Tài liệu DE THI CHON DOI TUYEN HSG TINH

ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1
a. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

3 3 3
2
3
2( )
x y z xyz
x y z

− − =


= +


b. Biết p
1
và p
2
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp
Chứng minh:
1 2
1
( )
2
A p p= +
là hợp số

Bài 2:
Cho các số nguyên : x, y,a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=
2 2 2
( ) 6( ) 16 8 2 8 10x ay x ay x y xy x y− + − + + − + − +
Bài 3:
Giải phưong trình:
2
2 2
4 8
4
x
x x+ − = −
Bài 4:
Cho đường tròn (O, R) đường kính BC; A là điểm di động trên cung BC.
Gọi (I, r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
a. Tìm quỹ tích điểm I khi A di động trên cung BC;
b. Đặt S= S
ABC
. Tính r theo R, S.
c. Biết AB
≤
AC . Chứng minh rằng: r
≤
R
( 2 1)−
HƯỚNG DẪN CHẤM
CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Môn Toán 9

BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
Bài 1
6 điểm
a) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình
3 3 3
2
3
2( )
x y z xyz
x y z

− − =


= +


Từ
3 3 3
3x y z xyz− − =

;x y x z⇒ > >
Từ
2
2( )x y z= +
=> x chẵn và
2
2( ) 4 2x y z x x= + < ⇒ =
Thay vào
2

2( )x y z= +
ta có y = z =1
Vậy nghiệm của hệ là x=2; y=z=1.
1
1
1
b) Không mất tính tổng quát giả sử:
1 2
2 p p< <
*
1 2
2
p p
N
+
⇒ ∈
(trong đó
1 2
;p p
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp)
1 2
1 2
2
p p
p p
+
⇒ < <
1 2
2
p p+

⇒
là hợp số (vì
1 2
2
p p+
nằm giữa hai số nguyên tố liên
tiếp)
0,5
0,5
1
1
Bài 2
3 điểm
Viết lại A=
2 2
( 3) ( 4 1) 0x ay x y− + + − + ≥
Đẳng thức xẩy ra
3 0
4 1 0
x ay
x y
− + =

⇔

− + =


( 4) 2a y⇒ − =
2

4
4
a y
a
⇒ ≠ ⇒ =
−
=> a- 4 là ước của 2
=>a= 2; 3; 5; 6. từ đó suy ra được giá trị của y
(a, x, y) = (2; -5; -1); (3; -9; -2); (5; 7; 2) ; (6; 3; 1) thì minA=0
1
0,5
1
0,5
Bài 3
3 điểm
Giải phương trình:
2
2 2
4 8
4
x
x x+ − = − (1)
Điều kiện
2 2 2x≤ ≤
Đặt
2
2
1
4
x

y= +
(1) trở thành
2 2 2
1 4 4 4y y y+ + = −
2
1 4 4y y⇔ + = −

3
4
y⇔ =

5
2
x⇔ = ±
(Tmđk)
0,5
0,75
0,75
1
Bài 4
8 điểm
Vẽ hình đúng 0,5
a) Gọi K là giao điểm của AI với
(O). Ta có
∠
BAI = 45
0
nên khi A
di động trên cung BC thì K cố định
Ta có

∠
IBK=
∠
BIK=
1
ˆ
ˆ
( )
2
A B+
BIK⇒ ∆
cân tại K =>BK=KI=KC
=> I
( ; )K KB∈
phần nằm trong nữa
đường tròn (O) và cung đối xứng
của nó qua BC
O
C
B
A
K
I
M
N
1
1
1
b)
2

ABC AMIN BIC
S S S S= = +
2
.S r r BC⇔ = +
2
.2S r r R⇔ = +
2 2
( )r R S R⇔ + = +
hay
2
r S R R⇔ = + −
1
1
1
c)
1 1 1
( ) ( 2 ) .
2 2 2
ABC
S r b c a r b c R b c= + + = + + =


2
bc
r
b c R
⇔ =
+ +
(*)
Ta có

2 2
2 2R a b c bc= = + ≥
2b c bc+ ≥
(*) =>
1 2 1
2 ( 2 )2 2
(2 2 ) 2 2( 2 1)
r bc bc
R b c R R
bc bc bc
−
= ≤ = =
+ +
+ +
( 2 1)r R⇔ ≤ −
0,5
0,5
1
LƯU Ý: - Các cách giải khác đúng, hợp lí vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài chấm xong là tròn đến nữa điểm.