Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải toán hình học tọa độ oxy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
TÊN ĐỀ TÀI:

RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC GIẢI TỐN HÌNH
HỌC TỌA ĐỘ OXY

Giáo viên hướng dẫn: Thạc sĩ NGÔ THỊ BÍCH THỦY
Sinh viên thực hiện: ĐINH THỊ BÍCH NGÂN

Đà Nẵng – 05/2017


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: ................................................................................ 1
II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI:........................................................................... 2
III. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: ...................................................................... 2
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: ...................................................................... 2
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: ............................................................... 2
VI. BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI: ............................................................................. 3
VII. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI: ...................................................................... 3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 4
1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TƯ DUY ............................................ 4

1.1.1 Khái niệm: ........................................................................................4
1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tư duy: ............................................................4
1.1.3 Quá trình của tư duy: ........................................................................5
1.2. KHÁI NIỆM TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở
THPT: .................................................................................................................6
1.2.1. Tư duy sáng tạo là gì? ......................................................................6
1.2.2. Các đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo: ......................................7
1.3. RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG MỐI
LIÊN HỆ VỚI CÁC LOẠI HÌNH TƯ DUY KHÁC: ..................................... 15
1.3.1. Với tư duy biện chứng: .................................................................15
1.3.2. Với tư duy logic: ...........................................................................15
1.4. MỘT SỐ BIỂU HIỆN CỬ TƯ DUY SÁNG TẠO ................................... 15


1.5. VÀI NÉT ĐÁNH GIÁ VỀ TÌNH HÌNH RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN
TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC TỐN Ở PHỔ
THƠNG HIỆN NAY: ...................................................................................... 16
CHƯƠNG 2: MƠN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY VỚI VIỆC RÈN LUYỆN VÀ
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO ................................................................... 17
2.1. ĐẶC ĐIỂM CỦA MƠN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY: ............................17
2.2. NỘI DUNG CƠ BẢN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY Ở PHỔ THƠNG: ....18
2.3. TIỀM NĂNG CỦA MƠN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ ĐỐI VỚI VIỆC RÈN
LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO: .......................................19
CHƯƠNG 3: CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC GIẢI TỐN HÌNH HỌC
TỌA ĐỘ OXY .........................................................................................................20
3.1. MỘT SỐ CĂN CỨ ĐỂ ĐƯA RA CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: ......20
3.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP CỤ THỂ: ..............................................................20
3.2.1. Biện pháp 1: ...................................................................................20
3.2.2. Biện pháp 2: ...................................................................................24

3.2.3. Biện pháp 3: ...................................................................................36
3.2.4. Biện pháp 4: ...................................................................................40
3.2.5. Biện pháp 5: ...................................................................................50
KẾT LUẬN ..............................................................................................................56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 57


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI, thế kỉ của sự phát triển của các ngành
khoa học công nghệ cao, thế kỉ của nền kinh tế tri thức. Trong bối cảnh đó, nhu cầu
của xã hội địi hỏi ngành giáo dục đào tạo ra những con người mới có đầy đủ những
phẩm chất, năng lực phục vụ cho công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc.
Tốn học có nguồn gốc trong thực tiễn, khoa học về các cấu trúc tổng quát,
các quan hệ trừu tượng hóa từ các đối tượng của thực tế nên có điều kiện đi sâu vào
thực tế. Nó cịn là mơn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện
phương pháp giải quyết các vấn đề, rèn trí thơng minh sáng tạo. Ngồi ra, nó cịn
giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu của con người lao động mới như:
cần cù và nhẫn nại, ý chí vượt khó, cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo và
bồi dưỡng óc thẩm mĩ…
Trong q trình học Tốn, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém về tư
duy sáng tạo: nhìn các đối tượng Tốn học một cách rời rạc, chưa thấy được mối
liên hệ giữa các đối tượng tốn học, khơng linh hoạt trong việc điều chỉnh hướng
suy nghĩ khi bắt gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng một cách
máy móc những kinh nghiệm đã có vào hồn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng
những yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài tốn. Từ đó
dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải tốn. Do vậy, việc rèn
luyện và phát triển tư duy cho học sinh nói chung và tư duy sáng tạo cho học sinh

phổ thông qua dạy học Tốn nói riêng là một u cầu cấp bách.
Thơng qua dạy học mơn Tốn, cùng với tư duy lôgic và tư duy biện chứng, tư
duy sáng tạo góp phần tạo cơ sở trang bị cho học sinh những hiểu biết sâu sắc về
các kiến thức Toán học và nâng cao kết quả học tập. Mặt khác, Toán học phổ thơng
nói chung và hình học tọa độ Oxy nói riêng ln chứa đựng các yếu tố mới mẻ và
những cách giải sáng tạo, do đó mơn Tốn rất thuận lợi cho việc rèn luyện và phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

1


Khóa luận tốt nghiệp

Với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học, dạy học theo năng lực, lấy học
sinh làm trung tâm, tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải tốn Hình học tọa độ Oxy”
II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI:
Nghiên cứu những vấn đề cơ bản của tư duy sáng tạo, phát hiện những tiềm
năng có thể rèn luyện tư duy sáng tạo trong mơn Hình học tọa độ Oxy, từ đó đề xuất
những biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
trung học phổ thông thông qua dạy học bài tập hình học tọa độ Oxy, góp phần nâng
cao chất lượng dạy học Toán.
III. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:
Dạy Hình học tọa độ Oxy nếu được quan tâm, chú ý và coi trọng đúng mức:
“Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh” dựa trên cơ sở kết hợp tư
duy logic và tư duy biện chứng cùng sự tôn trọng nội dung sách giáo khoa thì sẽ
góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:
1. Vấn đề về tư duy, tư duy sáng tạo.

2. Phân tích nội dung chương trình Hình học 10 để phát hiện những tiềm năng
có thể rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
3. Đề xuất một số biện pháp cần thiết để thực hiện “Rèn luyện và phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh qua giải tốn Hình học tọa độ Oxy”.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến tư duy sáng
tạo, năng lực tư duy sáng tạo, các phương pháp tư duy toán học, các phương pháp
phát triển năng lực tư duy toán học nhằm hiểu rõ bản chất của tư duy sáng tạo, cách
thức rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, các tài liệu tham khảo về Hình học
tọa độ Oxy để tìm ra nhiều bài tập mang tính tư duy sáng tạo để rèn luyện cho học
sinh.

2


Khóa luận tốt nghiệp

- Tham khảo ý kiến của giáo viên đi trước, của học sinh về việc dạy và học
tốn Hình học tọa độ Oxy; về phương pháp rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo
và kĩ năng vận dụng chúng vào giải các bài tập.
VI. BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số vấn đề cơ bản của tư duy.
1.2. Khái niệm của tư duy sáng tạo trong dạy học Toán ở trường THPT.
1.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong mối liên hệ với các loại hình
tư duy khác.
Chương 2: Mơn hình học tọa độ Oxy với việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng
tạo.
2.1. Đặc điểm của mơn hình học tọa độ Oxy.

2.2. Nội dung cơ bản hình học tọa độ Oxy ở phổ thơng.
2.3. Tiềm năng của mơn hình học tọa độ Oxy đối với việc rèn luyện và phát
triển tư duy sáng tạo.
Chương 3: Các biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua
dạy học giải tốn hình học tọa độ Oxy
3.1. Một số căn cứ để đưa ra các biện pháp thực hiện.
3.2. Một số biện pháp cụ thể.
VII. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI:
- Về lý luận: Làm sáng tỏ nội dung “Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh” trong giải tốn Hình học tọa độ Oxy.
- Về thực tiễn: Xây dựng và vận dụng một số biện pháp “Rèn luyện và phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh” trong dạy học Hình học tọa độ Oxy.
Với hai đóng góp nhỏ trên, hy vọng đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho
các giáo viên trẻ mới vào nghề khi phải thực hiện một nhiệm vụ cấp bách và cũng
rất khó khăn: “Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học
mơn Tốn”.

3


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TƯ DUY:
1.1.1 Khái niệm:
Theo từ điển Tiếng Việt: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi
sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như
biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”.
Theo từ điển Tâm lý học: “Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý
tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản

ảnh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự
vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.
Theo từ điển của Triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất
được tổ chức một cách đặc biệt của bộ não, q trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,…Tư duy xuất hiện trong quá
trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián
tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”.[1]
1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy:
a) Tính có vấn đề:
Vấn đề là những tình huống, hồn cảnh chứa đựng một mục đích mới, một vấn
đề mới và những phương tiện, phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây tuy cịn
cần thiết nhưng khơng đủ sức để thực hiện. Và muốn để vượt khỏi phạm vi những
hiểu biết cũ đó thì con người phải tìm cách thức giải quyết mới, tức là con người
phải tư duy.
b) Tính gián tiếp:
Tư duy của con người mang tính gián tiếp. Điều đó thể hiện ở chỗ, trong q
trình tư duy, con người sử dụng các phương tiện công cụ khác nhau để nhận thức sự
vật, hiện tượng mà không thể trực tiếp tri giác. Sở dĩ có thể nhận thức được gián
tiếp bởi vì giữa sự vật, hiện tượng có mối liên hệ mang tính quy luật. Mặt khác, tư
duy được phản ánh bằng ngôn ngữ nên tư duy phản ánh gián tiếp. Đây là một loại
phương tiện nhận thức đặc thù của con người.
c) Tính trừu tượng và khái quát hóa của tư duy:
4


Khóa luận tốt nghiệp

Khác với nhận thức cảm tính, tư duy không phản ảnh sự vật, hiện tượng một
cách riêng lẻ. Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật hiện tượng những thuộc
tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho

nhiều sự vật hiện tượng, trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật hiện tượng riêng
lẻ nhưng có thuộc tính chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Nói cách
khác tư duy mang tính trừu tượng và khái quát.
d) Tư duy gắn liền với ngôn ngữ:
Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ. Kết
quả tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ. Mối quan hệ của tư duy và ngôn ngữ là mối
quan hệ biện chứng. Tư duy khơng thể tồn tại dưới bất cứ hình thức nào khác ngồi
ngơn ngữ. Bất kỳ ý nghĩ, tư tưởng nào cũng đều nảy sinh, phát triển gắn liền với
ngôn ngữ. Đó là mối quan hệ giữa nội dung và hình thức. Nếu khơng có ngơn ngữ
thì q trình tư duy của con người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm
của tư duy (khái niệm, phán đoán,…) cũng không được chủ thể và người khác tiếp
nhận được.
e) Mối quan hệ của tư duy và nhận thức:
Tư duy là kết quả của nhận thức đồng thời là sự phát triển cấp cao của nhận
thức. Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng được
phản ánh từ thực tế khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tượng bên
ngồi được phản ánh một cách riêng lẻ. Sau đó, cùng với sự hỗ trợ của ngôn ngữ,
hoạt động tư duy tiến hành các thao tác, so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, quy
nạp những thông tin riêng lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, loại bỏ những cái
ngẫu nhiên để tìm ra nội dung, bản chất của sự vật, hiện tượng, từ đó phát triển
thành khái niệm, phạm trù, định luật,…
1.1.3. Quá trình của tư duy
Tư duy là quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễn biến và
kết thúc.
Sơ đồ của quá trình tư duy do K.K.Platônôp [3] xây dựng như sau:

5


Khóa luận tốt nghiệp

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Chính xác

Giải quyết vấn đề

Phủ định

Hoạt động tư duy mới

Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều thao
tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hóa, khái qt hóa.
Kết quả của q trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu hiện ở
khả năng con người có thể xây dựng được những khái niệm chung gắn liền với sự
trình bày của những quy luật tương ứng.
1.2. KHÁI NIỆM TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC TỐN Ở THPT:
1.2.1 Tư duy sáng tạo là gì?
“Sáng tạo” theo Từ điển Tiếng Việt là tạo ra giá trị mới về vật chất, tinh thần.
Tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới khơng bị gị bó, phụ thuộc vào cái đã có.
Nội dung của sự sáng tạo gồm có hai ý chính: có tính mới (khác với cái cũ, cái đã

biết) và có lợi ích (có giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo bao giờ cũng cần thiết
cho bất kì hoạt động nào của xã hội loài người.

6


Khóa luận tốt nghiệp

Trong cuốn “Phương pháp duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu
toán học”, tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy
từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới”. Cũng theo tác giả thì “Người có
óc sáng tạo là người có kinh nghiệm phát triển và giải quyết vấn đề.”[4]
Theo Lecne thì có hai kiểu tư duy cá nhân: “Một kiểu là tư duy tái tạo hay tái
hiện, kiểu kia là tư duy tạo ra cái mới hay sáng tạo.”[5]
Tư duy sáng tạo là tư duy mà kết quả là tạo được một cái gì đó mới. Tư duy
sáng tạo dẫn đến tri thức mới về thế giới hoặc phương thức hoạt động mới.
Tư duy sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát hiện ra quy luật của sự
vật, có ý thức ln tìm ra cái mới để hiểu rõ hơn bản chất của sự vật hiện tượng
cũng như tìm ra nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ những cái xấu và phát triển những
cái tốt.
Như vậy, tư duy sáng tạo là một thuộc tính bản chất của con người để tồn tại
và phát triển những điều tốt đẹp và loại bỏ, ngăn chặn những điều có hại đối với con
người.
Tư duy sáng tạo có tính khởi đầu, sản sinh ra một sản phẩm phức tạp. Tư duy
sáng tạo có tính phát minh, trực giác tưởng tượng và phát triển liên tục. Kiến thức
trước đó được tổng hợp và mở rộng để sản sinh ra những ý tưởng mới. Và những ý
tưởng mới này chịu sự phân tích, phê phán và tính hiệu quả của chúng được xét đến
trong việc giải quyết bài toán.
1.2.2. Các đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo:
Theo nghiên cứu của những nhà tâm lí học, giáo dục học, các nhà khoa học

giáo dục về cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có thể thấy các đặc trưng cơ bản sau:
a) Tính mềm dẻo:
Đó là năng lực dễ dàng thay đổi trật tự của hệ thống tri thức, đổi từ góc độ
quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, biết
thay đổi phương pháp sao cho phù hợp với điều kiện, hồn cảnh, khơng bị gị bó,
rập khn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã
có vào hồn cảnh mới trong đó có nhiều yếu tố đã thay đổi; kịp thời và nhanh chóng

7


Khóa luận tốt nghiệp

điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại và tìm ra hướng giải quyết mới cho một
vấn đề.
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3;0)
và B(1; 1). I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I thuộc đường thẳng
d : 3x  y  2  0 . Xác định tọa độ điểm C biết rằng diện tích của ABCD bằng 9.

Khi giải bài tốn trên, để tìm tọa độ điểm C, học sinh thường nghĩ đến hướng
giải C là giao điểm của CA và CD, CB và CA hay CD và CB. Tuy nhiên trong bài
này để viết được các phương trình CA, CB, CD theo cách thơng thường (tìm vectơ
pháp tuyến (VTPT) hoặc vectơ chỉ phương (VTCP) và một điểm thuộc đường thẳng
đó) nhưng khơng thể mà nó tìm được thơng qua khai thác một cách mềm dẻo các
tính chất của hình bình hành. Do đó lời giải của bài trên như sau:
Ta có:

d

I  d : 3x  y  2  0  I (a;3a  2)

A

Đường thẳng AB có VTPT nAB  (1;4)

B
I

và đi qua điểm A(3;0) nên có
phương trình là: x  4 y  3  0 và độ
dài AB  17

D

C

Vì ABCD là hình bình hành và I là
giao điểm hai đường chéo nên ta có:
13a  11
1
S ABCD  4S ABI  4. AB.d ( I , AB)  2 17.
9
2
17

1

a

9

2
 13a  11   

31
2
a 
26


1
 1 1
Với a    I   ;  . Vì I là trung điểm của BC nên:
2
 2 2
 xA  xC  2 xI  xC  2
 y  y  2 y  y  1  C (2;1)
C
I
C
 A

8


Khóa luận tốt nghiệp

Với a  

31
 31 41 

 I   ;   . Vì I là trung điểm của AC nên:
26
 26 26 

8

x

x

2
x

x

A
C
I
C

13  C  8 ;  41 



 13 13 
 y A  yC  2 yI  yC   41
13


 8 41 

Vậy tọa độ điểm C cần tìm là: C (2;1) hoặc C  ;   .
 13 13 
Như vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng
tạo, do đó để có thể rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, ta có thể
cho các em giải một số bài tập mà thơng qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư
duy.
b) Tính nhuần nhuyễn:
Tính nhuần nhuyễn trong tư duy là sự tổ hợp nhanh chóng, dễ dàng các yếu tố
riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Tính
nhuần nhuyễn thể hiện rõ ở tính đa dạng của cách xử lí khi giải tốn, khả năng tìm
nhiều phương pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn
đề cần giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất
được nhiều phương án giải quyết khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu.
Ví dụ: Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC có
A (2;5) , B (6;2) , C (6, 1)

Cách 1: Sử dụng cơng thức tính khoảng cách:
Bước 1: Tìm PTTQ hai đường thẳng

A

AB, AC
Đường

thẳng

AB

có

VTPT

nAB  (3; 4) và qua A (2;5) nên có

M

B

phương trình AB : 3x  4 y  26  0

C

9


Khóa luận tốt nghiệp

Đường thẳng AC có VTPT nAC  (1; 3) và qua A (2;5) nên có phương trình

AC : 3x  4 y  14  0
Bước 2: Với mọi điểm M ( x; y) bất kì nằm trên đường phân giác góc A đều thỏa:
d (M , AB)  d (M , AC )



3x  4 y  26 3x  4 y  14
x  2  0


5

5
y 5  0

Bước 3: Xác định đường phân giác trong, phân giác ngoài
Thay B (4;3) , C (9, 2) vào phương trình: x  2  0 và xét tích của chúng:
4.8  32  0 . Suy ra đường thẳng có phương trình: x  2  0 là đường phân giác

trong của góc A
Cách 2: Sử dụng tính chất của đường phân giác để tìm tọa độ chân của đường phân
giác trong.
Bước 1: Xác định tọa độ điểm D là

A

chân của đường phân giác trong của
góc A
Ta có: D  BC, AB  5, AC  10.
Lại có:

DB AB
AB

 DB  
DC
DC AC
AC

B

D

C

1
 DB   DC  D(2;1)
2
Bước 2: Viết phương trình AD
Đường phân giác trong góc A đi qua A (2;5) và D (2;1) nên có phương trình:
x  2

Cách 3: Sử dụng cơng thức tính góc để tìm tọa độ chân đường phân giác trong.
Bước 1: Xác định tọa độ D là chân đường phân giác
Ta có: nAB  (3; 4) , nAC  (1; 3)
Đường thẳng BC có VTPT nBC  (1;4) đi qua C (6, 1) nên có phương trình là:
x  4 y  2  0  D(2  4t; t )  nAD  (5  t;4  4t )

Điểm D thỏa mãn: cos( AB; AD)  cos( AC; AD)
10


Khóa luận tốt nghiệp



3(5  t )  4(4  4t )



3(5  t )  4(4  4t )

5. (5  t ) 2  (4  4t ) 2 5. (5  t ) 2  (4  4t ) 2
 3(5  t )  4(4  4t )  3(5  t )  4(4  4t )
 t  1  D(2;1)
Bước 2: Viết phương trình AD:
Tương tự như cách 2. Suy ra: x  2  0 là đường phân giác trong của góc A.
c) Tính độc đáo:
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi: khả năng tìm ra những liên tưởng
và những kết hợp mới; khả năng nhìn ra mối liên hệ bên trong sự kiện mà bên ngồi
tưởng như khơng có liên hệ với nhau; khả năng tìm ra những giải pháp lạ để giải
quyết vấn đề. Tính độc đáo là đặc trưng cơ bản nhất của tư duy sáng tạo, là dấu hiệu
để phân biệt tư duy sáng tạo với các dạng tư duy khác.
Ví dụ: Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC có
A (2;5) , B (6;2) , C (6, 1).

Ở phần trên ta đã tìm được 3 lời giải cho bài tốn này, nhưng đó là hồn tồn
dựa trên kiển thức về tính chất, định nghĩa của đường phân giác. Tuy nhiên trong
phần này, ta có thể tìm ra lời giải mang tính độc đáo, sáng tạo hơn 3 cách trên. Cách
thực hiện như sau:
Bước 1: Tạo một tam giác cân AMN với M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC
bằng cách:

AM 

1
1
AB , AN 
AC , ta có:
AB
AC

A

AM  AN  1 nên AMN cân

N
M

1
 14 22 
AB  M 
; 
Từ AM 
AB
 5 5 
Từ AN 

1
 6 22 
AC  N  ; 
AC
 5 5 

B

H

D

C

Gọi H là trung điểm của MN

22 

 H  2; 
5 


11


Khóa luận tốt nghiệp

Ta có H là trung điểm MN suy ra AH cũng là đường phân giác trong góc A.
Bước 2: Viết phương trình AH

22 

Đường thẳng AH đi qua A(2;5) và H  2;  có phương trình là: x  2.
5 

d) Tính nhạy cảm:
Tính nhạy cảm là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu thuẫn, sai
lầm, sự thiếu lôgic, chưa tối ưu từ đó nảy sinh ý muốn cấu trúc lại hợp lí, hài hịa,
tạo ra cái mới.
Ví dụ: Cho họ đường cong  Cm  có phương trình: x2  y 2  2mx  2(3  2m) y
 3m  1  0, với m là tham số. Khi  Cm  là đường trịn, hãy tìm tập hợp tâm I của

đường tròn  Cm  khi m thay đổi.
Đây là một bài tốn cơ bản về quỹ tích của một điểm nào đó khi tham số m

thay đổi. Học sinh dễ dàng giải được như sau:
Ta có: I (m;2m  3), điều kiện để  Cm  là đường tròn là:
a 2  b2  c  0
 m2  (2m  3)2  3m  1  0

 m2  3m  2  0
 m  1 m  2
Khi đó, tâm I (m;2m  3) của  Cm  tức là:

x  m
 y  2m  3

Ta suy ra: 2 x  y  3  0 .
Đến đây học sinh vội vã kết luận quỹ tích tâm I của họ đường trịn  Cm  nằm
trên đường thẳng 2 x  y  3  0. Do khơng hạn chế quỹ tích nên cách giải trên
khơng cịn ý nghĩa.
Để có được kết quả đúng, ta chỉ cần kết luận và chỉ ra phần giới hạn của quỹ
tích như sau: Quỹ tích tâm I của họ đường tròn  Cm  nằm trên đường thẳng

2 x  y  3  0 với x  (,1)  (2; ).
12


Khóa luận tốt nghiệp

e) Tính hồn thiện:
Tính hồn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩa và hành động,
phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến  của đường tròn (C ) : ( x  1) 2 ( y  2)2
 9, biết  đi qua điểm A(4;5).

Để giải quyết bài toán về tiếp tuyến của đường trịn (C ) với tâm I (a; b), bán
kính R thỏa mãn điều kiện ( ) nào đó, giáo viên hướng dẫn học sinh đưa ra các
bước thực hiện sau:
Bước 1: Đưa đường thẳng  dạng: ax  by  c  0 thỏa mãn điều kiện ( )
Bước 2: Đường thẳng  khi và chỉ khi d ( I , )  R .
Ta giải quyết ví dụ trên như sau:
(4;5)

I
(C)

Đường

thẳng

 có

VTPT

n  (a; b)

đi

qua

A(4;5)

nên

có

dạng:

2
2
ax  by  4a  5b  0 (a  b  0)

Khi đó:  tiếp xúc với đường tròn (C ) nên:
3a  7b
a 2  b2

 3  40b 2  42ab  0

b  0

21
a
b 
20


13


Khóa luận tốt nghiệp

Tại b  0 , phương trình tiếp tuyến của đường thẳng  là: x  4  0
Tại b  

21
a , phương trình tiếp tuyến của đường thẳng  là: 20 x  21y  25  0
20

Tuy nhiên câu hỏi đặt ra ở đây là: để viết phương trình tiếp tuyến chung của
(C1 ) , (C2 ) lần lượt có tâm I1 , I 2 và bán kính R1 , R2 ta thực hiện như thế nào? Khi

đó giáo viên phải khéo léo, linh hoạt mở rộng bước 2 ở trên và chỉ ra được điều kiện
tiếp xúc:
d ( I , )  R1
 tiếp xúc với (C1 ) , (C2 ) khi và chỉ khi  1
d ( I 2 , )  R2

Chẳng hạn: Viết phương trình tiếp tuyến chung  của hai đường tròn (C1 ) , (C2 )
(C1 ) : ( x  2)2  y 2  4 và (C2 ) : ( x  1)2  ( y  2)2  1

Ta có: Phương trình tổng qt (PTTQ) của đường thẳng  : ax  by  c  0 với
a 2  b2  0

 a  2b  c
1

 a 2  b2
Đường thẳng  tiếp xúc với (C1 ) , (C2 ) khi: 
 2a  c  2
 a 2  b 2
(a  2b  c) 2  a 2  b 2
 c  4b
 a  2b  c  a 2  b 2
 

Ta có: 

  c   4 ( a  b)
2 a  2b  c  2a  c
 
3

b  0
- Với c  4b , ta có: (a  2b  4b) 2  a 2  b 2  
3b  4a
+ Với b  0  c  0 chọn a  1 , ta có phương trình tiếp tuyến: x  0
+ Với 3b  4a , chọn a  3 , b  4  c  16 , ta có phướng trình tiếp tuyến là:

3x  4 y  16  0
4
- Với c   (a  b) . Tương tự ta thấy phương trình vơ nghiệm.
3
Vậy tiếp tuyến của hai đường tròn là:  : x  0

 : 3x  4 y  16  0.
14


Khóa luận tốt nghiệp

Các đặc trưng của tư duy sáng tạo khơng tách rời nhau mà trái lại chúng có
mối quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau.
1.3. RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG MỐI
LIÊN HỆ VỚI CÁC LOẠI HÌNH TƯ DUY KHÁC:
1.3.1. Với tư duy biện chứng:

Trong tư duy biện chứng, khi xem xét sự vật, phải xem xét đầy đủ với tất cả
các tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, tất cả các
mối quan hệ phong phú, phức tạp của nó với sự vật khác. Đây là cơ sở để học sinh
học tốn một cách sáng tạo, khơng gị bó, rập khn. Bên cạnh đó chúng ta cịn phải
xem xét sự vật trong sự mâu thuẫn và thống nhất, giúp học sinh học toán một cách
chủ động và sáng tạo, thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề và định hướng giải
quyết vấn đề. Do đó, tư duy biện chứng góp một phần quan trọng và đắc lực trong
việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.3.2. Với tư duy logic:
Nếu trong việc phát hiện và định hướng cách giải quyết vấn đề, tư duy biện
chứng đóng vai trị chủ đạo thì khi hướng giải quyết vấn đề đã có, tư duy logic sẽ
nắm giữ vai trị chính nhằm xác định tính đúng đắn của một phán đốn mới. Các
kiến thức tốn học được hình thành chủ yếu thơng qua con đường trừu tượng hóa và
được phát triển theo các quy luật tư duy biện chứng, nhưng việc sắp xếp trình bày
chúng mang tính hình thức triệt để phải dựa trên các quy luật của tư duy logic. Các
quy luật cơ bản của tư duy logic yêu cầu trong q trình tư duy phải giữ vững
nghiêm ngặt tính đồng nhất của các tiên đề. Từ đó kết luận rút ra mới đúng đắn.
Nếu trong quá trình lập luận mà thay đổi, đánh tráo nội dung các tiên đề thì khơng
thể nào đi đến kết luận chính xác được. Do đó, tư duy nói chung và tư duy sáng tạo
trong tốn học riêng cần có sự thống nhất của tư duy biện chứng và tư duy logic.
1.4. MỘT SỐ BIỂU HIỆN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO:
Tư duy sáng tạo của học sinh chỉ được phát triển qua hành động thực tế, trong
chiếm lĩnh tri thức toán học, vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập toán
trong những tình huống khác nhau. Từ những đặc điểm cơ bản của hoạt động sáng

15


Khóa luận tốt nghiệp

tạo trong học tập, ta có thể đưa những hiểu biết về tư duy sáng tạo của học sinh
trong học tập như sau:
- Vận dụng thành thục những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn cảnh mới.
Từ những điều đã được học, học sinh biết biến đổi những bài tập trong một tình
huống cụ thể hồn tồn mới nào đó về những cái quen thuộc, những cái đã biết để
áp dụng vào giải một cách dễ dàng.
- Khả năng phát hiện, đề xuất một cái mới từ một vấn đề quen thuộc, khơng
rập khn, máy móc, dễ dàng điều chỉnh hướng giải quyết trong điều kiện mới.
- Khả năng nhìn nhận đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó phát
hiện những tầm nhìn, những cách nhận định mới.
- Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết
một vấn đề.
- Có khả năng tìm nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho. Tức là
khả năng huy động các kiến thức cần thiết để đưa ra các giả thuyết hay các dự đoán
khác nhau khi giải một bài tốn.
- Khả năng tìm được cách giải độc đáo với bài tốn đã cho. Chẳng hạn có
những bài tốn trong đó có yếu tố hiện lên trực tiếp thơng qua ngơn ngữ nhưng
cũng có những yếu tố ẩn ngầm dưới cách diễn đạt khơng thể phát hiện, thậm chí
đánh lừa tư duy của học sinh. Lúc này, tư duy sáng tạo của người giải tốn là cần
phải nhìn ra trọng tâm yêu cầu của bài toán, phát hiện cái mới, khác lạ, khơng bình
thường để tìm ra lời giải cho bài tốn.
1.5. VÀI NÉT ĐÁNH GIÁ VỀ TÌNH HÌNH RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN
TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC TỐN Ở PHỔ
THƠNG HIỆN NAY:
Trong thời gian thực tập sư phạm, thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và qua
ý kiến thăm dò, trao đổi với một số giáo viên thì tơi nhận thấy rằng thực trạng dạy
và học toán hiện nay của học sinh và giáo viên bên cạnh những thuận lợi thì cịn
những khó khăn và tồn tại: tình hình rèn luyện và phát huy năng lực tư duy sáng tạo
vẫn còn rất khiêm tốn. Điều đó do nhiều nguyên nhân khách quan, chủ quan chính
sau:

16


Khóa luận tốt nghiệp

1. Các tài liệu viết về “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh” còn hạn chế
trong phạm vi học sinh giỏi, chuyên toán. Hơn nữa, nếu có thì chưa nêu cách thực
hiện cụ thể phù hợp với dạy học tốn phổ thơng.
2. Giáo viên ngại khối lượng kiến thức trong một tiết dạy quá nhiều, “Rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh” tốn nhiều thời gian.
3. Trình độ học sinh nói chung là cịn yếu, ít chịu khó suy nghĩ mà chỉ tập
trung nghe, ghi và nhớ.

17


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2: MƠN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY VỚI VIỆC RÈN LUYỆN VÀ
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO
2.1. ĐẶC ĐIỂM CỦA MƠN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY:
Hình học tọa độ Oxy là sự kết hợp giữa hình học phẳng và đại số. Hình học
tọa độ Oxy biểu diễn các quan hệ hình học thành những phương trình đại số thông
qua trung gian là hệ trục tọa độ Oxy, bằng cách thay thế các đối tượng và các quan
hệ hình học phẳng thành những đối tượng và quan hệ đại số, rồi sau đó dịch các tính
chất hình học phẳng thành tính chất đại số, quy bài tốn hình học phẳng về bài tốn
đại số. Có thể nói hình học tọa độ Oxy có mối liên quan chặt chẽ, mật thiết với hình
học phẳng, do đó để học tốt phân mơn này, học sinh cần có một nền tảng vững chắc
về hình học phẳng. Bên cạnh đó, mơn học này chứa một lượng kiến thức lớn, bài
tập vô cùng đa dạng, phong phú, có những bài tương đối phức tạp, thường xuất hiện

như một câu hỏi khó trong các đề thi đại học dưới dạng tự luận các năm gần đây,
gây nhiều khó khăn, trở ngại cho học sinh.
2.2. NỘI DUNG CƠ BẢN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY Ở PHỔ THƠNG:
 Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
- Vectơ đặc trưng của đường thẳng
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng
+ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Phương trình đường thẳng
+ Phương trình tham số của đường thẳng
+ Phương trình tổng qt của đường thẳng
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Góc giữa hai đường thẳng
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Đường trịn
- Phương trình của đường trịn
- Phương trình tiếp tuyến của đường trịn
- Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn
18


Khóa luận tốt nghiệp

- Sự tương giao giữa hai đường trịn
 Elip
- Phương trình chính tắc elip
- Hình dạng của elip
- Liên hệ giữa đường elip và đường tròn
2.3. TIỀM NĂNG CỦA MƠN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ ĐỐI VỚI VIỆC RÈN
LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO:

- Các chương trình, mục kiến thức trong Hình học tọa độ Oxy có liên quan
chặt chẽ với nhau, giúp học sinh dễ dàng phát hiện mối liên hệ giữa các kiến thức
toán.
- Mối liên hệ giữa Hình học tọa độ Oxy và hình học phẳng thuần túy giúp học
sinh rèn luyện được thao tác tương tự để phát hiện mệnh đề đúng, mệnh đề sai; qua
đó rèn luyện cho học sinh thao tác phát hiện, dự đoán, kiểm chứng, loại bỏ (nếu
thấy sai).
- Hệ thống bài tập đa dạng, phong phú, và nhìn chung khơng theo phương
pháp chứng minh định sẵn thể hiện một thuật giải mà phải dựa vào những đặc điểm
cụ thể để phân tích, phát hiện, lựa chọn phương pháp giải quyết thích hợp.
- Một số dạng tốn có nhiều con đường chứng minh, học sinh có thể rút ra cho
mình các quy trình giải tốn để ứng dụng về sau.
Tóm lại, mơn Hình học tọa độ Oxy có tiềm năng khai thác rất lớn để rèn luyện
và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông hiện nay.

19


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 3: CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC GIẢI TỐN HÌNH HỌC
TỌA ĐỘ OXY
3.1. MỘT SỐ CĂN CỨ ĐỂ ĐƯA RA CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
Để đề xuất các biện pháp thực hiện “Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua dạy học giải tốn Hình học tọa độ Oxy”, tơi căn cứ vào các
cơ sở sau:
1. Mục đích dạy học giải tốn Hình học tọa độ Oxy,
2. Đặc điểm của bài tập Hình học tọa độ Oxy,
3. Nội dung cần rèn luyện tư duy sáng tạo,

4. Mức độ, yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa và trình độ học sinh
trong từng lớp học.
Do vậy, các biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo phải cụ thể, dễ thực hiện và
phù hợp với nội dung, yêu cầu của sách giáo khoa.
3.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP CỤ THỂ:

3.2.1. Biện pháp 1: Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh có khả năng vận dụng
các kiến thức, kỹ năng đã biết vào giải tốn, nhất là các bài tốn có kiến thức mới.
Tác dụng: Bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh tính nhuần nhuyễn của tư duy
sáng tạo; giúp học sinh vận dụng các kiến thức, kỹ năng vào giải toán.
Cách thực hiện: Để thực hiện tốt biện pháp này thì việc đầu tiên người giáo
viên phải có sự hệ thống hóa lại các tri thức đã học để học sinh có được một sự tổng
hợp các kiến thức và kĩ năng cần thiết. Giáo viên sẽ xây dựng hệ thống bài tập hình
học tọa độ Oxy có khả năng vận dụng, có nội dung sáng tạo, thơng qua đó chỉ ra
dấu hiệu cho phép sử dụng kiến thức, kỹ năng nào vào bài tốn đã cho cũng như
nên có sự phối hợp các kiến thức, kỹ năng để giải quyết bài tốn hợp lý, ngắn gọn
nhất. Từ đó, hướng dẫn học sinh tự hình thành phương pháp chung.
Ví dụ:
Bài tốn 1: Cho một mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng:  : x  y  1  0
và đường thẳng  ' : 3x  4 y  5  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao
cho M cách  ' một khoảng cách bằng 3.
20


Khóa luận tốt nghiệp

Để giải quyết được bài tốn này, học sinh phải nắm vững kỹ thuật tham số hóa
tọa độ và cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Hướng dẫn giải:
Gọi M (t;1- t )   . Khi đó:

d ( M ,  ') = 3 

3t  4(1  t )  5
3 4
2

2

3

t  2
 7t  1  15  
16
t  
7

 M (2; 1)
   16 23 
M   ; 
  7 7 

 16 23 
Vậy M (2; 1) hoặc M   ;  .
 7 7 
Bài tốn trên có dạng: Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho M
cách  ' cho trước (đã biết phương trình) một khoảng khơng đổi.
Đây là một dạng tốn điển hình. Từ đó, giáo viên hướng dẫn cho học sinh tự
hình thành phương pháp chung để giải bài toán này:
Bước 1: Tham số hóa điểm M theo t ( do M  )

Bước 2: Lập phương trình chứa t là f (t )  0 từ dữ kiện d (M ,  ')  h
Bước 3: Giải phương trình tìm t giúp ta suy ra được tọa độ điểm M.
Bài toán 2: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

d1 : 2 x  y  5  0 , d2 : 3x  6 y  7  0 . Lập phương trình tổng quát đường thẳng 
đi qua điểm M (2; 1) sao cho  cắt d1 và d 2 tạo thành một tam giác cân tại đỉnh
là giao điểm của d1 và d 2 .
Để viết PTTQ của đường thẳng, chúng ta cần xây dựng được VTPT n  (a; b)
và điểm M  .
Ở bài toán này, khơng cần phải vẽ hình chính xác trên hệ trục tọa độ thì bằng
những kiến thức, kỹ năng đã được học, ta có thể xác định d1  d 2 . Tiếp tục khai
21


Khóa luận tốt nghiệp

thác dữ kiện d1 và d 2 tạo thành một tam giác cân, khi đó,  sẽ cắt d1 và d 2 tạo
thành một tam giác vuông cân hay  tạo với d1 (hoặc d 2 ) một góc 45.
Lúc này, học sinh phải áp dụng cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng để
tiếp tục thực hiện bài toán đã cho.
Hướng dẫn giải:
VTPT của đường thẳng d1 là:

n1  (2; 1)
VTPT của đường thẳng d 2 là:

n2  (3;6)
Ta có:

n1.n2  2.3  (1).6  0  d1  d2

Gọi VTPT của đường thẳng  là:
n  (a; b) với a 2  b2  0 .

Khi đó  cắt d1 và d 2 tạo thành một
tam giác vuông cân.
Suy ra  tạo với d1 (hoặc d 2 ) một góc 45 .
Do đó: cos(, d1 )  cos 45 

2a  b
5. a 2  b2



1
2

 2(2a  b)2  5(a 2  b2 )  3a2  8ab  3b2  0
 (a  3b)(3a  b)  0

 a  3b
 
3a  b
a  3
+ Với a  3b , chọn 
b  1
Suy ra  có VTPT n  (3;1) và đi qua điểm M (2, 1) nên có phương trình là:

3x  y  5  0
a  1
+ Với 3a  b , chọn 

b  3
22