Tài liệu Ôn tập ứng dụng đạo hàm luyện thi pdf

Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV
Trang1

Chuyên đề 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM




ÔN TẬP PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
I. Mục đích yêu cầu
- Nắm vững quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
- Rèn luyện các kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số thông thường : hàm
bậc ba, trùng phương , nhất biến, hưu tỷ.
- Ứng dụng sự đồng biến và nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức lượng
giác.
II. Chuẩn bị
1. GV: một số bài tập là thêm cho học sinh.
2. HS: làm trước bài tập ở nhà và tm tắt li l thuyết.

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K
1. f đồng biến trên K nếu  x
1

, x
2
K mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2. f nghịch biến trên K nếu  x
1
, x
2
K mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x
2
).
II. Định l:
Cho hàm số f c đo hàm trên khoảng (a,b).
1. Nếu f’(x)>0 ;x(a,b)  y=f(x) đồng biến trên (a,b).
2. Nếu f’(x)<0 ;x(a,b) y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
Trong giả thiết nếu ta thay (a;b) bằng [a;b) [a;b] hay(a;b] thì phải bổ sung thêm
hàm số liên tục trên [a;b) [a;b] hay(a;b].

Định lí vẫn còn đúng nếu dấu bằng chỉ xãy ra ti một số hữu
hn điểm trên khoảng (a,b).
B. CÁC BÀI TẬP:
I. Xét tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính y’.
B3: Xét dấu y’ và kết luận tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số
Giải: + Tập xác định D=R
+ ;
+ Bảng biến thiên:

+ Kết luận: hàm số tăng trên giảm trên (0;2).
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV
Trang2

Ví dụ : Tìm m để hàm số
a) Nghịch biến trên R
b) Đồng biến trên (0;3).
Giải: a)
+ Tập xác định D=R
+

Để hàm số nghịch biến trên R thì

b.Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì do a âm khi đ

Vậy thì hàm số đồng biến trên đon (0;3).
Chú ý : Tam thức bậc hai

II. Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình hay hệ phương trình:
Giả sử cần giải phương trình f(x)=g(x)
+ Tìm tập xác định D của phương trình.
+ Nếu f(x) tăng trên D ; g(x) giảm hoặc hàm hằng trên D khi đó phương trình có
nhiều nhất là một nghiệm.
+ Tìm nghiệm duy nhất của phương trình.

Chú ý
: N
ếu f đồng biến trên D và f(x) > f(y) thì x > y
Nếu f nghịch biến trên D và f(x) > f(y) thì x<y
Nếu f đơn điệu trên D thì f(x)=f(y)

x=y.

CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
32
3 3(2 1) 1y x mx m x    
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số
2
2y x x

a) Tính y’’(1).
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1
2
mx
y
xm




a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác
định của n.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx x  (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
ex

   
.
c)
x>1
ln

x
e
x

.
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV
Trang3

Bài 5 : Chứng minh phương trình sau c đúng một nghiệm :
53
2 1 0x x x   

Bi 6: a ) Cho hàm số
32
1
43
3
y x mx x   
(m tham số)
Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Giải: y’= x
2
+ 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên R

'0y 

,
Rx



Δ
2
' 4 0m  



22m  

b) Cho hàm số:
xm
y
xm



(m tham số)
Tìm m để hàm số nghịch biến trên
(1, )

Giải: TXĐ: D =

\{m}
Hàm số nghịch biến trên
(1, )


'0y 

(1, )x  

Ta có:
'0y 
(1, )x  

0
(1, )
m
m



 


0
1
m
m






01m

Bài 7. Đi
̣
nh m đê
̉
ha
̀
m số y=x
3
-3(m-1)x
2
+3(2m-3)x+2 đồng biến trên tâ
̣
p xa
́
c đi
̣
nh cu
̉
a no
́
.
ĐS:m=2.
Bài 8. Vơ
́
i gia
́
tri
̣
na
̀

o cu
̉
a a ha
̀
m số y=2+ax-x
3
nhịch biến trên R?.
Đs: a
0

Bài 9:
a ) Cho hàm số
32
1
43
3
y x mx x   
(m tham số)
Tìm m để hàm số đồng biến trên

.
Giải: y’= x
2
+ 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên


'0y 

x


2
' 4 0m  



22m  

b) Cho hàm số:
xm
y
xm



(m tham số)
Tìm m để hàm số nghịch biến trên
(1, )

Giải: TXĐ: D =

\{m}
Hàm số nghịch biến trên
(1, )

'0y 

(1, )x  

Ta có:
'0y 
(1, ) 

0
(1, )
m
m



 


0
1
m
m






01m

§2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

I. Mục tiêu.
- Hiểu khái niệm cực đi, cực tiểu. biết phân biệt đươc khái niệm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất.
- Biết vận dụng các điều kiện đủ để hàm số c cực trị. Sử dụng thành tho các
điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số.
II. Chuẩn bị của GV và HS
1. GV:
- kiê
̉
m tra xem la
̣
i viê
̣
c soa
̣
n ba
̀
i va
̀
la
̀
m bai tâ
̣
p cu
̉
a ho
̣
c sinh.

Trươ

̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV
Trang4

- Chuẩn bị trước bài tập làm thêm cho HS.
2. HS: Son trước l thuyết ở nhà trước bài học ở nhà.




A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và điểm x
0
D .
 Điểm x
0
được gọi là điểm cực đi của hàm số y= f(x) nếu tồn ti một khoảng
(a;b) chứa điểm x
0
sao cho (a;b)  D và ta có f(x)<f(x
0
) với mọi
x(a;b)\{x
0
}.
 Điểm x
0

được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y= f(x) nếu tồn ti một khoảng
(a;b) chứa điểm x
0
sao cho (a;b)  D và ta có f(x)>f(x
0
) với mọi
x(a;b)\{x
0
}.

2. Điều kiện để hàm số c cực trị:
Định l1: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) c đo hàm ti x
0
(a,b) và đt cực trị
ti điểm đ thì f’(x
0
) = 0.

Định lí 2:
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm xo và c đo hàm trên các khoảng
(a;xo) và (xo;b) khi đ
a) Nếu f’(x
0
) > 0 với mọi x(a ; x
0
); f’(x) < 0 với mọi x(x
0
; b) thì hàm số đt
cực đi ti điểm x
0

.
b) Nếu f’(x
0
) < 0 với mọi x(a ; x
0
); f’(x) > 0 với mọi x(x
0
; b) thì hàm số đt
cực tiểu ti điểm x
0
.

Định lí 3. Giả sử hàm số y = f(x) c đo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm x
0
,
f’(x
0
) = 0 và f c đo hàm cấp hai khác 0 ti x
o
.
a) Nếu f”(x
0
) > 0 thì hàm số f đt cực đi ti điểm x
0
.
b) Nếu f”(x
0
) < 0 thì hàm số f đt cực tiểu ti điểm x
0
.

B . CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số
42
2 2 1y x mx m    

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Bài 2: Cho hàm số
2
24
2
x mx m
y
x
  



a) Khảo sát hàm số khi m=-1.
b) Xác định m để hàm số c hai cực trị.

Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23


a)Khảo sát hàm số khi m=1 gọi đồ thị là (C).Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp

tuyến của (C).
Trươ
̀
ng THPT Quốc Tha
́
i GV
Trang5

b) Xác định m để hàm số c cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đ.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;).

Bài 4: Cho hàm số
22
21x kx k
y
xk
  


với tham số k.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) c hệ số gc a. Biện luận theo
a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn c cực đi, cực tiểu và tổng tung độ của
chúng bằng 0.

Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1

( 1) 1
3
y x mx m m x     
đt cực tiểu ti x=1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x



Xác định m sao cho hàm số.
a) C cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số
32
( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m    

a) Tìm m để hàm số c hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến ti điểm uốn c hệ số gc lớn nhất trong tất cả các
tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài 8: Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x     

Tìm m để hàm số đt cực đi ti x = 1
Giải: TXĐ: D =

.
22
' 2 1y x mx m m    

" 2 2y x m

Hàm số đt cực đi ti x =1

'(1) 0
"(1) 0
y
y






2
3 2 0
2 2 0
mm
m

  





1, 2
1
mm
m






m = 2
Kết luận: m = 2 thì hàm số đt cực đi ti x = 1.

Bài 9: Cho hàm số:
32
6 3( 2) 6y x x m x m     
. Xác định m sao cho:
a) Hàm số c cực trị
b) Hàm số c 2 giá trị cực trị cùng dấu.
Bài 10:Định tham số m để hàm số y =
32
1
( 6) 1
3
x mx m x   
c cực đi và cực tiểu.
Kết quả: m < - 2 hay m > 3
Bài 11: cho ha

̀
m số y=3mx
3
-3mx
2
+3x-1. Đi
̣
nh m đê
̉
ha
̀
m số c hai cực trị và viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đ.
Đs: m<0 hoă
̣
c m>1; đươ
̀
ng thă
̉
ng qua hai điê
̉
m cư
̣
c tri
̣
la
̀
y=2(1-m)x.
Bài 12: Cho
32

69y x x x  
(C)
a) Xác định tọa độ các điểm cực đi, cực tiểu của đồ thị (C).
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m
2
– m đi qua trung điểm đon
thẳng nối hai điểm cực đi và cực tiểu của đồ thị (C).