VEC TO

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.77 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Hình học 10

Véc tơ

I. Véc tơ:

1. Định nghĩa:

Véctơ là một đoạn thẳng có:

+ Mt u c xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ.

+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mơ đun)

Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là AB; độ dài của AB kí hiệu là AB

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi tên nh: a; b; c; ...

2. Véctơ không:

Véctơ không: 0 là véctơ có:

+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
+ Độ dài bằng 0.

+ Hớng bất kì.

3. Hai véctơ cùng ph ơng:

Hai véctơ AB;CD gọi là cùng phơng: kí hiệu

hàng

thẳng

D

C,

B,

A,

CD

//

AB

CD

//

AB

4. Hai véctơ cùng h ớng:

Hai véctơ AB;CD gọi là cùng hớng: kí hiệu

h ớng

cùng

CD

AB,

tia

hai

CD

//

AB

CD

AB

5. Hai véctơ ng ợc h ớng:

Hai véctơ AB;CD gọi là ngợcchớng: kí hiệu

h ớng

ng ợc

CD

AB,

tia

hai

CD

//

AB

CD

AB

6. Hai véctơ bằng nhau: Hai vÐct¬ AB;CD b»ng nhau: kÝ hiƯu















CD

AB

CD

AB

CD

AB

7. Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB;CD đối nhau: kí hiệu















CD

AB

CD

AB

CD

AB

8. Góc của hai véctơ:

Góc của hai véctơ AB;CD là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lợt cùng híng víi hai tia AB; CD.

+ Khi AB;CD kh«ng cïng híng th× 0o xOˆy180o.
+ Khi AB;CD cïng híng th× xOˆy0o

II. Các phép toán véctơ:

1. Phép cộng véctơ:

nh ngha: Tng ca hai véctơ a;b là một véctơ đợc xác định nh sau:

+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ OAa.

+ Từ điểm A dựng véctơ ABb

+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a;b: OBab
Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):

Víi 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: ABBCAC

(HƯ thøc Chasles cã thĨ më réng cho n ®iĨm liªn tiÕp)

Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): ABADAC (với ABCD là hình bình hành)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta luôn có:

MA MB

2

1
MI

Tính chất:

- Giao hoán: abba
- Kết hợp:



ab



ca



bc



- Céng víi kh«ng: a0a

- Cộng với véctơ đối: a(a)0

2. Phép trừ véctơ: a ba(b)

Với a bc abc

Qui tắc ba ®iĨm: Cho ba ®iĨm O, A, B bÊt k× ta có: ABOB OA

3. Phép nhân một véctơ với một số thực:
a. Định nghĩa: k.a là một véctơ:

- Với a0;k0thì véctơ k.a sẽ cùng phơng với a và sẽ:

+ Cựng hớng với a nếu k>0.
+ Ngợc hớng với a nếu k<0.
+ Có độ dài k.a k.a
- 0.ak.00

b. TÝnh chÊt:

+) 1.aa;( 1).a a +)m.(n.a)(mn)a +) (mn)amana

+) m(ab)mamb +) a;b cïng ph¬ng  akb (a0)
4. TØ sè cđa hai vÐct¬ cïng ph ¬ng:























b

a
k

b
a
nÕu
0
k

b
a
nÕu
0
k
k
b
a

b
//
a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

phân loại bài tập về Véc tơ và c¸c phÐp to¸n

Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức vộct

*Ph

ơng pháp:

+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm.

+ Vn dng cỏc các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ng ợc lại; biến đổi hai vế cùng thành
một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đ cho thành mt ng thc luụn ỳng.ó

*Bài tập minh hoạ:

Bài 1. Cho 4 ®iĨm A, B, C, D chøng minh r»ng:

a.ABCDADCB b. AB CDAC BD

c. ABDCBDCA0 d. ABCDBCDA0

Bµi 2. Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. CM:
a. GBGBGC0 b. MBMBMC3MG

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm I. AOa;BO b

a. Chøng minh r»ng: ABAD2AI

b. TÝnh AC;BD;AB;BC;CD;DA theo a;b.

Bµi 4. Cho 6 ®iĨm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: ADBECFAEBFCD

Bài 5. Cho tam giác ABC. I là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác. CM: a.IAb.IBc.IC0

Bµi 6. Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Gọi G là trọng tâm của G và G'. Chứng minh rằng:

'
GG

3
'
CC
'
BB
'

AA

Bài 7. Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD. Chøng minh r»ng:

MN
4
BC
AC
BD

AD   

Bài 8. Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) HAHBHC2HO b) HG2GO

Bài 9. Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lợt là hình chiếu của nó trên

BC, CA, AB. Chøng minh r»ng: MO

2
3
MF
ME

MD  

Bµi 10. Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS. Chứng mình:

0
PS
IQ

RF

Bài 11. Cho 4 ®iĨm A, B, C, D; I, F lần lợt là trung điểm của BC, CD. CM: 2

ABAIFADA

3DB

Bi 12. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM:

a. AB

3
1
AC
3
2

AH  ;



AB AC



3

1

CH 

b. M là trung điểm cña BC. CM: AB

6
5
AC
6
1
MH 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dạng 2. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ

*Ph

ơng pháp chung:

+ Bin i ng thc cho về dạng: ã OMa trong đó O và a đ biết.ã

+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véctơ bằng véctơ a. Khi ú ngn ca vộct ny

chính là điểm M.

*Bài tập ¸p dông:

Bài 1. Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2MA 3MB0

Bài 2. Cho hai điểm A, B và một véc tơ v. Xác định điểm M biết: MAMBv

Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
a. Xác định điểm K sao cho: 3AB2AC 12AK 0

b. Xác định điểm D sao cho: 3AB4AC 12KD0

Bài 4. Cho tam giác ABC.

a. Xỏc nh điểm I sao cho: IA2IB0
b. Xác định điểm K sao cho: KA2KBCB
c. Xác định điểm M sao cho: MAMB2MC0

Bài 5. Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho:

0
)
KE
KD
(
3
KC
KB
KA
.
c

0
ID
IC
IB
IA
.
b

0
OC
3
OB
2
OA
.
a


















Bài 6. Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm M sao cho: MAMB2MC0

Bài 7. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho:
a. MA2MB0 b.NA2NBCB

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả m n: ã 3AMABACAD

Bài 9. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả m n: ã OAOBOCOD0

Bài 10. Cho tam giác ABC cố định. Chứng minh aMA4MB 5MC khơng phụ thuộc vị trí của im M.

Bài 11. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh chỉ có một điểm M thoả m n hệ thức: Ã 2MA3MB 5MCMD0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

*Ph

ơng pháp chung:

Mun chng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: ABkAC(kR). Để chứng minh đợc

điều này ta có thể áp dụng một trong hai phơng pháp:
+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ.

+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thơng qua tổ hợp trung gian.

*Bµi tËp ¸p dơng:

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC. Gäi I lµ trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: BDDEEC

a. Chøng minh: ABACADAE

b. TÝnh vÐct¬: ASABADACAE theo AI

c. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Đặt ABu; ACv

a. Gi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính AP theo u; v?

b. Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AB

3
1
AR
;
AC
2
1

AQ  . TÝnh RP;RQ theo u; v.

c. Suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho: 2IA3IC0, 2JA5JB3JC0

a. CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC.
b. CMR: J là trung điểm của BI.

Bài 4. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả m n: Ã IA 2IB; 3JA2JC0

Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả m n:· MAMB0; 3AN 2AC0; PB2PC

Chøng minh M, N, P thẳng hàng.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Lấy các ®iĨm I, J tho¶ m n:· 3JA2JC 2JD0; JA 2JB2JC0

Chøng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD.

Bi 7. Cho tam giỏc ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
CMR: O, G, H thẳng hàng.

Bµi 8. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho: MB 3MC0, AN3NC, PAPB0

Chøng minh r»ng M, N, P thẳng hàng.

Dạng 4. Chứng minh hai điểm trùng nhau

*Ph

ơng pháp chung:

Để chứng minh M và M' trïng nhau, ta lùa chän mét trong hai híng:
C¸ch 1: Chøng minh MM' 0

C¸ch 2: Chøng minh OM OM' víi O là điểm tuỳ ý.

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A1BC;B1AC;C1AB sao cho: AA1BB1CC1. Chứng minh

rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm.

Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác
ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Dạng 5. Quỹ tích điểm

*Ph

ơng pháp chung:

i vi cỏc bi toỏn qu tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu MA MB với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực của đoạn AB.

- Nếu MC k.AB với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng trịn tâm C, bán kính bằng k.AB .

- NÕu MAkBC th×

+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu kR

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và cùng hớng BC nếu 

R
k

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và ngợc hớng BC nếu kR

*Bài tập áp dụng:

Bµi 1. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả m n:·

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a. MB MC
2

3
MC
MB

MA   

b. MA3MB 2MC 2MA MB MC

Bài 2. Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a. CMR: vộct v3MA 5MB2MC khụng i.

b. Tìm tập hợp những ®iĨm M tho¶ m n: · 3MA2MB 2MC MB MC

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

trục toạ độ và hệ trục toạ độ



Phần 1. Trục toạ độ

Bài 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của 

AB.

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 

MA + 5MB = 0
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = 1

Bài 2. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 

MA + MB  MC = 0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 

NA  3NB = NC

Bài 3. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA  2MB = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB

Bài 4. Trên trục x'Ox cho 4 ®iĨm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :

AC
1

+
AD

1
=

AB
2

b/ Gäi I lµ trung ®iĨm AB. CMR: 2

IA
ID
.

IC 

c/ Gäi J lµ trung ®iĨm CD. CMR: AC.ADAB.AJ

phần 2. Hệ toạ độ đề các vng góc



I. Toạ độ véc tơ - Toạ độ im:

Bài 1. Biểu diễn véc tơ uxiyj biết a) u(2;5) b) u( 4;0)

Bài 2. Xác định toạ độ của véc tơ u biết: a) u5i 2j b) u3i c)u7j

Bài 3. Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ c biết

a) ca3b; a(2; 1); b(3;4) b) c3a 5b; a( 2;3); b(3; 6)
Bµi 4. Cho ba ®iĨm A(-1;1); B(1;3)

a) Xác định toạ độ của các véc tơ: AB;BA b) Tìm toạ độ điểm M sao cho BM(3;0)

c) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA(1;1)

II. Biểu diễn Véc tơ:

Bài 1. Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a;b biết:

a) a(2; 1);b( 3;4);c( 4;7) b) a(1;1);b(2; 3);c( 1;3)

Bài 2. Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). H y biĨu diƠn vÐc t¬ · AD theo các véc tơ AB;AC

Bài 3. Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a;b biết:

a) a( 4;3);b( 2; 1);c(0;5) b) a(4;2);b(5;3);c(2;0)

Bµi 4. Cho bèn ®iĨm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). H y biĨu diƠn véc tơ Ã AD theo các véc tơ AB;AC

III. Xỏc định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài:

Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a. Xác định toạ độ điểm E sao cho AE2BC

b. Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5

c. T×m tËp hợp điểm M biết: 2(MAMB) 3MC MB MC

Bi 2. Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I của đờng tròn ngoi tip tam giỏc.

d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Bài 3. Cho M(1+2t; 1+3t). H y tìm ®iÓm M sao cho · 2

M
2
M y

x  nhá nhất.

Bài 4. Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;

2
3 )

a. CM: ABC vuông b. Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp ABC.
c. Tìm tập hợp các điểm M thoả m n: ã 2MA2MB 3MC MA MC

Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ độ của:

a. Träng tâm G của tam giác b. Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

e. Điểm M biết: CM2AB 3AC f. Điểm N biết: AN2BN 4CN0
Bài 6. Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). Tìm toạ độ của:

a. Trọng tâm G b. Tâm đờng tròn ngoại tiếp c. Điểm M biết 2AM 3CMAB
Bài 7. Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh.

Bài 8. Cho điểm A(3;1)

a. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vng và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất.
b. Viết phơng trình hai đờng chéo của hỡnh vuụng OABC.

Bài 9. Cho M(1-2t; 1-3t). H y tìm ®iÓm M sao cho · 2

M
2
M y

x  nhá nhất.

IV. Véc tơ cùng ph

ơng - Ba điểm thẳng hµng:

Bµi 1. Cho A(0;4); B(3;2).

a. Chøng minh A,B,C biÕt C(-6-3t;8+2t) b. A, B, D kh«ng thẳng hàng biết D(3;0). Tính chu vi ABD.

Bi 2. Cho A(2;1); B(6;-1). Tỡm to :

a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.

c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA 2 5.
Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)

a. Tính diện tÝch tam gi¸c ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.

Bài 4. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(2;-4) b) A(1;2) vµ B(3;4)

Bài 5. Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 2 2

OB
1

OA

1

 nhá nhÊt.

Bài 6. Cho A(-1;-4); B(3;4). Tỡm to :

a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.

c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hµng vµ PA 3 5.
Bµi 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)

a. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.

Bài 8. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) vµ B(2;-5)

Bài 9. Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-3)

Bài 10. Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)

Bài 11. Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 2 2

OB
1

OA

1

 nhá nhÊt.

Bài 12. Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 2 2

OB
1
OA

1

 nhá nhÊt.

Bµi tËp tù lun:

Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau: a =i  3j , b =
2
1



+j ; c = i +



; d = 3i ; e = 4j .

Bài 2. Viết dới dạng u = xi + yj , biÕt r»ng:
u



= (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)

Bài 3. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ:

a/ u = 3a  2b b/ v = 2a + b c/ w = 4a 

2
1



Bài 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ 

AB, AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: 

CM = 2AB  3AC

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: 

AN + 2BN  4CN = 0

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

Bµi 6. Trong mp Oxy cho ABC cã A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

a/ CMR : ABC vng. Tính diện tích ABC. b/ Gọi D (3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bµi 7. Trong mp Oxy cho ABC cã A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng trịn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng trịn đó.

Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). H y tìm trên trục hoành các điểm M sao cho Ã ABM vuông tại M.

Bài 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ H y tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho Ã ABC cân tại C.

b/ Tính diện tích ABC. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bµi 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vng cân. d/ Tính diện tích ABC.

Chóc c¸c em «n tËp tèt!

(Tóm lại là phải chăm chỉ nhiều vào mới có thể giỏi đợc!!!!)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

TÝch v« hớng

I. Lí thuyết:

1. Định nghĩa: a.ba.b.cos

a,b

 

o

 

o
o
o
180
b
,
a
90
0

b
,
a
cos
0
b
.
a
b
a
90
b
,
a
0
b
,
a
cos
0
b
.
a
90
b
,
a
0
0
b

,
a
cos
0
b
.
a





















2. TÝnh chÊt:

a. Giao hoán b. Tính chất phân phối c.

a
.
b
b
.

a a.

bc

abac



mabm

 

a.b

3. Biểu thức toạ độ của tích vơ h ng:

Nếu a(x1;y1);b(x2;y2) a.b x1y1x2y2

4. Công thức hình chiếu:

a. Nếu bốn ®iĨm A, B, C, D cïng ë trªn mét trơc thì: AB.CDAB.CD

b. Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:
CD
.
'
B
'
A
CD
.
AB

II. Bài tập áp dơng:

TÝnh tÝch v« híng

Bài 1. Cho tam giác đều ABC cnh a, trng tõm G.

a. Tính các tích vô hớng AB.CD;AB.BC b. Gọi I là điểm tho¶ m n · IA 2IB4IC0. Chøng minh r»ng:

BCIG là hình bình hành từ đó tính IA



ABAC



;IB.IC;IA.IB
Bài 2. Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.

a. Tính AB.AC từ đó suy ra: AB.ACBC.CACA.AB

b. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc
nhọn tạo bởi AG và BC.

Bài 3. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng trịn nội tiếp hình vng, N là điểm tuỳ ý trên
cạnh BC. Tính:

a. MA.MBMC.MD b.NA.NB c. NO.BA

Bµi 4. Cho ba véc tơ a;b;c thoả m n ®iỊu kiƯn · a a;b b;c c vµ ab3c0. TÝnh:
a
c
c
b
b
a

A  

Bài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a, ng cao AH

a. Tính các tích vô hớng AB.HC b.



AB AC

 

.2ABBC



Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC cã AB=6, AC=8, BC=10

a. TÝnh AB.AB b. Trªn AB lÊy M sao cho AM=2; trên cạnh AC lấy N sao ch0o AN=4. TÝnh AM.AN

Bài 7. Cho hình thang vng ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2
Tính các tích vơ hớng AB.CD;BD.BC;AC.BD

Bµi 8. Cho ba vÐc t¬ a;b;c thoả m n điều kiƯn · a 3;b 2;c 1 vµ ab3c0. TÝnh:
a
c
c
b
b
a

A  

Chứng minh đẳng thức về tích vơ hớng hay về độ dài

Bµi 9. Cho hai ®iĨm A vµ B, O là trung điểm cđa AB vµ M lµ mét ®iÓm tuú ý. Chøng minh r»ng:

2
2
OA
OM
MB
.

MA  

Bài 10. Cho MM1 là đờng kính của đờng trịn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định và OA=d. Giả sử AM cắt (O) tại N.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a. Chøng minh rằng tích vô hớng AM.AM1 có giá trị không phụ thuộc M.

b. CMR: AM.AN có giá trị không phơ thc M.

Bài 11. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB có AC, BD là hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E.
Chứng minh rằng: AE.AC BE.BD AB2

Bài 12. Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:

a. 2

BC
.
4
1
MA
.

MH b. 2 2 2 BC2

2

1
AH
MA

MH

Bài 13. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chøng minh r»ng: AM.BCMB.CAMC.AB0

Chøng minh tÝnh vuông góc - thiết lập điều kiện vuông góc

Bi 14. Chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy.

Bài 15. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngồi các tam giác vng cân đỉnh A là ABD, ACE. Gọi M là trung
điểm BC. Chứng minh rng: AMDE

Bài 16. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: ABCD 2 2 2 2
BC
AD
BD

AC   



Bài 17. Cho hình thang vng ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:
a. BDCI b. ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.

Bài 18. Cho tứ giác ABCD biết AB.ADBA.BCCB.CDDC.DA0. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

im tho món ng thc về tích vơ hớng hay độ dài

Bài 19. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

4
a
MA
.
MC
MC
.
MB
MB
.
MA

2

Bài 20. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

MAMB

.MAMC

0 b. 2MB2 MB.MCa2 víi BC=a.

Bµi 21. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a. AM.ABAC.AB b. MA2-MB2+CA2-CB2=0

</div>

VEC TO

Hình học 10

Véc tơ

I. Véc tơ:

<sub></sub>

<b>hàng</b>

<b>thẳng</b>

<b>D</b>

<b>C,</b>

<b>B,</b>

<b>A,</b>

<b>CD</b>

<b>//</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>//</b>

<b>AB</b>

<b>h ớng</b>

<b>cùng</b>

<b>CD</b>

<b> AB,</b>

<b>tia </b>

<b>hai</b>

<b>CD</b>

<b>//</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>h ớng</b>

<b>ng ợc</b>

<b> </b>

<b>CD</b>

<b> AB,</b>

<b>tia </b>

<b>hai</b>

<b>CD</b>

<b>//</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>















<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>















<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

II. Các phép toán véctơ:









phân loại bài tập về Véc tơ và c¸c phÐp to¸n

<b>Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức vộct</b>

*Ph

ơng pháp:

*Bài tập minh hoạ:





<b>Dạng 2. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ</b>

*Ph