he thuc luong trong tam giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (248.83 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG

TAM GIÁC

I. Các ký hiệu :

 A, B, C : là các góc đỉnh A, B, C

 a, b,c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
 ha, hb, hc : là đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C

 ma,mb, mc: là các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C
 la, lb, lc : là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C
 R: là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 R: là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
 p = 1

2(a+b+c) : là nửa chu vi tam giác ABC
 S : là diện tích tam giác ABC

A

B

ma

H

D

M

b

a

c

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Trong tam giác vng ABC. Gọi b, c là độ dài các hình chiếu của các
cạnh vng lên cạnh huyền, ta có các hệ thức:

III. Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

1. b

= a.b’ & c

2
=

a.c’

2. a

=

b

+ c

3. h

= b’.c’

4.

2 2 2

1 1 1

h b c

5. a.h=b.c

6.

b ac a .sin C = a.cosB.sin = c.cosCB




7.

b c tgBc b tg .. C = acotgB= c.cotgC




A

B

C

H

h

c

b

a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1. Định lý hàm số CÔSIN:

Hệ quả: Trong tam giác ABC ta luôn có:

Ví dụ:

A

B C

c b

BC AC


- AB

  



  

  

2 2

2 2 2

2 .

BC AC AB

BC AC AB AC AB

  

   

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

    

Mà               AC AB.   AC AB c. . osA

Nếu ABC vng tại A thì cosA=0
Từ (1) ta được định lý Pitago

BC



AB



AC

2
Nếu ABC bất kỳ

Từ (1) ta được định lý CÔSIN :

2 2 2 2 . . OSA

BC AB AC  AB AC C
Hay

a

c

b

-2cb.cosA

(1)

Tương tự Ta có:

2 2 2

2 . osA

a

b

c

bc c

b

a

c

ac c

c

a

b

ab c



















2 2 2 2 2 2 2 2 2

b

a

osA=

; osB=

; osC=

2 c

a

c

b

c

bc

ac

ab

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Cho



ABC

có độ dài các cạnh là a=7, b=24, c=23. Tính góc A.

Bài giải :

Theo hệ quả của định lý Cơsin, ta có:

2 2 2

osA=

c a
c

bc

  = 242 232 72

0,9565
2.24.23

 


 A16 58' .

2.Định lý hàm số SIN:
Trong tam giác ABC ta có:

Hệ quả: với mọi tam giác ABC ta có:

Ví dụ1:

Cho tam giác ABC có góc A= 20 ; C=

31

 và cạnh b=210cm. Tính

góc A, các cạnh cịn lại và bán kính R của đương trịn ngoại tiếp tam giác
đó.

Giải:

2 sin

a

b

c

R

A



B



C



a=2RsinA; b= 2RsinB; c=2RsinC


O
c

a
B

C
A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC có a=4, b=5, c=6
CMR: sinA-2sinB+sinC=0

Giải:

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ định lý Sin ta có:

sin

2 a

A

R



sin

2 b

B

R



210

20



c
a
C

Ta có A=180- (

20+31), do đó A=129.
Mặt khác theo định lý Sin ta có:

sin sin sin

a b c

R

A  B  C  (1)

Từ (1) suy ra sin 210.sin129 477, 2( )
sin sin 20

b A

a cm

B

  




sin 210.sin 31 316, 2( )
sin sin 20

b C

c cm

B

  




\ 477, 2 307, 62( )
2sin 2sin129

a

R cm

A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

sin

2 c

C

R



=> sinA-2sinB+sinC = 1

2R (a-2b+c)=

2R(4-10+6)=0 (đpcm).
3. Định lý về đường trung tuyến

Trong tam giác ABC ta có:

4. Định lý về diện tích tam giác:

Diện tích của tam giác được tính theo cơng thức sau:

2 2 2

2

4

a

b

c

a

m







2 2 2

2

4 a

c

b

m

b







2 2 2

2

4

c

a

b

c

m







A

B

M

C

m

a

b

a

Ví dụ: Cho tam giác Abc, cạnh a=8, mb=10, c=18. Tính độ dài trung tuyến ma.

Giải:
Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2( ) 2(10 13 ) 8

4 4

a

b c a

m      

=

118,5 => ma=10,9 (cm)

1. 1 1 1

2 a 2 b 2 c
S  ah  bh  ch

2. 1 sin 1 sin 1 sin

2 2 2

S  ab C  bc A ac B

4 abc

S

R



S



pr

S



p p a p b p c

(



)(



)(



)

A

a
H

B C

ha

Ví dụ1: Cho tam giác ABC có các cạnh a=13cm, b=14cm, c=15cm.
a. Tính diện tích tam giác ABC

b. Tính bán kính các đương trịn nội tiếp và ngoạii tiếp tam giác ABC.
Giải:

a. ta có: 1(13 14 15) 21
2

p     (cm)

THEO CÔNG THỨC HÊRƠNG TA CĨ:

21(21 13)(21 14)(21 15) 84(

)

S







m

b. áp dụng công thức

S



pr

. Ta có: 84 4
21

s
r

p

   (cm)

từ cơng thức

abc
S

R

 . Ta có: 13.14.15 8, 25( )

4 336

abc

R cm

S

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ1: Cho tam giác ABC có các cạnh a=13cm, b=14cm, c=15cm.
a. Tính diện tích tam giác ABC

b. Tính bán kính các đương trịn nội tiếp và ngoạii tiếp tam giác 
ABC.

Giải:

a. ta có: 1(13 14 15) 21
2

p     (cm)

THEO CÔNG THỨC HÊRƠNG TA CĨ:

21(21 13)(21 14)(21 15) 84(

)

S







m

b. áp dụng công thức

S



pr

. Ta có: 84 4
21

s
r

p

   (cm)

từ cơng thức

abc
S

R

 . Ta có: 13.14.15 8, 25( )

4 336

abc

R cm

S

   .

Ví dụ 2:

Tam giác ABC có cạnh a=

2 3

, cạnh b=2 va đỉnh C=

30

.

Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó.

Giải:

Theo định lý cơsin ta có

:

C

2

= a

2

+ b

2

-2a.b.cosC=

12 4 2.2 3.2. 3 4

  

Vậy c=2. và tam giác ABC có AB=AC=2. Ta suy ra B=C=

30

. Do

đó A=

120

.

Ta có

1 sin 1.2. 3.2.1 3

2 2 2

S  ac B 

(đvdt)

5. Định lý về đường phân giác:

A

B

C

2 . os

2 ;

b+c

a+c

a+b

a b c

bc c

ac c

ab c

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

ỨNG DỤNG HỆ THƯC LƯỢNG

TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI TỐN

Bài tốn 1: (Tính khoảng cách giữa hai điểm mà có một điểm ta khơng thể 
đến đó được)

Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên cù lao
ở giữa sông.

Giải:

Để đo khoảng cách từ một

điểm A trên bờ sơng đến góc cây
C trên cù lao ở giữa sông, ta chọn
một điểm B cùng ở trên bờ so với
điểm A sao cho từ A và B có thể
nhìn thấy C. Ta đo khoảng cách
AB, góc CAB, góc CBA. Chẳng hạn
ta đo được AB=40m, ^

45





CAB

0
^

70 



CBA

. Khi đó khoảng cách AC được tính như sau:

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có:

SinB
AC

=SinCAB

Vì sinC= sin nên AC=

 



sin
sin

AB

= 00

115
sin

70
sin

40 41,47(m)



Bài toán 2: (Đo chiều cao của
một cái cây, một tòa tháp hay
tòa nhà)

Đo chiều cao của một cái tháp
mà không thể đến được chân
tháp.

Giải

45
70

A
C

63 48

B
A

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Giả sử CD=h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai
điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A,B,C thẳng hàng. Ta đo khoảng
cách AB và các góc CAD, góc CBD. Chẳng hạn ta đo được AB=24m, góc
CAD= 630, góc CBD= 480. Khi đó chiều cao h của tháp được tính

như sau:

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABD ta có:

D
AB
B
AD
sin
sin 

Ta có:  

D





nên

0
0
0
^

15

48

63 











D

Do đó

  sin15 68,91( )
48
sin
24

sin
sin
0
0
m
AB

AD  









Trong tam giác vng ACD có:

)
(
4
.
61
63
sin
.
91
,
68

sin 0 m

AD
CD

h    

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao(Hình 1). Biết AH=4m, 
BH=20m, ^ 0

.45



BAC

Tính chiều cao BC của

cây.
Giải

Ta có:AB2 AH2HB2 42202 416

)
(
416 m
AB

416
4

sin  

AB
AH
B
0
0
7
.
78
3
.
11






ABC
B

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Hình 1
)
(
3
.
17
)
7

.
78
45
180
sin(
45
sin
416
0
0
0
0
m
BC
h 






Ví dụ 2:Trên nốc một tịa nhà có một ăng-ten cao 5m(Hình 2). Từ vị trí 
quan sát A cao 7m so với mặt đất, có

thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột
ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với
phương nằm ngang. Tính chiều cao tịa
nhà.
Giải: 
Ta có:

0
0
0
0
0
0
40
50
90
10
40
50








ABD
BAC

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC:

Hình 2
Xét tam giác vng ACD có:

A
AC

CD  sin

)
(
9
.
18
7
9
.
11
7
)
(
9
.
11
40
sin
5
.
18 0
m
CD
h
m









10
50
40
40
50
7m
?
5m
10 h
D
A
C
B

)

180 sin(

sin

A

B

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1. ĐƯỜNG THẲNG

I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng.

 u



a b;



là vectơ chỉ phương của đường thẳng

 



0
( )
u
u
 

 





 




 n



A B;



là vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 



0
( )

n

 

 

 




 



Chú ý:

Nếu n, u lần lược là vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường
thẳng () thì các vectơ k.n, l.u (k 0, l 0) cũng là vectơ pháp
tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng ().

Rõ rang đường thẳng hồn tồn xác định khi biết:
- hai điểm thuộc nó

- hoặc một điểm thuộc nó và có phương cho trước
2. Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

u



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: Ax By C  0
với A2 B2 0

  và n=



A B;



là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng.

0 0 0 0 0

( ), ( ; ) ( )

C  Ax By M x y  

b) Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
0

( )

x x at

t R
y y bt

 







 



Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
x x0 y y0 ,a 0;b 0

a b

 

  

( ; )

u a b là vecto chỉ phương của đương thẳng

0 0

( ; ) ( )

M x y

 

 () có hệ số góc là k:

y k x x



(



0

)



y

0

Đây là trường hợp dặc biệt của phương trinh tổng quát với
( ; 1)

n k 

c) Chùm đường thẳng:

Định nghĩa: Tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm I được
gọi là chùm đường thẳng.

Điểm I được gọi là tâm của chum.

Phương trình chùm đường thẳng có tâm là I:





(x x 0)



(y y 0) 0 ,

(









0)

 với I(x0;y0)





(Ax + By + C)+ (A'x + B'y + C') = 0, (





2 



2 0),
 với I = (  ) ( '),

trong đó (): Ax + By + C = 0, ('): 'A x B y C '  ' 0 ;
: ' : '

A A B B

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Hai đường thẳng () và (') được gọi là hai đường thẳng cơ sở của
chùm.

3. Góc giữa hai đường thẳng

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng

 

 và

 

' .

 Nếu () và (') có phương trình tổng quát

(): Ax + By + C = 0, ('): A'x + B'y + C' = 0,
A2+ B2>0, A'2+ B'2> 0 thì ta có:

2 2 2 2

AA'+ BB'
os =

. ' '

c

A B A B



 

Chú ý:( )   ( ) AABB0

4. Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng () :

0 Ax By C





0 0

0 2 2

| |

( ; ) Ax By C

d M

A B

 
 



5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

()Ax By C  0 , ()

A x B y C













0

Kí hiệu: D A B ,Dx B C ,Dy C A

A B B C C A

  

     

Vị trí tương đối Định thức Hệ số

() và () cắt
nhau



D



0

 A B

A B

 

 ,(AB 0)

() song song với
()

 ( 0, 0)

( 0, 0)

x
y

D D

 



  



 A B C

A B C

  

  ,(ABC 0)

() và () trùng
nhau

 0

x y

D D D   A B C

A B C

  

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

II/ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1:

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
( ;A A), ( ;B B)

A x y B x y

Áp dụng công thức : A A

B A B A

x x y y
x x y y

 



 

Ví du:

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(0;3), B(-5;0)
Giải

Phương trình đường thẳng có dạng :
3

3 5 15 0

5 3

A A

B A B A

x x y y x y

x y

x x y y

  

      

   

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(0;3), B(-5;0) có phương trình là:
3x 5y15 0

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y( ; )0 0 và có

phương cho trước:

+ Nếu phương cho bởi vectơ pháp tuyến là n( ; )A B thì đường

thẳng () có phương trình: A x x(  0)B y y(  0) 0 .

+ Nếu phương cho bởi vectơ chỉ phương là

u





( ; )

a b

thì đường

thẳng () có phương trình: 0

,( )

x x at
t
y y bt

 






 



 .

Hoặc x x0 y y0 , ( ,a b 0)

a b

 

 

+ Nếu phương cho bởi hệ số góc bằng k thì đường thẳng () có
phương trình:

y k x x



(



0

)



y

0.

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng () đi qua điểm M(2; 1) và
a/ Có vectơ pháp tuyến là:

n





(1; 3).



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b/ Có vectơ chỉ phương là: u(4;6)
c/ Có hệ số góc k=3.

Giải:

a/ Phương trình đường thẳng () đi qua điểm M(2; 1) và nhận

(1; 3).

n  làm vectơ pháp tuyến là:

( ) 3( ) 0

( 2) 3( 1) 0 3 5 0

M M

x x y y

x y x y

   

        

b/ Đường thẳng () đi qua điểm M(2; 1) và nhận u(4;6) làm

vectơ chỉ phương có phương trình tổng qt la:

2 1

3 2 4 0

4 6 4 6

M M

x x y y x y

x y

   

      

c/ Phương trình đường thẳng () đi qua điểm M(2; 1) và có hệ số
góc k=3 là:

3(

M

)

M

3(

2) 1

3

7 y



x x





y



y



x





y



x



Dạng 3:

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M x( M;yM) và

a/ Cùng phương với đường thẳng () cho trước.

(d) cùng phương với () : Ax By C  0có phương trình
la:

( M) ( M) 0

A x x B y y 

b/ Vng góc với đường thẳng () cho trước.

(d) vng góc với () :

Ax By C





0

có phương trình
là:

(

M

)

(

M

) 0

kB x x



kA y y





, k 0 tùy chọn.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Cho đường thẳng ():

2 x



3 y



1 0



và điểm M(1; 2) viết phương
trình đường thẳng () qua điểm M và

1/ () ()
2/ ()  ()

Giải

1/ Hai đường thẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến, vậy
phương trình đường thẳng () qua M cùng phương với () là:

2(

x



1) 3(



y



2) 0





2 x



3 y

 

4 0

2/ Phương trình đường thẳng () qua M vng góc với () là:
3(x 1) 2( y2) 0  3x 2y 7 0

Dạng 4:

Viết phương trình đường thăng (d) đi qua điểm M x( M;yM) và hợp với

đường thẳng () một góc  cho trước
() có vectơ pháp tuyển là n



A B;



Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M x( M;yM) có dạng

2 2

(x xM) (y yM) 0,( 0)

        (1)

Vectơ pháp tuyến của (d) là n  



 ;



(d) hợp với () một góc bằng 

2 2 2 2

A + B
os =

.
c

A B

 



 



 

Với mỗi họ nghiệm của phương trình đẳng cấp đố với  và  chọn một
cặp (;) thay vào (1) cho ta đường thẳng cần tìm

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng qua M(0;1) và tạo với đường thẳng ():

2 x y



 

1 0

một góc bằng 300

Giải:

Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M có dạng
( 1) 0 (1)

x y

    , với









0

. Vectơ pháp tuyến của (

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

)và() lần lược là: n 



 ;





,n(2; 1) . Gọi  là góc giửa hai 
đường thẳng ()và() ta có

cos =



2 2

 

2 2



2
2 1

 



 



2 2



2
5

 



 .

Hai đường thẳng () và (') hợp với nhau một góc 300
 cos = cos300





2 2



2
5

 




= 3
2



4 2













5.3 















16 



11 



0

(2)

Do  0, đặtt,

ta có (2) trở thành 2



t2 16 11t



0

   

 t2- 16t -11 = 0 t

1,2= 85 3

 Với t = 8 5 3 ta có  



8 5 3



Chọn  1, có  



8 5 3



, thay vào (1) có



8 5 3



x y  1 0.

 Với t = 8 5 3 ta có  



8 5 3



Chọn  1, có







8 5 3



, thay vào (1) có



8 5 3





x y

  

1 0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

 

d1 : 8 5 3







x y  1 0 ,

 

d2 : 8 5 3







x y  1 0

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp chùm

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng
():2x y  3 0 , ('):

x



4 y

 

1 0

và

1) (d) đi qua A = (-1; 2)

2) (d)(1) có phương trình

4 x



3 y



20 0



.
(1)

3) (d)(2) có phương trình

x y

  

3 0

Giải:

Phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng ()
và (') có dạng:





2x y  3







x 4y1



0,









0

(2)

1) Đường thẳng (d) đi qua A Tọa độ điểm A là nghiệm của
phương trình (1) hay

 

2 1 2 3 1 4.2 1 0 3 8 0 3 8

               

Chọn 8,





3

thay vào (2) ta có









8 2x y  3  3 x 4y1 0

13 x

20 y

27 0.









Đó là phương trình đường thẳng nối A với giao điểm của () và (').
2) Ta thấy rằng tọa độ điểm A khơng là nghiệm của phương trình (1)
nên tồn tại đường thẳng qua A và (d)(1).

Viết lại (1)





2 



x



  4



y 3  0 (3)

Vectơ pháp tuyến của (d) là

n







2 



 

;3



4 



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Vectơ pháp tuyến của (1) là

n

1





4;3





Đương thẳng (d)(1)
n

  cùng phương với 1 2 3 4

4 3

n     









3 2  4 3 4 0 18 19 0 18 19 .

         

Chọn 19,  18

Thay vào (3) ta có:

(2.19 18)



x



(19 4.18)



y



3.19 18 0



 

20 x



91 y



75 0



Đây là phương trình đường thẳng (d) cần tìm
4) Đường thẳng (d) (1)

 n n 1 0

 4(2







) 3(3



 4 ) 0



 17



 8



0

chọn





8,





17

thay vao (2) ta dược:

33 x



43 y



17 0



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

ĐƯỜNG TRỊN

I. Phương trình tổng qt

(c): x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 (1)

Phương trình (1) là phương trình tổng qt của đường trịn.

2 2 0

a b c

    có tâm và bán kính 2 2

( , )

I a b

R a b c





  



II. Phương trình chính tắc.

(c): 2

0 0

(x x ) ( y y )R

Có tâm I x y( , )0 0 và bán kính R.

Ví Dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;4), B(-4;0), C(-2;-2)
Giải

Phương trình tổng quát dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0

* (c) đi qua A  12 + 42 – 2a.1 – 2b.4 + c = 0
 - 2a – 8b + c = -17 (1)
* (c) đi qua B  8a + c = -16 (2)
* (c) đi qua C  4a + 4b + c = 0 (3)
Khử c ở phương trình (1) (2) ta được: -6a+8b = 1.
Khử c ở phương trình (2) (3) ta được: 3a+b =2.

1 1

, 12

2 2

a b c

    

III. Các dạng bài toán liên quan tới đường.
Dạng 1 : Phương trình đường trịn:

Bước 1: Đưa về dạng (c): x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0

Bước 2: kiểm tra thỏa điều kiện: a2 b2 c 0
  

Bước 3: Khi đó (c) thỏa phương trình tâm I a b( , ) 2 2

R a b c





  



Ví Dụ: Cho (Cm): x2y2 2mx 2(m1)y2m 1 0

CMR: m C( m)là 1 phương trình đường trịn.

Giải

Ta có: a2 b2 c m2 (m 1)2 2m 1 2m2 2 0 m
          

Vậy m C( m)luôn là 1 phương trình đường thẳng

( , 1)

2 2

m

I m m

R m







 




Dạng 2: Vị trí tương đối của điểm và đường trịn.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bước 1: Xác định phương tích của M đối với đường tròn (c) là PM C/( )

Bước 2: Kết luận:

* Nếu PM C/( ) 0 M nằm trong đường tròn.

* Nếu PM C/( )  0 M nằm trên đường tròn.

* Nếu PM C/( )  0 M nằm ngồi đường trịn.

Ví Dụ: Cho đường tròn (c): x2 y2 8x 6y 21 0
    
Chứng tỏ rằng M(5, 2) nằm trong đường tròn.

Giải

Ta có: PM C/( ) 2 0  M nằm trong đường trịn.

Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn.

Ta tính khoảng cách h từ I tới (D) rồi so sánh với bán kính của đường
tròn ta được.

 Nếu h R  ( ) ( )d  c  

 

 Nếu h R  ( )d tiếp xúc với (c)

 Nếu h R  ( )d và (c) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B.
Ví Dụ: Cho đường trịn



2 2

( ):

1 0

( ):

1 0

d x y

c x

y

  



 

a) Chứng minh rằng ( )C và (d) tại 2 điểm phân biệt A,B.

Giải

Ta có :



 



d O d  R

Vậy đường thẳng (d) và đường tròn (C) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Dạng 4 :Vị trí tương đối của 2 đường trịn

Bước 1:Tính khoảng cách I I1 2 ( , )I I1 2 là 2 tâm của 2 đường tròn rồi so sánh

với tổng , hiệu của 2 bán kính R R1, 2 của 2 đường tròn ta được:

 Nếu I I1 2 R1R2 ( ) à (C )C v1 2 khơng cắt nhau, ở ngồi nhau .

 Nếu I I1 2 R1 R2 ( ) à (C )C v1 2 không cắt nhau, lồng nhau .

 Nếu I I1 2 R1R2 ( ) à (C )C v1 2 tiếp xúc ngoài với nhau .

 Nếu I I1 2 R1 R2 ( ) à (C )C v1 2 tiếp xúc trong với nhau.

 Nếu R1 R2 I I1 2 R1R2 ( ) à (C )C v1 2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Ví Dụ: Chứng minh rằng

 

2 2

1 8 0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Giải

 

C1 có tâm là I1



0,0



và bán kính R1 2 2



C2



có tâm là I2



0,0



và bán kính R2 2

Ta có : I I1 2 2

1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) à (C ) 1 2

R  R  I I   R R  C v cắt nhau tại 2 điểm phân biệt .
Dạng 5.Tiếp Tuyến của đường tròn.

Cách 1:

Bước 1: Tìm phương tích .

Bước 2:Dựa trên điều kiện ta tìm phương trình của đường thẳng

 

d .Ta giả 
sử phương trình đường thẳng

 

d có dạng : Ax By C  0.

Bước 3:

 

d là tiếp tuyến của

 

C  d I d( ,( ))R
Bước 4:Kết luận về tiếp tuyến

 

d

Ví dụ:

Cho điểm M( 4, 6)  và đường tròn

 

C có phương trình

 

C x: 2 y2 2x 8y 8 0

     Lập phương trình tiếp tuyến .

Giải

Ta có :PM C/( )  0 M( )C

Đường trịn

 

C có tâm là I



1, 4



bán kính là R5.

Đưởng thẳng

 

d có phương trình là : 
( ) : (d A x4)B y( 6) 0

2 2

( ) :d Ax By 4A 6B 0.(A B 0)

      

Đường thẳng

 

d là tiếp tuyến của

 

C

2 2

4 4 6

( ,( )) A B A B 5

d I d R

A B

  

   



2 2

A B A B

   

2 0

4
3

3

4

0

B

A
B

A

AB











  



 Với B=0, ta được tiếp tuyến :

 

d1 : (A x4) 0 

 

d1 :x 4 0.

 Với 4

A

B , ta được tiếp tuyến :

 

: ( 4) ( 6) 0 : 3 4 12 0.

A

d A x  y   d x y 
Vậy M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đường tròn .

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Cách 2: Sử dụng phương pháp phân đôi tọa độ .

Trường hợp 1 :Biết tiếp điểm M x y( 0, 0)ta sử dụng phương pháp phân đôi tọa

độ được phương trình tiếp tuyến : 2

0 0

(x a x )(  a) ( y b y )(  b)R (1)
Trường hợp 2 :Không biết tiếp điểm.

Bước 1:Giả sử M x y( , )0 0 là tiếp điểm khi đó phương trình tiếp tuyến
2

0 0

(x a x )(  a) ( y b y )(  b)R hoặc x x. 0y y. 0 a x x(  0) b y y(  00 c 0

Bước 2: Điểm 2 2

0 0 0 0

( ) 2 2 0

M C x y  ax  b y c  (2)

Bước 3: Sử dụng điều kiện giả thiết ta thiết lập phương trình tiếp tuyến theo

0 0

( , )x y (3)

Bước 4: Giải hệ phương trình (2) ,(3) ta đượcM x y( , )0 0 thế vào (1) ta được

phương trình tiếp tuyến .

Ví dụ : Cho điểm M(4,0) và đường tròn

 

C có phương trình

 

C x: 2 y2 2x 8y 8 0

     Lập phương trình tiếp tuyến .

Giải :
Ta có : PM C/( )  0 M( )C

Vậy: 4x0y (x 4) 4( y0) 8 0 

3x 4y 12 0

   

Dạng 6 .Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn .
Bước 1: Giả sử : ( ) :d Ax By C  0 với A2 B2 0

  là tiếp tuyến chung của 2
đường tròn

 

C1 và



C2



Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc của

 

d với

 

C1 và

 

C1

1 1

( ,( ))

d I d R

2 2

( ,( ))

d I d R

Bước 3:Kết luận chung về tiếp tuyến .

Ví dụ :Cho 2 đường tròn

 

2 2
1 : ( 1) ( 1) 1

C x  y  và



C2



: (x 2)2(y1)2 4
Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường trịn .

Giải:

Đường trịn

 

C1 có tâm là I1



1,1



và bán kính R11.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Khi đó ta giả sử phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường trịn có dạng

( ) :d Ax By C  0 với A2 B2 0
 

Ta có

 

d tiếp xúc với

 

C1 và

 

C1 khi và chỉ khi :



2 2



2 2

1 1

2 2

1
( ,( ))

( ,( )) 2 2 2

A B C

A B C A B

d I d R A B

d I d R A B C A B C A B

A B

 


   

 

      



















2 2 2 2

3
1

( 4 )

3 3

( 4 ) ( 4 ) 2 2

3 3

C B

A B B A B

C A B

C B

C A B A B A B A B

A B C

A

B



   

 



 

    





 













































3 à B=0
3
C=-3B à

C B v

B

v A







 



Khi đó ta được 2 tiếp tuyến chung :

1 1

( ) :d Ax 0 (d ) :x0

2 2

( ) : 3 0 (d ) : 3 4 12 0

B

d x By  B  x y 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

1.Định nghĩa đường Elip

Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2 .

Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho:

F

1

M + F

2

M = 2a

Trong đó:

Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của Elip

Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của Elip

Elip

2. Phương trình chinh tắc của Elip

Cho Elip (E) có các tiêu cự F1 và F2 chọn hệ trục 0xy sao cho

F1=(-c;0) và F2=(c;0)

Ta có:

 ;    2 1  1

2
2




b
y
a
x
E
y
x
M
Trong đó: b2 a2 c2




Phương trinh (1) gọi là phương trình chính tắc của Elip
VD1: Cho phương trình 4x2 9y2 1

a) phương trình trên có phải là phương trình chính tắc của elip khơng ?
b) hãy xác định các hệ số a, b và tiêu cự của elip.

Giải

a) phương trình trên chưa phải là phương trình chính tắc của elip

b) Ta có: (1) 1

3
1
2
1
1
9
1
4
1 2
2
2
2
2
2



















 x y x y

Ta có: a21 và b31

6
5
9
1
4
1
2
2
2
2
2








b
a
c

c
b
a

.F1 O
.F

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tiêu điểm:
3
5
6
5
.
2
2
2

1F  c 

F

VD2: Cho phương trình: 1

25
16
2
2

 y
x

Phương trình trên có phải là phương trình chính tắc của elip khơng? Nếu
phải thì hãy xác định các hệ số a, b và tiêu cự của elip.

Giải

Phương trình trên khơng phải là phương trình chính tắc của elip vì a = 4 < b
= 5



Chú ý:

Để tìm các yếu tố về elip trước hết cần làm những điều sau đây:
+ Biến đổi về phương trình chính tắc của (E)

2 1
2
2
2


b
y
a
x
+ Xét điều kiện của a > b > 0

3. Hình dạng của Elip

+ Elip có các trục đối xứng là ox, oy và có tâm đối xứng là gốc O
+ Elip cắt ox tại hai điểm: A1(-a;0) và A2(a;0)

+ Elip cắt oy tại hai điểm: B1(0;-b) và B2(0;b)

+ Các điểm của A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip

+ Các đoạn A1A2, B1B2 gọi là trục lớn và trục bé của elip


Nhận xét:

Nếu elip có a > b thì hai tiêu điểm ln nằm trên trục lớn

Bài tập vận dụng

1) Xác định độ dài trục lớn, trục bé, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh của elip
sau

4 2 9 2 36


 y

x

2) Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau
a. Độ dài trục lớn và bé lần lược là 8 và 6

b. Độ dài trục lớn và tiêu cự là 10 và 6

c. Elip đi qua hai điểm   






5
12
;
3
3
;

0 và N
M

Giải

1. Ta có (1) 1 3, 2, 5

4
9
2
2
2
2










y a b c a b

x
+ độ dài truc lớn : A1A2=2a=6

+ Độ dai truc bé : B1B2=2b=4

+ Tiêu điểm : F1



 5;0



,F2



5;0



+ Các đỉnh của elip là : A1(-3;0); A2(3;0); B1(0;-2); B2(0;2)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Vậy phương trình chính tắc của elip là: (E) 1
9
25
2
2

 y
x

2. a. 1

16
2
2

 y
x

b. 1
9
25
2
2

 y
x
c. (E) 2 1

2
2
2


b
y
a
x

Đi qua hai điểm   








5
12
;
3
3
;

0 và N
M

Ta có: 0;3    92 1 b3

b
E
M
 
5
25
1
25
16
9
1
25
144

9
5
12
;
3
2
2
2
2


















a
a
a

b
a
E
N

Vậy phương trình chính tắc của elip là : 1
9
25
2
2

 y
x
Tóm lại:

Phương trình Elip :

1 

0 

2
2
2
2







a

b

y

a

x

Gồm có các thành phần sau:

+ Trục lớn nằm trên ox : A1A2=2a

+ Trục bé nằm trên trục oy : B1B2=2b

+ Tiêu điểm nằm trên trục lớn : F1



 c;0



,F2



c;0



với c2 a2 b2




+ Tiêu cự : F1F2 2c

</div>

he thuc luong trong tam giac

<b>HỆ THỨC LƯỢNG TRONG </b>

<b>TAM GIÁC</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>H</b>

<b>D</b>

<b>M</b>

b

a

c

1. b

<sub>= a.b’ & c</sub>

a.c’

2. a

<sub>=</sub>

<sub>b</sub>

<sub>+ c</sub>

3. h

<sub>= b’.c’</sub>

4.

5. a.h=b.c

6.

7.

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

<b>H</b>

h

c

b

a

  



  

  

<i><sub>BC</sub></i>

<sub></sub>

<i><sub>AB</sub></i>

<sub></sub>

<i><sub>AC</sub></i>

a

c

b

-2cb.cosA

2 . osA

2

. osA

2

. osA

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>bc c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>ac c</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>ab c</i>



















b

a

osA=

; osB=

; osC=

2

2

2

<i>c</i>