Áp dụng phương pháp toạ độ để giải một số bài toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN ĐĂNG TRUNG

ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG- NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN ĐĂNG TRUNG

ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN SƠ CẤP

Chun ngành : Phƣơng Pháp Tốn Sơ Cấp
Mã số

: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hƣớng dẫn: TS. LÊ HỒNG TRÍ

ĐÀ NẴNG – NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan
Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện
dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Hồng Trí
Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên
tác giả, tên cơng trình, thời gian và địa điểm cơng bố.
Nếu có sao chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn
tồn trách nhiệm.
Tác giả luận văn

Nguyễn Đăng Trung


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................... 1
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu .......................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................... 2
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC LIÊN QUAN ................................................... 3
1.1. HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG ............................................................................. 3
1.1.1. Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng .................................... 3
1.1.2. Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ ................................ 3
1.1.3. Phép toán vec tơ ........................................................................... 3
1.1.4. Các cơng thức ............................................................................... 4
1.2. HỆ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN .................................................................. 7

1.2.1. Khái niệm hệ tọa độ trong không gian .......................................... 7
1.2.2. Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ ................................ 7
1.2.3. Các phép toán vectơ...................................................................... 8
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƢƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ .......................................................................................... 13
2.1. CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CHỨNG MINH, TÍNH TỐN .............. 13
2.1.1. Phƣơng pháp giải ........................................................................ 13
2.1.2. Các ví dụ .................................................................................... 13
2.2. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƢỜNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH
..................................................................................................................... 19
2.2.1. Phƣơng pháp giải ........................................................................ 19
2.2.2. Các ví dụ .................................................................................... 20
2.3. BÀI TỐN QUỸ TÍCH ........................................................................ 22
2.3.1. Phƣơng pháp giải ........................................................................ 22
2.4. BÀI TỐN DỰNG HÌNH ..................................................................... 26


2.4.1. Các ví dụ .................................................................................... 26
2.5. BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH ............... 27
2.5.1. Phƣơng pháp giải ........................................................................ 27
2.5.2. Các ví dụ .................................................................................... 27
2.6. BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
..................................................................................................................... 33
2.6.1. Phƣơng pháp giải ........................................................................ 33
2.6.2. Các ví dụ .................................................................................... 34
2.7. BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ................................. 37
2.7.1. Phƣơng pháp giải ........................................................................ 37
2.7.2. Các ví dụ .................................................................................... 37
2.8. BÀI TỐN CỰC TRỊ ........................................................................... 42
2.8.1. Phƣơng pháp giải ........................................................................ 42

2.8.2. Các ví dụ .................................................................................... 43
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG ........................................ 46
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................... 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 75
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bằng thực tiễn tốn học, lý luận đã khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là
cần thiết và không thể thiếu đƣợc trong chƣơng trình tốn THPT. Phƣơng
pháp toạ độ là phƣơng pháp tốn cơ bản ở lớp 10, xong việc ứng dụng của nó
thì học sinh chƣa nhận thấy hết đƣợc. Đến lớp 12 thì phƣơng pháp toạ độ là
một cơng cụ khá hữu hiệu để giải các bài tốn hình học.
Gần đây trong nhiều kì thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi có nhiều
bài tốn khơng liên quan đến hình học nhƣng đƣợc giải bằng phƣơng pháp toạ
độ. Đó là các bài tốn giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình.
Hay đó là các bài tốn chứng minh bất đẳng thức, bài tốn cực trị.
Với lý do đó tơi chọn đề tài “Áp dụng phương pháp toạ độ để giải một
số bài tốn sơ cấp”
2. Mục đích nghiên cứu
Với các lý do nhƣ ở trên em đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau:

- Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phƣơng pháp tọa
độ.

- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, để từ đó thấy dƣợc tầm quan
trọng và tính thiết thực của lý thuyết phƣơng pháp tọa độ đối với các dạng bài

toán.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tƣợng nghiên cứu: Lý thuyết phƣơng pháp tọa độ và một số bài
toán sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải.

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán sơ cấp.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phƣơng pháp tọa độ


2

để rút ra một số dạng toán và phƣơng pháp giải các bài toán liên quan về ứng
dụng của phƣơng pháp tọa độ.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan
tới ứng dụng của phƣơng pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài
tốn.

- Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân
và các bạn bè, anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề
nghiên cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp với đƣa vào các ví dụ minh họa chi
tiết.

- Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hƣớng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng nhƣ
hình

3

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1. HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG
1.1.1. Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng





 

Hệ tọa độ afin O;i;j ; có cơ sở i; j gồm hai vectơ đơn vị vng góc
với nhau đƣợc gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ Descartes
vng góc). Kí hiệu: Oxy
1.1.2. Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ
Trong hệ trục tọa độ
Nếu a là một vectơ bất kì có a  xi  yj thì cặp số (x, y) đƣợc gọi là tọa
độ của a . Kí hiệu: a   x, y  .
Nếu một điểm M bất kì trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: OM  xi  yj
thì tọa độ điểm M là M(x, y).
1.1.3. Phép tốn vec tơ
Trong mặt phẳng Descartes cho các vectơ:

 a1  b1
a   a1,a 2  ;b   b1,b2  . Ta có a  b  

a 2  b 2
a  b   a1  b1;a 2  b2 

a  b   a1  b1;a 2  b2  ka   ka1,ka 2 
a  a12  a 22

a b 
a / /b  a  kb hay  1 2   0; a  b  a1b1  a 2b2  0
 b1 b2 

 

Nếu a,b  0 thì cos a,b 

a1b1  a 2b 2
a12  a 22 . b12  b 22


4

Trong mặt phẳng Oxy với A(xA,yA), B(xB,yB) thì tọa độ của vectơ AB là
AB = (xB - xA, yB - yA).

1.1.4. Các công thức
a. Công thức trung điểm, trọng tâm
xA  xB

 x I 
2
Điểm I là trung điểm đoạn AB  

 y  yA  yB
 I
2
xA  xB  xc

x

G

3
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC  
 y  yA  yB  yc
 G
3
x A  kx B

x

M

1 k
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1  MA  kMB  
 y  y A  ky B
 M
1 k

b. Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy
Đƣờng thẳng d đi qua M(x0, y0) nhận ⃗

làm vectơ chỉ phƣơng sẽ có

 x  x 0  at
phƣơng trình tham số là: 
và có phƣơng trình chính tắc là:
 y  y0  bt
x  x 0 y  y0

,  a,b  0 
a
b

Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm A(xA, yA), B(xB,yB) là:
x  xA
y  yA
(Quy ƣớc nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0).

x B  x A yB  yA

Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng:
Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ 0
Từ phƣơng trình tổng qt ta có một vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng


5

là u   B, A  và một vectơ pháp tuyến là n   A,B
Đƣờng thẳng d đi qua M(x0,y0) và có hệ số góc k cho trƣớc là:
y = k (x − x0) + y0
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A(a,0), B(0,b) (A,B ≠ O(0;0)) có
phƣơng trình:

x y
  1 (cịn gọi là phương trình đoạn chắn).
a b

Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình dạng: Ax+By+C = 0 hoặc y = kx + m
+ Đƣờng thẳng song song với d có phƣơng trình dạng: Ax + By + M = 0
hoặc y = kx + n.
+ Đƣờng thẳng vng góc với d có phƣơng trình dạng: Bx − Ay + N = 0

1
hoặc y   x  q , (k ≠ 0).
k
c. Cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng
+ Công thức cosin: Cho hai đƣờng thẳng
d1 : A1x + B1y + C2 = 0, d2 : A2x + B2y + C2 = 0
 cos  d1 ,d 2  

A1A 2  B1B2
A12  B12 . A 22  B22

+ Công thức tan: Cho hai đƣờng thẳng
d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2x + b2  tan  d1 ,d 2  
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong hệ tọa độ Descartes xét hai đƣờng thẳng:
d1 : A1x + B1y + C1 = 0
d2 : A2x + B2y + C2 = 0

k 2  k1
1  k1k 2

6

Đặt:

D

A1

B1

A2

B2

, Dx 

C1

B1

C2

B2

, Dy 

A1

C1

A 2 C2

D0

+ d1 cắt d2  D ≠ 0 + d1 // d2  
D x  0  D y  0

+ d1  d 2  D  Dx  Dy  0  d1  d 2  A1A2  B1B2  0
e. Chùm đường thẳng
Tập hợp các đƣờng thẳng đi qua một điểm S đƣợc gọi là một chùm
đƣờng thẳng tâm S.
Nếu (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = 0 là phƣơng trình hai
đƣờng thẳng qua S thì: α(A1x + B1y + C1) + β(A2x + B2y + C2) = 0, với α2 + β2
≠ 0, là phƣơng trình của một đƣờng thẳng qua S.
Nếu α ≠ 0 thì phƣơng trình đƣờng thẳng viết lại thành:
A1x + B1y + C1 + µ(A2x + B2y + C2) = 0, trong đó: µ 


là phƣơng trình


đƣờng thẳng qua S, trừ d2.
f. Phương trình đường trịn
Đƣờng trịn tâm I(a, b), bán kính R > 0 có phƣơng trình:
(x − a)2 + (y − b)2 = R2 hay x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0
với c = a2 + b2 − R2.
g. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn
Cho đƣờng trịn (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
Tiếp tuyến của đƣờng trịn (C) tại điểm M(x0, y0) ∈ (C) có phƣơng trình

là:
(x0 − a) (x − x0 ) + (y0 − b) (y − y0) = 0
h. Phương tích của một điểm đối với đường tròn
Cho đƣờng tròn (C): x2 + y2 − 2ax − 2by +c = 0.
Phƣơng tích của điểm M(x0, y0) đối với (C):


7

PM/C  x 02  y02  2ax 0  2by0

+ PM/(C) > 0 ⇔ M ở bên ngoài đƣờng tròn (C).
+ PM/(C) < 0 ⇔ M ở bên trong đƣờng tròn (C).
+ PM/(C) = 0 ⇔ M nằm trên đƣờng tròn (C).
Trục đẳng phƣơng của hai đƣờng tròn (C1) và (C2): Tập hợp tất cả các
điểm có cùng phƣơng tích đối với hai đƣờng trịn.
Cho hai đƣờng trịn có phƣơng trình:
(C1) : x2 + y2 − 2a1x − 2b1y +c1 = 0 và
(C2) : x2 + y2 − 2a2x − 2b2y + c2 = 0.
Phƣơng trình trục đẳng phƣơng của (C1) và (C2) có đƣợc bằng cách trừ
hai phƣơng trình của hai đƣờng trịn vế theo vế:
2(a1 − a2)x + 2(b1 − b2)y + c1 − c2 = 0.
i. Phương trình các đường cơnic
Phƣơng trình chính tắc của parabol:

y2 = 2px, (p > 0).

Phƣơng trình chính tắc của elip:

x 2 y2


1
a 2 b2

Phƣơng trình chính tắc của hyperbol:

x 2 y2

1
a 2 b2

1.2. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.2.1. Khái niệm hệ tọa độ trong không gian
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đơi
một. Gọi ⃗ ⃗ là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
Hệ ba trục nhƣ vậy đƣợc gọi là hệ trục tọa độ Descarte vng góc Oxyz
trong khơng gian, hay đơn giản đƣợc gọi là hệ tọa độ Oxyz.
1.2.2. Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ
Trong không gian Oxyz
Cho một điểm M tùy ý. Khi đó ta có: OM  xi  yj  zk và gọi bộ ba số


8

(x,y, z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Descartes Oxyz đã cho. Kí
hiệu: M(x, y, z).
Cho vectơ

⃗.

với

Khi đó bộ ba số (a1, a2, a3) đƣợc gọi là tọa độ của vectơ
tọa độ Descartes Oxyz cho trƣớc. Ta viết:

đối với hệ trục

= (a1, a2 ,a3).

1.2.3. Các phép tốn vectơ
a. Các phép tính
Trong khơng gian cho các vectơ: a   a1, a 2 , a 3  ,b   b1,b2 ,b3  và

cho

các điểm A(x1, y1, z1), B(x2, y2 ,z2). Ta có: a  b   a1  b1,a 2  b2 ,a 3  b3  ;
ka   ka1,ka 2 ,ka 3 
a  a12  a 22  a 32 ; AB  (x 2  x1, y2  y1,z 2  z1 )

 a1  b1

a  b  a 2  b 2
a  b
3
 3
AB 

a / /b  a  kb

 x 2  x1    y2  y1    z2  z1 

2

2

2

Điểm M(x, y, z) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: MA  kMB,  k  1
đƣợc xác định bởi công thức:
x1  kx 2

x  1  k

y1  ky 2

y 
1 k

z1  kz 2

z


1 k

Đặc biệt, nếu k = −1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó, tọa
 x  x 2 y1  y 2 z1  z 2 
,
,
độ của trung điểm AB là: M  1


2
2 
 2


9

b. Cơng thức tính tích của hai vectơ:
+ Tích vơ hƣớng: a.b  a1b1  a 2b2  a 3b3
Đặc biệt, nếu a  b  a.b  0

 

a.b

a  0, b  0 thì cos a, b 

a b

+ Tích vectơ (hay tích có hƣớng)
a
cab 2
 b2

a3 a3
;
b3 b3



Các tính chất a  b   b  a

a 1 a1 a 2 
;

b1 b1 b2 



a và b cùng phƣơng  a  b  0

Ba vectơ

 a  b   a và  a  b   b
a  b  a . b .sin  a,b 
⃗ đồng phẳng   a  b .c  0

c. Ứng dụng của các phép toán và các cơng thức liên quan
* Ứng dụng của tích vectơ
Gọi SABCD là diện tích hình bình hành ABCD, ta có: SABCD = AB  AD
Gọi SABC là diện tích tam giác ABC, ta có: SABC =

1
AB  AC
2

Gọi VABCD.A’B’C’D’ là thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:





VABCD.A’B’C’D’ = AB  AD .AA
Gọi VABCD là thể tích hình tứ diện ABCD ta có:
VABCD =





1
AB  AD .AA
6

* Cơng thức trọng tâm


10

G là trọng tâm tam giác ABC
 x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C 
 G A
,
,

3
3
3



G là trọng tâm tứ diện ABCD
 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD 
 G A
,
,

4
4
4



* Cơng thức phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng (P) đi qua M(x0, y0, z0) có vectơ pháp tuyến ⃗

có

phƣơng trình là: A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0).
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm
A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với abc ≠ 0 thì (P) có phƣơng trình theo đoạn chắn
là:

x y z
  1
a b c

* Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng α và β có phƣơng trình tổng
qt là:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Gọi
n1  A1,B1,C1  và n 2  A 2 ,B2 ,C2  là vectơ pháp tuyến của (α) và (β), ta

có:

 n  kn 2
( ) / /(  )   1
( )  (  )  n1  n 2  n1.n 2  0
D1  kD2
(α) cắt (β)  n1  kn 2

 n  kn 2
( )  (  )   1
D1  kD2


11

* Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0
đƣợc tính bởi cơng thức:
d  M,( )  

Ax 0  By0  Cz0  D
A 2  B2  C2

* Chùm mặt phẳng
Mọi mặt phẳng của chùm xác định bởi hai mặt phẳng (α) và (β) đều có
phƣơng trình dạng:
α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
hoặc (trừ mặt phẳng (β)):
A1x + B1y + C1z + D1 + µ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
* Phương trình đường thẳng trong khơng gian
Phƣơng trình tham số và phƣơng trình chính tắc
Cho đƣờng thẳng ∆ đi qua điểm M(x0, y0, z0) và nhận vectơ
a  a1, a 2 , a 3   0 làm vectơ chỉ phƣơng thì :

∆ có phƣơng trình tham số là:

 x  x 0  a 1t

 y  y0  a 2 t (t  )
z  z  a t
0
3


hoặc ∆ có phƣơng trình chính tắc là:

x  x 0 y  y0 z  z 0


a1
a2
a3

* Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đƣờng thẳng d và d’ lần lƣợt đi qua hai điểm M’(x0, y0, z0) và có
vectơ chỉ phƣơng lần lƣợt là a  a1,a 2 ,a 3  ,a  a1 ,a2 ,a3  . Đặt n  a  a ' ta có
các điều kiện sau:
 n0
d / /d '  
M  d '

 n0
d  d'  
M  d '

d cắt d’  a.a '  0 d, d’ chéo nhau  n.NM'  0


12

d  d  aa  0
* Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đƣờng thẳng d đi qua M(x0, y0, z0) và có vectơ chỉ phƣơng là a
(a1,a2,a3) và cho mặt phẳng (α) có phƣơng trình: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi n
(A,B,C) là vectơ pháp tuyến của (α). Ta có các điều kiện sau:

a.n  0
d / /  
 M 

a.n  0
d   
 M 

* Công thức tính khoảng cách
Để tính khoảng cách từ một điểm M đến đƣờng thẳng ∆ ta sử dụng công
thức sau:
d  A,Δ  

 MA;u 


u

Để tính khoảng cách giữa một đƣờng thẳng ∆ và một mặt phẳng α // ∆ ta
thực hiện các bƣớc:
+ Lấy một điểm M0(x0, y0, z0) tùy ý trên ∆.
+ Khoảng cách giữa ∆ và (α) chính là khoảng cách từ M0 đến α:d(∆, α) =
d(M0, (α)).
Để tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau ∆ và ∆’ ta thực
hiện các bƣớc:
+ Viết phƣơng trình mặt phẳng (α) chứa ∆ và song song với ∆’.
+ Lấy một điểm
chính là khoảng cách từ điểm

tùy ý trên ∆’. Khoảng cách giữa ∆ và ∆’
đến mặt phẳng (α): d  Δ,Δ  d  M'0 , (α) 


13

CHƢƠNG 2

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN GIẢI BẰNG
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

2.1. CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CHỨNG MINH, TÍNH TỐN
2.1.1. Phƣơng pháp giải
Đối với bài tốn hình học muốn giải đƣợc bằng phƣơng pháp tọa độ hóa
các bƣớc giải cần tuân thủ theo các bƣớc sau:
B1. Chọn hệ tọa độ thích hợp
Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đƣờng
thẳng vng góc với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đƣờng thẳng đó.
Trong khơng gian, thơng thƣờng chọ hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy,
Oz là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để đƣợc tam diện vng.
Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp.
B2. Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn. Tìm
phƣơng trình đƣờng, mặt, các đƣờng và các mặt đã cho.
B3. Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải.
2.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 1. (Thi vào chuyên Toán Phan Bội Châu năm học 2009−2010)
Cho đường trịn (O) tâm O, đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên
đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi H là chân đường
cao của tam giác ABC hạ từ C. Hạ HE, HF vng góc với AC, BC tương ứng.
Các đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K. Gọi D là giao điểm của (O) và
đường trịn đường kính CH, D 6=C. Chứng minh rằng K, D, C thẳng hàng.
Bài này hình vẽ khá rắc rối và có thể ít khi nào các bạn nghĩ tới phƣơng
pháp tọa độ mà nghĩ tới các phƣơng pháp khác, tuy vậy nếu biết cách chọn
trục một cách khéo léo thì dùng phƣơng pháp tọa độ ta giải bài toán này mà


14

khơng phải tính tốn q nhiều.
Lời giải

Đối với bài tốn này, ta chọn trục nhƣ sau:
H(0; 0), O(a; 0), A(−1 + a; 0), B(1 + a; 0) và C(0, b).
Khi đó:

b2 =| (−1 + a)(1 + a) | = 1 − a2.

Khi đó:
2

Phƣơng trình đƣờng trịn (I):

b  b2

x y  
2
4


Phƣơng trình đƣờng trịn (O):

(x − a)2 + y2 = 1.

2

Đƣờng thẳng CD là trục đẳng phƣơng của hai đƣờng trịn (I) và (O) nên
có phƣơng trình là:
b2

b2
2ax  a  by 
1
 2ax  by  b 2  0
4
4
2

Phƣơng trình đƣờng thẳng AC là:

x
y
  1  bx   a  1 y  b  a  1
 a  1 b
Phƣơng trình đƣờng thẳng HE: (a − 1)x − by = 0.

 b 2 b 1  a  
Suy ra tọa độ điểm E:   ;

2 
 2


15

b
y
x
2


Suy ra phƣơng trình đƣờng thẳng EF:
2
b 1  a  b
b


2
2
2

 b 2 
;0 
Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là K 
2a


Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa mãn phƣơng trình đƣờng thẳng CD, suy ra K
thuộc CD.
Vậy ba điểm K, C, D thẳng hàng.
Nhận xét : Bài toán trên là bài toán khá hay và có nhiều cách giải. Trong
cách giải bằng phƣơng pháp tọa độ nhƣ trên nhận xét CD là trục đẳng phƣơng
của hai đƣờng tròn (I) và (O) là khá quan trọng, giúp ta giảm nhiều trong tính
tốn.
Ví dụ 2 (TSĐH- Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD =

a 2 , SA = a và SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm BM và AC. Chứng minh mặt
phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện
ANIB.

Lời giải:


16

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ (O ≡ A).
Gọi E là giao điểm của AC và BD. Ta có:



 



A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C a;a 2;0 , D 0;a 2;0 ,S  0;0;a 
a a 2 a a a 2   a 2  a a 2 
N ;
;  ,E  ;
;0  , M  0;
;0  ,I  ;
;0 
2
2
2
2
2
2
3
3


 
 
 


(vì

I

là

trọng tâm của ∆ABD)
*) Chứng minh: (SBM ) ⊥ (SAC).
Ta có


a 2 
BM   a;
;0  , AC  a;a 2;0
2







 BM.AC  0  BM ⊥ AC.
Mặt khác:

SA ⊥ (ABCD) nên BM ⊥ SA.

Từ đây suy ra BM ⊥ (SAC)
⇒ (SBM) ⊥ (SAC) (đpcm).
*) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Ta có

a a 2 
a a 2 a
AB   a;0;0  , AI   ;
;0  và AN   ;
; 
3
3
2
2
2




a2 a2 2 
  AB,AN    0;  ;

2
2 


Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là:
1

a3 2


V   AB,AN  .AI 
 đvtt 
6
36

Ví dụ 3 :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Gọi N là trung điểm
của B’C’.
a. Chứng minh rằng: AC’ vng góc với (A’BD).
b. Tính thể tích khối tứ diện ANBD’.


17

c. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’.
d. Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D).
Lời giải.
A

z

D
C

B

D'

y

A'=O
x

B'

C'

Các bạn lƣu ý, đây là một bài tính tốn và chứng minh các yếu tố liên
quan đến hình lập phƣơng, chúng ta có thể giải bằng phƣơng pháp tọa độ.
Với hình lập phƣơng thì việc chọn hệ trục tọa độ là rất dễ dàng. Tôi chọn
hệ trục nhƣ sau.
Khi đó ta có tọa độ các đỉnh của hình lập phƣơng nhƣ sau:
A'(0;0;0), B'(a;0;0), D'(0;a;0),C '(a;a;0), A(0;0;a), B(a;0;a),
a
C(a;a;a), D(0;a;a), N (a; ;0)
2

a. Mục đích của ta là chứng minh một đƣờng thẳng vng góc với
một mặt phẳng. Ta sẽ chỉ ra rằng véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng này
cùng phƣơng với véc tơ pháp tuyến của mp (A’BD).
Ta có:

là véc tơ pháp

tuyến của mặt phẳng (A’BD).
Ta thấy hai véc tơ này cùng phƣơng.
Vì thế ta có AC’ vng góc với mp (A’BD).
b. Tính thể tích tứ diện ANBD’ .

Ta có cơng thức tính thể tích tứ diện là:

.


18

Ta có:

.

Do đó thể tích tìm đƣợc là: V 

a3
.
12

c. Để tính góc giữa hai đƣờng thẳng và khoảng cách giữa hai đƣờng
thẳng ta sử dụng hai công thức sau:
.
Với

là các véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng a và b. Đƣờng thẳng

a,b lần lƣợt đi qua hai điểm A và B.
Do đó ta có góc giữa hai đƣờng thẳng AN và BD’ là:

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng này là:

d. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AC’D).

Viết phƣơng trình mp (AC’D)
Mặt phẳng (AC’D) có véc tơ pháp tuyến cùng phƣơng với
.
Ta chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AC’D) là

.

Vì thế phƣơng trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0.
Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có
khoảng cách là: d (C , ( AC ' D)) 

a
.
2


19

Ví dụ 4 :
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc tại S. Tìm M
trong hình chóp sao cho tổng khoảng cách từ M đến các mp (SAB), (SAC),
(SBC) bằng:
a. 1b. OM 2 .
Lời giải.
z
C

y

S=O

A

B

x

Đặt hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ. Khi đó điểm M (x;y;z), x, y, z  0
Ta đƣợc:
d (M ,Oxy)) | z | z, d (M ,(Oyz)) | x | x, d (M ,(Ozx)) | y | y

Từ đó tổng khoảng cách là: d  x  y  z .
a. Ta có ngay: x  y  z  1 . Vậy M thuộc mặt phẳng giới hạn bởi tam giác
ABC, A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;;0;1)

b. Ta có ngay
x  y  z  OM 2  ( x  y  z )2  2OM 2  ( x 2  y 2  z 2 )  2( x 2  y 2  z 2 )
 ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  3

Vậy M thuộc mặt cầu tâm I(1;1;1), bán kính là R  3 .
2.2. BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐƢỜNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ
ĐỊNH
2.2.1. Phƣơng pháp giải
Điểm M(x0,y0) đƣợc gọi là điểm cố định của họ đồ thị y = f(m, x), (m ∈ T
là tham số) nếu mọi đồ thị của họ đó ứng với mọi giá trị m ∈ T đều đi qua M.


20

2.2.2. Các ví dụ
Ví dụ 5

Cho góc vng Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi khơng đổi, A, C là
hai điểm thuộc Ox, Oy. Chứng minh rằng đường d kẻ từ B vng góc với
đường chéo AC ln đi qua một điểm cố định.
Hƣớng dẫn
- Bài toán này có dáng dấp của một bài tốn đại số tìm điểm cố định, vì
thế rất thuận tiện khi ta đại số hóa bằng phƣơng pháp tọa độ.
- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục tọa độ là Oxy trùng với góc Oxy.
Lời giải:

- Chọn hệ trục tọa độ Oxy (nhƣ hình vẽ).
Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a; 0), B(a; c), C(0; c).
Đặt

a + c = b = const (vì chu vi OABC khơng đổi).

Phƣơng trình đƣờng thẳng AC theo đoạn chắn là:
x y
c
 1 y 
xc
a c
a

Phƣơng trình đƣờng thẳng d qua B(a; c) và vng góc với AC có dạng:
a
a
a2
y  c  x  a  y  x  c 
c
c

c