chuyen de ham so mu logarit phan 4

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT </b>

<b> </b>

<b>LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777</b>

<b>Page 1 </b>

<b>PHA ̀N 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT </b>

<b>HÀM SỐ LŨY THỪA</b>

<b>A.</b> <b>Tóm tắt lý thuyết: </b>

I. Hàm số mũ: 𝑦 = 𝑎𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1)
 _{Tâ ̣p xác đi ̣nh:}𝐷 = ℝ.

 Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥_{liên tu}_{̣c trên ℝ (∀𝑥}

𝑜 ∈ ℝ; lim𝑥→𝑥𝑜𝑎𝑥 = 𝑎𝑥𝑜)
 _{Tâ ̣p giá tri ̣:}(0; +∞)

 _{Đa ̣o hàm:}

𝑎𝑥 ′ _{= 𝑎}𝑥_{. ln 𝑎 ; 𝑒}𝑥 ′ _{= 𝑒}𝑥_(lim
𝑥→0

𝑒𝑥− 1
𝑥 = 1)
Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 : 𝑎𝑢 ′ _{= 𝑢}′_{. 𝑎}𝑢_{. ln 𝑎 ; 𝑒}𝑢 ′ _{= 𝑢. 𝑒}𝑢
 Chiều biến thiên:

𝑎 > 1: 𝑦′ = 𝑎𝑥. ln 𝑎 > 0, ∀𝑥 (vì 𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥 và ln 𝑎 > 0) ⇒ 𝑦′ đồng biến trên ℝ.
0 < 𝑎 < 1: 𝑦′ _{= 𝑎}𝑥_{. ln 𝑎 < 0, ∀𝑥 (vì 𝑎}𝑥 _{> 0, ∀𝑥 và ln 𝑎 < 0) ⇒ 𝑦′ nghịch biến trên ℝ.}
 _{Giới ha ̣n:}

𝑎 > 1: lim𝑥→−∞𝑎𝑥 = 0; lim𝑥→+∞𝑎𝑥 = +∞ đồ thị của hàm số có tiê ̣m câ ̣n ngang là tru ̣c hoành
0 < 𝑎 < 1: lim𝑥→−∞𝑎𝑥 = +∞; lim𝑥→+∞𝑎𝑥 = 0 đồ thị của hàm số có tiê ̣m câ ̣n ngang là tru ̣c hoành
 Đồ thị:

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥_{luôn cắt tru}_{̣c tung ta ̣i điểm (0; 1) nằm trên tru}_{̣c 𝑂𝑥 (𝑎}𝑥 _{> 0, ∀𝑥) và tiệm cận}
với tru ̣c 𝑂𝑥.

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = 1
𝑎

𝑥

đối xứng với đồ thi ̣ 𝑦 = 𝑎𝑥 qua trục 𝑂𝑦.
II. Hàm số logarit: 𝑦 = log𝑎𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1)

 _{Tâ ̣p xác đi ̣nh:}𝐷 = (0; +∞).

 Hàm số 𝑦 = log_𝑎𝑥 liên tục trên 0; +∞ (∀𝑥_𝑜 ∈ 0; +∞ : lim_{𝑥→𝑥𝑜} log𝑎𝑥 = log𝑎𝑥𝑜)
 _{Tâ ̣p giá tri ̣:}ℝ

 _{Đa ̣o hàm:}
log_𝑎𝑥 ′ ₌ 1

𝑥. ln 𝑎; ln 𝑥
′ ₌ 1

𝑥 (lim𝑥→0

ln 𝑥 + 1

𝑥 = 1; ∀𝑥 ∈ 0; +∞ )
Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 > 0: log𝑎𝑢 ′ =

𝑢′

𝑢.ln 𝑎; ln 𝑢
′ ₌𝑢′

𝑢.
Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 ≠ 0: ln 𝑢 ′ ₌ 𝑢′

𝑢 ; log𝑎 𝑢
′ ₌ 𝑢′

𝑢.ln 𝑎
 Chiều biến thiên:

𝑎 > 1: 𝑦′ = 1

𝑥.ln 𝑎 > 0, ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ⇒ 𝑦′ đồng biến trên 0; +∞ .
0 < 𝑎 < 1: 𝑦′ ₌ 1

𝑥.ln 𝑎 < 0, ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ⇒ 𝑦′ nghịch biến trên 0; +∞ .
 _{Giới ha ̣n:}

𝑎 > 1: lim_𝑥→0+ log_𝑎𝑥 = −∞; lim_𝑥→0− log_𝑎𝑥 = +∞
0 < 𝑎 < 1: lim_𝑥→0+ log_𝑎𝑥 = +∞; lim_𝑥→0− log_𝑎𝑥 = −∞
 Đồ thị:

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = log𝑎𝑥 nhận tru ̣c tung tiê ̣m câ ̣n đứng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT </b>

<b> </b>

<b>LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777</b>

<b>Page 2 </b>

III. Hàm số lũy thừa: 𝑦 = 𝑎𝛼 (𝛼 là hằng số thực tùy ý)
 _{Tâ ̣p xác đi ̣nh:}𝐷 = ℝ₊∗

Trừ các trường hợp sau:

 Hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛_{(𝑛 ∈ ℕ}∗_{) xác định ∀𝑥 ∈ ℝ}

 Hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛_{(𝑛 ∈ ℤ}−_{∨ 𝑛 = 0) xác định ∀𝑥 ≠ 0}
 Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

Chú ý: 𝑛 𝑥 = 𝑥
1

𝑛 nếu 𝑥 > 0. do đó hàm số 𝑦 = 𝑥
1

𝑛_{không đồng nhất vơ}́ i hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗)
Ví dụ: 𝑦 = 𝑥3

xác định ∀𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 = 𝑥13 xác định ∀𝑥 > 0
 _{Đa ̣o hàm:}

hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑎𝛼_{(𝛼 ∈ ℝ) có đạo hàm tại mọi điểm 𝑥 > 0 và 𝑥}𝛼 ′ _{= 𝛼. 𝑥}𝛼 −1
nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 > 0: 𝑢𝛼 ′ _{= 𝛼. 𝑢}𝛼−1_{. 𝑢}′

 _{Chiều biến thiên và đồ thi ̣:}𝑦′ _{= 𝛼. 𝑥}𝛼 −1_{(𝑥 ∈ (0; +∞))}
𝛼 > 0 ⇒ 𝑦 đồng biến trên 0; +∞ .

𝛼 < 0 ⇒ 𝑦 nghịch biến trên 0; +∞ .

Do 1𝛼 = 1, nên đồ thị hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1; 1)

<b>B.</b> <b>Các loại bài tập: </b>

1. Loại 1: HÀM SỐ MŨ
1) Khảo sát và vẽ đồ thị:

a. 𝑦 = 3𝑥
b. 𝑦 = 1
3

𝑥

c. 𝑦 = −3 𝑥
d. 𝑦 = 3 𝑥

e. 𝑦 = 0,4𝑥
f. 𝑦 = 2,5𝑥
g. 𝑦 = −0,4 𝑥
h. 𝑦 = 2,5 𝑥
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 2𝑥 trên đoạn −1; 2
3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 2 𝑥 trên đoạn −1; 1
4) Chứng minh rằng hàm số 𝑦 =2𝑥−2−𝑥

3 đồng biến trên ℝ.

5) Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a. 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 2 𝑒𝑥
b. 𝑦 = sin 𝑥 − cos 𝑥 𝑒2𝑥
c. 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥_+𝑒−𝑥
d. 𝑦 = 2𝑥 − 𝑒𝑥
e. 𝑦 = 2𝑥3𝑥4𝑥
f. 𝑦 = 3𝑥

2𝑥₄𝑥
g. 𝑦 = 5𝑥 2𝑥2
h. 𝑦 =𝑥3+2𝑥

𝑒𝑥

i. 𝑦 =ln 3.sin 𝑥+cos 𝑥
3𝑥

j. 𝑦 =𝑒−𝑥 2
2𝑥

k. 𝑦 = 𝑥2_{. 2}−𝑥 2_{𝑎 2}

l. 𝑦 = 𝑥. 𝑒
𝑥
2

m. 𝑦 = 2ln 𝑥𝑥

n. 𝑦 = 3sin23𝑥
o. 𝑦 = 10𝑥 .tan 𝑥
p. 𝑦 = 101−sin43𝑥
q. 𝑦 = 𝑥. 𝑒cos 𝑥+sin 𝑥
r. 𝑦 = 𝑒𝑥3. cos2 𝑥

3

s. 𝑦 = sin2 𝑒𝑥2+3𝑥−2
t. 𝑦 = 𝑎. 𝑒−𝑥𝑎 + 𝑥. 𝑒−

𝑥
𝑎

u. 𝑦 =𝑎
2 𝑒

𝑥
𝑎 + 𝑒−

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT </b>

<b> </b>

<b>LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777</b>

<b>Page 3 </b>

6) Cho 𝑓 𝑥 = 4𝑥
4𝑥₊₂

a. Cho 𝑎 + 𝑏 = 1. tính 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)
b. Suy ra: 𝑆 = 𝑓 1

2007 + 𝑓
2

2007 + ⋯ + 𝑓
2006
2007
2. Loại 2: HÀM SỐ LOGARIT

1) Tìm tập xác định của các hàm số:
a. 𝑦 = log₃ 𝑥2_{+ 2𝑥}

b. 𝑦 = log₉₂ 4 − 𝑥2
c. 𝑦 = log₂ 1

3−𝑥
d. 𝑦 = 2

log4𝑥−3
e. 𝑦 = log₂ 3

10−𝑥
f. 𝑦 = log3 2 − 𝑥 2
g. 𝑦 = log₂1−𝑥

1+𝑥
h. 𝑦 = log3 𝑥 − 2

i. 𝑦 = 2𝑥−3
log5𝑥−2

j. _{𝑦 = log}1
2

𝑥
𝑥2₋₁

k. 𝑦 = log1
2

−𝑥2_{+ 4𝑥 + 5}
l. 𝑦 = 1

log2𝑥−1

m. 𝑦 = log(𝑥2+ 3𝑥 + 2)
n. 𝑦 = log1

3
𝑥−1
𝑥+1

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. 𝑦 = log2𝑥

b. 𝑦 = log1
2

𝑥
c. 𝑦 = log2𝑥

d. 𝑦 = log2 𝑥 + 1
e. 𝑦 = log₄ 𝑥

3) Chứng minh rằng hàm số: 𝑦 = log1
2

𝑥 − log1
2

(𝑥 + 1) đồng biến trên tập số thực dương.
4) Tìm các đa ̣o hàm:

a. 𝑦 =ln 𝑥
𝑥
𝑛

b. 𝑦 = ln sin 𝑥
ln cos 𝑥

c. 𝑦 = 𝑥2−1
log2𝑥

d. 𝑦 = ln 𝑒4𝑥
𝑒4𝑥₊₁
e. 𝑦 = 𝑥2_{. log}

3𝑥

f. 𝑦 = ln 𝑒𝑥_{cos 𝑥 + 𝑒}−𝑥_{sin 𝑥}
g. 𝑦 = ln4 sin 2𝑥

h. 𝑦 = 1 + ln sin 𝑥 2008
i. 𝑦 = log₂ ln 2𝑥

j. 𝑦 = log2 log3 log5𝑥
k. 𝑦 = ln tan 𝑥

2+
𝜋
4
l. 𝑦 = log₂ sin 2𝜋𝑥 +𝜋

2
m. 𝑦 = ln sin 1 + 𝑥2
n. 𝑦 = sin2 ln 𝑎3 _{+ 𝑥}3
o. 𝑦 = ln 1+𝑥2

1−𝑥2

p. 𝑦 = ln 𝑥+ 1−𝑥2
𝑥
q. 𝑦 = sin2 1−ln 𝑥

𝑥
r. 𝑦 = ln tan 𝑥 − 1

2 sin2_𝑥
s. 𝑦 = ln 𝑥2+𝑎2+𝑥

𝑥2_+𝑎2_−𝑥

t. 𝑦 = 1

2 6ln
𝑥 3− 2
𝑥 3+ 2
u. 𝑦 = ln 1

𝑥+ 𝑥2₋₁

v. 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥2_{− 1 −} 𝑥
𝑥2₋₁

w. 𝑦 = ln 1+𝑒𝑥−1
1+𝑒𝑥₊₁
x. 𝑦 = 𝑥2 _{+ 1 − ln}1

𝑥+ 1 +
1
𝑥2
y. 𝑦 = ln sin 2𝑥

1−sin 2𝑥
z. 𝑦 =𝑥

2 𝑥

2_{+ 𝑎 +}𝑎

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT </b>

<b> </b>

<b>LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777</b>

<b>Page 4 </b>

3. Loại 3: HÀM SỐ LŨY THỪA

1) Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a. 𝑦 = 𝑥3

b. 𝑦 = 𝑥4
c. 𝑦 = 𝑥
d. 𝑦 = 𝑥3

e. 𝑦 = 𝑥−4
f. 𝑦 = 𝑥𝜋2

2) Tìm tập xác định các hàm số:
a. 𝑦 = 3 𝑥 − 1 −3

b. 𝑦 = 𝑥2− 4𝑥 + 3 −2
c. 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 14
d. 𝑦 = 𝑥4 2_{− 3𝑥 − 4}

e. 𝑦 = 𝑥3− 8 𝜋3
f. 𝑦 = 𝑥2+ 𝑥 − 6 −13

3) Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. 𝑦 = 3𝑥 + 1 𝑒

b. 𝑦 = 𝑥3
c. 𝑦 = ln3 2_2𝑥
d. 𝑦 = cos 𝑥3

e. 𝑦 = 1

𝑥2_−4𝑥+32
f. 𝑦 = 𝑥3_{− 8}𝜋₃
g. 𝑦 = 1

𝑥2_+𝑥−6
3

h. 𝑦 = 𝑥4 3_{− 3𝑥}2_{+ 2𝑥}
i. 𝑦 = 𝑥+1 3 𝑥−2

4
𝑥−3 2
5

j. 𝑦 = 1 + ln 3𝑥 3
k. 𝑦 = 1 + ln3 3_𝑥
l. 𝑦 = ln sin 1−𝑥

4
3

m. 𝑦 = 4𝑥5+2
9

3𝑥4
n. 𝑦 = 1

𝑥+ 𝑥

3

o. 𝑦 = 1+𝑥3
1−𝑥3
3

p. 𝑦 = sin3 2_𝑥₊ 1
cos3_𝑥
q. 𝑦 = 𝑥5_{. 𝑥}3 6 _{− 8}
r. 𝑦 = 2𝑥4 _{− 3𝑥} 3_𝑒3𝑥
s. 𝑦 =tan 𝑥

𝑥2
3

t. 𝑦 =ln 𝑥
𝑥
𝑛

u. 𝑦 = 1 + sin4 2_3𝑥3

4) Cho 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥3 2₊16

𝑥2. Tính 𝐴 = 12. 𝑓

</div>

<!--links-->