de thi hsg so 3

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>§Ị thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh</b>

Mơn: Tốn 9Thời gian: 150 phút <i>(Khơng kể thời gian giao đề)</i>

<b>C©u 1 (4 điểm)</b>

a/ Tính giá trị biểu thức: P =

2
3

6
2
5
)
6
2
5
(

b/ Giải phơng trình: x4_{- 30x}2_{+ 31x - 30 = 0}

c/ Chøng minh r»ng nÕu a, b, c là các số dơng thoả mÃn a + c = 2b thì ta luôn có:

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>b</i>

<i>a</i> 

2
1

1

d/ Chøng minh r»ng: x3m+1_{+ x}3n+2_{+ 1 chia hÕt cho x}2_{+ x + 1 víi mọi số tự nhiên m,n.}
<b>Câu 2 ( 4 điểm)</b>

a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x2_{+ 4x = 19 - 3y}2

Tìm giá trị của x để đẳng thức sau l ng thc ỳng :

b. Giải phơng trình: ₃ 2 ₁₈ ₂₈ ₄ 2 ₂₄ ₄₅







 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> = x2_{+ 6x -5}

c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =

1
2
2

6
8
2
3

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

d/ Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: M =

1
2
4

2


 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<b>C©u 3 (3 ®iĨm)</b> XÐt ®a thøc P(x) = x9_{+ x}99

a/ Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi x nguyên dơng
b/ Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100

c/ Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4). Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thể là chữ số 0 đợc
khơng ? Tại sao ?

<b>Câu 4 (3 điểm)</b>

Cho gúc nhn xOy v im M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các điểm A, B sao
cho chu vi tam giác MAB nh nht.

<b>Câu 5 (3 điểm)</b>

Cho tam giỏc ABC cú 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC. Chứng minh rng:

1

'

'

'

'

'

'







<i>CC</i>

<i>HC</i>

<i>BB</i>

<i>HB</i>

<i>AA</i>

<i>HA</i>

<b>Câu 6 (3 điểm)</b>

a. Cho 3 sè d¬ng a, b, c cã tỉng b»ng 1. Chøng minh r»ng:

1



1



1



9

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

b. Cho 3 sè dơng a, b, c thoả mÃn điều kiện a + b > c vµ |a - b| < c. Chøng minh rằng phơng
trình a2_x2_{+ (a}2_{+ b}2_{- c}2_{)x + b}2_{= 0 lu«n lu«n v« nghiƯm.}

c. Cho tam giác ABC nhọn có 3 đờng cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui tại H.

Chøng minh r»ng: 6

1
1

1






<i>HC</i>
<i>HC</i>
<i>HB</i>

<i>HB</i>
<i>HA</i>

<i>HA</i>

. Dấu "=" xảy ra khi nào?
--- H

<b>t---ỏp ỏn thi chn hc sinh gii THCS cp tnh</b>

Môn: Toán 9

<b>Câu 1 </b>

a/ P = ₍ ₃ ₂₎₍ ₃ ₂₎ ₃ ₂ ₁

2
3

2
)
2
3
(
2
)
2
3
(












 _{(1 ®iĨm)}

b/ x4_-30x2_{+ 31x - 30 = 0 <=> (x}2_{- x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*) ( 0,25 điểm)}

Vì x2_{- x + 1 = (x - 1/2)}2_{+ 1/4 > 0} _{( 0,25 ®iĨm)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=>

_



























6

5

0

6

0

5

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

(1/2 ®iĨm)
c/ Ta cã:

VT =

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>








(*) (1/4 ®iĨm)

Tõ a + c = 2b => a = 2b – c thay vµo (*) ta cã (1/4 ®iĨm)

VT =

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i>





















2 (**)

(1/4 ®iĨm)
Thay b =

2

<i>c</i>

<i>a</i>



vµo (**) ta cã

VT =

_





<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

2

(

)

2

2

2

VP (Đpcm) (1/4 điểm)

d. Ta cã x3m+1_{+ x}3n+2_{+ 1 = x}3m+1_{- x + x}3n+2_{- x}2_{+ x}2_{+ x + 1 (0,25 ®iĨm)}

= x(x3m_{- 1) + x}2_(x3n_{- 1) + (x}2_{+ x + 1)} _{(0,25 ®iĨm)}

Ta thấy x3m_{- 1 và x}3n_{- 1 chia hết cho x}3_{- 1 do đó chia hết cho x}2_{+ x + 1 (0,25 điểm)}
 x3m+1_{+ x}3n+2_{+ 1 chia hết cho x}2_{+ x + 1 (0,25 im)}
<b>Cõu 2</b>

a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

2x2_{+ 4x = 19 - 3y}2_{<=> 4x}2_{+ 8x + 4 = 42 - 6y}2

<=> (2x + 2)2_{= 6(7 - y}2₎ _{(1/4 điểm)}

Vì (2x + 2)2

_

_{0 => 7 - y}2

_

_{0 => 7}

_

_y2_{mµ y}



_{Z => y =}₀_; _₁_; _₂

(1/4 ®iĨm)
+ Víi y =

_

1 => (2x + 2)2_{= 6(7 - 1) <=> 2x}2_{+ 4x - 16 = 0}

=> x1 = 4; x2 = -2.

+ Víi y =

_

2 =>2x2_{+ 4x - 7 = 0 => x}

1, x2 Z (loại) (1/4 điểm)

+ Với y = 0 =>2x2_{+ 4x - 19 = 0 => x}

1, x2 Z (loại)

Vậy cặp nghiệm (x, y) của phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1).

b. Ta cã:

9
)
3
(
4
1
)
3
(

3 2 2






 <i>x</i>

<i>x</i> = 4 – (x-3)2

Vì 3(x-3)2_{0 nên} ₃₍ ₃₎2 ₁

<i>x</i> 1

T¬ng tù : 4( 3)2 9



<i>x</i>  3

Do đó 3( 3)2 1 4( 3)2 9






 <i>x</i>

<i>x</i>  1 + 3 = 4

Mặt khác : 4 (x - 3)2_₄

Vậy vế trái “=” khi và chỉ khi x – 3 = 0
Từ đó ta có x = 3

Vậy nghiệm phơng trình x = 3

c/ Có A = ₂

)
1
(

1
1

2
3

2
)
1
(

1
)
1
(
2
)
1
2
2
(
3

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

(1/2 điểm)
Đặt y =

1
1

<i>x</i> => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2



2 (1/2 ®iĨm)

=> min A = 2 => y = 1 1

1

1





<i>x</i> => x = 2

VËy min A = 2 khi x = 2 (1/2 ®iĨm)

d/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này khơng phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn
nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x2_{ta đợc:}

M = ₁

2
1
2

1


 _










<i>x</i>

<i>x</i> (1/2 ®iĨm)

M đạt giá trị lớn nhất khi 2 1₂

<i>x</i>

<i>x</i>  nhá nhÊt => 2 1₂

<i>x</i>

<i>x</i>  = 2 => x = _1
VËy M lín nhÊt b»ng 1_/

3 khi x = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>C©u 3 </b>Ta cã P(x) = (x3₎3_{+ (x}33₎3_{= (x}3_{+ x}33_{)( x}6_{– x}36_{+ x}66₎

= (x + x11_)(x2_{– x}12_{+ x}22₎₍ _x6_{– x}36_{+ x}66_{) (1/4 ®iĨm)}

a/ Với x chẵn thì x9_{, x}99_{đều chẵn}

x lẻ thì x9_{, x}99_{đều lẻ}

=> x9_{+ x}99_{đều chẵn với mọi x nguyên dơng} _{(1/4 điểm)}

b/ Ta cã x11_{= 2048 nên x + x}11_{= 2050} _{(1/4 điểm)}

Vỡ x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100

VËy P(2) chia hÕt cho 100 (1/4 ®iĨm)

c/ Ta cã N = P(4) = 49_{+ 4}99_{= (2}9₎2_{+ (2}99₎2_{= (2}9_{+ 2}99₎2_{– 2 . 2}9_{. 2}99_{(1/4 ®iĨm)}

Theo câu b thì số bị trf có chữ số hàng đơn vị là 0 mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác 0 hay hiệu
của chữ số hàng đơn vị khác 0

Vậy chữ số đơn vị của N khác 0.

<b>C©u 4</b>

- Dựng A’ đối xứng với M qua Ox (1 điểm)
- Dựng B’ đối xứng với M qua Oy

- Nèi A’B’ cắt Ox tại A, cắt Oy tại B (1 điểm)
=> AM = AA’ (A



Ox trung trùc cña A’M)
BM = BB’ (B



Oy trung trùc cđa B’M)

(1/2 ®iĨm)
=> P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhá nhÊt

(v× A’, A, B, B thẳng hàng)

<b>Câu 5</b>: + Có SABC =

2

1

_{BC . AA’} _{(1/2 ®iĨm)}

+ Cã SHBC =

2

1

_{BC . HA’} _{(1/2 ®iĨm)}

+ Cã SHAC =

2

1

_{AC . HB’} _{(1/2 ®iĨm)}

+ Cã SHAB =

2

1

_{AB . HC’} _{(1/2 ®iĨm)}

+

AA'
HA'
ABC

S
HBC
S

 ;

BB'
HB'

ABC

S
HAC
S

 ;

CC'
HC'
ABC

S
HAB
S

 (1/2 điểm)

=> 1

ABC
S

ABC
S

ABC
S

HAB

S
HAC
S
HBC
S

Vậy

1

'

'

'

'

'

'

<i>CC</i>

<i>HC</i>

<i>BB</i>

<i>HB</i>

<i>AA</i>

<i>HA</i>

(1/2 điểm)

<b>Câu 6 </b>

a. Do a + b + c = 1 nên

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

1

1

1

1

1

1

(1/2 điểm)

Vậy

1

1

1



3

















3



2



2



2



9






















<i>b</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3

b. TÝnh biÖt sè

_

= [(a – b)2_c2_{][(a + b)}2_c2_]

(1/2 điểm)
Vì a + b > c > 0 vµ 0 < | a – b| < c

nªn (a – b)2_{< c}2_{=> (a – b)}2_{– c}2_{< 0}

3

x

y
O

M
A'

B'
A

B

A

B C

C'

B'

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

H
C₁

C
B₁

B A₁
A

vµ (a + b)2_{> c}2_{=> (a + b)}2_{– c}2_{> 0}

Do vËy

_

< 0 => Phơng trình vô nghiệm (1/2 điểm)

c. Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác. A
* Đặt S = SABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB.

Ta cã:

1
1

1
1

1
1

1
.

.
2
1

.
.
2
1

<i>HA</i>
<i>HA</i>
<i>HA</i>

<i>AA</i>
<i>BC</i>

<i>HA</i>
<i>BC</i>
<i>AA</i>
<i>S</i>

<i>S</i>







T¬ng tù:

1
2

1

<i>HB</i>
<i>HB</i>
<i>S</i>

<i>S</i>





1
3

1

<i>HC</i>
<i>HC</i>
<i>S</i>

<i>S</i>





Suy ra:

1 1 1 1 2 3

1 1 1

3

<i>HA</i> <i>HB</i> <i>HC</i>
<i>S</i>

<i>HA</i> <i>HB</i> <i>HC</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>

 

   _   _

  1 2 3 1 2 3

1 1 1

(<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> ) 3

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>

 

   _   _

 

Theo bất đẳng thức Côsy:

1 2 3

1 2 3

1 1 1

1 1 1

( ) 9

9 3 6

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>HA</i> <i>HB</i> <i>HC</i>

<i>HA</i> <i>HB</i> <i>HC</i>

 

   _   _

 

     

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

</div>

<!--links-->