Phương pháp lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ ÁI

PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO
BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ
ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ ÁI

PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO
BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ
ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng
đƣợc ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Ái


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................ 1
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài .................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu..................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................. 2
5. Cấu trúc luận văn .............................................................................. 2
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................... 4
1.1. KHÔNG GIAN

n

VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ................... 4

1.2. HÀM NHIỀU BIẾN .............................................................................. 7
1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO ................................. 9
1.3.1. Đạo hàm riêng ............................................................................ 9
1.3.2. Đạo hàm của hàm hợp ............................................................. 10

1.3.3. Vi phân hàm nhiều biến ............................................................ 11
1.4. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM ................................................................. 13
1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ................................................ 15
1.5.1. Cực trị tự do ............................................................................. 15
1.5.2. Cực trị có điều kiện .................................................................. 22
CHƢƠNG 2. BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC
PHƢƠNG PHÁP GIẢI ............................................................................. 28
2.1. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ............................................. 28
2.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI ............................................................... 34
2.2.1. Chuyển về bài tốn khơng dùng phƣơng pháp nhân tử Lagrange .. 34
2.2.2. Phƣơng pháp nhân tử Lagrange ............................................... 38
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN ...................... 49
3.1. GIẢI TỐN TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG.................. 49


3.1.1. Các bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ................................ 49
3.1.2. Các bài toán bất đẳng thức ....................................................... 54
3.1.3. Các bài tốn hình học ............................................................... 59
3.2. SÁNG TẠO BÀI TOÁN ..................................................................... 65
KẾT LUẬN ................................................................................................ 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 72
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong lý thuyết và ứng dụng ta thƣờng gặp các bài toán cực trị có điều
kiện (tìm cực đại và cực tiểu). Khi giải một bài tốn cực trị ngƣời ta thƣờng

tìm cách đƣa nó về các bài tốn đơn giản hơn: với số biến hoặc số ràng
buộc ít hơn, thậm chí khơng có ràng buộc. Ý tƣởng này đƣợc thể hiện rõ
nét trong phƣơng pháp nhân tử Lagrange và trong một số phƣơng pháp tối
ƣu khác.
Phƣơng pháp nhân tử Lagrange là một phƣơng pháp tìm cực trị của
hàm số với các ràng buộc cho bởi phƣơng trình. Phƣơng pháp tƣơng đối
hiệu quả, dễ áp dụng. Trong chƣơng trình tốn đại học, phƣơng pháp này
cũng đã đƣợc giới thiệu và áp dụng để giải một số bài tốn cực trị có điều
kiện. Tuy nhiên, hầu hết các giáo trình tiếng việt, chƣa trình bày một cách
đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp nhân tử Lagrange. Trong
chƣơng trình tốn phổ thơng, bài tốn cực trị có điều kiện cũng xuất hiện
dƣới dạng tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức với các điều
kiện nào đó cho các ẩn số. Các bài toán dạng này thƣờng xuất hiện trong
các tài liệu, trong các kỳ thi dành cho học sinh giỏi.
Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài tốn cực trị có điều kiện và các
phƣơng pháp giải là cần thiết cho giáo viên và có thể đƣa vào giảng dạy
bồi dƣỡng học sinh giỏi và học sinh trƣờng chun, giúp học sinh có cái
nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của hàm nhiều biến.
Góc nhìn này sẽ giúp các học sinh THPT giải các bài cực trị trong các kì thi
học sinh giỏi và các đề thi Đại học. Việc nắm chắc cơ sở lý thuyết về bài
tốn cực trị có điều kiện và các phƣơng pháp giải cũng giúp cho giáo viên
có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới, điều này đặc biệt quan
trọng khi ra đề thi học sinh giỏi.


2

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài tốn cực trị có điều kiện, các
phƣơng pháp giải cũng nhƣ cách sáng tạo ra các bài tốn mới, tơi chọn đề
tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng

dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học của mình.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nắm đƣợc bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều kiện cần và
đủ của cực trị.
Phƣơng pháp nhân tử Lagrange và ứng dụng để giải bài toán cực trị
của hàm nhiều biến.
Sáng tạo đƣợc bài toán mới vận dụng phƣơng pháp này.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Sử dụng Phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải bài tốn cực trị trong
hình học và đại số trong chƣơng trình tốn ở cấp phổ thông và ở cấp đại
học.
Sáng tạo ra một số bài tốn mới.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp các tài liệu trong nƣớc và ngồi nƣớc để tìm hiểu
những vấn đề liên quan đến đề tài.
Hệ thống hóa lý thuyết đã thu thập.
Thảo luận, trao đổi.
Dựa trên các kết quả đã đạt đƣợc để sáng tạo và giải một số bài tốn
mới.
5. Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì nội dung của luận
văn đƣợc chia ra làm 3 chƣơng, trong đó:
Chƣơng 1. Trình bày một số khái niệm cơ bản về Topo trong

n

, các

kết quả về tập hợp, ánh xạ và khái niệm cực trị tự do, cực trị có điều kiện.

3

Chúng ta bỏ qua hầu hết các chứng minh của các định lý và mệnh đề,
chứng minh các kết quả đó có thể tham khảo trong tài liệu [1], [3], [4].
Chƣơng 2. Phát biểu bài tốn cực trị có điều kiện cho bởi phƣơng
trình, sự tồn tại nghiệm và các điều kiện cần và đủ để có cực trị có điều
kiện. Từ cơ sở lý thuyết đó ta đƣa ra 2 phƣơng pháp để giải bài tốn cực trị
có điều kiện. Đặc biệt trình bày cụ thể Phƣơng pháp nhân tử Lagrange cho
n phƣơng trình và m điều kiện ràng buộc. Chứng minh các định lý và mệnh
đề tƣơng tự nhƣ trong các tài liệu tham khảo [2], [5], [7].
Chƣơng 3. Ứng dụng của phƣơng pháp nhân tử Lagrange cho những
bài tốn cực trị có điều kiện trong chƣơng trình phổ thông và một số hƣớng
sáng tạo một số bài toán ấy.


4

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Phần này trình bày một số khái niệm cơ bản trong

n

, các kết quả về

tập hợp, ánh xạ và khái niệm cực trị tự do, cực trị có điều kiện. Chúng ta
bỏ qua hầu hết các chứng minh của các định lý và mệnh đề, chứng minh
các kết quả đó có thể tham khảo trong tài liệu [1], [3], [4].

n

1.1. KHÔNG GIAN

VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

Trước tiên ta nhắc lại các khái niệm cơ bản trong trường số thực

n

.

Một số khái niệm và định lý về tập mở, tập đóng, tập bị chặn, tập Compact
được đưa ra ở đây là cơ sở cho việc nghiên cứu các bài tốn cực trị được
trình bày ở cuối chương này.

 Một số khái niệm và tính chất cơ bản:
Với mỗi số ngun khơng âm n, tập
có thứ tự. Một phần tử của

n

n

là tập tất cả các bộ n số thực

đƣợc viết là:

x  ( x1 , x2 ,...xn ), xi  , i  1, n .

Trên



n

ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nhƣ sau: với mọi

và với mọi x  ( x1 , x2 ,, xn ), y  ( y1 , y2 ,, yn ) 

n

,

x  y  ( x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn ) ,

 x  ( x1 , x2 ,..., xn )
Tập

n

cùng với hai phép tốn cộng và nhân vơ hƣớng ở trên

tạothành một khơng gian vectơ n chiều trên
là không gian vectơ

n

hoặc không gian

Không gian vectơ

n

n

và thƣờng đƣợc gọi

cho ngắn gọn.

có một cơ sở chính tắc: e1  1;0;0;...;0  ,

e2   0;1;0;...;0  , ..., en   0;0;...;0;1 . Khi đó, một vectơ trong

n

có thể


5

n

đƣợc viết dƣới dạng: x   xi ei .
i 1

Tích vơ hƣớng trên

n

là ánh xạ:

, :

n



n



xác định bởi

n

x, y   xi yi  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn .
i 1

Độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x đƣợc định nghĩa bởi:
x 

n

x

x, x 

2
i

i 1

Khơng gian

n

.

cùng với tính vơ hƣớng .,. tạo thành một khơng gian

Hilbert.
Định nghĩa 1.1.1. (Hình cầu mở và hình cầu đóng)
Hình cầu mở tâm tại điểm x0 

n

và bán kính   0 là tập các điểm

trong R n định nghĩa bởi



B( x0 ,  )  x 

n

Hình cầu đóng tâm tại điểm x0 
trong

n



x  x0   .
n

và bán kính   0 là tập các điểm

định nghĩa bởi





B[x0 ,  ]  x  R n x  x0   .

Định nghĩa 1.1.2. (Tập mở trong

n

) Tập S 

x  S tồn tại   0 sao cho hình cầu mở B( x0 ,  )  S .

Định lý 1.1.3. (Định lý về các tập mở trong
1. Tập rỗng là một tập mở.
2.

n

là một tập mở.

3. Hợp các tập mở là một tập mở.
4. Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở.

n

)

n

là mở nếu với mỗi


6

Định lý 1.1.4.(Mọi tập mở là họ của các hình cầu mở) Giả sử S 

n

là một tập mở. Với mỗi x  S chọn  x  0 sao cho B( x,  x )  S . Khi đó
S
xS

B( x,  x ) .

Định nghĩa 1.1.5. (Tập đóng trong
phần bù của S trong

n

n

:(

n

) S

n

là đóng khi và chỉ khi

\ S ) là tập mở.

Định lý 1.1.6. Ta có một số tính chất sau của các tập đóng:
1. Tập rỗng là một tập đóng.
2. Tồn khơng gian

n

là một tập đóng.

3. Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng.
4. Giao các tập đóng là một tập đóng.
Định lí 1.1.7. (Các tập đóng trong
là một tập đóng bất kì trong
S
iI

và các khoảng đóng) Giả sử S

. Khi đó,

((, ai ]  [bi , )) ,

với các số thực ai  bi và tập chỉ số I nào đó.
Định nghĩa 1.1.8. (Tập bị chặn trong

n

) Tập S 

n

đƣợc gọi là bị

chặn nếu nó chứa đƣợc trong một hình cầu (mở hay đóng) bán kính  nào
đó.
Giả sử S 

là một tập số thực khác rỗng bất kì. Một số thực l bất kì

(khơng nhất thiết thuộc S ) thỏa mãn l  x với mỗi x  S đƣợc gọi là một
cận dƣới của S . Tập S  R đƣợc gọi là bị chặn dƣới nếu nó có một cận
dƣới và bị chặn trên nếu nó có một cận trên. Tập số bất kì vừa bị chặn trên,
vừa bị chặn dƣới thì là tập bị chặn.
Định lý 1.1.9. (Cận trên và cận dưới của một tập trong
1. Giả sử S 

)

là một tập mở bị chặn và giả sử a là một cận dưới


7

lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó, a  S và b  S .
2. Giả sử S 

là một tập đóng bị chặn và giả sử a là một cận

dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó, a  S và
bS .

Một tập S trong

n

được gọi là một tập Compact nếu mọi dãy bị

chặn trong S đều có thể trích ra một dãy con hội tụ về một phần tử thuộc
S . Đối với khơng gian

n

, chúng ta có một định nghĩa tương đương như

sau:

Định nghĩa 1.1.10. (Heine – Tập Compact trong

n

) Tập S 

n

đƣợc gọi là Compact khi và chỉ khi S đóng và bị chặn.
Khoảng mở trong

khơng phải là một tập Compact. Nó có thể bị

chặn nhƣng khơng đóng. Một ví dụ khác, hình cầu mở trong
Compact. Tuy nhiên, mọi khoảng đóng bị chặn trong
hình cầu đóng trong

n

là một tập Compact. Tồn bộ

n

khơng

, cũng nhƣ mọi
n

khơng Compact

vì nó khơng bị chặn, mặc dù nó đóng. Tính Compact thực ra là một tính
chất Topo. Tuy nhiên, định lý Heine - Borel cho thấy đối với các tập trong
n

tính chất Compact tƣơng đƣơng với tính đóng và bị chặn.

1.2. HÀM NHIỀU BIẾN
Trong mục này ta trình bày một số khái niệm về giới hạn, liên tục, đạo
hàm, vi phân của hàm nhiều biến. Các tính chất quan trong của hàm nhiều
biến cũng được đề cập.
Định nghĩa 1.2.11. Cho   A 

n

. Khi đó, ánh xạ f : A 

định bởi x  ( x1 , x2 ,..., xn )  A  f ( x1 , x2 ,..., xn ) 

p

.

Khi p  1 , f đƣợc gọi là hàm thực nhiều biến.
Khi p  1 , f đƣợc gọi là hàm vectơ nhiều biến.

p

xác

8

Tập A đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, các số x1 , x2 ,..., xn đƣợc gọi
biến số của hàm f.
Định nghĩa 1.2.12. (Giới hạn của hàm vectơ n biến) Cho hàm vectơ

f : A

n



p

và điểm a  A .

Ta nói rằng hàm f tiến đến giới hạn b 

p

khi x tiến đến a , hay b

là giới hạn của hàm f tại a , nếu với mọi   0 cho trƣớc tồn tại   0 ( 
phụ thuộc vào  ) sao cho với mọi x  A thỏa mãn 0  x  a   ta có
f ( x)  b   .

f ( x)  b hay f ( x)  b khi x  a .
Khi đó ta viết lim
x a

Vì sự hội tụ trong khơng gian

n

là sự hội tụ theo tọa độ nên với

x  ( x1 ,..., xn ), a  (a1,..., an ) ta còn dùng kí hiệu
lim f ( x1 ,..., xn )  b .

x1 a1
...
xn an

Định nghĩa 1.2.13. (Hàm liên tục nhiều biến)
a. Hàm f : A  n 

p

đƣợc gọi là liên tục tại một điểm x0 trên A

nếu lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x
0

b. Hàm f : A 

n



p

đƣợc gọi là liên tục trên A nếu f liên tục

tại mọi điểm a  A .
c. Hàm f đƣợc gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi   0 tồn tại

   ( )  0 (chỉ phụ thuộc vào  ) sao cho với mọi x, x '  A thỏa mãn
x  x'   ta đều có f ( x)  f ( x' )   .

d. Hàm f  ( f1 ,..., f p ) : A 

n



các hàm thành phần của nó liên tục tại a .

p

liên tục tại a  A khi và chỉ khi


9

Định nghĩa 1.2.14. (Hàm liên tục theo từng biến) Hàm

f : A
nếu

n



với

p

đƣợc gọi là liên tục theo biến xi tại điểm a  (a1 ,..., an )

mọi

xi  Ai  xi 

 0

tồn

tại

 0

sao

cho

với

mọi

(a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,...an )  A thỏa mãn xi  ai   ta đều có

f (a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an )  f (a1,..., an )   .

Định lí 1.2.15. Cho hàm f : A 
Nếu A là tập Compact trong

n

Định lí 1.2.16. Nếu f : A 
tập Compact trong

n

n



p

là hàm liên tục trên A .

thì f ( A) là tập Compact trong
n



p

.

là hàm liên tục trên A và A là

thì hàm f đạt được cận trên đúng và cận dưới

đúng trên A .
Định nghĩa 1.2.17. (Hàm bị chặn) Hàm f : A 
bị chặn trên A nếu f ( A) là tập bị chặn trong

p

n



đƣợc gọi là

p

, tức là nếu tồn tại số

M  0 sao cho f ( x)  M với mọi x  A .

1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
1.3.1. Đạo hàm riêng
Giả sử e1 , e2 ,..., en là cơ sở chính tắc trong không gian
tập hợp mở trong

n

và f : U 

n

, U là một

là một hàm số của n biến số,

x  ( x1 ,..., xn ) U .

Định nghĩa 1.3.18. Đạo hàm riêng cấp một:
Xét giới hạn lim
t 0

f ( x  tei )  f ( x)
,
t

Nếu nó tồn tại thì đƣợc gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại x
hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và kí hiệu là Di f ( x) hay
f
( x) hoặc f x' ( x) .
xi
i


10

Định nghĩa 1.3.19. Đạo hàm riêng cấp cao: Cho tập hợp mở U 
và điểm a U . Giả sử f : U 

n

là hàm số sao cho Di f ( x) tồn tại với

mọi x U . Nhƣ thế ta có ánh xạ Di f : U  , x  Di f ( x) .
Nếu hàm số Di f có đạo hàm theo biến thứ j tại a tức là nếu tồn tại
D j ( Di )(a) thì đạo hàm này đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại a

theo các biến thứ các biến thứ i và thứ j hay theo các biến xi và x j và
đƣợc kí hiệu là Di , j f (a) hay

2 f
2 f
   
(a),
(a) 
f  (a) .

xi x j
xi x j
x j  xi 

Định nghĩa 1.3.20. (Gradien của f ): là hàm vectơ mà thành phần là
các đạo hàm riêng theo từng biến của f . Kí hiệu grad f hoặc f xác
định bởi f  (

f f
f
, ,..., ) .

x1 x2
xn

1.3.2. Đạo hàm của hàm hợp
* Cơng thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp
Cho hàm f , g : A 

n



p

:

m

g
f
( g f )(a)   (b) i (a),( j  1,..., n) .
x j
x j
i 1 y
i

* Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến
Giả sử U là tập mở trong
Ta ()  ( x1  a1 )

n

, a U và f : U 

. Ta kí hiệu tốn tử




,
 ( x2  a2 )
 ...  ( xn  an )
x1
x2
xn

xác định nhƣ sau
n

Ta ( f )   ( x1  a1 )
i 1

f
(a) , ở đây a  (a1 ,..., an ) ,
xi

Và Tak () là luỹ thừa hình thức


11

k




 
Tak ()  ( x1  a1 )
 ( x2  a2 )
 ...  ( xn  an )
 .

x

x

x

1
2
n 

Định lí 1.3.21. (Cơng thức Taylor) Giả sử U là một tập mở trong

n

,

a U và r  0 sao cho B(a, r )  U . Cho f  C k (U ) , khi đó với mọi
x  B(a, r ) tồn tại    a, x  sao cho
1

1
1
1
f ( x)  f (a)  Ta ( f )  Ta2 ( f )  ... 
Tak 1 ( f )  Tk ( f ) .
1!
2!
(k  1)!
k!

1.3.3. Vi phân hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.3.22. (Vi phân cấp một)
Giả sử U là tập mở trong

n

, f :U 

n

là hàm vectơ xác định trên

U sao cho với mọi x U
f ( x)  ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f m ( x)) 

Trong đó, fi : U 

n

.

(i  1,2,..., m) là các hàm thành phần của hàm vectơ

f , xác định trên U .

Ta có định nghĩa sau
Hàm f : U 

n

đƣợc gọi là khả vi tại điểm a  (a1 , a2 ,..., an ) U nếu tồn

tại một ánh xạ tuyến tính A :
lim
h 0

hay là

n



m

sao cho

f (a  h)  f (a)  A(h)
 0,
h

f (a  h)  f (a)  A(h)   (h). h ,

Trong đó  (h)  0 h  (h1 , h2 ,...hn ) 

n

,  (h) là vô cùng bé khi h  0 , tức

là  (h)  0 khi h  0 .
Ánh xạ tuyến tính A đƣợc gọi là đạo hàm của hàm vectơ f và thƣờng
đƣợc kí hiệu là Df (a) hay f '(a) .


12

Định nghĩa 1.3.23. (Vi phân cấp cao)
Cho tập hợp mở U 

n

, a U . Giả sử f  C 2 (U ) . Nhƣ

, f :U 

ta đã biết hàm f khả vi tại a và với h  (h1 , h2 ,...hn ) ta có
f
(a)hi .
i 1 x
i
n

Df (a)h  

Mỗi đạo hàm riêng

f
là một ánh xạ từ U vào
xi

. Vì

f
có các đạo
xi

hàm riêng liên tục nên nó là hàm khả vi tại a và với k  (k1 , k2 ..., kn ) ta có
n
f
2 f
D (a)(k )  
kj .
xi
j 1 x x
i
j

Biểu thức
n
n
 n f


2 f
D   (a)hi )  k  
hi k j
j 1 x
i 1 j 1 x x

i

i
j

Là một dạng song tuyến tính trên

n



n

, ma trận của dạng song tuyến

  2 f (a) 
tính là ma trận vng 
.
 x x 
i
j

1i , j n

Ánh xạ song tuyến tính từ

n



n



xác định bởi ma trận này

đƣợc gọi là đạo hàm cấp hai của f tại a , kí hiệu là D 2 f (a) hay f '' (a) .
Nếu lấy k  h thì biểu thức
2 f
D f (a)(h, h)  
(a)hi h j
i , j 1 x x
i
j
n

2


13

Đƣợc gọi là vi phân cấp hai của f tại a , kí hiệu là d 2 f (a) . Thơng thƣờng
ta kí hiệu hi  dxi , khi đó vi phân cấp hai đƣợc viết dƣới dạng

 2 f (a)
dxi dx j .
i , j 1 x x
i
j
n

d 2 f (a)  

Tƣơng tự nhƣ trên thì ta sẽ định nghĩa đƣợc các vi phân cấp cao hơn của f .
1.4. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM
Định nghĩa 1.4.24. (Hàm lồi) Cho  là một tập con lồi của

n

. Một

hàm f xác định trên một tập lồi  đƣợc gọi là lồi nếu với mỗi x1 , x2 
và mỗi  ,0    1, ta có:
f  ax1  (1   ) x2   af ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) .

Hơn nữa, nếu với mỗi  ,0    1 và x1  x2 , ta có:
f  ax1  (1   ) x2   af ( x1 )  (1   ) f ( x2 ),

thì f đƣợc gọi là lồi chặt.
Định nghĩa 1.4.25. (Hàm lõm) Một hàm g xác định trên một tập lồi
 đƣợc gọi là lõm nếu hàm f   g là lồi. Hàm g là lõm chặt nếu g là

lồi chặt.
Định nghĩa 1.4.26. (Ma trận xác định)

 Ma trận A n  n đƣợc gọi là xác định dƣơng (tƣơng ứng xác định
âm; không xác định), nếu với mọi vectơ x 

n

, x  0 dạng toàn

phƣơng xác định bởi
Q( x )  x T A x .

chỉ nhận các giá trị dƣơng (tƣơng ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá
trị âm và giá trị dƣơng), tức là xT Ax  0, x  0, x 

n

.


14

 Nếu dạng tồn phƣơng chỉ nhận giá trị khơng âm (tƣơng ứng chỉ
nhận giá trị không dƣơng), ma trận đối xứng đƣợc gọi là nửa xác định
dƣơng (tƣơng ứng nửa xác định âm) và ma trận không xác định chính xác
khi nó khơng là ma trận nửa xác định dƣơng hoặc ma trận nửa xác định âm.
Ví dụ 1.4.1.
Ma trận xác định dƣơng

Ma trận xác định âm

Ma trận không xác định

2 0
0 1



 2 0 
 0 1



2 0 
 0 1



Q( x, y)  2 x 2  y 2

Q( x, y)  2 x 2  y 2

Q( x, y)  2 x 2  y 2

Mệnh đề 1.4.27. Cho f1 và f 2 là những hàm lồi trên tập lồi  . Khi
đó hàm f1  f 2 là lồi trên  .
Mệnh đề 1.4.28. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  . Khi đó af là
hàm lồi với bất kì a  0 .
Từ hai mệnh đề trên chúng ta có thể nhận thấy rằng tổ hợp
a1 f1  a2 f 2  ...  am f m của các hàm lồi cũng lồi.

Cuối cùng, chúng ta xét các tập xác định bởi các bất đẳng thức ràng

buộc cho hàm lồi.
Mệnh đề 1.4.29. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  . Tập
c   x x , f ( x)  c là lồi với mỗi số thực c .

Ta thấy rằng, vì giao của các tập lồi cũng là tập lồi nên tập các điểm
đồng thời thỏa mãn
f1 ( x)  c1 , f 2 ( x)  c2 ,..., f m  cm ,


15

Sao cho với mỗi f i là một hàm lồi, xác định một tập lồi. Điều này rất
quan trọng trong tốn học, bởi vì tập ràng buộc thường được định nghĩa
bằng cách này.
Mệnh đề 1.4.30. (Tính chất của hàm lồi khả vi) Cho f  C1 . Khi đó
f là lồi trên một tập lồi  nếu và chỉ nếu
f ( y)  f ( x)  f ( x)( y  x) , với mọi x, y  .

Đối với hàm khả vi cấp hai liên tục thì có một đặc tính khác trong tính lồi.
Mệnh đề 1.4.31. Cho f  C 2 . Khi đó f là lồi trên tập lồi  chứa
một điểm trong nếu và chỉ nếu ma trận Hessian F (ma trận của đạo hàm
riêng cấp hai) là nửa xác định dương trong  .
1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Cực trị của hàm nhiều biến bao gồm cực trị tự do và cực trị có điều
kiện. Trong mỗi phần ta sẽ đi tìm hiểu về cực trị địa phương, cực trị toàn
cục và các điều kiện cần, đủ cho bài toán cực trị của hàm nhiều biến.
1.5.1. Cực trị tự do
Cho hàm f :

n



. Bài tốn cực trị tự do là bài tốn: Tìm x0 

n

sao cho
f ( x0 )  inf f ( x) hoặc f ( x0 )  sup f ( x).
x

n

x

n

Nhƣ vậy, bài toán cực trị tự do là bài tốn tìm x0 để hàm f đạt giá trị
nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên

n

. Những giá trị đó chúng ta gọi là cực

trị toàn cục (xem định nghĩa ở bên dƣới).
Trƣớc hết chúng ta cần phân biệt khái niệm cực trị địa phƣơng và cực
trị toàn cục và mối liên hệ giữa chúng. Định nghĩa của các khái niệm này
nhƣ sau:

16

Định nghĩa 1.5.32. (Cực trị địa phƣơng)
1. Một điểm x* 

đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng của

n

f nếu tồn tại   0 sao cho f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  ) .

Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  ) , x  x * thì x * đƣợc gọi là
điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của f trên B( x*,  ) .
2. Một điểm x* 

đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng của

n

f nếu tồn tại   0 sao cho f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  ) .

Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  ) , x  x * thì x * đƣợc gọi là
điểm cực đại địa phƣơng thực sự của f trên B( x*,  ) .
Định nghĩa 1.5.33. (Cực trị toàn cục)
1. Một điểm x* 

f:

n



n

đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục của

nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

n

n

, x  x * thì x * đƣợc gọi là một

điểm cực tiểu toàn cục thực sự của f trên
2. Một điểm x* 

f:

n



n

.

n

.

đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục của

nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

n

n

.

, x  x * thì x * đƣợc gọi là một

điểm cực đại toàn cục thực sự của f trên

n

.

Từ định nghĩa trên chúng ta thấy rằng mỗi điểm cực tiểu (cực đại)
toàn cục cũng là một điểm cực tiểu (cực đại) địa phƣơng, nhƣng ngƣợc lại
nhìn chung khơng đúng. Tuy nhiên đối với lớp các hàm lồi, ngƣời ta chứng
minh đƣợc mỗi điểm cực tiểu địa phƣơng của hàm f cũng là điểm cực tiểu
toàn cục. Tƣơng tự nếu f là hàm lõm, thì mỗi điểm cực đại địa phƣơng
cũng là một điểm cực đại toàn cục.

17

Chú ý rằng, điểm cực tiểu (cực đại) toàn cục của hàm f là điểm cực
tiểu địa phƣơng của nó mà tại đó hàm f nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất)
trong tất cả các điểm cực tiểu (cực đại) địa phƣơng của nó. Vì thế, việc giải
bài tốn cực trị tự do, tức là việc tìm điểm cực trị tồn cục, thƣờng dẫn đến
bài tốn tìm cực trị địa phƣơng. Phần tiếp theo trình bày các đặc trƣng
cũng nhƣ các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực trị địa phƣơng.
i. Điều kiện cần cấp một
Định lý 1.5.34. (Định lý Fermat) Cho hàm f  C1 xác định trên
Nếu x * là một điểm cực trị địa phương của f trên

n

n

.

thì f ( x*)  0 .

Chứng minh.
Giả thuyết x * là điểm cực tiểu địa phƣơng của f . Giả sử
f ( x*)  0, f ( x*)  (a1 ,..., an ) với tọa độ nào đó khác 0. Lấy ei là vectơ có

các tọa độ bằng 0 ngoại trừ tọa độ thứ i bằng 1. Theo định nghĩa tính khả
vi thì
0  lim
t 0

f ( x * tei )  f ( x*)  f ( x*).(tei )
t

 f ( x * tei )  f ( x*)

 lim 
 ai  .
t 0
t



Nếu ai  0 , thì khi t đủ nhỏ ta thu đƣợc

f ( x * tei )  f ( x*)
 0 , và suy ra
t

f ( x * tei )  f ( x*) với t  0 đủ nhỏ. Nếu ai  0 thì ta cũng có bất đẳng

thức này với t  0 và đủ gần 0 . Điều này trái với tính cực tiểu địa phƣơng
của x * . Vậy f ( x*)  0 và định lý đƣợc chứng minh.
Định nghĩa 1.5.35. Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f đều
bằng 0 đƣợc gọi là điểm dừng của hàm. Hàm f chỉ có thể đạt cực trị tại


18

các điểm dừng. Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để có cực trị, nên điểm
dừng chƣa chắc là điểm cực trị.

Điều kiện cần cho điểm cực trị địa phƣơng dẫn đến n phƣơng trình
(mỗi một phƣơng trình cho mỗi thành phần của f ) với n ẩn (các thành
phần của x * ), trong nhiều trƣờng hợp có thể giải để xác định nghiệm.
Chúng ta minh họa bằng ví dụ sau:
Ví dụ 1.5.2. Xét bài tốn
min f ( x1 , x2 )  x12  x1 x2  x22  3x 2 .

Cho các đạo hàm riêng của f bằng khơng thì ta đƣợc hai phƣơng trình:
2x1  x2  0

 x1  2x 2  3

Từ đó ta có nghiệm duy nhất x1  1, x2  2 . Đây là một điểm cực tiểu toàn
cục của f vì khơng có nghiệm nào của hệ phƣơng trình trên mà giá trị tại
nghiệm đó bé hơn giá trị nghiệm vừa tìm đƣợc.
ii. Điều kiện cần cấp hai
Mệnh đề 1.5.36. Giả sử x * là một điểm cực tiểu địa phương trên
của hàm f  C 2 :

n



n

. Khi đó,

i.

f ( x*)  0 ,

(1.5.1)

ii.

d T 2 f ( x*)d  0 , với mọi d.

(1.5.2)

Để đơn giản chúng ta thường kí hiệu 2 f ( x) , ma trận n  n của đạo
hàm riêng cấp hai của f , ma trận Hessian của f kí hiệu là F ( x) . Điều
kiện (1.5.2) là tương đương với ma trận F ( x*) là nửa xác định dương.


19

iii. Điều kiện đủ cấp hai
Mệnh đề 1.5.37. Cho f  C 2 là một hàm xác định trong

n

. Giả sử

điểm x * thỏa mãn các điều kiện
1. f ( x*)  0 ,
2. F ( x*) xác định dấu.
Khi đó x * là một điểm cực tiểu địa phương thực sự của f nếu F ( x*)
xác định dương và x * là một điểm cực đại địa phương thực sự của f nếu
F ( x*) xác định âm. Nếu F ( x*) khơng xác định thì x * không phải là cực

trị của f.
Chứng minh.
1. F ( x*) xác định dƣơng: Vì F ( x*) là xác định dƣơng, nên có một hệ
số a  0 thỏa mãn với mọi d thì d T F ( x*)d  a d . Chính vì vậy theo định
2

lí Taylor
1
f ( x * d )  f ( x*)  d T F ( x*)d  o d
2


2

a 2
2
d  o d ),
2

Với d nhỏ thì điều kiện đầu tiên bên phải sẽ chi phối điều kiện thứ hai,
sao cho cả hai vế đều dƣơng với d nhỏ.
2. F ( x*) xác định âm tƣơng tự.
Nhận xét 1.5.38. Chúng ta có thể dùng tiêu chuẩn sau để nhận biết
ma trận F ( x*) là xác định dương hay xác định âm:
1. Nếu tất cả các định thức con chính của F ( x*) đều dương thì điểm dừng
x * là điểm cực tiểu của nó.


20

2. Nếu F ( x*) có các định thức con chính cấp lẻ âm và tất cả các định thức
con chính cấp chẵn dương thì điểm dừng x * là điểm cực đại của nó.
Ví

dụ

1.5.3.

Tìm

cực

trị

địa

phƣơng

của

hàm

số

y2 z2 2
f  x
   x, y , z  0  .
4x y z

Lời giải.

Ta tính các đạo hàm riêng:
y2
y z2
2z 2
y2
1 2z 2
'
'
''
''
f 1 2 , fy 
 , fz 
 , f xx  3 , f yy 

,
4x
2x y2
y z2
2x
2x y3
2 4
y
2z
f zz''   3 , f xy''   2 , f xz''  0, f yz''   2 .
y z
2x
y
'
x

Giải hệ f x'  0; f y'  0; f z'  0 với x  0, y  0, z  0 ta đƣợc 1 nghiệm
1

 ;1;1 . Thay vào các đạo hàm riêng cấp 2 ta có:
2

f xx''  4, f yy''  3, f zz''  6, f xy''  2, f xz''  0, f yz''  2.

 4 2 0 
1


Xét F  ;1;1   2 3 2  có: các định thức con chính:
2
 

 0 2 6 
F1  4  0; F2 

4

2

2

3

4

2

0

 8  0; F3  2

3

2  32  0 .

0

2

6

1

1

Vậy  ;1;1 là cực tiểu của hàm và f min  f  ;1;1  4 .
2

2


Nhận xét 1.5.39. Đối với trường hợp hàm hai biến, chúng ta có tiêu
chuẩn chi tiết hơn như sau: Giả sử hàm f  C 2 đi từ

2



có điểm