Quan hệ vuông góc trong hình học không gian

ĐẠIăH CăĐÀăN NG
TR

NGăĐẠIăH CăS ăPHẠMă


L

NGăTHỊăH

NGă

QUANăHỆăVUỌNGăGĨCă
TRONGăHÌNHăH CăKHỌNGăGIANă

LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH Că

ĐƠăN ngă– N mă2017


ĐẠIăH CăĐÀăN NG
TR

NGăĐẠIăH CăS ăPHẠMă


L

NGăTHỊăH

NGă

QUANăHỆăVUỌNGăGĨCă
TRONGăHÌNHăH CăKHỌNGăGIANă

ChunăngƠnh:ăPh

ngăphápăTốnăs ăcấp

Mƣăs :ăă60.46.01.13

LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH Că

Ng

iăh

ngăd năkhoaăh c:ăTS.ăL

NGăQU CăTUYỂN

ĐƠăN ngă– N mă2017


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi với sự
cố vấn của Người hướng dẫn khoa học TS. Lương Quốc Tuyển. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Các tài liệu, trích dẫn đều
có nguồn gốc rõ ràng.
Đà Nẵng, tháng 02 năm 2017

Tác giả

Lương Thị Hường


LỜI CẢM ƠN

Lời cảm ơn đầu tiên con xin gửi đến ba mẹ. Cảm ơn ba mẹ đã sinh
con ra, ban tặng cho con cuộc sống hôm nay. Cảm ơn ba mẹ đã luôn yêu
thương và tin tưởng con. Ơn sinh thành dưỡng dục của ba mẹ con sẽ mãi
khắc ghi trong lịng và sẽ ln là động lực để con phấn đấu trên đường đời
phía trước.
Bằng sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến
Thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển lời cảm ơn chân thành. Thầy đã ln
tận tình hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn
thành luận văn này. Thầy mãi là người Thầy đáng kính của em.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo và Ban chủ nhiệm
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, đã giảng dạy
và tạo nhiều điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn này.
Xin cảm ơn những người bạn đã luôn cho tôi những lời khuyên
chân thành.

Lương Thị Hường


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. VECTOR

...................................................... 3

1.1.1. Vector trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Vector trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Tích vơ hướng của hai vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Tích có hướng của hai vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. SƠ LƯỢC VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1.3. QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

. . . . . . . . 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1. Hai đường thẳng vng góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3. Hai mặt phẳng vng góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4. Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN QUAN HỆ VNG GĨC . . . . . . . . . . . . 24
2.1. BÀI TOÁN CHỨNG MINH VNG GĨC VÀ TÍNH TỐN CÁC ĐẠI LƯỢNG
HÌNH HỌC CƠ BẢN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Hai đường thẳng vng góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3. Hai mặt phẳng vng góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


1

2.2. ĐOẠN VNG GĨC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
CHÉO NHAU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lịch sử phát triển của xã hội loài người đã minh chứng cho sự ra đời
một cách tự nhiên của bộ mơn hình học. Xuất phát từ nhu cầu đo diện
tích các thửa ruộng, đo thể tích các thùng chứa, tính khoảng cách giữa các
điểm,...hình học thuở ban đầu là một mơn khoa học thực nghiệm. Cùng
với sự phát triển của các ngành khoa học khác, hình học biến chuyển và
trở thành một khoa học suy diễn chặt chẽ. Ngày nay, hình học là công cụ
quan trọng trong việc xây dựng nên các bộ mơn tốn học hiện đại. Đồng
thời, hình học cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học, kĩ thuật
khác.
Trong chương trình tốn ở trung học phổ thơng, hình học không gian
là một phần kiến thức vô cùng hấp dẫn và thú vị. Nội dung cơ bản là quan
hệ vuông góc và quan hệ song song. Khi nghiên cứu về quan hệ vng góc,
đặc biệt là đường vng góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau, đa số
người học còn e ngại khi tiếp cận.
Với những lý do như trên cùng với sự định hướng của Thầy giáo
TS. Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: Quan

hệ vng góc trong hình học khơng gian.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau: quan hệ vng
góc giữa các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng và các bài toán liên quan;
các phương pháp xác định đường vng góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, đoạn vng
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.


2

4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là hình học khơng gian ở chương
trình Tốn phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương pháp sau:
- Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến đề tài
luận văn.
- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu đã chọn lọc.
- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
- Trao đổi, thảo luận với thầy giáo hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, là tài liệu tham khảo tốt cho giáo
viên và học sinh Trung học Phổ thông.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày kiến thức về vector, cơ sở để xây dựng quan hệ

vng góc; các định nghĩa và tính chất cơ bản liên quan đến quan hệ song
song, quan hệ vng góc của đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa
các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
Chương 2 trình bày phương pháp giải các bài tốn có liên quan đến
quan hệ vng góc như bài tốn chứng minh vng góc hay bài tốn vận
dụng yếu tố vng góc để tính tốn các đại lượng hình học; phương pháp
xác định đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.


3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. VECTOR

1.1.1. Vector trong mặt phẳng
Định nghĩa 1.1.1. ([7]) Vector là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa
là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu,
điểm nào là điểm cuối.

Hình 1.1

Kí hiệu:
Nếu vector có điểm đầu là M và điểm cuối là N , thì ta kí hiệu vector
−−→
đó là M N . Nhiều khi để thuận tiện, ta cũng kí hiệu một vector xác định
nào đó bằng một chữ in thường, với mũi tên ở trên. Chẳng hạn vector

a, b, x, y, ...
Vector khơng:
Vector có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vector khơng,
kí hiệu là 0.

−→
Nhận xét 1.1.2. ([7]) Với mỗi vector AB (khác vector 0), đường
−→
−→
thẳng AB được gọi là giá của vector AB. Đối với vector khơng AA thì
mọi đường thẳng đi qua A đều gọi là giá của nó.


4

Định nghĩa 1.1.3. ([7]) Hai vector được gọi là cùng phương nếu
chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Nhận xét 1.1.4. ([7])
1) Vector 0 cùng phương với mọi vector;
2) Nếu hai vector cùng phương, thì hoặc chúng cùng hướng, hoặc chúng
ngược hướng.
Định nghĩa 1.1.5. ([7]) Hai vector được gọi là bằng nhau nếu chúng
cùng hướng và cùng độ dài. Nếu hai vector a và b bằng nhau, thì ta viết

a = b.
Định nghĩa 1.1.6. ([7]) Cho hai vector a và b. Lấy một điểm A nào
đó rồi xác định các điểm B và C sao cho
−→
−−→
AB = a, BC = b.

−→
Khi đó, vector AC được gọi là tổng của hai vector a và b. Kí hiệu
−→
AC = a + b.
Phép lấy tổng của hai vector được gọi là phép cộng vector.

Hình 1.2: Tổng của hai vector

Tính chất 1.1. ([7]) Cho ba vector a, b, c. Khi đó,
1) Tính chất giao hốn: a + b = b + a;
2) Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c);
3) Tính chất của vector khơng: a + 0 = a.


5

Qui tắc:
1) Qui tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì M , N , P ta có
−−→ −−→ −−→
MN + NP = MP .

Hình 1.3

2) Qui tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành, thì ta có
−→ −→ −−→
OA + OC = OB.

Hình 1.4

Chú ý 1.1.7. ([7])

1) Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì
−−→ −−→
M A + M B = 0;
2) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC , thì
−→ −−→ −→
GA + GB + GC = 0.
Định nghĩa 1.1.8. ([7]) Nếu tổng của hai vector a và b là vector
khơng, thì ta nói a là vector đối của b, hoặc b là vector đối của a.
Nhận xét 1.1.9. ([7])


6

1) Vector đối của a là vector ngược hướng với a và có cùng độ dài với a;
2) Vector đối của 0 là vector 0.
Định nghĩa 1.1.10. ([7]) Hiệu của hai vector a và b được kí hiệu

a − b, là tổng của vector a và vector đối của vector b, tức là
a − b = a + (−b).
Phép lấy hiệu của hai vector được gọi là phép trừ vector.

Hình 1.5: Hiệu của hai vector

Qui tắc: Với bất kì ba điểm M , N , O, ta ln có
−−→ −−→ −−→
M N = ON − OM .

Định nghĩa 1.1.11. ([7]) Tích của vector a với số thực k là một
vector, kí hiệu là ka, được xác định như sau:
1) Nếu k ≥ 0, thì vector ka cùng hướng với vector a; nếu k < 0, thì

vector ka ngược hướng với vector a;

2) Độ dài vector ka bằng |k| . |a|.

Tính chất 1.2. ([7]) Với hai vector bất kì a, b và mọi số thực k , l

ta có
1) k(la) = (kl)a;


7

2) (k + l)a = ka + la;
3) k(a + b) = ka + k b, k(a − b) = ka − k b;
4) ka = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a = 0.
Chú ý 1.1.12. ([7]) Cho a là một vector khác 0. Khi đó, b cùng
phương với a khi và chỉ khi có số k sao cho b = ka.
Định lý 1.1.13. ([7]) Cho a, b là hai vector khơng cùng phương. Khi
đó, mọi vector x đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vector

a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho
x = ma + nb.
Định nghĩa 1.1.14. ([7]) Đối với hệ trục tọa độ (O, i, j), nếu
a = xi + y j , thì cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vector a, kí hiệu là

a = (x; y) hay a(x; y). Khi đó, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung
độ của vector a.
Nhận xét 1.1.15. ([7])

a(x; y) = b(x′ ; y ′ ) ⇔

x = x′
y = y′ .

Tính chất 1.3. ([7]) Cho a(x; y) và b(x′ ; y ′ ). Khi đó,
1) a + b = (x + x′ ; y + y ′ ); a − b = (x − x′ ; y − y ′ );
2) ka = (kx; ky) với mọi k ∈ R;
3) Cho a = 0. Khi đó, b cùng phương a khi và chỉ khi có số k sao cho
x′ = kx và y ′ = ky .
Định nghĩa 1.1.16. ([7]) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ của
−−→
vector OM được gọi là tọa độ của điểm M .
Nhận xét 1.1.17. ([7])
1) Với hai điểm M (xM ; yM ) và N (xN ; yN ), ta có
−−→
M N = (xN − xM ; yN − yM );


8

2) Nếu P là trung điểm của đoạn thẳng M N, thì
xM + xN
yM + yN
xP =
; yP =
;
2
2
3) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì
yA + yB + yC

xA + xB + xC
; yG =
.
xG =
3
3

1.1.2. Vector trong khơng gian
Định nghĩa vector và các phép tốn của vector trong khơng gian hồn
tồn tương tự như trong mặt phẳng. Tuy nhiên, trong không gian, chúng
ta sẽ gặp những vấn đề mới như việc xét sự đồng phẳng hoặc khơng đồng
phẳng của ba vector hoặc việc phân tích một vector theo ba vector không
đồng phẳng. Những nội dung này sẽ được xét đến trong các phần tiếp theo
sau đây.
Định nghĩa 1.1.18. ([3]) Trong không gian, ba vector được gọi là
đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Hình 1.6

Định lý 1.1.19. ([3]) Trong không gian cho hai vector a, b không
cùng phương và vector c. Khi đó, ba vector a, b, c đồng phẳng khi và chỉ
khi tồn tại duy nhất m, n sao cho

c = ma + nb.
Định lý 1.1.20. ([3]) Trong không gian cho ba vector không đồng
phẳng a, b, c. Khi đó, với mọi vector x ta đều tìm được duy nhất một bộ ba


9

số m, n, p sao cho

x = ma + nb + pc.
1.1.3. Tích vơ hướng của hai vector
Định nghĩa 1.1.21. ([7]) Cho u và v là hai vector đều khác vector 0.
−→
−→
Lấy một điểm A bất kì và B , C là hai điểm sao cho AB = u và AC = v .
Khi đó, ta gọi góc BAC là góc giữa hai vector u, v , kí hiệu là (u, v) và

0o ≤ (u, v) ≤ 180o .

Định nghĩa 1.1.22. ([7]) Cho hai vector u và v đều khác vector 0.
Tích vơ hướng của hai vector u và v là một số, kí hiệu là u.v , được xác

định bởi công thức:

u.v = |u| . |v| . cos (u, v) .

Nhận xét 1.1.23. ([7]) Bình phương vơ hướng của một vector bằng
bình phương độ dài của vector đó. Thật vậy,

a 2 = a.a = |a| . |a| . cos 0o = |a|2 .

Tính chất 1.4. ([7]) Với ba vector a, b, c tùy ý và với mọi số thực k ,
ta có
1) a.b = b.a;
2) a.b = 0 ⇔ a ⊥ b;
3) (ka).b = a.(k b) = k(a.b);
4) a.(b + c) = a.b + a.c; a.(b − c) = a.b − a.c.

Tính chất 1.5. ([7]) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai vector a = (x; y)

và b = (x′ ; y ′ ). Khi đó,
1) a.b = x.x′ + y.y ′ ;
2) |a| =

x2 + y 2 ;

3) cos(a, b) =

xx′ + yy ′
(a = 0, b = 0).
x2 + y 2 . x′2 + y ′2


10

Tính chất 1.6. ([2]) Trong hệ tọa độ Oxyz , chúng ta cũng có các
hệ thức hồn tồn tương tự như trong hệ tọa độ Oxy . Cho hai vector a =

(x; y; z) và b = (x′ ; y ′ ; z ′ ). Khi đó,
1) a.b = x.x′ + y.y ′ + z.z ′ ;
2) |a| =

x2 + y 2 + z 2 ;

3) cos(a, b) =

xx′ + yy ′ + zz ′

(a = 0, b = 0).
x2 + y 2 + z 2 . x′2 + y ′2 + z ′2

1.1.4. Tích có hướng của hai vector
Định nghĩa 1.1.24. ([2]) Tích có hướng của hai vector u(a; b; c) và
v(a′ ; b′ c′ ) là một vector, kí hiệu là [u, v] (hoặc u ∧ v ), được xác định bằng
tọa độ như sau:

[u, v] =

b c c a a b
b ′ c ′ ; c ′ a′ ; a′ b ′

= (bc′ − b′ c; ca′ − c′ a; ab′ − a′ b) .

Tính chất 1.7. ([2]) Cho ba vector u, v , w. Khi đó,
1) Vector [u, v] vng góc với cả hai vector u và v, tức là

[u, v].u = [u, v].v = 0;
2) |[u, v]| = |u| . |v| . sin (u, v) ;
3) Hai vector u, v cùng phương khi và chỉ khi [u, v] = 0;
4) Ba vector u, v , w đồng phẳng khi và chỉ khi [u, v].w = 0.
1.2. SƠ LƯỢC VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG
GIAN
A. Hai đường thẳng song song
Định nghĩa 1.2.1. ([6]) Hai đường thẳng a và b được gọi là song
song với nhau nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có
điểm chung. Kí hiệu a b hoặc b a.
Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm
trên một mặt phẳng bất kì nào.

11

Tính chất 1.8. ([6])
1) Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt, thì ba giao
tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song;
2) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song
song, thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song
với hai đường thẳng đó;
3) Nếu a

b và b

c, thì a

c;

4) Qua hai đường thẳng song song a và b có một và chỉ một mặt phẳng.
B. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Định nghĩa 1.2.2. ([6]) Đường thẳng a và mặt phẳng (P ) được gọi
là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung. Kí hiệu a (P )
hoặc (P )

a.

Tính chất 1.9. ([6])
1) Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P ) và song song với
một đường thẳng nào đó của (P ), thì a (P );
2) Cho a (P ). Khi đó, nếu (Q) là mặt phẳng đi qua a và cắt (P ) theo

giao tuyến b, thì b a;
3) Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng a, thì giao
tuyến của chúng (nếu có) song song với a;
4) Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau, thì tồn tại duy nhất một mặt
phẳng đi qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
C. Hai mặt phẳng song song
Định nghĩa 1.2.3. ([6]) Hai mặt phẳng (P ) và (Q) được gọi là song
song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung. Kí hiệu (P )
Tính chất 1.10. ([6])

(Q).


12

1) Nếu (P )

(Q) và a ⊂ (P ), thì a

(Q);

2) (P )

(Q) khi và chỉ khi (P ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng
song song với (Q);

3) Nếu A ∈
/ (P ), thì qua A có duy nhất một mặt phẳng (Q) song song
với (P );

4) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba,
thì chúng song song với nhau.
D. Phép chiếu song song
Định nghĩa 1.2.4. ([6]) Cho mặt phẳng (P ) và đường thẳng l không
song song với (P ). Khi đó, phép chiếu song song lên mặt phẳng (P ) theo
phương l là phép đặt tương ứng mỗi điểm M với giao điểm của (P ) và
đường thẳng đi qua M, song song với l.
Tính chất 1.11. ([6])
1) Hình chiếu của một đường thẳng là một đường thẳng, hoặc là một
điểm. Hình chiếu của hai đường thẳng song song và không song song
với phương chiếu là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau;
2) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn
thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
1.3. QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

1.3.1. Hai đường thẳng vng góc
Định nghĩa 1.3.1. ([1]) Vector a khác vector 0 được gọi là vector
chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vector a song song hoặc trùng
với đường thẳng d.

Hình 1.7


13

Định nghĩa 1.3.2. ([1]) Góc giữa hai đường thẳng a và b trong khơng
gian là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt
song song hoặc trùng với a và b.

Hình 1.8

Nhận xét 1.3.3. ([1])
1) Góc giữa hai đường thẳng khơng vượt q 90o ;
2) Nếu u, v lần lượt là vector chỉ phương của các đường thẳng a, b và

(u, v) = α, thì
(a, b) =

α
180o − α

nếu 0o ≤ α ≤ 90o
nếu 90o < α ≤ 180o .

3) Nếu a và b song song hoặc trùng nhau, thì góc giữa chúng bằng 0o .
Định nghĩa 1.3.4. ([3]) Hai đường thẳng được gọi là vng góc với
nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o .
Nhận xét 1.3.5. ([3])
1) Nếu u và v lần lượt là các vector chỉ phương của hai đường thẳng a
và b, thì

a ⊥ b ⇔ u.v = 0;
2) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với
đường thẳng này, thì cũng vng góc với đường thẳng kia;
3) Hai đường thẳng vng góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.


14

Định lý 1.3.6. ([15]) Cho ∆ABC, I là trung điểm BC, H là chân

đường cao kẻ từ A đến BC. Khi đó,

AB 2 − AC 2 = 2BC.IH.

1.3.2. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Định nghĩa 1.3.7. ([1]) Một đường thẳng được gọi là vng góc với
một mặt phẳng nếu nó vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng đó.
Định lý 1.3.8. ([3]) Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P ), thì đường thẳng d
vng góc với mặt phẳng (P ).
Tính chất 1.12. ([1]) Có duy nhất một mặt phẳng (P ) đi qua một
điểm O và vng góc với một đường thẳng a cho trước.

Hình 1.9

Tính chất 1.13. ([1]) Có duy nhất một đường thẳng a đi qua một
điểm O và vng góc với một mặt phẳng (P ) cho trước.

Hình 1.10


15

Tính chất 1.14. ([3])
1) Mặt phẳng nào vng góc với một trong hai đường thẳng song song,
thì cũng vng góc với đường thẳng còn lại;
2) Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng, thì
song song với nhau.

Hình 1.11

Tính chất 1.15. ([3])
1) Đường thẳng nào vng góc với một trong hai mặt phẳng song song
thì cũng vng góc với mặt phẳng cịn lại;
2) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song
song với nhau.

Hình 1.12


16

Tính chất 1.16. ([3])
1) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P ) song song với nhau. Đường
thẳng nào vuông góc với (P ) thì cũng vng góc với a;
2) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó
cùng vng góc với một đường thẳng, thì chúng song song với nhau.

Hình 1.13

Định nghĩa 1.3.9. ([3]) Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P )
theo phương l vng góc với mặt phẳng (P ) được gọi là phép chiếu vng
góc lên mặt phẳng (P ).
Nhận xét 1.3.10. ([3])
1) Phép chiếu vng góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của
phép chiếu song song nên nó có đầy đủ các tính chất của phép chiếu
song song;
2) Người ta dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng (P )” thay cho tên
gọi “phép chiếu vng góc lên mặt phẳng (P )” và dùng tên gọi “ H ′ là

hình chiếu của H trên mặt phẳng (P )” thay cho tên gọi “ H ′ là hình
chiếu vng góc của H trên mặt phẳng (P )”.
Định lý 1.3.11. ([1]) (Định lý ba đường vng góc) Cho đường
thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P ) và đường thẳng b nằm trong (P ).


17

Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là b vng góc với hình
chiếu a′ của a trên (P ).

Hình 1.14

Định nghĩa 1.3.12. ([1]) (Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vng
góc với AB tại trung điểm của AB . Mặt phẳng đó chính là tập hợp những
điểm cách đều hai điểm A, B .
Định nghĩa 1.3.13. ([1])

• Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P ), thì ta nói rằng góc
giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P ) bằng 90o ;
• Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P ), thì góc giữa
a và hình chiếu a′ của nó trên (P ) được gọi là góc giữa đường thẳng
a và mặt phẳng (P ).

Hình 1.15


18

Chú ý 1.3.14. ([1]) Nếu γ là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
(P ), thì ta ln có

0o ≤ γ ≤ 90o .

1.3.3. Hai mặt phẳng vng góc

Định nghĩa 1.3.15. ([3]) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai
đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Khi hai mặt phẳng (P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a, để tính
góc giữa (P ) và (Q), ta xét một mặt phẳng (R) vng góc với a, lần lượt
cắt (P ) và (Q) theo các giao tuyến p và q . Lúc đó, góc giữa (P ) và (Q)
bằng góc giữa hai đường thẳng p và q .

Hình 1.16

Định lý 1.3.16. ([3]) Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt
phẳng (P ) và S ′ là diện tích của hình chiếu H ′ của H trên mặt phẳng

(P ′ ). Khi đó,
S ′ = S. cos ϕ,
trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (P ′ ).
Định nghĩa 1.3.17. ([3]) Hai mặt phẳng được gọi là vng góc với
nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o .


19

Định lý 1.3.18. ([3]) Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng

vng góc với một mặt phẳng khác, thì hai mặt phẳng đó vng góc với
nhau.

Hình 1.17

Định lý 1.3.19. ([3]) Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) vng góc với
nhau, thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P ), vng góc với giao
tuyến của (P ) và (Q) đều vng góc với mặt phẳng (Q).
Hệ quả 1.3.20. ([3]) Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) vuông góc với
nhau và A là một điểm nằm trong (P ), thì đường thẳng a đi qua điểm A
và vng góc với (Q) sẽ nằm trong (P ).
Hệ quả 1.3.21. ([3]) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng
thứ ba.
Hệ quả 1.3.22. ([3]) Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt
phẳng (P ), có duy nhất một mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P ).

1.3.4. Khoảng cách
Khoảng cách giữa hai điểm phân biệt
Định nghĩa 1.3.23. Khoảng cách giữa hai điểm A, B phân biệt là độ
dài của đoạn thẳng AB . Trong hệ tọa độ Oxy , cho A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ).
Khi đó,

AB =

(xB − xA )2 + (yB − yA )2 .

Trong hệ tọa độ Oxyz , cho A(xA ; yA ; zA ) và B(xB ; yB ; zB ), ta có

AB =

(xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .