Huong dan on thi tot nghiep mon Toan BTTH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (453.27 KB, 30 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP BTTH MÔN TOÁN

NĂM 2011-2012

****************************

CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP BỔ TÚC THPT

Câu Nội dung kiến thức Điểm

I

Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị của hàm số.

 Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến
thiên, cực trị của hàm số. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. Dựa vào đồ thị
của hàm số, biện luận số nghiệm của phương trình.

3,0

II Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Tìm nguyên hàm, tính tích phân; ứng dụng của tích phân. 2,0
III

Phương pháp toạ độ trong trong khơng gian:

Bài tốn xác định toạ độ điểm, toạ độ vectơ. Phương trình mặt phẳng, đường
thẳng và phương trình mặt cầu.

2,0

IV

Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.

 Số phức: Xác định mơđun của số phức. Các phép tốn trên số phức. Căn bậc

hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức  âm. 2,0
V Hình học khơng gian (tổng hợp):Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối

trịn xoay. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 1,0
 B.Cách làm bài thi:

Khi làm bài thi chú ý không cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nào trước thì làm
trước. Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễ thực hiện
(ưu tiên giải trước), các câu hỏi khó nên giải quyết sau. Có thể ta đánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm
vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khó thì nên dứt khốt chuyển qua câu khác, sau đó cịn thì giờ hãy
quay trở lại giải tiếp. Khi gặp đề thi không khó thì nên làm rất cẩn thận, đừng chủ quan để xảy ra các sai
sót do cẩu thả; cịn với đề thi có câu khó thì đừng nên nản lịng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ. Phải biết tận
dụng thời gian trong buổi thi để kiểm tra các sai sót (nếu có) và tập trung suy nghĩ để giải các câu khó cịn
lại (nếu gặp phải). Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau mà đắn đo không biết cách nào đúng sai thì
khơng nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ đúng để cho điểm.

C. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG

PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chủ đề 1: Khảo sát hàm số

I/ Khảo sát hàm đa thức

1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức
1. TXĐ

2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
c) Giới hạn tại vơ cực

d) BBT

Chú ý : Hàm số bậc 3 có y/ = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y/ ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép 
3.Đồ thị:

Bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hoành độ cực trị và lấy thêm 2 điểm có hồnh độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn
cực trị bên phải). Hàm bậc 3 lấy thêm điểm nằm giữa 2 cực trị

Vẽ đồ thị. .

Các dạng đồ thị hàm bậc 3:

y y y y

0 x 0 x 0 x 0 x
' 0 có 2 nghiệm phân biệt

0








y

a

' 0
0
 






y x

a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0

y
a










' 0
0
 






y x

a
Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

Các dạng đồ thị hàm trùng ph ươ ng:

y y y y

0 x 0 x 0 x
0 x

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0









' 0 có 1 nghiệm đơn
0

y
a









' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0

y
a









' 0 có 1 nghiệm đơn
0

y
a







II/ Khảo sát hàm nhất biến

1/ Sơ đồ khảo sát hàm y ax bcx d

 :



c0,ad bc0



1. TXĐ: D = R\cd

 

2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
Tình y’=





. .

a d b c
cx d



  Khoảng đồng biến, nghịch biến
b) Cực trị: hàm số không có cực trị.

c) Giới hạn tiệm cận:
Tiệm cận ngang là: y a

c
 vì

c
a
y

xlim  .

Tiệm cận đứng là x = cd vì xlimd





; limx d





c c

y y

 

   

     

d) BBT

3.Đồ thị:

x Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0

f’(x) Xét dấu y/

f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị của hàm số

x Ghi tập xác định của hàm số

f’(x) Xét dấu y/

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
bảng giá trị ( mổi nhánh lấy 2 điểm ). Vẽ đồ thị. .

Dạng đồ thị hàm b1/b1

y’< 0  x D y’> 0  x D

Chủ đề 2: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

I. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình F



x,m



0

Phương pháp giải:

B1: Biến đổi đưa về phương trình hồnh độ giao điểm F



x,m



0 f(x)(m)
B2: Vẽ đồ thị (C) của hàm y =f(x) (Thường đã có trong bài tốn khảo sát hàm số )

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y =( )m (cùng phương
với trục hồnh vì ( )m là hằng số). Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.

II. Dùng phương trình hồnh độ biện luận số giao điểm của hai đồ thị

Bài toán. Cho hai đồ thị

 

C :yf

 

x và

 

L :yg

 

x . Tìm tạo độ giao điểm của hai đường.

Phương pháp

B1 : Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường

 

x g

   

x 1.

f 

B2 : Giải phương trình

 

1 tìm nghiệm x y. Giả sử phương trình

 

1 có các nghiệm là x1,x2,...,xn,

ta thế lần lượt các nghiệm này vào một trong hai hàm sô trên ta được các giá trị tương ứng là

n

y
y

y1, 2,..., suy ra tọa độ các giao điểm.

Chú ý : số nghiệm của phương trình

 

1 bằng số giao điểm của hai đồ thị

 

C và

 

L .

III. Vieát phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường
hợp sau

1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0))là: y = f (x )/ 0 (x–x0) + f(x0)

2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hồnh độ x0 :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x0 là:y = f (x )/ 0 (x–x0) + f(x0)

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y0 :

B1: Tìm f ’(x) .

B2:Do tung độ là y0f(x0)=y0. giải phương trình này tìm được x0 f /(x0)

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x )/ 0 (x–x0) + y0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm .

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :
f(x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0  f(x0)  phương trình tiếp tuyến.

Chú ý:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gị Dầu – Tây Ninh
Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1.

Chủ đề 3:

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Tĩm tắt lý thuyết:

Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a) f’(x)>0,xK y= f(x) tăng trong K

b) f’(x)< 0, xK y= f(x) giảm trong K
c) f’(x)=0,xK f(x) không đổi

Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x)0 (f’(x)0), xK và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ Tìm TXÐ ?

+ Tính đạo hàm : y/ = ? Tìm nghiệm của phương trình y/ = 0 ( nếu có )

+ Lập bảng BXD y/ (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng 
dần. Nếu y/ > 0 thì hàm số tăng, y/ < 0 thì hàm số giảm )

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Chú ý:

a) Định m đề hàm số b3 luôn luôn đồng biến
+ Giả sử ' 2 ,










ax bx c a

y

+ Hàm số luôn luôn đồng biến R

m

a

R

x

y

























0 ,0'

b) Định m đề hàm số b3 luôn luôn nghịch biến
+ Giả sử ' 2 ,










ax bx c a

y

+ Hàm số luôn luôn nghịch biến R

y

x

R

a



m























0 ,0'

Chủ đề 4:

CỰC TRỊ

1. Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x9 thì f/(x0)=0

2. Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > 0.

+Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại tại x0,
+Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x

0 hàm số đạt cực tiểu tại x0

Qui tắc tìm cực trị = dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?

+ Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có)

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

+ Kết luận cực trị ?
Chú ý:

1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
3) Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 

/
0
/

( ) 0
( )

 






y x

y x đổi dấu qua x

3. Dấu hiệu II:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
+Nếu

/
0
//

( ) 0
( ) 0

 








y x

y x thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
+Nếu

/
0
//

( ) 0
( ) 0

 








y x

y x thì hàm số đạt cực đại tại x0.
 Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:

+ MXÐ

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 => các nghiệm x

1 , x2 ….. .( nếu có )
+ Tính .. y// = ?. y//(x

i), i1,n
Nếu y//(x

i) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi .
Nếu y//(x

i) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi .

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y/ khó xét dấu 
*Cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s ( )

( )
u x
y

v x

 đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0) =

u (x )0
v (x )0




* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt  a 0
0




 


*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của
mẫu

* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chủ đề 5:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b]
B1: Tìm y/. Tìm các điểm x

1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc khơng xác định

B2: Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(b)

B3: Kết luận GTLN =Max {f(x1), f(x2), .., f(xn), f(a), f(b)}và GTNN=Min{f(x1), f(x2), … f(xn), f(a), f(b)}

2/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn (a; b)
B1: Tìm y/. Tìm các điểm x

1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc khơng xác định.

B2:Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN.
B3: Kết luận.

3/ Chú ý: - Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(b) và min f(x) = f(a)
- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(a) và min f(x) = f(b)

- Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và chỉ có một điểm cực trị x0 thuộc (a; b) thì f(x0)

chính là GTNN hoặc GTLN.

- Có thể dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN.

Chủ đề 6: Phương trình, bất phương trình mũ loga

Kiến thức cơ bản về lũy thừa :

1./ Các định nghóa :

*Cho

a 0, ta có: a

1; a

-n

1

n

a





*Cho a 0,r m (m,n Z, n>0 và m

n n

   tối giản) , ta có amn n am

2./ Các qui tắc về luỹ thừa : Cho a, b,α,β R; a>0, b>0 , ta có 
+ aα β a .aα β

 +

α
α β

a
a

a


 + aα.β 

 

aα β 

 

aβ α + a .bα α (a.b)α +

α
α

a a

b b

 
 


</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Taây Ninh

Kiến thức cơ bản về loga :

1./ Định nghĩa:

0, 1, 0: loga N

a a M  M N  M a

Suy ra : loga1 0 , logaa1

2./ Các tính chất và qui tắc biến đổi loga: Cho a0,a1, ,M N 0 ta có
+ alogaM M + log ( )a a 



+ log

 

loga

a b b





 ;



 0, b0



+ loga



M N.



logaMlogaN + logaMN  logaM  logaN

 
+ log .loga b loga logb logloga

a

M

b M M M

b

   ;



0a b, 1



+ loga log1

b

a

 ;



0b1



a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng ax= b ( a> 0 , a0 )

 b0 : pt voâ nghiệm
 b>0 : ax  b xlogab

Dạng loga x b ( a> 0 , a0 )

 Điều kieän : x > 0

 log b

a x b  x a

b/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng ax > b ( a> 0 , a0 )

 b0 : Bpt có tập nghiệm R
 b>0 :

. x log

a

a  b x b , khi a>1
. x log

a

a  b x b, khi 0 < a < 1

Daïng loga x b ( a> 0 , a0 )

 Điều kiện : x > 0

 logax b  x a b , khi a >1

log b

ax b  x a , khi 0 < x < 1

M

t sộ ố ph ương pháp giải Phương trình mũ, Phương trình logarit

oDạng 1. Đưa về cùng cơ số :

af (x)= ag(x) (a>0, ≠1)  f(x) = g(x)

logaf(x) = loga g(x)  f (x) 0(g(x) 0)

f (x) g(x)

 







Nếu chưa có dạng này cơng việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dưới dấu loga có nghĩa rồi mới giải

oDạng 2. đặt ẩn phụ

.a2f (x) +.af (x) +  = 0 ; Đặt : t = af (x)Đk t > 0

.af (x)+.bf (x)+  = 0 ; ( với a.b=1) Đặt : t = af (x) (Đk t > 0)  1

t=
f (x)
b

.a2f (x)+.

 

a.b f (x)+ .b2f (x) = 0 ; Đặt t =

f (x)
a

 
 
 
.loga2x +.logax +  = 0 ; Đặt : t = logx

.logax +.log x a +  = 0 ; Đặt : t = logax  log x a =

1
t

.logax +. log x ba  +  = 0 Đặt : t = log x ba  ( t 0 )

Dạng 3. Logarit hóạ: af(x)

=b

g(x)

(

a, b>0, ≠1

)

 f(x)=g(x). logab

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
I/TÌM NGUN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:

1/Các kiến thức cần nắm vững :

- Các định nghĩa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm.
- Bảng nguyên hàm thường dùng.

Bảng nguyên hàm của một số hàm số th ư ờng gặp :
dx x C 





k dx k x C.  . 

( 1)

1
x

x dx C






  




1
( )

( ) ( 0, 1)

( 1)
ax b

ax b dx C a

a







    




ln ( 0)

dx

x C x

x   



dx ln ax b C a( 0,ax b 0)

ax b a


    




2
1 1
( 0)

dx C x

x x



  



1 1

( ; 0)

( ) ( )

 

   

 



ax b dx a ax b C x ab a

x x

e dxe C



e(ax+b)dx eax+b C

a
 



(0 1)
ln
x
x a

a dx C a

a

   



. .ln (0 1, 0)

bx c
bx c a

a dx C a b

b a




    



sinx.dx cosx C



sin(ax+b).dx cos(ax b) C

a

 

 



cosx.dx= sinx + C



cos(ax+b).dx= sin(ax+b) + C

a



2 tan
os
dx
x C

c x  



tan( )
os ( )

dx ax b

C

c ax b a


 




2 cot
sin
dx
x C

x  



cot( )
sin ( )

dx ax b

C

ax b a



 





Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

















1 1

cos .cos cos( ) cos( ) sin .sin cos( ) cos( )

2 2

1 1

sin .cos sin( ) sin( ) sin .cos sin( ) sin( )

2 2

         

         

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b b a a b a b

Công thức hạ bậc: cos2 1 cos 2 sin2 1 cos 2

2 2

   

   

2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx

b

a

 



bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải:

b1: Đặt t = (x)  dt = '( ). dxx
b2: Đổi cận:

x = a  t =(a) ; x = b  t = (b)

b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
 3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:

Công thức từng phần : . . .

b b

b
a

a a

u dv u v  v du



Phương pháp giải:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
B2: Khai triển tích phân đã cho theo cơng thức từng phần.

B3: Tích phân

b
a

vdu



suy ra kết quả.
Chú ý:

a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho

b
a

vdu



dễ tính hơn



b
a

udv nếu khó hơn phải tìm cách
đặt khác.

b/Khi gặp tích phân dạng : ( ). ( ).

b
a

P x Q x dx



- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u =

P(x) ; dv= Q(x).dx

Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
 4. Ứng dụng của tích phân :

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C)
:y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : ( )

b
a

S 



f x dx

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : ( ) ( )

b

a

S 



f x  g x dx

Phương pháp giải tốn:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

TH1:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm vơ nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
[ ( ) ( )]

b
a

S 



f x  g x dx

TH2:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có 1 nghiệm là x1(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm

là:

( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

x

b b

a a x

S 



f x  g x dx



f x  g x dx 



f x  g x dx

TH3:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần

tìm là:

     

1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )





 



 





x x x

a x b

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx

Chú ý: * Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
 Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
1/ số phức bằng nhau, môđun của một số phức, số phức liên hợp, các phép toán về số phức
Cho hai số phức a+bi và c+di.

1) a+bi = c+di  a = c; b = d. 2) Môđun số phứcz  a bi a2b2

3) số phức liên hiệp của z = a+bi là z = a  bi. Ta có: z+z = 2a; z.z= z2a2b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i.

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i

7) z = c di (c di)(a bi) 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]
a bi (a bi)(a bi) a b

  

 

   

2/ Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với  = b2  4ac.

Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệp kép x1 x2 b
2a

  (nghiệm thực)

Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: x b
2a

  



Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x b i b .i

2a 2a 2a

    

  

Chủ đề 9:

ƠN TẬP HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG I, II

1. Thể tích khối đa diện
a) Thể tích khối chóp

1

3 V



Bh

b) Thể tích khối lăng trụ

V



Bh

Chú ý: có thể sử dụng cơng thức sau đây khi giải tốn . ' ' '

'

.

S A B C
S ABC

V

SA SB SC

V



SA SB SC

2. Khối tròn xoay, mặt tròn xoay.

a) Thể tích khối nón trịn xoay 1 2

V 



r h
b) Thể tích khối trụ trịn xoay V r h2 r l2



 

c) Thể tích khối cầu 4 3

V 



R

d) Diện tích xung quanh của mặt nón, mặt trụ, mặt cầu lần lượt là





nãn

;

trô

2 ,

m c/

4

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Chủ đề 10:

HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:



 











B A B A B A

2 2 2

B A B A B A

1 1 2 2 3 3

1 2 3
2 2 2
1 2 3

1 1
2 2

3 3

1 1 2 2 3 3

1. AB (x x ,y y ,z z )

2. AB AB x x y y z z

3. a b a b ,a b ,a b

4. k.a ka ,ka ,ka

5. a a a a

a b

6. a b a b

a b

7. a.b a .b a .b a .b
a
8. cos(a;b)
   
      
    

  
 


   
 

  



 


 
 
 
3
1 2
1 2 3

1 1 2 2 3 3
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2

.b
a. b

a a

9. a / /b a k.b a b 0

b b b

10. a b a.b 0 a .b a .b a .b 0

a a a a a a

11. a b , ,

b b b b b b

       
      
 
  
 
 

 
      
   
 

12. a,b,c   đồng phẳng 



a b c  



. 0

13. a,b,c   không đồng phẳng 



a b c  



. 0

14. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1














k
kz
z
k
ky
y
k
kx
x

M A B A B A B

1
,
1

,
1

15. M là trung điểm AB






   
2
,
2
,
2
B
A
B
A
B

A x y y z z

x
M

16. G là trọng tâm tam giác ABC







      
,
3
,
3
,
3
C
B
A
C
B
A
C
B

A x x y y y z z z

x
G

17. Véctơ đơn vị:e1(1,0,0);e2 (0,1,0);e3(0,0,1)

  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
18.
Oz
z
K
Oy
y
N
Ox
x

M( ,0,0) ; (0, ,0) ; (0,0, )
19.
Oxz
z
x
K
Oyz
z
y
N
Oxy
y
x

M( , ,0) ; (0, , ) ; ( ,0, )

20. S ABC 1 AB AC 1 a12 a22 a32

2 2
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

20. VABCD 1 (AB AC).AD
6
 
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  

21. /

. / / / / (AB AD).AA

VABCDABCD  

2/ M

ặ

t c

ầ

u :

2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R 
S(I,R):



x a





y b





z c



2 R2







 (1)

Phương trình x2y2z + 2Ax + 2By + 2Cz2 D0 (2) (với A B C D2 2 2 0) là phương

trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và bán kính A B C D2 2 2

   

2..2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S):



x a





y b





z c



2 R2







 vaø  : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp( ):

 d > R : (S)   = 

d = R :  tieáp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)ª

d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt

     

























0 D

Cz

By

Ax

:

R

c

z

b

y

a

x

:

(S)

2 2 2

2.3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh























ta

z

ta

y

ta

x

d

3
o

2
o

1
o

:

(1) vaø mc (S):



x a





y b





z c



2 R2







 (2)

+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, 
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

2.CÁC DẠNG TỐN

a/ Các dạng tốn về toạ độ điểm, véctơ.

Dạng 1: Các bài tốn về tam giác

 A,B,C là ba đỉnh tam giác  [AB ,AC ] ≠ 0

 SABC = 21




AC]
,
[AB
 Đường cao AH =

BC
SABC

.
2

 Shbh =




AC]
,
[AB

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng
 ABCD là hbh  ABDC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

 [AB ,AC ].AD ≠ 0
 Vtd = 61





AD
.
AC]
,
[AB

Đường cao AH của tứ diện ABCD

AH
S

V BCD.

3
1

 

BCD

S

V

AH  3

 Thể tích hình hoäp :







. / / / / AB;AD.AA

VABCDABCD 

Dạng 4/ Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ:

Cho điểm M ( x , y , z ). Khi đó:

+ M1 là hình chiếu của điểm M trên trục Ox thì M1 ( x , 0 , 0 )

+ M2 là hình chiếu của điểm M trên trục Oy thì M2 ( 0 , y , 0 )

+ M3 là hình chiếu của điểm M trên trục Oz thì M3 ( 0 , 0 , z )

+ M4 là hình chiếu của điểm M trên mpOxy thì M4 ( x , y , 0 )

+ M5 là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M5 ( x , 0 , z )

+ M6 là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M6 ( 0 , y , z )

Dạng 5:/ Chứng minh ba A, B, Cđiểm thẳng hàng

Ta đi chứng minh 2 véctơ AB, AC               cùng phương
b/

Các dạng toán v

ề

m

ặ

t c

ầ

u

:

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

ª S(I,R):



x a





y b





z c



2 R2







 (1)

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp

  
  

 







B.y C.z DI I

2 2 2

A B C

Mc(S)

taâm I

A.xI
R d(I, )

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Ptr mc có dạng x2y2z + 2Ax + 2By + 2Cz2 D0 A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giải tìm A, B, 
C, D

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

Mc(S) coù ptr: x2y2z + 2Ax + 2By + 2Cz2 D0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào pt
(α)

Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A( mặt tiếp diện)
Tiếp diện () của mc(S) tại A :  qua A,vtpt nIA

Dạng 7: Tìm tiếp điểm H của mặt phẳng và mặt cầu : (là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp : ta có ad n

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 8: Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến giữa m/c S(I ;R) và mp():

+ bán kính 2 2( , )



I

d
R
r 

+ Tìm tâm H ( là h chiếu của tâm I trên mp())

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp : ta có ad n

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : ptr(d)

ptr( )






II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến của mp :n≠0 là véctơ pháp tuyến của   n 

Chú ý: a,b có giá song song với () hoặc nằm trong () thì n = [a,b] là véctơ pháp tuyến
của mp.

2. Pt tổng quát c ủ a mp( ): Ax + By + Cz + D = 0 ta coù 1VTPT n = (A; B; C)

Chú ý :

- Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm đi qua và 1véctơ pháp tuyến

-Mặt phẳng qua 1 điểm M(x0;y0) và có 1véctơ pháp tuyến n = (A; B; C) phương trình là: A(x-x0)

+ B(y-y0) + C(z-z0)= 0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
5. Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :

° caét A1:B1:C1 A2 :B2:C2

°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A






°
2
1
2
1
2

1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A







 ( ) ( )   A A B B C C1 2 1 2 1 2 0

6.KC từ M(x0,y0,z0) đến (  ) : Ax + By + Cz + D = 0

o 2 o 2 o2

C
B
A
D
Cz
By

Ax






)
d(M,

7.Goùc giữa hai mặt phẳng :

2
1
2
1
.
.
n
n
n
n





)
,
cos( 

2.CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1:Mặt phẳng qua 3 ñieåm A,B,C :



  
 




A( hay Bhay C)
]
( ) qua

vtptn [AB , AC

Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :

° 


 
 
 
( )
n

quaM trung ñieåm AB
vtpt AB

Dạng 3:Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB)

°


 
   

 

n ....(AB)

( ) quaM

Vì (d) nên vtpt ad

Dạng 4:Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0
°

 



   






qua M  

Vì // neân vtpt n n

Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)
 Tìm 1 điểm M trên (d), 1 VTCPad



của đường thẳng d, ad/



của đường thẳng d’
 Tính na ,ad d/


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

 Mp chứa (d) nên () đi qua M và có 1 VTPT n

Dạng 6Mp() qua M,N và () :

 





 



 

[ MN , ]

qua M (hay N)
vtpt n n
Dạng 7:Mp() chứa (d) và đi qua A:

■ Tìm M (d)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>



 




 










[ a , ]
vtpt n AM

.Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) và (d/) cắt nhau :

 Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP a( , , )a a a1 2 3



.
 Ñt(d/) coù VTCP b( , , )b b b1 2 3



 Ta có n[ , ]a b  là VTPT của mp(P).

 Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận n[ , ]a b

  

laøm VTPT.

Dạng 9:Lập pt mp(P) chứa đt(d) và vng góc mp(Q) :
 Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP a( , , )a a a1 2 3



. Mp(Q) coù VTPT nq ( , , )A B C


 Ta có np [ , ]a nq

 

 

là VTPT của mp(P).

 Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận np [ , ]a nq

  

làm VTPT.

Dạng10: Cm mp(P) // mp(Q) :

 mp(P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ; mp(Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

 mp(P) // mp(Q) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

   

Daïng 11: Cm mp(P)  mp(Q) :
 mp(P) coù VTPT n1( , , )A B C1 1 1



; mp(Q) coù VTPTn2 ( ,A B C2 2, 2)


 mp(P)  mp(Q)  A A1 2B B1 2C C1 2 0.

III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x o ;yo ;zo) có vtcp a= (a1;a2;a3)

;

Rt

ta

zz

ta

yy

ta

xx

(d)

3
o

2
o

1
o

























:

2.Phương trình chính tắc của (d)

2 a

z

-z
a

y
y
a

x
x

(d) o

o 0

:    

4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng:
d1 :x=x1+a1t; y=y1+a2t ; z=z1+a3t cĩ véctơ chỉ phươnga



=(a1;a2;a3) và M1 (x1, y1, z1)  d1

d2 :x=x2+b1t/; y=y2+b2t/ ; z=z2+b3t/ có véctơ chỉ phươngb =(b1;b2;b3) và M2 (x2, y2, z2)  d2

C1/ * d1// d2 

1 2

a k.b

M d

 







 

*d1 d2 

1 2

a k.b

M d

 







</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

* d1 cắt d2 

  

   


1 1 2 1
/
1 2 2 2

/
1 3 2 3
x a t x b t
y a t y b t
z a t z b t

có nghiệm duy nhất.

* d1 chéo d2 

   

    

  

 
/
1 1 2 1

/
1 2 2 2

/
1 3 2 3
&

x a t x b t
a kb y a t y b t
z a t z b t

vô nghiệm.

C2/ * d1// d2 

1 2

a ^ b 0

a ^ M M 0

 





  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    *d1 d2 

1 2

a ^ b 0

a ^ M M 0

 





  
  

* d1 cắt d2 







 

 

1 2

a ^ b .M M 0 * d1 chéo d2 







  

1 2

a ^ b .M M 0
* Đặc biệt d1d2  . 0





a b

4.Góc giữa 2 đường thẳng: 1 2 1 2

1 2

n .n
cos(d ;d )

n n


 
 

5.Khoảng cách giữa từ M đến đường d1:





1
1

;

; M M a

d M d

a
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2).

7.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:





1 2
; .
;

;

a b M M

a b
 
 

 
 

d d d1 2

 

 

 

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B




AB
a
Vtcp
hayB
quaA
d
d
)

(
)
(

Dạng 2:Đường thẳng (d) qua A và song song ()

( )d A




 

 
d
qua

Vì (d) / / ( ) neân vtcp a a

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vng góc mp

( )d A





 

 

d
qua

Vì (d) ( ) neân vtcp a n

Dạng4:PT d’ hình chiếu của d lên  : d/ = 
 Tìm giao điểm A của d và ()

 Tìm Md (M≠A), tìm hình chiếu H của M trên ().

 Lập phương trình đt AH chính là phương trình hình chiếu của d trên ().

Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A và vng góc (d1),(d2)




 

  

  
2
A
(d)
d1 d
qua

vtcpa a , a

Daïng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

 Tìm a, b lần lượt là VTCP của d1 và d2

 Lấy 2 diểm A, B lần lượt thuộc 2 đường thẳng tính AB



 đường thẳng AB là đường vng góc chung

. 0

AB a
AB b

 


 






 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 Giài hệ tìm A, AB



 phương trình đường vng góc chung AB.

Dạng 7: PT d qua A và cắt d1 , d2 : d = 

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Daïng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = 12

với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

Daïng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB

với mp qua A và  d1 ; B = d2  

Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d = 

với mp chứa d1 và (P) ; mp chứa d2 và  (P)

Daïng 11: Hình chiếu của điểm M
 1. H là hình chiếu của M trên mp 

Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vng góc mp() : ta có ad n

Tọa độ H là nghiệm của hpt : Ptr d

 

Ptr ( )









2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

 Viết phương trình mp() qua M và vng góc với (d): ta có n ad

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : Ptr d

 

Ptr ( )









Dạng 12 : Điểm đối xứng

a/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :

 Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vng góc mp(P).
 Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .

 A/ đối xứng với A qua (P)  H là trung điểm của MM/ nên :

2
2
2

H M
M

x x x

y y y

z z z

  



 




 


b/ Tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đt(d)/ :

 Lập pt mp (P) đi qua điểm M và vng góc đt(d).
 Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .

 A/ đối xứng với A qua (d)  H là trung điểm của MM/ nên :

2
2
2

H M
M

x x x

y y y

z z z

  



 




 



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

 đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và coù VTCP a( , , )a a a1 2 3

 đt(d/) đi qua điểm M2( x2 , y2 , z2) và có VTCP b( , , )b b b1 2 3



.
 Ta tính M M1 2 (x2 x y1, 2 y z1, 2 z1)



 ñt(d) // ñt(d/)  a a a1: 2: 3 b b b1: 2: 3 (x2 x1) : (y2  y1) : (z2 z1).

b/ Cm ñt(d) // mp(P) :

 ñt(d) ñi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP a( , , )a a a1 2 3


 mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù VTPT n( , , )A B C .

 ñt(d) // mp(P)

1 1 1

. 0

0
a n

Ax By Cz D

 


 

   




 

Dạng 12 : CM sự vng góc :
a/ Cm đt(d)  đt (d / ) :

 ñt(d) coù VTCP a( , , )a a a1 2 3



 đt(d/) có VTCP b( , , )b b b1 2 3





ñt(d)



ñt(d

)

 a b1 1a b2 2a b3 3 0

b/ Cm ñt(d)  mp(P) :

 đt(d) có VTCP a( , , )a a a1 2 3



 mp(P) coù VTPT n( , , )A B C .

 ñt(d)  mp(P)  a a a1: 2: 3 A B C: :

PHẦN II: BÀI TẬP