Một số lớp bài toán về xác định dãy số không có đa thức đặc trưng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN ĐỨC QUY

MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN VỀ XÁC ĐỊNH
DÃY SỐ KHƠNG CĨ ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2015


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SAI PHÂN . . . . .
1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của sai phân . . .
1.1.2. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . .
1.2. DÃY SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ . . . . . . .
1.2.1. Dãy tuần hồn, phản tuần hồn cộng tính . . . . . . .

1.2.2. Dãy tuần hoàn, phản tuần hồn nhân tính . . . . . . .
1.2.3. Dãy số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Dãy số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. TUYẾN TÍNH HĨA MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN
CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY
2.1. XÁC ĐỊNH DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN
2.2. XÁC ĐỊNH MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN . . .
2.2.1. Phương pháp tách dãy . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Phương pháp phương trình hàm . . . . . . . . . .
2.2.5. Phương pháp hàm lặp . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC . . . . . . . . . . . . . .
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG LIÊN QUAN
3.1. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN . .
3.2. TÍNH TỐN TỔNG VÀ TÍCH DÃY SỐ . . . . . . .
3.3. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỔNG . . . . . .
3.4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
5
9
9
10
11

11
12
12

SỐ
17
HOÀN 17
. . . . 20
. . . . 20
. . . . 24
. . . . 30
. . . . 32
. . . . 38
. . . . 40

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

45
45
49
53
63


KẾT LUẬN

70

TÀI LIỆU THAM KHẢO

71

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

NGUYỄN ĐỨC QUY

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần
quan trọng của đại số và giải tích tốn học. Các dạng tốn liên quan đến
dãy số thường khó và phức tạp. Trong chương trình trung học phổ thơng,
những khái niệm về dãy số thường khó hình dung về cấu trúc đại số , trừu
tượng đối với hầu hết học sinh.
Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng trong tốn học, khơng chỉ như là
những đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị như là một cơng cụ đắc
lực của giải tích tốn học.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia, thi Olympic toán
quốc tế, các bài toán liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thường
thuộc loại khó. Các bài tốn về ước lượng và tính giá trị các tổng, tích
cũng như các bài tốn xác định số hạng tổng quát của dãy số là những bài
tập phổ biến nhất.
Với những lí do trên, tơi chọn đề tài: "Một số lớp bài tốn về xác định
dãy số khơng có đa thức đặc trưng" để làm đề tài luận văn thạc sĩ của
mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài
Mục đích của luận văn là giới thiệu các phương pháp xác định dãy số
khi khơng có đa thức đặc trưng cũng như các ứng dụng của dãy số trong
các bài tốn đại số, giải tích, số học. . .
Nhiệm vụ nghiên cứu là xác định được các dãy số nào có thể dùng
phương pháp sai phân để tìm cơng thức tổng quát , những dãy số nào
không thể tuyến tính hóa mà phải sử dụng các phương pháp khác để tìm
cơng thức tổng qt.

3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình, bài giảng của GS.TSKH Nguyễn
Văn Mậu, các diễn đàn toán học từ nguồn Internet. Từ đó sưu tầm, phân


2

tích, tổng hợp các dạng tốn có liên quan đề tài và trao đổi với thầy hướng
dẫn các kết quả đang nghiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các dãy số không thể xác định được do khơng
có đa thức đặc trưng, nên cần phải có phương pháp khác để giải quyết bài
tốn này.
Phạm vi nghiên cứu là dựa trên các dạng toán về dãy số thực thường
xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi như thi Olympic 30-4, thi học
sinh giỏi quốc gia, các chuyên đề hội thảo hằng năm. . . , từ đó tổng hợp
và phân dạng cụ thể.
5. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương
Chương 1 trình bày sơ lược các kiến thức cơ sở về toán tử sai phân,
dãy số tuần hồn, phản tuần hồn cộng tính và nhân tính và một số tính
chất liên quan.
Chương 2 trình bày các bài tốn về xác định dãy số trong lớp dãy
tuần hồn cộng tính và nhân tính, dãy phi tuyến, một số kỹ thuật biến
đổi sơ cấp để xác định dãy số .
Chương 3 xét các ứng dụng và các bài toán liên quan về dãy số như
các bài tốn tìm tổng tích, tính chia hết, . . .
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với
sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.

3

CHƯƠNG 1

NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SAI PHÂN
1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của sai phân
Định nghĩa 1.1 ([3]-[5]). Cho hàm số y = f (x) xác định trên R, đặt
xk = x0 +kh, (k ∈ N∗ ) với x0 ∈ R, h ∈ R, bất kỳ, cho trước. Gọi yk = f (xk )
là giá trị của hàm số f (x) tại x = xk . Khi đó, hiệu số ∆yk := yk+1 − yk ,
(k ∈ N∗ ) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f (x). Hiệu số ∆2 yk :=
∆yk+1 − ∆yk = ∆∆yk , (k ∈ N∗ ) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số
f (x). Tổng quát, ∆i yk := ∆i−1 yk+1 − ∆i−1 yk = ∆(∆i−1 yk ) (k ∈ N∗ ) được
gọi là sai phân cấp i của hàm số f (x), (i = 1; 2; 3; . . . ; n; . . . ).
Mệnh đề 1.1. [Biểu diễn sai phân theo giá trị của hàm số]
Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số:

y0 ; y1 ; y2 ; . . . ; y n ; . . .
Chứng minh. Ta có

∆yk = yk+1 − yk
∆2 yk = ∆yk+1 − ∆yk
= yk+2 − yk+1 − (yk+1 − yk )
= yk+2 − 2yk+1 + yk
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được:
i

(−1)s Cis yk+i−s .

i

∆ yk =
s=0

Mệnh đề 1.2. [ Sai phân của hằng số]
Sai phân của hằng số bằng 0.
Chứng minh. Thật vậy, với y = f (x) = C = const ta có:

∆f (x) = C − C = 0.
Hơn thế, sai phân mọi cấp của hằng số đều bằng 0.


4

Mệnh đề 1.3. [Tính chất tuyến tính của sai phân]
Sai phân mọi cấp là một tốn tử tuyến tính trên tập các hàm số. Tức là

∀i∈ N∗ , ∀α, β ∈ R, ∀f (x); g(x) : R → R
ta luôn có:

∆i (αf (x) + βg(x)) = α∆i f (x) + β∆i g(x).
Chứng minh. Thật vậy, đặt fk = f (xk ); gk = g(xk ), ta thu được
i

(−1)s Cis [αfk+i−s + βgk+i−s ]

i

∆ (αfk + βgk ) =
s=0

i

i
s

=α

(−1)
s=0
i

Cis fk+i−s

(−1)s Cis gk+i−s

+β
s=0

i

= α∆ fk + β∆ gk .
Vậy nên: ∆i (αf (x) + βg(x)) = α∆i f (x) + β∆i g(x), ∀i ∈ N∗ . (đpcm)
Mệnh đề 1.4. [Sai phân của đa thức]
Sai phân cấp i của một đa thức bậc n
- Là một đa thức bậc n − i khi i < n.
- Là hằng số khi i = n.

- Bằng 0 khi i > n.
Chứng minh. Do sai phân mọi cấp là tốn tử tuyến tính nên ta chỉ
cần chứng minh tính chất cho đa thức y = Pn (x) = xn .
- Khi i < n ta có
10 ) Với i = 1 thì: ∆xn = (x + h)n − xn = Pn−1 (x) là đa thức bậc n − 1
đối với x. Vậy khẳng định đúng với i = 1.
20 ) Giả sử khẳng định đúng với i = k < n, tức là ∆k xk = Pn−k (x) là đa
thức bậc n − k đối với x. Khi đó

∆k+1 xn = ∆(∆k xn )
= ∆k ((x + h)n − ∆k (xn ))
= Pn−k (x + h) − Pn−k (x)
= Pn−k−1 (x)
là đa thức bậc n − k − 1 = n − (k + 1) đối với x.
Vậy khẳng định cũng đúng với i = k + 1. Từ đó, theo nguyên lý quy nạp


5

toán học suy ra khẳng định đúng với mọi i ∈ N∗ .
- Khi i = n thì ∆n (xn ) là đa thức cấp n − n = 0 đối với x nên là hằng số.
- Khi i > n thì

∆i (xn ) = ∆i−n (∆n (xn )) = ∆i−n C (C = const) = 0
Vậy tính chất đã được chứng minh hồn tồn.
Mệnh đề 1.5. [Cơng thức sai phân từng phần]

∆(fk gk ) = fk ∆gk + gk+1 ∆fk .
Chứng minh. Ta có

∆(fk gk ) = fk+1 gk+1 − fk gk
= fk+1 gk+1 − fk gk+1 + fk gk+1 − fk gk
= gk+1 (fk+1 − fk ) + fk (gk+1 − gk )
= fk ∆gk + gk+1 ∆fk .
Mệnh đề 1.6. [Tổng các sai phân]
n

∆yk = yn+1 − y1 .
k=1

Chứng minh.
n

∆yk = ∆y1 + ∆y2 + · · · + ∆yn−1 + ∆yn
k=1

= y2 − y1 + y3 − y2 + · · · + yn − yn−1 + yn+1 − yn
= yn+1 − y1 .
1.1.2. Phương trình sai phân tuyến tính
Định nghĩa 1.2 ([1]-[5]). Phương trình sai phân (cấp k ) là một hệ
thức tuyến tính chứa sai phân các cấp tới k.

f (yn ; ∆yn ; ∆2 yn ; . . . ; ∆k yn ) = 0.

(1.1)

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên
(1.1) có dạng:

a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n),

(1.2)


6

trong đó a0 ; a1 ; . . . ; ak , f (n) đã biết, còn yn , yn+1 , . . . , yn+k là các giá trị
chưa biết.
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp
k.
Nếu f (n) = 0 thì phương trình (1.2) có dạng

a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = 0

(1.3)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k .
Nếu f (n) = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
khơng thuần nhất.
Nghiệm của phương trình sai phân.
Hàm số yn biến n thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương
trình sai phân tuyến tính (1.2).
Hàm số yn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệm
tổng quát của (1.3).
Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (1.3) được gọi là một nghiệm riêng của (1.2).
- Trước hết, ta xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một dạng

x1 = α, axn+1 + bxn = f (n), n ∈ N∗ ,
trong đó a, b, α là các hằng số (a = 0) và f (n) là biểu thức của n cho
trước.

Nhận xét rằng các cấp số cơ bản như cấp số cộng và cấp số nhân là
những dạng đặt biệt của phương trình sai phân tuyến tính.
Ví dụ 1.1. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân biết
rằng số hạng đầu tiên bằng 9 và cơng bội bằng 3.
Lời giải. Ta có
xn+1 = 3xn , x1 = 9.
Phương trình đặt trưng có nghiệm λ = 3. Do đó xn = c.3n . Do x1 = 9 suy
ra c = 3. Vậy xn = 3n+1 .
Ví dụ 1.2. Cho a, b, α là các số thực cho trước (a = 0) và dãy {xn }
xác định như sau

x0 = α, axn+1 + bxn = 0, n = 0, 1, 2, . . .
Tìm số hạng tổng quát của dãy.


7

Lời giải. Nếu b = 0 thì dãy xn = 0, n = 1, 2, . . .

b
Nếu b = 0, phương trình đặt trưng aλ + b = 0 có nghiệm λ = − .
a
b n
Do đó xn = c(− ) . Và x0 = α nên c = α. Vậy
a
xn = α.(−

b
a

n

.

- Xét tiếp phương trình sai phân tuyến tính cấp hai dạng

x1 = α, x2 = µ, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n ∈ N∗ .
trong đó a, b, c, α, µ là các hằng số, a
cho trước.

0 và A(n) là các biểu thức theo n

Ví dụ 1.3. Tìm dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện

x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = 0, n ∈ N∗ .
Lời giải. Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm λ.
a. Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực khác nhau thì xn = Aλn1 + Bλn2 , trong
đó A, B được xác định khi biết x1 , x2 .
b. Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực và λ1 = λ2 = λ thì xn = (A + Bn)λn ,
trong đó A, B được xác định khi biết x1 , x2 .
Ví dụ 1.4. Tìm dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện

x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), n

2, n ∈ N∗ .

trong đó a = 0, A(n) là đa thức theo n cho trước.
Lời giải. Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0 xác định các
giá trị của λ. Nghiệm của phương trình có dạng xn = xn + x∗n , trong đó xn
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất axn+1 + bxn + cxn−1 = 0

và x∗n là nghiệm riêng của phương trình axn+1 + bxn + cxn−1 = A(n), trong
đó A(n) = 0.
Ta tìm nghiệm xn của phương trình thuần nhất axn+1 + bxn + cxn−1 = 0
theo ví dụ 1.3 với các hệ số A, B chưa được xác định. Nghiệm x∗n được xác
định:
- Nếu λ = 1 thì x∗n là đa thức cùng bậc với A(n).
- Nếu λ = 1 thì x∗n = n.f (n), trong đó f (n) là đa thức cùng bậc với A(n).


8

- Nếu λ = 1 là nghiệm bội thì x∗n = n2 .f (n), trong đó f (n) là đa thức cùng
bậc với A(n). Thay x∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được
x∗n . Từ hệ thức xn = xn + x∗n và các giá trị x1 , x2 ta tìm được các hệ số A,
B.
Ví dụ 1.5. Tìm dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện

x1 = α, x2 = β, axn+1 + bxn + cxn−1 = γ.η n , n

2, n ∈ N∗ .

Lời giải. Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, ta tìm được
λ. Nghiệm phương trình có dạng xn = xn + x∗n , với xn được tìm như trong
ví dụ 1.3 , các hệ số A, B chưa xác định, x∗n được xác định như sau
- Nếu λ = η thì x∗n = k.η n .
- Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì x∗n = kn.η n .
- Nếu phương trình có nghiệm kép λ = η thì x∗n = kn2 .η n . Thay x∗n vào
phương trình, sử dụng phương pháp đồng nhất các hệ số ta tìm được k .
Từ các giá trị x1 , x2 và xn = xn + x∗n ta tìm được các hệ số A, B .
Tiếp theo, ta xét phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương

trình sai phân có dạng

x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n

3.

Ví dụ 1.6. Tìm dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện

x1 = α, x2 = β, x3 = γ, axn+1 + bxn + cxn−1 + dxn−2 = A(n), n

3.

trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các hằng số cho trước, A(n) là biểu thức cho
trước.
Lời giải. Trong dạng này ta chỉ xét phương trình đặc trưng có
nghiệm thực.
Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng
xn = xn + x∗n , trong đó xn là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến
tính thuần nhất, và x∗n là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính khơng
thuần nhất.
Phương trình đặc trưng

aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0
i. Phương trình có ba nghiệm thực λ1 , λ2 , λ3 phân biệt. Khi đó

xn = a1 λn1 + a2 λn2 + a3 λn3


9

ii. Phương trình có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (λ1 = λ2 =
λ3 ) thì
xn = (a1 + a2 n)λn1 + a3 λn3
iii. Nếu phương trình có nghiệm bội 3(λ1 = λ2 = λ3 ) thì

xn = (a1 + a2 n + a3 n2 )λn1
Gọi x∗n là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính khơng thuần
nhất.
a) Xét A(n) là một đa thức theo n. Ta có
- Nếu λ = 1 thì x∗n là đa thức cùng bậc với A(n).
- Nếu λ = 1 là nghiệm đơn thì x∗n = n.B(n) trong đó B(n) là đa thức cùng
bậc với đa thức A(n).
- Nếu λ = 1 là nghiệm bội 2 thì x∗n = n2 .B(n) trong đó B(n) là đa thức
cùng bậc với đa thức A(n).
- Nếu λ = 1 là nghiệm bội 3 thì x∗n = n3 .B(n) trong đó B(n) là đa thức
cùng bậc với đa thức A(n).
b) Trường hợp A(n) = χη n . Ta có
- Nếu λ = η thì x∗n = k.n.η n
- Nếu λ = η là nghiệm đơn thì x∗n = k.η n .
- Nếu λ = η là nghiệm bội 2 thì x∗n = k.n2 η n .
- Nếu λ = η là nghiệm bội 3 thì x∗n = kn3 .η n .

1.2. DÃY SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ
1.2.1. Dãy tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính
Định nghĩa 1.3 ([1]-[5]). Một hàm số u xác định trên tập hợp các
số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vơ hạn (hay cịn gọi tắt là dãy
số).
Định nghĩa 1.4 ([1]-[5]). Dãy số {un } được gọi là dãy tuần hồn
cộng tính nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho:

un+l = un , ∀n ∈ N∗ .

(1.4)

Số nguyên dương l bé nhất để dãy {un } thỏa mãn điều kiện (1.4) được gọi
là chu kỳ cơ sở của dãy.


10

Ví dụ 1.7. Dãy số {un } với un = sin πn là dãy tuần hồn cộng
tính với chu kỳ 2 vì un = sin(nπ) thì un+2 = sin[(n + 2)π] = sin(nπ) =
un , ∀n ∈ N∗ .
Định nghĩa 1.5 ([1]-[5]). Dãy số {un } được gọi là dãy phản tuần
hồn cộng tính nếu tồn tại số ngun dương l sao cho:

un+l = −un , ∀n ∈ N∗ .
Ví dụ 1.8. Dãy số {un } với un = sin πn là dãy phản tuần hồn cộng
tính với chu kỳ 1 vì un = sin(nπ) thì un+1 = sin((n + 1)π) = − sin πn =
−un , ∀n ∈ N∗
Ví dụ 1.9. Tìm một dãy số {un } tuần hồn cộng tính chu kỳ 3, tức
là: un+3 = un , ∀n ∈ N∗ .
Lời giải. Xét dãy số {un } với un = sin(λn)
Ta chọn λ sao cho sin λ(n + 3) = sin(λn)
⇒ sin(λn + 3λ) = sin(λn)
2π
⇒λ=
3
2π
Do đó un = sin( .n) là dãy cần tìm.

3
Nhận xét 1.1. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đã cho là
một dãy hằng.
Dãy số {un } với un = sin πn hay un = cos πn là dãy tuần hồn, vừa phản
tuần hồn cộng tính.
Nhận xét 1.2. Dãy tuần hồn (cộng tính) chu kỳ 2 khi và chỉ khi
dãy có dạng
1
un =
α + β + (α − β)(−1)n+1 , α, β ∈ R.
2
Nhận xét 1.3. Một dãy phản tuần hồn cộng tính chu kỳ r thì sẽ
tuần hồn cộng tính chu kỳ 2r.

1.2.2. Dãy tuần hồn, phản tuần hồn nhân tính
Định nghĩa 1.6 ([1]-[5]). Dãy số {un } được gọi là dãy tuần hồn
nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

usn = un , ∀n ∈ N∗

(1.5)

Số nguyên dương s bé nhất để dãy số {un } thỏa mãn điều kiện (1.5) được
gọi là chu kì cơ sở của dãy.


11

Ví dụ 1.10. Dãy số {un } với un = sin(2π. log2 n)là dãy số tuần hồn
nhân tính chu kỳ 2, vì un = sin(2π. log2 n) thì:

u2n = sin(2π. log2 (2n)) = sin(2π.(1 + log2 n)) = sin(2π + 2π. log2 n) =
sin(2π. log2 n) = un , ∀n ∈ N∗ .
Định nghĩa 1.7 ([1]-[5]). Dãy số {un } được gọi là dãy phản tuần
hồn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

usn = −un , ∀n ∈ N∗ .
Ví dụ 1.11. Dãy số {un } với un = sin(π. log3 n)là dãy số phản tuần
hồn nhân tính chu kỳ 3, vì un = sin(π. log3 n) thì: u3n = sin(π. log3 (3n)) =
sin(π.(1 + log3 n)) = sin(π + π. log3 n) = − sin(π. log3 n) = −un , ∀n ∈ N∗ .

1.2.3. Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1.8 ([1]-[5]).
- Dãy số {un } được gọi là một dãy số tăng (tương ứng tăng ngặt) nếu với
mọi n ∈ N∗ ta có: un ≤ un+1 ( tương ứng un < un+1 ).
- Dãy số {un } được gọi là một dãy số giảm (tương ứng giảm ngặt) nếu với
mọi n ∈ N∗ ta có: un ≥ un+1 ( tương ứng un > un+1 ).
- Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu.
Chú ý 1.1.
- Mọi dãy số {un } giảm luôn bị chặn trên bởi u1 .
- Mọi dãy số {un } tăng luôn bị chặn dưới bởi u1 .

1.2.4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 1.9 ([3]-[5]).
- Dãy số {un } được gọi là một dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao
cho với mọi n ∈ N∗ , un ≤ M.
- Dãy số {un } được gọi là một dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao
cho với mọi n ∈ N∗ , un ≥ m.
- Dãy số {un } được gọi là một dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa
bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho với mọi
n ∈ N∗ , m ≤ un ≤ M.

12

1.2.5. Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.10 ([3]-[5]). Cho {un } là dãy số thực.
- Dãy số {un } hội tụ về a (a hữu hạn) khi n → +∞, ký hiệu là lim un = a
n→+∞
∗

hay lim un = a nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N sao cho với
mọi n ≥ n0 , thì |un − a| < ε.

lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , |un − a| < ε.
- Dãy số {un } tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại
n0 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ n0 thì un > A (theo thứ tự un < A).
- Dãy số có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy không hội tụ gọi là dãy
phân kỳ.

1.3. TUYẾN TÍNH HĨA MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN
Tuyến tính hóa một phương trình sai phân nghĩa là đưa một phương
trình sai phân ở dạng phi tuyến về dạng tuyến tính. Giả sử dãy số {un }
u = α ;u = α ;...;u = α
thỏa mãn điều kiện: u1 = f 1(u 2 , u 2 , . . . ,ku )k n; k ∈ N∗ ; n > k
n
n−1 n−2
n−k
Trong đó f là một đa thức đại số bậc m hoặc phân thức, hoặc là biểu
thức siêu việt. Giả sử hàm số f (un−1 , un−2 , . . . , un−k ) có thể tuyến tính
hóa được, khi đó tồn tại các giá trị x1 ; x2 ; . . . ; xk sao cho

un = x1 un−1 + x2 un−2 + · · · + xk un−k

(1.6)

Để tìm x1 ; x2 ; . . . ; xk trước hết ta xác định uk+1 ; uk+2 ; . . . ; u2k . Từ cơng
thức lặp đã cho ta có.


 uk+1 = f (αk ; αk−1 ; . . . ; α2 ; α1 ) := αk+1
uk+2 = f (αk+1 ; αk ; . . . ; α3 ; α2 ) := αk+2
(1.7)
.
.
.
.
.
.
.
.
.


u2k = f (α2k−1 ; α2k−2 ; . . . ; αk+1 ; αk ) := α2k
Thay các giá trị u1 ; u2 ; . . . ; uk đã cho và các giá trị uk+1 ; uk+2 ; . . . ; u2k
vừa tìm được ở trên vào (1.6) ta được hệ phương trình tuyến tính gồm k
phương trình với k ẩn x1 ; x2 ; . . . ; xk .

uk+1 = x1 αk + x2 αk−1 + · · · + xk−1 α2 + xk α1



uk+2 = x1 αk+1 + x2 αk + · · · + xk−1 α3 + xk α2
(1.8)
.
.
.
.
.
.
.
.
.


u2k = x1 α2k−1 + x2 α2k−2 + · · · + xk−1 αk+1 + xk αk


13

Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm: x1 ; x2 ; . . . ; xk . Thay vào
(1.6) ta sẽ được biểu diễn tuyến tính cần tìm.
un = f (un−1 ; un−2 ; . . . ; un−k ) = x1 un−1 + x2 un−2 + · · · + xk un−k
Sau đó ta chứng minh cơng thức biểu diễn trên bằng phương pháp quy
nạp toán học.
Chú ý 1.2. Nếu hệ (1.8) vơ nghiệm thì hàm f khơng thể tuyến tính
hóa được.
Ví dụ 1.12. Cho dãy số {an } thỏa mãn

a2n−1 + 2
; ∀n > 2

an−2
Hãy tuyến tính hóa, tìm số hạng tổng qt của dãy.
Lời giải. Giả sử an có thể biểu diễn tuyến tính là:
a1 = a2 = 1; an =

an = αan−1 + βan−2 + γ

(1.9)

Ta có

a22 + 2 1 + 2
=
=3
a3 =
a1
1
a2 + 2 9 + 2
a4 = 3
=
= 11
a2
1
a24 + 2 121 + 2
=
a5 =
= 41
a3
3
Thay a3 = 3; a4 = 11; a5 = 41 vào (1.9) ta thu được hệ

αa2 + βa1 + γ = a3
α+β+γ =3
αa3 + βa2 + γ = a4 ⇔ 3α + β + γ = 11
⇔
αa4 + βa3 + γ = a5
11α + 3β + γ = 41
Vậy ta có:
an = 4an−1 − an−2

phương trình.
α=4
β = −1
γ=0
(1.10)

Ta sẽ chứng minh dãy số {an } thỏa mãn đầu bài có biểu diễn tuyến tính
là
a1 = a2 = 1; an = 4an−1 − an−2 với mọi n ≥ 3
(1.11)
Thật vậy, với n = 3 ta có: a3 = 4.a2 − a1 = 4.1 − 1 = 3 do đó (1.9) đúng
với n = 3 Giả sử (1.9) đúng tới n = k tức là: ak = 4ak−1 − ak−2 (k ≥ 3).
Ta có
a2k + 2 (4ak−1 − ak−2 )2 + 2
=
ak+1 =
ak−1
ak−1


14

16a2k−1 − 8ak−1 .ak−2 + a2k−2 + 2
=
ak−1
2
15ak−1 − 4ak−1 ak−2 + a2k−1 − 4ak−1 ak−2 + ak−1 ak−3
=
ak−1
(a2k−2 + 2 = ak−1 ak−3 )
15a2k−1 − 4ak−1 ak−2 + ak−1 (ak−1 − 4ak−2 + ak−3 )
=
ak−1
15a2k−1 − 4ak−1 ak−2
=
ak−1
(ak−1 − 4ak−2 + ak−3 = 0)
= 15ak−1 − 4ak−2 = 4(4ak−1 − ak−2 ) − ak−1
= 4ak − ak−1 .
Vậy (1.9) cũng đúng tới n = k + 1. Theo nguyên lý quy nạp ta được (1.9)
đúng với mọi n ∈ N; n ≥ 3.
Từ (1.10) ta thấy ngay ∀n ∈ N∗ : an ∈ Z. Ngoài ra, ta đã chứng minh
được:

 a1 = a2 = 1
a = a2 = 1
a2n−1 + 2
⇔ a1 = 4a
(n ≥ 3)
n
n−1 − an−2 (n ≥ 3).

 an =
an−2
Để tìm số hạng tổng quát ta giải phương trình (1.11). Có phương trình
đặc trưng:
√
λ = 2 + √3
2
λ − 4λ + 1 = 0 ⇔
λ=2− 3
Do đó:

an = a.(2 +

√

3)n + b.(2 −

√

3)n .

Thay vào điều kiện ban đầu ta được

1
5
1
5
a = (3 − √ ); b = (3 + √ )
2
2

3
3
Vậy số hạng tổng quát cần tìm là.

an =

√
√
1
5
5
(3 − √ )(2 + 3)n + (3 + √ )(2 − 3)n .
2
3
3


15

Ví dụ 1.13. Cho dãy số (un ) thỏa mãn.

bu2n + c với a2 − b = 1; α > 0; a > 1.

u1 = α; un+1 = aun +

(1.12)

Hãy tuyến tính hóa dãy số trên.
Lời giải. Ta có

bu2n + c ⇔ un+1 − aun =

un+1 = aun +

bu2n + c

⇒ (un+1 − aun )2 = bu2n + c
⇒ u2n+1 + (a2 − b)u2n = 2aun+1 un + c
⇒ u2n+1 + u2n = 2aun+1 un + c (1)
⇒ u2n − u2n−1 = 2aun un−1 + c (2)
Trừ từng vế (1) và (2) ta được

u2n+1 − u2n−1 = 2aun (un+1 − un−1 )
Mà un+1 − un−1 > 0 nên suy ra

un+1 − 2aun + un−1 = 0
nói cách khác:
(1.12) ⇔

√
u1 = α; u2 = aα + bα2 + c
un+1 − 2aun + un−1 = 0

Như vậy việc tuyến tính hóa đã thực hiện xong.
Đơi khi việc tuyến tính hóa phải thơng qua bước đặt ẩn phụ mới cho
ta phương trình đặc trưng.
Ví dụ 1.14. Cho dãy số {xn } được xác định như sau:

x1 = 1; x2 = a > 0; xn+2 =

3

x2n+1 .xn (∀n = 1; 2; . . . ).

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số {xn }.
Lời giải. Ta thấy xn > 0, ∀n = 1; 2; . . . .
Từ xn+2 =

3

x2n+1 .xn (∀n = 1; 2; . . . ), lấy logarit cơ số e hai vế ta được
ln xn+2 =

2
1
ln xn+1 + ln xn , ∀n = 1; 2; . . .
3
3


16

Đặt ln xn = un , ta được dãy số {xn } như sau:

1
2
u1 = 0; u2 = ln a; un+2 = un+1 + un , ∀n = 1; 2; . . .
3
3
Xét phương trình đặc trưng:

2
1
λ − λ − = 0 ⇔ 3λ2 − 2λ − 1 = 0 ⇔
3
3
2

λ=1
λ=−

1
3

1 n
Vậy un = A + B −
, ∀n = 1; 2; . . . (A, B là các hằng số).
3
Từ u1 = 0; u2 = ln a ta có hệ phương trình:


B
3 ln a


 A−
A=
=0
3
4

⇔
B
9
ln
a


 A+
B=
= ln a
.
9
4
1 n
3 ln a 9 ln a
, ∀n = 1; 2; . . . .
−
+
Vậy un =
4
4
3

n
3 ln a 9 ln a 1
− 
+
4
4
3 .

Suy ra xn = e


17

CHƯƠNG 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

2.1. XÁC ĐỊNH DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN
HOÀN
Đầu tiên, ta xét các dãy số tuần hồn cộng tính ở mức đơn giản như
sau:
Bài toán 2.1. Xác định tất cả các dãy tuần hoàn chu kỳ 2

xn+2 = xn , n = 0; 1; 2 . . .
Lời giải. Ta có:

x0 = x2 = x4 = · · · = a
x1 = x3 = x5 = · · · = b
nên

xn =

a khi n = 0( mod 2)
b khi n = 1( mod 2) , a, b tùy ý.

Vậy

xn =

a−b
a+b
+ (−1)n
,
2
2

với a, b tùy ý.
Bài toán 2.2. Xác định tất cả các dãy phản tuần hoàn chu kỳ 2

xn+2 = −xn , n = 0; 1; 2; . . .
Lời giải. Ta có: xn+4 = −xn+2 = −(−xn ) nên

x0
x1
x2
x3

= x4
= x5
= x6
= x7

= x8 = · · · = a
= x9 = · · · = b
= x10 = · · · = −a
= x11 = · · · = −b

18

Vậy


 a khi
b khi
xn = −a khi


−b khi

n = 0(mod 4)
n = 1(mod 4)
n = 2(mod 4) với a, b tùy ý.
n = 3(mod 4)

Tiếp theo, ta xét các dãy số tuần hồn nhân tính.
Bài tốn 2.3. Xác định tất cả các dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ
2.

x2n = xn , n = 1; 2; . . .
Lời giải. Ta có
x1 = x2 = x4 = x8 = · · · = a1
x3 = x6 = x12 = x24 = · · · = a3
x5 = x10 = x20 = x30 = · · · = a5
... ... ... ...
x2n+1 = x2(2n+1) = x22 (2n+1) = · · · = a2n+1
Vậy

xn =

a2m+1 khi n = 2m + 1, m ∈ N
a2m+1 khi n = (2m + 1)2s , s ∈ N∗ , m ∈ N

a1 ; a3 ; . . . ; a2m+1 tùy ý.
Bài toán 2.4. Xác định các dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện

x2n + 3xn = 5, n = 1; 2; . . .
x4n = xn ,
n = 1; 2; . . .

(2.1)

Lời giải. Thay n bởi 2n, ta được:

x4n + 3x2n = 5 ⇔ xn + 3x2n = 5, n = 1; 2; . . .

(2.2)

Từ (2.2) và (2.1) ta có hệ phương trình

x2n + 3xn = 5
3x2n + xn = 5
5
Suy ra được: xn = , n = 1; 2; . . .
4
Thử lại ta thấy dãy thỏa điều kiện đầu bài.
Bài toán 2.5. Xác định các dãy số {xn } thỏa điều kiện

xn + 2x2n − 5x4n = bn , n = 1; 2; . . .
x8n = xn , n = 1; 2; . . .

(2.3)


19

Trong đó {bn } là dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ 2 tùy ý cho trước.
Lời giải. Thay n bởi 2n vào (2.3) được

x2n + 2x4n − 5x8n = b2n ⇔ x2n + 2x4n − 5xn = bn , ∀n = 1; 2; . . .
Thay n bởi 4n vào (2.3) được

x4n + 2x8n − 5x16n = b4n ⇔ x4n + 2xn − 5x2n = bn
Ta được hệ phương trình

xn + 2x2n − 5x4n = bn
x2n + 2x4n − 5xn = bn
x4n + 2xn − 5x2n = bn
hay

xn + 2x2n − 5x4n = bn
−5xn + x2n + 2x4n = bn
2xn − 5x2n + x4n = bn
Xét định thức

D3 =

1 2 −5

−5 1 2
2 −5 1

có
DetD3 = 1 + 8 − 125 + 10 + 10 + 10 = −86
và

Dxn =

bn 2 −5
bn 1 2
bn −5 1

Suy ra
DetDxn = bn + 4bn + 10bn + 5bn + 10bn − 2bn = 43bn
Từ đó suy ra

xn =

1
DetDxn
= − bn
DetD3
2

Vậy

1
xn = − bn
2

Trong đó {bn } là dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ 2 tùy ý cho trước.


20

2.2. XÁC ĐỊNH MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN
Trong phần này ta nghiên cứu các dãy số khơng có đa thức đặc trưng
mà khơng thể tuyến tính hóa được, do đó cần có các phương pháp khác
để xác định dãy số.

2.2.1. Phương pháp tách dãy
Là việc chuyển từ một dãy truy hồi thành hai dãy phụ mà có thể tìm
số hạng tổng qt dễ dàng.
Bài tốn 2.6. Tìm dãy số {xn } thỏa mãn các điều kiện

x1 = a, xn+1

x2n + d
, d
=
2xn

0.

(2.4)

1
1
Lời giải. Khi d = 0 ta có xn+1 = xn , suy ra xn = ( )n−1 a.
2

2
Xét trường hợp d > 0. Nhận xét rằng nếu un , vn là các nghiệm của hệ
phương trình
un+1 = u2n + dvn2
vn+1 = 2un vn , u1 = a, v1 = 1
un
là nghiệm của phương trình (2.4). Thật vậy, ta chứng minh
thì xn =
vn
bằng quy nạp như sau, khi n = 1 ta có
u1
x1 =
= a.
v1
un
Khẳng định đúng với n = 1 Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là xn =
vn
là nghiệm của (2.4). Khi đó

xn+1 =

un+1
vn+1

u2n
+d
u2n + dvn2
x2n + d
vn2
=

=
un = 2x
2un vn
n
2
vn

Vậy xn+1 cũng là nghiệm của (2.4). Tức là khẳng định cũng đúng tới n+1.
Theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định trên đúng với mọi n ∈ N∗ .
Như vậy để tìm nghiệm của (2.4) ta giải hệ
2
2
u
√n+1 = un +√dvn
dvn+1 = 2 dun vn , u1 = a, v1 = 1


21

Thực hiện cộng theo vế các phương trình trong hệ ta thu được:
√
√
un+1 + dvn+1 = (un + dvn )2
Do đó

√
un+1 +

√
dvn+1 = (un +

2

dvn ) = · · · = (u1 +

√

2n

dv1 )

√
= (a +

n

d)2

Tương tự, trừ vế theo vế các phương trình trong hệ ta được:
√
√
√
√ 2n
2
2n
un+1 − dvn+1 = (un − dvn ) = · · · = (u1 − dv1 ) = (a − d)
Do đó

Do xn =


√ n
√ n
1

 un+1 =
(a + d)2 + (a − d)2
2
√ n
√ n
1

 vn+1 = √ (a + d)2 − (a − d)2
2 d

un
suy ra
vn
√
xn =

√ n−1
√ n−1
d (a + d)2 + (a − d)2
√
√
(a + d)2n−1 − (a − d)2n−1

Bằng quy nạp ta chứng minh được kết quả xn thỏa mãn bài tốn đã cho.
Bài tốn 2.7. Tìm dãy số {xn } thỏa mãn các điều kiện

x1 = a, xn+1 =

2xn
, d ≥ 0, n ∈ N∗ .
2
1 + dxn

(2.5)

Lời giải. Trường hợp d = 0. Khi đó xn+1 = 2xn và xn = 2n−1 a.
Trường hợp d > 0. Giả sử un , vn là một nghiệm của hệ phương trình

un+1 = u2n + dvn2
vn+1 = 2un vn , u1 = 1, v1 = a.
un
là một nghiệm của phương trình (2.5) (chứng minh bằng quy
vn
nạp). Ta có
2
2
u
√n+1 = un +√dvn
dvn+1 = 2 dun vn , u1 = 1, v1 = a.
thì xn =

Thực hiện cộng vế theo vế của các phương trình ta thu được
√
√
un+1 + dvn+1 = (un + dvn )2