SKKN day toan 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.96 KB, 35 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Mục lục

1. Lí do chọn đề tài 2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận 3

2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng 3
 2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 4

2.2 Thực trạng của vấn đề 10

2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 11
2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị 11
 2.3.2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho

15
 2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua

một điểm cho trước

2.4. Hiệu quả của SKKN 22

2.4.1 Khảo sát thực tế: 22

2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN: 22

3. Kết luận: 24

Phụ lục
Đề số 1

Đề số 2 30

Tài liệu tham khảo 35

1. Lí do chọn đề tài

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

phương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ
đó kẻ được các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số …

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những
nội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển
sinh vào CĐ – ĐH trong những năm gần đây, nhưng rất nhiều học sinh cịn mơ
hồ và lúng túng khơng biết giải bài tốn này. Bài tốn viết phương trình tiếp
tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm giữa bài tốn viết
phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương trình tiếp tuyến tại một
điểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số
góc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lại
càng khó. Học sinh khơng có phương pháp làm bài tập viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở chương trình lớp 11
lại được luyện tập rất ít. Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách
giải hữu hiệu, trong q trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh cịn bỏ sót
trường hợp ví dụ như chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…

Như ở trên cũng đã nói, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số
và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài tốn viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về
lí thuyết; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tơi mạnh dạn viết
sáng kiến kinh nghiệm về bài tốn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng
nhiều hơn, vận dụng vào giải tốn thành thạo hơn, đó là lí do tơi chọn đề tài sáng
kiến kinh nghiệm: “TÌM HIỂU BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ”

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
 2.1 Cơ sở lí luận:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số

y = f(x) và M0 (x 0 ; f (x 0 ))(C) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên
( C)

y (C)
M T
f(x)

f(x 0 ) M0

O x 0 x
x

Đường thẳng M M0 là một cát tuyến của ( C).

Khi x x0thì M(x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M0 (x 0 ; f (x 0 )) và
ngược lại.

Giả sử cát tuyến M M0 có vị trí giới hạn, kí hiệu là M T0 thì M T0 được gọi là tiếp
tuyếncủa ( C) tại M0. Điểm M0được gọi là tiếp điểm.

Tại mỗi vị trí của M trên (C) ta ln có

0
0
( M) ( )

M

f x f x
k

x x






</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0 (x 0 ; f (x 0
))”.

Hơn nữa ta có kết quả sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm nếu biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số là

M (x 0 ; f (x 0 )) có phương trình là y f x( )0 f x'( )(0 x x 0)”

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với oy
*) Định lý 1:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm 
0

M (x 0 ; f (x 0 )) là y y 0 f x'( )(0 x x 0) trong đó y0 f x

 

0
*)Định lý 2:

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = kx + b. Đường thẳng

d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( )

'( )

f x kx b

f x k

 







Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hồnh độ tiếp điểm
2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị

a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M x y0



0; 0



( )C . Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x y0



0; 0



( )C

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C)

Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C)
Giải

Ta có: y’=3x2-12x +9

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) l à:

3( 2) 2

y x  hay y3x8

Ví dụ 2: Cho hàm số y =




x
x

có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục 0y

Giải: 2

1
'

(2 3)

y

x





Giao điểm của đồ thị với 0y: 0;2
3

 

 

 , hệ số góc

 

1
' 0

y 

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho là 1 2

9 3

y  x

b. Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm

có hoành độ x = x 0 (Hoặc : y= y 0 )

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x= -2

Giải

Ta có: y’=4x3- 4x

Với: x = -2  y = 8 và y’(-2)= - 24

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là:
y = -24( x + 2 ) + 8 hay y = -24x - 40
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 3 5



x x

y có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5
Giải :

y' 3 x2  3

Ta có























3
3
0
0

3
5

5
3

5 3 3

x
x
x
x

x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

y’(0) = -3

Do đó phương trình tiếp tuyến là y 53(x 0) hay y = -3x +5.
+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5).

'( 3) 3( 3)2 3 6







y

Do đó phương trình tiếp tuyến là : y 56(x 3) hay y6x6 35.
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm( 3;5) là :

5
3
6

6  

 x

y .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước

Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k . Viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1
1
x
y

x




 (C) có hệ số

góc bằng 2





2
'

1
y

x



 = 2 =>

(x 2x1) 1 2 2 0 0

2
x

x x

x




    




Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; 1), ( 2;3) 

Hai phương trình tiếp tuyến: y3x 1 và 
3( 2) 3

3 9

y x

  

  

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với  C : 3

2 1

x
y

x

 



 biết tiếp tuyến song

song với d y: 7x 1.
Giải:

Ta có









7 1

2x 1 2x 1



  

 

0
1

x
x




  



Có hai phương trình tiếp tuyến y7x3, y 7x 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3 3x2 2

  có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

của (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 3x 5y 4 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cách 1 : Đường thẳng có hệ số góc 3

k  . Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc
với đường thẳng  nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là 5

d

k 

Hồnh độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình

5 5

' 3 6

3 3

y   x  x

1
2

2
1
3

9 18 5 0

5
3
x

x x

x





     

 



Thay lần lượt x x1, 2 vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp tuyến

là: 5 61

3 7

y x và 5 31

3 7

y  x

Cách 2 : Phương trình tiếp tuyến có dạng d : 5
3

y  x c (*)

d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm

3 2

5 61

3 2

3 27

5 31

3 6

3 27

x x x c c

x x c

 

    

 



 




   




 

Thay lần lượt c c1; 2 vào phương trình (*), ta được các tiếp tuyến là:

5 61

3 7

y  x

và 5 31

3 7

y x

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm 
cho trước

Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A a b



;



cho trước. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)

Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3x2 2

   . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị

từ điểm (23; 2)
9

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A có phương trình 23 2 (*)
9

y k x    

 

Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

3 2

3 2 2

3 6

x x k x

x x k

  
    
  
 

  



3 2 2

3 2 (3 6 ) 2

3 6

x x x x x

x x k

  
     
  
 

  


2
2
0
1
5

3
3
3
9
3 6
x
k
x
k
x
k

x x k

 




 
 
 




 
 
 
 




Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là:

1 2

5 61

: 2, :

3 27

d y d y x và d y3: 9x 25

Ví dụ 2: Cho hµm sè ( )

2
3
3
2

1x4 x2 C

y   . ViÕt pttt cđa (C) ®i qua ).

2
3
;
0

(
A
Gi¶i:

Phơng trình đờng thẳng qua )
2
3
;
0
(

A cã d¹ng: ( )

2
3

d
kx

y  

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:























k

x

kx

x

6

2

3

2

3

2

1

3
2
4
cã nghiÖm.
Suy ra













2
2
0
0
6
3 4 2

x
x
x
x
x

+) Víi x = 0  k 0 . Pttt lµ: .
2
3



y

+) Víi x 2  k 2 2. Pttt lµ: .

3
2
2 

 x
y

+) Víi x= - 2 k 2 2. Pttt lµ: y =

2
3
2
2 x .

KÕt ln: VËy cã ba tiÕp tun kỴ tõ )
2
3
;
0
(

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ 3: Cho hµm sè 1




x
x

y (C). Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của

đồ thị hàm số. CMR: khơng có tiếp tuyến nào đi qua I.

Gi¶i:

Ta có tiệm cận đứng x = -1.

Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là:
I(-1; 1).

Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

2

1 )1

(

)1

(

1 )1

(

1 )1

(

1

2
2









































x

k

x

xk

x

(v« nghiƯm) => (điều phải chứng minh).
Vớ d 4: Cho hµm sè

1
1
2




x
x
x

y (C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ

đợc 2 tiếp tuyn n th (C).

Giải:

Viết lại y dới d¹ng

1
1
2




x
x

y (C).

Gọi B(0;b)Oy, Phơng trình đờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

(I)















































kkx

x

bkx

x

k

x

bkx

x

1

2 )1(

1

2

2
3
1
1
1
2

3 b k

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Do đó (I)

























)2

(

)1

(

1 )1

(

2

3

1 k

x

k

b

x

HƯ cã nghiƯm khi vµ chØ khi (1) cã nghiƯm tháa m·n (2)











































(*)

04 )3

(

)1

(2

3 )

2

3 (1

0

2

3

2
2

k

b

k

b

bk

k

b

k

b

Yêu cầu bài toán thoả mÃn khi phơng trình (*) có hai nghiệm khác b + 3





































08

4 0)4

)3((

)1(

04 )3(

)3)(

1(2

)3(

0'

2

b

b

bb

b

















2

1 b

Vậy, các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ đợc 2
tiếp tuyến đến đồ thị (C).

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh khơng cảm thấy
khó khăn trong việc khảo sát hàm số. Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn khi
làm bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, thường mắc phải những khó khăn
sau:

- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài

- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại
một điểm thuộc đồ thị của hàm số

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ví dụ: Cho hàm số y x3 3x2 2

   có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3)

Giải: +) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0;3), phương trình của d có dạng

y kx 

+) d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình

3 2

3 2 3 (1)

3 6 (2)

x x kx

x x k

   




 



có nghiệm x

Thay k ở (2) vào (1) ta được

3 2 2

3 2 (3 6 ) 3

( 1)(2 1) 0 (*)

x x x x x

x x x

    

    

Bây giờ ở phương trình (* ) học sinh khơng chú ý: Từ phương trình (*) ta có

1 0

2 1 0

x

x x

 




  



mà lại viết 21 0 1

2 1 0

x

x x

 



 



  



Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3x3

Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp
tuyến.

Như vậy lời giải đúng là

Từ phương trình (*) ta có 21 0

2 1 0

x
x x

 




  



1
1
2
x
x






 


3
15
4
k
k






 


Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3x3 và 15 3
4
y x

Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm A(0;3)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

0 0

'( ) '( )

y x f x = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3

Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…
2.3 Giải quyết vấn đề

Việc đưa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phương pháp giải bài tập toán đề
hướn dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết. Bởi khi đó các em
khơng cịn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải
chính xác khi đã xác định được yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm
số” ở dạng nào. Chính vì vậy mà hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập;
chỉ ra phương pháp giải từng dạng. Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập.
  2.3.1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị

a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M x y0



0; 0



( )C . Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x y0



0; 0



( )C

* Phương pháp giải:

+) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm (đã nêu ở trên) thì tiếp tuyến tại một
điểm M x y0



0; 0



( )C có hệ số góc là f x'( )0

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tai điểm M x y0



0; 0



có

dạng: y y 0 f x'( )(0 x x 0) hay y f x( )0 f x'( )(0 x x 0)
Nhận xét:

+) Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác f x'( ), f x'( )0
và rút gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán

+) Đồ thị chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm M(2;2) ( ) C

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ta có: y’=3.x2-12x +9

Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
y3(x 2) 2 hay y3x8

Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x+1 - 2 2 1



x . Hãy viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại A(0;3)

Giải

Ta có: y’= 1+

2
)
1
2
(



x nên y’(0) = 5
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) là:
y = 5(x-0) + 3 hay y = 5x + 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 + 3x – x3 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến tại điểm uốn của đồ thị.

Giải:

' 3 3

y   x , y''6x

và y'' 0  x0

Toạ độ điểm uốn là (0;2) , y'(0) 3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:

3( 0) 2

y x  hay y 3x2

b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm

có hồnh độ x = x 0 (Hoặc : y= y 0 ) 
 *. Phương pháp giải:

-Với: x =x 0  y 0 =f(x 0 ) (Bài toán đưa về dạng trên)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

x = x 0 có dạng:

y=f’(x 0 )( x-x 0 ) + y 0

Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung

độ: y= y 0 =f(x 0 )  x 0 =? ( bài toán đưa về dạng tiếp tuyến tại một
điểm )

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3 3x2  1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)tại điểm có hồnh độ -1.
Giải: Hoành độ tiếp điểm x1, nên tung độ tiếp điểm y1

' 3 6 '( 1) 3

y  x  x  y  

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là:

3( 1) 1

y x  hay y 3x 2

Ví dụ 2: Cho hàm số y x
x

3 1




 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của

Tung độ tiếp điểm y7 nên hoành độ tiếp điểm x2

' '(2) 4

(1 )

y y

x

  

 .Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (2;-7)

là:y4(x 2) 7 hay y4x 15

*) Bài tốn mở rộng:

Ví dụ 1: Cho hµm sè: 3 3 2 2




 x x

y (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ

đợc một và chỉ một tiếp tuyến đến (C).

Gi¶i:

Gäi ( ; 3 2 2) ( )
0

3
0
0

0 x x x C

M .

Phơng trình tiếp tuyến (pttt) cđa (C) t¹i M0 cã d¹ng:

( ) 3 2 2

0
3
0

0   



k x x x x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M0 khi vµ chØ khi hƯ sau cã nghiƯm:



























k

x

k

x

6

3

2

3 )

(

2

3

2
2
0

3
0
0
2
3
Suy ra

2
3
0
)
3
3
2
)(

( 0
2
0
1
0
2
0
0
2
0 x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x

Điểm M0 thoả mÃn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:

1
2
3
0
0
0
2

1  





x x x x

x .

Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M0( 1; 0) mà qua đó kẻ đợc đúng một và chỉ

một tiếp tuyến với đồ thị (C).

Ví dụ 2: Cho hµm sè: 4 12





x
x

y (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), 
trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = 3.

Gi¶i:

Ta cã: 3 4.3 2 5

3 1 2

x  y  

 .

'(3) 83

)
1
(

' 2

y

x
y

Pttt của (C) tại điểm )
2
5
;
3

( là:

2
5
)
3
(
8
3

x
y
Diện tích hình phẳng cần tính là:

dx
x
x
dx
x
x
S )
1
6
2
3
)
3
(
8

3
(
)
1
6
4
(
2
5
)
3
(
8
3 3
0
3
0

= ( ( 3)3
16



x -3 6ln 1)3

2x x = 16
99
2
ln

12  (®vdt).

 2.3.2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước

Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k . Viết phương trình

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

* Phương pháp giải:

i) Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm:

+) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C) tại điểm có hồnh độ xi

'( )i i

f x k x x

    là nghiệm của phương trình f x'( )k

+) Giải phương trình f x'( )k, suy ra nghiệm x



x x0, ,...1 xn



,n 

  

+) Phương trình tiếp tuyến tại xi là: y k x x (  i) f x( )i

ii) Cách 2: Phương pháp điều kiện kép

Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y kx m  (m là ẩn) tiếp xúc

với đồ thị (C): yf x( ). Khi đó ta có phương trình kx m f x( ) có nghiệm

kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được m. Từ đó
suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm

Nhận xét: Vì điều kiện ( ) :C1 yf x( ) và ( ) :C2 y g x ( ) tiếp xúc nhau là hệ điều

kiện ( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x








 có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phương trình

( ) ( )

f x g x có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số
( )

yf x mà phương trình tương giao kx m f x( )có thể biến đổi tương đương

về một phương trình bậc 2 ( khi đó điều kiện để có nghiệm kép là  m 0 )
Chú ý: Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k như sau:

- Dạng trực tiếp: 1, 2,..., 1,..., 2, 3,...
2

k     

- Tiếp tuyến tạo với chiều dương 0x góc , .... .
3
;
3
2
;
45
;
30
;

150 0 0









  

 khi

đó hệ số góc ktan

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng yax+b, khi đó hệ số góc k = a
- Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng yax+b, khi đó ka 1 k 1

a

  

- Tiếp tuyến tạo với đường thẳngyax+b một góc  khi đó

tan
1

k a

ka 




 .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cho hµm sè y x3 3x2



 (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ

sè gãc cđa tiÕp tun k = -3.

Gi¶i:

Ta cã: y' 3x2 6x



Do hƯ sè gãc cđa tiÕp tuyÕn k = - 3 nªn: 3 2 6 3 2 2 1 0 1










 x x x x

x

Víi x1 y2. Pttt cần tìm là: y3(x 1) 2 y3x1

Ví dơ 2:

Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 2 1


x x

y (C). Biết tiếp tuyến
đó song song với đờng thẳng y = 9x + 2009.

Gi¶i:

Ta cã y' 3x2 6x


 .

Do tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ
số góc k = 9 3 2 6 9




 x x .












3
1
0
3
2
2
x
x
x
x .

+) Víi x1 y3.Pttt cđa (C) t¹i x = - 1 lµ: y9(x1) 3 y9x6

+) Víi x 3 y 1. Pttt của (C) tại x = 3 là: y9(x 3)1 y9x 26

Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 là:
y = 9x + 6 và y = 9x - 26.

Ví dụ 3: Cho hµm sè 3 3 2

x x

y (C). Viết phơng trình tiÕp tun cđa (C) biÕt

tiếp tuyến đó vng góc với đờng thẳng y x
9



 .

Gi¶i:

Ta cã ' 3 2 3

 x

y . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vng góc vi ng

thẳng y x
9

nên hệ số góc cđa tiÕp tun k = 9.

Do đó ' 3 2 3 9 2 4 2.









k x x x

y

+) Với x = 2  y4. Pttt tại điểm có hồnh độ x = 2 là:

.
14
9
4
)
2
(

9     

 x y x

y

+) Với x2 y0. Pttt tại điểm có hồnh độ x = - 2 là:

18
9
0
)
2
(

9     

 x y x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đờng thẳng y x
9



 lµ:

y =9x - 14 vµ y = 9x + 18.
*) Bài tốn mở rộng:

Ví dụ 1:

Cho hµm sè 3 3 2 9 3




x x x

y (C). Chøng minh r»ng trong sè c¸c tiÕp tuyến của
(C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hƯ sè gãc nhá nhÊt.

Gi¶i:

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
k = ' 3 2 6 9




 x x

y
6
6
'

'  x

y  y''0 6x60 x1

ĐiĨm n U(-1; 14).

HƯ sè gãc cđa tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12.

Bảng biến thiên của hàm số ' 3 2 6 9



 x x

y





-1 

y’’ - 0 +

y’  
-12

Từ bảng biến thiên suy ra k 12. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành
độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 2:

Cho hµm sè: ( 1) ( )

2
2
C
m

x
m
m
x
m
mx
y






 . Tìm điểm x0 để với mọi m 0, tiếp

tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đờng thẳng cố định.

Tìm hệ số góc của đờng thẳng đó.

Gi¶i:

Ta cã: 2

0
0
2
2
0
0
2

2
2
)
(
2
2
)
(
'
)
(
2
2
'
m
x
m
x
m
mx
x
y
m
x
m
x
m
mx
y









 .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>





























)
3
(
0
)
2
(
0
2
)
1
(
0
2
2
0
0
)
2
(
)
2
2
(

)
(
2
2
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
2
0
kx
x
kx
k
x
m
kx

m
x
kx
m
k
x
m
k
m
x
m
x
m
mx

Ta cã : (3) 






0
0
0
x
k

+) Víi x0 = 0 suy ra k = -2 (tho¶ m·n).

+) Víi k = 0















0

1

0
0

x

(v« nghiƯm)

Vậy, x0 = 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x0 song song với một đờng

thẳng cố định.

 2.3.3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm 
cho trước

Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A x y



A; A



cho trước. Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
* Phương pháp giải:

i) Cách 1: Thực hiện theo các bước

- Đường thẳng d đi qua điểm A x y



A; A



có phương trình:

: ( A) A

d y k x x  y

- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

( ) ( )

'( )

A A

f x k x x y
f x k

  







( ) '( )( ) (1)

'( )

A A

f x f x x x y
f x k

  

 


 k
- Kết luận về tiếp tuyến d.

ii) Cách 2: Thực hiện theo các bước

( ; )

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

d: y y x x x'( )(0  0)y0

- Điểm A x y



A; A



d , ta được yA y x x'( )(0 A  x0) y0 (2) x0

- Kết luận về tiếp tuyến d

Chú ý: Số nghiệm phân biệt ở phương trình (1), (2) bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến
đồ thị (C)

Ví dụ 1:

Cho hàm số (C): y = 13 x3-x2 .

Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)
Giải

Ta có: y’= x2-2x

-Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng:
y=k.(x- 3)+0

-Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì:














x
x
k

x
k
x

x

2
)
3
(
3

2
2
3

có nghiệm

-Thay (2) vào (1)ta có ( 2 )( 3)
3

1x3  x2  x2  x x →x=0 và x= 3

-Với x=0 thay vào(2)→k = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = 0

-Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9
-Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là:

y = 0
và y = 3x – 9
Ví dụ 2:

Cho hàm số (C): y = 2

2 3

x
x



 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Giải

Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn *(d)là tiếp tuyến của ( C)
 *(d)cắt ox tại A và cắt oy tại B
 *OA=OB

Cách 1: Vì (d) cắt ox tại A nên A(a;0)

(d) cắt oy tại B nên B(0;b) . điều kiện: a0 và b0

Để tam giác AOB cân tại O thì OA=OB a b

 a = b hoặc a = -b

*Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng:  1
a

y
a

x

 y = - x + a

Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình:

2 (1)

2

3

1 (2)

(2

3)

x

x a

x



















 







có nghiệm

Từ (2) ta có: x = -2 hoặc x = -1

-Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) phương
trình của d là

y = -x - 2

-Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = 0 (loại)

*Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: 1




a
y
a
x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì:


















)
3
2

(

1
1

3
2

2
x

a
x
x

x

có nghiệm

Từ (2) suy ra hệ vơ nghiệm

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -x - 2
Cách 2:

Vì tam giác AOB cân tại O nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc
450 hoặc 1350 và không đi qua gốc tọa độ O

-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 450 ta có:








 2

0
0

'
0

)
3
2
(

1
1

)
(
45
tan

x
x

y phương trình vơ nghiệm

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 1350 ta có:












 (2 3) 1

)
3
2
(

1
1

)
(
135

tan 2

0
2

0
0

0 x

x
x

y x0 = -1 hoặc x0= -2

Với x0 = -1 y0 1.Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại vì đi

qua gốc tọa độ O)

Vớix0= -2 y00. Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - 2

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y= -x - 2

NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện của a và b để A BO
là tam giác

-Với cách 2: đơn giản hơn xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp
tuyến của đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ O

2.4. Hiệu quả của SKKN

2.4.1 Khảo sát thực tế:

Trước khi thực hiện SKKN , năm học 2010 - 2011 tôi đã khảo sát chất lượng
của học sinh lớp 12B1 ; 12B2 ; 12B3 thông qua kiểm tra viết gồm 3 bài tốn viết
phương trình tiếp tuyến (Đề số 1 phụ lục trang 26 )

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Kết quả như sau:

Khơng có học sinh đạt điểm khá, giỏi; điểm trung bình chưa đạt 40%, còn lại là
yếu, kém. Cụ thể:

Lớp TS Giỏi Khá T bình Yếu Kém

SL % SL % SL % SL % SL %

12B1 44 0 0 0 0 17 38,6 13 29,6 14 31,8

12B2 44 0 0 0 0 17 38,6 14 31,8 13 29,6

12B3 43 0 0 0 0 15 34,9 13 30,2 15 34,9

131 0 0 0 0 49 37,4 40 30,5 42 32,1

Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải toán yếu.

2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN:

Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 12B2; 12B5; 12B3 của trường THPT Gia Phù
năm 2011 tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết gồm 4
bài: (Đề số 2 phụ lục trang 30)

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước
Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài tốn 4: Ứng dụng

Kết quả như sau:

Đã có học sinh đạt điểm khá, giỏi tuy cịn ít. Điểm yếu, kém đã giảm.
. Cụ thể:

Lớp TS Giỏi Khá T bình Yếu Kém

SL % SL % SL % SL % SL %

12B5 44 2 4,5 6 13,6 27 61,4 9 20,5 0 0

12B2 43 2 4,7 5 11,6 27 62,8 9 20,9 0 0

12B3 44 0 0 7 15,9 29 65,9 8 18,2 0 0

Tổng 131 4 3,1 18 13,7 83 63,4 26 19,8 0 0

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Một số học sinh khá, giỏi còn biết vận dụng vào các bài tốn ở mức độ khó hơn.
Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến SKKN và có sự
tham góp của đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy đã thu được một số

kết quả nhất định sau:

1. Học sinh yếu đã hiểu và biết vận dụng tốt hơn phương pháp viết phương trình
tiếp tuyến

2. Học sinh trung bình trở lên nắm vững được phương pháp, biết vận dụng
thành thạo và linh hoạt hơn

Chất lượng bài giải và kĩ năng giải toán tốt hơn so với những năm trước đây.

3. Kết luận:

- Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một
nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực
thụ. Bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học
sinh nên tôi luôn cố gắng tìm tịi và ứng dụng đổi mới vào việc giảng dạy trên cơ
sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

- Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho cơng việc
giảng dạy của tơi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt
hơn vào giải toán, nâng cao chất lượng học mơn tốn hơn trước. Đối với bản thân
tôi, là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trong việc
tự học và trau dồi chun mơn, nghiệp vụ của mình.

- Mặc dù SKKN tôi viết chỉ tập chung vào một vấn đề rất nhỏ trong chương trình
tốn lớp 12 nhưng việc áp dụng nó vào giảng dạy có tác dụng rất tốt, thời gian tới
tôi sẽ phát triển thêm SKKN của mình áp dụng cho cả những đối tượng là học
sinh khá, giỏi với những bài toán nâng cao hơn..

- Từ q trình áp dụng SKKN tơi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khi

giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và
tự nhiên, khơng nên gị ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối với
từng loại tốn có như vậy học sinh mới hứng thú học tập và u thích mơn tốn.
 *) Những ý kiến đề xuất

Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng mà được đề cập rất ít trong
chương trình THPT, hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài tốn
này nhất là viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm, viết phương trình tiếp
tuyến biết hệ số góc cho trước.

Để giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phương trình tiếp tuyến
đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều
tình huống khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:

1. Đối với tổ chuyên môn và chuyên môn nhà trường cho phép tôi được áp
dụng SKKN với một số lớp tôi không được phân công giảng dạy bằng cách cho
học sinh đi học phụ đạo buổi chiều.

2. Tổ chuyên môn thường xun đóng góp ý kiến cho SKKN của tơi trong
q trình tơi thực hiện SKKN này.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

nhỏ. Trong q trình thực hiện SKKN, tơi đã nhận được những góp ý q báu
của các đồng nghiệp trong tổ tốn trường THPT Gia Phù, rất mong nhận thêm
những đóng góp quý báu khác từ các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Phụ lục

Đề số 1

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT

Môn đại số - Giải tích lớp 12

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
Chủ đề hoặc mạch kiến

thức, kĩ năng

Mức độ nhận thức – Hình thức câu

hỏi Tổng điểm

Nhận biết Thơng hiểu Vận dụng

TL TL TL

Viết phương trình tiếp Số câu: 2

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

tuyến tại một điểm

Viết phương trình tiếp
tuyến biết hệ số góc cho
trước

Số câu: 1

3 điểm 3

Viết phương trình tiếp
tuyến đi qua một điểm cho
trước

Số câu: 1

3 điểm 3

4 3 3 10

Đề bài:

Câu 1 :(4điểm) Cho hàm số y x3 3x 1

   có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng -1
Câu 2 :(3điểm)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  


x
y

x

1 biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng y  1x 5

8 .

Câu 3: (3điểm) Cho hàm số f(x) = 3x – 4x3 có đồ thị (C).

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 1

Câu Nội dung Thang

điểm

1

a) y' 3 x2 3 0,5

'(2) 3.(2) 3 9

y    0,5

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

(2;3) là: y9(x 2) 3

0,5

Hay y9x 15 0,5

b) Hoành độ tiếp điểm bằng x0 1nên tung độ tiếp

điểm là y0  ( 1)3 3( 1) 1 3  

0,5

'( 1) 3.( 1) 3 0

y      0,5

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có
hồnh độ -1 là: y0(x 0) 3

0,5

Hay y3 0,5

Ta cã ' 2 2
( 1)
y

x




 .

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

2

Do tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng

 

y 1x 5

8 nªn tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc

1
8
k 

0,25

 2 2 1

8
(x 1)






0,25

2 2 15 0

x x

    0,25

5
3

x
x




  

 .

0,25

+) Víi 5 3

x  y  0,25

Pttt của (C) tại x = 5 là: 1( 5) 3

8 2

y x  0,25

1 17

8 8

y x

   0,25

+) Víi 3 1

x  y  . 0,25

Pttt của (C) tại x = -3 là 1( 3) 1

8 2

y x  0,25

1 1

8 8

y x

   0,25

Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với ng

thẳng y 1x5

8 là:

1 17

8 8

y x và

1 1

8 8

y x

0,25

f(x) = 3x – 4x3 Ta có: f x'( ) 3 12x2

  0,25

-Gọi đường thẳng qua A(1;3)có hệ số góc k 

phương trình có dạng: y k x (  1) 3

0,25

-Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì

hệ sau phải có nghiệm:

3
2

3 4 ( 1) 3 (1)

3 12 (2)

x x k x

x k

    




 




0,5

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

3

3 2

3x 4x (3 12 )( x x 1) 3

0
3
2
x
x






 


0,25

-Với x= 0 thay vào (2)  k= 3. Phương trình tiếp
tuyến: y3(x 1) 3

0,25

hay y 3x 0,25

-Với 3

x thay vào (2)  k 24. Phương trình

tiếp tuyến: y 24(x 1) 3

0,25

hay y24x27 0,25

-Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;3)
là: y 3x và y24x27

0,25

Đề số 2

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT

Môn đại số - Giải tích lớp 12

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
Chủ đề hoặc mạch kiến

thức, kĩ năng

Mức độ nhận thức – Hình thức câu

hỏi Tổng điểm

Nhận biết Thơng hiểu Vận dụng

TL TL TL

Viết phương trình tiếp

tuyến tại một điểm

Số câu: 2

3 điểm 3

Viết phương trình tiếp
tuyến biết hệ số góc cho
trước

Số câu: 1

2 điểm 2

Viết phương trình tiếp
tuyến đi qua một điểm cho
trước

Số câu: 1

2 điểm 2

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

3 điểm 3

Tổng điểm 5 3 2 10

Đề bài:

Câu 1: (3điểm) Cho hàm số y x4 2x2 3

   có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2

Câu 2:(2điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  


x
y

x

1 biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng y  1x 5

8 .

Câu 3:(2điểm) Cho hàm số f(x) = 3x – 4x3 có đồ thị (C).

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(1; 3)

Câu 4:(3điểm) Cho hàm số 3 3 2 2





 x x

y (C). Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 2

Câu Nội dung Thang

điểm

1

a) y' 4 x3 4x 0,5

'(1) 0

y  0,25

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (1; 4) là:

0( 1) 4

y x 

0,5

Hay y4 0,25

b) Hoành độ tiếp điểm bằng x0 2nên tung độ tiếp điểm

là y0 24  2.22 3 5

0,5

'(2) 32 8 24

y    0,25

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh
độ 2 là: y24(x 2) 5

0,5

Hay y24x 43 0,25

Ta cã ' 2 2
( 1)
y

x




 .

0,25

Do tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y  1x 5

nªn tiÕp tun cã hƯ sè gãc 1
8
k 

0,25

 2 2 1

8
(x 1)






</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

2

2 2 15 0

x x

   

5
3

x
x




  

 .

0,25

+) Víi 5 3

x  y  0,25

Pttt cđa (C) t¹i x = 5 lµ: 1( 5) 3

8 2

y x 

1 17

8 8

y x

  

0,25

+) Víi 3 1

x  y  . 0,25

Pttt của (C) tại x = -3 là 1( 3) 1

8 2

y x 

1 1

8 8

y x

  

Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng

 

y 1x 5

8 lµ:

1 17

8 8

y x và

1 1

8 8

y x

0,25

f(x) = 3x – 4x3 Ta có: f x'( ) 3 12x2

  0,25

-Gọi đường thẳng qua A(1;3)có hệ số góc k  phương
trình có dạng: y k x (  1) 3

0,25

-Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau

phải có nghiệm:

3 4 ( 1) 3 (1)

3 12 (2)

x x k x

x k

    




 




0,25

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

3

0
3
2
x
x





 

0,25

-Với x= 0 thay vào (2)  k= 3. Phương trình tiếp tuyến:

3( 1) 3

y x 

hay y3x

0,25

-Với 3

x thay vào (2)  k 24. Phương trình tiếp

tuyến: y24(x 1) 3

hay y24x27

0,25

-Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) là:

y x và y24x27

0,25

4

Gọi ( ; 3 2 2) ( )
0

3
0
0

0 x x x C

M     . 0,25

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tại M0 có dạng :

( ) 3 2 2

0
3
0

0   



k x x x x

y (d)

0,5

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) tại M0 khi và chỉ khi
hệ sau có nghiệm



























k

x

k

x

6

3

2

3 )

(

2

3

2
2
0
3
0
0
2
3
0,5

 (x x 0)( 2 x2 3x xx 0x02  3x0)

1 0

0
2 3 2

x x
x
x



 
 

0,5
0,5
Điểm M0 thoả mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi

1
2
3
0
0
0
2

1  





x x x x

x .

0,5

Vậy trên đồ thị (C) tồn tại duy nhất điểm mà qua đó kẻ
được đúng một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C)

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 

1 Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, (2004), Phương pháp giải tốn tiếp tuyến,

NXBGD.

 

2 Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, (2008), Giải tích 12, NXBGD.

 

3 Nguyễn Bá Kim, (2004), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXBĐHSP.

 

4 Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo, (2002), phân loại và phương pháp giải tốn

giải tích 12, NXB Trẻ.

</div>

SKKN day toan 12

 









 







































<i>k</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>kx</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

6

2

2

3

2

3

3

2

1

2

1

1

1

1

1

)1

(

)1

(

1

1

)1

(

1

1

)1

(

1







































