DE VA DAP AN THI HSG TOAN 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> Đề thi chon i tuyn hc sinh gii lp 8</b>

<b>Năm học: 2009-2010</b>

<b>Môn: Toán</b>

<i><b>(Thời gian làm bài:120 phút </b></i>

<i><b> Vòng 1)</b></i>

<b>Bài 1(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x</b>

4

_+6x

3

_+11x

2

_+6x

1/ Phân tích f(x) thành nhân tử.

2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 luôn có giá trị là

số chính phơng.

<b>Bài 2 (3 điểm): </b>

a)Cho x,y,z là những số nguyên khác 0 và a=x

2

_{-yz; b=y}

2

_{-xz; c=z}

2

_{-xy. Chứng}

minh rằng

ax+by+cz chia hết cho a+b+c.

b)Tìm các cặp số tự nhiên (x,y) thoả mÃn phơng trình.

(x+1) y = x

2

₊₄

<b>Bài 3(1,5 điểm):</b>

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x+y+z; Biết rằng x; y; z là

các số thực thoả mÃn điều kiện y

2

_{+ yz + z}

2

_{= 2 -}

2
3<i>_x</i>2

.

<b>Bài 4(3 điểm):</b>

a)Cho tam giỏc ABC. O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E,

F, M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, BC, CA, OA, OB, OC. Chứng minh các

đoạn thẳng EM, FN, DP đồng quy.

b)Cho tam giác ABC (AB<AC). Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam

giác ABD cân tại B và tam giác ACE cân tại C sao cho góc ABD = góc ACE. Gọi M

là trung điểm của BC. HÃy so sánh MD và ME.

H v tờn thớ sinh:

..; S báo danh:

………

Chú ý:Ngời coi thi khơng đợc giải thích gì thờm.

<b>Đáp án, biểu điểm môn toán</b>

<b>Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 </b>

<b> vòng I</b>

<b>Năm học 2009 </b>

<b> 2010</b>

<b>Bài</b> <b>Néi dung</b> <b>§iĨm</b>

<b>1.</b>Lần lợt phân tích để có kết quả f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)

...
………

...

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1(2,5 ®) 2.Tõ kÕt quả ở câu 1 ta có:

+ f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + 1 = (x2_+3x)(x2_{+ 3x+2) + 1}
+ Đặt x2_{+ 3x = t; ta cã A=t(t+2)=t}2_+2t+1=(t+1)2

+ do x

_

Z nên t=x2_+3x

_

_{Z ;do đó (t+1)}2

_

_{Z và (t+1)}2_{là số chính phơng.}
+ KL :với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) +1 là s chớnh phng

0,5

0,75
0,25

2(3đ)

<b>a,(</b>1,5) ta có: ax+by+cz = x3_+y3_+z3_-3xyz.

Mà :

x3_{+ y}3_+z3_{-3xyz = (x+y)}3_-3xy(x+y)+z3_{-3xyz =}
= (x+y+z)( x2_+y2_+z2_{-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)=}
=(x+y+z)(x2_+y2_+z2_-xy-yz-zx).

x3_{+ y}3_+z3_{-3xyz = (x+y+z)( x}2_+y2_+z2_-xy-yz-zx).
Mặt khác: a+b+c = (x2_+y2_+z2_-xy-yz-zx).

T ú ta cú : ax+by+cz chia hết cho a+b+c (đpcm).

<b>0,25</b>

<b>1®</b>
<b>0,25</b>

b,(1,0đ) Ta có : (x+1)y= x2₊₄_ _(x+1)y-(x2_-1)=5_ _{(x+1)(y-x+1)=5}
Do đó : x+1



N và là ớc của 5 Suy ra x+1=1;5

Suy ra x=0,4. Thử trực tiếp ta đợc các cặp số tự nhiên (x,y) thoả đề là (0;4);
(4;4).

<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>

<b>3(1,5®)</b>

+Ta cã y2_+yz+z2

=2-2
3<i>_x</i>2

 2y2_+2yz+2z2_=4-3x2
 3x2_+2y2_+2yz+2z2_{=4 (1)}

 x2_+y2_+z2_{+2xy+2xz+2yz+x}2_-2xy+y2_+x2_-2xz+z2₌₄
 (x+y+z)2_+(x-y)2_+(x-z)2₌₄

+Do (x-y)2_₀_{; (x-z)}2__{0 nªn tõ (*) suy ra (x+y+z)}2_₄

Hay -2_x+y+z_2

+Dấu

“ ”

<i><b>=</b></i>

xảy ra khi x-y=0 và x-z=0 hay x=y=z
Thay vào (1) ta đợc 9x2_{= 4} _ _{x =}

3
2

hoặc x=

-3
2

+KL: Với

x=y=z=-3
2

thì min B = -2
Víi x = y = z =

3
2

th× max B = 2

<b>0,25</b>

<b>0,5</b>

<b>0,25</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>4(3đ)</b>

a.(1,5đ) Vẽ hình chính x¸c

Học sinh chứng minh đợc MF//NE; MF=NE (Tính chất đờng trung bình)
Suy ra MFEN là hình bình hành nên EM, FN cắt nhau tại một trung điểm I
của chúng.

Chứng minh tơng tự: MDEP là hình bình hành nên ME, DP cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đờng.

Từ đó suy ra DP, ME, NF đồng quy tại I.

<b>0,5®</b>

<b>0,5®</b>
<b>0,5®</b>

b.(1,5®)

*VÏ hình chính xác

Dựng hình bình hành ABFC

Hc sinh chng minh đợc <i>BDF</i> <i>CFE</i>(<i>c</i>.<i>g</i>.<i>c</i>) <i>FD</i><i>FE</i>
Trên cạnh CA lấy điểm A1, trên cạnh CE lấy điểm C1 sao cho

CA1=CC1 <i>A</i>1<i>CC</i>1 <i>ABD</i>(<i>c</i>.<i>g</i>.<i>c</i>) <i>A</i>1<i>C</i>1 <i>BD</i>.Dựng hình bình hành
AEGA1 do tam giác ACE cân tại C nên góc CAE<900, suy ra góc AEG>900

do đó góc CAE= góc AEC< góc AEG suy ra A1C1<A1G hay DA<AE. Xét
hai tam giác AFD và AFE suy ra góc AFD = góc AFE. Xét 2 tam giác MFD
và tam giác MFE suy ra MD<ME.(đpcm)

<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>0,5</b>

<b>0,5</b>

</div>

<!--links-->