dao ham

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (249.07 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CHƯƠNG 5 - Đạo Hàm

BAỉI 1 : KHI NIM O HAỉM

1 . Ví dụ mở đầu : Từ vị trí O (ở một độ cao
nhất định nào đó ) ta thả một viên bi cho rơi
tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động
của viên bi .

* Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng ,

chiều dương hướng xống đất , gốc O là vị trí ban
đầu của viên bi (tại thời điểm t = 0) và bỏ qua
sức cản của khơng khí thì phương trình của viên
bi là :

2

1 )

(

t

gt

f

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* Giả sử tại thời điểm , viên bi ở vị trí 
 có tọa độ

*Tại thời điểm ,viên bi ở 
vị trí và có tọa độ

*Khi đó trong khoảng thời gian 
tư quãng đường viên bi 
đi được là :

*Vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời 
gian đó là:

)
(tại t 0

)
(tại t 1

O

)
(t0
f
0
M
1
M
)
(t1
f

y

t

M

y0  f (t0 )

)

t

(

t

1 1



0

)
( 1

1 f t

y 
1

M

1
0

t



)

(

)

(

1 0

M

f

t

f

t

M





)

1 (

)

(

)

(

1 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

*Neáu càng nhỏ thì (1) càng phản ánh

chính xác hơn sự nhanh , chậm của viên bi tại thời 
điểm

*Từ đó, ta xem giới hạn của tỉ số khi 
 là vận tốc tức thời tại thời điểm của viên bi

Kí hieäu :

t



t

0
1

1) ( )

(

t
t

t
f
t

f




t



t

0

)

(

t

0

v

0
1

)

(

)

(

lim

)

(

t

f

t

f

t

v





</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

*Nhiều vấn đề của tóan học, vật lý, hóa học, sinh học . . 
dẫn đến bài tóan tìm giới hạn :

)

(

)

(

lim

x

f

x

f

x





*Trong tốn học người ta gọi giới hạn đó, nếu có và 
hữu hạn ,là đạo hàm của hàm số tại thời

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2 . Đạo hàm của hàm số tại một điểm:

a) Khái niệm :

Cho hàm số xác định trên khoảng (a; b) 
và điểm thuộc khoảng đó .

Định nghóa :

)

(

x

f

y



x

Giới hạn hữu hạn, nếu co,ù của tỉ số 
khi được gọi là Đạo hàm của hàm số đã 
cho tại điểm

)

(

)

(

x

f

x

f



x



Kí hieäu: hay

f

(

x

0

)

y

(

x

0

)

Nghóa là: /

 

0 lim ( ) ( 0)

x
x

x
f
x

f
x
x

x
f






</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nếu đặt và thì:x x x0 y y  y0

 

0
lim
)

(
)

(
0

lim 0 0

0
/

x
y
x

x

x
f
x

x
f


















Chú ý:

1.Số gia được gọi là số gia của biến số tại điểm

Số gia được gọi là số gia của hàm số

ứng với số gia tại điểm

2.Soá không nhất thiết chỉ mang dấu dương

x
x

x  

 x0



x

0

x



f

 

x

0

f

y











x



x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b.Quy tắc tính đạo hàm

Muốn tính đạo hàm của hàm số y = f (x ) tại điểm 
theo định nghĩa ta thực hiện 2 bước sau :

Bước 1: tính theo công thức:

trong đó là số gia của biến số tại điểm

x



y  f



x0  x



 f

 

x0

x



x0

Bước 2 : Tìm giới hạn

x
y

x 





 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ 1:

Tính đạo hàm của hàm số tại điểm y x2



x

0



2

Giải

Đặt , ta coù :f (x) x2





x0 x



f

 

x0 (2 x)2 22 x(4 x)

f

y           


4
)

4
(
0
lim

lim














 x x x

y
x

* Tính
* Tính

Vậy f '(2) 4

Nhận xét : Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm thì liên

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

5.Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và

một điểm cố định thuộc (C) có hồnh 
độ , với mọi điểm M thuộc ( C) khác 
 có hồnh độ là và là hệ số góc 
của cát tuyến .

Giả sử tồn tại giới hạn :

M

x M0

M
x

M
k

M
M0

*Nếu có vị trí giới hạn là khi M chạy trên (C) tới 
thì gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm . gọi 
là tiếp điểm.

M

M0 M0T

M
T

M0

M

M
M

k
x
x

k

lim




*Giả sử f có đạo hàm tại điểm , ta có :x0

 

/ x lim f (x ) f (x ) lim k k

f  M   

y (C)

f(x)

M
 y

f(x0) M0 H

O   x

x0 x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Nhận xét :

+ Đạo hàm của hàm số tại là hệ số góc của 
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại

)
(x
f

y 

x

0

))
(

;

( 0 0

0 x f x

M

+ Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì tiếp 
tuyến của đồ thị hàm số tại có phương

trình là :

)
(x
f

y 

x

0

))
(

;

( 0 0

0 x f x

M

)
(

)
)(

( 0 0 0

' x x x f x

f

y   

* Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm 
số tại điểm có hồnh độ

y



x

3 x0  1

Ta coù : f ‘ (-1) = 3 và f (-1) = -1 nên phương trình

tiếp tuyến cần tìm là :

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

4. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm :

* Xét chuyển động của một chất điểm có quãng đường

là một hàm số s= f(t) của thời gian t .

•Khi càng nhỏ thì tỉ số càng phản ánh 
chính xác độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm

t



t

t
s
t

t
s





 ) ( )

( 0 0

t

•Giới hạn được gọi là vận
 tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

t

t
s
t

t
v









 ( ) ( )

0
lim
)

( 0 0

t

Nhận xét : Vận tốc tức thời tại thời điểm của một 
chuyển động có phương trình s = s (t) bằng đạo hàm của 
hàm số s = s (t) tại điểm , tức là :

)
(t0

v

t

0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

II. Đạo hàm trên một khoảng :

a. Khái niệm :

1 . Hàm số y= f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a; b)

nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a; b).

2 . Nếu hàm số f có đạo hàm trên (a; b) thì hàm số f ’ 
xác.

định bởi gọi là đạo hàm cảu hàm số f .
)

(
)
;
(
:

'
'

x
f
x

R
b

a
f





* Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số trên 
khoảng .

x

y



)
;

( 

Giaûi:

Với mọi x thuộc khoảng , ta có :

(



;



)

2
2

2 3 ) 3

3
(
lim
lim

' y x x x x x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a)Hàm số hằng y = c có đạo hàm trên R và y’ = 0
b)Hàm số y = x có đạo hàm trên R và y’ = 1

c) Hàm số có đạo hàm trên R 
và

c) Hàm số có đạo hàm trên khoảng và

b.Đạo hàm của một số thường gặp :

)
2
,

(  

x n N n

y n

'





nx

n

y

x

y



x
y

2
1
'

)
;

( 

* Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số

y



x

Giải: Với , ta có :

y



x

y

'



4 x

</div>

dao ham

<b>CHƯƠNG 5 - Đạo Hàm</b>

<b>BAỉI 1 : KHI NIM O HAỉM</b>

2

1

)

(

<i>t</i>

<i>gt</i>

<i>f</i>

O

<i>y</i>

t

M

)

t

t

(

t



M

t

t



)

(

)

(

<i>M</i>

<i>f</i>

<i>t</i>

<i>f</i>

<i>t</i>

<i>M</i>





)

1

(

)

(

)

(

<i>t</i>

<i>t</i>



<i>t</i>

t

t



<i>t</i>

)

(

<i>t</i>

<i>v</i>

)

(

)

(

lim

)

(

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>f</i>

<i>t</i>

<i>f</i>

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>v</i>







)

(

)

(

lim