Không gian lồi địa phương và định lý krein milman

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

Sinh viên thực hiện:

HỒNG GIA MINH CHÂU

Tên đề tài:

KHƠNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG
VÀ ĐỊNH LÝ KREIN - MILMAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Sư phạm Tốn

Người hướng dẫn: TS. Lê Hồng Trí

Đà Nẵng - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu
sắc tới Tiến sĩ Lê Hồng Trí - người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hồn thành
khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo trong
khoa Tốn trường Đại Học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã dạy bảo em tận tình trong
suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực
hiện khóa luận tốt nghiệp.

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Gia Minh Châu


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả cơng trình nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của TS. Lê Hồng Trí.
Trong khi nghiên cứu hồn thành bản khóa luận này, em đã tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Gia Minh Châu

2


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Mục đích nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Cấu trúc khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. Không gian vectơ topo lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.Những đặc tính sơ cấp và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.Không gian khả metric và khả chuẩn lồi địa phương . . . . . . . . . . .

20

1.3.Một số hệ quả hình học của định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . .

23

Chương 2. Định lý Krein - Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.Tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.Định lý Krein - Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3


Lời mở đầu

Lý do chọn đề tài:

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỷ XX và đến nay
vẫn được xem như là một ngành tốn học cổ điển trong nền tốn học. Trong q
trình phát triển của mình, giải tích hàm đã tích lũy được những nội dung hết sức
phong phú; những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã tích lũy được
nội dung hết sức phong phú; những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã
xâm nhập vào tất cả các ngành tốn học có liên quan, sử dụng đến cơng cụ giải tích
và khơng gian vectơ. Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành
tốn học.
Với mong muốn đưc tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này cùng với sự hướng dẫn của
thầy giáo - TS. Lê Hồng Trí, em đã chọn đề tài:"Không gian lồi địa phương và định
lý Krein - Milman"

Mục đích nghiên cứu:
Làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về khơng gian lồi địa
phương, một nội dung bao hàm nhiều tính chất đặc trưng, tổng quát của giải tích
hàm và định lý Krein - Milman.

4


Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là định nghĩa và các đặc tính của khơng gian lồi địa phương
như đặc tính sơ cấp, điều kiện khả metric, khả chuẩn của không gian lồi địa phương,
các hệ quả hình học của định lý Hahn-Banach.
Nghiên cứu định lý Krein - Milman, cách chứng minh định lý và một số vấn đề
liên quan.

Nhiệm vụ nghiên cứu:
Với mục đích ở trên, nhiệm vu nghiên cứu là:
• Nghiên cứu định nghĩa và một số đặc tính của khơng gian lồi địa phương.

• Nghiên cứu về khơng gian đối ngẫu và topo yếu trên khơng gian đối ngẫu.
• Nghiên cứu cách chứng minh định lý Krein - Milman

Phương pháp nghiên cứu:
• Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu
• Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

Cấu trúc khóa luận:
Khóa luận bao gồm lời mở đầu, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo.
• Chương 1 của khóa luận trình bày một số kết quả đã biết về các khơng gian lồi
địa phương, những đặc tính sơ cấp, không gian lồi địa phương khả metric và
khả chuẩn, và một số hệ quả hình học của định lý Hahn-Banach.
• Chương 2 của khóa luận trình bày một số kết quả về tính đối ngẫu và định lý
Krein - Milman cùng một số vấn đề liên quan.

5


Do thời gian thực hiện khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khi làm
khóa luận khơng tránh khỏi những hạn chế. Em mong nhận được sự góp ý và những
ý kiến phản biện của quý thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Gia Minh Châu

6


Chương 1

Không gian vectơ topo lồi địa
phương
X là một không gian vectơ topo nếu X vừa là không gian vectơ, vừa là không
gian topo sao cho phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một số là các phép
tốn liên tục. Mỗi khơng gian vectơ topo được gọi là lồi địa phương nếu mỗi lân cận
của 0 thì tồn tại một lân cận lồi của 0 được chứa trong đó.

1.1.

Những đặc tính sơ cấp và ví dụ

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là khơng gian vectơ. Khi đó X là không gian vectơ topo
nếu X cùng với 1 topo m tha món:
ã nh x
:X ìX X
(x, y) x + y
liờn tc.
ã nh x
:FìX X
(, y) x
liờn tục.

7


Ví dụ: Khơng gian định chuẩn là một khơng gian vectơ topo.
Chúng minh:
Cho (X,||.||) là không gian định chuẩn.
Gọi d là metric cảm sinh từ ||.|| (chọn d(x,y)=||x-y||).
Khi đó, d là metric cảm sinh topo T trên X.

Nhận thấy, phép cộng vectơ (+):
X ×X →X
(x, y) → x + y
liên tục với topo T.
Phép nhân (.):
F×X →X
(α, y) → αx
liên tục với topo T Do đó X là một khơng gian vectơ topo.
Ví dụ: Khơng gian Banach, khơng gian Hilbert đều là không gian vectơ topo.
Chúng minh: Tương tự chứng minh trên.
Mệnh đề 1.1.1. Cho X là không gian vectơ topo và P là họ các nửa chuẩn trên
X. Cho T là topo trên X có cơ sở topo con gồm các tập {x ∈ X : p(x − x0 ) < ε} với
p ∈ P, x0 ∈ X, ε > 0.
Ta có tập U ⊆ X mở khi và chỉ khi ∃p1 , p2 , ..., pn ∈ P, ∃ε1 , ε2 , ..., εn > 0 sao cho
n

{x ∈ X : pj (x − x0 ) < εj } ⊂ U .
j=1

Chứng minh:
Phải chứng minh trên X có topo T thỏa mãn hai điều kiện.
(1) Chứng minh ánh xạ
ϕ:X ×X →X
(x, y) → x + y
liên tục với topo T.
∀(x0 ; y0 ) ∈ X × X, V là lân cận của ϕ(x0 ; y0 ) = x0 + y0 . Phải chứng minh ϕ−1 (V )
là lân cận của (x0 ; y0 ).

8

V là tập mở trong V ⇒ ∀v ∈ V, ∃p1 , p2 , ..., pn ∈ P, ∃ε1 , ε2 , ..., εn > 0 sao cho
n

{x ∈ X : pj (x − x0 − y0 ) < εj } ⊂ V .

V0 =
j=1

V0 là tập mở, x0 + y0 ∈ V0 ⇒ V0 là một lân cận của x0 + y0 .
Đặt

n
−1

ϕ−1 ({x ∈ X : pj (x − x0 − y0 ) < εj })

U0 = ϕ (V0 ) =
j=1

.
n

W0 =

{x ∈ X : pj (x − x0 ) <

εj
}
2

{y ∈ X : pj (y − y0 ) <

εj
}
2

j=1
n

T0 =
j=1

Khi đó W0 , T0 mở trong X và (x0 ; y0 ) ∈ W0 × T0 .
∀(x;
T0 , ta có:
 y) ∈ W0 × 
 x∈W
 p (x − x ) < εj , ∀j = 1; n
0
j
o
2
⇒
 y∈T
 p (y − y ) < εj , ∀j = 1; n
j
o
0
2

⇒ pj (x − xo ) + pj (y − yo ) < εj , ∀j = 1; n
⇒ pj (x + y − xo − yo ) < pj (x − xo ) + pj (y − yo ) < εj , ∀j = 1; n
⇒ x + y ∈ {x ∈ X : pj (x − x0 − y0 )}, ∀j = 1; n
⇒ x + y ∈ V0
⇒ (x; y) ∈ ϕ−1 (V0 ) = U0
⇒ W0 × T0 ⊂ U0
Suy ra U0 mở trong X, U0 là một lân cận của (x0 ; y0 ) .
Do đó (x0 ; y0 ) ∈ X × X, V0 là lân cận của ϕ(x0 ; y0 ) thì U0 = ϕ−1 (V0 ) là lân cận
của (x0 , y0 ).
Vậy ánh xạ ϕ liên tục.
(2) Chứng minh ánh xạ ψ:
F×X →X
(α, y) → α.x
liên tục với topo T.
∀(α0 , x0 ) ∈ F × X, V là lân cận của ψ(α0 , x0 ) = α0 .x0 . Phải chứng minh ψ −1 (V )
là lân cận của (α0 , x0 ).
9


Trường hợp nếu α = 0, ta dễ dàng chứng minh được điều trên.
Do đó, giả sử α0 = 0.
Ta có, V mở trong X
n

⇒ ∃p1 , p2 , ..., pn ∈ P, ∃ε1 , ε2 , ..., εn > 0 :

{x ∈ X :pj (x − α0 .x0 ) < εj } ⊂ V.
j=1

Đặt

Vj = {x ∈ X : pj (x − α0 .x0 ) < εj },∀j
n

V0 =

Vj
j=1

U0 = ψ −1 (V0 )
Khi đó, V0 là một lân cận của α0 , x0 . Phải chứng minh U0 là lân cận của (α0 , x0 ).
n

{x ∈ X : pj (x − x0 ) <

Đặt W0 =
j=1

εj
}, ∀j
|α0 |

{α0 } × W0 là một lân cận của (α0 , x0 ).
∀(α0 , x) ∈ {α0 } × W0 , ta có:
ε

pj (α0 .x − α0 .x0 ) = |α0 |.pj (x − x0 ) < |α0 |. |αj0 | = εj , ∀j = 1; n
⇒ α0 .x ∈ V0
⇒ (α0 , x) ∈ ψ −1 (V0 ) = U0
Suy ra U0 là một lân cận của (α0 , x0 ).
Vậy ψ liên tục. Do đó X là một không gian vectơ topo.

Định nghĩa 1.1.2. Một không gian lồi địa phương là một khơng gian vectơ topo có
{x : p(x) = 0} = {0}.

topo được định nghĩa bởi một họ các nửa chuẩn P sao cho
p∈P

Một quan điểm được thừa nhận kể từ đây cho đến hết khóa luận này là: tất cả
{x : p(x) = 0} = {0} được áp đặt

các không gian topo đều là Hausdoff. Điều kiện
p∈P

chính xác do đó topo xác định bởi P là Hausdoff.
Thực tế, giả sử x = y thì ∃p ∈ P : p(x − y) = 0. Khi đó ∃ε > 0: p(x − y) > ε > 0.
• Nếu U = {z : p(x − z) <

ε
}
2

và V = {z : p(y − z) <

U ∩ V = {z : p(x + y − 2z) < ε}.
• Nếu X là một không gian vectơ topo và x0 ∈ X thì ánh xạ
ϕ:X ×X →X
(x0 , x) → x0 + x
10

ε
},

2

thì ta có được


là một đồng phôi.
Với α0 ∈ F, α0 = 0, ánh xạ
ψF × X → X
(α0 , x) → α0 .x
là một đồng phôi.
Chứng minh:
X là không gian topo vectơ do đó ϕ liên tục.
∀(x0 , x1 ), (x0 , x2 ) ∈ X × X sao cho x1 = x2 , ta có:
x0 + x1 = x0 + x2 ⇒ ϕ((x0 , x1 )) = ϕ((x0 , x2 ))
Do đó, ϕ là đơn ánh.
∀x ∈ X thì x − x0 ∈ X, ta có: (x0 , x − x0 ) ∈ X × X và ϕ((x0 , x − x0 )) = x.
Do đó ϕ là tồn ánh.
Vậy ϕ là một đồng phôi.
Tương tự chứng minh được ψ là một đồng phôi.
Mệnh đề 1.1.2. Cho X là không gian vectơ topo và p là một nửa chuẩn trên X.
Những khẳng định sau tương đương:
(a) p liên tục.
(b) {x ∈ X : p(x) < 1} mở.
(c) 0 ∈ int{x ∈ X : p(x) < 1}
(d) 0 ∈ int{x ∈ X : p(x) ≤ 1}
(e) p liên tục tại 0.
(f) Tồn tại nửa chuẩn liên tục q trên X sao cho p ≤ q.
Chứng minh:
Sơ đồ chứng minh: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ⇒ (a) ⇒ (f) ⇒ (e).
• (a) ⇒ (b):

Do p liên tục ⇒ {x ∈ X : p(x) < 1} = p−1 ([0; 1)).
Suy ra {x ∈ X : p(x) < 1} mở.

11


• (b) ⇒ (c):
Do {x ∈ X : p(x) < 1} mở
⇒ int{x ∈ X : p(x) < 1} = {x ∈ X : p(x) < 1}
⇒ 0 ∈ int{x ∈ X : p(x) < 1}.
• (c) ⇒ (d): hiển nhiên.
• (d) ⇒ (e):
Ta có: 0 ∈ int{x ∈ X : p(x) ≤ 1}
⇒ ∀ε > 0, 0 ∈ {x ∈ X : p(x) ≤ ε}
∀{xi } ⊂ X, xi → 0. Phải chứng minh p(xi ) → p(0) = 0.
Ta có: xi → 0 ⇒ ∃i0 : ∀i > i0 , p(xi − 0) < ε
⇒ p(xi ) ∈ {x ∈ X : p(x) ≤ ε}, ∀i > i0
⇒ p(xi ) → 0
Vậy p liên tục tại 0.
• (e) ⇒ (a):
Cho p liên tục tại 0.
∀{xi } ⊂ X, x ∈ X sao cho xi → x, phải chứng minh p(xi ) → p(x).
∀ε > 0, do xi → x
⇒ ∃i0 : ∀i > i0 , p(xi − x) < ε
mà |p(xi ) − p(x)| ≤ p(xi − x)
⇒ |p(xi ) − p(x)| < ε , ∀i > i0
⇒ p(xi ) → p(x)
• (a) ⇒ (f): hiển nhiên.
• (f) ⇒ (e):
q liên tục ⇒ q liên tục tại 0.

12


Khi đó, ∀{xi } ⊂ X mà xi → 0 thì q(xi ) → 0.
Mặt khác, 0 ≤ p(xi ) ≤ q(xi ), ∀i ⇒ p(xi ) → 0.
Vậy p liên tục tại 0.
Mệnh đề 1.1.3. Cho X là 1 không gian vectơ topo và p1 , p2 , ..., pn là các nửa chuẩn
liên tục trên X.
Khi đó, p1 + p2 + ... + pn và maxi=1;n {pi (x)} là các nửa chuẩn liên tục.
Nếu {pi } là họ các nửa chuẩn liên tục sao cho tồn tại một nửa chuẩn liên tục q
thỏa pi ≤ q, ∀i = 1; n, thì x → supi=1;n {pi (x)} định nghĩa một nửa chuẩn liên tục.
Chứng minh:
• Chứng minh p1 + p2 + ... + pn là một nửa chuẩn liên tục.
∀{xi } ⊂ X, x ∈ X. Cho xi → x.
∀ε > 0 ⇒

ε
n

> 0,

Do xi → x ⇒ p1 (xi ) → p1 (x), p2 (xi ) → p2 (x), ..., pn (xi ) → pn (x)
⇒ ∃i0 : ∀i > i0
|p1 (xi ) − p1 (x)| < nε , |p2 (xi ) − p2 (x)| < nε , ..., |pn (xi ) − pn (x)| <

ε
n

⇒ |(p1 + p2 + ... + pn )(xi ) − (p1 + p2 + ... + pn )(x)| < ε

⇒ p1 + p2 + ... + pn liên tục.
Vậy p1 + p2 + ... + pn là một nửa chuẩn liên tục.
• Tương tự chứng minh được maxi=1;n {pi (x)} là một nửa chuẩn liên tục.
• Tương tự chứng minh được nếu {pi } là họ các nửa chuẩn liên tục sao cho tồn
tại một nửa chuẩn liên tục q thỏa pi ≤ q, ∀i = 1; n, thì x → supi=1;n {pi (x)}
định nghĩa một nửa chuẩn liên tục.
Nếu P là một họ các nửa chuẩn của X với X là một khơng gian lồi địa phương,
ta có thể thuận lợi mở rộng P bằng cách giả sử P đóng dưới dạng hữu hạn tổng và
supermum của các họ bị chặn (như ở mệnh đề 1.1.3 )
Ví dụ 1.1.1:
13


Cho X là khơng gian hồn tồn chính quy và C(X) = {f : X → F |f liên tục}.
Nếu K là tập con compact trong X, ta định nghĩa pK (f ) = sup{|f (x)| : x ∈ K}
thì {pK }Kcompact là họ các nửa chuẩn làm C(X) trở thành khơng gian lồi địa phương.
Ví dụ 1.1.2:
Cho G ⊂ C, G mở và H(G) ⊂ C(G) chứa tất cả các hàm giải tích trên G. Định
nghĩa nửa chuẩn như ở Ví dụ 1.1.1. Khi đó H(G) là một khơng gian lồi địa phương.
Ta có, topo trên H(G) được xác định bởi các nửa chuẩn này là topo của sự hội
tụ đều trên các tập compact, topo thông thường để bàn luận về các hàm giải tích.
Ví dụ 1.1.3:
Cho X là không gian định chuẩn.
∀x∗ ∈ X ∗ , ta định nghĩa px∗ (x) = |x∗ (x)|.
Khi đó px∗ là một nửa chuẩn và P = {px∗ |x∗ ∈ X ∗ } khiến X thành một không
gian lồi địa phương.
Topo được định nghĩa bởi các nửa chuẩn này được gọi là topo yếu. Kí hiệu:
σ(X,X ∗ )
Ví dụ 1.1.4:
Cho X là không gian định chuẩn.

∀x ∈ X, ta định nghĩa
px : X ∗ → [0; ∞)
x∗ → px (x∗ ) = |x∗ (x)|
Thì px là một nửa chuẩn và P = {px |x ∈ X} khiến X ∗ thành một không gian lồi
địa phương.
Topo được định nghĩa bởi các nửa chuẩn này được gọi là topo sao-yếu. Kí hiệu:
σ(X ∗ , X)
Ta nhắc lại một số kiến thức:
Nếu a, b ∈ X, thì đoạn nối từ a đến b được định nghĩa là [a, b] ≡ {tb + (1 − t)a :
0 ≤ t ≤ 1}.
Tập A là tập lồi khi và chỉ khi [a, b] ⊆ A,∀a, b ∈ A.
Mệnh đề 1.1.4.

14


n

(a) Tập A lồi ⇔ ∀x1 , x2 , ..., xn ∈ A; t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] :

n

j=1

(b) Nếu {Ai : i ∈ I} là họ gồm các tập lồi thì

tj xj ∈ A.

tj = 1 thì
j=1

Ai là tập lồi.
i∈I

Chứng minh:
• Chứng minh (a):
"⇐" Xét n = 2 thì ta được A là tập lồi.
"⇒"
n

Cho A là tập lồi, ∀x1 , x2 , ..., xn ∈ A; t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] :

tj = 1, phải chứng
j=1

n

tj xj ∈ A. Ta chứng minh bằng quy nạp.

minh
j=1

Nhận thấy mệnh đề đúng với n = 2.
Giả sử mệnh đề đúng với n, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n + 1.
Ta có:

n+1

n

tj xj =
j=1

tj xj + tn+1 xn+1
j=1

n

=

n

tj

.

j=1
n

Theo giả thiết quy nạp,
j=1

j=1

tj
n
j=1 tj

tj
n

j=1 tj

xj + tn+1 xn+1
n+1

xj ∈ A do đó

tj xj ∈ A.
j=1

• Chứng minh (b):
∀a, b ∈

Ai ⇒ a, b ∈ Ai , ∀i ∈ I.
i∈I

Do Ai là tập lồi nên [a, b] ⊆ Ai , ∀i ∈ I ⇒ [a, b] ⊆

Ai .
i∈I

Ai lồi.

Vậy
i∈I

Định nghĩa 1.1.3.
Cho X là không gian vectơ.
Nếu A ⊆ X, bao lồi của A, kí hiệu co(A) là giao của tất cả các tập lồi chứa A.
Nếu X là khơng gian vectơ topo thì bao lồi đóng của A là giao của tất cả các tập

lồi đóng của X chứa A. Kí hiệu co(A)
Ta có một số lưu ý như sau:
15


• Do không gian vectơ X là tập lồi nên mỗi tập con của X được chứa trong một
tập lồi.
Kết hợp với mệnh đề 1.1.4, suy ra co(A) được xác định đúng đắn và là tập lồi,
co(A) là tập lồi đóng.
• Nếu X là khơng gian định chuẩn thì {x : ||x|| ≤ 1} và {x : ||x|| < 1} là các tập
lồi.
Nếu f ∈ X ∗ thì {x : |f (x)| ≤ 1}, {x : Ref (x) ≤ 1} và {x : Ref (x) > 1} đều là
các tập lồi.
• Nếu T : X → Y là ánh xạ tuyến tính thực và C là tập con lồi trong Y thì
T −1 (C) là tập con lồi trong X.
Mệnh đề 1.1.5. Cho X là một không gian vectơ topo, A là tập con lồi của X. Khi
đó:
(a) clA lồi
(b) Nếu a ∈ intA, b ∈ clA thì [a; b) = {tb + (1 − t)a : 0 ≤ t < 1} ⊆ intA
Chứng minh:
Cho a ∈ A, b ∈ clA và 0 ≤ t ≤ 1. Cho {xi } là một lưới trong A sao cho xi → b.
Khi đó txi + (1 − t)a → tb + (1 − t)a.
Suy ra, nếu b ∈ clA và a ∈ A thì [a, b] ⊆ clA (1).
Sử dụng (1), ta dễ dàng chứng minh được (a).
Để chứng minh (b), ta chọn 0 < t < 1 cố định, đặt c = tb + (1 − t)a với a ∈ intA
và b ∈ clA.
Tồn tại một tập mở V trong X sao cho 0 ∈ V và a + V ⊆ A. Do đó với d bất kì
thuộc A
A ⊇ td + (1 − t)(a + V )
= t(d − b) + tb + (1 − t)(a + V )

= [t(d − b) + (1 − t)V ] + c
Điều này cho thấy tồn tại d ∈ A sao cho 0 ∈ t(d − b) + (1 − t)V = U .

16


Tìm d như vậy tương đương với việc tìm d sao cho 0 ∈ t−1 (1 − t)V + (d − b) hay
d ∈ b − t−1 (1 − t)V . Mà 0 ∈ −t−1 (1 − t)V và tập này là tập mở nên với b ∈ clA, ta
tìm được d ∈ A.
Hệ quả 1.1.1. Nếu A ⊆ X thì co(A) là bao đóng của co(A).
Ta có một số định nghĩa sau:
• Một tập A ⊆ X được gọi là cân bằng nếu αx ∈ A, ∀x ∈ A, |α| < 1.
• Tập A được gọi là tập hấp thu nếu ∀x ∈ X, ∃ε > 0 : tx ∈ A, 0 ≤ t < ε.
Một tập hấp thu phải chứa 0.
• Nếu a ∈ A. Khi đó A được gọi là hấp thu tại a nếu tập A − a hấp thu.
Ta có: A hấp thu tại a nếu ∀x ∈ X, ∃ε > 0 : a + tx ∈ A, 0 ≤ t < ε
• Nếu X là một khơng gian vectơ với nửa chuẩn p thì V = {x ∈ X : p(x) < 1} là
một tập lồi, cân bằng và hấp thu tại mọi điểm.
Chứng minh:
• Chứng minh V là tập lồi.
∀x, y ∈ V, ∀t ∈ [0; 1], ta có:
p(tx + (1 − t)y) ≤ p(tx) + p((1 − t)y = tp(x) + (1 − t)p(y)
mà p(x) < 1, p(y) < 1
⇒ p(tx + (1 − t)y) < t.1 + (1 − t).1 = 1
Do đó, tx + (1 − t)y ∈ V . Suy ra V là tập lồi.
• Chứng minh tập V cân bằng.
∀x ∈ V, ∀|α| < 1, ta có:
|α|.p(x) < 1 ⇒ p(αx) < 1 ⇒ αx ∈ V
Do đó, tập V cân bằng.

17


• Chứng minh V hấp thu tại x với mọi x ∈ V .
∀y ∈ V − x, ∃v ∈ V : y = v − x ⇒ v = y + x
Do V cân bằng, v ∈ V nên ∀α thỏa |α| < 1 thì αv ∈ V .
Chọn ε = |α|.
⇒ |t| < 1 với 0 ≤ t < ε
⇒ tv ∈ V, 0 ≤ t < ε
⇒ t(y + x) ∈ V, 0 ≤ t < ε
⇒ ty + tx ∈ V, 0 ≤ t < ε
⇒ ty ∈ V − x, 0 ≤ t < ε
Vậy V hấp thu tại x.
Mệnh đề 1.1.6. X là không gian vectơ trên trường F và V là tập con lồi, khác rỗng,
cân bằng và hấp thu tại mọi điểm.
Khi đó, tồn tại duy nhất nửa chuẩn p trên X sao cho V = {x ∈ X : p(x) < 1}.
Chứng minh:
Ta định nghĩa: p(x) = inf{t : t ≥ 0, x ∈ tV }.
∞

nV nên theo tính sắp tốt, p(x) = ∅.

Do V hấp thu và X =
n=1

Ta chứng minh p là một nửa chuẩn trên X.
• Chứng minh p(0) = 0: hiển nhiên.
• Chứng minh ∀α ∈ F, ∀x ∈ X, p(αx) = |α|.p(x).
Giả sử α = 0. Do V cân bằng:
p(αx) = inf{t ≥ 0 : αx ∈ tV }= inf{t ≥ 0 : x ∈ t

t
⇒ p(αx) = |α|. inf{ |α|
:x∈

t
V
|α|

1
V
α

}

⇒ p(αx) = |α|.p(x)
• ∀x, y ∈ X, phải chứng minh p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Đặt p(x) = α, p(y) = β.
18

}


Với δ > 0 thì x ∈ (α + δ)V, y ∈ (β + δ)V .
p(x) = α ⇒ ∀t ≥ α, x ∈ tV
p(y) = β ⇒ ∀t ≥ β, y ∈ t V
Ta có:
α + δ > α ⇒ x ∈ (α + δ)V
β + δ > β ⇒ y ∈ (β + δ)V
Do đó, x + y ∈ (α + β + 2δ)V
Cho δ → 0 ⇒ p(x + y) ≤ α + β = p(x) + p(y)

Vậy p là một nửa chuẩn trên X. Mà X là khơng gian vectơ do đó tập {x : p(x) < 1}
lồi, cân bằng và hấp thu tại mọi điểm.
∀x ∈ {x : p(x) < 1}, p(x) = α < 1 thì với α < β < 1 ⇒ x ∈ βV ⊆ V (do V cân
bằng.)
⇒ {x : p(x) < 1} ⊆ V
∀x ∈ V , do V hấp thụ tại x ⇒ ∃ε > 0 : 0 < t < ε, x + tx ∈ V
Đặt x + tx = y ∈ V ⇒ x = (1 + t)−1 y
⇒ p(x) = (1 + t)−1 p(y) ≤ (1 + t)−1 < 1
⇒ V ⊂ {x : p(x) < 1}
Vậy V = {x : p(x) < 1}.
Ta cũng chứng minh được p là nửa chuẩn duy nhất thỏa mãn.
• Nửa chuẩn p như trên được gọi là hàm Minkowski của V hay Gauge của V
• Nếu X là khơng gian vectơ topo, V mở trong X thì V hấp thu tại mọi điểm.
Mệnh đề 1.1.7. Cho X là không gian vectơ topo. U là tập tất cả các tập con mở,
lồi, cân bằng của X.
Khi đó X là khơng gian lồi địa phương ⇔ U là cơ sở của hệ các lân cận của 0.
Chứng minh:
"⇒" Cho X là không gian lồi địa phương.

19


Do đó X là một khơng gian vectơ topo được xây dựng bởi họ các nửa chuẩn P
{x : p(x) = 0} = {0}.

sao cho
p∈P

Gọi V là một lân cận của 0. Khi đó V mở.
Lại có X là khơng gian vectơ topo, suy ra V hấp thu tại 0.

Phải chứng minh ∀x ∈ X, ∃U ∈ U : x ∈ U ⊆ V .
Chọn ε > 0 : V = {x ∈ X : p(x) < ε}
∞

Do V mở ⇒ ∃{pk } ⊂ P :

{x :pk (x) < ε} ⊆ V .
k=1

Mà ∀k, {x : pk (x) < ε} là tập mở, lồi và cân bằng thuộc U.
Suy ra được điều phải chứng minh.

1.2.

Không gian khả metric và khả chuẩn lồi địa
phương

Phần này làm rõ một số vấn đề: Không gian lồi địa phương nào khả metric? Không
gian lồi địa phương nào có topo khả chuẩn?
P là họ các nửa chuẩn của X và X là một không gian vectơ topo. Khi đó ta nói
P xác định topo trên X nếu topo trên X chính bằng topo cảm sinh bởi P .
Mệnh đề 1.2.1.
∞

Cho {p1 , p2 , ...} là dãy các nửa chuẩn của X sao cho

{x :pn (x) = 0} = {0}.
n=1

∀x, y ∈ X, ta định nghĩa:

∞

2−n .

d(x, y) =
n=1

pn (x − y)
1 + pn (x − y)

Khi đó d là metric trên X và topo trên X xác định bởi d chính là topo được định
nghĩa bởi các nửa chuẩn {p1 , p2 , ...}.
Do đó khơng gian lồi địa phương X khả metric khi và chỉ khi topo trên X được
định nghĩa bởi họ đếm được các nửa chuẩn.
Chứng minh:
Ta kiểm tra được d là metric trên X.

20


"⇒" Cho X khả metric. Phải chứng minh topo cảm sinh bởi d giống với topo cảm
sinh bởi {pn }.
Gọi T là topo cảm sinh bởi d, T là topo cảm sinh bởi {pn }.
∀U ∈ T ⇒ ∀u ∈ U, ∃ε > 0 : {x : d(x, u) < ε} ⊂ U
∞

⇒ {x :
n=1

pn (x−u)

2−n . 1+p
< ε} ⊂ U
n (x−u)
∞

Đặt A = {x :
n=1

pn (x−u)
2−n . 1+p
< ε}
n (x−u)

pn (x−u)
∀x ∈ A, ta có: 2−n . 1+p
< ε, ∀n
n (x−u)

⇒ pn (x − u) < ε.2n [1 + pn (x − u)], ∀n
Đặt εn = ε.2n [1 + pn (x − u)], ∀n
⇒ pn (x − u) < εn , ∀n
∞

⇒A=

{x ∈ X :pn (x − u) < εn } ⊂ U
n=1

⇒U ∈T ⇒T⊂T
∀U ∈ T ⇒ ∃p1 , p2 , .., pn ∈ {pk },∃ε1 , ε2 , .., εn > 0 :

n

{x ∈ X : pj (x − u) <εj } ⊂ U

B=
j=1

∀x ∈ B, ta có: pj (x − u) < εj ,∀j = 1; n
p (x−u)

ε

j
⇒ 2−j . 1+pj j (x−u) < 2−j . 1+pj (x−u)
< εj , ∀j = 1; n

Đặt ε0 = maxj=1;n εj
p (x−u)

⇒ 2−j . 1+pj j (x−u) < ε0 , ∀j = 1; n
n

⇒
j=1

p (x−y)

2−j . 1+pj j (x−y) < nε0

Chọn pn+1 , pn+2 , ... ∈ {pk } : pj (x) = 0, ∀j > n

∞

⇒
j=1

p (x−y)

2−j . 1+pj j (x−y) < nε0

⇒ d(x, u) < nε0
⇒ B = {x : d(x, u) < nε0 } ⊂ U
U ∈T⇒T ⊂T
Vậy T = T
"⇐" Nếu X là không gian lồi địa phương và có topo được cảm sinh bởi họ đếm
được các nửa chuẩn thì X khả metric.
Ví dụ 1.2.1: Nếu C(X) = {f : X → F liên tục} thì

21


∞

C(X) khả metric ⇔ X =

Kn .
n=1

Trong đó Kn là tập compact với mọi n, K1 ⊆ K2 ⊆ ... và với mỗi tập compact K,
tồn tại n sao cho K ⊂ Kn .
Ví dụ 1.2.2: Cho X compact địa phương và C(X) giống như ở ví dụ 1.1.

∞

Khi đó C(X) khả metric ⇔ X là một σ-compact. (X =

Kn , với Kn compact).
n=1

• Nếu H(G) được xác định giống ở ví dụ 1.2 thì H(G) khả metric.
• Cho X là khơng gian vectơ, d là metric trên X.
Khi đó d là bất biến tịnh tiến nếu d(x + z, y + z) = d(x + y), ∀x, y, z.
Metric được định nghĩa ở mệnh đề 1.2.1 là bất biến tịnh tiến.
Định nghĩa 1.2.1. X là khơng gian Fréchet nếu:
• X là khơng gian vectơ topo.
• X có topo được định nghĩa bởi metric d bất biến tịnh tiến.
• (X, d) là metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.2.2. Cho X là khơng gian vectơ topo và B ⊆ X. Khi đó, B giới nội
nếu với mọi tập U mở, 0 ∈ U thì ∃ε > 0 : εB ⊆ U .
Nếu X là khơng gian định chuẩn thì tập B giới nội khi và chỉ khi sup{||b|| : b ∈
B} < ∞.
Nếu ||.|| là một chuẩn thì tập {x : ||x|| < 1} giới nội. Điều này khơng cịn đúng
nếu ||.|| là nửa chuẩn.
Lấy ví dụ: C(R) (được xây dựng như ví dụ 1.1.1) khả topo.
Cho p(f ) = sup{|f (t)| : 0 ≤ t ≤ 1} ⇒ p là nửa chuẩn liên tục.
Xét
fo : R → [0; 1]
x→0
Ta có: {αf0 : α ∈ R} ⊆ {f : p(f ) < 1}
Do đó tập {f : p(f ) < 1} khơng bị giới nội.
22

Mệnh đề 1.2.2. Nếu X là không gian lồi địa phương thì X khả chuẩn ⇔ X có một
tập con mở, giới nội, khác rỗng.
Chứng minh:
"⇒" Một không gian định chuẩn thì có tập con mở, giới nội, khác rỗng.
"⇐" Giả sử X có tập con U mở, giới nội, khác rỗng.
Theo định nghĩa 1.2.1, giả sử 0 ∈ U .
Do tính lồi địa phương, tồn tại nửa chuẩn liên tục p sao cho V = {x : p(x) < 1} ⊆
U
Lấy x ∈ X, x = 0. Do X Hausdoff nên tồn tại W0 , Wx mở trong X sao cho
0 ∈ W0 , x ∈ Wx , W0 ∩ Wx = ∅.
Do U giới nội ⇒ ∃ε > 0 : W0 ⊇ εU ⊇ εV = {y : p(y) < ε}.
Lại có x ∈
/ W0 ⇒ p(x) ≥ ε > 0, ∀x = 0 ⇒ p là một chuẩn.
Nếu q là nửa chẩn liên tục trên X thì ∃α > 0 : q ≤ αp. (Ta dễ dàng chứng minh
điều này bằng phản chứng)
Do q liên tục ⇒ ∃ε > 0 : {x : q(x) < 1} ⊇ εU ⊇ εV .
Do đó p(x) < ε ⇔ q(x) < 1 ⇒ q ≤ ε−1 p: điều phải chứng minh.

1.3.

Một số hệ quả hình học của định lý HahnBanach

Định lý 1.3.1. Nếu X là không gian vectơ topo và f : X → F là hàm tuyến tính thì
các khẳng định sau tương đương:
(a) f liên tục.
(b) f liên tục tại 0.
(c) f liên tục tại một điểm nào đó.
(d) Kerf đóng.
(e) x → |f (x)| là một nửa chuẩn liên tục.

Nếu X là không gian lồi địa phương và P là họ các nửa chuẩn định nghĩa topo
trên X thì điều dưới đây cũng tương đương:

23


(f) ∃p1 , p2 , ..., pn ∈ P, ∃ε1 , ε2 , ..., εn > 0 :
n

|f (x)| ≤

αk pk (x), ∀x ∈ X
k=1

Mệnh đề 1.3.1. Cho X là không gian vectơ topo, giả sử G là tập con mở, lồi của
X.
Nếu q(x) = inf{t : t ≥ 0, x ∈ tG}thì q là hàm tuyến tính, liên tục, không âm và
G = {x : q(x) < 1}.
Cách chứng minh tương tự như đối với mệnh đề 1.1.6.
Điểm khác biệt giữa mệnh đề 1.3.1 và 1.1.6 đó là ở mệnh đề này, tập G khơng có
giả thiết cân bằng và hệ quả là hàm tuyến tính dưới (q được gọi là hàm tuyến tính
dưới khi q(αx) = αq(x) nếu α ≥ 0) không nhất thiết phải là nửa chuẩn.
Hệ quả hình học của định lý Haln-Banach được xác định bằng việc làm sáng tỏ
định lý ở dạng yếu của sự tương ứng giữa các hàm tuyến tính với các siêu phẳng và
giữa các hàm tuyến tính dưới với các lân cận mở, lồi của 0.
Định lý 1.3.2. Nếu X là không gian vectơ topo và G là tập con mở, lồi, khác rỗng
khơng chứa 0 của X thì tồn tại một siêu phẳng đóng µ sao cho µ ∩ G = ∅.
Chứng minh:
• Trường hợp 1: X là khơng gian R-tuyến tính.
Chọn x0 ∈ G, đặt H = x0 − G ⇒ H mở, lồi và chứa 0.

Theo mệnh đề 1.3.1, suy ra tồn tại hàm tuyến tính dưới liên tục, không âm
q : X → R sao cho H = {x : q(x) < 1}. Khi đó x0 ∈
/ H do q(x0 ) ≥ 1.
Đặt Y = {αx0 : α ∈ R}
Định nghĩa
f0 : Y → R
αx0 → α.q(x0 )
Nếu α ≥ 0 thì f0 (αx0 ) = α.q(x0 ) = q(αx0 ).
Nếu α < 0 thì f0 (αx0 ) = α.q(x0 ) ≤ α < 0 < q(αx0 ).

24