n n n
n n
+ +
+ +
j)
2 2 2 2
1 1 1 1
lim 1 1 1 ... 1
2 3 4 n
     
− − − −
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
k)

2 2 2
1 1 1
lim ...
1 2n n n n
 
+ + +
 ÷
+ + +
 
CHỦ ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L
khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x
n
), x
n

∈
K và x
n

≠
a ,
*
n∀ ∈¥
mà lim(x
n
)=a đều có
lim[f(x
n

)]=L.Kí hiệu:
( )
lim
x a
f x L
→
 
=
 
.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b) Định lý 2:Nếu các giới hạn:
( ) ( )
lim , lim
x a x a
f x L g x M
→ →
   
= =
   
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
→ → →
     
± = ± = ±
     

( ) ( ) ( ) ( )
lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M
→ → →
     
= =
     
( )
( )
( )
( )
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f x
f x
L
g x M
g x
→
→
→
 
 
= = ≠
 

 
( ) ( ) ( )
lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
→ →
 
= = ≥ ≥
 
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)
≤
f(x)
≤
h(x)
,x K x a∀ ∈ ≠
và
( ) ( ) ( )
lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
→ → →
     
= = ⇒ =
     
.
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x
n
), lim(x
n

) = a , đều có lim[f(x
n
)]=
∞

thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:
( )
lim
x a
f x
→
 
= ∞
 
.
b) Nếu với mọi dãy số (x
n
) , lim(x
n
) =
∞
đều có lim[f(x
n
)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi
x dần tới vô cực, kí hiệu:
( )
lim
x
f x L
→∞

 
=
 
.
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x
n
), mà x
n
> a
*
n∀ ∈¥
, thì ta
nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :
( )
lim
x a
f x
+
→
 
 
. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số
(x
n
), x
n
< a
*
n∀ ∈¥
thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu:

( )
lim
x a
f x
−
→
 
 
Trang 6
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
1. Giới hạn của hàm số dạng:
( )
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
 
 ÷
 
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)
2
.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
2. Giới hạn của hàm số dạng:

( )
( )
lim
x
f x
g x
→∞
∞
 
 ÷
∞
 
o Chia tử và mẫu cho x
k
với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu
x → +∞
thì coi như x>0, nếu
x → −∞
thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
lim . 0.
x
f x g x
→∞
 
∞
 
. Ta biến đổi về dạng:
∞

 
 ÷
∞
 
4. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
lim -
x
f x g x
→∞
 
− ∞ ∞
 
o Đưa về dạng:
( ) ( )
( ) ( )
lim
x
f x g x
f x g x
→∞
−
+
C. CÁC VÍ DỤ
1.
( ) ( )
( )
2
2
2

2 3 2 2
3 2 12
lim 3
2 2 2 4
x
x x
x
→−
− − − +
− +
= = − = −
− − −
2.
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 1
3 2
lim lim lim 1 2 1 1
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
− −
− +
= = − = − =

− −
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
3.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3 3
1 2 1 2 3 3 1 4 3 3
1 2
lim lim lim
3 3
3 3 1 2 3 3 3 3 1 2
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x
→ → →
+ − + + + + − +
+ −
= =
−
− + + + − + +
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
3 3
3 3 3 3 3 3.3 3
6 1
lim lim
12 2
3 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
x x
x x x
x x x
→ →
− + + +
= = = = =
− + + + + + +
4.
2
3
3 1
lim
3
x
x x
x
→
− +
= ∞

−
(vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể:
2
3
2
3
3 1
lim
3
3 1
lim
3
x
x
x x
x
x x
x
+
−
→
→

− +
= +∞


−

− +


= −∞

−

5.
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
3 2
2
3 2
1 1 1
1 2 1 2 1
2 1
lim lim lim
4 5 2 1 2
1 2
x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
→ → →
− + + + +
− −
= = = ∞

− + − − −
− −
.
Trang 7
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
6.
2
2
2 2
2
2
2
2
2 3 1 3
2
2 3 2
lim lim lim 2
1
1
1 1
1
x x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
→∞ →∞ →∞

− +
− +
− +
= = = =
+
+
+
7.
1
lim 1 0
x
x
+
→
− =
8.
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x
x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+

+
= = + =
9.
2
2 2
2
1 1
1 1
1 1
lim lim lim lim 1 1
x x x x
x x
x
x x
x x x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ − +
 
+
= = = − + = −
 ÷
 ÷
 
.
10.Cho hàm số :
( )
( )
( )
2
3 x 1

x+a
x>1
x
x x
f x

− + ≤

=



. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và
tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có :
( )
( )
2
1 1
lim lim 3 3
x x
f x x x
− −
→ →
 
= − + =
 
.
( )

1 1
lim lim 1
x x
x a
f x a
x
+ +
→ →
+
 
= = +
 
Vậy
( )
1
lim 3 1 3 2
x
f x a a
→
 
= ⇔ + = ⇔ =
 
11.
( )
( )
( )
2
3
2
2 2 2

2 2 4
8
lim lim lim 2 4 12
2 2
x x x
x x x
x
x x
x x
→ → →
− + +
−
= = + + =
− −
. Dạng
0
0
 
 ÷
 
.
12.
3
3
3 2 3
3
3
3
3
2 1 2 1

1
2 1 1
lim lim lim
1
2 1
2 1 2
2
x x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
→∞ →∞ →∞
+ −
+ −
+ −
= = =
+
+
+
. Dạng
∞
 
 ÷
∞
 
.

13.
( )
( )
( )
2
2
2
2
3 3 3
3 3 3
2
2 3 1
2 3 1
2
lim 3 1 lim lim
. 1 . 1 . 1
x x x
x x
x x
x
x x
x x x x x x
x
→∞ →∞ →∞
− +
− +
 
− + = =
 ÷
+ + +

 
2
3
3
1 1
2 3
6
lim 6
1
1
1
x
x x
x
→∞
 
− +
 ÷
 
= = =
+
Trang 8
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
14.
(
)
(
)
(
)

2 2
2 2
2
2 2
3 3
3
lim 3 lim lim
3 3
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ + − + + +
+ + −
+ + − = =
+ + + + + +

2 2
2
3 3
1
3 1
lim lim lim
2
1 3
3 3
1 1
x x x

x
x
x x
x x x x x x
x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
+
= = = =
+ + + + + +
+ + +
. Dạng
( )
∞ − ∞
.
D. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính giới hạn của các hàm số
( )
( )
2 2 2
2
x 1 x 1 x 1 x 1
3
2
2
2
x 2 x x x
x 3x 2 x 5x 4 x 3x 4 1

1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4)lim ;
x 1 x 3x 2 x 1
5 x
x 1 x 1 3
5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim x x 1 .
x 1 2x 1
x 2
→− →− →− →
→ →+∞ →+∞ →−∞
+ + + + − −
+ + + +
−
+ +
+ −
+ +
−
Bài 2: Tính các giới hạn sau
1)
2
1
lim( 2 1)
x
x x
→−
+ +
2)
1
lim( 2 1)
x
x x

→
+ +
3)
( )
2
3
lim 3 4
→
−
x
x
4)
1
1
lim
2 1
x
x
x
→
+
−
; 5)
2
5
1
1
lim ;
2 3
→−

+ +
+
x
x x
x
Bài 3: Tính các giới hạn sau
( )
2 2
2 2
x 1 x 3 x 1
3
2
3 2
x 1 x 0 x 1
3 2 3 2
2 2
x 2 x 3
x 1 x 3 x 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x 1 x 2x 15 x 2x 3
x 2 8
x x 2x 3x 1
4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;
x x x x 1
x 1
x x 2x 8 x 4x 4x 3
7)lim ; 8) lim ;
x 3x 2 x 3x
→ → →
→ → →

→ →
− − −
− + − + −
− +
− − +
− − +
−
+ − − − + −
− + −
2 3
2 3
x 3 x 2
x 5x 6 x 3x 9x 2
9)lim ; 10)lim ;
x 8x 15 x x 6
→ →
− + + − −
− + − −
Bài 4: Tính các giới hạn sau
2
x 0 x 1 x 7
2
2
x 6 x 5 x 2 x 2
x 4 2 x 3 2 2 x 2
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x x 1 x 49
x 2 2 x 4 3 x 5 3 x 2 2
4)lim ; 5)lim ; 6)lim ; 7)lim
x 6 x 25 x 2

x 7 3
→ → →
→ → → →
+ − + − − −
− −
− − + − + − + −
− − −
+ −
Bài 5: Tính các giới hạn sau
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
− +
− + − +
− + −
+ +
− − − − −
−
−
+
2 2
5 3
5 4 2
2 2
5
2
2 3 4 7

6 7 4 3
1) lim ; 2) lim ;
8 5 2 1
3 1 10 9
1 2 3 4 5
4 1
3) lim ; 4) lim
5 1
4 3
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x
x
x
Bài 6: Tính các giới hạn sau
Trang 9
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
( )
( )
(
)
(
)
2
x x

2 2
x x
1) lim x 1 x ; 2) lim x x 1 x ;
3) lim 2x 1 x ; 4) lim x x 1 x
→+∞ →+∞
→−∞ →+∞
+ − + + −
+ + + −
Bài 7 : Cho hàm số
( )


=

− ≥ −


3
2
x víi x<-1
f x
2x 3 víi x 1
. Tìm
( ) ( ) ( )
− +
→
→ →
x 1
x 1 x 1
lim f x , lim f x vµ lim f x

(nếu có).
Bài 8:Tìm các giới hạn sau:
a)
( )
3 2
0
lim 4 10
x
x x
→
+ +
b)
( )
2
3
lim 5 7
x
x x
→
−
c)
2
1
5
lim
5
x
x
x
→−

+
+
d)
2
3
2 15
lim
3
x
x x
x
→
+ −
−
e)
2
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
−
f)
3 2
1

1
lim
1
x
x x x
x
→
− + −
−
g)
4 4
lim
x a
x a
x a
→
−
−
h)
2
7
3 3
lim
2
x
x x
x
→
− −
+

Bài 9: Tìm các giới hạn :
a)
2
0
1 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + +
b)
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −
c)
3
0
1 1
lim
3
x
x

x
→
− −
d)
3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x
→−
+
+ −
e)
( )
2
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→
− +
−

f)
2
3 2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x x x
→
− +
− − +
g)
2
3
4 3
lim
3
x
x x
x
→
− +
−
h)
( )
6 5
2
1

4 5
lim
1
x
x x x
x
→
− +
−
i)
3
2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x
x x
→
+ − +
− +
a)
( ) ( )
2
sin 2 2cos
lim
1
x
x x

x x
→∞
+
+ +
.
Bài 10: Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x
0
và xét xem
( )
0
lim
x x
f x
→
 
 
có tồn
tại không trong các trường hợp sau:
a)
( )
( )
( )
2 1
x>1
5 3 x 1
x
x
f x
x
−



=


+ ≤

tại x
0
= 1
b)
( )
( )
( )
2
2
2
x>1
1
1 x 1
x x
f x
x
x x

+ −

=
−



+ + ≤

tại x
0
= 1
Trang 10
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
c)
( )
( )
( )
2
4
x<2
2
1 2 x 2
x
f x
x
x

−

=
−


− ≥


tại x
0
= 2
d)
( )
3
2
3 2
5 4
x x
f x
x x
− +
=
− +
tại x
0
= 1
Chủ đề 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x
0

∈
(a;b)
nếu:
( ) ( )
0
0

lim
x x
f x f x
→
 
=
 
.Điểm x
0
tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm
số.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b)
liên tục tại điểm x
0

∈
(a;b)
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0
lim lim lim
x x
x x x x
f x f x f x f x
+ −
→
→ →
     
⇔ = = =

     
.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên
khoảng (a;b) và
( ) ( )
( ) ( )
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→

 
=
 


 
=

 

2. Một số định lý về hàm số liên tục:

o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x
0
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, . , 0
f x
f x g x f x g x g x
g x
± ≠

cũng liên tục tại x
0
.
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa
GTLN và GTNN trên đoạn đó.
• Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c
∈
(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( ) ( )
( )
0
0

x x

a x=x
g x
f x

≠

=



o Tìm
( )
0
lim
x x
g x
→
 
 
.Hàm số liên tục tại x
0

( )
0
lim
x x
g x a
→

 
⇔ =
 
.
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
0
x<x
x=x
x>x
g x
f x a
h x


=



Trang 11
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
o Tìm :
( ) ( )
( ) ( )
( )

0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
− −
+ +
→ →
→ →

   
=
   


   
=

   



. Hàm số liên tục tại x = x
0
( ) ( ) ( )

0 0
0
lim lim
x x x x
f x f x f x a
+ −
→ →
   
⇔ = = =
   
.
3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có
hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm.
C. CÁC VÍ DỤ.
1. Cho hàm số:
( )
( )
( )
2
1
x 1
1
a x=1
x
f x
x


−
≠

=
−



a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số
tại x
0
= 1.
Giải
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(1) = a.
( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
x x
x
x
x x
→ → →

− +
−
= = + =
− −
Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x
0
= 1.
Nếu a
≠
2 thì hàm số gián đoạn tại x
0
= 1.
2. Cho hàm số:
( )
( )
( )
2
1 x 0
x x 0
x
f x

+ >

=

≤


. Xét tính liên tục của hàm số tại x

0
= 0.
Giải
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0
( )
( )
( )
( )
0 0
2
0 0 0 0
lim lim 0
lim lim 1 1 0= lim lim
x x
x x x x
f x x
f x x f x x
− −
+ + − −
→ →
→ → → →
 
= =
 
   
= + = ≠ =
   
.
Vậy hàm số không liên tục tại x

0
= 0.
3. Cho hàm số:
( )
( )
( )

+ ≥

=

<


2
2 x 1
x +x-1 x 1
ax
f x
. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Giải
x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.
x <1 ta có f(x) = x
2
+x-1 hàm số liên tục.
Khi x = 1:
Trang 12
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
Ta có f(1) = a+2
( ) ( )

( )
( )
1 1
2
1 1
lim lim 2 2
lim lim 1 1
x x
x x
f x ax a
f x x x
+ +
− −
→ →
→ →
 
= + = +
 
 
= + − =
 
.
Hàm số liên tục tại x
0
= 1 nếu a = -1.
Hàm số gián đoạn tại x
0
= 1 nếu a
≠
-1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên
( ) ( )
;1 1;−∞ ∪ +∞
nếu a
≠
-1.
D. BÀI TẬP
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
( ) ( )
 
− + −
≠ ≠
 
= =
− −
 
 
 
2 3
x 3x 2 x 1
víi x 2 víi x 1
1)f x t¹i ®iÓm x=2; 2)f x t¹i ®iÓm x=1;
x 2 x 1
1 víi x=2 2 víi x=1
( )

+ ≠ −

=




2
x 1 víi x 1
3)f x t¹i ®iÓm x=-1;
1
víi x=-1
2

( )

−
≠

=
+


−

2
x 4
víi x -2
4)f x t¹i ®iÓm x=-2.
x 2
4 víi x=-2
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1

( )
+



=

−
≠

 −
2
x a víi x=1
f x ;
x 1
víi x 1
x 1
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
( ) ( )
( )
 
+ ≤ + <
= =
 
− + ≥
 

− ≤

=




2 2
2
3
x 1víi x 1 x 4 víi x 2
1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2;
x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2
4 3x víi x -2
3) f x t¹i ®iÓm x=-2.
x víi x>-2
.
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0
( ) ( )
2 2
x a khi x 0 x 2a khi x 0
a)f x ; b)f x .
x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0
+ < + <
 
= =
 
+ ≥ + + ≥
 
Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số sau trên
R
( )

+
≠

=

+



3
x 8
víi x 2
f x
4x 8
3 víi x=2
Bài 6: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó
( ) ( )
 
+ <
= =
 
≥ ≥
 
2 2
x x khi x 1 x víi x<1
1)f x ; 2)f x ;
ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1
Bài 7: Chứng minh rằng:
1)Phương trình
+ − =
5
x x 1 0
có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).
2)Phương trình
− − =

3 2
1
x 1000x 0
100
có ít nhất một nghiệm dương.
Trang 13
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
3)Phương trình
− + − =
4 2
x 3x 5x 6 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
4)Phương trình
+ + =
3
x x 1 0
có ít nhất một nghiệm lớn hơn -1.
5)Phương trình
4 2
4x 2x x 3 0+ − − =
có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1).
6)Phương trình
− + =
3
2x 6x 1 0
có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2; 2).
Bài 8: Chứng minh rằng phương trình:
a) 3x
2
+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm

b) 4x
4
+2x
2
-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).
c) x
3
-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.
d) x
4
-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).
e) 2x
3
-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].
Bài 9:
Xét tính liên tục tại x
0
của các hàm số f(x)
trong các trường hợp sau:
a)
( )
( )
( )

− −
≠

=
−



=

1 2 3
x 2
2
mx+2 x 2
x
f x
x

tại x
0
= 2
b)
( )
( )
( )

≠

=
−


=

3 2
-x +2x-2
x 1

1
1-m x 1
x
f x
x
x

tại x
0
= 1.

Trang 14
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
Chuyên đề: ĐẠO HÀM
Chủ đề 1: Đạo hàm
A. KIẾN THỨC:
Trang 15
I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khỏang (a; b), x
0
∈
(a; b). nếu tồn tại giới hạn
( hữu hạn)
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x

x x
→
−
−
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số
y=f(x) tại điểm x
0
, kí hiệu f
/
(x
0
) hoặc y
/
(x
0
), tức là:

0
0 0 0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
x x x
f x x f x f x f x
f x
x x x
∆ → →
+ ∆ − −

= =
∆ −
II.ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHỎANG:
Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khỏang (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
x trên khỏang đó .Kí hiệu: y
/
hoặc f
/
(x)
III. QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ:
Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì nó lien tục tại điểm đó. Nghĩa là
III. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM:
Nếu tồn tại f
/
(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại
điểmM
0
(x
0
;y
0
). Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0
là y-y
0
=f

/
(x
0
)(x-x
0
) hay
y= f
/
(x
0
)(x-x
0
)+y
0
IV. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Chú ý
Qui tắc 1:
Qui tắc 2:
Qui tắc 3:
Qui tắt 4:
Qui tắc 5:
V. CÁC ĐẠO HÀM CẦN NHỚ
VI. ĐẠO HÀM CẤP n:
Sai
Đúng
Hàm số
y=f(x)
có đạo
hàm tại
điểm x
0

Hàm số
y=f(x)
liên tục
tại
điểm x
0
(u+v)
/
= u
/
+v
/
(u-v)
/
= u
/
- v
/
(u.v)
/
=u
/
v +uv
/
/
/ /
2
.u u v uv
v
v

−
 
=
 ÷
 
1). (ax+b)
/
=a
/
2
2).
( )
ax b ad bc
cx d
cx d
+ −
 
=
 ÷
+
+
 
/
/
2
1 u
u
u
 
= −

 ÷
 
(k.u)
/
=k.u
/
(k hẳng số)
1).(C)
/
=0 (C là hằng số) 3). (x
2
)
/
=2x 4). (x
3
)
/
=3x
2
5). (x
4
)
/
=4x
3
2).(x)
/
= 1
f
(n)

(x)= (f
(n-1)
(x))
/

; 2)n n∈ ≥¥
( GV biên soạn : Thầy Trương Quang Thiện)
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP ĐẠO HÀM HỢP
/ 1
( ) . ( ; 1)
n n
x n x n n
=
= ∈ >¥
/ / 1
( ) . ( ; 1)
n n
u n u u n n
=
= ∈ >¥
/
2
1 1
( 0)x
x
x
 
= − ≠
 ÷

 
/
/
2
1
u
u
u
 
= −
 ÷
 
/
1
( ) (x>0)
2
x
x
=
/
/
( )
2
u
u
u
=
(sinx)
/
=cosx (sinu)

/
=u
/
.cosu
(cosx)
/
=-sinx (cosu)
/
=-u
/
.sinu
/
2
1
(tan )
cos
x
x
=
/
/
2
(tan )
cos
u
u
u
=
/
2

1
(cot )
sin
x
x
= −
/
/
2
(cot )
sin
u
x
u
= −
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Xét dấu đạo hàm:
Ví dụ 1: Xét dấu f
/
(x) của các hàm số:
1). y=2x+3 2). y=4-5x 3) .y= x
2
-2x+2 4) y.= -2x
2
+x
Giải:
1). y=2x+3
TXĐ : D=
¡
y

/
=2 >0
Giới hạn :
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên :
Vậy y
/
>0 trên
¡
2). y=4-5x
TXĐ : D=
¡
y
/
=-5 <0
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
Trang 16
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
1. TXĐ
2. Tính y
/

3. Giới hạn
4. Bảng biến thiên
5. Kết luận: y
/
>0; y
/
<0; y
/
=0
x-§+§y
/
+
y
-§+§