Giai Toan dang Chia het Bac THCS

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

KẾT CẤU ĐỀ TAØI

<i>Phần thứ nhất</i>

: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG.

1. Tên đề tài: Hướng dẫn giải dạng “tốn chia

hết” trong chương trình tốn THCS.

2. Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu.

2.1. Lí do về mặt lí luận.

2.2. Lí do về mặt thực tiễn.

3. Đối tượng nghiên cứu.

4. Phạm vi nghiên cứu.

5. Mục đích nghiên cứu.

<i>Phần thứ II:</i>

NỘI DUNG

I. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài.

II. Thực trạng của vấn đề.

III. Giải quyết vấn đeÀ.

A. Cơ sở lý thuyết

<i> </i>

<i>1. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích</i><b>.</b>

<i> 2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.</i>

<i> 3. Đồng dư.</i>

<i> 4. Nguyên tắc đirichlê.</i>

<i> 5. Phương pháp chứng minh quy nạp.</i>

<i> 6. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.</i>

<i>Phần thứ II:</i>

NỘI DUNG

I. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài.

II. Thực trạng của vấn đề.

III. Giải quyết vấn đeÀ.

A. Cơ sở lý thuyết.

<i> B. Các dạng tốn.</i>

<i> Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số.</i>

<i> </i>

<i>Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số.</i>

<i> Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức </i>

<i>chứa chữ.</i>

<i> Dạng 4: Tìm điều kiện để 1 bài tốn chia hết cho </i>

<i>1 số hoặc chia hết cho 1 biểu thức.</i>

<i><b>Phần thứ III: KẾT LUẬN, KẾT QUẢ, KIẾN NGHỊ</b></i>

Trên đây là 1 số dạng “toán chia hết” thường gặp trong chương
trình tốn THCS. Mỗi dạng tốn có những đặc điểm khác nhau và cịn có
thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên. Việc phân dạng như trên giúp
học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán ta nên áp dụng
kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng tốn tơi chọn 1 số bài tốn cơ bản
điển hình để học sinh hiểu cách làm và từ đó để làm các bài tập mang tính
tương tự và dần nâng cao lên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Phần I:</b></i><b> NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI.</b>

<b>1. Tên đề tài: </b>

Hướng dẫn giải dạng “tốn chia hết”

_{Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết”}

trong chương trình tốn THCS.

trong chương trình tốn THCS.

<b>2. Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu </b>

<b>2.1. Lí do về mặt lí luận: </b>

Khả năng giáo dục của mơn Tốn rất to lớn,

nó có khả năng phát triển tư duy lơgíc, khái qt hố,

phân tích tổng hợp, so sánh dự đốn, chứng minh và bác

bỏ. Nó cịn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ,

suy luận, …

Ở bậc trung học cơ sở việc dạy dạng

<b>“toán </b>

<b>“tốn </b>

<b>chia hết”</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>2.2. Lí do về mặt thực tiễn:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>3. Đối tượng nghiên cứu:</b>

Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” cho học

sinh khá, giỏi trong chương trình tốn bậc trung học cơ

sở.

<b>4. Phạm vi nghiên cứu: </b>

Thời gian nghiên cứu từ ngày 10 tháng 9 năm

2009 đến ngày 14 tháng 10 năm 2011. Địa điểm tại

trường THCS Số 2 Bình Nguyên, Bình Sơn, Quảng

Ngãi gồm các khối lớp 6 đến lớp 9.

<b>5. Mục đích nghiên cứu: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>PHẦN THỨ II:</b></i> <b>NỘI DUNG</b>

<b>I. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài </b>

<i><b>Phương pháp giải tốn</b></i><b>: </b>Là tồn bộ những thủ thuật tốn được
sắp xếp theo trình tự nhất định và vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả
bài toán.

<i><b>Thủ thuật:</b></i> Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để
giải quyết một khâu hay cả bài toán.

<i><b>Giải bài toán</b></i><b>: </b>Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của
bài tốn. Muốn tìm ra ấn số phải là một q trình suy luận. Chính vì thế
nên gọi việc giải tốn là một q trình hoạt động trí tuệ của học sinh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>II. Thực trạng của vấn đề. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>1. Tính chất chia hết của một tổng, một </b></i>

<i><b>hiệu, một tích.</b></i>

a m

a b m

b m

















* Neáu

a m

a b m

b m

* Neáu



_













a m

a.b m

b m

* Neáu



_











</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.</b></i>

<b>* Dấu hiệu chia hết cho 2:</b>

Một số chia hết cho 2

khi và chỉ chi số ấy có chữ số tận cùng là chữ số chẵn

(0; 2; 4; 6; 8)

<b>* Dấu hiệu chia hết cho 5:</b>

Một số chia hết cho 5

khi và chỉ khi số ấy có chữ chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

<b>* Dấu hiệu chia hết cho 3:</b>

Một số chia hết cho 3

khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 3.

<b>* Dấu hiệu chia hết cho 9:</b>

Một số chia hết cho 9

khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>2. Dấu hiệu chia heát cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.</b></i>

<b>* Dấu hiệu chia hết cho 4:</b>

Một số chia hết

cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành

một số chia hết cho 4.

<b>* Dấu hiệu chia hết cho 8:</b>

Một số chia hết

cho 8 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập

thành một số (có 3 chữ số) chia hết cho 8.

<b>* Dấu hiệu chia hết cho 10:</b>

Một số chia hết

cho10 thì có chữ số tận cùng bằng 0 và đảo lại.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i><b>3. Đồng dư:</b></i>

* Hai số a và b đồng dư với nhau theo

môđun m (mod m) khi và chỉ khi a – b m.

⋮

* Có thể “cộng” hoặc “trừ” các đồng dư

thức có cùng môđun. Tức là: Nếu a

 b (mod m), c

 d (mod m) thì a  c  b  d (mod m).

* Có thể nhân từng vế các đồng dư thức có

cùng mô đun. Tức là: Nếu a

 b (mod m), c

 d

(mod m) thì a.c  b.d (mod m).

<i><b>4. Nguyên tắc đirichlê:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i><b>5. Phương pháp chứng minh quy nạp:</b></i>

Muốn chứng minh một khẳng định A_n đúng với mọi
n = 1,2,3, … ta chứng minh như sau:

* Khẳng định A₁ đúng.

* Giả sử khẳng định A_k đúng với mọi k  1, ta

cũng suy ra khẳng định A_k+1 đúng.

<i><b>Kết luận</b></i> : Khẳng định A_n đúng với mọi n = 1; 2; 3; …
<i><b>6. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng</b></i>

Muốn chứng minh khẳng định P đúng bằng phương
pháp phản chứng, ta làm như sau:

* Bước 1: Giả sử ngược lại P sai.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i><b>Bài tốn 1</b></i>: Tìm các chữ số a và b sao cho chia hết cho
5 và chia hết cho 8.

<i><b>Hướng dẫn:</b></i> Để tìm được a và b học sinh phải thấy được 2
dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và cho 8.

Vì chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b =
5.

Vì chia hết cho 8 nên suy ra b = 0.

Mặt khác chia heát cho 8 suy ra chia heát cho 4.
chia heát cho 4  chia heát cho 4.

Suy ra a  0, 2, 4, 6, 8}.

Ta có: chia hết cho 8  chia hết cho 8 nên a = 2
hoặc a = 6.

Nếu a = 2 thì b = 0 Nếu a = 6 thì b = 0
KL: Vậy số phải là 1920, 1960.

19ab
19ab
19ab
19a0 19a0
19a0
19a0

9a0
a0

<b>B. CÁC DẠNG TỐN.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<i><b>Bài tốn 2</b></i>: Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 vừa chia hết
cho 3 vừa chia hết cho 8. aaaaa96

<i><b>Hướng dẫn:</b></i> Vì aaaaa96 ⋮8  a96 ⋮8  100a + 96 8 suy

ra 100a 8 vậy a là số chẵn. Suy ra a ⋮  2, 4, 6, 8} (1).

Vì aaaaa96 3 ⋮  (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 ⋮

 5a + 15 3⋮

Maø 15 3 ⋮  5a 3 vaø (5; 3) = 1⋮

Suy ra a 3 vaäy a ⋮  3, 6 ,9} (2).

Từ (1) và (2) suy ra a = 6

Kết luận: Vậy số phải tìm là 6666696.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i><b>Bài tốn 3</b></i>

: Tìm chữ số a để

1aaa1 11



<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .

Tổng các chữ số hàng chẵn là 2a.

* Nếu 2a  a + 2  a  2

thì 2a – (a + 2) = a  2  9 – 2 = 7

Maø (a  2) 11 neân a

⋮

 2 = 0  a = 2

* Neáu 2a  a + 2  a  2

thì (a + 2)  2a = 2  a là 2 hoặc 1 không

chia hết cho 11.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<i><b>Bài tốn 4</b></i>

: Tìm các chữ số a, b để chia

hết cho 8 và 9.

1234ab

<i><b>* Caùch 1:</b></i>

+ Nếu 1234ab chia hết cho 8 thì dấu hiệu chia hết cho 8 ta có
4ab 8 hay 4ab = 400 + 10a + b = 8p (p ⋮  Z) (*)

Mặt khác nếu 1234ab 9 thì (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9 ⋮ ⋮

Hay (1 + a + b) ⋮ 9  1 + a + b = 9q (q Z) (2*)

Vì a và b là các chữ số nên a + b  18

Từ (2*) suy ra 9q  28 (q > 1) Vậy q = 2 hoặc q = 3

Trừ (*) với (2*) ta có 390 + 9a = 8p – 9q,
hay p = 49 + a + q + (a + q – 2) : 8

Vì p nguyên nên (a + q – 2) : 8 nguyên hay (a + q – 2)⋮ 8
+ Nếu q = 2 thì a = 0 hoặc a = 8

Từ (2*) ta có b = 9q – a – 10 do đó b = 8 hoặc b = 0
+ Nếu q = 3 thì a = 7 suy ra b = 10 (vơ lí vì b  9)

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<i><b>Bài tốn 4</b></i>

: Tìm các chữ số a, b để chia

hết cho 8 và 9.

1234ab

<i><b>* Caùch 2:</b></i>

1234ab = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab

Vì 1234ab chia hết cho 8 và 9 nên 1234ab chia hết cho 72.
Vậy 64 + ab chia hết cho 72.

Vì 64 < 64 + ab  163 nên 64 + ab = 72 hoặc 64 + ab = 144.

* Neáu 64 + ab = 72 thì ab = 08.
* Nếu 64 + ab = 144 thì ab = 80.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<i><b>Bài tốn 5</b></i>: Tìm các số a, b sao cho: a – b = 4 và 7a5b1 3

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Ta coù: khi và chỉ khi (7 + a + 5 + b + 1) ⋮3
Hay (a + b + 13) ⋮3  (a + b) chia 3 dö 2 (1).

Ta coù a – b = 4 neân 4  a  9; 0  b  5

 4  a + b  14 (2)

Mặt khác a – b là số chẵn nên a + b là số chẵn(3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: a + b  {8; 14}

* Với a + b = 8; a – b = 4 ta được a = 6; b = 2.
* Với a + b = 14; a – b = 8 ta được a = 9; b = 5.

Kết luận: Vậy các số phải tìm là a = 6; b = 2 vaø a = 9; b = 5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Bài tập tương tự :</b>

<i><b>Bài 1:</b></i> Phải viết ít nhất mấy số 1994 liên tiếp nhau để được một số
chia hết cho 3.

<i><b>Hướng dẫn:</b></i> Tổng các chữ số của 1994 là 23 khi chia cho 3 thì dư
2

Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ số của số
nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho 3. Để số nhận được
chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3, tức
là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp nhau.

<i><b>Bài 2:</b></i> Tìm 3 chữ số tận cùng của tích 4 số tự nhiên liên tiếp khác
khơng, bết rằng tích này chia hết cho 125. Tích này nhỏ nhất bằng
bao nhiêu?

<i><b>Hướng dẫn:</b></i> Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số
tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận cùng là
000.

Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp khơng thể có 2 số chia hết cho 5
nên phải có một số chia hết cho 125

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i><b>Bài toán 1:</b></i>

Chứng minh rằng: 21

39

+ 39

21

⋮

45.

* Cách 1: Ta có 2139 + 3921 = (2139 _ 1) + (3921 + 1)

Vì 2139 _ 1 = 20(2138+ 2137+ … + 1) chia hết cho 5

Và 3921 + 1 = 40(3920 _ 3919+ … +1) chia heát cho 5

Suy ra: (2139 _ 1) + (3921 + 1) chia hết cho 5

Mặt khác 2139 _ 3921 = (2139 _ 339) + (3921 _ 321) + (339 + 321)

Maø 2139 _ 339= 18(2138 + … +338) chia heát cho 9

2139 _ 339 = 36(3920 + … + 320) chia hết cho 9

Và 339 + 321= 321(318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9

Mà (5;9) = 1 neân 2139 + 3921 ⋮ 45

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>* Cách 2</b>: Vì 45 = 5.32 nên để chứng minh 2139 + 3921 chia

hết cho 45 thì ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 5.32

Ta coù: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39. 2038 + … + 39.20 + 1

= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21

= 3021+ 21.3020.9 + 9 + … + 21.30.920 + 921 = 10N + 9

Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho

5

Mặt khác 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339 + 1321.321

= 321.739.318 + 1321.321 = 321.(739.318 + 1321)

= (33)7 (739. 318+ 1321) chia hết cho 9

<i><b>Bài tốn 1:</b></i>

Chứng minh rằng: 21

39

+ 39

21

⋮

45.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>*Caùch 3</b> Ta có: 21 1 (mod 20)

39  1 (mod 20)

Vậy 2139 + 3921 _ 139 + (_1)21 _ 0 (mod 20)

Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia

hết cho 5 (*)

Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9

Keát luận: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45

<i><b>Bài tốn 1:</b></i>

Chứng minh rằng: 21

39

+ 39

21

⋮

45.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>Bài toán 2</b>: <i><b>Chứng minh rằng: 43</b><b>43</b></i> _<i><b> 17</b><b>17</b><b> chia hết cho 5</b></i>

Ta coù: 4343 = 4340. 433 = (434)10.433

Vì 433 có tận cùng bởi chữ số 1 (34 có tận cùng bởi 1) nên

(434) có tận cùng bởi chữ số 1 hay 4340 có tận cùng bởi chữ

số 1.

4343 có tận cùng bởi chữ số 7.

Vậy 4340.433 có tận cùng là chữ số 7.

Hay 4343 có tận cùng là chữ số 7

Ta coù 1717 = 1716.17 = (174)4.17

Vì 174 có chữ số tận cùng là 1 nên (174)4 cũng có chữ số tận

cùng là chữ số 1 hay 1716 có chữ số tận cùng là 1

Suy ra: 1716.17 có chữ số tận cùng là 7

Hai số 4343 và 1717 có chữ số tận cùng giống nhau

nên 4343 _ 1717 có chữ số tận cùng là chữ số 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Bài toán 3:</b> <i>Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260</i>

<i>Chứng minh rằng: A chia hết cho 3;7 và 15</i>.
Ta có: A = 2 + 22 + 23+…+ 260

= 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + … + 259(1 + 2)

= 3(2 + 22 + 23 +…+ 259)

= 3(2 + 22 + 23 +…+ 259) chia heát cho 3

Ta coù: A = 2 + 22 + 23 +…+ 260

= 2(1 + 2 + 22) + 24(1 + 2 + 22) + … + 258(1 + 2 + 22)

= 2.7 + 24.7 + … + 258.7

= 7(2 + 24 + … + 258) chia hết cho 7

Ta có: A = 2(1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) +

+ … + 257(1 + 2 + 22 + 23)

= 2. 15 + 25.15 + …+ 257.15

= 15(2 + 25 + … + 257) chia heát cho 15

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<i><b>Bài tập tương tự:</b></i>

<i><b>Baøi1</b></i> Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991.

Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41.
<i><b>Bài 2</b></i> Cho C = 119 + 118 + 11 7 + … + 11 + 1.

Chứng minh rằng C chia hết cho 5.
<i><b>Bài 3</b></i>Chứng minh rằng A chia hết cho B với:

A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003;

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ.</b>

<i><b>Bài toán 1</b></i> Chứng minh rằng: (n3 – n)⋮ 6 với n _ Z.

<i><b>*Cách </b>1:</i> Vì (2; 3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n3 – n chia hết

cho 2 và chia hết cho 3.

Ta coù n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n _ 1)

Mà n; n + 1; n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)(n1) ⋮2.

Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k;
3k + 1; 3k +2 (k  Z)

+ Nếu n = 3k thì n3 – n = (3k)2 _ 3k = 3k (9k2 – 1) ⋮3
+ Nếu n = 3k + 1 thì n3 – n = n(n + 1)(n _ 1)

= 3k(3k + 1)(3k + 2) ⋮3.

+ Nếu n = 3k + 2 thì n3 – n = n(n + 1)(n _ 1)

= (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<i><b>*Caùch 2</b></i>: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành
một trong các dạng sau 6p; 6p + 1; 6p + 2; 6p + 3; 6p + 4;
6p + 5 (do phép chia một số cho 6).

+ Nếu n = 6p thì n3 – n = 6p(6p + 1)(6p _ 1) ⋮6.

+ Nếu n = 6p + 1 thì n3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2) ⋮6.

+ Neáu n = 6p + 2 thì n3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1)

⋮6.

+ Nếu n = 6p + 3 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) ⋮6.

+ Nếu n = 6p + 4 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) ⋮6.

+ Nếu n = 6p + 5 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) ⋮6.

Vậy (n3 – n) 6 với n _⋮ _ Z.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<i><b>Bài toán 1</b></i> Chứng minh rằng: (n3 – n)⋮ 6 với n _ Z.

<i><b>*Cách 3:</b></i> Ta chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết

cho 3

Nếu n  0 (mod 2) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 2).

Nếu n  1 (mod 2) thì n3 – n  13 – 1  0 (mod 2).

Như vậy với n  Z, n3 – n  0 (mod 2) nghĩa là n3 – n ⋮

2.

Mặt khác:

+ Nếu n  0 (mod 3) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 3).

+ Nếu n  1 (mod 3) thì n3 – n  13 – 1  0 (mod 3).

+ Nếu n  2 (mod 3) thì n3 – n  23 – 2  0 (mod 3).

Với n  Z n3 – n  0 (mod 3) nghĩa là (n3 – n) ⋮ 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<i><b>Bài toán 2:</b></i> Chứng minh rằng chia hết cho 3. 2n 1.1.1...1.1_{     }

n chữ số 1

• Chú ý: Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng
số dư trong phép chia cho 9, do đó

• Ta có:2n 1.1.1...1.1 3n 1.1.1...1.1 n 3_{    }  _{    }  

n chữ số 1 n chữ số 1

1.1.1...1.1 n 9_{    }  

n chữ số 1

<i><b>Bài toán 3:</b></i> Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 ⋮ 27.

<i><b>* Caùch 1</b></i>: A = 10n + 18n – 1 = 10n _ 9n + 27n – 1

=

Mà 27n ⋮ 27 nên

Vậy 10n + 18n – 1 chia hết cho 27.

9.9.9...9.9 9n 27n 9(1.1.1...1.1 n) 27n

n chữ số 9 n chữ số 1

    

         

1.1.1...1.1 n 3 9(1.1.1...1.1 n) 27

n chữ số 1 n chữ số 1

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<i><b>Bài toán 3:</b></i> Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 ⋮ 27.

<i><b>Cách 2: </b></i>(Phương pháp quy nạp toán học)

+ Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là A_k = 10k + 18k _1 ⋮
27

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

Thaät vaäy A_k+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – 1 = 10k.10 + 18k + 18 – 1
A_k+1 = 10 (10k + 18k _1) – 9.18k + 27

A_k+1 = 10 (10k +18k _1) – 27.6k + 27
Maø 10(10k + 18k _1) ⋮ 27 _ A

k+1 ⋮ 27 vaø 27.6k ⋮ 27 ; 27

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<i><b>Bài toán 4:</b></i> Chứng minh: B = 7n +3n _ 1⋮ 9, _n _ Z+

<i><b>Cách 1: </b></i>(Dùng phương pháp chứng minh quy nạp)
+ Nếu n = 1 thì B = 7 + 3  1 = 9 ⋮ 9.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là B_k = 7k +3k _1 ⋮ 9.

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1.
Thật vậy: B_k+1 = 7k+1 = 3 ( k+1) _1.

B_k+1 = 7.7k + 3k + 3 _1

B_k+1 = 7.(7k + 3k _1) – 6.3k – 9

B_k+1 = 7.(7k + 3k _1) – 9.2k _ 9

B_k+1 ⋮ 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<i><b>Bài toán 4:</b></i> Chứng minh: B = 7n +3n _ ⋮ 9, _n _ Z+

<i><b>Cách 2:</b></i> Ta có : 7n + 3n _ 1 = (6 + 1)n + 3n _ 1

Vaäy 7n + 3n _1 9 mọi n nguyên dương.





n 1 n 1 2 n 2 n 1 n

n n n n

n 1 n 1 2 n 2 n 2 2 n 1 n

n n n n n

n 1 n 1 2 n 2 n 2 2 n 1 n

n n n n n

n n 1 n 1 n 1 2 n 2 n 2

n n

6 C .6 C .6 ... C .6 C 3n 1

6 C .6 C .6 ... C .6 C .6 C 3n 1

(3.2) C .(3.2) C .(3.2) ... C .(3.2) C .(3.2) C 3n 1
3 .2 C .3 .2 C .3 .2 .

  
   
   
   
       
        
        
   









n 2 2 2
n

2 n n 2 1 n 3 n 1 2 n 4 n 2 n 2 2

n n n

n n 2 1 n 3 n 1 2 n 4 n 2 n 2 2

n n n

.. C .3 .2 6n 1 3n 1
3 . 2 .3 C .3 .2 C .3 .2 ... C .2 9n

9. 2 .3 C .3 .2 C .3 .2 ... C .2 9n 9; n Z

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<i><b>Bài toán 5</b></i>: Chứng minh rằng122n + 1 + 11n + 2 ⋮133; _n _ N.

<i><b>Cách 1</b></i>: Vì n ở nên ta có thể phân tích và đưa về dạng
bội của 133.

Ta coù: 122n+1 + 11n+2 = (122)n.12 + 11n.112.

= 144n.12+ 11n.121

= 12.(144n – nn) + 12.nn + 121.nn

= 12.133.M + 133.11n.

Mỗi số hạng đều chia hết cho 133 nên 122n+1 + 11n+2

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<i><b>Bài toán 5</b></i>: Chứng minh rằng122n + 1 + 11n + 2 ⋮133; _n _ N.

<i><b>Cách 2</b></i>: (Dùng phương pháp quy nạp).

Với n =1 thì tổng 123 + 113 = (12 + 11).(122 _12 .11 + 112)

= 22.133 chia hết cho 133.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k.
Tức là 122k+1 + 11k+2 ⋮ 133.

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Thật vậy: 122k+3 + 11k+3 =144.122k+1 + 11k+3.

= 133. 122k+1 +11.122k+1 + 11k+3.

=133. 122k+1 +11.(122k+1 + 11k+2 ).

Vì 133.122k+1 ⋮ 133; 11.(122k+1 + 11k+2) ⋮ 133

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<i><b>Bài toán 5</b></i>: Chứng minh rằng122n + 1 + 11n + 2 ⋮133; _n _ N.

<i><b>Cách 3: </b></i>

Ta có: 122n+1 + 11n+2 =122n+1 + 11n+2 + 112(2n+1) _112(2n+1)

= [122n+1 + 112(2n+1)] _ [112(2n+1) _11n+2]

= 122n+1 + (112)2n+1 – (114n+2 _11n+2).

= [122n + 1 + (112)2n + 1] _ 11n+2(113n _1)

Vì 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112).P

⋮ 133.

Vaø 113n _1 = (113 _1).Q = (n _ 1)(n2 + 11 + 1).Q

= 10.133.Q _⋮ 133

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<i><b>Bài toán 5</b></i>: Chứng minh rằng122n + 1 + 11n + 2 ⋮133; _n _ N.

<i><b>Caùch 4:</b></i> Ta có 122n+1 + 12 + 122n + 12.144n

Vì 144 = 11 (mod 133) neân 144n _ 11n (mod 133)
 12.1442n _ 12.11n (mod 133).

Hay 122n+1 = 12.11n (mod 133)

Mặt khác: 121 = 12 (mod 133)

neân 121.11n = _12.11n (mod 133).

Từ đẳng thức: 122n+1 =12.11n (mod 133)

11n+2 = _12.11n (mod 133)
 122n+1 + 11n+2 _ 0 (mod 133)

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<i><b>Bài toán 5</b></i>: Chứng minh rằng122n + 1 + 11n + 2 ⋮133; _n _ N.

<i><b>Cách 5</b></i> : Với n =1 thì mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức 122n+1 + 11n+2

= 133m (m  N)

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là:
12(2k+1)+1 + 11k+1+2 = 133p ( p _N). (2*)

Thật vậy : Từ (*) suy ra: 122k+1 =133m – 11k+2

Ta coù 122k+3 – 11k+3 = 144.122k+1 + 11.11k+2

= 144.(133 m – 11k+2) + 11.11k+2

= 122 .133m + 11k+2(11 _ 144)

= 133.(144m – 11k+2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<i><b>Cách 1:</b></i> Vì 4.32n+2 + 32n _ 36 = 4.(32n+2 _ 8n _ 9) nên bài toán

đưa về việc chứng minh: 32n+2 + 8n – 9

⋮ 16

+ Nếu n chẵn, ta đặt n = 2k (k Z).

Khi đó: 32n+2 + 8n – 9 = 34k+2 + 16k _ 9 = 34k.32 – 9 + 16k

= 9(34k _ 1) + 16k = 9 (81k _ 1) + 16k ;

Vì hiệu (81k _ 1)

⋮ 80 nên (81k  1) ⋮ 16

Vậy khi n chẵn thì 4. 32n+2 + 32n _ 36 64

+ Nếu n lẻ, ta đặt n =2k + 1 (k Z).

Khi đó: 32n+2 + 8n _ 9 = 34k+4 + 16k _ 8 _ 9

= (34)k+1 _ 1 + 16k = 81k+1 _ 1 + 16k.

Vì hiệu (81k+1 _ 1) ⋮ 80 nên (81k+1 _ 1) ⋮ 16

Vậy với n lẻ thì 4.32n+2 + 32b – 36 ⋮ 64

Kết luận: Vậy với mọi số tự nhiên n; 4(32n+2 + 8n _ 9) ⋮ 64

<i><b>Bài toán 6:</b></i> Chứng minh rằng 4.32n+2 + 32n – 36

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<i><b>Bài toán 6:</b></i> Chứng minh rằng 4.32n+2 + 32n – 36

⋮ 64; n  N

<i><b>Caùch 2: </b></i>

+ Với n = 0 thì tổng 32.4 + 6 _ 36 = 0 ⋮ 64
Vậy mệnh đề đúng với n = 0

+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là 32k+2.4 _ 32k – 36 = 64p
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là 4. 32k+4 +
32k + 32 – 36 ⋮ 64

Thaät vaäy: 32k+4 .4 + 32k + 32 – 36 =

= 32k+2 .36 + 32k + 32 _ 36

= (32k+2 .4 + 32k _36) + 32.(32k+1 +1) (*)

Vì (32k+2 .4 +32k _ 36) là bội của 64. Theo giả thiết quy nạp, nên
chỉ cần chứng minh 32.(32k+1 +1) cũng là bội của 64.

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

<i><b>Bài toán 7:</b></i> Chứng minh rằng tích của k số ngun liên tiếp
thì chia hết cho k

Gọi k số nguyên lẻ liên tiếp laø: a; a + 1; a + 2; ...; a + k  1.

Tích của chúng là: a(a + 1)(a + 2). . .( a + k  1).

Ta cần chứng minh: a(a + 1)(a + 2). . .(a + 1  1) ⋮ k

+ Nếu a k thì bài tốn đã giải xong.

+ Nếu a khơng chia hết cho k thì a = qk + r (0 < r < k)
Thừa số (a + k + r) có mặt trong tích đang xét

và a + k  r = qk + r + k  r = k(q + 1) ⋮ k.

Điều đó chứng tỏ rằng trong tích đang xét ln ln tồn tại
một số k.

Từ đó suy ra: a(a + 1)(a + 2). . .(a + k  1) ⋮ k

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<i><b>Bài toán 8:</b></i> Cho a; b  Z, hãy chứng minh rằng:

Nếu 2a +3b 17 thì 9a + 5b ⋮ 17 và ngược lại.
<i><b>Giải:</b></i>

<i><b>* Chứng minh: Nếu (2a + 3b) </b></i>⋮<i><b> 17 thì 9a +5b </b></i>⋮<i><b> 17</b></i>
Nếu (2a + 3b) ⋮ 17 thì 8(2a + 3b) ⋮17

Rõ ràng (34a + 34b) ⋮ 17

Vaäy (34a + 34b) – (16a + 24b) = 34a + 34b  16a – 24b

= 18a + 10b = 2 (9a + 5b) ⋮ 17 vì (2; 17) =1
Neân 9a + 5b ⋮ 17

<i><b>* Chứng minh: Nếu ( 9a + 5b) </b></i>⋮<i><b> 17 thì (2a + 3b ) </b></i>⋮<i><b> 17</b></i>
Ta có : (34a + 34b) ⋮ 17

Theo giả thiết ( 9a + 5b) ⋮ 17  2 ( 9a + 5b) ⋮17.

Hay (34a + 34b) – 2( 9a + 5b) = 34a + 34b 18a 10b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

<i><b>Bài toán 9:</b></i> Chứng minh rằng: Nếu a; b  N sao cho 5a + 3b

vaø 13a + 8b ⋮ 1995 thì a và b chia hết cho 1995.

+ Theo giả thiết 5a + 3b ⋮ 1999  8( 5a + 3b) ⋮ 1995

13a + 8b ⋮ 1995  3(13a +8b) ⋮ 1995

Hay 8(5a + 3b)  3(13a + 8b) = 40a + 24b  39a + 24b

= a ⋮ 1995

+ Theo giả thiết 5a + 3b ⋮ 1995  13(5a + 3b) ⋮ 1995

13a + 8b ⋮ 1995  5(13a + 8b) 1995

Hay 5(13a + 8b)  13(5a + 3b) = 65a + 40b  65a  39b

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

<i><b>Bài tập tương tự:</b></i>

<i><b> </b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i> Chứng minh rằng:

a) 10n + 72n 1 91.⋮

b) 22n +15n 1 9 với mọi n nguyên dương.⋮

<i><b>Bài 2</b></i>: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì:
(n + 19931994)(n + 19941993) ⋮ 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<b>Dạng 4: Tìm điều kiện để 1 bài tốn chia hết cho 1 số </b>
<b>hoặc chia hết cho 1 biểu thức.</b>

<i><b>Bài tốn 1:</b></i> Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 4 ⋮ n + 1

Ta coù :

để (n2 + 4) ⋮ (n+1) thì 5 ⋮ n +1 hay n + 1 _ Ư(5).

Mà Ư(5) ={1; 5}

* n + 1 = 1  n = 0 (thoả mãn)

* n + 1 = 5  n = 4 (thoả mãn).

Vậy với n = 0; n = 4 thì n2 + 4 ⋮ n + 1

2 2

n 4 n 1 5 (n 1)(n 1) 5 5
n 1

n 1 n 1 n 1 n 1

     

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

<i><b>Bài toán 2:</b></i> Tìm số tự nhiên n để: 32n+3 + 24n +1 ⋮ 25

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Đặt A = 32n+3 + 24n +1 = 27.32n + 2. 24n = 25.32n + 2(32n+ 24n)

= B(25) + 2(9n + 16n)

+ Nếu n lẻ thì 9n +16n ⋮ 25 do đó A ⋮ 25

+ Nếu n chẵn thì 9n tận cùng bằng 1, còn 16n tận cùng

bằng 6. Suy ra 2( 9n +16n) tận cùng bằng 4.

Vậy A không chia hết cho 25

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

<i><b>Bài tốn 3:</b></i> Cho đa thức f(x) = a2x 3 + 3ax2 _ 6x _ 2a (a _Q).

Xác định a sao cho f(x) ⋮ (x +1)
<i><b>+ Cách 1:</b></i> Đặt phép chia đa thức.

a2x3 + 3ax2 _ 6x _ 2a =

= (x + 1)a2x2 + (3a – a2)x + (a2 _ 3a _ 6) + (_a2 + a + 6)

Để f(x) _⋮ (x+1), ta phải có: a2+ a + 6 = 0  (a + 2)(3  a) = 0
 a + 2 = 0 hoặc (3  a) = 0 nên a = 2; a = 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

<i><b>+ Caùch 2</b>:</i> Dùng phương pháp hệ số bất định.

Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc nhất nên
thương là một đa thức bậc 2 có hạng cao nhất: a2x3 : x = a2x2,

số hạng thấp nhất là 2a : 1 = 2a. Gọi thương của phép chia

là: a2x2 + bx _ 2a.

Ta coù: f(x) = (x + 1)(a2x2 + bx _ 2a)

 a2x3 + 3ax2  6x  2a = a2x3 + (a2 + b)x2 + (b  2a)x  2a
 a2 + b = 3a vaø b  2a = 6

Giải hpt ta được a = 2 thì b = 10 và a = 3 thì b = 0.

<i><b>Bài tốn 3:</b></i> Cho đa thức f(x) = a2x 3 + 3ax2 _ 6x _ 2a (a _Q).

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

<i><b>Bài toán 3:</b></i> Cho đa thức f(x) = a2x 3 + 3ax2 _ 6x _ 2a (a _Q).

Xác định a sao cho f(x) ⋮ (x +1)

<i><b>+ Cách 3:</b></i> Gọi thương của phép chia f(x) cho (x + 1) là q(x).

 a2x3 + 3ax2  6x  2a = (x + 1).q(x).

Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = 1 ta được.
a2 + 3a + 6  2a = 0 ø a2 + a + 6 = 0  a = 2; a = 3

Với a = 2 thì f(x) = 4x3  6x2  6x + 4

q(x) = 4x2 _10x + 4

Với x = 3 thì f(x) = 9x3 + 9x2 _ 6x _ 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

<i><b>+ Bài tập tượng tự:</b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i> Tìm k để k(k2 _ 1) (k2 _ 4) ⋮ 480

<i><b>Hướng dẫn:</b></i> Để ý rằng tích của năm số ngun liên tiếp thì chia hết
cho 120.

Đáp số: k = 8t, k = 4t + 2, k =16t + 1, k =16t  1

<i><b>Bài 2:</b></i> Tìm n để 5n _ 2n ⋮ 9

<i><b>Hướng dẫn:</b></i> Lần lượt xét n = 3k ,n = 3k + 1, n = 3k + 2
Chỉ có n = 3k thì 5n _ 2n _⋮ 9

<i><b>Bài 3:</b></i> Xác định các hằng số a; b để:

a) x4 + ax2 + b ⋮ x2 – x + 1.

b) ax3 + bx2 + 5x – 50 ⋮ x2 + 3x _ 10

<i><b>Hướng dẫn:</b></i> Thực hiện phép chia.

a) x4 + ax2 + b = (x2 – x + 1) (x2 + x + a) + (a _ 1) x + b – a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

<b>PHẦN THỨ III: KẾT LUẬN, KẾT QUẢ, KIẾN NGHỊ.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Trên đây là 1 số dạng “tốn chia hết” thường gặp trong chương trình
tốn THCS. Mỗi dạng tốn có những đặc điểm khác nhau và cịn có
thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên. Việc phân dạng như
trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán ta
nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng tốn tơi chọn 1 số
bài tốn cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm và từ đó để làm
các bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao lên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52></div>

<!--links-->