Phương trình vô định nghiệm nguyên và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VẨ ĐẨO TẠO
ĐẠIăH CăĐẨăN NG

LÊăTHỊăKIMăÁNH

PH

NGăTRỊNHăVÔăĐỊNHăNGHIỆMăNGUYÊNă
VẨăỨNGăDỤNG

LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C

ĐƠăn ngă - Nĕmă2015


BỘ GIÁO DỤC VẨ ĐẨO TẠO
ĐẠIăH CăĐẨăN NG

LÊăTHỊăKIMăÁNH

PH

NGăTRỊNHăVƠăĐỊNHăNGHIỆMăNGUNă
VẨăỨNGăDỤNG
Chun ngành: Ph

ngăphápătốnăs ăcấp

Mƣăsố:ăă60.46.01.13

LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C

Ng ờiăh ớngăd nă khoaăhọc:ăăTS.ăNGUYỄNă NG CăCHÂU

ĐƠăn ngă Nĕmă2015


LỜIăCAMăĐOAN
Tơiăxinăcamăđoanăluậnăvănănàyălàăcơngătrìnhănghiênăcứuăcủaăriêngătơi.
Cácă sốă liệu,ă kếtă quảă nêuă trongă luậnă vănă làă trungă thựcă vàă chưaă từngă
đượcăaiăcơngăbốătrongăbấtăkỳăcơngătrìnhănàoăkhác.

Tácăgiảăluậnăvăn

LêăThịăKimăÁnhă


MỤCăLỤC
M ăĐ U................................................................................................... 1
1. LỦ do chọn đ tƠi .................................................................................... 1
2. M c đích vƠ nhi m v nghên c u ............................................................ 1
3. Đ i t
4. Ph

ng vƠ ph m vi nghiên c u ............................................................ 1
ng pháp nghiên c u ......................................................................... 2

5. B c c c a lu n văn ................................................................................ 2
CH

NGă1.ăăKI NăTHỨCăCHU NăBỊ .................................................. 4

1.1. QUAN H CHIA H T TRÊN T P CÁC S NGUYÊN ....................... 4
1.2. QUAN H Đ NG D

TRÊN T P CÁC S NGUYÊN ....................... 6

1.3. LIÊN PHÂN S .................................................................................. 7
1.4. DẠNG TOẨN PH

NG................................................................... 10

1.4.1. Các khái ni m liên quan ........................................................... 10
1.4.2. Biểu di n s nguyên theo d ng toƠn ph
CH

NGă2.ăPH

ng.............................. 11

NGăTRỊNHăVÔăĐỊNHăB CăNH T ....................... 15

2.1. PH

NG TRỊNH VÔ Đ NH ............................................................. 15

2.2. PH

NG TRỊNH VÔ Đ NH B C NH T HAI N ........................... 15

2.2.1. Các đ nh nghĩa vƠ đ nh lỦ t n t i nghi m .................................. 15

2.2.2. ụ nghĩa hình học c a ph
2.3. PH

ng trình vơ đ nh b c nh t hai n ....... 18

NG PHÁP TỊM NGHI M C A PH

NG TRỊNH VÔ Đ NH

B C NH T HAI N ............................................................................... 18
2.3.1. Ph

ng pháp dùng thu t toán Euclide ....................................... 18

2.3.2. Ph

ng pháp dùng liên phơn s ................................................ 20

2.3.3. Ph

ng pháp bi n s nguyên .................................................... 21

2.3.4. Ph

ng pháp hƠm Euler ........................................................... 23


2.3.5. Phương pháp đưa về phương trình đồng dư ................................. 24
2.4. PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN ........................ 25
2.4.1. Định nghĩa và định lý tồn tại nghiệm............................................ 25

2.4.2. Phương pháp giải phương trình vơ định bậc nhất nhiều ẩn .......... 26
2.5. MỘT SỐ BÀI TOÁN DÂN GIAN VÀ BÀI TỐN ỨNG DỤNG ........ 28
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN ............ 36
3.1. PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH DẠNG TOÀN PHƯƠNG ....................... 36
3.1.1. Các định nghĩa và định lý ............................................................. 36
3.1.2. Phương pháp giải phương trình vơ định dạng tồn phương ......... 39
3.2. PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN ................................. 45
3.2.1. Một số khái niệm liên quan ........................................................... 45
3.2.2. Phương pháp giải của phương trình vô định bậc hai hai ẩn ......... 46
3.2.3. Một cách giải khác của phương trình dạng elip, phương trình
dạng hyperbolic ....................................................................................... 52
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH PELL ...................................................... 59
4.1. PHƯƠNG TRÌNH PELL ......................................................................... 59
4.1.1. Định nghĩa và nhận xét ................................................................. 59
4.1.2. Sự tồn tại nghiệm và công thức nghiệm của phương trình Pell... 60
4.1.3. Cách giải phương trình Pell bằng liên phân số ............................. 65
4.2. MỘT SỐ DẠNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ................................. 69
4.2.1. Phương trình Pell loại 2 ................................................................ 69
4.2.2. Phương trình Pell với tham số....................................................... 75
4.3. CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG ............................................................... 80
KẾT LUẬN .................................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


1

M ăĐ U
1. LỦădoăchọnăđ ătƠi
Ph

vƠ ph

ng trình vơ đ nh (cịn gọi lƠ ph

ng trình Diophantus) nói chung

ng trình vơ đ nh nghi m nguyên nói riêng có m t vai trị quan trọng

khơng những trong đ i s mƠ c trong toán học vƠ thực t , b i v y đƣ đ
các nhƠ toán học trên th giới nghiên c u từ r t lơu. Ph
ph

ng trình đ i s với h s nguyên vƠ s

trình, nghi m c a nó đ
s ngun d

n th

c

ng trình vơ đ nh lƠ

ng nhi u h n s ph

ng

c tìm trong m t t p h p s nƠo đó nh : s nguyên,

ng, s hữu t ,ầ Nhi u ph

ng trình vơ đ nh phát biểu r t đ n

gi n nh ng đ n nay cũng ch a có cách gi i hữu hi u.
Ngay từ th i th
ph

ng cổ, các nhƠ toán học đƣ quan tơm gi i những

ng trình vơ đ nh. Chẳng h n, từ th kỷ th XVII tr ớc cơng ngun, các

nhƠ tốn học Ba-bi-lon đƣ bi t gi i ph

ng trình x2 + y2 = z2 (ph

Pythagore) trong ph m vi s nguyên. Ng
ph

ng trình

i đ u tiên nghiên c u có h th ng

ng trình vơ đ nh lƠ nhƠ tốn học Hy L p Diophantus, s ng

th kỷ th

III tr ớc công nguyên. Diophantus đƣ bi t cách gi i m t s d ng ph
vô đ nh trong ph m vi các s hữu tỷ d
Nhằm tìm hiểu ph
ch

ng trình

ng.

ng trình vơ đ nh vƠ những ng d ng c a nó trong

ng trình tốn b c phổ thơng, tơi chọn đ tƠi: “Ph

ng trình vơ đ nh

nghi m ngun vƠ ng d ng” cho lu n văn th c sĩ c a mình.
2. M căđíchăvƠănhi măv ănghênăc u
- Kh o sát, nghiên c u sự t n t i nghi m c a ph
- Tìm hiểu cách gi i ph
3.ăĐốiăt

ng d ng ph

ng trình vơ đ nh.

ng trình vơ đ nh để gi i m t s lớp bƠi tốn.

ngăvƠăph măviănghiênăc u

- Ph

ng trình vơ đ nh.

ng trình vơ đ nh nghi m nguyên b c nh t.

2

- Ph

ng trình vơ đ nh nghi m ngun b c hai, hai n.

- M t s bƠi toán dơn gian.
4.ăPh

ngăphápănghiênăc u
- Thu th p, tổng h p, h th ng các tƠi li u có n i dung liên quan đ n đ

tƠi lu n văn, đặt bi t lƠ các bƠi toán dơn gian gi i đ

c bằng ph

ng tình vơ

đ nh.
- Phân tích, nghiên c u các tƠi li u để thực hi n đ tƠi lu n văn.
- Trao đổi, th o lu n, tham kh o Ủ ki n c a ng

i h ớng d n, c a

chuyên gia vƠ c a các đ ng nghi p.
5.ăBốăc căc aălu năvĕn
NgoƠi ph n m đ u vƠ k t lu n, n i dung c a lu n văn dự đ
thành b n ch

Ch

c chia

ng:

ng 1. Ki n th c chu n b .

Đểălàmăcơăsởăchoăcácăchươngăsau,ăphầnăđầuăchươngănàyătrìnhăbàyămộtă
sốătínhăchấtăsốăhọcătrênătậpăcácăsốăngun,ăcụăthểălàăquanăhệăchiaăhết,ăquanăhệă
đồngădưătrênătậpăcácăsốăngun.ăPhầnătiếpătheoăgiớiăthiệuăkháiăniệmăliênăphână
sốăvàăphầnăcuốiăcủaăchương trìnhăbàyămộtăsốăkháiăniệmăliênăquanăđếnădạngă
tồnăphươngăcủaăhaiăbiến.ăCácăchiătiếtăliênăquanăcóăthểăxemătrongă[3],ă[8].
Ch

ng 2. Ph

ng trình vơ đ nh b c nh t.

Chươngă nàyă giớiă thiệuă cácă phươngă phápă tìmă nghiệmă ngună củaă
phươngătrìnhăvơăđịnhăbậcănhất.ăPhầnăcuốiăcủaăchươngătrìnhăbàyăứngădụngă
củaăphươngătrìnhăvơăđịnhăđểăgiảiămộtăsốăbàiătốnădânăgian,ăbàiătốnăsốăhọcăvàă
đạiăsố.
Ch

ng 3. Ph

ng trình vơ đ nh b c hai hai n.

Chươngănàyăgiớiăthiệuăcáchăgiảiăphươngătrìnhăvơăđịnhăbậcăhaiăhaiăẩn.ă

Tuyă nhiênă đểătránhăđộădàiăcủaăchươngăquáălớn,ănênămộtălớpăphươngătrìnhă


3

dạngăđặcăbiệt:ăPhươngătrìnhăPell,ăchưaăđượcăđềăcậpăđến,ămàăsẽăđượcătrìnhă
bàyătrongăchươngăkếătiếp.
Ch

ng 4. Ph

ng trình Pell.

Chươngă nàyă trìnhă bàyă vềă phươngă trìnhă Pell,ă mộtă dạngă đặcă biệtăcủaă
phươngătrìnhăvơăđịnhăbậcăhaiăhaiăẩn.ăPhầnăcuốiăcủaăchươngăgiớiăthiệuămộtăsốă
bàiătốnăứngădụngăliênăquanăđếnăphươngătrìnhăPell.


4

CH

NGă1

KI Nă THỨCăCHU Nă BỊ
Đểălàmăcơ sở choăcácăchươngăsau,ăphầnăđầuăchươngănàyătrìnhăbàyămộtăsốătínhă
chấtăsốăhọcătrênătậpăcácăsốăngun,ăcụăthểălàăquanăhệăchiaăhết,ăquanăhệăđồngădưătrênă
tậpă cácă sốăngun.ăPhầnătiếpătheoăgiớiăthiệuăkháiăniệmăliênăphânăsốăvàăphầnăcuốiă
củaă chương trìnhă bàyă mộtă sốă kháiă niệmăliênăquanăđếnădạngătồnăphươngăcủa hai
biến.ăCácăchiătiếtăliênăquanăcóăthểăxemătrongă[3],ă[8].

1.1.ăQUANăHỆăCHIAăH TăTRÊNăT PăCÁCăS
Ta kỦ hi u
nhiên.

s

l n l t lƠ t p các s nguyên vƠ t p các s tự

và

Đ nhănghĩaă1.1. Ta nói rằng s a 

kỦ hi u lƠ a

NGUYÊN

chia h t cho s b 

, b  0,

b hay b a , n u t n t i s nguyên q sao cho a  bq . Khi đó

b gọi lƠ ớc s c a a hay a lƠ b i c a b, còn s

q gọi lƠ th

phép chia a cho b. N u a không chia h t cho b ta kỦ hi u lƠ b | a.
Đ nhălỦă1.1 [3].
1. Vớiămọi a 

2. Vớiămọiă a 

, a  0 suy ra a

ng c a

a.

, a 1.

3. Sốă 0 chiaăhếtăchoămọiăsốănguyên a khác 0.
4. Nếuă a , b, c 
5. Nếuă b

a và c

,b

a và c b thì c

a thì  b  c 

a.

a thì c

a.

6. Nếuă b

a và  b  c 

7. Nếuă b

a và a

8. Nếuă b

a thì bc

a.

b thì a  b hoặcă a   b .
a vớiămọiă c 

.

Đ nhănghĩaă1.2. Cho hai s nguyên a và b trong đó ít nh t m t s khác
không. S d ng d đ c gọi lƠ ớc chung lớn nh t c a a và b n u nó th a
mƣn hai đi u ki n sau:


5

1. d a , d b (d lƠ ớc chung c a a và b)
2. N u c a , c b thì c d .
Nói cách khác, d đ c gọi lƠ ớc chung lớn nh t c a a và b n u d
lƠ ớc chung c a a và b đ ng th i lƠ s lớn nh t trong các ớc chung c a a

và b, kỦ hi u: d   a , b  .

N u  a , b   1 ta nói hai s

a và b lƠ nguyên t cùng nhau.

Đ nhălỦă1.2 [3].

1. Nếuă  a , b   1 và bc

a thì c

a.

2. Nếuă  a , b   1 và  a , c   1 thì  a , bc   1 .

3. Nếuăp | a và p làăsốănguyênătốăthìă  a , p   1 .
4. Nếuă pălàăsốănguyênătốăvàă ab

p thìăhoặcă a

p hoặcă b

p.

5. Mọiă sốă tựă nhiênă n cóă thểă biểuă diễnă nhưă tíchă củaă nhữngă thừaă sốă

nguyên tốă n  p11 p22 ... pkk , ởăđây 1, 2 ,..., k  .

Đ nhălỦă1.3 [3]. Nếuă  a , b   d thìătồnătại haiăsốănguyênă p và q sao

cho

ap  bq  d .

H ă qu . Nếuă  a1, a 2 , ..., a n   d thìătồnătạiănăsốănguyên x1 , x2 ,ă…,ă

xn sao cho

a1x1  a 2 x2  ...  a n xn  d .

Đ nhălỦă1.4ă[3]. Vớiăhaiăsốănguyênăbấtăkỳăăaăăvàăăbăăsaoăchoă b  0 tồnă

tạiăduyănhấtănhữngăsốănguyênăăqăăvàăărăăthỏaămãnă a  bq  r và 0  r  b .

Sốăărăgọiălàăsốădưătrongăphépăchiaăăaăăchoăbă(nếuă r  0 , thì aăchiaăhếtăchoăb).
Bổ đ [3].

Giả sử a, b, q, r là những số thỏaă mãnă đẳng thức

a  bq  r . Khiăđóă  a , b    b, r  .

Dựa vào bổ đ trên, để tìm ớc s chung lớn nh t c a hai s nguyên a

và b khác 0, ta chia a cho b ( a  b ): a  bq  r , với 0  r  b .
N u r  0 thì dừng l i. N u r  0 ta chia b cho r và nh n đ

c đẳng

6

th c t
đ

ng tự b  rq1  r1, với 0  r1  r . Ti p t c quá trình trên ta nh n

c a  bq  r ,

b  rq1  r1 ,

r  r1q2  r2 ,

...
rk 2  rk 1qk  rk ,

rk1  rk qk1  rk1.

Vì những s

r , r1, ..., rk , rk1 t o thành dãy gi m ngặt những s không

âm, nên t n t i k để rk1  0 . Khi đó đẳng th c sau cũng có thể vi t
rk1  rk qk1. Theo bổ đ trên, ta có

rk   rk , rk1    rk1, rk2   ...   r , b    a , b .

Quá trình tìm ớc chung lớn nh t nêu trên gọi lƠ thu tătoánăEuclicde.
1.2.ăQUANăHỆăĐ NGăD ăTRÊNăT PăCÁCăS
Đ nhănghĩaă1.3. Cho m lƠ s nguyên d

NGUYÊN

ng vƠ a, b lƠ những s nguyên.

Ta nói rằng a đ ng d với b theo modul m, n u  a  b  m, vƠ kỦ hi u lƠ
a  b  mod m. Tr

ng h p ng

c l i, ta nói rằng a khơng đ ng d với b

theo modul m vƠ vi t a  b (mod m).

Đ nhălỦă1.5 [3]. Vớiămọiăsốănguyênăa,ăb,ăc,ădătaăcó:

1) a  a  mod m .

2) Nếuă a  b  mod m , thì b  a  mod m .

3) Nếuă a  b  mod m và b  c  mod m thì a  c  mod m .
4) Nếuă a  b  mod m và c  d  mod m thì

a  c  b  d  mod m , ac  bd  mod m .

m

5) Nếuă ac  bc  mod m thì a  b  mod  , trongăđóă d   c, m.
d


7

Đ nhă nghĩaă 1.4. Cho n lƠ m t s nguyên d

ng. KỦ hi u   n  lƠ s

l ng t t c các s tự nhiên không lớn h n n vƠ nguyên t cùng nhau với n.
Hàm   n  gọi lƠ hƠm Euler.
Đ nhălỦă1.6 [3].

1. Nếuă n  p , pălàăsốănguyênătốăthìă   n   p  p 1.

2. Nếuă  n, m  1 thì   nm    n   m.

a

  n

Đ nhă lỦă 1.7ă [3] (Đ nhă lỦă Euler).

 1  mod n  .

Nếuă

 a, n

1

thì

1.3.ăLIÊNăPHÂNăS
Đ nhănghĩaă1.5. Liên phơn s hữu h n lƠ m t biểu th c có d ng
q1 

trong đó q1 
Những s

, qi 

*

q2 

1
1



, i  2, n . VƠ đ

q1, q2 , ... gọi lƠ th

1
qn

c kỦ hi u lƠ  q1, q1, ..., qn  .

ng không đ y đ hoặc lƠ ph n tử c a

liên phơn s .
a
d ới d ng liên
b
phơn s hữu h n nh sau: a  bq1  r1, b  r1q2  r2 , r1  r2q3  r3 , ầ,

Bằng thu t tốn Euclic, ta có thể biểu di n s hữu tỷ

rn3  rn2qn1  rn1, rn2  rn1qn .

Từ đẳng th c đ u tiên ta nh n đ

Từ đẳng th c th hai ta nh n đ

c

c

a
1
a
r
 q1  .
 q1  1 , hay
b
b
b
b
r1

b
r
1
 q2  2  q2  .
r1
r1
r1
r2


8

a
1
 q1 
1
b
q2 
r1
r2

Suy ra

Ti p t c quá trình trên ta nh n đ

c

a
1
 q1 

.
1
b
q2 
1

qn

Từ thu t tốn Euclicde, ta có đ nh lỦ sau.
Đ nhălỦă1.8 [8]. Mọiăsốăhữuătỷăđềuăbiễuădiễnăđược dướiădạngăliênăphână
sốăhữuăhạn vàăngượcălại,ămọiăliênăphânăsốăhữuăhạnăđềuălàăsốăhữuătỷ.
Đ nhănghĩaă1.6. Cho m t dƣy vô h n những s nguyên
q1, q2 , ..., qn , ..., với qi  0, i  1.

Khi đó ta gọi biểu th c q1 

q2 

1


kỦ hi u  q1, q2 , ..., qn , ... ; còn những s

lƠ liên phơn s vô h n vƠ

1
1

qn 

1

q1, q2 , ... gọi lƠ những ph n tử c a

liên phơn s vô h n.

Đ nhă nghĩaă 1.7. Liên phơn s vô h n  q1, q2 , ..., qn , ... đ

c gọi lƠ

tu n hoƠn, n u dƣy qn  lƠ tu n hoƠn kể từ m t ch s nƠo đó, t c lƠ t n t i
các s nguyên d
qn  qn  k .

ng m và k sao cho với mọi s nguyên n  m , ta có

vơ h n d ới d ng q1, q2 , ..., qm1,  qm , qm 1, ..., qm  k 1  .
S nguyên d

ng k đ

c gọi lƠ chu kỳ. Lúc nƠy ta vi t l i liên phơn s

Đ nhălỦă1.9 [8]. Mọiăsốăvôătỷăđềuăbiểuădiễnădướiădạngăliênăphânăsốăvôă
hạnăvàăngượcălại.


9

Đ nhănghĩaă1.8. Cho s thực  , ph n nguyên c a  lƠ s nguyên lớn

nh t không v

t quá  vƠ đ

c kí hi u lƠ   .

Ta có thể biểu di n s vơ tỷ  thƠnh liên phơn s vô h n nh sau
q1   ; 1 

1
  q1

q2  1 ;  2 

1
1  q2

ầ

1
qn   n  1  ;  n 
 n  1  qn

ầ

Khi đó    q1, q2 , ..., qn , ... .
Đ nhă nghĩaă 1.9. N u q1, q2 , ..., qn là n ph n tử đ u tiên c a m t liên

 n   q1, q2 , ..., qn  gọi lƠ

phơn s (hữu h n hoặc vơ h n) thì liên phơn s
gi n phơn th n c a liên phơn s đƣ cho.

Cho liên phơn s    q1, q2 , ..., qn , ... . Ta xác đ nh hai dƣy s Pn và

Qn

n

 1, 2, ... theo công th c sau

Pn  qn Pn1  Pn2 ,

Qn  qnQn1  Qn2 ,

trong đó P0  1, Q0  0, P1  q1, Q1  1.
Đ nhălỦă1.10 [8]. Thươngăsốă
sốă  ,ănghĩaălàă

pn
biểuădiễnăgiảnăphân thứănăliênăphână
Qn

Pn
  q1 , q2 , ..., qn .
Qn

Đ nhălỦă1.11 [8]. Vớiămọiăsốătựănhiênăn,ăđẳngăthứcăsauăđúng
PnQn1  Qn Pn1   1 .
n

10

1.4.ăDẠNGăTOẨNăPH

NG

1.4.1.ăCácăkháiăni măliênăquan
Đ nhănghĩa 1.10. D ng toƠn ph

ng c a hai bi n x, y lƠ m t biểu th c

có d ng ax2  2bxy  cy2 , với a, b, c lƠ những s nguyên không đ ng th i
bằng 0.

S D  b2  ac đ
Cho d ng toƠn ph

c gọi lƠ đ nh th c c a d ng toƠn ph

ng.

ng f  x, y  ax2  2bxy  cy2 . Ta đổi bi n s x

và y bằng những bi n  và  theo công th c
 x    

 y    

(1.1)

trong đó  ,  ,  ,  lƠ những s nguyên.
Khi đó

f  x, y  a1 2  2b1  c1 2    ,   ,

trong đó a1  a 2  2b  c 2 ,

b1  a  b  b  c ,

c1  a  2  2b  c 2 .

Đẳng th c (1.1) gọi lƠ phép bi n đổi d ng toƠn ph

  ,   là D1   b2  ac      .

ng. S   

gọi lƠ mơđun c a phép bi n đổi (1.1). Khi đó đ nh th c c a d ng toƠn ph

ng

2

Đẳng th c trên ch ra rằng sự chuyển đổi từ d ng toƠn ph ng nƠy sang
d ng toƠn ph ng khác có đ nh th c bằng bình ph ng môđun c a phép bi n
đổi nhơn với đ nh th c c a d ng toƠn ph
N u bình ph

ph

ng ban đ u.

ng mơđun c a phép bi n đổi bằng 1 thì d ng toƠn

ng đƣ cho f  x, y vƠ d ng toƠn ph

ng chuyển đổi   ,   có cùng

m t đ nh th c. Bằng cách kiểm tra liên ti p d th y rằng trong tr
d ng   ,   bi n đổi thƠnh d ng

ng h p nƠy


11



    ax2  2bxy  cy2   f  x, y
2

   x   y
thông qua sự bi n đổi 
    x   y,

với bình ph

ng mơđun c a nó là      1. Tóm l i, hai d ng toƠn

2

ph ng gọi lƠ t ng đ ng nhau khi từ d ng th nh t chuyển đổi sang d ng
th hai, cũng nh ng c l i đ u thông qua m t phép bi n đổi với h s
nguyên.

N u     1, phép bi n đổi (1.1) đ

c gọi lƠ phép bi n đổi

riêng, còn n u      1 thì phép bi n đổi khơng riêng. M t cách tổng

quát, phép bi n đổi (1.1) gọi lƠ riêng n u     0, và không riêng n u

    0.

N u m t d ng toƠn ph

ng f  x, y bao hƠm d ng toƠn ph

ng

  ,   thông qua m t phép bi n đổi riêng thì ta nói rằng f  x, y bao hàm

riêng d ng   ,   , cịn ng

c l i thì nói không bao hƠm riêng.

N u f  x, y bao hàm riêng   ,   vƠ ng

d ng toƠn ph

ng f  x, y và   ,   gọi lƠ t

m t bao hƠm không riêng thì gọi chúng lƠ t

ng đ

c l i thì khi đó những
ng đ

ng khơng riêng.

1.4.2. Biểuădi năsốăngunătheoăd ngătoƠnăph
Cho d ng toƠn ph

t n t i x0 , y0 

ng

ng ax2  2bxy  cy2 và m lƠ m t s nguyên. N u

sao cho m  ax02  2bx0 y0  cy02 , ta nói rằng s nguyên m

biểu di n qua d ng toƠn ph
N u m  0 ta có ph

- N u a  0 thì ph

ng ax2  2bxy  cy2 .

ng trình ax2  2bxy  cy2  0 .
ng trình tr thƠnh

2bxy  cy2  0

Ph

ng riêng. N u có



ng trình nƠy có nghi m nguyên.

y  2bx  cy  0 .


12

- N u a  0 , gi i ph

ng trình theo n x, ta tìm đ

c

by  b2 y2  acy2
b  b2  ac

x
y.

a
a

Suy ra ph

ng trình có nghi m nguyên khi vƠ ch khi đ nh th c D c a nó lƠ

m t s chính ph

ng.

N u m  0 , gi sử rằng m biểu di n đ

c theo d ng toƠn ph

ng, t c

là m  ax02  2bx0 y0  cy02 , với x0 , y0 lƠ những s nguyên t cùng nhau.

Ta bi t rằng khi x0 , y0 lƠ những s nguyên t cùng nhau thì t n t i hai

s nguyên p, q sao cho px0  qy0  1 .
D tính tốn đ

c đẳng th c sau

m aq 2  2bqp  cp 2    p  x0b  y0c   q  x0a  y0b    b2  ac 
2

hoặc mU  V 2   b2  ac 

trong đó U   aq 2  2bqp  cp 2  , V  p  x0b  y0 c  q x0 a  y0 b .
Suy ra n u s

m 0

biểu di n qua d ng toƠn ph

ng

ax2  2bxy  cy2 với x  x0 , y  y0 và  x0 , y0   1 , thì ph i t n t i s

nguyên V sao cho hi u bình ph ng c a s đó với đ nh th c c a d ng toƠn
ph ng chia h t cho m. Trong tr ng h p nƠy ta nói rằng đ nh th c D lƠ s
d c a bình ph

ng V đ i với m.

Ta gọi s R lƠ s d c a bình ph
chia h t cho M.

ng m t s X đ i với M, n u X 2  R

M nhăđ ă1.1ă[3]. NếuăRălàăsốădưăcủaăbìnhăphươngăsốăăXăăđốiăvớiăăMăăthìăă

Răălàăsốădưăcủaăbìnhăphươngămọiăsốădạngă X  kM , k 

.

M nhăđ ă1.2ă[3]. Nếuămộtăsốăngunăbiểuădiễnăthơngăquaămộtădạngă

tồnăphươngăđãăchoăthìănóăcũngăbiểuădiễnăthơngăquaămọiădạngătồnăphươngă
khác, mà nó bao hàm bởiădạngătồnăphươngăđãăcho.
Ch ngăminh.


13

Cho d ng toƠn ph

ng ax2  2bxy  cy2 bao hƠm d ng toƠn ph

a1 2  2b1  c1 2 thông qua phép bi n đổi

ng

 x    
, trong đó  ,  ,  ,  lƠ những s ngun.





y


N u ph

ng trình vơ đ nh a1 2  2b1  c1 2  m, m 

nghi m  0 , 0 trong s ngun, thì d th y những s

có

 x0   0  0

 y0   0  0

s lƠ m t nghi m ngun c a ph

ng trình vơ đ nh

ax2  2bxy  cy2  m

hay m biểu di n thơng qua d ng toƠn ph
Víăd . Những ph

ng ax2  2bxy  cy2 .

ng trình

x2  xy  y2  5

x2  3xy  3 y2  5

hoặc lƠ c hai đ u có nghi m nguyên, hoặc lƠ c hai khơng có nghi m

ngun. Th t v y, d ng x2  xy  y2 bao hƠm d ng  2  3  3 2 thông
qua phép bi n đổi. x     , y   . D ng  2  3  3 2 bao hƠm d ng
x2  xy  y2 thông qua phép bi n đổi:   x  y,   y .

Sau đơy lƠ m t đ nh lỦ c b n v sự biểu di n c a m t s nguyên qua
những d ng toƠn ph

ng.

Đ nhălỦă1.12 [3]. Nếuăămăălàăsốăngunăkhácă0,ămàănóăbiểuădiễnăthơngă

quaădạngătồnăphươngă ax2  2bxy  cy2 vớiă x  x0 , y  y0 ,  x0 , y0   1

vàăđịnhăthứcăăDăăcủaănóălàăsốădưăbìnhăphươngăcủaăsốăăVăăđốiăvớiămăthìănhữngă
dạngătồnăphươngăsauătươngăđươngăriêng
ax  2bxy  cy
2

2

và

V2  D 2
m  2V 
 .
m
2


14

Ch ngăminh.

Vì  x0 , y0   1 nên t n t i p, q sao cho px0  qy0  1 . Chọn phép

 x  x0  q
bi n đổi 
 y  y0  p

Môđun c a nó bằng x0 p  y0  q   1 nên nó lƠ phép bi n đổi riêng.

D ng bi n đổi s lƠ

a  x0  q   2b  x0  q  y0  p   c  y0  p 
2

2

V2  D 2
 .
 m  2V 
m
2

Ta có

V2  D
lƠ m t s nguyên vì D lƠ s d c a bình ph
m

đ i với m. Nh v y ta đ

ng V

c, n u m biểu di n qua d ng ax2  2bxy  cy2 khi

x  x0 , y  y0 mà  x0 , y0   1 thì d ng nƠy bao hƠm riêng

V2  D 2
m  2V 
 .
m
2

D

ch ng

minh

đ

c

rằng

d ng

toƠn

V2  D 2
m  2V 
 bao hƠm riêng d ng ax2  2bxy  cy2 .
m

ph

ng

2

Chú Ủ rằng với những s nguyên p, q trong ch ng minh trên khơng địi
h i đi u ki n gì h n ngoƠi vi c chúng lƠ nghi m c a ph ng trình
x0 p  y0q  1 . Nh ng những s nh v y vơ cùng nhi u, vì chúng lƠ nghi m
c a ph ng trình vơ đ nh b c nh t. Cũng d ch ng minh đ c trong s những
s p và q mƠ nó t ng ng với V có những s V khơng ơm vƠ nh h n
m . Để gi i các bƠi toán trong thực t ta ch chọn những s

0  V m.

p, q sao cho


15

CH

PH

NGă2

NGăTRỊNHăVƠăĐỊNHăB CăNH T

Chươngă nàyă giớiă thiệuă cácă phươngă phápă tìmă nghiệmă ngună củaă phươngă

trìnhăvơăđịnhăbậcănhất.ăPhầnăcuốiăcủaăchươngătrìnhăbàyăứngădụngăcủaăphươngătrìn h
vơăđịnhăđểăgiảiămộtăsốăbàiătốnădânăgian,ăbàiătốnăsốăhọcăvàăđạiăsố.

2.1.ăPH

NGăTRỊNHăVƠăĐỊNH

Đ nhă nghĩaă 2.1. Ph

ng trình vơ đ nh (hay cịn gọi lƠ ph

ng trình

ng trình có d ng: F  x1, x2 , ..., xn   0, n  1 , trong đó

Diophante) lƠ ph

F  x1, x2 , ..., xn  lƠ m t đa th c c a các bi n x1, x2 , ..., xn , với h s nguyên.

Nghi m c a ph ng trình vơ đ nh th ng đ c tìm trong m t t p h p
s nƠo đó nh : s nguyên d ng, s nguyên, s hữu tỷ,ầ. Gi i ph ng trình
vơ đ nh lƠ tìm t t c các b s

 x1, x2 , ..., xn  th

Đ nhănghĩaă2.2. M t ph
t p s nguyên đ

c gọi lƠ ph

a mƣn ph

ng trình.

ng trình vơ đ nh mƠ nghi m đ

c tìm trong

ng trình vơ đ nh nghi m ngun.

Víă d ă 2.1. Đ nh lỦ lớn Fermat: “Ph

ng trình xn  yn  zn khơng có

nghi m khác 0 với n  3 ” lƠ m t bƠi tốn v ph

ng trình vơ đ nh nghi m

ngun.
Khơng có m t ph ng pháp chung nƠo cho vi c gi i các ph ng trình
vơ đ nh nghi m ngun. Tuy nhiên đ i với m t s lớp ph ng trình vơ đ nh
nghi m ngun nƠo đó thì đƣ có đi u ki n t n t i nghi m cũng nh cách tìm
các nghi m c a nó.
Để thu n ti n, từ đơy v sau n u khơng nói gì khác, thì ph
đ nh nghi m nguyên đ
2.2.ăPH

c gọi lƠ ph

ng trình vơ

ng trình vơ đ nh.

NGăTRỊNHăVƠăĐỊNHăB CăNH TăHAIă N

2.2.1.ăCácăđ nhănghĩaăvƠăđ nhălỦăt năt iănghi m
Đ nhă nghĩaă 2.3. Ph

ng trình vô đ nh b c nh t hai n x, y lƠ ph

ng


16

ax  by  c

trình có d ng

(2.1)

trong đó a, b, c lƠ những s nguyên gọi lƠ h s c a ph
M i cặp s

ax0  by0  c , đ

ng trình; a, b khác 0.

nguyên ( x0 , y0 ) th a mƣn đẳng th c (2.1), nghĩa lƠ
c gọi lƠ m t nghi m c a ph

ng trình (2.1).

Đ nhălỦă2.1ă[3]. Điềuăkiệnăcầnăvàăđủăđểăphươngătrìnhă(2.1)ăcóăítănhấtă
mộtănghiệmăsốăngunălàăướcăsốăchungălớnănhấtăcủaăhaiăsốăaăvàăbălàăướcăsốă
củaăc.
Ch ngăminh.
ngun  x0 , y0  sao cho ax0  by0  c .
Gi sử ph

ng trình (2.1) có nghi m ngun. Khi đó t n t i cặp s

Từ đẳng th c trên suy ra mọi ớc chung c a a và b đ u lƠ ớc c a c.

Đặc bi t, d   a , b  cũng lƠ ớc c a c.
Ng

c l i, gi sử d   a , b  lƠ ớc c a c. Theo Đ nh lỦ 1.3, t n t i hai

s nguyên x1 , y1 sao cho ax1  by1  d

(2.2)

Vì d c nên ta có thể vi t c  dc1 , với c1 lƠ m t s nguyên. Nhơn hai v

c a đẳng th c (2.2) với c1, ta đ

c

ax1c1  by1c1  dc1  c

V y ph
đƣ đ

ng trình (2.1) có m t nghi m nguyên lƠ  x1c1, y1c1  . Đ nh lỦ

c ch ng minh.
H ăqu

Nếuăaăvàăbălàăhaiăsốăngunăngunătốăcùngănhauăthìăphươngă

trìnhăvơăđịnhă ax  by  c cóăítănhấtămộtănghiệmăngun.

Đ nhălỦă2.2ă[3]. Nếuă ( x0 , y0 ) làămộtănghiệmăngunăcủaăphươngătrìnhă
(2.1)ăthìăphươngătrìnhăcóăvơăsốănghiệmăngunăvàăcácănghiệmăngună ( x, y)
b

 x  x0  d t
củaănóăđượcăchoăbởiăcơngăthức 
y  y  a t
0

d

(2.3)


17

trongăđóă t 

và d   a , b  .

Ch ngăminh.
Bằng cách thay ( x, y)
ph

(2.3) vƠo (2.1), ta th y nó lƠ m t nghi m c a

ng trình. Ta s ch ng minh rằng mọi nghi m c a (2.1) đ u có d ng (2.3).
Gi sử ( x, y) lƠ m t nghi m nguyên tùy Ủ c a ph

đó ta có:

ng trình (2.1). Khi

ax  by  c

ax0  by0  c

Trừ v theo v c a hai đẳng th c trên ta đ

c:

a  x  x0   b  y  y0   0

hay

(2.4)

a  x  x0    b  y  y0 

Đẳng th c nƠy ch ng t a ( x  x0 ) chia h t cho b. Từ đó suy ra:
a
b
, với d   a , b  .
( x  x0 ) chia h t cho
d
d

Vì d lƠ ớc chung lớn nh t c a a và b, nên
cùng nhau, do đó x  x0 chia h t cho

a
b
và
lƠ hai s nguyên t
d
d

b
.
d

Suy ra t n t i s nguyên t sao cho: x  x0 
V y x  x0 

b
t.
d

b
t . Thay k t qu nƠy vƠo (2.4) ta đ
d

c:

b


a  x0  t  x0   b  y  y0   0 .
d



Từ đó suy ra: y  y0 

a
t.
d

Nh năxétă2.1. Địnhălýă2.2, choăthấyăđểăgiảiăphươngătrìnhă(2.1)ătaăchỉă
cầnătìmămộtănghiệm nguyên ( x0 , y0 ) nàoăđóăcủaănó.ăTaăgọiămộtănghiệmănhưă


18

thếă làă mộtă nghiệmă riêng,ă cịnă cơngăthứcă(2.3)ăgọiălàănghiệmătổngăqtăcủaă
phươngătrình.
2.2.2.ăụănghĩaăhìnhăhọcăc aăph

ngătrìnhăvơăđ nhăb cănhấtăhaiă n

Ta đƣ bi t trong mặt phẳng tọa đ Oxy, m i điểm đ
m t cặp s thực vƠ ng

c xác đ nh bằng

c l i m i cặp s thực xác đ nh m t điểm.

Theo Đ nh lỦ 2.2, n u ph

ng trình vơ đ nh ax  by  c có m t nghi m

ngun thì nó cũng có vơ s nghi m ngun. Đ nh lỦ sau thể hi n Ủ nghĩa
hình học c a ph

ng trình b c nh t hai n.

Đ nh lý 2.3 [3]. Nếuămộtăđườngăthẳngăcóăphươngătrìnhă ax  by  c ,ăvớiă

a,ăb,ăcălàănhữngăsốăngun,ăa và băkhácă0,ăđiăquaămộtăđiểmăvớiătọaăđộăngun,ă
thìăđườngăthẳngănàyăđiăquaăvơăsốăđiểmăcóătọaăđộăngun.
2.3.ăPH

NGăPHÁPăTỊMăNGHIỆMăC AăPH

NGăTRỊNHăVƠăĐỊNHă

B CăNH TăHAIă N

Xét ph

ng trình vơ đ nh ax  by  c , với d   a , b  lƠ ớc c a c (2.5)

Không m t tính tổng qt, ta có thể xem các h s a, b c a ph ng
trình lƠ những s nguyên d ng ( vì n u chẳng h n, a  0 thì bằng phép đổi
bi n s

x '   x ta đ

2.3.1.ăPh

c ph

ng trình có h s c a x d

ng).

ngăphápădùngăthu tătoánăEuclide

Gi sử a  b .

Thực hi n phép chia a cho b, ta đ

c:

a  bq  r , 0  r  b .

- N u r  0 , thì b   a , b  , b c vƠ ph
bqx  by  c

Chia hai v c a đẳng th c trên cho b ta đ

ng trình (2.5) có d ng:

c: qx  y 

c
,
b


19

ph

x  t

ng trình nƠy có nghi m lƠ 
, t .
c
y
qt



b

- N u r  0 thì ph

ng trình (2.5) có d ng:

 bq  r  x  by  c

Đặt x1  qx  y, y1  x ta đ

 b  qx  y  rx  c.

c ph

ng trình

bx1  ry1  c, với d   a , b    b, r  và r  b ,

ph

ng trình nƠy có d ng (2.5).
Lặp l i quá trình trên bằng cách chia b cho r, ta đ

0  r1  r . C ti p t c nh th thì sau m t s hữu h n l n ta s đ

c b  q1r  r1 ,
c phép chia

h t (vì dƣy các s d r , r1, r2 , ... lƠ dƣy các s tự nhiên đ n đi u gi m).
Gi sử rn  0 , ta suy ra đ

ng

c lên ta s tìm đ

c  xn , yn  . Từ cặp  xn , yn  bằng cách thay

c nghi m c a ph

ng trình ban đ u.

Víăd ă2.2. Tìm nghi m ngun c a ph

15x  9 y  6 .

ng trình:

Lờiăgi i.

Ta có d  15, 9   3, 3 6 , suy ra ph
Chia 15 cho 9 ta đ

ng trình có nghi m nguyên.

c: 15 = 9.1 + 6

Đặt x1  x  y, y1  x , ta đ

c ph

ng trình:

9 x1  6 y1  6

chia 9 cho 6 ta đ

c: 9 = 6.1 + 3

Đặt x2  x1  y1, y2  x1 , ta đ

c ph

ng trình:

6 x2  3 y2  6  2 x2  y2  2 ,

ph

x  t
ng trình cu i cùng có nghi m lƠ:  2
, t


y
2
2
t
 2

,


20

thay ng
hay

c lên ta đ

c:

x1  y2  2  2t , x2  x1  y1  t

 x1  2  2t
, từ đó ta có:

y
2
3
t



 1

 x  2  3t
, suy ra 
x1  x  y  2  2t
 y  4  5t
x  y1   2  3t

V y nghi m c a ph
2.3.2.ăPh
Xét ph

 x   2  3t
,t
ng trình đƣ cho lƠ: 


y
4
5
t


ngăphápădùngăliênăphơnăsố

ng trình (2.5) vƠ đặt c  dc1 , với c1 

Chia c hai v c a ph
với a1 

.

ng trình (2.5) cho d ta đ

a1 x  b1 y  c1 ,

.
c:

a
b

, b1  và  a1, b1   1 .
d
d

Gi sử s hữu tỷ

(2.6)

a1
có biểu di n liên phơn s nh sau:
b1
a1
  q1 , q2 , ..., qn  .
b1

và

P0 P1
P
,
, ..., n lƠ các gi n phơn c a liên phơn s nƠy. Theo Đ nh lỦ 1.11,
Q0 Q1
Qn

ta có: PnQn1  Qn Pn1   1 , và
n

Vì
suy ra

a1
P
 n.
b1
Qn

a1
P
và n đ u lƠ những phơn s t i gi n nên a1  Pn , b1  Qn
b1
Qn
n
n
a1  1 Qn1   b1    1 Pn1   1





n
n
 a1  1 Qn1  c1  b1    1 Pn1  c1  c1,



