Phức đơn hình có các nhóm đồng điều đẳng cấu với các nhóm abel hữu hạn sinh cho trước

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN


KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI: PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHĨM
ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM
ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƢỚC

Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp

: TS. Lƣơng Quốc Tuyển
: Lê Thị Thu Nguyệt
: 13ST

-- Đà Nẵng, 05/2017 --


1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
CHƯƠNG 1. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1. CÁC PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ CÁC ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH

. . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2. CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỒNG ĐIỀU RÚT GỌN

. . . . . . . . . . . . . . . .15

CHƯƠNG 2. SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHĨM Đ
27

2.1. SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ NHĨM ĐỒNG ĐIỀU 1 - CHIỀU ĐẲNG CẤU V

27

2.2. SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ NHĨM ĐỒNG ĐIỀU p - CHIỀU ĐẲNG CẤU V

30

2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NH

31
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


2

MỞ ĐẦU

Bài toán phân loại topo là bài toán cơ bản nhất của ngành Topo :
“Tìm các điều kiện để hai không gian topo là đồng phôi hoặc không đồng
phôi với nhau”.
Để giải quyết một phần vấn đề này người ta đặt tương ứng mỗi không
gian topo, mỗi số nguyên p với một nhóm Abel (được gọi là nhóm đồng

điều p - chiều của không gian này) và mỗi ánh xạ liên tục giữa hai không
gian topo với một đồng cấu nhóm giữa các nhóm đồng điều p - chiều giữa
chúng. Khi hai khơng gian topo đồng phơi thì các nhóm đồng điều p chiều của chúng đẳng cấu, do đó để phân loại topo người ta thường tính
các nhóm đồng điều của nó và nếu các nhóm đồng điều của chúng khơng
đẳng cấu thì các khơng gian topo này khơng đồng phơi với nhau. Có hai
loại lý thuyết Đồng điều cơ bản là Đồng điều đơn hình và Đồng điều Kỳ
dị, ở đây chúng tôi chỉ xét đến Đồng điều đơn hình.
Ta biết rằng các nhóm đồng điều kỳ dị p - chiều (p ∈ Z) của một
không gian topo là một nhóm Abel; Như vậy phát sinh một vấn đề là liệu
đối với một nhóm Abel cho trước có tồn tại một khơng gian topo có nhóm
đồng điều kỳ dị p - chiều đẳng cấu với nhóm này không?
Vấn đề này được trả lời khẳng định bởi Moore (xem [5]): Với mỗi
p ≥ 1, với mỗi nhóm Abel G, tồn tại một CW - phức X có nhóm đồng
điều kỳ dị p - chiều đẳng cấu với nhóm G, người ta đã khơng nói rằng CW
- phức X có là một phức đơn hình hay khơng (lớp tất cả các phức đơn
hình được chứa trong lớp tất cả các CW - phức) và để tính nhóm đồng
điều kỳ dị của CW - phức người ta phải sử dụng đến lý thuyết đồng điều
của các CW - phức và bậc của các ánh xạ liên tục từ mặt cầu vào chính
nó.
Tương tự như vậy, ta biết rằng các nhóm đồng điều đơn hình p - chiều
(p ≥ 1) của một phức đơn hình hữu hạn là một nhóm Abel hữu hạn sinh;


3

Như vậy cũng phát sinh một câu hỏi là liệu đối với một nhóm Abel hữu
hạn sinh cho trước có tồn tại một phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng
điều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm này khơng? Nội dung chính
của Khóa Luận này là trả lời khẳng định cho câu hỏi trên; Ở đây ta giải
quyết Bài toán tổng quát hơn:

Cho G0 , G1 , G2 , . . . là một dãy các nhóm Abel hữu hạn sinh
cho trước mà G0 tự do và tồn tại p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 thì tồn
tại một phức đơn hình hữu hạn K có nhóm đồng điều p - chiều
đẳng cấu với Gp , với mỗi p ≥ 0.
(Sở dĩ ta giả thiết G0 là nhóm Abel tự do vì nhóm đồng điều 0 - chiều
của mỗi phức đơn hình là một nhóm Abel tự do).
Trong khóa luận này, chúng tơi sử dụng kỹ thuật trong [7] tính tốn
trực tiếp các nhóm đồng điều chiều thấp của các đơn hình; Đối với việc
tính tốn các nhóm đồng điều chiều cao hơn chúng tơi sử dụng đến các
dãy khớp của Mayer - Vietoris.
Tác giả xin chân thành cám ơn các Thầy Giáo, Cô Giáo ở Khoa Toán
của Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà nẵng đã giúp đỡ Tác giả trong
các năm qua, đặc biệt là các Thầy Giáo Lương Quốc Tuyển, Đặng Văn
Riền, Phan Đức Tuấn. Tác giả cũng cám ơn các bạn bè trong lớp đã động
viên trong suốt quá trình làm Khóa Luận này.


4

CHƯƠNG 1

ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH

Trong Chương này ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về các đơn
hình, phức đơn hình, đồng điều đơn hình và nêu một vài kết quả liên quan
đến chúng, phần lớn được trình bày theo [6].
1.1. CÁC PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ CÁC ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH
Cho trước một khơng gian Euclide RN , hệ các phần tử {a0 , a1 , . . . , an }
của RN được gọi là độc lập affine (hay cịn gọi là độc lập hình học) nếu
như ∀t0 , t1 , . . . , tn ∈ R thì

n
n
∑
∑
ti = 0,
ti ai = 0 ⇔ t0 = t1 = . . . = tn = 0.
i=0

i=0

Ta có nhận xét rằng hệ gồm một phần tử là độc lập affine và hệ {a0 , a1 , . . . , an }
độc lập affine khi và chỉ khi hệ {a1 − a0 , . . . , an − a0 } độc lập tuyến tính;
Từ nhận xét này ta suy ra được rằng tính độc lập affine khơng phụ thuộc
vào việc thay đổi thứ tự các phần tử trong một hệ. Ta cũng thấy rằng hệ
gồm 2 điểm phân biệt là độc lập affine, hệ gồm 3 điểm không cùng nằm
trên một đường thẳng là độc lập affine . . .
Cho hệ {a0 , a1 , . . . , an } của RN độc lập affine, tập
n
n
∑
∑
P = {x =
ti ai /
ti = 1}
i=0

i=0

được gọi là n - phẳng (hay không gian con affine) được xác định bởi hệ
∑

∑
{a0 , a1 , . . . , an }; Do tính độc lập affine nên biễu diễn x = ni=0 ti ai , ni=0 ti =
∑
∑n ′
∑n
1 là duy nhất (có nghĩa rằng nếu ni=0 ti ai =
a
với
t
i
i
i=0
i=0 ti =
∑n ′
1, i=0 ti = 1 thì t0 = t′0 , t1 = t′1 , . . . , tn = t′n ).
Ta cũng nhận thấy rằng
n
∑
P = {x = a0 +
ti (ai − a0 )/t1 , t2 , . . . , tn ∈ R}
i=1


5

P cũng được gọi là ”phẳng qua a0 song song với các vector ai − a0 “.
Ta có thể kiểm tra được rằng: Đối với một hệ độc lập affine {a0 , a1 , . . . , an }
của RN và w ∈ RN thì hệ {a0 , a1 , . . . , an , w} độc lập affine khi và chỉ khi
w∈
/ P (ở đây P là n - phẳng được xác định bởi hệ {a0 , a1 , . . . , an }).

Một phép biến đổi affine trong RN được định nghĩa là một hợp của
các phép tịnh tiến và của các phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến
trong RN .
Nếu T là phép biến đổi affine, {a0 , a1 , . . . , an } là một hệ các phần
tử của RN ; Khi đó {T (a0 ), T (a1 ), . . . , T (an )} độc lập affine khi và chỉ
khi {a0 , a1 , . . . , an } độc lập affine và ảnh của n - phẳng xác định bởi hệ
{a0 , a1 , . . . , an } là n - phẳng xác định bởi hệ {T (a0 ), T (a1 ), . . . , T (an )}.
Cho hệ {a0 , a1 , . . . , an } độc lập affine trong RN , T : RN → RN là một
phép tịnh tiến được xác định bởi T (x) = x − a0 , ∀x ∈ RN thì ảnh của P
qua T (ở đây P là n - phẳng được xác định bởi hệ {a0 , a1 , . . . , an }) là khơng
gian tuyến tính con của RN với cơ sở {a1 − a0 , . . . , an − a0 } nên ảnh này
là không gian tuyến tính con n chiều của RN ; Hơn nữa nếu T ′ : RN → RN
là phép tịnh tiến mà P có ảnh qua T ′ cũng là một khơng gian tuyến tính
con của RN thì T (P ) = T ′ (P ) (ta kiểm tra điều này như sau: Ta đặt
T ′ (x) = x + a, ∀x ∈ RN , thì T ′ (P ) = T (P ) + a + a0 ⇒ a + a0 ∈ T ′ (P ) (do
T (P ) là một khơng gian tuyến tính con của RN ) ⇒ −a − a0 ∈ T ′ (P ) (do
T ′ (P ) là một khơng gian tuyến tính con của RN ) ∀w ∈ T (P ), w + a + a0 ∈
T ′ (P ) ⇒ w = w + a + a0 − a − a0 ∈ T ′ (P ) ⇒ T (P ) ⊂ T ′ (P ), tương tự ta
có T ′ (P ) ⊂ T (P ); như vậy T (P ) = T ′ (P )). Từ nhận xét trên có thể giải
thích tại sao ta có thể gọi P là n - phẳng.
Định nghĩa 1.1.1. Cho hệ {a0 , a1 , . . . , an } độc lập affine trong RN ,
∑n
∑n
σ = {x =
t
a
/t
,
t
,

.
.
.
,
t
≥
0,
n
i=0 i i 0 1
i=0 ti = 1} được gọi là đơn
hình n - chiều được sinh bởi hệ {a0 , a1 , . . . , an } và cũng được ký hiệu
< a0 , a1 , . . . , an > hay conv{a0 , a1 , . . . , an } .
Bộ số (t0 , t1 , . . . , tn ) trong Định nghĩa trên được xác định duy nhất từ
x và ti được gọi là tọa độ trọng tâm thứ i của x đối với hệ {a0 , a1 , . . . , an }.


6

Ta có
(1) Các hàm tọa độ trọng tâm ti (x) là các hàm liên tục theo x (ti :
σ → R).
(2) σ là hợp của tất cả các đoạn thẳng nối điểm a0 với các điểm của
đơn hình s =< a1 , . . . , an > . Hai đoạn thẳng khác nhau như trên có giao
là tập điểm {a0 }.
(3) σ là tập lồi, compact trong RN và là giao của tất cả các tập con
lồi của RN chứa a0 , a1 , . . . , an .
(4) Đối với một n - đơn hình σ cho trước, tồn tại duy nhất tập
{b0 , b1 , . . . , bn } mà σ =< b0 , b1 , . . . , bn >
(thật vậy cho σ =< a0 , a1 , . . . , am >, do hệ {a0 , a1 , . . . , an } độc
lập affine nên các phần tử hệ a0 , a1 , . . . , am là phân biệt, các phần tử

b0 , b1 , . . . , bn cũng phân biệt. Ta sẽ chứng minh các tập hợp {a0 , a1 , . . . , am },

{b0 , b1 , . . . , bn } bằng nhau:
Xét b0 ,
Giả sử b0 ∈
/ {a0 , a1 , . . . , am } ⇒ a0 ̸= b0 , . . . , am ̸= b0
Đặt a0 = t00 b0 + t10 b1 + . . . + tn0 bn → t00 < 1
Tương tự a1 = t01 b0 + t11 b1 + . . . + tn1 bn → t01 < 1

...
am = t0m b0 + t1m b1 + . . . + tnm bn → t0m < 1
Do < a0 , a1 , . . . , am >=< b0 , b1 , . . . , bn >
đặt b0 = α0 a0 + α1 a1 + . . . + αm am

= (α0 t00 + α1 t10 + . . . + αm tm
0 )b0
⇒ α0 t00 + α1 t10 + . . . + αm tm
0 =1
∑m
i=0 αi = 1 ⇒ ∃k ∈ {0, 1, . . . , m} : αk ̸= 0
⇒ α0 t00 + α1 t10 + . . . + αm tm
0 < α0 + α1 + . . . + αm = 1
→ 1 < 1 (vô lý) → b0 ∈ {a0 , a1 , . . . , am }
Như vậy b0 ∈ {a0 , a1 , . . . , am }, tương tự như vậy ta có b1 , . . . , bn ∈


7

{a0 , a1 , . . . , am } tương tự {a0 , a1 , . . . , am } ⊂ {b0 , b1 , . . . , bn } và {a0 , a1 , . . . , am } =
{b0 , b1 , . . . , bn }).

Cho σ là n - đơn hình được sinh bởi hệ độc lập affine {a0 , a1 , . . . , an }
thì các điểm a0 , a1 , . . . , an được gọi là các đỉnh của đơn hình σ , số n được
gọi là chiều của σ . Một đơn hình τ bất kỳ được sinh bởi một hệ con của
hệ {a0 , a1 , . . . , an } được gọi là một mặt của σ (ta ký hiệu τ ≼ σ ), mặt
được sinh bởi hệ {a0 , a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , an } được gọi là mặt đối diện
với đỉnh ai . Mỗi mặt τ của σ mà khác σ được gọi là mặt riêng hay mặt
thực sự của σ (ta ký hiệu τ ≺ σ ). Hợp tất cả các mặt riêng của σ được
gọi là biên của σ và được ký hiệu là Bdσ (chú ý rằng biên theo nghĩa này
có thể khác biên theo nghĩa topo và biên của 0 - đơn hình là tập rỗng).
Phần trong của σ được định nghĩa bởi đẳng thức Intσ = σ\Bdσ (cũng
chú ý rằng phần trong này khác với phần trong theo nghĩa topo và phần
trong của một 0 - đơn hình là trùng với 0 - đơn hình này), tập Intσ đơi
khi được gọi là một đơn hình mở (mặc dù nó cũng có thể khơng mở).
Từ Bdσ là tập tất cả các điểm x mà có ít nhất một tọa độ trọng tâm
bằng 0 nên Intσ là tập tất cả các điểm x mà tất cả các tọa độ trọng tâm
của nó đều khác 0 (hay dương). Ta có
(5) Intσ là tập lồi và là một tập con mở của P (ở đây P là n phẳng được xác định bởi hệ {a0 , a1 , . . . , an } và σ là đơn hình được sinh
bởi {a0 , a1 , . . . , an }). Intσ có bao đóng là σ (trong không gian topo con
P hay trong không gian topo RN cũng như thế); Hơn nữa Intσ bằng hợp
của tất cả các khoảng mở mà một đầu là a0 còn đầu khác thuộc Ints, với
s là mặt của σ đối diện với a0 .
Cho n ∈ N, trang bị chuẩn Euclide ||.|| trên Rn ; Quả cầu đơn vị
đóng n - chiều B n là tập tất cả các điểm x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn mà
||x|| ≤ 1, mặt cầu đơn vị S n−1 là tập tất cả các điểm x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
+
mà ||x|| = 1. Nửa trên mặt cầu En−1
của S n−1 là tập tất cả các điểm
−
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Sn−1 mà xn ≥ 0, Nửa dưới mặt cầu En−1
của S n−1 là

tập tất cả các điểm x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Sn−1 mà xn ≤ 0.


8

Với các định nghĩa này, B 0 là không gian một điểm, B 1 là đoạn
[−1, 1], S 0 là khơng gian hai điểm {−1; 1}. B 2 là hình trịn đơn vị đóng,
S 1 là đường trịn đơn vị đóng.
(6) Tồn tại một đồng phơi từ σ lên quả cầu đơn vị đóng B n mà ảnh
của Bdσ là S n−1 .
Thật ra (6) là hệ quả của bổ đề sau
Bổ đề 1.1.2. Cho U là một tập mở, lồi, giới nội của không gian Rn
và w ∈ U ; Khi đó

¯ \U đúng một điểm.
(1) Mỗi tia phát xuất từ w giao với BdU = U
¯ lên quả cầu đơn vị đóng B n mà ảnh
(2) Tồn tại một đồng phôi từ U
của BdU là S n−1 .✷
Bây giờ ta định nghĩa các phức đơn hình
Định nghĩa 1.1.3. Một phức đơn hình K trong RN là một họ các
đơn hình trong RN thỏa mãn các điều kiện:
(1) ∀σ ∈ K, ∀τ ≼ σ, τ ∈ K.
(2) ∀σ, τ ∈ K; hoặc σ ∩ τ = ∅ hoặc σ ∩ τ là một mặt chung của các
đơn hình σ, τ.
Ta có
Bổ đề 1.1.4. Cho K là một họ các đơn hình trong RN ; Khi đó K là
một phức đơn hình khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện:
(1) ∀σ ∈ K, ∀τ ≼ σ, τ ∈ K.
(2’) ∀σ, τ ∈ K mà σ ̸= τ thì Intσ ∩ Intτ = ∅. ✷

Định nghĩa 1.1.5. Cho K là một phức đơn hình, L là một họ con
của K mà với mỗi σ ∈ L, với mỗi τ ≼ σ thì τ ∈ L; Khi đó chính L cũng là
một phức đơn hình và L được gọi là một phức con của K . Với mỗi p ∈ N,
ta ký hiệu K (p) là phức con của K gồm tất cả các đơn hình thuộc K có
chiều nhỏ hơn hay bằng p, phức con này được gọi là p - khung của K . Với
mỗi {v} ∈ K (0) thì v được gọi là một đỉnh của K và ta thường đồng nhất
v với {v}.


9

Định nghĩa 1.1.6. Cho K là một phức đơn hình với các đơn hình
nằm trong khơng gian RN , |K| là hợp của tất cả các đơn hình thuộc K ,
mỗi đơn hình có topo tự nhiên với topo cảm sinh từ không gian RN , trên
|K| ta trang bị một topo như sau: ”Một tập con A của |K| được gọi là
đóng trong |K| khi và chỉ khi A ∩ σ đóng trong σ , với mỗi σ ∈ K “.
Rõ ràng cách xác định trên là đúng đắn và |K| được gọi là giá hay
không gian trải của K ; Topo này trên |K| được gọi là topo coherent. Một
không gian topo mà là không gian trải của một phức đơn hình được gọi là
một đa diện.
Ta cũng nhận thấy rằng trên |K| cũng có topo cảm sinh từ không gian
R ; Topo này được gọi là topo cảm sinh. Nói chung hai topo này khác
nhau, topo coherent mạnh hơn topo cảm sinh (xem [7], trang 9) nhưng nếu
K là phức đơn hình hữu hạn (K là họ hữu hạn) thì hai topo này trùng
nhau. Nếu khơng có chú thích ngược lại thì topo được xét trên giá của một
phức đơn hình ln ln được hiểu là topo coherent.
N

Ta có các bổ đề sau
Bổ đề 1.1.7. Nếu L là một phức con của một phức đơn hình K thì

|L| đóng trong |K|; Trường hợp riêng ∀σ ∈ K thì σ đóng trong |K|.✷
Bổ đề 1.1.8. Cho phức đơn hình K , X là một khơng gian topo, ánh
xạ f : |K| → X ; Khi đó f liên tục khi và chỉ khi f |σ : σ → X liên tục,
với mỗi σ ∈ K .✷
Định nghĩa 1.1.9. Cho X là một không gian topo, C là một họ các
khơng gian con của X mà có hợp bằng X . Topo của X được gọi là coherent
đối với họ C nếu mỗi tập con A của X là đóng trong X khi và chỉ khi
A ∩ C đóng trong C , với mỗi C ∈ C ; Điều này tương đương với mỗi tập
con A của X là mở trong X khi và chỉ khi A ∩ C mở trong C , với mỗi
C ∈ C.
Ta nhận thấy rằng topo trên |K| coherent đối với họ K .
Tương tự như Bổ đề 1.1.8, ta có
Bổ đề 1.1.10. Cho các không gian topo X, Y , cho C là một họ các


10

khơng gian con của X mà có hợp bằng X và topo trên X coherent đối
với họ này. Cho ánh xạ f : X → Y ; Khi đó f liên tục khi và chỉ khi
f |C : C → Y liên tục, với mỗi C ∈ C .✷
Định nghĩa 1.1.11. Cho v là một đỉnh bất kỳ của một phức đơn
hình K , cho x là một phần tử của đa diện |K| thì x thuộc phần trong
đúng một đơn hình của K , mà các đỉnh được gọi là a0 , a1 , . . . , an , khi đó
n
∑
x=
ti ai
∑
ở đây ti > 0, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n} và ni=0 ti = 1. Ta đặt tv (x) = 0 nếu
v ∈

/ {a0 , a1 , . . . , an } và tv (x) = ti nếu v = ti (tv (x) được gọi là tọa độ
trọng tâm của x đối với đỉnh v và hàm tv này được gọi là hàm tọa độ
trọng tâm đối với đỉnh v , hàm này liên tục do Bổ đề 1.1.8).
i=0

Ta cũng có
Bổ đề 1.1.12. Với mỗi phức đơn hình K , |K| là không gian topo
Hausdorff.
Chứng minh. Cho x1 , x2 là hai phần tử phân biệt của |K| thì tồn tại một
đỉnh v của K mà tv (x1 ) ̸= tv (x2 ). Chọn r nằm giữa hai số này; Khi đó
các tập mở {x ∈ |K|/tv (x) < r}, {x ∈ |K|/tv (x) > r} của |K| rời nhau
mà mỗi tập chứa một trong hai điểm x1 , x2 . Từ đó |K| là khơng gian topo
Hausdorff.
Bổ đề 1.1.13. Nếu phức đơn hình K hữu hạn thì |K| là khơng gian
topo compact. Ngược lại, nếu A là một tập compact trong |K| (ở đây K
là một phức đơn hình) thì tồn tại một phức con hữu hạn K0 của phức đơn
hình K sao cho A ⊂ |K0 |.
Chứng minh. Nếu K hữu hạn thì |K| là hợp hữu hạn các khơng gian con
compact σ của nó nên |K| compact.
Bây giờ cho A là một tập compact trong |K|, giả sử ngược lại rằng A
không được chứa trong giá của một phức con nào của K . Với mỗi s ∈ K
mà A ∩ Ints ̸= ∅ (ta đặt họ này là K ′ ) ta chọn một điểm xs ∈ A ∩ Ints;


11

Xét B = {xs /s ∈ K ′ } là tập con vơ hạn của A (vì nếu ngược lại thì A
được chứa trong giá của một phức con của K ). Sử dụng topo coherent ta
thấy mỗi tập con của B đều đóng (do giao với mỗi đơn hình thuộc K là
tập không quá hữu hạn). Ta thấy rằng khơng gian topo con B của |K|

compact (do B đóng trong A và A compact), không gian topo con B là
không gian rời rạc, vô hạn nên mâu thuẫn.
Bây giờ ta nêu định nghĩa về hình sao của một đỉnh trong một phức
đơn hình
Định nghĩa 1.1.14. Cho K là một phức đơn hình, v là một đỉnh
của K , hình sao của v trong K , ký hiệu Stv hay St(v, K), là hợp của tất
cả các phần trong của các đơn hình mà nhận v làm đỉnh. Hình sao đóng
¯ hay St(v,
¯
của v trong K , ký hiệu Stv
K), là hợp của tất cả các đơn hình
¯ là giá của một phức con của K ). Tập Stv\Stv
¯
mà nhận v làm đỉnh (Stv
được gọi là khoen (link) của v trong K và được ký hiệu là Lkv .

¯ . Tập Stv là mở trong |K|, do nó là
Bao đóng của Stv chính là Stv
tập tất cả các điểm x của |K| mà tv (x) > 0. Stv có phần bù là hợp của
tất cả các đơn hình mà khơng nhận v làm đỉnh. Do đó phần bù này là giá
của một phức con của K . Lkv cũng là giá của một phức con của K do nó
¯ . Ta thấy rằng các tập Stv , Stv
¯ liên thông
là giao của phần bù này và Stv
đường và Lkv có thể khơng liên thơng.
Định nghĩa 1.1.15. Một phức đơn hình K được gọi là hữu hạn địa
phương nếu mỗi đỉnh của K chỉ có hữu hạn các đơn hình thuộc K chứa
nó; Nói cách khác phức đơn hình K là hữu hạn địa phương nếu và chỉ nếu
¯ là giá của một phức con hữu hạn của K .
với mỗi đỉnh v của K , Stv

Ta có
Bổ đề 1.1.16. Một phức đơn hình K là hữu hạn địa phương khi và
chỉ khi |K| là không gian compact địa phương.
Chứng minh. . Cho K hữu hạn địa phương, ∀x ∈ |K|, chọn một đỉnh v
của K mà x ∈ Stv , do định nghĩa phức đơn hình hữu hạn địa phương,


12

¯ là giá của một phức con hữu hạn của K nên Stv
¯ compact, từ đó |K|
Stv
là khơng gian compact địa phương.
. Cho |K| là không gian compact địa phương, với mỗi đỉnh v của K ,
⇒ v ∈ |K| ta tìm được tập con A compact nằm trong |K| mà có phần
trong A˙ của A chứa v ; Sử dụng Bổ đề 1.1.13, ta tìm được một phức con
hữu hạn K0 của phức đơn hình K mà A ⊂ |K0 |. Cho σ là một đơn hình
bất kỳ thuộc K nhận v làm đỉnh, do A˙ mở trong |K| nên A˙ ∩ σ mở trong
σ và v ∈ A˙ ∩ σ nên ta tìm được x ∈ A˙ ∩ Intσ , do x ∈ A˙ ⊂ A ⊂ |K0 | nên
¯ là giá của một phức con
tồn tại τ ∈ K0 mà x ∈ τ ⇒ σ ⊂ τ , do đó Stv
hữu hạn của phức đơn hình K ; Từ đó K hữu hạn địa phương.
Bây giờ ta định nghĩa các ánh xạ đỉnh đơn hình và ánh xạ đơn hình
Định nghĩa 1.1.17. Cho các phức đơn hình K, L một ánh xạ f :
K (0) → L(0) được gọi là ánh xạ đỉnh đơn hình nếu thỏa mãn điều kiện:
nếu < v0 , v1 , . . . , vn >∈ K thì tồn tại một đơn hình τ ∈ L nhận tất cả các
điểm f (v0 ), f (v1 ), . . . , f (vn ) làm đỉnh (các điểm f (v0 ), f (v1 ), . . . , f (vn ) có
thể khơng phân biệt).
Ta có
Bổ đề 1.1.18. Cho các phức đơn hình K, L và f : K (0) → L(0) là ánh

xạ đỉnh đơn hình; Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục g : |K| → |L| thác
∑
triển của f và nếu x = ni=0 ti vi (< v0 , v1 , . . . , vn >∈ K, t0 , t1 , . . . , tn ≥
∑
∑
0, ni=0 ti = 1) thì g(x) = ni=0 ti g(vi ).
Ta gọi g là ánh xạ đơn hình được cảm sinh bởi ánh xạ đỉnh đơn hình

f.
∑n
Chứng minh. ∀ < v0 , v1 , . . . , vn >∈ K , ∀x =
i=0 ti vi (t0 , t1 , . . . , tn ≥
∑n
∑n
0, i=0 ti = 1) ta đặt g(x) = i=0 ti f (vi ) thì g được xác định đúng đắn,
hạn chế của g trên mỗi đơn hình thuộc K đều liên tục nên theo Bổ đề
1.1.8, g liên tục. Từ cách xác định g , hiển nhiên g là thác triển của f .
Định nghĩa 1.1.19. Cho các phức đơn hình K, L một ánh xạ g :
|K| → |L| được gọi là ánh xạ đơn hình nếu nó được cảm sinh từ một ánh


13

xạ đỉnh đơn hình.
Hiển nhiên mỗi ánh xạ đơn hình đều liên tục do Bổ đề 1.1.18.
Ta nhận xét rằng hợp của hai ánh xạ đơn hình là ánh xạ đơn hình.
Ta cũng có
Bổ đề 1.1.20. Cho các phức đơn hình K, L và f : K (0) → L(0) là một
song ánh mà với mỗi {v0 , v1 , . . . , vn } là một tập con hữu hạn các đỉnh của
K thì < v0 , v1 , . . . , vn >∈ K khi và chỉ khi < f (v0 ), f (v1 ), . . . , f (vn ) >∈

L; Khi đó ánh xạ đơn hình cảm sinh bởi f là một đồng phôi.
Chứng minh. Ta gọi f ′ : L(0) → K (0) là ánh xạ ngược của f , g là ánh xạ
đơn hình được cảm sinh bởi ánh xạ đỉnh đơn hình f , g ′ là ánh xạ đơn hình
được cảm sinh bởi ánh xạ đỉnh đơn hình f ′ . Khi đó g ′ ◦g = 1|K| , g◦g ′ = 1|L| ;
Như vậy g : |K| → |L| là phép đồng phôi.
Ánh xạ g trong chứng minh Bổ đề trên được gọi là đồng phơi đơn
hình hay đẳng cấu của K với L.
Với mỗi N ∈ N∗ , cho ∆N là một phức đơn hình gồm một N - đơn
hình và tất cả các mặt của nó. Ta có Hệ quả sau
Hệ quả 1.1.21. Cho K là một phức đơn hình hữu hạn thì tồn tại
một phức đơn hình ∆N mà có một phức con đẳng cấu với K.
Chứng minh. Cho {v0 , v1 , . . . , vN } là tập tất cả các đỉnh của K , chọn
{a0 , a1 , . . . , aN } là một hệ độc lập affine trong RN , cho ∆N là phức đơn
hình gồm đơn hình < a0 , a1 , . . . , aN > và tất cả các mặt của nó. Cho
f : K (0) → (∆N )(0) được xác định bởi f (vi ) = ai , ∀i ∈ {0, 1, . . . , N }; Ta
đặt L = {< f (w0 ), f (w1 ), . . . , f (wn ) > / < w0 , w1 , . . . , wn >∈ K} thì L
là một phức con của ∆N và đẳng cấu với K.
Các phức đơn hình ta xét từ trước đến nay đều có các đơn hình nằm
trong một khơng gian Euclide hữu hạn chiều, bây giờ ta định nghĩa các
phức đơn hình tổng quát hơn Cho J là tập chỉ số khác rỗng (có thể vô


14

hạn), RJ được định nghĩa là tập {x = (xα )α∈J /xα ∈ R, ∀α ∈ J} thì RJ là
một khơng gian tuyến tính: Ta đặt

E J = {x = (xα )α∈J ∈ RJ /∃J1 hữu hạn mà ∀α ∈ J\J1 , xα = 0}
thì E J là một khơng gian tuyến tính con của RJ . Với mỗi x =

(xα )α∈J ∈ E J , ta đặt ||x|| = maxα∈J |xα | thì ||.|| là một chuẩn trên E J
và các phức đơn hình ”tổng qt“ có các đơn hình ở trong các khơng gian
E J này. Do trên một khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều, các chuẩn đều
tương đương (cùng sinh ra một topo) nên thay vì chuẩn Euclide ta lấy một
chuẩn khác topo coherent trên giá của một phức đơn hình cũng khơng đổi;
Như vậy mỗi phức đơn hình cũng là một phức đơn hình tổng quát. Cũng
vì lý do này, nếu lấy một chuẩn khác trên E J topo trên giá của phức đơn
hình cũng khơng thay đổi.
Định nghĩa 1.1.22. Một phức đơn hình trừu tượng là một họ S gồm
các tập hữu hạn khác rỗng thỏa mãn điều kiện nếu A ∈ S thì mỗi tập con
khác rỗng của A cũng thuộc S.
Mỗi phần tử A của S được gọi là một đơn hình của S, chiều của A là
số phần tử của A trừ đi 1, mỗi tập con khác rỗng của A được gọi là một
mặt của A. Chiều của S là số lớn nhất trong các chiều của các đơn hình
thuộc S nếu số này tồn tại, trong trường hợp ngược lại Chiều của S được
gọi là bằng vô cùng. Tập đỉnh V của S là hợp tất cả các phần tử của S,
ta cũng đồng nhất đỉnh v ∈ V và 0 - đơn hình {v}inS. Một họ con của S
mà cũng là một phức đơn hình trừu tượng cũng được gọi là một phức con
của S.
Hai phức trừu tượng S, T được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một song
ánh f từ tập đỉnh S vào tập đỉnh T thỏa mãn điều kiện {a0 , a1 , . . . , an } ∈ S
khi và chỉ khi {f (a0 ), f (a1 ), . . . , f (an )} ∈ T.
Định nghĩa 1.1.23. Cho K là một phức đơn hình, V là tập đỉnh
của K ; cho K là họ tất cả các tập con hữu hạn khác rỗng {a0 , a1 , . . . , an }
của V mà < a0 , a1 , . . . , an >∈ K . Họ K được gọi là sơ đồ đỉnh của K .
Họ K là một phức đơn hình trừu tượng, sau đây là sự liên hệ giữa các


15

phức đơn hình và các phức đơn hình trừu tượng.
Định lý 1.1.24. (1) Mỗi phức đơn hình trừu tượng S đẳng cấu với
sơ đồ đỉnh của một phức đơn hình K nào đó.
(2) Hai phức đơn hình là đẳng cấu khi và chỉ khi các sơ đồ đỉnh của
chúng là các phức đơn hình trừu tượng đẳng cấu.
Nếu một phức đơn hình trừu tượng S đẳng cấu với sơ đồ đỉnh của
một phức đơn hình K thì K được gọi là một thực thể hóa của S. Các thực
thể hóa cho cùng một phức đơn hình trừu tượng là đẳng cấu với nhau.
1.2. CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỒNG ĐIỀU RÚT GỌN
Trước khi định nghĩa các nhóm đồng điều của một phức đơn hình ta
phải định nghĩa các đơn hình định hướng:
Cho < a0 , a1 , . . . , an > là một n - đơn hình với n ≥ 1, với mỗi
song ánh α : {0, 1, . . . , n} → {0, 1, . . . , n}, (aα(0) , aα(1) , . . . , aα(n) ) được
gọi là một đơn hình thứ tự. Hai đơn hình thứ tự (aα(0) , aα(1) , . . . , aα(n) ),
(aβ(0) , aβ(1) , . . . , aβ(n) ) được gọi là cùng lớp nếu như (−1)N (α) = (−1)N (β)
(ở đây N (α), N (β) lần lượt là số nghịch thế của các hoán vị α, β ). Ta thấy
định nghĩa này không phụ thuộc vào chọn thứ tự các đỉnh trong đơn hình
đầu tiên < a0 , a1 , . . . , an >, và hai đơn hình thứ tự (aα(0) , aα(1) , . . . , aα(n)) ,
(aβ(0) , aβ(1) , . . . , aβ(n)) cùng lớp khi và chỉ khi số phép đổi chổ liên tiếp đưa

(aα(0) , aα(1) , . . . , aα(n)) về (aβ(0) , aβ(1) , . . . , aβ(n)) là số chẵn.
Ta có hai lớp như vậy, mỗi lớp được gọi là một đơn hình định hướng,
hai đơn hình định hướng này gọi là đối diện với nhau.
Ta ký hiệu [aα(0) , aα(1) , . . . , aα(n)] là đơn hình định hướng chứa đơn
hình thứ tự (aα(0) , aα(1) , . . . , aα(n)) .
Cho < a0 > là một 0 - đơn hình thì ta chỉ được một đơn hình thứ tự
là (a0 ) và một đơn hình định hướng [a0 ] tương ứng. Đơn hình định hướng
[a0 ] cũng cịn được ký hiệu là a0 .
Ví dụ 1.2.1. (1) Đối với 1 - đơn hình < a0 , a1 > có hai đơn hình
định hướng là [a0 , a1 ], [a1 , a0 ].

16

(2) Đối với 2 - đơn hình < a0 , a1 , a2 > có hai đơn hình định hướng là
[a0 , a1 , a2 ] = [a1 , a2 , a0 ] = [a2 , a0 , a1 ] và [a0 , a2 , a1 ] = [a2 , a1 , a0 ] = [a1 , a0 , a2 ].
Định nghĩa 1.2.2. Cho K là một phức đơn hình, nếu Ap là tập tất
cả các p - đơn hình định hướng trên K khác rỗng, mỗi p - xích trên K là
một hàm c từ tập Ap vào Z thỏa mãn các điều kiện:
(1) −c(σ) = c(σ ′ )nếu σ, σ ′ ∈ Ap mà σ, σ ′ đối diện nhau.
(2) Tồn tại tập A′p hữu hạn là tập con của tập Ap mà c(σ) = 0, ∀σ ∈

Ap \A′p .
Ta ký hiệu Cp (K) là tập tất cả các p - xích. Khi đó Cp (K) là một
nhóm Abel và được gọi là nhóm các p - xích (định hướng của K ). Nếu tập

Ap bằng rỗng thì Cp (K) được định nghĩa là nhóm tầm thường. Như vậy
Cp (K) = 0 khi p < 0 và Cp (K) = 0 khi p > dimK .
Với mỗi σ ∈ Ap , một xích sơ cấp c tương ứng với σ là hàm được xác
định như sau:
. c(σ) = 1,
. c(σ ′ ) = −1, ở đây σ ′ là p - đơn hình định hướng đối diện với σ ,
. c(τ ) = 0 với mỗi τ ∈ Ap \{σ, σ ′ }.
Ta cũng ký hiệu xích sơ cấp này là σ ; như vậy σ ′ = −σ . Ta có
Bổ đề 1.2.3. Cho phức đơn hình K và Ap là tập tất cả các p - đơn
hình định hướng trên K ;
. Nếu p ≥ 1 và Ap ̸= ∅, thì Cp (K) là nhóm Abel tự do, cho Bp là một
tập con của Ap mà ∀σ ∈ Ap có đúng một trong hai phần tử σ; σ ′ thuộc Bp ,
thì Bp là một cơ sở của nhóm Abel tự do Cp (K).
. Nếu p ≥ 0 thì Cp (K) là nhóm Abel tự do và A0 là một cơ sở của

nhóm Abel tự do C0 (K). ✷
Từ đây ta có
Hệ quả 1.2.4. . Nếu p ≥ 1 và Ap ̸= ∅, cho ánh xạ f : Ap → G (với
G là một nhóm Abel tùy ý) thỏa mãn điều kiện f (σ ′ ) = −f (σ), ∀σ ∈ Ap
thì f có thể thác triển thành một đồng cấu duy nhất F : Cp (K) → G, hơn


17

nữa f (−c) = −f (c), ∀c ∈ Cp (K).
. Nếu p = 0, cho ánh xạ f : A0 → G (với G là một nhóm Abel tùy ý)
thì f có thể thác triển thành một đồng cấu duy nhất F : Cp (K) → G.
Bây giờ ta xác định một đồng cấu ∂p : Cp (K) → Cp−1 (K), được gọi
là đồng cấu biên như sau:
. Nếu Cp (K) = 0 hoặc Cp−1 (K) = 0 thì ∂p là đồng cấu tầm thường.
. Nếu Cp (K) ̸= 0 và Cp−1 (K) ̸= 0 thì p > 0 ta đặt
∑
∂p σ = pi=0 (−1)i [v0 , v1 , . . . , vˆi , . . . , vp ], ∀σ = [v0 , v1 , . . . , vi , . . . , vp ] ∈

Ap .
Khi đó ∂p được xác định đúng đắn (nếu [v0 , v1 , . . . , vi , . . . , vp ] =

[w0 , w1 , . . . , wi , . . . , wp ] thì ∂p [v0 , v1 , . . . , vi , . . . , vp ] = ∂p [w0 , w1 , . . . , wi , . . . , wp ])
và thỏa mãn điều kiện ∂p (−σ) = −∂p (σ), ∀σ ∈ Ap .
Như vậy theo Hệ quả trên ∂p được thác triển thành một đồng cấu mà
ta cũng gọi là ∂p từ Cp (K) vào Cp−1 (K).
Ta có ví dụ sau
Ví dụ 1.2.5. (1) ∂1 [a0 , a1 ] = a1 − a0 .
(2) ∂2 [a0 , a1 , a2 ] = [a1 , a2 ] - [a0 , a2 ] + [a0 , a1 ].
Ta có

Bổ đề 1.2.6. ∂p−1 ◦ ∂p = 0. ✷
Định nghĩa 1.2.7. Hạt nhân của đồng cấu ∂p : Cp (K) → Cp−1 (K)
được gọi là nhóm các p - chu trình và được ký hiệu là Zp (K), ảnh của
đồng cấu ∂p+1 : Cp+1 (K) → Cp (K) được gọi là nhóm các p - biên và
được ký hiệu là Bp (K). Do Bổ đề trên Bp (K) ⊂ Zp (K) và ta định nghĩa
Hp (K) = Zp (K)/Bp (K), nhóm Abel này được gọi là nhóm đồng điều p chiều của K .
Ta cũng cần vài thuật ngữ: Cho K là một phức đơn hình và L là
một phức con của K , một p - xích c của K được gọi là có giá trên L nếu
c(σ) = 0 trên mỗi p - đơn hình σ thuộc K mà không thuộc L.


18

Hai p - xích c, c′ trong K được gọi là đồng điều nếu c − c′ ∈ Bp (K).
Trường hợp riêng nếu c ∈ Bp (K) thì c được gọi là đồng điều khơng. Ta có
Định lý 1.2.8. Cho K là một phức đơn hình thì H0 (K) là nhóm Abel
tự do, nếu {vα } là một tập con của tập đỉnh của K mà mỗi thành phần liên
thông của |K| chứa đúng một phần tử của tập {vα } thì họ {vα + B0 (K)}
là một cở sở của nhóm H0 (K). ✷
Bây giờ ta định nghĩa các nhóm đồng điều rút gọn
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử K là một phức đơn hình với tập đỉnh V ,
cho ϵ : C0 (K) → Z là đồng cấu được xác định bởi ϵ(v) = 1 với mỗi v ∈ V ,
∑
∑
∑
có nghĩa là ϵ( v∈V tv v) = v∈V tv , ∀ v∈V tv v ∈ C0 (K). Đồng cấu ϵ được
gọi là đồng cấu Augmentation cho C0 (K). Ta cũng có ϵ ◦ ∂1 = 0 và nhóm
đồng điều rút gọn 0 - chiều của K được định nghĩa là
˜ 0 (K) = kerϵ/im∂1
H

˜ p (K) là nhóm Hp (K) đã được định nghĩa từ
(Nếu p > 0, ta ký hiệu H
trước).
Định lý sau cho thấy quan hệ giữa nhóm đồng điều và nhóm đồng
điều rút gọn
˜ 0 (K) là một
Định lý 1.2.10. Cho K là một phức đơn hình; Khi đó H
nhóm Abel tự do và
⊕
˜
H0 (K)
Z∼
= H0 (K).

˜ 0 (K) là nhóm tầm thường khi và chỉ khi |K| liên thơng. Hơn nữa,
Từ đó H
nếu {vα } là một tập con của tập đỉnh của K mà mỗi thành phần liên thông
của |K| chứa đúng một phần tử của tập này, cho α0 là một phần tử cố
˜ 0 (K). ✷
định thì {vα − vα0 + im∂1 }α̸=α0 là một cơ sở của H
Bây giờ ta tính các nhóm đồng điều của n - đơn hình và biên của nó,
trước hết ta tính các nhóm đồng điều của một nón (cone) và của một tích
treo (suspension) .
Định nghĩa 1.2.11. Cho X là một không gian topo, ta định nghĩa
nón trên X là khơng gian thương có được từ X × I mà đồng nhất X × {1}
thành một điểm. Điểm này được gọi là đỉnh của nón; Ta ký hiệu nón này


19

là C(X)
Cho X là một không gian topo, ta định nghĩa tích treo trên X là
khơng gian thương có được từ X × [−1, 1] mà đồng nhất X × {−1} thành
một điểm và X × {1} thành một điểm khác; Ta ký hiệu tích treo này là
S(X)
(về khơng gian topo thương có thể xem trong [6] hoặc [7]).
Cho K là một phức đơn hình trong E J , và w là một phần tử của
E J \|K| mà mỗi tia phát xuất từ w giao với |K| không quá một điểm. Ta
sẽ định nghĩa một phức đơn hình mà gọi là nón trên K với đỉnh w:
Trước hết ta chứng minh nhận xét sau
Nhận xét 1.2.12. Cho < a0 , a1 , . . . , ap > là một đơn hình thuộc K
thì hệ {w, a0 , a1 , . . . , ap } độc lập affine.
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng hệ {w, a0 , a1 , . . . , ap } không độc lập
affine; Khi đó tồn tại các số thực t, t0 , t1 , . . . , tp không đồng thời bằng
∑
∑
không mà t + pi=0 ti = 0 và tw + pi=0 ti ai = 0, do hệ {a0 , a1 , . . . , ap }
∑
∑
độc lập affine nên t ̸= 0, từ đó w = pi=0 (− tti )ai . Vì t + pi=0 ti = 0 nên
∑p
ti
i=0 (− t ) = 1, ta gọi v là trọng tâm của đơn hình < a0 , a1 , . . . , ap >,
1 ∑p
có nghĩa là v = p+1
i=0 ai ; Với mỗi α ∈ (0, 1), αw + (1 − α)v =
∑p
∑p
ti

ti
1
1
(−α(
)
+
(1
−
α)
)a
,
ta
có
i
i=0 (−α( t ) + (1 − α) p+1 ) = 1,
i=0
t
p+1
1
1
với mỗi i ∈ {0, 1, . . . , p}, limα→0+ (−α( tti ) + (1 − α) p+1
) = p+1
> 0 nên
khi α > 0 đủ bé ta có αw + (1 − α)v ∈< a0 , a1 , . . . , ap >⊂ |K|, hơn nữa
v ̸= w nên tia phát xuất từ w qua v giao với |K| có vơ số điểm; Đây là
điều mâu thuẫn.
Cho w∗K là họ gồm tất cả các đơn hình có dạng < w, a0 , a1 , . . . , ap >
(với < a0 , a1 , . . . , ap >∈ K ) cùng với tất cả các mặt của chúng; Ta có thể
kiểm tra rằng w ∗ K là một phức đơn hình và K là một phức con của nó.
Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.13. Phức đơn hình w ∗ K được gọi là nón trên K
với đỉnh w.


20

Ta có
Bổ đề 1.2.14. Cho U là một tập lồi, mở, giới nội trong không gian
Euclide Rn , cho w ∈ U . Nếu K là một phức đơn hình hữu hạn mà |K| =
U¯ \U , thì w ∗ K là một phức đơn hình hữu hạn mà |w ∗ K| = U¯ ✷
Cho K là một phức đơn hình thì hai nón w ∗ K , v ∗ K bất kỳ đều
đẳng cấu với nhau.
Chú ý rằng nếu K là một phức đơn hình có giá nằm trong khơng gian
Euclide Rn , Rn có thể xem là khơng gian con của Rn+1 bằng cách đồng
nhất mỗi điểm (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn với điểm (x1 , x2 , . . . , xn , 0) ∈ Rn+1 ,
chọn w = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1 thì mỗi tia phát xuất từ w giao với |K|
không quá một điểm; Như vậy nón trên K là tồn tại.
Cho K là một phức đơn hình và w1 ∗ K , w2 ∗ K là hai nón trên K
mà |w1 ∗ K| ∩ |w2 ∗ K| = |K|; Ta đặt S(K) = w1 ∗ K ∪ w2 ∗ K .
Ta sẽ kiểm tra rằng S(K) là một phức đơn hình:

∀σ, τ ∈ S(K), ta phải chứng minh rằng σ ∩ τ là một mặt chung
của hai đơn hình này; Do w1 ∗ K , w2 ∗ K là các phức đơn hình nên
khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử rằng đơn hình σ chứa đỉnh
w1 , đơn hình τ chứa đỉnh w2 , ta đặt σ =< w1 , a0 , a1 , . . . , ap >, τ =<
w2 , b0 , b1 , . . . , bq > với < a0 , a1 , . . . , ap >, < b0 , b1 , . . . , bq >∈ K , ta có
σ ∩ τ ⊂ |w1 ∗ K| ∩ |w2 ∗ K| = |K|, do mỗi tia phát xuất từ w1 giao
với |K| không quá một điểm nên σ ∩ |K| =< a0 , a1 , . . . , ap > và do mỗi
tia phát xuất từ w2 giao với |K| không quá một điểm nên τ ∩ |K| =<
b0 , b1 , . . . , bq >, từ đó σ ∩ τ ⊂< a0 , a1 , . . . , ap > ∩ < b0 , b1 , . . . , bq >, hiển

nhiên < a0 , a1 , . . . , ap > ∩ < b0 , b1 , . . . , bq >⊂ σ ∩ τ , vì thế σ ∩ τ =<
a0 , a1 , . . . , ap > ∩ < b0 , b1 , . . . , bq > là một mặt chung của hai đơn hình
σ, τ .
Định nghĩa 1.2.15. Cho K là một phức đơn hình và w1 ∗K , w2 ∗K là
hai nón trên K mà |w1 ∗K|∩|w2 ∗K| = |K|; Khi đó S(K) = w1 ∗K ∪w2 ∗K
là một phức đơn hình. S(K) được gọi là tích treo trên K với hai đỉnh

w1 , w2 .


21

Với phức đơn hình K cho trước, tích treo S(K) trên K được xác định
duy nhất đối với các phép đẳng cấu đơn hình.
Chú ý rằng nếu K là một phức đơn hình có giá nằm trong khơng gian
Euclide Rn , Rn có thể xem là khơng gian con của Rn+1 bằng cách đồng
nhất mỗi điểm (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn với điểm (x1 , x2 , . . . , xn , 0) ∈ Rn+1 ,
chọn w1 = (0, 0, . . . , 0, −1) ∈ Rn+1 , w2 = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1 thì
|w1 ∗ K| ∩ |w2 ∗ K| = |K|; Như vậy tích treo trên K là tồn tại. Ta có
Mệnh đề 1.2.16. Cho K là một phức đơn hình; khi đó
(1) Đối với nón w ∗ K thì |w ∗ K| đồng phơi với C(|K|).
(2) Đối với tích treo S(K) = w1 ∗ K ∪ w2 ∗ K thì |S(K)| đồng phôi
với S(|K|).
Chứng minh. (1) Ta lập ánh xạ φ : |K| × I → |w ∗ K| được xác định
bởi (x, t)
(1 − t)x + tw, đây là ánh xạ liên tục và hai phần tử cùng
thuộc một lớp tương đương thì cho cùng một ảnh trong |w ∗ K| nên φ
cảm sinh một ánh xạ liên tục Φ : C(|K|) → |w ∗ K|, ánh xạ này là
song ánh. Gọi Ψ : |w ∗ K| → C(|K|) là ánh xạ ngược của Φ; Với mỗi
σ =< a0 , a1 , . . . , ap >∈ K , Φ(π(σ × I)) =< w, a0 , a1 , . . . , ap > (ở đây

π : |K|×I → C(|K|) là ánh xạ thương), π(σ×I) là tập compact và |w∗K|
là Hausdorff nên hạn chế của ánh xạ Φ từ π(σ×I) lên < w, a0 , a1 , . . . , ap >
là phép đồng phôi, bởi vậy ánh xạ Ψ hạn chế trên < w, a0 , a1 , . . . , ap >
liên tục, do đó ánh xạ này hạn chế trên mỗi mặt của < w, a0 , a1 , . . . , ap >
đều liên tục; Do topo trên |w ∗ K| coherent đối với các đơn hình của nó
nên Ψ liên tục và |w ∗ K| đồng phôi với C(|K|).
(2) Ta lập ánh xạ φ : |K| × [−1, 1] → |S(K)| được xác định bởi
(x, t)
(1 − t)x + tw1 nếu t ≥ 0 và (x, t)
(1 + t)x − tw2 nếu t ≤ 0;
Ta thấy ánh xạ này được xác định đúng đắn, liên tục và hai phần tử
cùng thuộc một lớp tương đương thì cho cùng một ảnh trong |S(K)| nên
φ cảm sinh một ánh xạ liên tục Φ : S(|K|) → |S(K)|, ánh xạ này là
song ánh. Gọi Ψ : |S(K)| → S(|K|) là ánh xạ ngược của Φ; Với mỗi
σ =< a0 , a1 , . . . , ap >∈ K , Φ(π(σ × [0, 1])) =< w1 , a0 , a1 , . . . , ap > (ở


22

đây π : |K| × [−1, 1] → S(|K|) là ánh xạ thương), π(σ × [0, 1]) là tập
compact và |S(K)| là Hausdorff nên hạn chế của ánh xạ Φ từ π(σ ×
[0, 1]) lên < w1 , a0 , a1 , . . . , ap > là phép đồng phôi, bởi vậy ánh xạ Ψ
hạn chế trên < w1 , a0 , a1 , . . . , ap > liên tục, do đó ánh xạ này hạn chế
trên mỗi mặt của < w1 , a0 , a1 , . . . , ap > đều liên tục; Tương tự, với mỗi
σ =< a0 , a1 , . . . , ap >∈ K , Φ(π(σ × [−1, 0])) =< w2 , a0 , a1 , . . . , ap >,
π(σ × [−1, 0]) là tập compact và |S(K)| là Hausdorff nên hạn chế của ánh
xạ Φ từ π(σ × [−1, 0]) lên < w2 , a0 , a1 , . . . , ap > là phép đồng phôi, bởi
vậy ánh xạ Ψ hạn chế trên < w2 , a0 , a1 , . . . , ap > liên tục, do đó ánh xạ
này hạn chế trên mỗi mặt của < w2 , a0 , a1 , . . . , ap > đều liên tục. Do topo
trên |S(K)| coherent đối với các đơn hình của nó nên Ψ liên tục và |S(K)|

đồng phơi với S(|K|).
Để tiện cho việc tính các nhóm đồng điều trên một nón ta đưa ra định
nghĩa sau
Định nghĩa 1.2.17. Cho K là một phức đơn hình và w ∗ K là một
nón, nếu σ = [a0 , a1 , . . . , ap ] là một p - đơn hình định hướng của K , ta
ký hiệu [w, σ] là p + 1 - đơn hình định hướng [w, a0 , a1 , . . . , ap ] của w ∗ K
(phép toán này được xác định đúng đắn do [a0 , a1 , . . . , ap ] = [b0 , b1 , . . . , bp ]
kéo theo [w, a0 , a1 , . . . , ap ] = [w, b0 , b1 , . . . , bp ]) và [w, −σ] = −[w, σ], ∀σ ∈
∑
Ap (K). Tổng quát hơn nếu cp = ni σi là một p - xích trong K , ta định
nghĩa
∑
[w, cp ] =
ni [w, σi ].
Phép toán này gọi là phép toán bracket và là một đồng cấu nhóm từ Cp (K)
vào Cp+1 (w ∗ K) (cp → [w, cp ]).
Ta có thể chứng minh cơng thức sau

∂[w, σ] = σ − w nếu dimσ = 0 và
∂[w, σ] = σ − [w, ∂σ] nếu dimσ > 0.
Từ đây ta có cơng thức tổng qt hơn

∂[w, c0 ] = c0 − ϵ(c0 )w và


23

∂[w, cp ] = cp − [w, ∂cp ] nếu p > 0.
Định lý 1.2.18. Cho K là một phức đơn hình và w ∗ K là một nón;
Khi đó với mỗi p,

˜ p (w ∗ K) = 0.
H
Nói chung, một phức đơn hình mà tất cả các nhóm đồng điều rút gọn
của nó đều triệt tiêu thì phức đơn hình đó được gọi là acyclic.

˜ 0 (w ∗ K) = 0,∀p < 0 thì H
˜ p (w ∗
Chứng minh. Do |w ∗ K| liên thông nên H
K) = Hp (w ∗ K) = 0. Bây giờ ta xét trường hợp p > 0:
Cho zp là một p - chu trình của w ∗ K , ta phải chứng minh zp đồng
điều với không; Ta đặt

zp = cp + [w, dp−1 ],
ở đây cp gồm các số hạng của zp mà có giá trên K cịn dp−1 là p − 1 - xích
trên K .
Ta có

zp − ∂[w, cp ] = cp + [w, dp−1 ] − cp + [w, ∂cp ]
= [w, ep−1 ].
Ở đây ep−1 = dp−1 + ∂cp là một p − 1 -xích của K . Do zp là một p - chu
trình nên ∂[w, ep−1 ] = 0, ta chia hai trường hợp cho p:
. Trường hợp p = 1 do ∂[w, ep−1 ] = 0 ⇒ ep−1 − ϵ(ep−1 )w = 0, từ
đó ep−1 = 0 hay zp − ∂[w, cp ] = 0 ⇒ zp = ∂[w, cp ] nên zp đồng điều với
không.
. Trường hợp p > 1 do ∂[w, ep−1 ] = 0 ⇒ ep−1 − [w, ∂ep−1 ] = 0, từ
đó ep−1 = 0 hay zp − ∂[w, cp ] = 0 ⇒ zp = ∂[w, cp ] nên zp đồng điều với
khơng.
Định lý trên cịn đúng cho các phức đơn hình có giá co rút được. Như
vậy khơng gian n− hyperbolic cũng là acyclic (xem [1]), liên quan với các
không gian hyperbolic (xem [2],[3]).

24

Bây giờ ta tính các nhóm đồng điều của phức đơn hình biên của một
đơn hình.
Định lý 1.2.19. Cho n ∈ N, σ =< a0 , a1 , . . . , an > là một n - đơn
hình. Cho Kσ là phức đơn hình gồm σ và tất cả các mặt của nó thì Kσ là
∑
acyclic. Nếu n > 0, cho n−1 là phức con của Kσ mà có giá là Bdσ thì
˜ n−1 (∑n−1 ) là nhóm cyclic vô hạn. Hơn nữa H
˜ i (∑n−1 ) = 0 khi i ̸= n−1.
H
Chứng minh. Do Kσ là nón nên nó là acyclic.
Khi n > 0, ta so sánh các nhóm xích của Kσ và

∑n−1

:

Cn (Kσ ) → Cn−1 (Kσ ) → . . . → C0 (Kσ ) → Z
∑
∑
∑
Cn ( n−1 ) → Cn−1 ( n−1 ) → . . . → C0 ( n−1 ) → Z
∑
∑
∑
Ta có C0 (Kσ ) = C0 ( n−1 ), . . . , Cn−1 (Kσ ) = Cn−1 ( n−1 ) và Cn ( n−1 ) =
˜ i (∑n−1 ) = H

˜ i (Kσ ) = 0 khi i < n−1, ta cũng có H
˜ i (∑n−1 ) = 0
0. Do đó H
˜ n−1 (∑n−1 ), ta cũng chia hai trường hợp:
khi i > n − 1. Bây giờ ta tính H
˜ n−1 (∑n−1 ) = H
˜ 0 (∑0 ) ∼
. Khi n = 1 thì H
= Z.
∑
∑
∑
n−1
˜ n−1 ( n−1 ) ∼
. Khi n > 1 thì H
) ta thấy Zn−1 ( n−1 ) là
= Zn−1 (
∑
nhóm cyclic vơ hạn với phần tử sinh là ni=0 (−1)i [a0 , a1 , . . . , a
ˆi , . . . , an ].

Bây giờ ta tìm sự liên hệ giữa các nhóm đồng điều của một phức đơn
hình và tích treo của nó
Định lý 1.2.20. Cho K là một phức đơn hình, S(K) = w1 ∗ K ∪
w2 ∗ K là một tích treo trên K với hai đỉnh w1 , w2 .
Với mỗi p ∈ N, xét đồng cấu φp : Cp (K) → Cp+1 (S(K)) được xác
định bởi cp → [w1 , cp ] − [w2 , cp ]; Khi đó φp cảm sinh một đẳng cấu (φp )∗
˜ p (K) đến H
˜ p+1 (S(K)).
từ H

˜ p (K) → H
˜ p+1 (S(K))
Chứng minh. . Trường hợp p ≥ 1, ta có (φp )∗ : H
được xác định bởi cp + Bp (K) → [w1 , cp ] − [w2 , cp ] + Bp+1 (S(K)), đầu tiên
ta chứng minh rằng ánh xạ này được xác định đúng đắn và là một đồng
cấu.