DANG THUC LG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.15 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 1 Tính 
a/ 0

sin15 và 0

cos15 b/ 0

sin18 và 0

cos18 c/ 0

sin 36 và 0

cos 36

d/
8

tg e/tg37 30 '0
Bài 2 Tính





0 0 0

0 0

cot 44 226 cos 406

cot 72 .cot 18
cos316

g tg

g g













0 0

cos 288 cot 72

18
162 sin108
g
tg
tg









0 0

0 0 0

2sin 2550 .cos 188
1

368 2cos 638 cos98
tg





d/

2 0 2 0 2 0

2 0 2 0

cos 197 cos 287 sin 323
1 sin 217 cos 37





Bài 3 Tính giá trị các biểu thức sau

a/ tg200tg400tg600tg800 d/ 2 2 3 2 5

12 12 12

tg  tg  tg 

b/ 0 0

2sin 70

2sin10  e/

0 0 0 0

9 27 63 81

tg  tg  tg tg
c/sin4 sin43 sin4 5 sin4 7

16 16 16 16

   

   f/ cos6 cos63 cos65 cos6 7

16 16 16 16

   

  

Bài 4 Rút gọn

a/ sin 3 sinx 3x cos 3 cosx 3x

 b/





2
2
1 cos
1 cos
1
sin sin
x
x
x x
  


 
 
 
c/
2

2cos 1
sin cos
x
x x


 d/

1 sin 1 sin
1 sin 1 sin

x x
x x
 

 
Bài 5

a/ Cho sinxcosx a .Tính

sin .cosx x sinx cosx

3 3
3 3
sin cos
sin cos
x x
x x
 







4 4
4 4
sin cos
sin cos
x x
x x
 






5 5
5 5
sin cos
sin cos
x x
x x
 






b/ Cho tgxcotgx a .Tính

cot

tgx gx

2 2

cot
cot
tg x g x
tg x g x

 






3 3
3 3
cot
cot
tg x g x
tg x g x

 







6 6
6 6
cot
cot
tg x g x
tg x g x

 





Bài 6

a/ Cho tgx2.Tính

4 3 2 2 3 4

3sin 5sin cos 11sin cos 4sin cos 2cos
5sin 3sin cos 2sin cos 10sin cos 3cos

x x x x x x x x

A

x x x x x x x x

   



    

b/Cho tgx=4 .Tính

5 4 2 3 4 5

4 3 2

7 cos 4cos sin 2cos .sin 5cos .sin 6sin
8sin cos 2sin cos

x x x x x x x x

B

x x x x

   



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số
a/2 sin



4x cos4x sin2 xcos2x

 

2 sin8x cos8x



   

b/ sin4x 4 cos2x cos4x 4sin2x

  

4 4

6 6

sin cos 1
sin cos 1

x x

 

  d/



 



2
2

2 2

1 1 cot

tg x

tg x g x

tgx

  

  

 

 

Bài 8 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x

 

cos2 cos2 cos2 2 cos2 2 2sin2

3 3 3 3

f x    x  x    x   x x

       

 

cos2 cos2 2 cos2 2

3 3

f x  x   x    x

   

 

sin2 sin2 2 sin2 2

3 3

f x  x   x    x

   

d/cos2



x a



cos2x 2 cos cos cosa x



a x



   

 

3 3

cos cos3 sin sin 3

cos sin

m x x m x x

f x

x x

 

 

2
x k

 

 

 

 

Bài 9

a/Cho asin .sinx y b cos .cosx y0.Tính 2 1 2 2 1 2

sin cos sin cos

S

a x b x a y b y

 

 

b/Cho hệ

2 2 2 2

cos cos 1

sin cos
m tg x n tg y

m x n

m x n y

  



 



 



.Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n khơng phụ thuộc x,y.

c/Tìm m để biểu thức sau khơng phụ thuộc x: Ssin6xcos6x m



sin4 xcos4x



Bài 10

a/Cho

4 4

sin x cos x 1

m  n m n .Chứng minh





10 10

4 4

sin x cos x 1
m  n  m n
b/Cho 2tg x tg y tg z tg x tg y tg y tg z tg z tg x2 . 2 . 2 2 . 2 2 . 2 2 . 2 1

    .Chứng minh

2 2 2

sin xsin ysin z1

c/Cho

3 2

.cos 3 cos .sin
.sin 3 cos sin

a x a x x m

a x a x x n

  




 




.Chứng minh 3



m n



2 3



m n



2 23 a2

d/Cho

1 1

2 1 2

3 1 2

sin
cos sin
cos cos
a

a
a



 








 



.Chứng minh a12a22a32 1

Bài 11 Gọi  , là các giá trị khác nhau của x thỏa mãn hệ thức acosx b sinx c .Biết

2 2 0; 2

a b     k  .
a/.Tính sin2 .sin2

2 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b/Chứng minh

2
2

2 2
cos

c
a b
  



 và 2

b
tg

a
 


Bài 12 Tính

a/A cos 200 cos 409 ... cos1600 cos1800

    

b/B tg200 tg400 ... tg1600 tg1800

    

c/C sin 50 sin100 ... sin 3600

   

Bài 13 Chứng minh

a/tg a tg a tg a tg atg atg a6  4  2  6 4 2

b/ tg a b







 tga tgb tg a b tgatgb 







c/sin2



a b



sin2a sin2b 2sin sin cosa b



a b



    

d/ sin





. .

cos cos cos
a b c

tga tgb tgc tga tgb tgc

a b c

 

   

e/cos sina



b c



cos sinb



c a



cos sinc



a b



0

f/sin sina



b c



sin sinb



c a



sin sinc



a b



0
g/sin





sin





sin





cos cos cos cos cos cos

a b b c c a

a b b c c a

  

  

Bài 14
a/ Cho









cos cos cos sin sin sin

cos sin

x y z x y z

m

x y z x y z

   

 

    .Chứng minh













cos x y cos y z cos z x m

b/Cho 0 ,
2

 

  và

2 2

3sin 2sin 1
3sin 2 2sin 2 0

 

  



 



.Chứng minh 2
2

   .
c/Cho 0 ,

2

 

  và sin2 sin2 sin







.Chứng minh

2


  .
d/ Cho









cos cos 0

a b

 

   

 





   






 k



.Chứng minh rằng với mọi x ta có









cos cos 0

a  x b x 

e/ Cho mcos



a b



cos



a b



với



a b



k k, ;m 1.Chứng minh
2

1 1 2

1 msin 2a1 msin 2b 1 m
Bài 15 Chứng minh các đẳng thức sau
a/

2
1 2sin

2cot cos

4 4

x

g  x  x





   

 

   

   

b/ 1 cos 2 cos 2 cos3 2cos
2cos cos 1

x x x

x

x x

  



 
c/sin4 cos4 3 1cos 4

4 4

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

d/sin6 cos6 5 3cos 4
8 8

x x  x

e/sin8 cos8 7cos8 1cos6

8 8

x x x x

f/ 2 3 3

3 3

tgx tg x   tg x    tg x

   

g/ 2 2 3

3 3 3 3

tgxtg x  tg x  tg x   tg x  tgx

       

Bài 16 Tính

a/ cos cos4 cos5

7 7 7

A   

b/ B sin 5 sin15 ...sin 75 sin 850 0 0 0



c/ C cos cos 2 cos 4 ...cos 2x x x nx


d/ cos cos 2 cos 3 ...cos

2 1 2 1 2 1 2 1

n
D

n n n n

   



   

Bài 17

a/ Đặt S cosx2 cos 2x...ncosnx.Chứng minh





2
2 1

sin 2sin 2. sin 2
2sin 2

x n nx

n x

S

x

 

 với x k 2

b/Chứng minh rằng sin 1 1 2 2 2... 2 2 ... 2
2n

n





           

c/CMR cos 1 2 2 ... 2
2n 2



    ( n-1 dấu căn)
d/CMR sin 1 2 2 2 ... 2

2n 2


     ( n-1 dấu căn)

 

2
0

4 1 4 1

1
1 cos 2 2 sin 2 sin

i n

n

i n

i





 

 

   

  

 



Bài 18 Chứng minh

a/ 4sin .sin .sin sin 3

3 3

x   x  x x

   

b/ 4cos cos cos cos 3

3 3

x   x  x x

   

c/ 4 3

3 3

tgxtg  x tg  xtg x

   

d/ 2 3 3

3 3

tgx tg x   tg x    tg x

   

e/ 2 2 2 9 23 6

3 3

tg x tg  xtg   x tg x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 19 (Áp dụng bài 18)Tính:

a/ 0 0 0

sin 20 sin 40 sin 80

A

b/ 0 0 0

cos10 cos 20 ...cos80

B

c/ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

sin 2 sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin 82

C

d/ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 17 23 37 43 57 63 77 83 243

D tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg

e/ 2 4 5 7 8 10 11 13

27 27 27 27 27 27 27 27 27

E tg  tg tg tg tg tg tg tg  tg 
f/ F tg10 tg50 tg90 ... tg1770

    

g/ G tg2 05 tg2100 ... tg2800 tg2850

    

Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z)

a/ Cho sin sin sin  0 và cos ,cos , cos   đôi một khác nhau
sin sin 2 sin 3 sin 4

sin sin 2 sin 3 sin 4
sin sin 2 sin 3 sin 4

x y z

   

   

   

  




  



   



b/Cho cos cos cos  0 và cos ,cos , cos   đôi một khác nhau
cos cos 2 cos3 cos 4

cos cos 2 cos3 cos 4
cos cos 2 cos3 cos 4

x y z

   

   

   

  




  



   



Bài 21 Rút gọn các biểu thức sau
a/ sin 8 sin13 sin18

cos8 cos13 cos18

x x x

A

x x x

 



 

b/B sin2



a 2b



cos2a cos 22 b

   

c/C sin2



a 2b



sin 22 a sin2b

   









2 2 2

sin sin sin

sin cos cos

a b a b

D

a b a b

  



  

Bài 21 Chứng minh

a/sin 4 4sin 3 6sin 2 4sin 16sin 2 sin4
2
x

x x x x x

b/cos 1cos3 1cos5 8sin2 cos3

2 2

x x x x x

c/cos 270 cos 630 6 2
4


 

d/sin 242 0 sin 62 0 5 1
8



 

e/ 300 400 500 600 8 3cos 200
3

tg tg tg tg 

f/tg90 tg150 tg270 cot 27g 0 cot 15g 0 cot 9g 0 8

     

g/cos120 cos180 4cos15 cos 21 cos 240 0 0



3 1



 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 22

a/ Cho

















sin cos

;

sin cos

x a x A

x b x B

 

 

 

 

  Chứng minh cos





aA bB

aB bA  



 


b/





1
1 cos

2 1 2

n
k
k

k
n





 





c/cos8 cos12 cos18 1cos 7sin

35 35 35 2 5 2 5

    

   

Bài 23 Chứng minh

a/sin



a b



sin



a b



sin



b c



sin



b c



sin



c a



sin



c a



0

b/cos



a b



sin



a b



cos



b c



sin



b c



cos



c a



sin



c a



0

c/sin sina



b c



sin sinb



c a



sin sinc



a b



0
Bài 24 Tính

a/ cos2 cos4 cos6

7 7 7

A     

b/ cos cos2 cos3

7 7 7

B     

c/ sin sin5 sin7 sin11

24 24 24 24

C    

d/ sin sin7 sin13 sin19 sin25

30 30 30 30 30

D     

Bài 25 Tính
a/ 1

sin sin 2 ... sin
cos cos 2 ... cos

A a a na

   




   


b/

2 2 2

cos cos 2 ... cos
sin sin 2 ... sin

B a a na

    




   




c/C tga 2 2tg a ... 2ntg a2n 2n1cot 2g n1a

    

d/ 2 2 1 2

2 ... 2 2

2 4 2 2 2 2

n n

n n n

a a a a a a

D tg tga tg tg  tg tg tg



    

e/ 1 ... 1

2 2 2n 2n

a a

E tga  tg   tg

f/ 2 2 2 2

1 1 1

...

4cos 4 cos 4 cos

2 4 2

n

F

a a a

   

Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số bằng nhau)
a/Cho

2 2

1 1 2 cos

1 2 cos 1

r r y r

r x r r

  



   .Chứng minh

2 2 1

x y r

tg tg

r


 

 



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b/Cho a,b,c đơi một khác nhau và 4 góc   , , , thỏa













a b c

tg   tg  tg   .Chứng minh













2 2 2

sin sin sin 0

a b b c c a

a b   b c   c a  

  

     

  

Bài 27
a/Cho

1 2 3

cosx cos 2x cos3x

a  a  a .Chứng minh

2 2 1 3

2
2
sin

2 4

a a a
x

a
 


b/Cho

1 3 5

sinx sin 3x sin 5x

a  a  a .Chứng minh

1 5 3 1

3 1

a a a a

a a

 


Bài 28

a/Cho , ,

2 k


     ( k nguyên) .Giả sử sin2 ,sin2 ,sin2

   lập thành cấp số cộng,

sin 0 và tg tg. 1.Chứng minh rằng tg tg, ,tg lập thành một cấp số nhân.
b/Cho 0 và ,

2 2

tg tg có nghĩa.Chứng minh rằng sin ,sin ,sin   lập thành
cấp số cộng khi và chỉ khi . 1

2 2 3

tg tg  .
c/Cho  , , thỏa hệ

0 2

cos cos cos 0
sin sin sin 0

   

  

   




  



   



Chứng mini rằng   , , lập thành cấp số cộng với công sai 2
3
d  ..
d/Cho 0 và   , , đều khác ,

k k .Chứng minh rằng ta có

, , cos ,cos ,cos

2 2 2

cot .cot , cot sin ,sin ,sin

2 2 2

tg tg tg

g g g

  



  





  




Các bài tốn có liên quan với định lí Vi-et

Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau
a/

1 1 1

3 5

cos cos cos

7 7 7

A

  

  

b/ 2 2 2

1 1 1

2 3 6

sin sin sin

7 7 7

B

  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

c/ 4 4 4

1 1 1

2 3

cos cos cos

7 7 7

C

  

  

d/ cos cos9 cos9 cos17 cos17 cos

12 12 12 12 12 12

D        

4 4 4

2 2 2

3 5

cos cos cos

14 14 14

3 5

4cos cos cos

14 14 14

E

  

 



f/ 3cos2 3cos4 3 cos8

7 7 7

F      

Bài 2 Tính

a/ 2 2 5 2 7

18 18 18

A tg  tg  tg 

b/ 6 6 5 67

18 18 18

B tg  tg  tg 

c/ 62 6 4 68

18 18 18

C tg  tg  tg 

d/ 2 3 4

5 5 5 5

D tg tg   tg  tg 
Bài 3

a/Giả sử tg1,tg2,tg3 là ba nghiệm của phương tình x3ax2bx c 0.

1, 2, 3

tg tg tg là ba nghiệm của phương trình x3 cx2 bx a 0

    .Chứng minh

1 2 3 1 2 3 k

       
b/Chứng minh

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

7 41 53 79 7 41 53 79 7 41 53 41 53 79

53 79 7 79 7 41

tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg g tg tg

tg tg tg tg tg tg

     

 

Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số
Trước tiên ta chứng minh một số bổ đề quan trọng sau
1/ Cho x,y,z đều khác ,

2 k k




  . Chứng minh rằng

tgx tgy tgz tgxtgytgz    x y z n n     

2/ Cho x,y,z đều khác ,
2 k k




  .Chứng minh rằng

. . . 1 ,

tgx tgy tgy tgz tgz tgx    x y z   n n  
3/ Cho x,y,z đều khác ,

2 k k




  .Chứng minh
1

,
4

tgx tgy tgz tgxtgytgz tgztgy tgytgz tgztgx
x y z  n n

      

      

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2 2 2

cos cos cos 2cos cos cos 1

cos cos cos cos 0

2 2 2 2

x y z x y z

x y z x y z y z x z x y

    

       


Ứng dụng

Bài 1 Cho ab1,bc1,ca1.Chứng minh

1 1 1 1 1 1

a b b c c a a b b c c a

ab bc ca ab bc ca

     

  

     

Bài 2 Cho 0

1
xyz

xy yz zx




  

 .Chứng minh



2 1

 

2 1

 

2 1

 

2 1

 

2 1

 

2 1



x y y z z x

xy yz zx

     

  

Bài 3 Giải hệ sau

1 1 1

3 4 5

x y z

xy yz zx

      

    

      

   

  

   



Bài 4Cho xyz0 và x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx .Chứng minh

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

x y z x y z

     

  

Bài 5 Cho x+y+z=xyz. Chứng minh 
a/



x y



2 1

 

z21



4xyz

3 3 3 3

2 2 2 2

3 3 3 3

1 3 1 3 1 3 1 3
x x x x y y z z

x x y z

   



   



(x y z, ,  3



 



2 2 2 2

1 1 1 1

x y x y

xy

     





Bài 6 Cho x,y,z>0 và x2 y2 z2 2xyz 1

    .Chứng minh



 



1xyz



x 1 y 1 z

</div>

DANG THUC LG





















<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>



 



 

 

 









 









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





























































































