de thi hsg so 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (109.7 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

đề thi học sinh giỏi

m«n thi : toán (Thời gian 150 phút )

Bài 1: (3 đ) Giải các phơng trình:

a.

4 x x 2 x2 6x 11

     

b. (x-3)(x+3) -5 (x+3) x-3 4

x+3 

c. 4 x 1 4 1 x 4 1 x2 3

  

Bài 2: (4 đ)

a. Cho biểu thức: 2 2 4 4 2 2 4 4. 2 1

2 1 2 1

x x x x

A x

x x x x

    

 

    

b. T×m nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

x3y+xy3-3x2-3y2 =17

c. Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho

1
2
2

y
x

x

là số nguyên dơng.

Bài 3: (3 đ)

a. Vi a > 0 ; b > 0 cho trớc và x,y > 0 thay đổi sao cho :




y
b
x
a

. Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1.

T×m GTNN cđa biĨu thøc :
E =

)
(

1
)

(
1
)

(
1

3
3

y
x
z
x
z
y
z
y

x      .

Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vuông ABC (Â= 900) có đờng cao AH. Gọi trung điểm của BH là P. Trung
điểm của AH là Q.

Chøng minh : AP  CQ.

Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đờng tròn cát các cạnh
AB và AC theo thứ tự tại M và N.

a.

Chøng minh r»ng: MN2 AM2 AN2 AM AN.

  

b.

Chøng minh rằng: NM AN 1
MB NC
Bài 6:(3 đ) Giải hệ phơng trình:

y
x
y
x

xy
y
x

3
1

3
3

; b.

























0

4

0

2

5

2

2
2

y

x

y

x

y

xy

y

x

Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau:

xy
1

2
y

1
1
x

2
2






 với x 1, y 1

--- Ht

---Đáp án:
Bài 1: Giải các phơng trình sau;

a. 2

4 x x 2x  6x11
đặt A = 4 x x 2 (A0)

2 2 (4 )( 2) 2 (4 ) ( 2) 4
A    x x    x  x 

0 A 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đặt B = x2 6x11 ( x 3)2 2 2 (2)

§Ĩ A = B khi va chØ khi : 4-x = x-2 x3

Vậy nghiệm phơng trình x = 3

b. (x-3)(x+3) -5 (x+3) x-3 4

x+3  (1) ĐK: x 3 hoặc x3

t (x+3) x-3

x+3 y (2)

2 ( 3)( 3)

y x x

   

Tõ (1) ta cã: y2 5y 4 0  y1 1; y2 4

Với y > 0 do đó x + 3 > 0  x 3

Với y = 1 thay vòa (2) ta đợc: x2 9 1  x 10
Do x > 3 nên x 10

Với y = 4 thay vào (2) ta đợc: x2 9 16  x5
Do x3 nên x = 5

VËy nghiƯm ph¬ng trình là: x 10; x = 5

b.

4 x 1 4 1 x 4 1 x2 3

      ; §K:   1 x 1

§Ỉt 4 x 1 a (a 0); 4 1 x b (b 0)

     

Ta cã: 4 4 4

a b ab 3 1 1

2 2 2

a b a b

a b a b   

      

1 1

1 1 2 3

2 2 2

a b a b

a b   

        

Phải sảy ra đẳng thức khi a= b = 1
Do đó : x = 0

Vậy nghiệm phơng trình x = 0

Bài 2: a. Rút gän biÓu thøc 2 2 4 4 2 2 4 4 . 2 1

2 1 2 1

x x x x

A x

x x x x

    

 

    

§K: x2

Ta bình phơng 2 vế ta đợc
2

2 4 16 16 2 2 4

.(2 1) (2 1) 4 4

1
2 1

x x x x x

A x x x

x x

x x x

    

     

 

  

.Suy ra A2 x1
b. ph¬ng tr×nh: x3y + xy3 - 3x2 - 3y2 = 17  (x2 + y2)(xy - 3) = 17 = 17.1

Do x,y nguyên dơng nên x2 + y2>1

2 2 2 2

17 ( ) 2 17 ( ) 25

3 1 4 4

x y x y xy x y

xy xy xy

         

     

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>





































































-4y

-1x

hc

4y

1x

hc

1

4

1

4

5

4

5 y

x

y

x

xy

yx

xy

yx

KÕt ln:









4 y

1 x

1 y

4 x

hoặc

1 y

4 x

hoặc

4 y

1 x

c. Đặt

1
2
2

y
x

x

= a Với a là số nguyên dơng thì x4 + 2 = a(x2y + 1)  x2(x2- ay) = a - 2 (1)

XÐt 3 trêng hỵp sau :

TH1: NÕu a = 1 th× tõ (1) ta cã : x2(x2- y) = - 1 











1
1

y
x










2
1
y
x

TH2: NÕu a = 2 th× tõ (1) cã x2(x2- 2y) = 0, suy ra x2 = 2y nªn cã nghiƯm x = 2k, y = 2k2 víi k là số 
nguyên dơng

TH3: Nếu a > 2 thì từ (1), cã a – 2 > 0 vµ (a – 2) chia hÕt cho x2
nªn a – 2  x2 a  x2 + 2 > x2

Từ đó  0 < x2- ay < x2- x2y  0. Điều này không xảy ra
Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là :
(1; 2) và (2k; 2k2) với k là số nguyên dơng.

Bµi 3: a. áp dụng BĐT Bu_ nhi_ a_ cốp_ xki ta cã :





2
2

2 . .











































y
b
y
x
a
x
y

b
x

a
y
x
y

x

hay





b
a
y

x  

DÊu “=” x¶y ra khi :

y
b
y
x
a
x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

I
Q

P H C

r
K

E
D

N
M

C
B

hay : a b

b
a

y
x
b
y
a
x









Tøc lµ : khi x a



a b



; y b



a  b



VËy min (x+y) =



a  b



2 khi : x a



a  b



y b



a b

b. Đặt a =

x

, b =

y
1

, c =

z

 abc =

xyz
1

= 1

 x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c)
x + z = b(c + a)

 E =

c
b

a


2
+

a
c

b


2
+

b

a

c


Dễ dàng chứng minh đợc

c
b

a

 + c a

b

 +a b

c

  2

Nh©n hai vÕ víi a + b + c > 0



c
b

c
b
a
a




 )

(

a
c

c
b
a
b




 )

(

b
a

c
b
a
c




 )

(



2
3

(a+b+c)



c
b

a


2
+

a
c

b


2
+

b
a

c




c
b

a 


2
3 3 abc

 =

2
3
 E 

2
3

. DÊu "=" x¶y ra  a = b = c = 1 .VËy min E =

2
3

khi a = b = c = 1

Bµi 4:

Gäi I là giao điểm của CQ và AP

Ta có : CAH = ABH (1) ( 2 góc có cạnh tơng ứng vuông góc)

Hai tam giác vuông CAH và ABH cã 1 gãc nhän b»ng nhau

AH
BH
CA
AB
ABH

CAH   



 ~

AQ
BP
CA
AB
AQ
BP
CA

AB




2
2

(2)
Tõ (1) vµ (2)  ABP~CAQ (c.g.c)

AQ
BP
CQ

AP

mà

QH
PH
CQ

AP
QH

PH
AQ
BP

HCQ~HAP(cạnh góc vuông và cạnh huyền tơng ứng tỉ lệ)
HAP = HCQ

Xét tam giác IQA và HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh)

HAP = HCQ ( chøng minh trªn)

 IQA~HQC AIQ = CHQ = 900
hay : AI CQ (đpcm)

Bài 5:

a. Đặt AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z
Hạ đờng cao NH AB (HAB)

Trong tam giác vuông ANH (H 900

 )

Cã  0  0

60 30

A  ANH 

y
AH

  ; 3

2
y
NH 

2
y

HM  x ; theo định lý Py-ta-go ta có:

2 2 2 ( )2 ( 3)2 2 2

2 2

y y

MN HM NH  x  x y  xy

Hay 2 2 2

MN AM AN  AM AN (®pcm)

b.Ta cã: MD = MK; NE = NK (t/c tiÕp tuyÕn)

AM AN MN AD AE a

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta ph¶i c/m: AM N 1

BM CN  ; do đó ta có: 1 1

x y x y

a x a y     y z x z 

 x x z(  )y y z(  ) ( x z y z )(  )  x2xz y 2yz xy xz zy z    2

2 2 2

x y z

   ( c/m c©u a)
Vậy AM N 1

BM CN (đpcm)
Bài 6:

Giải hệ phơng trình

Từ (1) ta có PT (2) có d¹ng :x3 y3

 =(x3y)(x2 y2 xy)

 x3 y3

 x3xy2 x2y3x2y 3y33xy2

 4 2 4 2 2 3 0




 x y y

y
x

0
)
2

2
(

2 2 2





 y x xy y



( )



2 2 2




 yx x y

 








0
)
(
0

2 x y

x
y



















x
y

x
o
y

0 















0
0
y
x

o
y

+ Với y = 0 thay vào (1) ta đợc x2=1 x 1

+ Víi x = 0, y = 0 thay vào (1) không thỏa mÃn x= 0, y = 0 lo¹i
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm (x,y) lµ (1,0) vµ (-1,0)

b. Gi¶i hƯ:

























)2

(

0

4 )1(

0

2

5

2

2
2

y

x

y

x

y

x

y

xy

x

Tõ (1)  2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0








































2
1
4

)
1
(

2
4

)
1
(

3
5

)
1
(

9
)
2
(

8
)

( 2 2 2

y
y

y
x

y
y

y
x

y
y

x

* Víi: x = 2 - y, ta cã hƯ:

1

0

1

2

0

4

2 



































y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

*Víi

2
1


y

x , ta cã hÖ:













)
2
(
3

)
1
(
1
3

3
2
2

y
x
y

x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>























































5

13

5

4

1

0

4

5

1

2

0

4

2

1

2 y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;1) vµ 







5
13
;
5
4

Bµi 7: Ta cã 

























 1 xy

1
y
1
1

xy
1
1
x
1
1
xy
1
2
y
1
1
x
1
1
2
2
2
2
=
)
xy
1
)(
y
1
(
y
xy
)

xy
1
)(
x
1
(
x
xy
2
2
2
2







=
)
xy
1
)(
y
1
)(
x
1
(

)
x
1
)(
y
x
(
y
)
y
1
)(
x
y
(
x
2
2
2
2








=





)

xy
1
)(
y
1
)(
x
1
(
)
yx
y
xy
x
)(
x
y
(
)
xy
1
)(
y
1
)(
x
1
(
)
x

1
(
y
)
y
1
(
x
)
x
y
(
2
2
2
2
2
2
2
2





















)
xy
1
)(
y
1
)(
x
1
(
)
1
xy
(
)
x
y
(
)
xy
1
)(

y
1
)(
x
1
(
)
x
y
(
)
x
y
(
xy
)
x
y
(
2
2
2
2
2 















</div>

de thi hsg so 2

a.

a.

b.































0

4

0

2

5

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>xy</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

b.

























































































