Bai Tap chuan kien thuc GT12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (320.79 KB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
 a) Điều kiện đủ:

- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b)  f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b)  f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
 b) Điều kiện cần.

- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)  f’(x) 0 trên khoảng (a ; b).

- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)  f'(x)0trên khoảng (a ; b).

2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm TXĐ của hàm số.

- Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
- Lập bảng xét dấu y’.

- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.

 Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng 
 Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c

. Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu a.

. Nếu  0 thì f(x) ln cùng dấu a

a

b
x





. Nếu 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 . Ta có bảng xét dấu sau:

x -



x1 x2 +



f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

 Đặc biệt: +





















0 )(

x

R

a

xf





















0 )(

x

R

a

xf

+ af()0 f(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 <



< x2 .

BÀI TẬP
1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số.

a) y = 4 + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + 2 c) y = - 3 7 1
3

1 3 2




 x x

x d) y = x3 + 3x + 1

e) y = 2 3

4x3 x2 x f) y = x4 – 2x2 + 3 g) y = -x4 + 2x2 – 1 h) y = x4 + x2

k) y =
x
x




1
3

l) y =

1
1



x
x

m) y =

1
1




x

x
x

n) y = x +
x

p) y = 4 x2

 q) y = x2  x 20 r) y = x + 1 x2 s) y = x + x2 1
2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R.

a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS : 1
3




</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – 1 ĐS : m = 
2
1

3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ

a) y = ( 2) ( 8) 1

2
3









 x m x m x ĐS :  1m4

b) y = (3 2) 3

3
)
1

( 3 2







x
m
mx

x
m

ĐS :

2
1


m
4. Tìm m để các hàm số :

a) y =
m
x
mx


1

đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : m < -1 hoặc m > 1
b) y =

m
x

m
mx




 10

nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : 2
2




 m

5. Chứng minh rằng :

a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến trên








3
;

0  và nghịch biến trên 











;

3 .

b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nữa khoảng 







2
;
0 

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x0(a;b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) x(x0  h;;x0 h) và xx0 thì ta nói hàm số f(x) đạt

cực đại tại x0.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) x(x0  h; x0 h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt

cực tiểu tại x0.

* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên

K \{x0}, với h > 0. Khi đó:

a) Nếu























)

;

(

,0

)

('

)

;

(

,0

)

('

0
0

h

x

f

x

h

x

f

thì x0 là điểm cực đại của f(x).

b) Nếu























)

;

(

,

,0

)

('

)

;

(

,0

)

('

0
0

h

x

f

x

h

x

f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).

* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0. Khi đó:

a) Nếu











0 )

(

"

0 )

(

'

x

f

x

f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).

b) Nếu











0 )

(

"

0 )

(

'

x

f

x

f

thì x0 là điểm cực đại của f(x).

* Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
Quy tắc 1:

1. Tìm TXĐ

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Quy tắc 2.
1.Tìm TXĐ

2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) và f”(xi).

4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi .

BÀI TẬP
1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số.

a) y = x2 – 3x – 4 b) y = 2x3 – 3x2 + 1 c) y = x 4x
3

1 3

 d) y = x3 – 3x2 +3x

e) y = 4 1

1 4 2


 x

x f) y = 4 2

4
1

x
x 

 g) y = x3(1 – x)2 h) y =

1
2



x
x
k) y =

2
2


x

x

l) y = x +
x

m) y =

1
2
2





x
x
x

n ) y =

1
3



x

x
x
p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ;



]

2. Tìm m để hàm số :

a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m 0

b) y = 2 (3 1) 1

2
3





 x m x

x
m

có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 1; 0
3






 m m

c) y =

1
2





x
mx
x

có cực đại và cực tiểu. ĐS : m < 3
d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị. ĐS : m > 0

e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1

f) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1

g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2

h) y =

m
x

mx
x




 1

đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3
k) y =

1
1






x
m
mx
x

đạt cực tiểu tại x = 1
3. Cho hàm số y =

1
2



x

x
x

(1)

a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

- Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu : f(x)M,xDvàx0 D: f(x0)M
Kí hiệu : M = maxD f(x).

- Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu : f(x)m,xDvàx0D: f(x0)m
Kí hiệu : m = minD f(x)

* Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại max[a;b] f(x),min[a;b] f(x).
* Cách tìm :

1. Tìm các điểm x1, x2, ….., xn trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) khơng xác định.

2. Tính f(a), f(x1), ……., f(xn), f(b).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BÀI TẬP
1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.

a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]

c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [1 ; 4]

e) y = x +
x

trên khoảng (0 ; +) f) y = x -

x

trên nữa khoảng (0 ; 2]
g) y =

1
1



x
x

trên đoạn [2 ; 5] h) y =

2
4
5

2 2




x

x

trên đoạn [-3 ; 3].
k) y = 6 3x trên đoạn [-1 ; 1] l) y = 100 x2 trên doạn [-8 ; 6]

m) y = (x + 2). 1 x2

 n) y =

1
1

2


x
x

trên doạn [1 ; 2]
p) y = x + 4 x2

 q) y = 3x 6 x
r) y = 2.cos2x4sinx trên 







2
;

0  s) y = 2sinx - sin3x

3
4

trên [0;]

u) y = sin2x + 2sinx – 1 t) y = cos22x = sinxcosx + 4

o) y = sin4x + cos2x + 2 w) y = x – sin2x trên









  ;

2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất.

3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là
48cm2.

4. ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.
 a) Công thức chuyển hệ tọa độ:

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vec tơ OI (x0;y0)là :















0
0

y

Y

y

x

X

x

b) Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ IXY:
Y = f(X + x0 ) – y0

BÀI TẬP

1. Xác định đỉnh I của (P) : y = x2 – 4 x + 3. Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo

OI và viết phương trình của (P) đối với hệ tọa độ IXY.

2. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hồnh độ của điểm I là nghiệm của
phương trình f’’(x) = 0.

b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI và viết phương trình của (C) đối với

hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C).
3. Cho đường cong (C) : y = 1 -

1
1



x và điểm I(-1 ; 1). Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép
tịnh tiến theo OI và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối

xứng của (C).

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
 a) Tiệm cận đứng.

Nếu    


 ( ) ; lim ( )

lim

0
0

x
f
x

f

x
x
x

x hoặc    


 ( ) ; lim ( )

lim

0
0

x
f
x

f

x
x
x

x thì đường thẳng

x = x0 là tiệm cận đứng của (C).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Nếu xlim f(x) y0



 hoặc xlim f(x) y0 thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C).

c) Tiệm cận xiên.

Nếu lim



( ) (  )



0



 f x ax b

x hoặc xlim



f(x) (axb)



0 thì đường thẳng y = ax + b ( a 0) là

tiệm cận xiên của (C).

BÀI TẬP.
1.Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số.
a) y =

1
2

2
3



x
x

b) y =

4
3




x
x

c) y =

3
5





x
x

d) y =

4
1

2
2




x
x
x

e) y =

1
2

2


x
x
 2. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số.

a) y = x – 2 +

1
1



x b) y = 1


x

x

c) y =

1
2

4
2

3 2





x
x
x

d) y = x +



x
x

6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

1/ Các bước khả sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
1o Tìm TXĐ.

2o Xét sự biến thiên.

a) Giới han – Tiệm cận.
b) Lập bảng biến thiên.
3o Vẽ đồ thị.

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)

- Xác định một số điểm dặc biệt của đồ thị ( Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
- Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng.

2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

a > 0 a < 0

Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt.

-2
O

-2

Pt y’ = 0 có
nghiệm kép

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Pt y’ = 0 vô
nghiệm

BÀI TẬP
Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

1. y = x3 – 3x2 + 1 2. y = -x3 + 3x + 2 3. y = 2x3 – 3x2 +1 4. y = x 4x
3

1 3


5, y = x3 – 3x2 + 3x + 1 6. y = -x3 – 3x + 2

3/. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0)

a > 0 a < 0

Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt

-2

Pt y’ = 0 có
một nghiệm

-2

BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :

1. y = x4 – 2x2 – 3 2. y = -x4 + 2x2 – 1 3. y = 4 1
2

1 4 2


 x

x 4. y = 4 2

4
1

x
x 


5. y = x4 + 2x2 – 3

4/. Hàm số y = ( 0,  0)




bc
ad
c

d
cx

b
ax

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

-2

BÀI TẬP
Khào sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y =

1
2



x
x

2. y =

1
1
2





x
x

3. y =


x

x

4. y =
x
x 2

5. y =

2
2


x

5/. Hàm số y = ( . ' 0, 0)

'
'
'














r
a
a
b
x
a

r
q
px
b

x
a

c
bx
ax

a.a’ > 0 a.a’ < 0

Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân biệt

-2

-4

-2

-4

Pt y’ = 0 vơ
nghiệm

-2
O

-2

BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :

1. y =

1
2
2





x
x
x

2. y =


x

x

3. y =

1
3



x

x
x

4. y =

1
3



x
x

5. y = - x +

x

6. y =

2
3
2




x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

7. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
 1/ Giao điểm của hai đồ thị.

Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiêm của phương trình
f(x) = g(x) (1)

Do đó số nghiệm phân biệt của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
 2/ Sự tiếp xúc của hai đương cong.

a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M0(x0 ; y0) nếu chúng có tiếp

tuyến chung tại M0. Khi đó M0 gọi là tiếp điểm.

b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình









)

('

)

('

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

có nghiệm
Nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm.

3/ Tiếp tuyến.

a) Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C).

Phương trình là : y = y’(x0)(x – x0) + y0

b) Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M0(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là :

y = y’(x0)(x – x0) + y0
Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 và y0 .

c) Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; yA).

Phương trình của (d) đi qua A có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA

(d) tiếp xúc (C)

















k

x

f

y

x

k

x

f

A A

)

('

)

(

)

(

có nghiệm.

Nghiêm của hệ là hồnh độ tiếp điểm.

BÀI TẬP
1.Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị :

a) y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1 b) y = x3 + 3x2 + 1 và y = 2x + 5

c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – 3 và y = x2 + 1

2. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y = (x – 1)(x2 + mx + m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 khơng cắt trục hồnh.

c) y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt.

3. Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =

1
1
2



x

x
.
a) Tại hai điểm phân biệt.

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

4. Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =

1
3
3
2 2




x

x
x

.
a) Tại hai điểm phân biệt.

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

5. Tìm m để đường thẳng đi qua A(- 1 ; - 1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y =

1
2



x
x

.
a) Tại hai điểm phân biệt.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

6. CMR: (P): y = x2 – 3x – 1 tiếp xúc với (C) : y =

1
3
2






x
x
x

.
7. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y =



x

m
x

tiếp xúc với đường thẳng y = - x + 7
b) y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành.

c) y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.

BÀI TẬP.

1. Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hồnh độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)
b) Tại điểm có tung độ bằng -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.

d) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.

2. Cho (C) : y =

2
2




x
x

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.

c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x.

d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.
3.Cho (C ) : y =

1
1




x

x
x

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):
a) Tại điểm có hịanh độ x = 2.

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.

c) Vng góc với tiệm cận xiên.

4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)

b) y =

2
3
3
2

1 4 2


 x

x đi qua điểm A(0 ; )

2
3

.
c) y =

2
2




x
x

đi qua điểm A(-6 ; 5)
d) y =

2
5
4




x

x
x

đi qua điểm A(2 ; 1).

TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)

c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó.

2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x3 – 3x + m = 0.

c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hịanh độ x0 = 1.

3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng y = 2
24



 x

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

5) Cho hàm số y = 1
3

1 3 2


 x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)

6) Cho hàm số y = 1

1x3 x2 x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hòanh.
7) Cho hàm số y = x3 + x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + 1 – m = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hịanh độ x = 2

2) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
3) Cho hàm số y =

2
3
3
2

2
4


 x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; )
2
3

4) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0).

5) Cho hàm số y = 2 1

1 4 2


 x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1)Cho hàm số y =

1
1




x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 1
2) Cho hàm số y =

1
1
2



x

x
.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hịanh độ x = -2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
y = -x + 2

3) Cho hàm số y =

x
x


1
2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

4) Cho hàm số y =
x
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hịanh.
c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt.

5) Cho hàm số y =

4
4


x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

b) Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân
biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4 ; 4).
1.Cho hàm số y =

1
3
3




x

x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m só nghiệm của phương trình: x2 + (3 – m)x + 3 – m = 0.

c) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
2. Cho hàm số y =

x
x
x





1
1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(0, -1).

c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) song song với tiệm cận xiên của (C)
3. Cho hàm số y =

1
)
2

( 2



x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Gọi (d) là đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc là m . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân
biệt.

c) Chứng minh rằng tích các khỏang cách từ một điểm M trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một số
không đổi.

4. Cho hàm số y = x -


x

m

có đồ thị là (Cm).

a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 3

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
5) Cho hàm số y = x +

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng – 3.

c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của (C) để khỏang cách giữa chúng là nhỏ nhất.
6. Cho hàm số y =

1
2
2





x
x
x

a) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

b) Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
c) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P): y = - x2 + m.

7. Cho hàm số y =

1
)
2
(






x

m
x
m
x

có đồ thị là (Cm).

a) Xác định m sao cho tiệm cận xiên của (Cm) định trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

bằng 8.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

8. Cho hàm số y =



x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x2 – mx + 3 – m = 0 và suy ra các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.

c) Định k để đường thẳng (d): y = k(x – 3) + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
9) Cho hàm số y =

1
3



x

x
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
c) Tìm điểm trên (C) có tổng các khỏang cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.

Số mũ



Cơ số a Lũy thừa a

N
n


 aR a an a.a...a(n




 thừa số )



 a 0 a a0 1

)

(n N*

n 




 a 0

n
n

a
a
a    1

)
,

(m Z n N*

n
m





 a0 a an n am (n a b bn a)

m









)

,
(

limr r Q n N*

n

n  



 a0 a limarn

* Một số tính chất của căn bậc n.
1) ab n a.n b



2)  (b0)

b
a
b
a

n
n
n

3) n p

 

n p
a

a  (a > 0)

4) m n a m.na

5) n a n.mam



2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có

















b
a
b
a
b

a
ab
a

a
a

a
a
a

a

a  











  ;  ; ( ) ; ( ) . ;

. .

a > 1 : a a  

0 < a < 1 :    



a

a
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.

* Với số 0a1,b0.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

b
e
b
b
b










ln
10
log

4. TÍNH CHẤT CỦA LƠGARIT.

* a a b b

a

a   a 

log
;
1
log
;
0
1
log

* loga(b.c)logablogac

b c

c
b

a
a

a log log

log  








logab .logab


Đặc biệt: b

n
b
b
b a
n
a
a
a log
1
log
;
log
1

log  

* c bc ab bc ac

a
a

b log .log log

log
log

log   

Đặc biệt : b b

a

b a a

b
a log
1
log
;
log
1
log

 


c
b
c
b

a
c
b
c
b
a
a
a
a
a











0
log
log
:
1
0
0
log
log

:
1

5. GIỚI HẠN.

lim 1 1 ; limln(1 ) 1

0
0 




 x
x
x
e
x
x
x
6. BẢNG ĐẠO HÀM.

x

x e

e )'

(

a
a
ax)' x.ln

( 

x
x)' 1

(ln 
a
a
x x
a
ln
1
)'
(log 
)
0
,
0
(
.
)'
( 1



 x  x

x   

n n
n
x
n
x
1
1
)'
(


u

u u e

e )' '.

( 

a
a
u

au)' '. u.ln

( 

u
u
u)' '

(ln 

a
u

u
u

a .ln

'
)'
(log 
'
.
)'
( 1
u
u
u 
 
 
n n
n
u
n

u
u
1
.
'
)'
(



I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.
1) 3 x6.y12



5 x.y2



 2)
3
3
3
4
3
4
b
a
ab
b
a


 3) . 1

1
.

1 4 41

2
1
4
3 




a
a
a
a
a
a
a

4) 


















 m
m
m
m
m
1
2
1
2
.
2
2
4
2
1
3
2

* Tính giá trị của biểu thức.

1) 5

3
3
1
75
,
0
32
1
125
1
81

















 2) 3 0 2

1
1
3
2
2
3
1
)
9
(
8
64
.
)
2
(
001
,

0       

3) 0,5

75
,
0
3
2
25

16
1

27  









4) 2 3

1
1
25

,
0

4 19( 3)

4
1
2
625
)
5

,
0
( 














</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1) 7 25. 3

8
1

ax 2) 3 a5.4 a 3) 8 b3.4 b 4) 4 27.3

3
1

a
* Tính .

1)   3 3

3 







 2) 412 3.161 3 3)
2
3

3
27

 

58 54

* Đơn giản các biểu thức.

1) 1

)

( 2 3 2

3
2
2
2



b
a
b
a

2) 4 3 3

3
3
3
3
2
3

2 1)( )

(
a
a
a
a
a

a





3)    











b ab

a ) 4 .

(

1
2

II. LÔGARIT.

* Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lơgarit sau theo a và b.

1) log527 2) log515 3) log512 4) log530

* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit.
1)





5 a3b 2)

2
,
0
6 5
10 








b
a

3) 9a45 b 4) 
7
2

27a
b

* Tính giá trị các biểu thức.

1) log915 + log918 – log910 2)

3
3
1
3
1
3

1 log 400 3log 45

2
1
6
log

2  

3) log 2 12log 3

6
1

36  4) log (log34.log23)

4
1

* Tính giá trị các biểu thức.
1) 2log 4 log 8 log 2

1
4
1
7
125
9
49
.
25

81 










2) log 3 3log 5

1
5
log

1 2 5

4 42

16 



3) 







 

log 6 log 4
9
log
2
1
5
7
7

5
49
72

* Tìm x biết.

1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 2) log4x = log 216 2log 10 4log 3
3

4
4

4  

* Tính.

1) log(2 3)20 log(2 3)20




 2) 3log( 21)log(5 2  7)
3)

e
e ln1

ln  4) lne 1 4ln(e2. e)





* Tìm x biết

1) logx18 = 4 2)

5
3
2

log 5 

x 3) logx(2.3 2)6

* Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b.

* Biết log214 = a. Tính log4932 theo a

III. HÀM SỐ MŨ – LƠGARIT – LŨY THỪA.
* Tìm tập xác định của các hàm số sau.

1) y =

1

x
x

e
e

2) y = 2 1 1




x

e 3) y = ln 








x
x
1
1
2

4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y =











x
x
x
3
1
1
3
2
log
2
2

* Tìm các giới hạn.
1)
x
e x
x
1
lim
3
0


 2) x

e
e x x

x 5
lim
3
2
0

 3)
)
3
2
(
lim
5
x
x

x  4) 










 xe x

x
x

.
lim

5) limx 9log3 x

 6) x

x
x
)
1
4
ln(
lim
0


 7) x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

x

x sin2

)
3
1
ln(
lim



 9) 1 1

1
lim

0  



 x

ex

x 10) x

x

x tan

)
2
1
ln(
lim





* Tính đạo hàm của các hàm số sau.

1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y =

x
x

e
e







4) y = 2x - ex 5) y = ln(x2 + 1) 6) y =

x
x

7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = 2.ln 2 1



x

x 9) y = 3x.log3x

10) y = (2x + 3)e 11) y = x x



. 12) y = 3 x

13) y = 3 ln2 2x 14) y = 3 cos2x 15) y = 5cosx + sinx

* Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan

x
= 0
4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

5) y = ln2x ; x2.y’’ + x. y’ = 2

* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

1) y = (x2 – 2x).ex trên đoạn [0 ; 3] 2) y = x2ex trên đoạn [-3 ; 0]

3) y = xlnx trên đoạn [e-2 ; e] 4) y =

x
x

trên đoạn 





 ; 2

2 e

e
5) y =

x
x
2

trên đoạn



1; e3



6) y = x2 – ln(1 – 2x) trên đoạn [-2 ; 0]

7) y = 2ln(x – 1) + 3lnx – 2x trên đoạn [2 ; 4 ]

* CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
a) 0 a 1 af(x) ag(x) f(x) g(x)























)(

)0)

((

0)

(

)(

log

)(

log

xg

xf

xg

hay

xf

xg

xf

a

a

b) a1 af(x) ag(x)  f(x)g(x)

loga f(x)logag(x)  f(x)g(x)0

c) 0 a 1 af(x) ag(x) f(x) g(x)









loga f(x)logag(x)  0 f(x)g(x)

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:

1). (0,2)x-1 = 1 2). 3

3
1 3 1









 x 3).

4 2 3 2




 x

x 4). x

x

3
4
2

2
2

1 2 










5).



3 2 2



2x 



32 2



6).









1
1
1

2
5
2

5 







 x

x

x 7). 5 1

3 2 

 x

x

8). 5 2 4 25




 x

x 9) 3x.2x+1 = 72 9) 2

2
1
.
2

1 7 1 2















 x  x

10)

27
60
20
5

.
3
.

4 1 3 1




 x x

x 11) 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52

12) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1) 4x + 2x+1 – 8 = 0 2) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0

3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27 4) 31+x + 31-x = 10

5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 2. 4x

7) 4x – 2. 52x = 10x 8) 27x + 12x = 2. 8x



2 3



x 



2 3



x 2 10) 7 48 7 48 14






 









  x x

11) 6 35 6 35 12







 









  x x 12)



73 5



x 



7 3 5



x 14.2x

13) 32x+4 + 45. 6x – 9. 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 3. 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x

* Giải các phương trình.
1) 3 24 2 4

 x

x

x 2) 1 2 5 4

2   

 x x

x 3) x

x
x


2 36.32

8 4) 5 .8 500





x
x
x

5) 53log5x 25x 6) x6.3logx3 35 7) 9.xlog9x x2 8) x4.53 5logx5

* Giải các phương trình.

1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = 5 – 2x 4) 2x = 3 – x

5) log2x = 3 – x 6) 2x = 2 – log2x 7) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – 5 = 0

II. PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT.
* Giải các phương trình.

1) log2x(x + 1) = 1 2) log2x + log2(x + 1) = 1 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)

4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + 2 = 0

6) x

x
x
x

2
log
log

log
.
log

125
5

25
5

 7) 7logx + xlog7 = 98 8) log2(2x+1 – 5) = x

* Giải các phương trình.

1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 7 2) log4x8 – log2x2 + log9243 = 0

3) 3 log3x  log33x3 4) 4log9x + logx3 = 3

5) logx2 – log4x + 0
6
7

 6)

x
x
x

x

81
27
9

log
1

log

1
log
1

log
1








7) log9(log3x) + log3(log9x) = 3 + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x =
3
2

9) log5x4 – log2x3 – 2 = -6log2x.log5x 10) log (2 5) log2 5 2 3
2

2 



 x

x x

x

III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT.
* Giải các hệ phương trình sau.

















15 log

1 log

11

2
2

x

y

x

















3 log

)

log(

)

log(

8 log

1 )

log(

2 2

y

x

y

x

y

x















2 )

(

log

972

2.

3 x

y

y
x















2 log

25 x

y

x















1

4

3 y

x

y
x






















3

9

4

3 y

x

y
x


















5

5.

2

7

5

2

1 x y
x

y
x
x

















1 )

(

log

)

(

log

3

5
3

2
2

y

x

y

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>



















0 log

.

log

)

(

log

)

(

log

2
2

y

x

y

x

xy

y

x

10)











3
log
4

log
log
log

)

3(

)

4(

4

3 y

x

y
x

11)

















12

3 )

(

2

4

2 log

3 3

y

x

y

x

xy

12)













64 log

1

2

y

x

y

13)

















1 )

2 3(

log

)

2 3(

log

5

4

9

3
5

2
2

y

x

y

x

y

x

14)













y

x

y

x

y

x

xy

3
3
3

27
27

log

4 log

3 log

.

log

3 log

IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. 
* Giải các bất phương trình.

1) 32x5 1 2) 27x < 
3
1

3) 4

1 2 5 4









 x  x 4) 62x3 2x7.33x1

5) 9 3 1 4


 x

x 6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0 7) xlog3x4 243

9) log (5 1) 5

1 x  10)

1
3
1
log4




x

x

11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)

12) log (log211 2 ) 0
3

1 




x
x

13) log22x + log24x – 4 > 0 14) log 3 log 0

3

 x

x

15) log2(x + 4)(x + 2) 6 16) 0

1
1

log 2 




x
x

x 17) log4 x 3 1
18) log2x + log3x < 1 + log2x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 0

*Tìm tập xác định của các hàm số sau :

1) y = 2

5
1
2
log0,8 




x
x

2) y = log ( 2) 1

1 x  3) y = log ( 2 2 2)

2 x  x 4) y = log 2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TĨM TẮT GIÁO KHOA

I. Bảng tính ngun hàm cơ bản:

Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số) ax + C

x

1
x C








(ax b )

a

1 ( ) 1

1
ax b C








x ln x C

ax b 1 lna ax b C 

x

a

x

a C
a

x

e ex C

 eax b 1eax b C

a  

sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos(ax b C)

a

  

cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin(ax b C)

a  

cos x

tgx + C

cos (ax b ) 1 (atg ax b C )

sin x

-cotgx + C

sin (ax b )  1 cot (a g ax b C )

'( )

( )

u x
u x

ln ( )u x C

2 2

x  a 21 lna x a Cx a





tgx  ln cosx C

2 2

x a

2 2

ln x x a C

cotgx ln sinx C

II. BÀI TẬP:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1. f(x) = x2 – 3x +

x

ĐS. F(x) = x  x lnxC

2
3
3

2
3

2. f(x) = 2 42 3

x

x  ĐS. F(x) =

C
x
x


 3

3
2 3

. f(x) = 21

x
x

ĐS. F(x) = lnx +
x

+ C
4. f(x) = 2

2
2 1)

(

x
x 

ĐS. F(x) = C
x
x
x



 2 1

5. f(x) = x 3 x 4 x


 ĐS. F(x) = x  x  x C

5
4
4
3
3

2 4

5
3
4
2
3

6. f(x) = 1 32

x

x  ĐS. F(x) = 2 x 33 x2 C

7. f(x) =
x
x 1)2

(  ĐS. F(x) =

C
x
x

x 4 ln 
8. f(x) = 3 1

x
x

ĐS. F(x) = x  x3 C

2
3
5

2
3
5
3

9. f(x) =

2
sin

2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = x sin2xC
4

1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13. f(x) =

x
x 2
2 .cos

sin
1

ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

14. f(x) =

x
x

x

2
2 .cos

sin
2
cos

ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =  cos3xC

3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =  cos5x cosxC

5
1

17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = e x ex C




2
1

18. f(x) = ex(2 + )

cos2 x

ex

ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = C

a
ax x




3
ln

3
ln
2

20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = e3x1C

3
1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng

1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3

2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1
3
2

3

 x

x

3. f’(x) = 4 x  x và f(4) = 0 ĐS. f(x) =

3
40
2
3

8 2


 x

x
x

4. f’(x) = x - 12 2

x và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2
3
2
1
2




 x

x
x

5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

6. f’(x) = ax + 2, f'(1)0, f(1) 4, f(1)2

x
b

ĐS. f(x) =

2
5
1
2

2



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I =



f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) dt u'(x)dx

 I =



f[u(x)].u'(x)dx



f(t)dt
BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.



(5x 1)3dx 2.



 2 )5

( x

dx



5 2xdx 4.



 1

2x
dx
5.



(2x2 1)7xdx 6.



(x3 5)4x2dx 7. x2 1.xdx



 8.



 dx

x
x





dx
x
x

3
2

2
5

10.



 )2

1
( x
x

dx

11. dx
x

x



12.



xex21dx

13.



sin4 xcosxdx

14.



dx
x
x

cos
sin

15.



cotgxdx 16.



x
tgxdx

cos

17.



x
dx

sin 18.



x
dx

cos 19.



tgxdx 20.



x dx
e x

21.



 3

x
x

e
dx
e

22.



dx
x
etgx

cos

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I



u(x).v'(x)dx u(x).v(x)



v(x).u'(x)dx

Hay



udvuv



vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:



x.sinxdx 2.



xcosxdx 3.



(x5)sinxdx 4



(x2 2x3)cosxdx
5.



xsin2xdx 6.



xcos2xdx 7.



x.exdx



lnxdx



xlnxdx 10.



2 xdx

ln 11.



x
xdx

12.



e xdx

13.



dx

x
x

cos 14.



xtg xdx

15.



sin x dx 16.



ln(x2 1)dx
17.



ex.cosxdx

18.



x3ex2dx

19.



xln(1x2)dx 20.



2xxdx
21.



xlgxdx 22.



2xln(1x)dx 23.



 dx

x
x
2

)
1
ln(

24.



x2cos2xdx

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên



a b;



. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Thì: ( )



( )



( ) ( )

b

b
a
a

f x dx F x F b F a



( Công thức NewTon - Leiptnitz)

Bài 1: Tính các tích phân sau:
1/








2 1)

( x x dx 2/



 
2

3 )

3
2
2

( x x dx 3/





)
3

(x dx

x 4/






4

2 4)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

5/ dx
x
x











2
1
3
2
1
1





2
1
3
2 2
dx
x
x
x



e
e
x
dx
1
1



.dx
x

9/ dx

x
x
x
e



 
2
1
7
5
2

10/ dx

x
x












8

1 33 2

4 11/





3
2 1
2
dx
x
x

12/ dx

x
x













1
0
3
1
2
2

13/














0
1
1
2
1

2
2
dx
x
x
x

14/ dx

x
x
x



 
1
0
2
3
3
2

15/ x dx

x
x
x
















0
1
2
1
2
1
1

16/




2
2
3
cos
.
5
cos


xdx

x 17/




2
2
2
sin
.
7
sin


xdx

x 18 /



0
cos
2
sin

xdx
x 
19/



4
0
2
sin



xdx 20/



e x dx


0
1
3
2

21/





1
0
dx
e x
Bài 2: 
1)
3
2
3
x 1dx





4
2
1

x 3x 2dx



 



( x 2 x 2 )dx



  



2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
 



5)
3
x
0

2  4dx



1 cos2xdx







x



x

dx

2
0

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1:Tính I = 
b

'
a

f[u(x)].u (x)dx



bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1:











)
(
)
(

)

(

)

(

'

.

)

(

u b

a
u
b
a

dt

t

f

dx

x

u

x

u

f

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t u(x) dt u'(x)dx





Bước 2: Đổi cận :

)

(

)

(

a

u

t

b

u

t

a

x

b

x







Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được













)
(
)
(

)

(

)

(

'

.

)

(

u b

a
u
b
a

dt

t

f

dx

x

u

x

u

f

I

(tiếp tục tính tích phân mới)

Chú ý.

Dấu hiệu Cách chọn



f(sinx)cosxdx



f(cosx).sinxdx



f(ex)exdx



dx

x
x
f(ln ).1

t = sinx
t = cosx
t = ex

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>





11 2

dx

x 2)




1
0
1
3 dx
e x





xdx

e x



 
1
1
2 1
2
dx
x
x

5) x 1.xdx
1

0
2



 6)




1
0 2
.
2 dx
x
x
7)



2
0

3 .cos

sin



xdx

x 8)



3
4
.
cos
tan


dx
x
x
9)




2

01 sin

cos



dx
x

x 10)




2
0
sin
.
cos
1

xdx

x 11)



e
dx
x
x
1
ln

12)



e

e x x

dx

13)





e
dx
x
x
1
ln
3

14)





e

x
x

dx

1 1 ln

15) dx
x
x



3
1
2
ln

16)



2
1
3
ln x
x
dx

17)



dx
x
e x

18)




2
ln
0 1
dx
e
e
x
x

19) ln8 ex 1.exdx
3



 20)




5
ln

ln x 1

x
e
dx
e

21)



2
0
2
cos


xdx 22)



0
3

cos



xdx 23)



2
2 .cos

sin



xdx

x 24)



2
0
3
3 cos
sin

xdx
x

2) DẠNG 2: Tính I = 
b

f(x)dx



bằng cách đặt x = (t)

Công thức đổi biến số dạng 2:  










t t dt

f
dx
x
f
I b
a
)
(
'
)
(
)
(

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt x (t) dx '(t)dt


  



Bước 2: Đổi cận :











t

a

x

b

x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

 










t t dt

f
dx
x
f
I b
a
)

(
'
)
(
)

( (tiếp tục tính tích phân mới)

 Chú ý:

Dấu hiệu Cách đặt

2
2
x
a 
2
2 a
x 
2
2 x
a 
x
a
x
a


hoặc
x

a
x
a


)
)(
(x a b x

x = asint với  /2t/2

x =
x
a

sin với t



[





/

;2



/

]2

{\

}0

x = atgt với  /2t/2

x = acos2t
x = a+(b-a)sin2t

Tính các tích phân sau:
1)

2
0

1 x dx



2)
1

2
0

1 dx
1 x



3)
1

2
0

1 dx

4 x



1
2
0

1 dx

x  x 1

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

5)
1

4 2
0

x dx

x x 1



2
2
2

2
0

x dx

1 x



2 2

x 4 x dx












0 1 x2 1 x2
dx

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân từng phần:

 





 

b
a

b
a
b

a v x u x dx

x
v
x
u
dx
x
v
x

u( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )

Hay:  





 

b
a

b
a
b

a vdu

v
u

udv .

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt

)(

'

)(

'

)(

xv

v

dx

x

u

du

dx

x

v

dv

x

u







Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng từng phần :  





 

b
a

b
a
b

a vdu

v
u

udv .

Bước 3: Tính





b
a

v

u. và 

b
a

vdu

Chú ý:

Dấu hiệu Cách đặt



b

a

xdx
x

P( ).sin hoặc



b

a

xdx
x

P( ).cos



b

a

xdx

e
x
P( ).



b

a

xdx
x

P( ).ln



b

a

x xdx

e .sin hoặc



b

a

x xdx

e .cos

Đặt u = P(x)
Đặt u = P(x)
Đặt u = lnx

Đặt u = sinx hoặc u = cosx

Tính các tích phân sau
1)



0
3

.e dx

x x





cos
)
1
(



xdx

x 3)





3
sin
)
2
(



xdx

x 4)



2
sin
.



xdx

x



e

xdx
x

ln 6)





e

dx
x
x

2).ln .

( 7)



.
ln
.

4x xdx 8)




1

2).

3
ln(

. x dx

x 9)





2 1). .

(x ex dx

10)





.
cos

. xdx

x 11)



2.cos .



dx
x

x 12)





2 2 ).sin .

(



dx
x
x

x 13)

2
5
1

ln xdx
x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

14) 2 2
0

x cos xdx





15)

1
x
0

e sin xdx



16)

sin xdx





17)

e
2

x ln xdx



18) 3

2
0

x sin xdx
cos x







19) 2

xsin x cos xdx





20) 4 2

x(2cos x 1)dx







21)

2
2
1
ln(1 x)dx
x




22)

2 2x
0

(x 1) e dx



23)

2
1

(x ln x) dx



24)

cosx.ln(1 cosx)dx







25) 1 2

ln
( 1)
e
e
x dx
x



26)

1
2

xtg xdx



27)





1
0

)

2 (

x

e

x

dx

28)





1
0

)

1 ln(

x

dx

x

29) 

e
dx
x
x
1
ln
30)
 
2
0

3 )sin
cos

(



xdx
x

x 31)   

2
0
)
1
ln(
)

7
2

( x x dx 32)





3
2

)

ln(

x

dx

III .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :

Công thức:
|





( ) ( )



|
b
a
dx
x
g
x
f
S



( ) ( )



|
|





b
a
dy
y

g
y
f
S

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:























2

1

0

2 x

y

x

y





















2

1

0

2 x

y

x

y















0

4 y

x

y















4

2 x

y

x

y





















3

2

2
2

x

y

x

y

















x

y

x

y

3

2

1

4

1

2
2
7)















x

y

x

y

4

0 











x

y

x

y

x

y

8

1

2
2





















b

x

a

x

g

y

C

x

f

y

C

H

:

)

(

:)

(

)

(

:)

(

:)

(

2
1
2
1





















b

y

a

y

g

x

C

y

f

x

C

H

:

)

(

:)

(

)

(

:)

(

:)

(

2
1
2
1
x
y
)
(H
a b
)
(

:
)

(C1 yf x

)
(
:
)

(C2 yg x
a

x xb

O x
y
)
(H
a
b
)
(
:
)

(C1 xf y

)
(

:
)

(C2 xg y

a

y

b

y

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>















2 |2

3 |

y

x

y

10)















4

0 tan



x

y

x

y

11)











 
1
1
2
x
e
y
e
y
x
x
12)

















1

0

1 x

y

x

y

13):
2
2
x
y 4
4
x
y
4 2

 



 


14) :
2

y x 4x 3

y x 3

   


 


15)
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
 


 



 


16
2
2
y x
x y
 







17): y x 2

y 2 x

 


 


18)
2

y x 5 0

x y 3 0

   

  

19)
ln x
y

2 x
y 0
x e
x 1







 




20)
2
2

y x 2x

y x 4x

  


 



21)

2 3 3

y x x

2 2
y x

  


 

22)
2

y 2y x 0

x y 0

   

 

23















)

(

2 :)

(

:)

(

Ox

x

y

d

x

y

C

24)

















1 :)

(

2 :)

(

:)

(

x

y

d

e

y

C

x
25)















1

2 x

y

x

y

26)

















0

3

4

2
2

y

x

y

27)



















0

2 y

x

y

28)















2
2

1

2 x

y

x

y

29)









3 ,0

,

2 y

x

y

x

y

30)













e

x

e

x

y

x

y

,

1

0 ,

ln

31) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hịanh độ x = 1.

32) (P): y = -x2 + 6x + 8, tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung.

33) (P): y = -x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M

1(0 ; -3), M2(3; 0).

34) (P): y = - x2 + 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A 





 ;6

2
5

IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY.
Cơng thức:

a y0 b

)
(
:

)

(C yf x

b
a
x
b
x
x
y
O
b
a
x
y
0

x
O
)
(
:

)

(C xf y
b

y

a

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

V b



f x



dx
a

)
(


 V b



f y



dy
a

)
(



Bài1:Tính thể tích của vật thể trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e quay quanh trục Ox.

b) y = tanx , y = 0 , x = 0 , x =



quay quanh trục Ox.
c) y =

x

, y = 0 , x = 1 , x = 4 quay quanh trục Ox.
d) y = x.lnx , y = 0 , x = 1 , x = e quay quanh trục trục Ox

e) 2

1
2
1
e
x

y  , y = 0 , x = 1 , x = 2 quay quanh trục Ox.
f) y = 5x – x2 , y = 0 quay quanh trục Ox.

g) y = 2x2 , y = 2x + 4 quay quanh trục Ox.

3
x

y  , y = x2 quay quanh trục Ox
k) y x ln(1 x2)



 , y = 0 , x= 1 quay quanh trục Ox.

Bài 2: Tính thể tích của vật thể trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục 
tung.

a) y = x2 , x = 0 , y = 0 , y = 4

b) y = x3 , x = 0, y = 1 , y = 2

c) y = lnx , x = 0 , y = 0 , y = 1.
d) y = 3 – x2 , x = 0 , y = 1

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0  

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)  2 và y = 4

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox

b) Trục Oy

Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x y x2;  22.

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường :

2
21 ;1 2

x

y y

x

 



</div>

Bai Tap chuan kien thuc GT12

























0

0

0

)(

<i>x</i>

<i>R</i>

<i>a</i>

<i>xf</i>





















0

0

0

)(

<i>x</i>

<i>R</i>

<i>a</i>

<i>xf</i>

























)

;

(

,0

)

('

)

;

(

,0

)

('

<i>h</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>h</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f</i>









